加法原理与乘法原理练习题(2)
【七年级奥数】第22讲 加法原理和乘法原理（例题练习）
第22讲加法原理和乘法原理——练习题一、第22讲加法原理和乘法原理（练习题部分）1.书架上有三排书．第一排共有12本书．第二排共有20本书，第三排共有15本书．小明从中取一本书来阅读．问他有几种不同的取法?2.某班有男生18人，女生15人．从中选出一人去参加夏令营，问有多少种不同的选法?3.第一个口袋中装2个球，第二个口袋中装4个球，第三个口袋中装5个球，球各不相同．（1）从口袋中任取一个小球，有多少种不同的取法?（2）从三个口袋中各取一个球，问有多少种不同的取法?4.如图，从甲地到乙地有两条路．从乙地到丙地有三条路．从甲地到丙地有四条路．问从甲地到丙地共有多少种不同的走法?5.把多项式(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2) 展开，展开式中有多少种不同的项?6.求2000的正约数的个数．7.用1、2、3、4这四个数字可组成多少个不同的三位数?8.将6个人分成甲、乙两组，每组至少1人．有多少种不同的分法?9.从南京到上海的某次快车，中途要停靠六个大站．铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票?这些车票中最多有多少种不同的票价?10.4个人站成一排合影，共有多少种不同的排法?11.用2、3、4这三个数字组成没有重复数字的三位数．（1）求这些三位数的数字和的和；（2）求这些三位数的和．12. 2000的正约数中，有多少个偶数?13.用数字0、1、2、3、4可以组成多少个（1）四位数?（2）四位偶数?（3）没有重复数字的四位数?（4）没有重复数字的四位偶数?（5）没有重复数字的正整数?14.三封信，随机地投入四个信箱中．有多少种不同的投信方法?15. 5人站成一排照相，其中一人必须站在中间．有多少种站法?16.有多少个被3整除并且含有数字9的三位数?17.如图，对地图中的A、B、C、D、E这五个部分用四种不同的颜色染色．相邻的部分不能用相同的颜色，不相邻的部分可以用相同的颜色．有多少种不同的染色方法?答案解析部分一、第22讲加法原理和乘法原理（练习题部分）1.【答案】解：小明从中取一本，共有三种方法：一种是从第一排取，共12种不同的取法；一种是从第二排取，共20种不同的取法；一种是从第三排取，共15种不同的取法；∴12+20+15=47（种），答：他有47种不同的取法.【解析】【分析】做一件事情，完成它有n类办法；在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第三类办法中有m3种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有m1+m2+m3+……+m n.根据加法原理计算即可.2.【答案】解：从中选一人，共有两种选法：一种是从男生选，共有18种选法；一种是从女生选，共有15种选法；∴18+15=33（种），答：有33种不同的选法.【解析】【分析】做一件事情，完成它有n类办法；在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第三类办法中有m3种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有m1+m2+m3+……+m n.根据加法原理计算即可.3.【答案】（1）解：从口袋中任取一个小球有三种办法：第一种是从第一个口袋中取球，共有2种不同的方法；第二种是从第二个口袋中取球，共有4种不同的方法；第三种是从第三个口袋中取球，共有5种不同的方法；∴2+4+5=11（种）．答：有1种不同的取法.（2）解：从三个口袋中各取一个球，可分三步进行：第一步是从第一个口袋中取一球，有2种不同的方法；第二步是从第二个口袋中取一球，有4种不同的取法；第三步是从第三个口袋中取一球，有5种不同的方法；∴2×4×5=40（种）.答：有40种不同的取法.【解析】【分析】使用乘法原理与加法原理的不同之处在于：用加法原理时，完成一件事情有n类办法，不论用哪一类办法，都能完成这件事．而用乘法原理时，完成一件事情可分为n步，但不论哪一步，都只是完成这件事情的一部分，只有每一步都完成了；这件事情才得以完成．因此，这n步缺一不可．这就是使用乘法原理还是使用加法原理的主要区别．4.【答案】解：从甲地到丙地有两种不同的走法：第一种是从甲地到丙地，有4条路；第二种是从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，故共有2×3=6条路；∴4+2×3=10（种）.答：从甲地到丙地共有10种不同的走法.【解析】【分析】从甲地到丙地有两种不同的走法：第一种是从甲地到丙地，有4条路；第二种需要分成两步：先从甲地到乙地有2条路，再从乙地到丙地有3条路，根据加法原理和乘法原理计算即可.5.【答案】解：多项式含a的有3项，含b的有4项，含c的有2项，∴展开式中不同的项有：3×4×2=24（种）.【解析】【分析】这个多项式的乘积是有三个部分组成：第一部分含a的有3项，第二部分含b的有4项，第三部分含c的有2项，根据乘法原理计算即可.6.【答案】解：∵2000=24×53，∴2000的正约数个数是：（4+1）×（3+1）=20（个）.【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·p k a k，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（a k+1）个；所以先将2000分解质因数，再依此计算即可.7.【答案】解：百位数字有4种选法，十位数字有4种选法，个位数字有4种选法，∴4×4×4=64.∴可组成64个不同的三位数.【解析】【分析】三位数分成三步：第一步选百位数字有4种选法，第二步选十位数字有4种选法，第三步选个位数字有4种选法，根据乘法原理计算即可.8.【答案】解：∵每个人都可分在甲组，也可分在乙组，即有2种分法，根据乘法原理可得：2×2×2×2×2×2=64（种），又∵这64种方法种，有1种是6个人全在甲组，有1种是6个人全在乙组，∴64-1-1=62（种）.答：有62种不同的分法.