矩阵分解及其简单应用
矩阵的三角分解法
矩阵的三角分解法矩阵的三角分解法是一种用于将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
这种分解方法可以帮助我们更好地理解和解决矩阵相关的问题。
下面我将按要求逐段解释这个问题。
1. 什么是三角分解法三角分解法是一种将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
在三角分解中，我们将原始矩阵分解为两个三角矩阵，一个是上三角矩阵，另一个是下三角矩阵。
上三角矩阵的主对角线以下的元素全为零，而下三角矩阵的主对角线以上的元素全为零。
这种分解法在解线性方程组、计算矩阵的行列式和求逆等问题中非常有用。
2. 如何进行三角分解三角分解的具体过程是通过一系列的行变换将原始矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵。
这些行变换包括行交换、行缩放和行替换等操作。
首先，我们选择一个主元素，通常是第一行第一列的元素。
如果主元素为零，则需要进行行交换，将一个非零元素移动到主元素的位置。
然后，我们使用行缩放操作，将主元素所在列的其他元素变为零。
具体操作是将主元素所在行的每个元素除以主元素的值，然后将结果乘以其他行的主元素所在列的元素，并将其减去相应的行。
重复以上步骤，直到得到上三角矩阵或下三角矩阵。
最后，我们可以将得到的上三角矩阵和下三角矩阵合并为一个新的上三角矩阵或下三角矩阵。
3. 三角分解的应用领域有哪些三角分解法在数值计算和线性代数中有广泛的应用。
它可以用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式和求逆等问题。
在求解线性方程组时，我们可以将系数矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，然后使用回代法或前代法来求解方程组。
这样可以简化计算过程，提高求解的精度和效率。
在计算矩阵的行列式时，我们可以通过三角分解将矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后将主对角线上的元素相乘即可得到行列式的值。
这种方法比直接计算行列式的方法更简单、高效。
在求解矩阵的逆时，我们可以将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，然后通过对分解得到的上三角矩阵和下三角矩阵进行反向的行变换，得到原始矩阵的逆矩阵。
浅谈矩阵的LU分解和QR分解及其应用
浅谈矩阵的LU 分解和QR 分解及其应用基于理论研究和计算的需要，往往有必要把矩阵分解为具有某种特性的矩阵之积，这就是我们所说的矩阵分解.本文将介绍两种常用的矩阵分解方法，以及其在解线性方程组及求矩阵特征值中的应用.1.矩阵的LU 分解及其在解线性方程组中的应用 1.1 高斯消元法通过学习，我们了解到利用Gauss 消去法及其一些变形是解决低阶稠密矩阵方程组的有效方法.并且近些年来利用此类方法求具有较大型稀疏矩阵也取得了较大进展.下面我们就通过介绍Gauss 消去法，从而引出矩阵的LU 分解及讨论其对解线性方程组的优越性. 首先通过一个例子引入：例1,解方程组(1.1)(1. 2)(1.3)解. 1Step (1.1)(2)(1.3)⨯-+ 消去(1.3)中未知数,得到23411x x --=- (1.4)2Shep . (1.2)(1.4)+ 消去(1.4)中的未知数2x有12323364526x x x x x x ++=-=-=-⎧⎪⎨⎪⎩ 显然方程组的解为*x =123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上述过程相当于 111604152211⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭~111604150411⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭~111604150026⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭2-（）+ ()i i r 表示矩阵的行由此看出，消去法的基本思想是：用逐次消去未知数的方法把原方程化为与其等价的三角方程组.下面介绍解一般n 阶线性方程组的Gauss 消去法.设111n n1nn a a a a A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 1n x X x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1n b b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则n 阶线性方程组AX b = (1.5)并且A 为非奇异矩阵.