一元整式方程的解法
一元一次方程的概念及解法
同步课程˙一元一次方程一、等式（1）用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．（2）在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．（3）等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．一、方程方程：含有未知数的等式叫方程，如21x +=，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数二、方程的解方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。
三、一元一次方程 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．一元一次方程的形式：最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）叫一元一次方程的最简形式． 标准形式：方程0ax b +=（其中0a ≠，a ，b 是已知数）叫一元一次方程的标准形式． 注意：⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．⑵方程ax b =与方程()0ax b a =≠是不同的，方程ax b =的解需要分类讨论完成四、一元一次方程的解法（一）等式的性质 等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则a m b m ±=±；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．一元一次方程的概念及解法知识回顾知识讲解同步课程˙一元一次方程若a b =，则am bm =，a bm m=(0)m ≠注意：⑴在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边⑵等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同． ⑶在等式变形中，以下两个性质也经常用到： 对称性，即：如果a b =，那么b a =．传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =．又称为等量代换 易错点：等号左右互换的时候忘记变符号 （二）解一元一次方程的步骤 解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 ．温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号． 2．去括号：一般地，先去 小括号，再去 中括号，最后去 大括号． 温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．3．移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项 移到方程的另一边． 温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项． 4．合并同类项：把方程化成ax b =的形式． 温馨提示：字母和其指数不变．5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a （0a ≠ ），得到方程的解 bx a=． 温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒．同步课程˙一元一次方程【例1】 下列各式中哪些是方程⑴7887⨯=⨯ ⑵2345x x ++ ⑶312y y -= ⑷60x = ⑸31x > ⑹111x =+ ⑺26x y -= ⑻2430y y -+=【变式练习】判断下列各式是不是方程⑴373x x -=-+ ⑵223y -= ⑶2351x x -+ ⑷112--=- ⑸42x x -=- ⑹152x y-=【例2】 检验下列各数是不是方程315x x -=+的解⑴3x =； ⑵1x =-【变式练习】检验下列各数是不是方程213x y x y ++=--的解⑴23x y =⎧⎨=-⎩ ⑵10x y =⎧⎨=⎩ ⑶02x y =⎧⎨=-⎩【例3】 若2-为关于x 的一元一次方程，713mx +=的解，则m 的值是 【变式练习】关于x 的方程320x a +=的根是2，则a 等于 【例4】 x=3是方程（ ）的解（ ）A ．3x=6B ．（x －3）（x －2）=0C ．x （x －2）=4D ．x+3=0同步练习同步课程˙一元一次方程【例5】 若⎩⎨⎧==21y x 是方程3=-y ax 的解，则a 的取值是（ )A.5B.-5C.2D.1【例6】 已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=m ，则m 的值是【例7】 已知关于x 的方程（a ＋1）x ＋（4a －1）＝0的解为－2，则a 的值等于（ ）． A.－2B.0C.32D.23 【例8】 若2-为关于x 的一元一次方程，713mx +=的解，则m 的值是 【变式练习】关于x 的方程320x a +=的根是2，则a 等于 【例9】 根据等式的性质填空：（1）4a b =-，则______a b =+； （2）359x -=，则39x =+ ； （3）683x y =+，则x =_________； （4）122x y =+，则x =__________．【例10】下列各式中，变形正确的是（ ）．A ．若a b =，则a c b c +=+B ．若(1)2a x -=，则21x a =- C ．若2a b =，则4a b =D ．若1a b =+，则221a b =+【例11】根据等式性质5＝3x －2可变形为（ ）．A.－3x ＝2－5B.－3x ＝－2＋5C.5－2＝3xD.5＋2＝3x【变式练习】下列变形中，不正确的是（ ）A ．若25x x =，则5x =B ．若77,x -=则1x =-C ．若10.2x x -=，则1012x x -= D ．若x ya a =，则ax ay = 【变式练习】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．⑴如果23x =+，那么x =____________；根据 ⑵如果6x y -=，那么6x =+_________；根据 ⑶如果324x y -=，那么34x y -=______；根据⑷如果34x =，那么x =_____________；根据【例12】下列各式中：⑴3x +；⑵2534+=+；⑶44x x +=+；⑷12x=；⑸213x x ++=；⑹44x x -=-；⑺23x =；⑻2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？【变式练习】下列方程是一元一次方程的是（ ）．A ．2237x x x +=+ B ．3435322x x -+=+ C ． 22(2)3y y y y +=-- D ．3813x y -=同步课程˙一元一次方程【变式练习】在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中，属于一次方程的序号填入圆圈⑵中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．①359x +=：②2440x x ++=；③235x y +=：④20x y +=；⑤8x y z -+=：⑥1xy =-．【例13】关于x 的方程（k ＋2）x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则k ＝________． 【例14】已知等式0352=++m x 是关于x 的一元一次方程，则m =____________． 【例15】已知方程()7421=+--m x m 是关于x 的一元一次方程，则m=_________ ． 【例16】若131m x -=是一元一次方程，那么m =【变式练习】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k =【变式练习】若关于x 的方程2223x x ax a x a -=-+是一元一次方程，则a = ，方程的解是 【变式练习】已知关于x 的方程(21)50n m x --=是一元一次方程，则m 、n 需要满足的条件为 【例17】下列等式中变形正确的是（ ）A.若31422x x -+=，则3144x x -=- B. 若31422x x -+=，则3182x x -+= C.若31422x x -+=，则3180x -+= D. 若31422x x -+=，则3184x x -+= 【例18】122233x x x -+-=- 【例19】方程3x+6=2x －8移项后，正确的是（ ）A ．3x+2x=6－8B ．