【解析】【分析】每个人都可以分在甲组或乙组，即有2种分法，根据乘法原理算出所有分法；然后去掉一些不符题意的；这种做法常常有很好的效果．9.【答案】解：∵中途有6个大站，∴一共有6+2=8（站），∴7+6+5+4+3+2+1=28（种），∴两个车站的往返车票各一种，即两种，∴28×2=56（种），答：铁路局要为这次快车准备56种不同的车票；这些车票中最多有28种不同的票价.【解析】【分析】根据题意可知从南京到上海一共8个站，从第一站到其他各站有7种，从第二站到下边各站有6种，从第三站到下边各站有5种，……，从第七站到下边各站有1种，根据加法原理计算单程车票的种类，即可计算往返车票的种类和票价.10.【答案】解：第一个人有4种不同站法，第二个人有3种不同的站法，第三个人有2种不同的站法，第四个人有1种不同的站法，∴4×3×2=24（种）.答：共有24种不同的排法.【解析】【分析】根据题意可知第一个人有4种不同站法，第二个人有3种不同的站法，第三个人有2种不同的站法，第四个人有1种不同的站法，根据乘法原理计算即可得出答案.11.【答案】（1）解：百位数字有3种方法，十位数字与百位数字不同，有2种方法，个位数字与百位、十位数字不同，有1种方法，∴3×2×1=6（种），∴这些三位数的数字和的和为：（2+3+4）×6=54.答：这些三位数的数字和的和为54.（2）解：依题可得三位数为：432，423，324，342，234，243，∴这些三位数的和为：432+423+324+342+234+243=1998.答：这些三位数的和为1998.【解析】【分析】（1）选三位数分成三步：第一步百位数字有3种方法，第二步十位数字与百位数字不同，有2种方法，第三步个位数字与百位、十位数字不同，有1种方法，根据乘法原理计算即可.（2）根据题意写出所有的三位数，再将这些数字加起来即可得出答案.12.【答案】解：∵2000=24×53，∴2000的正约数个数是：（4+1）×（3+1）=20（个），∴奇约数有：3+1=4（个），∴偶约数有：20-4=16（个）.【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·p k a k，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（a k+1）个；所以先将2000分解质因数，再依此计算即可.13.【答案】（1）解：千位数字有4种不同的选法，百位数字有5种不同的选法，十位数字有5种不同的选法，个位数字有5种不同的选法，∴4×5×5×5=500（个）.答：可以组成500个四位数.（2）解：个位数字从0、2、4数字中选有3种不同的选法，则十位数字有5种不同的选法，百位数字有5种不同的选法，千位数字有4种不同的选法，∴3×5×5×4=300（种）.答：可以组成300个四位偶数.（3）解：∵数字不能重复，∴千位数字有4种不同的选法，百位数字与千位数字不同，则有4种不同的选法，十位数字与千位、百位数字不同，则有3种不同的选法，个位数字与千位、百位、十位数字不同，则有2种不同的选法，∴4×4×3×2=96（种）.答：没有重复数字的四位数有96种.（4）解：∵数字不能重复且为偶数，∴①若个数数字为0时，则十位数字与个位数字不同，则有4种不同的选法；百位数字与个位、十位数字不同，则有3种不同的选法；千位数字与个位、十位、百位数字不同，则有2种不同的选法，∴4×3×2=24（种），②个位数字从2、4数字中选有2种不同的选法，则千位数字与个位数字不同，则有3种不同的选法，百位数字与个位、千位数字不同，则有3种不同的选法；十位数字与个位、百位、千位数字不同，则有2种不同的选法，∴2×3×3×2=36（种），∴24+36=60（种）.答：没有重复数字的四位偶数有60种.（5）解：①一位数有4个；②两位数有4×4=16（个）；③三位数有4×4×3=48（个）；④四位数有4×4×3×2=96（个）；⑤五位数有4×4×3×2×1=96（个）；∴没有重复数字的正整数有：4+16+48+96+96=260（个）.答：没有重复数字的正整数有260.【解析】【分析】（1）千位数字有4种不同的选法，百位数字有5种不同的选法，十位数字有5种不同的选法，个位数字有5种不同的选法，根据乘法原理计算即可.（2）个位数字从0、2、4数字中选有3种不同的选法，则十位数字有5种不同的选法，百位数字有5种不同的选法，千位数字有4种不同的选法，根据乘法原理计算即可.（3）由于数字不能重复，从而千位数字有4种不同的选法，百位数字与千位数字不同，则有4种不同的选法，十位数字与千位、百位数字不同，则有3种不同的选法，个位数字与千位、百位、十位数字不同，则有2种不同的选法，根据乘法原理计算即可.（4）根据题意分情况分析：①若个数数字为0时，分别写出十位、百位、千位数字的不同选法，根据乘法原理计算即可；②个位数字从2、4数字中选有2种不同的选法，分别写出十位、百位、千位数字的不同选法，根据乘法原理计算即可；再将两种选法加起来即可.（5）根据题意分情况讨论：①一位数；②两位数；③三位数；④四位数；⑤五位数；再分别求出个数，求和即可.14.【答案】解：每封信都有4种投法，依题可得：4×4×4=64（种）.答：有64种不同的投信方法.【解析】【分析】根据题意可知每封信都有4种投法，根据乘法原理计算即可.15.【答案】解：∵一人必须站在中间，∴第一个人有4种不同的排法，第二个人有3种不同的排法，第四个人有2种不同的排法，第五个人有1种不同的排法，∴4×3×2=24（种）.答：有24种站法.【解析】【分析】根据题意可知一个人的位置已经固定，再将剩余的4人排列，根据乘法原理计算即可.16.【答案】解：依题可分类讨论：①9在个位：由于需被3整除且个位是9，根据被3整除的数，其各位数字之和也能被3整除的定理，百位和十位数字之和能被3整除；所以百位和十位组成的两位数也能被3整除.百位和十位从10到99，共有90个数，每3个数一组，必有一个被3整除，共30个.②9在十位：同上分析，有30个.③9在百位：与上面不同的是，个位和十位组成的两位数应该从00到99，共100个数，能被3整除的有34个.以上三种情况有重复的，那就是9不止一个的时候.④□99，有3个.⑤9□9，有4个.⑥99□，有4个.⑦999，有1个.∴共有30+30+34-3-4-4+1 =84（个）.【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①9在个位；②9在十位；③9在百位，根据被3整除的数的特征分析得出各部分数的个数，再把其中重复的找出来，计算即可.17.【答案】解：根据题意可知：A有4种不同的染色方法，则B不能和A相同，有3种不同的染色方法；C不能和A、B相同，有2种不同的染色方法；D不能和B、C相同，有2种不同的染色方法；E不能和C、D相同，有2种不同的染色方法；∴4×3×2×2×2=96（种）.答：有96种不同的染色方法.【解析】【分析】根据题意可知A有4种不同的染色方法，则B不能和A相同，有3种不同的染色方法；C不能和A、B相同，有2种不同的染色方法；D不能和B、C相同，有2种不同的染色方法；E不能和C、D相同，有2种不同的染色方法；由乘法原理计算即可.。
