矩阵分解的研究及应用

矩阵分解的研究及应用摘要：将一矩阵分解为若干个矩阵的和或积，是解决某些线性问题的重要方法，其技巧性、实用性强。

本文首先分成四部分内容来阐述矩阵分解的形式及一些很常见的分解。

最后举例说明矩阵分解的应用。

关键词：特征值分解 秩分解 三角分解 和分解关于矩阵分解的形式的文献已有很多，但对于这个问题的分析各不相同。

本文从四个方面来论述矩阵的分解的形式，并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性。

一、特征值分解性质1：任意n 阶矩阵A ，存在酉矩阵T ，使得110n A T T λλ-*⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,,n λλ 为矩阵A 的特征值。

称形如这样的分解叫做矩阵A 的特征值分解。

性质1'：任意n 阶矩阵A ，存在酉矩阵T ，使得11s J A T T J -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中11i i i i i i n n J λλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1,2,,i s = 且1,,s λλ 为矩阵A 的特征值。

对于对称矩阵有如下结论：定理1.1：若A 为n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T ，使得11n A T T λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,,n λλ 为矩阵A 的特征值。

证明 由性质1,知 存在酉矩阵T ，使得110n A T T λλ-*⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭又由于A 为n 阶实对称矩阵，因此111111000n n n A T T T T A T Tλλλλλλ---'⎛⎫**⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 从而，得 1100n n λλλλ*⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭因此11n A T T λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭得证。

定理1.2：矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵B ，使得A B B '=。

证明 必要性 因为A 为正定矩阵，由定理1.1，得 存在可逆的正交矩阵T ，使得11n A T T λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且0i λ>，1,2,,i n =令1B T T -⎫⎪= ⎪ ⎝，则()1110B T T T T T T ---'⎛⎫⎫⎫⎫⎪⎪⎪⎪'''=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎝⎝⎝⎭从而有11B B T TT T --⎫⎫⎪⎪'= ⎪⎪ ⎝⎝21112n T T T T A λλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭充分性 因为A B B '=， 则 ()()A B B B B B B A '''''''==== 因此A 为对称矩阵。

又任意不为零的向量x ，有 ()()x Ax x B Bx Bx Bx ''''==令12(,,)Bx x x = ，又B 为非奇异矩阵， 从而知 12(,,)0Bx x x =≠ 因此 22212()()0n x Ax Bx Bx x x x ''==+++>所以A 为正定矩阵。

得证。

定理1.3：设A 是n 阶实对称矩阵，则A 是正定矩阵的充分必要条件是存在正定矩阵B ，使得k A B =，k 为任意正整数。

证明 必要性 因为A 为正定矩阵，由定理1.1，得 存在可逆的正交矩阵T ，使得11n A T T λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且0i λ>，1,2,,i n =对任意的正整数k，令1B T T -⎫⎪= ⎪ ⎝，则有1111kkkknB T T T T T T Aλλ---⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪====⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎝⎭⎝⎭必要性由于B为正定矩阵，因此对任意的非零向量x，有0x Bx'>。

又kA B=，则有()()kk kA B B B A'''====即A为对称矩阵且有kx Ax x B x''=①当k为奇数时，1122()()k kkx Ax x B x B x B B x--'''==又B为正定矩阵，因此120kB x-≠，即有22()()0k kkx Ax x B x B x B B x'''==>②当k为偶数时，22()()k kkx Ax x B x B x B x'''==又B为正定矩阵，因此20kB x≠，即有22()()0k kkx Ax x B x B x B x'''==>从而，知对任意不为零的向量x，有0x Ax'>。

因此A是正定矩阵。

得证。

定理1.4：设A为一个n阶可逆矩阵，则存在一个正定矩阵S和一个正交矩阵U，使得A US=或A SU=。

证明由定理1.2，知B A A'=为正定矩阵由定理1.3,得存在正定矩阵S，使得2B S=令1U AS-=，则()11U AS S A--'''==从而有11121U U S A AS S S S E----''===因此1U AS-=为正交矩阵。