3x －2x=－8+6C ．3x －2x=－6－8D ．3x －2x=8－6【例20】将3（x －1）－2（x －3）＝5（1－x ）去括号得（ ）A.3x －1－2x －3＝5－xB.3x －1－2x ＋3＝5－xC.3x －3－2x －6＝5－5xD.3x －3－2x ＋6＝5－5x【例21】在解方程21-x −1332=+x 时，去分母正确的是（ ） A.()()132213=+--x x B. ()()632213=+--x xC.13413=+--x xD. 63413=+--x x【例22】方程２－342-x ＝－67-x 去分母得（ ） A.2－2 （2x －4）= －（x －7) B ．12－2 （2x －4）= －x －7 C.12－2 （2x －4）= －（x －7) D ．12－（2x －4）= －（x －7）（2）（1）⑤③①②（2）（1）同步课程˙一元一次方程【变式练习】解方程：⑴6(1)5(2)2(23)x x x ---=+ ⑵12225y y y -+-=-【变式练习】解方程：（1）3(3)52(25)x x -=--；（2）()()()243563221x x x --=--+； （3）135(3)3(2)36524x x ---=【例23】解方程：（1）5y －9＝7y －13； （2）3（x －1）－2（2x ＋1）=12 ； （3）757875xx -=- ； （4）1213123x x x --+=-.先变形、再解方程本类型题：需要先利用等式的基本性质，将小数化为整数，然后再进行解方程计算 【例24】解方程：7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-． 解：原方程可化为7110.251432x x x --+=- 去分母，得 ．根据等式的性质（ ）去括号，得 ．移项，得 ．根据等式的性质（ ） 合并同类项，得 ．系数化为1，得 ．根据等式的性质（ ）同步课程˙一元一次方程【例25】0.130.4120 0.20.5x x+--=【变式练习】解下列方程：⑴2 1.21 0.70.3x x--=；⑵0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x+-+-=；⑶1(0.170.2)1 0.70.03xx--=⑷0.10.020.10.10.3 0.0020.05x x-+-=⑸422 30%50%x x-+-=⑹1(4)33519 0.50.125xxx+++=+⑺0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-⑻0.10.90.21 0.030.7x x--=逐层去括号含有多重括号时，去括号的顺序可以从内向外，也可以从外向内。
第08讲一元一次方程的概念与解法(8大考点)(原卷版)
第08讲一元一次方程的概念与解法（8大考点）一、方程和一元一次方程的概念 1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 二、方程的解与解方程1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值 解方程：求方程的解的过程 三、等式的性质1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。
即：c b c a ±=±=，则若b a （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。
即：⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a cb c a b a ，，则若（此处字母可表示数字，也可表示式子）例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x ÷5=-5÷5 x=-13）其他性质：①对称性：若a=b ，则b=a ；②传递性：若a=b ，b=c ，则a=c 。
四、合并同类项解一元一次方程（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程 方法：1）合并同类项；2）系数化为1 五、移项解一元一次方程 （1）移项 例：2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3（利用等式的性质） （左边的﹣3变到右边变成了+3） 2x=4x-4考点考向2x-4x=4x-4-4x （利用等式的性质） （右边的4x 变到左边变成了－4x ） -2x=-4 x=24−− x=2①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。
一元整式方程
一元整式方程
一元整式方程是数学中已有许久的解题方法，也是最基础的一类方程，与它相关联的知识也是坚持了数百年的普及教育的重要组成部分。
一元整式方程的定义是：一元整式方程是由一个变量和一些整式组成的一类方程。
一元整式方程的标准形式如下：ax+b=0，其中，a 和b是常数，x是一个未知量，有时也称之为自变量。
一元整式方程的解法主要有两种：一种是在解法中求出根数；另一种是在方程中求出解。
在解法中求出根数是指在一元整式方程
ax+b=0中，求出x的值，即使它是一个未知量。
而在方程中求出解，是指在一元整式方程ax+b=0中，求出a和b的值，并用它来求出x 的值。
一元整式方程的解法有多种，比如特殊情况解法、数学归纳法解法等。
殊情况解法的思想是利用一元整式方程的特定关系来求解，从而快速求得解。
而数学归纳法解法，则是利用数学归纳法来化简，最后简化为可以轻松解决的简单一元整式方程，从而得到解答。
在解决一元整式方程时，除了以上提到的方法之外，还有一些方法非常有效。
例如，开方法是一种常用的一元整式方程解法，它能够帮助学生快速求解一元整式方程。
此外，还有一种称之为分段函数法的法则，它能够帮助解决一些复杂的一元整式方程。
最后，一元整式方程的解法也可以结合现代科学技术，如计算机软件，来完成。
计算机软件可以根据我们提供的方程自动计算出一元
整式方程的解，从而极大地简化了解决一元整式方程的时间，节省了不少精力。
总之，一元整式方程是数学中重要的一部分，解决它所涉及到的方法也是多种多样的，无论使用传统方法还是现代技术，都可以得到满意的解决方案。
整式方程的解法
整式方程的解法一、引言整式方程是数学中常见的一类方程，它由多个变量和常数构成，其中变量与常数通过基本的代数运算相连。
解整式方程就是要找出使方程成立的变量值。
本文将介绍解整式方程的一般方法和常见技巧。
二、一元整式方程的解法1. 一元整式方程是只有一个变量的整式方程。
解一元整式方程的基本思路是将方程转化为等价的形式，然后通过代数运算求解。
2. 一元整式方程的解法包括移项、合并同类项、因式分解、去分母等步骤。
通过这些步骤，可以将方程转化为形如“变量=常数”的形式，从而得出方程的解。
3. 举例说明：解方程3x + 2 = 11。
首先将方程移项得到3x = 11 - 2，然后合并同类项得到3x = 9，最后将方程化简为x = 3。
所以方程的解为x = 3。
三、多元整式方程的解法1. 多元整式方程是包含多个变量的整式方程。
解多元整式方程的一般方法是利用消元法和代入法。
2. 消元法是通过变量的消去，将多元整式方程转化为较简单的方程组。
通过消元法，可以得到包含少量变量的方程组，从而更容易求解。
3. 代入法是将多元整式方程中的一个变量用另一个变量表示，然后将其代入方程中，从而得到一个只含有一个变量的方程。
通过代入法，可以逐步求解多元整式方程。
4. 举例说明：解方程组2x + y = 4，x + y = 2。
使用消元法，将第二个方程乘以2得到2x + 2y = 4，然后将第一个方程减去第二个方程得到y = 0。
将y的值代入第二个方程得到x = 2。
所以方程组的解为x = 2，y = 0。
四、注意事项1. 解整式方程时，需要注意运算的规范性和准确性，尤其是合并同类项和因式分解的过程。
2. 解整式方程时，要注意化简方程的过程，避免出现错误的结果。
3. 解多元整式方程时，要注意消元法和代入法的使用，选择合适的方法进行求解。
4. 解整式方程时，可以通过检验解的合法性来验证结果的准确性。
5. 解整式方程时，可以利用计算工具和软件辅助求解，提高求解的效率和准确性。
数学计算整式乘除一元一次方程
数学计算整式乘除一元一次方程引言在初中数学中，我们学习了整式的乘法和除法，以及一元一次方程的解法。
本文将介绍整式的乘法和除法运算，并探讨如何利用这些运算求解一元一次方程。
整式的乘法整式的乘法是指两个或多个整式之间的相乘运算。
整式乘法的基本原则是根据乘法公式将每一项进行相乘，然后将相同次数的项进行合并。
