第11课 函数及其图象

︵ 【解析】 当蚂蚁从 O→A 时，s 从 0 逐渐变大；当蚂蚁在AB 上时，s 不变；当蚂蚁从 B→O 时，s 逐渐变小到 0.
【答案】 C
题型三
根据图象解决实际问题
认真阅读题干内容，分析图象提供的信息，由图象分 析变量的变化趋势，从而确定变量之间的关系，解决实际 问题．
【典例 3】
(2014· 金华)小明从家跑
步到学校， 接着马上步行回家， 如 图 115 是小明离家的路程 y(m)与 时间 t(min)的函数图象， 则小明回 家的速度是每分钟步行 m.
【解析】
由图象知：回家的路程为 800 m，所用的时间
路程 800 为 10 min，∴速度＝ ＝ ＝80(m/min)． 时间 10 【答案】 80
【类题演练 3 】
【答案】
C
3．(2014· 德州)如图 111，该图象中反 映的过程是：小强从家跑步去体育 场，在那里锻炼了一阵后，又去早 餐店吃早餐，然后散步走回家．其 中 x 表示时间， y 表示小强离家的距离． 根据图象提供的信息， 下列说法中错误的是 A．体育场离小强家 2.5 km B．小强在体育场锻炼了 15 min ( )
【答案】 A
5．(2014· 抚州)一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置 的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯 口半径的 2 倍， 其主视图如图 112 所示． 小亮决定做个试验： 把塑料桶和玻璃杯看做一个容器，对准玻璃杯口匀速注水， 注水过程中杯子始终竖直放置，则下列图象能大致反映容器 最高水位 h 与注水时间 t 之间关系的是 ( )
C．体育场离早餐店 4 km D．小强从早餐店回家的平均速度是 3 km/h 【答案】 C
4．(2014· 重庆)2014 年 5 月 10 日上午，小华同学接到通知，她的 作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的 电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文 稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入 并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经 过的时间为 x，录入字数为 y，则下面能反映 y 与 x 的函数关 系的大致图象是 ( )
【解析】 由于上山时此人随时间的推移离山脚越来越远，在 山顶休息时与山脚的距离 h 保持不变，下山时离山脚越来越 近，故选 D.
【答案】
D
3．甲、乙两同学骑自行车从 A 地沿同一条路 到 B 地，已知乙比甲先出发，他们离出发 地的距离 s(km)和骑行时间 t(h)之间的函 数关系如图 1110 所示，有下列说法： ①他们都骑了 20 km；②乙在途中停留了 0.5h；③甲、乙 两人同时到达目的地；④甲、乙两人途中没有相遇过． 其中正确的说法是 A．①②
(0，0)
(3)对称点的坐标特征： 对称方式 点 P(a， b)的对 称点的坐标 坐标特征 关于 x 轴对称 (a，－b) 关于 y 轴对称 (－a，b) 关于原 点对称 (－a，－b)
横同纵反号 纵同横反号 坐标双反号
(4)各象限角平分线上的点的坐标特征： ①点 P(x ，y )在第一、三象限角平分线上⇔x ＝y (横 坐标与纵坐标相等)； ②点 P(x ， y )在第二、 四象限角平分线上 ⇔x ＝－y (横 坐标与纵坐标互为相反数)．
【Baidu Nhomakorabea案】
C
技 法 联 通
1．对函数概念的理解：(1)某一变化过程中有两个变量 x 和 y.在 具体问题中，常量和变量是相对的．(2)对于 x 的每一个确定 的值，y 都有唯一确定的值与其对应．
2．对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为 点的横坐标与纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形， 就是这个函数的图象．表示函数的方法有： (1) 函数表达式 法．(2)图象法．(3)列表法．
【解析】
( C．②③ D．②④
)
B．①③
由图可知，他们都骑了 20 km，乙在途中停留了 1－