且又1US AS S A-==同理可证A SU=的结论。

得证。

定理1.5：设A是n阶实对称矩阵，12,,,nααα是A的n个单位正交特征向量，对应的特征值为12,,,nλλλ。

则111222n n nAλααλααλαα'''=+++。

证明因为A为n阶实对称矩阵，由定理1.1,知存在正交矩阵T，使得11nA T Tλλ-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭设12nTααα⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，其中iα为T的的第i个行向量，则112(,,,)nT Tααα-''''== ，于是有11212111222(,,,)n n n nnnAαλααααλααλααλααλα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪''''''==+++⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭因T 的行向量是A 的特征向量，且T 为正交矩阵，故12,,,n ααα 为A 的单位正交特征向量。

得证。

定理1.5：A 为正定矩阵的充分必要条件是存在n 个线性无关的向量12,,,n ααα ，使得1122n n A αααααα'''=+++ 。

证明 因为A 为正定矩阵，由定理1.2，知 存在可逆的矩阵B ，使得A B B '=令12(,,,)n B ααα'= ，又由于B 为可逆矩阵，因此12,,,n ααα 线性无关。

又 121211222(,,,)n n n A B B αααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪'''''''===+++ ⎪ ⎪⎝⎭得证。

定理1.6：秩为r 的n 阶实对称矩阵A 可表示成r 个秩为小于等于1的对称矩阵之和。

其组合系数为A 的特征值。

证明 由定理1.1，知 存在正交矩阵T ，使得 11n A T T λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令12(,,,)n T ααα'= ，且设A 的秩为r ，则不妨令 0,1,2,,0,1,2,,i i r i r r n λ≠=⎧=⎨=++⎩有1110000r rA T T T T λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪'==⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11212111222(,,,)00rn r r r n λααλαααλααλααλααα⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪''''''==+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭由于秩()min i i αα'≤秩{,}1i i αα'≤，1,2,,i r =从而有 秩()min i i i λαα'≤秩{,}1i i αα'≤， 且 111222r r r A λααλααλαα'''=+++ 组合系数为A 的特征值。

得证。

二、矩阵的秩分解性质2：任一矩阵m n A ⨯，都存在可逆矩阵P 、Q ，使得000rEA P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中r 为矩阵A 的秩。

称形如这样的分解为矩阵的秩分解。

定理2.1：秩为r 的实矩阵m n A ⨯都可分解成m r r n A P Q ⨯⨯=。

证明 由性质2，知 存在可逆矩阵P 、Q ，使得000rEA P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭因此，得 ()00000rr r m r r n EE A P Q P E Q P Q ⨯⨯⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得证。

定理2.2：秩为r 的实矩阵m n A ⨯可分解成r 个秩为1的矩阵之和。

证明 由性质2，知 存在可逆矩阵P 、Q ，使得000rEA P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭因此，得 10010000r ri i n n E A P Q P Q =⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∑而秩00100i n n P Q ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭秩001100i n n ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，1,2,,i r = 得证。

三、三角分解性质3：设A 为n 阶实可逆矩阵，则可分解为A QR =，其中Q 为正交矩阵，R 为一个对角线上全为正数的上三角形矩阵。

称形如这样的分解为矩阵的三角分解。

定理3.1：实矩阵m n A ⨯可以分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵及一个正交矩阵的积。

即A URV =，其中U 、V 为正交矩阵，r 为A 的秩且100ra a R ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，0i a >，1,2,,i r = 。

证明 由性质2，知 存在可逆矩阵P 、Q ，使得000rEA P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭由性质3，对P 、Q '作三角分解，使得11P Q R =，22Q Q R '=，其中1Q 、2Q 为正交矩阵，1R 、2R 为上三角矩阵，从而有1122000rEA Q R R Q ⎛⎫''= ⎪⎝⎭将1R 、2R '分块成与等价标准形能积的形式：12130B B R B ⎛⎫=⎪⎝⎭、12230C C R C ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，1B 、1C 为r 阶方阵。

记11G B C '=，由定理1.2，得 G G '为实对称的正定矩阵。