加法原理与乘法原理练习题(详解)
加法原理与乘法原理1．一个礼堂有4个门，若从一个门进，从任一门出，共有不同走法( ) A．8种B．12种 C．16种 D．24种答案 C2．从集合A＝{0,1,2,3,4}中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c.则可构成不同的二次函数的个数是( )A．48 B．59 C．60 D．100 答案 A3．某电话局的电话号码为168～×××××，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有( )A．20个 B．25个 C．32个 D．60个答案 C4．在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( )A．20 B．10 C．5 D．24 答案 B5．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有( )A．8种 B．15种 C．125种 D．243种答案 D6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有( ) A．24种 B．18种 C．12种 D．6种答案 B7．已知异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．13 C．10 D．16 答案 B8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有( )A．336种 B．120种 C．24种 D．18种答案 A9．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A．10种 B．20种 C．25种 D．32种答案 D10．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是( ) A．14 B．23 C．48 D．120 答案 C11．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A．6种 B．12种 C．24种 D．30种答案 C12．从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，其和是偶数，共得________个偶数．答案 413．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案1214．动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？15．用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？解析(1)由于1至4知，不同的涂色方法有54＝625种．(2)第一类，1号区域与3号区域同色时，有5×4×4＝80种涂法，第二类，1号区域与3号区域异色时，有5×4×3×3＝180种涂法．依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法有80＋180＝260(种)．16．用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个．(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？(4)小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数？(5)小于100的无重复数字的自然数？解析由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．(3)百位数字只有4种选择，十位数字可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．(4)百位数字只有4种选择，个位数字只有2种选择，十位数字可有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×2×8＝64(个)．(5)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类．一位自然数：10个．两位自然数：十位数字有9种选择，个位数字也有9种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的两位数共有9×9＝81(个)．由分类加法计数原理知，符合题意的自然数共有10＋81＝91(个)．17．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系第一、第二象限中的不同点的个数有( )A．18个 B．16个 C．14个 D．10个答案 C18．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落可能性共有( )A ．6种B ．36种C ．63种D ．64种 答案 C19．已知互不相同的集合A 、B 满足A ∪B ＝{a ，b }，则符合条件的A ，B 的组数共有________种． 答案 920．已知a ，b ∈{0,1,2，…，9}，若满足|a －b |≤1，则称a ，b “心有灵犀”．