例如，我们考虑以下两个整式相乘的例子：(3x + 2)(4x - 5)要求乘积，我们可以按照下面的步骤进行计算：1.将第一个整式的每一项与第二个整式的每一项相乘，得到所有可能的乘积项：3x * 4x = 12x² 3x * -5 = -15x 2 * 4x = 8x 2 * -5 = -102.将相同次数的项进行合并，并按指数从高到低的顺序排列：12x² +8x - 15x - 103.合并同类项：12x² - 7x - 10因此，(3x + 2)(4x - 5)的乘积为12x² - 7x - 10。
整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。
整式除法的基本原则是根据除法算法进行计算，并进行逐步的长除法运算。
例如，考虑以下两个整式相除的例子：(6x³ - 5x² + 3x - 2) ÷ (2x - 1)要求商和余数，我们可以按照下面的步骤进行计算：1.将被除式的第一项除以除式的第一项，得到商的第一项：(6x³ ÷ 2x)= 3x²2.将商的第一项与除式相乘，并将得到的结果与被除式进行相减:(3x²)(2x - 1) = 6x³ - 3x² (6x³ - 5x² + 3x - 2) - (6x³ - 3x²) = -2x² + 3x - 23.重复上述步骤，直到无法进行进一步的相减运算为止。
此时，被除式的次数小于除式的次数，得到最终的余数：(-2x² ÷ 2x) = -x (-x)(2x - 1) = -2x² + x (-2x² + 3x - 2) - (-2x² + x) = 2x - 2 (2x - 2) ÷ (2x -1) = 1因此，(6x³ - 5x² + 3x - 2) ÷ (2x - 1)的商为3x² - x + 1，余数为2x - 2。
整式方程的解法
整式方程的解法整式方程是指包含有未知数的整数系数的等式。
解决整式方程需要运用数学中的一系列方法和技巧。
本文将介绍常见的整式方程解法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
1. 一元一次整式方程的解法一元一次整式方程是最简单且常见的整式方程形式，可以表示为：ax + b = 0 （其中a和b为已知整数，x为未知数）。
为了解这个方程，我们可以使用逆运算法则，将方程化为x = -b/a 的形式。
通过这个简单的步骤，我们可以求得方程的解。
2. 一元二次整式方程的解法一元二次整式方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知整数。
为了解一元二次整式方程，我们可以使用求根公式：x = (-b ±√(b^2-4ac))/(2a)。
根据求根公式，我们可以分为三种情况来求解方程：当 b^2-4ac > 0时，方程有两个不相等实数根；当b^2-4ac = 0时，方程有两个相等实数根；当b^2-4ac < 0时，方程没有实数解。
3. 分式方程的解法分式方程是包含了分式的方程，可以表示为：(p(x)/q(x)) + r(x) =s(x)，其中p(x)、q(x)、r(x)、s(x)均为整式。
为了解分式方程，我们可以通过通分的方式，将所有分式转化为整式，然后按照整式方程的解法进行求解。
4. 多个未知数的整式方程的解法多个未知数的整式方程是包含多个未知数的整式方程，可以表示为一组方程：f1(x1, x2, ..., xn) = 0；f2(x1, x2, ..., xn) = 0；...；fn(x1, x2, ..., xn) = 0。
为了解这组方程，可以利用消元法、代入法或者高斯消元法等方法来求解。
5. 已知条件的整式方程的解法在某些情况下，我们需要根据已知条件建立一个整式方程，然后求解这个方程来寻找满足条件的解。
在这种情况下，我们需要仔细分析已知条件，将其转化为方程，并根据上述的解法来解方程，以得到满足条件的解。
整式方程-
整式方程为了更好地帮助您进行学习，以下文章将简要介绍整式方程，包括它们的定义、性质和解法。
一、定义整式方程是将一个或多个整式相等的方程。
其中，整式是由常数和变量组成的表达式，例如x^2+2x+1、2x-3等都是整式。
二、性质1.整式方程的次数：整式方程的次数等于其最高次项的次数，例如4x^3-3x^2+7x=0是一个次数为3的整式方程。
2.整式方程的根：整式方程的根是使方程成立的数值。
例如，整式方程x^2-4=0的根是x=±2。
3.整式方程的解法：整式方程的解法一般有如下几种方式：（1）因式分解法：当整式方程可因式分解为若干个不可约的因式时，我们就可以通过将每个因式分别等于0来求得整式方程的根。
（2）配方法：当方程中存在类似于(a+b)^2或(a-b)^2一类的项时，我们可以使用配方法将其化简为二次方程再求解。
（3）待定系数法：当整式方程中未知数个数比较多的时候，我们可以使用待定系数法来求解。
（4）综合运用：不同的整式方程，可能需要采用不同的解法才能求解，因此我们需要根据具体情况选择合适的解法。
三、解题思路1.读题：首先，我们需要仔细阅读整式方程题目，明确要求、确定未知数、确定方程类型等。
例如，某整式方程中未知数只有一项，且是一元一次方程，则我们可以通过解一元一次方程来求解。
2.化简：有时候，我们需要先对方程进行化简，例如通过合并同类项、移项等方式，将方程转化为更简单的形式。
3.解方程：根据前面所提到的解法，选择合适的方法求解方程，并记录每一步的计算过程。
4.验证：将求得的解代入原方程中验证，看是否满足原方程中的等式关系。
四、例题解析例1：求解方程2x^2-5x+2=0的根。
解：首先，我们可以尝试将方程进行因式分解，得到(2x-1)(x-2)=0。
因此，方程的根为x=1/2和x=2。
例2：求解方程x^2-6x+8=0的根。
解：首先，我们可以尝试将方程配方，得到x^2-2*3x+3^2=1。
一元一次方程的定义及解法
一元一次方程的定义及解法文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）一元一次方程的定义及解法方程定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程，通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）。
方程简介一元一次方程(linearequationinone）通过化简，只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。
通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a ≠0）。
一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。
一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。
我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式。
这里a是未知数的系数，b 是常数，x的次数必须是1。
即一元一次方程必须同时满足4个条件：（1）它是等式；（2）分母中不含有未知数；（3）未知数最高次项为1；(4)含未知数的项的系数不为0。
“方程”一词来源于我国古算术书《九章算术》。
在这本着作中，已经会列一元一次方程。
法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。
在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。
详细内容合并同类项1.依据：乘法分配律2.把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项；常数计算后合并成一项3.合并时次数不变，只是系数相加减。
移项1.含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。
2.依据：等式的性质3.把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。
性质性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。
等式的性质二:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），等式仍然成立。
等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。
解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立解法步骤使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
各类方程组的解法
各类方程组的解法 The pony was revised in January 2021一、一元一次方程步骤：系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。