通过归纳法可以将AX b =化为与其等价的三角形方程，事实上： 及方程(1.5)为()()11A X b =,其中()1A A = ()1b b =(1) 设(1)110a≠，首先对行计算乘数()()11i1111i a m m =.用1i m -乘(1.5)的第一个方程加到第()2,3,,i i n =⋯个方程上.消去方程(1.5)的第2个方程直到第n 个方程的未知数1x .得到与(1.5)等价的方程组()()()11n 12n 111nn 0a a x x a ⎛⎫⋯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋯⎝⎭⎝⎭=()()112n b b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭简记作()()22Ab = (1.6)其中()()()()()()211211111 ijij i ij i i i a m b b m a a b =-=- (2) 一般第()11k k n ≤≤-次消去，设第1k -步计算完成.即等价于()()k k AX b = (1.7)且消去未知数121,,,k x x x -⋯.其中()()()()()()()()()()1111112122222k k k k kk knk nknna n n a a a a a A a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设()0k kk a ≠计算()() (i=/1,,)k k ik ikkkaa k m n =+⋯,用()()(1,,)a n ikik k kki k n a m ==+⋯消去第1k +个方程直到第n 个方程的未知数k x .得到与(1.7)等价的方程组()()1k 1k A X b ++= 故由数学归纳法知，最后可以把原方程化成一个与原方程等价的三角方程组.但是以上分析明显存在一个问题，即使A 非奇异也无法保证()0i ii a ≠,需要把非奇异的条件加强.引理1 约化主元素()01,,)i ii a k ≠=⋯（i 的充要条件是矩阵A 的顺序主子式0i D ≠.即1111110,0ikk kkk a a D a a D a =≠=≠⋯证明 利用数学归纳法证明引理的充分性.显然，当1k = 时引理的充分性是成立的，现在假设引理对1k -是成立的，求证引理对k 亦成立.有归纳法，设()()01,21iii i a k ≠=⋯-于是可用Gauss 消去法将中，即()()()()()()()()()()()11111121n22222n 1k k k k k kk knnknn a a a a a A a a a a A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即()()()()()()()()11121231112211223112233222a a D a D a a a a a ===()()()()()()()()()11111122212222k 11122k k k kkk kka a a a a a D a a a ==⋯ (1.8) 由设0(1,,)i i D k ≠=⋯及式(1.8)有()0k kk a ≠显然，由假设()()01,2iiii k a ≠=⋯，利用(1.8)亦可以推出0(1,,)i i D k ≠=⋯ 从而由此前的分析易得；定理1 如果n 阶矩阵A 的所有顺序主子式均不为零，则可通过Gauss 消去法（不进行交换两行的初等变换），将方程组(1.5)约化成上三角方程组，即()()()()()()()()()1111111121122222222b b b n n n n nn n n a a a x x a a x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1.9) 1.2 矩阵LU 分解从而由以上讨论即能引出矩阵的LU 分解，通过高等代数我们得知对A 施行行初等变换相当于用初等矩阵左乘A ，即()()()()121211L A Lb A b == 其中 211n11101L m m ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪-⎝⎭一般第k 步消元，，相当于()()()()11k kk k k kL A A L b b ++==重复这一过程，最后得到()()()()11211121n n n n Ab L L L A L L L b --⎧⋯=⎪⎨⋯=⎪⎩ (1.10) 其中k 1,111m 1n k k km L +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭将上三角形矩阵()n A U 记作,由式(1.9)得到111121=U n A L L L LU ----⋯=,其中211111211211m 1n n n m L L m L L ----⎛⎫⎪⎪=⋯= ⎪⎪⎝⎭由以上分析得；定理2 （LU 分解） 设A 为n 阶矩阵，如果A 的顺序主子式i 0(1,2,,1)D i n ≠=-.