则a ，b “心有灵犀”的情形共有( )A ．9种B ．16种C ．20种D ．28种 答案 D21．(2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19答案 D 22．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，最多5个，则不同的分法共有( )A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种 答案 A23．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 D24．若5名学生争夺3项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限)，则冠军获得者有________种不同情况(没有并列冠军)? 答案 5325．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6张人民币可组成________种不同的币值． 答案 6326．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有________个．答案 3627．设椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆个数为________． 答案 2028.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．答案40欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
加法原理、乘法原理》配套练习题
5、在所有的三位数中，没有出现数字 2 的偶数有 ___， 没有出现数字 2 的奇数有 ________个。 7、将所有自然数，自 1 开始依次写下去得到： 12345678910111213……， 试确定第 80731 个位置上出现的数字是几？ 8、华杯赛强化训练五、六年级两册书的页码共有 852 个数字，且五年级的 比六年级的多 24 页，问六年级的有多少页？ 9、
10、计算机上编程序打印出前 1000 个正整数： 1、2、3、…、 1000 时，不 幸打印机有毛病， 每次打印数字 3 时，它都打印出 5，问其中打印的数中相 同的数共有多少个？
答案部分
2
一、计算题 1、 【正确答案】： 7×7×7×7＝2401（个）
【拓展答案： 7×8×8×8＝3584（个）】 【答案解析】：
【答疑编号 10218536】 2、 【正确答案】： 7×6×5×4＝840（个）
【拓展答案： 7×7×6×5＝1470（个）】 【答案解析】：
【答疑编号 10218537】 3、 【正确答案】： 3×6×5×4＝360（个）
【拓展答案： 3×6×5×4＋7×6×5＝570（个）】 【答案解析】：
【答疑编号 10218538】
加法原理、乘法原理》配套练习题 一、计算题 1、由数字 1、2、3、4、5、6、7 共可组成多少个四位数？ （拓展：加一个数字“ 0”）
2、由数字 1、2、3、4、5、6、7 共可组成多少个没有重复数字的四位数？ （拓展：加一个数字“ 0”）
3、由数字 1、2、3、4、5、6、7 共可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ （拓展：加一个数字“ 0”）
小学四年级奥数竞赛班作业第4讲：加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理练习题一．夯实基础1.有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？2.阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？3.由3、6、9这3个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？4.邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？5.从全班20人中选出3名学生排队，一共有多少种排法？6..在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？ACB二．拓展提高：7.“数学”这个词的英文单词是“MATH”．用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样．这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？8.小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书15本，不同的科技书20本，不同的小说10本，那么，小明要选两本不同类的书有多少种选法？9.从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？10.由数字1，2，3 可以组成多少个没有重复数字的数？11.由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．四位奇数有多少个？12.有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？13.甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：一共有多少种不同的订法？三．超常挑战：14.北京到广州之间有10个站，其中只有两个站是大站(不包括北京、广州，广州和北京是大站)，从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？四．杯赛演练：15.（北京“数学解题能力展示”读者评选活动）袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有多少种可能？16.（希望杯）如图5所示的电子钟可显示从00:00:00到23:59:59的时间，在一昼夜内（24小时）钟表上显示的时间恰由数字1、2、3、4、5、6组成的共有种。