1、系数化整：分子分母带有小数或分数的系数化成整数，方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数；2、去分母：将包含的分母去掉，方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；3、去括号：根据去括号法则将括号去掉；4、移项：过等号要变号，将含未知数的放等号左边，常数放等号右边；5、合并同类项：根据合并同类项法则将同类项合并：6、系数化1：将未知数的系数化成1，方法是等式两边同时除以未知数的系数。
注：不一定严格按照步骤，例如移项的同时可以合并同类项，a(A)=b（a、b是已知数，A是含未知数的一次二项式）型方程可以先将括号前的系数化成1，第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。
二、二元一次方程（组）一个二元一次方程有无数个解，它表示平面内一条直线，直线上每个点的坐标都是方程的解。
由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线，其公共点坐标就是方程组的解。
当然，若两直线平行则方程组无解，若两直线重合则方程组有无数个解。
当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式，然后求解。
1、代入消元法：⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式，代入另一个方程，变成一个一元一次方程；⑵解一元一次方程；⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值，并写出解。
2、加减消元法：⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等（若已有系数的绝对值相等则这一步跳过）；⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程（系数相等用减，系数互为相反数用加）；⑶解一元一次方程；⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值，并写出解。
3、图像解法：根据图像与方程的关系，在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线，找出公共点的横坐标与纵坐标（不推荐此方法，因为当解为分数时看不出，这只能表示一种关系）。
第四节 一元整式方程的解法
（ ） 知９ 一 是 关 于 方 程 ２ｘ ２已 Ｃ ２ － 的 （—
成整 数 ：
（ ） 注 意解 一元 一 次方 程 的步 ２题
骤 ． 一 定的 顺序 去括 号即可． 按
４＋ ｘ ｂ的解 不是 负数
— —
，
５
那 么ｎ 的关 系 与６
式是（
去 括 号 ． 】ｘ ５ ＝ ２ ＋ ｂ 得 ０ ＋ ａ ｌｘ ３ 。 移 项 、 并 ． 一 ｘ ３ 一 ａ 合 得 ２＝ｂ ５ ，
即 ２＝ Ⅱ ３ ． ５一 ６
解得ｎ± ． ＝１
专一卅） （ ３１ ＝ ÷
数学金刊・ 初中版ｌ ５ ５
塑 主 堡， 壹 塑
因 为 ≥０ 即 ２ ≥０ ． ｘ ． 所 ￣５ － ｂ ， ≥ — ６ Ａ ａ－ ≥０ 即０ Ｊ ．故 选 Ｒ ３ ＿
得 一 ＝ ． ３ ＋ － ． １０ 或 ｘ ２ ０
方法 归纳 ： 掌握 解一 元一 次 方程
的步骤 ． 时明确 方程 中的哪 个 字母 同
是未知数及 解满足 的条件．
分 析 解 答 ： 因 为 帆 一 ，ｌ ｌ ２ ・
３ ２ ’
解 ． ＝一吾
所 以 原 方程 的根 是 Ｆ１
关 于 的 一 元 一 次 方 程 ．
ｃ一［ ｃ 吉一 ２÷一 ］ｃ 一 ＝ ． ÷９ ９
方 法一 ， 括 号 ， 去 得
一
分析 解答 ： 分母 ， ５ 十 ） 去 得 （ Ⅱ＝
３ 乱 ＋ ） （ ６，
所 以根据 一 元一 次 方程 的 定义 ．
得 ２ Ⅱ＝１ 一２ ．
方 法 归 纳 ： １ 将 方 程 中 的 小 数 （）
一元一次方程的定义及解法
一元一次方程的定义及解法方程定义：只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程,通常形式是ax+b=0a,b为常数,且a≠0.方程简介一元一次方程linearequationinone通过化简,只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式,叫一元一次方程.通常形式是ax+b=0a,b为常数,且a≠0.一元一次方程属于整式方程,即方程两边都是整式.一元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.我们将ax+b=0其中x是未知数,a、b是已知数,并且a ≠0叫一元一次方程的标准形式.这里a是未知数的系数,b是常数,x的次数必须是1.即一元一次方程必须同时满足4个条件：1它是等式；2分母中不含有未知数；3未知数最高次项为1；4含未知数的项的系数不为0.“方程”一词来源于我国古算术书九章算术.在这本着作中,已经会列一元一次方程.法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程.在19世纪以前,方程一直是代数的核心内容.详细内容合并同类项1.依据：乘法分配律2.把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项；常数计算后合并成一项3.合并时次数不变,只是系数相加减.移项1.含有未知数的项变号后都移到方程左边,把不含未知数的项移到右边.2.依据：等式的性质3.把方程一边某项移到另一边时,一定要变号.性质性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式,等式仍然成立.等式的性质二:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数0除外,等式仍然成立.等式的性质三：等式两边同时乘方或开方,等式仍然成立.解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数,等式仍然成立解法步骤使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.一般解法：1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数不含分母的项也要乘；2.去括号：先去小括号,再去中括号,最后去大括号；记住如括号外有减号的话一定要变号3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边；移项要变号4.合并同类项：把方程化成ax=ba≠0的形式；5.系数为成1：在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b/a.同解方程如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程.方程的同解原理：⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程.⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程.做一元一次方程应用题的重要方法：⒈认真审题审题⒉分析已知和未知量⒊找一个合适的等量关系⒋设一个恰当的未知数⒌列出合理的方程列式⒍解出方程解题⒎检验⒏写出答案作答ax=b解：当a≠0,b=0时,ax=0x=0当a ≠0时,x=b/a.当a=0,b=0时,方程有无数个解注意：这种情况不属于一元一次方程,而属于恒等方程当a=0,b≠0时,方程无解例：3x+1/2-2=3x-2/10-2x+3/5去分母方程两边同乘各分母的最小公倍数得,53x+1-10×2=3x-2-22x+3去括号得,15x+5-20=3x-2-4x-6移项得,15x-3x+4x=-2-6-5+20合并同类项得,16x=7系数化为1得,x=7/16.字母公式a=ba+c=b+ca-c=b-ca=bac=bca=bcc≠0=a÷c=b÷c求根公式由于一元一次方程是基本方程,故教科书上的解法只有上述的方法.但对于标准形式下的一元一次方程aX+b=0可得出求根公式X=-b/a学习实践在小学会学习较浅的一元一次方程,到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题.一元一次方程牵涉到许多的实际问题,例如工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题,相遇问题、逆流顺流问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题.列方程时,要先设字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,写出含有未知数的等式——教学设计示例教学目标1．使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤,并会列出一元一次方程解简单的应用题；2．