则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的.证明 由先前的分析得出存在性是显然的，即A LU =.下证唯一性,设A LU CD == 其中L , C 为单位下三角矩阵，U ,D 为上三角矩阵.由于1D -11D C L U --=上式右端为上三角矩阵，左端为单位下三角矩阵，从而上式两端都必须等于单位矩阵，故U D =,L C =.证毕.例2 对于例子1 系数矩阵矩阵111041221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭由Gauss 消去法，得结合例1，故100111010041211002A LU ⎛⎫⎛⎫⎪⎪==- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭对于一般的非奇异矩阵，我们可以利用初等排列矩阵kki I (由交换单位矩阵I的第k 行与第k i 行得到)，即()()()()()()()()111212111111,,kk k k k ki k i k k i i k A L b L I A I b L I A I b A L b++⎧==⎪⎨==⎪⎩ (1.11) 利用(1.11)得()1111,11n nn n i i L I L U I A A ---==.简记做.其中下面就n 情况来考察一下矩阵.()()4321444343544332211443443243)(i i i i i i i i i i I L I L I L I A I L I I L I I A A L L I ===⨯4324324321432()i i i i i i I I I L I I I 43214321 )(i i i i I I I I A从而记从而容易的为单位下三角矩阵,总结以上讨论可得如下定理.定理3 如果A 非奇异矩阵，则存在排列矩阵P 使PA LU = 其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵.1.3 矩阵LU 分解的应用以上对非奇异矩阵A 的LU 分解进行了全面的讨论，一下我们就简单介绍一下应用.对于矩阵A 一旦实现了LU 分解，则解线性方程的问题,便可以等价于：(1)Ly b = 求y (2)=Ux y , 求x (1.12)即，设A 为非奇异矩阵，且有分解式A LU =，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵。
矩阵的谱分解
矩阵的谱分解
矩阵的谱分解是一种广泛应用的数学技术，可以将矩阵表示为一个较小的矩阵的线性组合。
它可以用来解决复杂的矩阵运算，从而节省时间和资源。
它最早由十九世纪欧洲数学家拉普拉斯发明，历经100多年的发展，已经成为一种常用的数学工具，广泛应用于很多技术领域，如信号处理、数据挖掘、计算机视觉等。
矩阵的谱分解既可以用来解决一个简单的矩阵运算问题，也可以用来解决更复杂的矩阵运算问题。
它的基本思想是将复杂的矩阵拆分成几个简单的矩阵，通过这些简单矩阵的组合，最终求解复杂的矩阵运算问题。
此外，矩阵的谱分解还可以用于求解大规模的矩阵，例如在做矩阵运算时我们可以用它来提高计算效率。
结合其他算法，甚至可以用来解决复杂的优化问题，比如寻找最短路径等。
矩阵的谱分解也广泛应用于数据挖掘领域，可以用来发现聚类、识别异常点等，从而有效地挖掘有用的信息。
总之，矩阵的谱分解是一种有效的数学技术，可以用来解决复杂的矩阵问题，既有助于提高计算效率，也有助于提高应用效率。
矩阵分解 矩阵补充
矩阵分解矩阵补充
矩阵分解，拆解线性代数的奥秘。
矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和计算机科学领域扮
演着重要的角色。
而矩阵分解则是将一个复杂的矩阵拆解成更简单
的形式，从而使得问题的求解变得更加高效和简单。
矩阵分解的方
法有很多种，其中最常见的包括LU分解、QR分解和奇异值分解等。