乘法原理和加法原理练习题
乘法原理和加法原理练习题乘法原理和加法原理是数学中常用的解决组合问题的方法。
它们可以帮助我们计算不同情况下的总数，从而更好地理解和解决实际生活中的问题。
下面是一些乘法原理和加法原理的练习题，帮助大家更好地掌握这两个原理的应用。
练习题1：某班级有5个男生和6个女生，要选出一名男生和一名女生代表该班参加学校的演讲比赛。
问有多少种不同的选择？解答：根据乘法原理，我们可以将选择男生和选择女生分为两个步骤。
第一步，选择一名男生，有5种选择。
第二步，选择一名女生，有6种选择。
根据乘法原理，两个步骤的选择数相乘，所以总的不同选择数为5 × 6 = 30。
练习题2：某餐馆供应早餐的菜单有3种主食和2种饮料可供选择。
现在小明想选择一种主食和一种饮料作为早餐。
问有多少种不同的选择？解答：同样地，我们可以将选择主食和选择饮料分为两个步骤。
第一步，选择一种主食，有3种选择。
第二步，选择一种饮料，有2种选择。
根据乘法原理，两个步骤的选择数相乘，所以总的不同选择数为3× 2 = 6。
练习题3：小明有红、黄、蓝三种颜色的T恤，他还有黑、白两种颜色的裤子。
如果他想搭配一套T恤和一条裤子，问有多少种不同的搭配方式？解答：同样地，我们可以将选择T恤和选择裤子分为两个步骤。
第一步，选择一种T恤，有3种选择。
第二步，选择一种裤子，有2种选择。
根据乘法原理，两个步骤的选择数相乘，所以总的不同搭配方式数为3 × 2 = 6。
练习题4：小明需要从A、B、C、D、E五个城市中选择两个作为他的旅行目的地。
问有多少种不同的选择方式？解答：根据加法原理，我们可以将选择旅行目的地分为两种情况。
情况一，选择两个不同的城市作为旅行目的地。
这种情况下，我们可以根据排列组合的知识，使用C(5, 2)的方式计算。
C(5, 2)表示从5个城市中选择2个不同的城市的组合数，计算公式为5! / (2! × (5-2)!) = 10。
小学奥数模块教程2016五年级加法原理和乘法原理(二)
加法原理和乘法原理（二）
2012.09.16 五年级例1、一个非零自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。
例如：1551，303，6等都是回文数。
问：一位到六位的回文数一共有多少个？
答案：1998个。
例2、如图，由A地到B地，若规定只能往右或往下走，共有多少种不同的路线？
答案：23种。
例3、一台晚会上有5个舞蹈节目和4个演唱节目，当4个演唱节目要排在一起时，有多少种不同的安排节目的顺序？
答案：17280种。
例4、把五种不同的花栽种在如图所示的四个区域里，凡有公共边的两个区域不能栽同一种花，每一个区域只栽一种花，有多少种不同的栽法？
答案：260种。
例5、在1001，1002，……，2000这1000个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，使它们相加时不进位？
答案：156个。
练习1、由四个不同的非零数字组成的所有四位数中，数字和等于12的共有多少个？
答案：48个。
练习2、在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？
答案：35个。
练习3、三个小朋友去博物馆参观，博物馆有2个入口，他们进入博物馆有多少种不同的方法？
答案：8种。
练习4、从19、20、21、…、97、98、99这81个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？
答案：1600种。
奥数：加法原理、乘法原理
题型一：乘法原理【知识要点】1. 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
2. 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。
【典型例题】例1：马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。
问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？例2：从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。
问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？例3：用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？例4：如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？例5：有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。
问：共有多少种不同的吃法？【同步训练】1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。
从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。
问：有多少种不同的装束？2. 四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。
小王自编一个“密码本”，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用“011”代表汉字“车”。
问：小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字？3. “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。
现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？4. 用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：共有多少种不同的染色方法？题型二：加法原理（一）加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