培养学生观察能力,提高他们分析问题和解决问题的能力；3．使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．重点和难点一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题：在小学算术中,我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识,那么,一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢若能解决,怎样解用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较,它有什么优越性呢为了回答上述这几个问题,我们来看下面这个例题．例1某数的3倍减2等于某数与4的和,求某数．首先,用算术方法解,由学生回答,教师板书解法1：4+2÷3-1=3．答：某数为3．其次,用代数方法来解,教师引导,学生口述完成解法2：设某数为x,则有3x-2=x+4．解之,得x=3．答：某数为3．纵观例1的这两种解法,很明显,算术方法不易思考,而应用设未知数,列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法,有一种化难为易之感,这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．我们知道方程是一个含有未知数的等式,而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件,应首先从中找出一个相等关系,然后再将这个相等关系表示成方程．本节课,我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤例2某面粉仓库存放的面粉运出15%后,还剩余42500千克,这个仓库原来有多少面粉师生共同分析：1．本题中给出的已知量和未知量各是什么2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系原来重量-运出重量=剩余重量3．若设原来面粉有x千克,则运出面粉可表示为多少千克利用上述相等关系,如何布列方程上述分析过程可列表如下：解：设原来有x千克面粉,那么运出了15%x千克,由题意,得x-15%x=42500,所以x=50000．答：原来有50000千克面粉．此时,让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外,是否还有其他表达形式若有,是什么还有,原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量教师应指出：1这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”,虽形式上不同,但实质是一样的,可以任意选择其中的一个相等关系来列方程2例2的解方程过程较为简捷,同学应注意模仿．依据例2的分析与解答过程,首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后,采取提问的方式,进行反馈.最后,根据学生总结的情况,教师总结如下：1仔细审题,透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系,并用字母如x表示题中的一个合理未知数2根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．这是关键一步；3根据相等关系,正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用,不能漏也不能将一个条件重复利用等；4求出所列方程的解；5检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是,检验所求出的解既能使方程成立,又能使应用题有意义.6最好能用计算器再进行一次验算.。
整式方程 知识讲解
整式方程 知识讲解责编：杜少波【学习目标】1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.3、通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.4．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；5．学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.【要点梳理】要点一、一元整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数),这个方程叫做一元n 次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.要点二、二项方程1.概念：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注 ：①n ax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式：),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+3. 二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，x =； 当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.要点三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：)0(024≠=++a c bx ax3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。
各种方程(一元一次、二元一次、三元一次、一元一次、二元二次方程的解法)的解法
各种方程(一元一次、二元一次、三元一次、一元一次、二元二次方程的解法)的解法一元一次、二元一次、三元一次、一元一次、二元二次方程的解法整理稿方程含有未知数的等式叫方程。
等式的基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a＝b，c为一个数或一个代数式。
则：(1)a+c＝b+c(2)a-c＝b-c等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。
(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）。
(4)若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。
【方程的一些概念】方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
解方程的依据：1.移项； 2.等式的基本性质； 3.合并同类项； 4. 加减乘除各部分间的关系。
解方程的步骤：1.能计算的先计算； 2.转化——计算——结果例如： 3x=5*63x=30x=30/3x=10移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质1。
方程有整式方程和分式方程。
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
一元一次方程人教版5年级数学上册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第七章会学到,苏教版5年级下第一章定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。
通常形式是kx+b=0(k，b为常数，且k≠0）。
一般解法：⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
⒉去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
但顺序有时可依据情况而定使计算简便。
可根据乘法分配律。
⒊移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
⒋合并同类项将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。
⒌系数化一方程两边同时除以未知数的系数。
⒍得出方程的解。
一元一次方程的概念及解法
一元一次方程的概念及解法【知识点】：1、一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程。
（如果方程的两边都是关于未知数的整式，我们就把这样的方程叫整式方程。
） 2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