LU分解是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩
阵U的乘积。
这种分解在求解线性方程组和矩阵求逆时非常有用，
能够大大简化计算的复杂度。
QR分解则是将一个矩阵分解成一个正
交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，它在求解最小二乘问题和特
征值计算中发挥着重要作用。
而奇异值分解则是将一个矩阵分解成
三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵，另一个
是其转置矩阵，它在数据压缩和特征提取中有着广泛的应用。
除了以上提到的分解方法，还有许多其他的矩阵分解技术，它
们在不同的领域和问题中都有着重要的作用。
矩阵分解的发展不仅
推动了数学理论的进步，也为计算机科学和工程技术的发展提供了
重要的数学工具。
通过矩阵分解，我们能够更好地理解和解决复杂
的实际问题，为人类的科学探索和技术创新提供了有力的支持。
因此，矩阵分解不仅仅是一种数学工具，更是一种深刻的思维方式，它为我们揭示了线性代数的奥秘，让我们能够更好地理解世界的本质。
线性代数中的矩阵分解与应用
线性代数中的矩阵分解与应用矩阵分解是线性代数中重要的概念，它可以将一个矩阵分解成多个简单的矩阵，从而方便我们进行运算和应用。
在本文中，我们将探讨矩阵分解的几种常见方法以及它们在不同领域的应用。
一、LU分解LU分解是最基本的矩阵分解方法之一，它将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
具体地说，给定一个矩阵A，LU分解将A分解为A=LU的形式，其中L为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵。
LU分解在求解线性方程组、矩阵求逆以及计算行列式等方面有广泛的应用。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的乘积。
QR分解在很多数值计算问题中都有重要应用，比如最小二乘拟合、矩阵特征值计算以及信号处理等。
通过QR分解，我们可以将复杂的运算转化为简单的乘法和求解上三角矩阵的问题，从而提高计算效率。
三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和另一个正交矩阵V的转置的乘积。
奇异值分解在数据降维、图像压缩、推荐系统等领域中被广泛应用。
通过奇异值分解，我们可以发现矩阵的特征结构，并根据特征值的大小选择保留重要信息，去除冗余信息，从而简化问题并提高计算效率。
四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个由特征向量组成的矩阵和一个由对应特征值构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解在矩阵的谱分析、信号处理、振动分析等领域有广泛应用。
通过特征值分解，我们可以得到矩阵的特征向量和特征值，从而研究矩阵的性质和行为。
矩阵分解在实际应用中具有重要意义。
例如，在机器学习中，矩阵分解可以应用于协同过滤算法，通过对用户与物品评分矩阵进行分解，可以发现用户和物品之间的潜在关联关系，从而实现个性化的推荐。
此外，矩阵分解还可以用于图像处理中的图像压缩和去噪，通过对图像矩阵进行分解，可以提取主要特征并减少数据量，从而节省存储空间和提高图像质量。
总结起来，线性代数中的矩阵分解是一种重要的数学工具，具有广泛的应用。
矩阵的分解分析
矩阵的奇异值分解
H mn 定义 2.2.5 设 A Cr ，A A 的特征值为
1 2 r r 1 n 0
则称 i i (i 1,2,, n) 为 A的奇异值；当 A为零矩阵时，它 的奇异值都是0. 定理 2.2.6 设 A Crmn (r 0) ，则存在m 阶酉阵 U 和 n阶 酉矩阵 V ， 0 U H AV 使得 （2-2-5）
矩阵QR分解的求法
（1）Schmidt正交化法
（2）用初等旋转矩阵左乘矩阵A （3）用初等反射矩阵左乘矩阵 A
矩阵的满秩分解
定理 2.2.4设 m n 矩阵 A C mn ， rankA r (r 0) .如果存 在一个列满秩矩阵 C C mr (rankC r )
D C rn (rankD r ) 使得
矩阵的分解及其应用
内容简介
矩阵分解对矩阵理论及近世计算数学的发展起了关键作用 .矩阵 分解是把一个矩阵写成性质比较熟悉或结构比较简单的另一些矩阵的 乘积，其本质是通过建立相应的矩阵分解使有些问题能够得以简化和 分解，从而更加清晰地得到矩阵的相关特性.本文的具体安排如下：
（1）第一章的主要内容是矩阵的概念、分类、运算以及矩阵的秩 及其特征值和特征向量的等；
V ；