九年级数学上册综合算式专项练习题概率的加法原理与乘法原理的运算
九年级数学上册综合算式专项练习题概率的加法原理与乘法原理的运算在九年级数学上册的学习中，综合算式是一个重要的知识点。
而在综合算式中，概率的加法原理与乘法原理是我们需要掌握的运算方法。
本文将详细介绍概率的加法原理与乘法原理，并通过专项练习题来巩固我们的理解和运用能力。
一、概率的加法原理概率的加法原理是指对于不相容事件的概率求和的方法。
不相容事件是指两个或多个事件发生时，不会同时发生的情况。
加法原理可以通过以下公式表示：P(A或B) = P(A) + P(B)例如，现有一只袋子，里面有5个红球和3个蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，求取到红球或蓝球的概率。
解题步骤如下：1. 计算红球的概率：P(红球) = 红球的个数 / 总球的个数 = 5 / 82. 计算蓝球的概率：P(蓝球) = 蓝球的个数 / 总球的个数 = 3 / 83. 根据加法原理，求取到红球或蓝球的概率：P(红球或蓝球) = P(红球) + P(蓝球) = 5/8 + 3/8 = 8/8 = 1因此，取到红球或蓝球的概率为1。
过程中，我们需要确定各个事件的概率，然后将它们相加得到最终答案。
二、概率的乘法原理概率的乘法原理是指对于相互独立事件的概率求积的方法。
相互独立事件是指两个或多个事件发生时，彼此之间不会互相影响的情况。
乘法原理可以通过以下公式表示：P(A且B) = P(A) × P(B)举个例子，现有一副扑克牌，从中随机抽取两张牌，求第一张是红桃并且第二张是黑桃的概率。
解题步骤如下：1. 计算第一张是红桃的概率：P(第一张是红桃) = 红桃的个数 / 总牌的个数 = 13 / 52 = 1 / 42. 计算第二张是黑桃的概率：P(第二张是黑桃) = 黑桃的个数 / 剩余牌的个数 = 13 / 513. 根据乘法原理，求第一张是红桃并且第二张是黑桃的概率：P(第一张是红桃且第二张是黑桃) = P(第一张是红桃) × P(第二张是黑桃) = (1/4) × (13/51) ≈ 0.06因此，第一张是红桃并且第二张是黑桃的概率约为0.06。
加法原理和乘法原理训练题
加法、乘法原理训练题例题1：小红、小丽和小敏三个人到世纪公园游玩拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？练习1：1、4个好朋友在旅游景点拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？2、用0，2，3三个数字组成不同的三位数，一共可以组成多少种不同的三位数？3、有1克、2克和5克的砝码各一个，那么在天平上可以称出多少种不同质量的物体？（砝码都放在右盘）例题2：从北京到天津的列车中途要经过4个站点，这列列车从北京到天津要准备多少种不同的车票？练习2：1、一列列车从甲地到乙地要经过5个站点，这列列车从甲地到乙地要准备多少种不同的车票？2、5个人进行下棋比赛，每两个人之间都要赛一场，一共要赛多少场？3、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。
最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁？例题3：在4×4的方格图中（如右图），共有多少个正方形？练习3：1、在3×3的方格图中，共有多少个正方形？2、在5×5的方格图中，共有多少个正方形？3、在6×6的方格图中，共有多少个正方形？例题4：从3，5，7，11，13这五个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？练习4：1、从1，3，5，7这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？2、从5，7，11，13这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？3、从2，3，7，11，13，17这六个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？例题5：用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个不同的三位数？练习5：1、用1，2，3，4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？2、如右图所示：A、B、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种染色。
加法原理和乘法原理(奥数)
“＋” “×”
例1：服装小店有2件上 衣，3条裤子。任意买 一款，有几种买法？ 2+3=5（种） 答：有5种买法。
例2：服装小店有2件上 衣，3条裤子。上衣和 裤子有几种搭配方法？ 裤子1 2×3=6（种பைடு நூலகம் 上衣1 裤子2 答：有6种方法。 裤子3 上衣2
练习1：从甲地到乙地，可以乘汽车，可以乘火车，还 可以乘轮船。一天中，火车有5班，汽车有4班，轮船有 3班，那么一天中从甲地到乙地共有几种不同的走法？ 5+4+3=12（种） 答：共有12种不同的走法。
知识要点 1.加法原理：分类枚举，结果相加。 2.乘法原理：做一件事情如果需要分步， 总的方法数=每一步中的方法数相乘。
练习2：如下图所示，甲到乙有3条不同的道路，乙到 丙有4条不同的道路，那么从甲到丙有几种不同的走法？ 3×4=12（种）
甲 乙 丙
答：有12种不同的走法。
变式1：用2、3、4、5四张数字卡片能组成几个不同的三位数？
3种填法
4×3×2=24（个） 4种填法 2种填法 答：能组成24个不同的三位数。
变式2：有8个人参加一次乒乓球比赛，每两个人之间都要比 赛一场，一共要赛多少场？ B C 7+6+5+4+3+2+1=28（场） C D D B E 6场 A E 7场 答：一共要赛28场。 F F G G H H
加法原理与乘法原理随堂练习(含答案)