3、解方程：求方程解的过程叫做解方程。
4、等式的基本性质： （1）、等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）、等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
5、解一元一次方程的基本步骤： （1）：去分母；（2）：去括号；（3）：移项；（4）：合并同类项；（5）：系数化成1。
【例题解析】例1、判断下列各式是不是一元一次方程，是的打“√”， 不是的打“ｘ”。
(1) x+3y=4 ( ) (2) x 2-2x=6 ( ) (3) -6x=0 ( ) (4) 2m +n =0 ( ) (5) 2x-y=8 ( ) (6）y1+8=5y ( ) 例2、下列变形中，正确的是（ ） A 、若ac=bc ，那么a=b 。
B 、若cbc a =，那么a=b C 、a ＝b ，那么a=b 。
D 、若a 2=b 2那么a=b 【练习】：1、下列方程中是一元一次方程的是( ) A ．23x y = B ．()7561x x +=- C ．()21112x x +-= D ．12x x-= 2、下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是 （ ）3、若x (n-2)+2n=0是关于x 的方程一元一次方程，则n= ，此时方程的解是x=___。
4、某数x 的43%比它的一半少7，则列出求x 的方程应是（ ）A ：43%12x -B ：43%1()72x -=C ：43%12x x -D ：172x -=43%x例3、给出下面四个方程及其变形：①48020x x +=+=变形为； ②x x x +=-=-75342变形为；③253215x x ==变形为； ④422x x =-=-变形为； 其中变形正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③ 例4、解方程：（利用移项、合并同类项及系数化成1来解方程） （1）x ＋2x ＋4x=140 （2）3x ＋20=4x-25解： x+2x+4x=140↓合并↓系数化为1【练习】：1、下列叙述正确的是 。
(完整版)一元一次方程及其解法
3.1 一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x ＝3,3(x ＋2)＝4－x 等都是一元一次方程．解技巧 正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根． ②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的解．如x ＝3是方程2x －4＝2的解，而y ＝3就不是方程2x －4＝2的解． (3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】 下列各式哪些是一元一次方程( )．A ．S ＝12ab ；B.x －y ＝0；C.x ＝0；D.12x ＋3＝1；E.3－1＝2；F.4y －5＝1；G .2x 2＋2x ＋1＝0；H.x ＋2.解析：E 中不含未知数，所以不是一元一次方程；G 中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A 与B 中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H 虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D 中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C ，F 符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】 x ＝－3是下列方程( )的解． A ．－5(x －1)＝－4(x －2) B ．4x ＋2＝1C ．13x ＋5＝5 D ．－3x －1＝0解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的基本性质(1)等式的基本性质①性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c .②性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝bc(c ≠0)．③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a .(对称性) 如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .(传递性) 如：若∠1＝60°，∠2＝∠1，则∠2＝60°. (2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换． 谈重点 应用不等式的性质的注意事项(1)应用等式的基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，才能保证所得结果仍是等式．这里特别要注意：“同时”和“同一个”，否则就会破坏相等关系．(2)等式的基本性质2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以0，因为0不能作除数或分母．【例2－1】 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是( )．A ．若4y ＋2＝3y －1，则y ＝1B ．若7a ＝5，则a ＝57C ．若x 2＝0，则x ＝2D ．若x 6－1＝1，则x －6＝1解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的基本性质1，等式的两边都减去3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是1；C 根据等式的基本性质2，两边都乘以2，右边应为0，不是2；D 根据等式的基本性质2，左边乘以6，而右边漏乘6，故不正确；只有B 根据等式的基本性质2，两边都除以7，得到a ＝57.答案：B【例2－2】 利用等式的基本性质解方程：(1)5x －8＝12；(2)4x －2＝2x ；(3)x ＋1＝6；(4)3－x ＝7.分析：利用等式的基本性质求解．先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x ＝20. 方程的两边同时除以5，得x ＝4. (2)方程的两边同时减去2x ，得2x －2＝0. 方程的两边同时加上2，得2x ＝2. 方程的两边同时除以2，得x ＝1. (3)方程两边都同时减去1， 得x ＋1－1＝6－1，∴x＝6－1.∴x＝5.(4)方程两边都加上x，得3－x＋x＝7＋x,3＝7＋x，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x－7，∴－4＝x，即x＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－2－3x＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－”，移到右边后需变成“＋”，在移动的过程中同时变号，没有移动的项则不变号．所以由移项，得－3x＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x＝1－3，是属于移项；而把5x－15x＋11x＝11变成5x＋11x －15x＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区移项时应注意的问题在移项时注意“两变”：一变性质符号，即“＋”号变为“－”号，而“－”号变为“＋”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体变形名称具体做法变形依据注意事项去分母方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数等式的基本性质2不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号去括号可由小到大，或由大到小去括号分配律；去括号的法则不要漏乘括号内的项；括号前是“－”号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边等式的基本性质1 移项要变号合并同类项将方程化为ax＝b的最简形式合并同类项的法则只将系数相加，字母及其指数不变化系数为1 方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数等式的基本性质2 分子、分母不能颠倒值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】 下列各选项中的变形属于移项的是( )． A ．