（2）求 A的秩
1 , 2 ,, r diag
r ，奇异值
i
i (i 1,2,, n) 及
（3）计算 i
1 Ai (i 1,2,, n) ，从而得正交矩阵U ； i
A U 0 0 T V 0
(4)的奇异值分解为
矩阵分解的应用
5 0 0 0
2 1 5 2 5 1
矩阵分析中的特征值分解理论
矩阵分析中的特征值分解理论特征值分解是矩阵分析中的一项重要理论，它在很多领域都有广泛的应用。
特征值分解可以将一个给定的矩阵分解为特征值和对应的特征向量的乘积。
在本文中，我们将介绍特征值分解的理论基础、计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、特征值分解的理论基础特征值分解是线性代数的一个重要概念，它是对于方阵的一种分解方法。
对于一个n阶方阵A，如果存在一组非零向量x和实数λ，使得Ax=λx成立，那么λ被称为矩阵A的特征值，x被称为对应的特征向量。
特征值分解是将矩阵A表示为特征值和特征向量的乘积的形式，即A=QΛQ^(-1)，其中Q是由特征向量组成的矩阵，Λ是由特征值组成的对角矩阵。
特征值分解的理论基础可以通过线性代数的性质进行证明。
首先，我们知道特征向量是方阵A的一个非零向量，那么对于一个n阶方阵A，它有n个特征值和对应的特征向量。
其次，特征向量所形成的向量空间与矩阵的特征值是一一对应的。
最后，对于方阵A的特征向量组成的矩阵Q，它是可逆的，即存在一个逆矩阵Q^(-1)，使得Q^(-1)AQ=Λ。
二、特征值分解的计算方法特征值分解可以通过一些数值计算方法来求解。
常见的计算方法包括幂迭代法、QR迭代法和雅可比迭代法等。
这些计算方法的本质是通过迭代逼近的方式求解特征值和特征向量。
幂迭代法是一种简单而有效的特征值计算方法。
它基于这样的理论：如果一个向量x接近矩阵A的特征向量，那么通过多次迭代计算Ax，我们可以得到更接近x的向量。
幂迭代法的思想是不断迭代计算Ax，并通过归一化操作使得迭代结果逼近特征向量。
在每次迭代过程中，特征值可以通过向量x的模长的变化情况来估计。
当向量x收敛时，其模长趋于不变，这时我们可以得到一个近似的特征向量和特征值的组合。
QR迭代法是另一种常用的特征值计算方法。
它通过将矩阵A分解为QR的形式，并不断迭代地求解QR，直至QR的矩阵元素足够接近对角形式。
在迭代过程中，特征向量可以通过QR的迭代过程中的正交矢量来逼近。
矩阵的QR分解及应用
目录摘要 .............................................................................................................................. I I Abstract ...................................................................................................................... I I １引言............................................................................................ 错误！未定义书签。
2 利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解 (1)3 利用Householder变换求矩阵的QR分解 ................... 错误！未定义书签。
4 利用Givens变换求矩阵的QR分解.............................. 错误！未定义书签。
5 利用初等变换求矩阵的QR分解 .................................... 错误！未定义书签。
6 矩阵QR分解的应用 ......................................................... 错误！未定义书签。
参考文献....................................................................................... 错误！未定义书签。
结束语............................................................................................ 错误！未定义书签。
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矩阵分解及其简单应用