加法原理与乘法原理一、选择题1. [2013·苏州联考]某电话局的电话号码为139××××××××，若最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有()A. 20个B. 25个C. 32个D. 60个答案：C解析：采用分步计数的方法，五位数字由6或8组成，可分五步完成，每一步有两种方法，根据分步乘法计数原理有25＝32个，故选C.2. [2013·四川德阳第二次诊断]现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A. 81B. 64C. 48D. 24答案：A解析：每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.3. [2013·抚顺模拟]只用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有()A. 6个B. 9个C. 18个D. 36个答案：C解析：对于1、2、3三个数组成一个四位数，其中必有一个数要重复，从三个中选一个有C13种，这样重复的数有2个，利用插空法知共有A33种，因此共有3A33＝18个这样的四位数．4. [2013·福州质检]如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有()A. 192种种C. 96种D. 12种答案：C解析：可分三步：第一步，填A、B方格的数字，填入A方格的数字大于B方格中的数字有6种方式(若方格A填入2，则方格B只能填入1；若方格A填入3，则方格B只能填入1或2；若方格A填入4，则方格B只能填入1或2或3)；第二步，填方格C的数字，有4种不同的填法；第三步，填方格D的数字，有4种不同的填法．由分步计数原理得，不同的填法总数为6×4×4＝96.5. 若从1,2,3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有()A. 66种B. 63种C. 61种D. 60种答案：D解析：从1,2,3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇数的取法分为两类：第一类取1个奇数，3个偶数，共有C15C34＝20种取法；第二类是取3个奇数，1个偶数，共有C35C14＝40种取法．故不同的取法共有60种，选D.6. [2013·西安调研]某种体育彩票规定：从01至36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号码，从11至20中选2个连续的号码，从21至30中选1个号码，从31至36中选1个号码，组成一注，则要把这种特殊要求的号码买全，至少要花费()A. 3360元B. 6720元C. 4320元D. 8640元答案：D解析：从01至10的3个连号的情况有8种；从11至20的2个连号的情况有9种；从21至30的单选号的情况有10种，从31至36的单选号的情况有6种，故总的选法有8×9×10×6＝4320种，可得需要8640元．故选D.二、填空题7. 在某次中俄海上联合搜救演习中，参加演习的中方有4艘船、3架飞机；俄方有5艘船、2架飞机，若从中、俄两组中各选出2个单位(1架飞机或1艘船都作为一个单位，所有的船只两两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的4个单位中恰有一架飞机的不同选法共有________．答案：180种解析：若选出的一架飞机是中方的，则选法是C14C13C25＝120种；若选出的一架飞机是俄方的，则选法有C15C12C24＝60种．故不同选法共有120＋60＝180种．8. [2013·汕头模拟]如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________．答案：480种解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．9. [2013·金版原创]如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．答案：12解析：由题意知本题是一个分类计数问题，当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4共有4种情况，当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141；当有三个2,3,4时2221,3331,4441根据分类计数原理得到共有12种结果，故答案为12.三、解答题10. 现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？解：可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人．星期一：可分给5人中的任何一人，有5种分法；星期二：可分给剩余4人中的任何一人，有4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4种分法；同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．11. [2013·常德模拟](1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解：(1)该问题中要完成的事是4名同学报名，因而可按学生分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81(种)报名方法．(2)该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64(种)．12. [2013·厦门模拟]某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．解：第一类：既会排版又会印刷的2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1＝3种选法．第二类：既会排版又会印刷的2人中被选出1人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2＝12种选法；再由分类计数原理知共有6＋12＝18种选法．第三类：既会排版又会印刷的2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3＋18＋16＝37种选法．。