由2x ＝4，得x ＝2B ．由7x ＋3＝x ＋5，得7x ＋3＝5＋xC ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －1＝x ＋9解析：选项A 是把x 的系数化成1的变形；选项B 中x ＋5变成5＋x 是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C 是作的移项变形；选项D 是应用等式的对称性“a ＝b ，则b ＝a ”所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】 解方程2－x 3－5＝x －14.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x )－60＝3(x －1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12， 得4(2－x )－60＝3(x －1)． 去括号，得8－4x －60＝3x －3. 移项，得－4x －3x ＝－3－8＋60. 合并同类项，得－7x ＝49. 两边同除以－7，得x ＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x ＝a (a 是一个已知数)．(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中若含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】 解方程0.4x －90.5－x －52＝0.03＋0.02x0.03.分析：由于0.4x －90.5和0.03＋0.02x 0.03的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把小数化为整数，在式子0.4x －90.5的分子、分母中都乘以10，变为4x －905，在式子0.03＋0.02x0.03的分子、分母中都乘以100，变为3＋2x3，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．解：分母整数化，得 4x －905－x －52＝3＋2x3.去分母，得6(4x －90)－15(x －5)＝10(3＋2x )． 去括号，得24x －540－15x ＋75＝30＋20x . 移项，得24x －15x －20x ＝540－75＋30. 合并同类项，得 －11x ＝495. 两边同除以－11，得x ＝－45.5.与一元一次方程的解相关的问题 方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】 关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，则k ＝( )．A ．－2B ．43C ．2D ．－43解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－53.将x ＝－53代入方程3x ＋3k ＝1，得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选C. 答案：C【例5－2】 若关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，则m ＝__________. 解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8. 答案：86.一元一次方程的常用解题策略 我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1，可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣．【例6－1】 解方程34⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫12x －14－4＝32x ＋1. 分析：注意到34×43＝1，把34乘以中括号的每一项，则可先去中括号，34×43⎝⎛⎭⎫12x －14－34×4＝32x ＋1，再去小括号为12x －14－3＝32x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了． 解：去括号，得12x －14－3＝32x ＋1.移项，合并同类项，得－x ＝174.两边同除以－1，得x ＝－174.【例6－2】 解方程x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，5(x ＋3)－7(x ＋2)35＝2(x ＋1)－3(x ＋4)12，把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．解：方程两边分别通分，得5(x ＋3)－7(x ＋2)35＝2(x ＋1)－3(x ＋4)12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012. 去分母，得12(－2x ＋1)＝35(－x －10)． 去括号，得－24x ＋12＝－35x －350. 移项、合并同类项，得11x ＝－362.两边同除以11，得x ＝－36211.7．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值 利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点 列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题，发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识．【例7－1】 (1)当a ＝__________时，式子2a ＋1与2－a 互为相反数． (2)若6的倒数等于x ＋2，则x 的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a ＋1＋(2－a )＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x ＋2)＝1，解得x ＝－116.答案：(1)－3 (2)－116【例7－2】 已知x ＝－2是方程x －k 3＋3k ＋26－x ＝x ＋k2的解，求k 的值．分析：把x ＝－2代入原方程，原方程就变成了以k 为未知数的新方程，解含有未知数k 的方程，可以求出k 的值．解：把x ＝－2代入原方程，得 －2－k 3＋3k ＋26－(－2)＝－2＋k2. 去分母，得2(－2－k )＋3k ＋2－(－2)×6＝3(－2＋k )． 去括号，得－4－2k ＋3k ＋2＋12＝－6＋3k . 移项、合并同类项，得 －2k ＝－16.方程两边同除以－2，得k ＝8.【题01】下列变形中，不正确的是（ ） A ．若25x x =，则5x =．B ．若77,x -=则1x =-．C ．若10.2x x -=，则1012x x -=． D ．若x ya a=，则ax ay =． 【题02】下列各式不是方程的是（ ） A ．24y y -=B ．2m n =C ．222p pq q -+D ．0x =【题03】解为2x =-的方程是（ ） A ．240x -=B ．5362x +=C ．3(2)(3)5x x x ---=D ．275462x x --=- 【题04】若关于x 的方程223(4)0n x n -+-=是一元一次方程，求n 的值．课后作业【题05】已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m = ．【题06】若关于x 的方程2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=是一元一次方程，求m 的解．【题07】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k = ．【题08】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k = ．若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x = ．【题09】2(38)570a b x bx a ++-=是关于x 的一元一次方程，且该方程有惟一解，则x =（ ） A ．2140- B ．2140C ．5615-D ．5615【题10】解方程：135(3)3(2)36524x x ---=【题11】解方程：11 (4)(3) 34y y-=+【题12】解方程：122233x xx-+ -=-【题13】解方程：21511 36x x+--=【题14】解方程：11(0.170.2)1 0.70.03x x--=【题15】解方程：1(4)33519 0.50.125xxx+++=+【题16】解方程：0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-【题17】解方程：0.10.90.21 0.030.7x x--=【题18】解方程：4213 2[()] 3324x x x--=【题19】解方程：111[(1)6]20343x --+=。