x=b，即有如下方程组：Ly=bUx=y 先由Ly=b依次递推求得y1, y2,……，yn，再由方程Ux=y依次递推求得 xn，xn-1，……，
x1、必须指出的是，当可逆矩阵A不满足∆k≠0时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有：
Ly=pbUx=y 这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可
以简单很多了。
2、矩阵的QR分解矩阵的QR分解是指，如果实
非奇异矩阵A可以表示为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为实非奇
异上三角矩阵。
QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Givens方法和Householder方法，而且各有优点和不足。
2、1．Schmidt正交方法的QR分解Schmidt正交方法解求QR分解原
理很简单，容易理解。
步骤主要有：1）把A写成m个列向量a=
（a1，a2，……，am），并进行Schmidt正交化得=（α1，
α2，……，αm）；2)
单位化，并令Q=（β1，β2，……，βm），R=diag（α1，
α2，……，αm）K，其中a=K；3）A=QR、这种方法来进行QR分解，过程相对较为复杂，尤其是计算量大，尤其是阶数逐渐变大时，就显得更加不方便。
2、2．Givens方法的QR分解Givens方
法求QR分解是利用旋转初等矩阵，即Givens矩阵Tij(c,s)来得
到的，Tij(c,s)是正交矩阵，并且det(Tij(c,s))=1。
Tij(c,s)的第i行第i列和第j行第j列为cos，第i行第j列和第j行第i
列分别为sin和-sin，其他的都为0、任何n阶实非奇异矩阵A可通过左连乘Tij(c,s)矩阵（乘积为T）化为上三角矩阵R，另
Q=T-，就有A=QR。
该方法最主要的是在把矩阵化为列向量的基础上找出c和s，然后由此把矩阵的一步步向上三角矩阵靠近。
Givens方法相对Schmidt正交方法明显的原理要复杂得多，但是却计算量小得多，矩阵Tij(c,s)固有的性质很特别可以使其在很多方面的应用更加灵活。
2、3．Householder方法的QR分解Householder方法分解矩阵是利用反射矩阵，即Householder矩阵H=E-2uuT，其中u是单位列向量，H是正交矩阵，detH=-1。
可以证明，两个H矩阵的乘积就是Givens矩阵，并且任何实非奇异矩阵A可通过连乘Householder矩阵（乘积为S）化为上三角矩阵R，则A= QR。
这种方法首要的就是寻找合适的单位列向量去构成矩阵H，过程和Givens方法基本相似，但是计算量要小一些。
矩阵的QR分解可以用来解决线性最小二乘法的问题，也可以用来降低矩阵求逆的代价。
矩阵的求逆是件不小的工程，尤其是阶数慢慢变大的情况时，而用先把矩阵QR分解成正交矩阵和上三角矩阵，就容易多了，况且正交矩阵的转置就是逆，这一点是其他的矩阵分解无法比拟的。
在解求线性方程组中，如果系数矩阵的阶数比较大，可以利用QR分解来使计算简单化。
另外，QR分解考虑的是n阶矩阵，其他的矩阵是不能用这种方法进行分解，由于QR 分解的这一前提条件，使得下面提到的满秩矩阵分解和奇异值分解就有了其特殊的意义。
3、满秩分解满秩分解也称最大秩分
解，前面的QR分解是面对n阶矩阵的，而满秩分解可以处理长方阵。
满秩分解是指，把秩为r的mxn矩阵A分解成A=FG，其中F 是秩为r的mxr阶矩阵，G是秩为r的rxn阶矩阵。
满秩矩阵的解求可以通过初等变换法，但是必须经过多次求逆，所以就利用Hermite行标准形来完成。
把矩阵A经过变换成为Hermite行标准形B，B的j1,j2,……，jr列为单位矩阵Im的前r列，另A的第j1,j2,……，jr列为矩阵F，B的前r行为矩阵G，则有A=FG。
在广义逆中，满秩分解有很多的应用。
在证明A｛1｝的存在性时就需要用到Hermite行标准形来得到“对于任一的矩阵，总是存在非奇异矩阵Q和置换矩阵P，使QAP=Er 0 0 0”，之后才能构造X=PEr 0 0 LQ来证明A｛1｝是存在的。
用矩阵的满秩分解还能构造A+，若矩阵A有满秩分解，即A= FG，则可以证明有
A+=GH(FHAGH)-1FH。
4、奇异值分解矩阵的奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在最优化问题、特征值问题、最小二乘问题和广义逆问题及统计学问题中都有重要的应用。
对秩为r 的mxn阶矩阵A进行奇异值分解的步骤是：1）求得AHA的特征值γ1，γ2,……γn,及对应的特征向量并正交单位化，得矩阵V，使得VHAHAV=M2000,M=diag(γ1，γ2,……γn)；2）将V的前r 列作为V1，令U1=AV1H-1，再扩张U1成m阶的矩阵U；3）那么A=UM000VH。