0.5＝0.5(h)，甲比乙早到 2.5－2＝0.5(h)，甲、乙在乙出发 1 h 时 相遇，故①正确，②正确，③错误，④错误． 【答案】 A
4．某装水的水池按一定的速度放掉水池水量的一半后，停止放 水，并立即按一定的速度注水，水池注满后，停止注水，又 立即按一定的速度放完水池的水．若水池的存水量为 V，放 水或注水的时间为 t，则表示 v 与 t 的关系的大致图象只能是 ( )
x 1．(2014· 济宁)函数 y＝ 中的自变量 x 的取值范围是 x＋ 1 ( A．x≥0 C．x＞0 B．x≠－1 D．x≥0 且 x≠－1 )
【答案】
A
2．(2014· 汕尾)汽车以 60 km/h 的速度在公路上匀速行驶， 1 h 后进入高速公路，继续以 100 km/h 的速度匀速行 驶，则汽车行驶的路程 s(km)与行驶的时间 t(h)的函数 关系的大致图象是 ( )
(5)平行于坐标轴的直线上点的坐标特征： ①平行于 x 轴的直线上，所有点的 ②平行于 y 轴的直线上，所有点的
6．点 P(x，y)坐标的几何意义：
纵 横
坐标相等． 坐标相等．
(1)点 P(x，y)到 x 轴的距离是
(2)点 P(x，y)到 y 轴的距离是
|y| ．
|x| ．
(3)点 P(x，y)到原点的距离是 x2＋y2．
1．常量、变量： 在一个过程中，固定不变的量称为 常量．可以取不同 数值的量叫做变量．
2．函数： 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量 x，y，如 果对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其 对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 叫做自变量．
3．函数自变量的取值范围： 由表达式给出的函数，自变量的取值范围应使表达式 有意义．对于实际意义的函数，自变量的取值范围还 应使实际问题有意义．
x>0， 解得 故自变量 x<4.
x 的取值范围为 0<x<4.
(2)图象如图 118 所示．
★名师指津
作实际问题的函数图象时，若不注意自变量
的取值范围，往往会作出错误的图象．当图象有端点 时，要注意端点值是否能取到，能取到应画实心圆点， 取不到应画空心圆圈．
【典例 2】 如图 119 所示的球形容器上连结着两根导管，容 器中盛满了不溶于水且比空气重的某种气体，现在要用向 容器中注水的方法来排净里面的气体．若水从左导管匀速 地注入，气体从右导管排出，则容器内剩余气体的体积与 注水时间的函数关系的大致图象是 ( )
【解析】 由图象知：前 90 km 用了 1.5 h，后面的 80 km 用了 1 h， ∴后面行驶 80 km 的速度为 80 km/h，则行驶 60km 所用 60 3 的时间为 ＝ (h)． 80 4 ∴当距离目的地还有 20 km 时， 一共行驶的时间为 1.5＋ ＝2.25(h)． 3 4
【解析】
根据分式的意义，得 x－1≠0，即 x≠1.
【答案】
x≠1
题型二
确定函数图象
分析两个变量之间的关系，学会用图象表示函数关 系，运用数形结合的思想进一步理解函数的意义．
【典例 2】 某蓄水池的横断面示意图如图 113 所示，分深水区 和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部 放出， 下面的图象能大致表示蓄水池水的深度 h 和放水时间 t 之间的关系的是 ( )
【答案】
C
题型一
确定自变量的取值范围
(1)若函数一边含自变量的式子是整式， 则自变量取全体实数； (2) 若函数一边含自变量的式子是分式，则自变量取使分母不为 0 的 全体实数；(3)若函数一边含自变量的式子是偶次根式，则自变量 只取使被开方数为非负数的全体实数； (4)若函数一边含自变量的 式子含有零指数或负整数指数幂，则自变量应是使底数不等于 0 的全体实数；(5)若函数一边含自变量的式子有多个条件限制，必 须先求出式子中各部分自变量的取值范围，然后再取其公共部 分，此类问题要特别注意，只能就已知的式子进行求解，而不能
【解析】 蓄水池首先是注满水的， 以固定的流量把水全部放出， 因为底部窄，上面宽，所以放水一开始高度下降得慢一点，后来 较快，到最后，水放完，水深 h＝0，所以 h 的变化是从大逐渐 变小，先慢后快，直至为 0.