【数学知识点】一元一次方程的解法总结
【数学知识点】一元一次方程的解法总结一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。
接下来分享一元一次方程的解法。
(1)一般方法：①去分母：去分母是指等式两边同时乘以分母的最小公倍数。
②去括号：括号前是“+”,把括号和它前面的“+”去掉后,原括号里各项的符号都不改变。
括号前是“-”,把括号和它前面的"-"去掉后,原括号里各项的符号都要改变。
(改成与原来相反的符号。
③移项：把方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
④合并同类项：通过合并同类项把一元一次方程式化为最简单的形式：ax=b (a≠0)。
⑤系数化为1。
(2)图像法：一元一次方程ax+b=0(a≠0)的根就是它所对应的一次函数f(x)=ax+b函数值为0时，自变量x的值，即一次函数图象与x轴交点的横坐标。
(3)求根公式法：对于关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)，其求根公式为：x=-b/a。
先和方程照个面，看看方程长啥样？去分母，剥括号，分母括号要去掉。
去分母，莫急躁，先把分母倍数找。
两边同乘公倍数，谨防漏乘某一处。
约去分母括号补，再去括号障碍除。
去括号，有讲道，确定是否要变号。
正括号，白去掉，括号里面要照抄。
负括号，要变号，里边各项都变到。
分母括号全没了，考虑移项是首要。
未知移到左边来，常数右边去报到。
移项一定要变号，不动各项要照抄。
两边分别合并好．未知系数再除掉。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
第1节 一元整式方程
第21章 第一节《整式方程》学习目标知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式；经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法；通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.知识概要1.一元整式方程的概念在方程①：12ax =(a 是正整数)和②：)0(22>=b s bx 中，x 是未知数：字母a 、b 是项的系数，s 是常数项，它们都表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫做字母系数。
方程①是含字母系数的一元一次方程，方程②是含字母系数的一元二次方程。
一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程． 一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数)，这个方程叫做一元n 次方程． 一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程．评析：解含字母系数的一元整式方程时，需要对字母系数的取值情况进行分类讨论。
2.特殊的高次方程的解法(1)二项方程定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．一般形式为：0=+b ax n(0,0≠≠b a ,n 是正整数) 解法：将0=+b ax n 变形为 a b x n -=，再求a b -的n 次方根，如果ab -存在n 次方根，可以利用计算器算出这个方程的根或近似根。
根的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根.(2)双二次方程定义：一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。
一元一次方程及其解法
3.1.1 一元一次方程及其解法学习目标1.知道一元一次方程，方程的解，解方程的概念。
2.掌握等式的基本性质，会用等式的基本性质变形。
3.通过等式的变形体会转化的数学思想。
重点；等式的基本性质。
难点；转化的数学思想。
学习过程一、预习导学问题导入我国民间流传着这样的一首打油诗；李白提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店于花，喝光壶中酒.试问壶中原有多少酒（斗是古代装酒的器皿）类似于这样的问题，同学们知道如何解决吗？本节课学习的一元一次方程将给大家答案。
知识点一一元一次方程的概念阅读课本本课时“问题1”和“问题2”的内容，思考；1.“问题1”中x表示的是_____________，2x-1表示的是_____________。
2.“问题1”中等式2x-1=19为什么成立？3.“问题2”中，36+x表示的是_____________，12+c表示的是__________。
4.“问题2”中等式36+x=2(12+x)为什么成立？5.以上的两个等式有什么共同特点？6.提示概念；只含有_______个未知数，未知数的次数都是_______，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，即元是指______数，次是指________的次数。
知识点二方程的解阅读课本本课时的相关内容，回答下列问题.1.使方程的左右两边________的未知数的值叫做方程的解，一元一次方程的解，也可以叫做________。
2.方程是________的等式，方程__________是等式（填“一定”或“不一定”）。
3.讨论；等式一定是方程吗？【应用解析】2是方程2x-1=1的解吗？1是方程2x-1=1的解吗？知识点三等式的基本性质与解方程阅读教材课本时的相关内容，回答下列问题，1.等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果________，用式子表示；如果a=b，那么__________.2.等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果________，如果a=b，那么__________（c≠0）。
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一元整式方程的解法
【方程结构图】：
代数方程⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无理方程分式方程高次方程二次方程一次方程整式方程有理方程 【例题分析】：
一、解下列关于x 的方程：
(1))x 1(3x )1a 3(-=- (2)222x 31x b -=-
分析：对于字母系数的方程需要讨论字母系数的取值范围与方程的解的关系. 解：(1)x x a 33)13(-=-
3)23(=+x a
当3a+2=0即a=-
3
2时，此方程无解； 当3a+2≠0即a ≠-32时，x=233+a . （2）13222=+x x b
（b 2+3）x 2=1
x 2=3
12+b ∵b 2
+3＞0，∴x=±3322++b b . 二、解下列方程
(1)32)
x 21(24=- (2)5x 3x 224=- (3)0x x 5x 323=-+ (4)018x 6x 6x 223=+-- (5) (x 2–x) 2–8 (x 2–x)+12=0
分析：高次的方程的基本解法：因式分解降次.
解：（1）16)21(4
=-x 221±=-x ，解得x 1=23，x 2=-2
1.
说明：运用开平方的方法。
（2）053224=--x x
（2x 2-5）（x 2+1）=0
2x 2-5=0解得x=±
210. 或者：令x 2=y ，则原方程转化为2y 2-3y-5=0，解得y=25或-1，代入得x 2=2
5 或x 2=-1. 说明：运用因式分解或者换元法（因为是双二次方程）
（3）0)153(2=-+x x x
x=0或01532
=-+x x x 1=0，x 32、=6
375±- 说明：运用提取公因式和求根公式法。
（4）0)186()62(23=---x x x
2x 2（x-3）-6（x-3）=0
（x-3）（2x 2-6）=0
x 1=3，x 2=3，x=-3.
说明：运用分组分解法
（5）令x 2–x=y ，则原方程变为 y 2–8y+12=0
∴y 1=6，y 2=2
当y=6时，x 2–x=6，即x 2–x –6=0
∴x 1=3，x 2=-2
当y=2时，x 2–x=2，即x 2–x –2=0
∴x 3=2，x 4=-1
∴原方程的解为x 1=3，x 2=-2，x 3=2，x 4=-1。