从计算过程中可以看出，矩阵的奇异值分解解求是由矩阵的特征值开始的，因此这种分解自然和特征值的问题有莫大联系的。
在广义逆问题中，矩阵的奇异值分解的作用一样不可代
替。
在证明A｛1，2，3｝的存在性时，首先就需要用奇异分解来得到一个结论：r(AHA)= r(AAH)= r(AH)= r(A)，由此得到的AH 可以由AHA表示，再去证明A｛1，2，3｝应该满足的条件就方便得多了。
另外，在构造A+的过程中也有应用，若A有奇异值分解A+=UM 0 0 0VH，则有可以得到A+=VM-1 0 0 0。
5、奇异值分解应用于秩亏网平差在经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上，比如水准网必须至少知道已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一个点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。
此时，误差方程的系数矩阵B总是列满秩的，由此得出的法方程系数阵N=BTPB是个对称的满秩方阵，即RN=R(B)，法方程有唯一解。
当网中没有必要的起算数据时（引起秩亏的原因），网中所有点均为待定点，就为自由网，B为列亏矩阵，秩亏数为d(必要的起算数据个数),误差方程为：V=Bx~-l组成的法方程为：
BTPBx~-BTPl=0若是按照直接解法用如下的方程组来解求x的解：V=Bx~-lBTPBx~-BTPl=0VTPV=min （a）可以得到|BTPB|=0，即该方程组有解但不唯一，虽然满足最小二乘准则，但有x~无穷多组解，无法求得x~的唯一解，这是与经典平差的根本区别。
为了求得唯一解，必须增加新的约束条件。
秩亏自由网平差就是在满足最小二乘VTPV=min和最小范数x~Tx~=min的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，也就是通过对如下的方程组来解求x~的唯一解：V=Bx~-lBTPBx~-BTPl=0VTPV=minx~Tx~=min (b)这是个
复杂的方程组，如果按部就班按照正常求解的方法是很困难的，下面我们把矩阵的奇异值分解融合进来。
我们首先根据前面矩阵奇异分解的步骤求得矩阵B的奇异值分解：B=UM000VH,在此基础上令矩阵G=VM-1000UH。
通过矩阵理论的学习我们知道，我们可以通过如下的方式来验证G就是B的广义逆：（1）BGB= UM000VH VM-1000UHUM000VH=UM000VH=B(2)
GBG=VM-1000UH UM000VHVM-1000UH=VM-1000UH=G(3)
(BG)H=(UM000VHVM-1000UH)H=BG(4)
(GB)H=(VM-1000UHUM000VH)H=GB我们知道，对于不相容方程组Bx=b,使得x=Gb为极小范数最小二乘的充要条件是G为B的广义逆。
而我们已经得到了G就是B的广义逆，那么就说明G是满足该方程式的极小范数最小二乘解。
也就是说，我们得到未知参数的估值x~=Gl=VM-1000UHl。
通过这种方式，我们求解方程组（b）就简单多了，矩阵的奇异分解令问题很容易的简单化了。
6、结论矩阵的分解还有很多的应用，比如可以用来求矩阵的秩，对于阶数偏大的矩阵，即使用初等变换的方法，也是计算量很大的，而把矩阵分解后可以使计算简单。
再如，在线性代数中求矩阵的n次幂是很常见的，若是一板一眼的进行矩阵相乘，当n较大时计算量可想而知，况且，当n逐渐增大或是非纯数据间的运算的情况下，根本就没有计算的可能，此时，矩阵分解方法的应用可以令问题变得简单而易懂。
判断矩阵的正定性需要不断的计算行列式，计算量大而复杂，矩阵分解可以使之更简单直接。
矩
阵的分解作用很广泛，在不同的领域都发挥着其独特的作用，只要应用得好，肯定可以使原有的问题简单而易于理解。
我们知道，矩阵理论就其理论来说，对于除了数学本专业的人而言，意义是不大的。
纯理论的学习是枯燥而乏味的，只有和是具体问题的结合才会显出它的强大生命力。
单看一个定理还是推论，我们会觉得它是简单而几乎没有意义的，甚至不知道怎么去理解它以及存在的意义，当运用到实际的领域，一方面我们可以更好的了解相关的知识，重要的是解决了具体的问题。
这应该就是学习的乐趣所在。
在测量平差的秩亏网平差中，解求未知数的估计值时候和奇异值分解结合起来，不仅可以使得运算更加简单化，并且得到的结果更利于理解，算法也更容易应用于编程。
这门课程给我们的是一个工具的作用，在学习的过程中要结合实际问题尤其是自己的专业方向来想问题，把矩阵的思想和算法用到对专业问题的解决中，才是学习的目的。