【答案】
A
【类题演练 2】 如图 114，一只蚂蚁从点 O 出发，沿着扇形 OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为 t，蚂蚁 到点 O 的距离为 s，则 s 关于 t 的函数图象大致为 ( )
进行化简变形，特别是不能轻易地乘或除以含自变量的因式．
【典例 1】
(2014· 资阳)函数 y＝1＋ x＋3中自变量 x 的 ．
取值范围是 【解析】
由被开方数是非负数，得
x＋3≥0，即 x≥－3.
【答案】
x≥－ 3
【类题演练 1】
(2012·南通)函数 y ＝
1 中，自变量 x x ＋5
的取值范围是__________．
(2014· 泸州 )“五一”期
间， 王老师一家自驾游去了离家 170 km 的某地，他们离家的距离 y(km)与汽车 行驶时间 x(h)之间的函数图象如图 116 所示．当他们离目的地还有 20 km 时， 汽车一共行驶的时间是 A．2 h C．2.25 h B．2.2 h D．2.4 h ( )
【解析】 由题意知：存水量 V 先随时间 t 的变化减小到原水池 水量的一半，又随着时间的变化增加到满水池水量，再又随时间 的变化减小到零，故符合题意的应是 A. 【答案】 A
5．(2014· 南通)如图 11－11①， 底面积为 30 cm2 的空圆柱形 容器内水平放置着由两个实 心圆柱组成的几何体，现向 容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度 h(cm) 与注水时间 t(s)之间的函数关系如图 1111②所示． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)圆柱形容器的高为 cm，匀速注水的水流速度为
【错解】 选 B，理由：当水匀速地注入球形容器时，由于球 形的体积不均匀， 所以排出的体积在球体内的高度变化是先快 后慢再快，故选 B.
【析错】 上述错答的原因是忽略当水匀速地注入球形时，气 体从导管排出的体积也应是匀速变化的， 但空气在球体内的高 度变化是由于球体的体积不均匀而不匀速的， 而此题只求容器 内剩余气体的体积变化，而不是高度变化．
【解析】 把各点的坐标代入函数表达式 y＝2x－3，成立 的有(3，3)，(1.5，0)，故选 B.
【答案】
B
2．某人早上进行登山活动，从山脚登上山顶后，休息了一会 儿，然后沿原路返回．若用横轴表示时间 t，纵轴表示此人 与山脚的距离 h， 则下列四个图中能反映全程 h 与 t 之间函 数关系的是 ( )
【纠错】 选 C，理由：当水匀速注入球形容器时，球体内剩 余气体的体积也应是匀速变化的，故选 C.
★名师指津 在解决函数图象的有关问题时， 有时易受到函数
图象直观形象的错误诱导，解此类题的关键是确定要研究 的对象以及它们之间的变化关系．
1．有下列点：(1，2)，(3，3)，(－1，－1)，(1.5，0)．其 中在函数 y＝2x－3 的图象上的有 A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个 ( )
(1)由题意，得 2(x＋y)＝8，
【析错】
(1)上述解答错在没有根据题设条件讨论自变量 x
的取值范围．
(2)作函数图象时错将线段作成直线．
【纠错】 况，x，y (1)由题意，得 2(x＋y)＝8，则 y＝4－x，据实际情
x>0， x>0， 表示矩形的边长，则 即 y>0， 4－x>0，
4．函数的三种表示方法： (1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．
5．特殊点的坐标特征： (1)各象限内点的坐标的符号特征： 点 P(x，y) 所在的象限 横、纵坐标 符 号 一 x＞ 0 y＞0 二 x＜ 0 y＞0 三 x＜ 0 y＜0 四 x＞ 0 y＜0
(2)坐标轴上点的坐标特征： 点 P(x，y) 所在的位置 点 P 的坐标 x轴 (x，0) y轴 (0，y) 原 点
3．研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的函数关系， 转化为“函数模型”，然后利用函数的性质得出结论，最后 把结论应用到实际问题中去，从而得到实际问题的结论．
【典例 1】
矩形的周长是 8 cm，设一边长为 x(cm)，另
一边长为 y(cm)．
【错解】 则 y＝4－x.
(2)图象如图 117 所示．