小学数学《加法原理和乘法原理》练习题
加法原理和乘法原理1.餐厅里有4种炒菜和2种炖菜，4种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐，2种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨.小猪想点一个菜，他有种不同的选择方法？查森想点1个炒菜和1个炖菜，他有种不同的选择方法？2.商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有3种水果糖：苹果味、梨味、橙味．张明想买一些糖送给他的小朋友.如果张明只买一种糖，他有种选法.如果张明想买水果糖、巧克力糖各1种，他有种选法.3.明明家有4幅油画，5幅水彩画，3幅素描.苗苗选一幅挂在客厅，有种选法.苗苗如果选3幅画不同类型的画挂在卧室，有种选法.4.从学校到明明家有3条路可走，从明明家到张老师家有2条路可走，从学校到张老师家有3条路可走，那么从学校到张老师家共有多少种走法?5.从学校到明明家有4条路可走，从明明家到张老师家有2条路可走，从学校到张老师家有3条路可走，那么从学校到张老师家共有多少种走法?6.从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海作停留，已知北京到上海和上海到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车．问，从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？7.从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？8.从甲地到乙地有6条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有5条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？9.从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海和武汉，上海和武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车．问从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？10.明明要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有几种选法？11.有一个三层书架第一层放了5本小说,第二层放了4本漫画,第三层放了3本科普书,并且这些书各不相同,请问:如果从中取两本不同类别的书,共有多少种取法？12.花店里有5种不同颜色的玫瑰，4种不同颜色的月季，3种不同颜色的风信子，2种不同颜色的勿忘我，王老师想要买3朵种类不同的花，共有多少种选择？13.快递员送货由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么快递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？14.快递员送货由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，由C 村去D村的道路有2条那么快递员从A村经B、C村去D村，共有多少种不同的走法?15.如下图，明明要从家沿着线段走到学校，要求任何点不得重复经过，他最多有多少种不同的走法？16.马戏团里的小丑有红、白、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋．小丑的帽子和鞋共有几种不同的搭配？17.明明有许多套服装，帽子的数量为3顶、上衣有8件，裤子有6条，每次出行要从几种服装中各取一件搭配．共可组成多少种不同的搭配？18.明明有许多套服装，上衣有6件，裤子有7条，鞋5双，每次出行要从几种服装中各取一件搭配．共可组成多少种不同的搭配？19.商店里有6种不同颜色的百合花，6种不同颜色的玫瑰，6种不同颜色的康乃馨，沫沫要选从中各选一种装饰房间，她有多少种不同的搭配？20.饰品店里有5种不同的熊玩具，4种不同的狗玩具，和3种不同的猫玩具，夏夏从中各选一种，有多少种不同的组合？21.灯饰品店里有不同颜色的台灯8个，不同颜色的吊灯6个，不同颜色的壁灯5个，小夏从三样式中各选一个，有多少种不同的组合？22.如下图，用红、黄两种颜色给图中雪人的帽子、头、身子三个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？23.用红、绿两种颜色给MBA上色，每个字母只能染一种颜色，一共可以得到多少个不同颜色的MBA？24.如下图，用5种颜料给3个方格上色，每个方格只能染一种颜色，颜料不能重复使用，有多少种不同的染色方法？25.如图，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？26.如图，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？27.如图，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？28.如图，明明想要从A处到B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C正在修路．问他共有多少种不同的走法？29.如图，明明要从A处到B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C因正在修路．问她共有多少种不同的走法？30.如图，从A处到B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C和D正在修路，问共有多少种不同的走法？31.如图，从A处到B处要求走最近的路，必须通过十字路口C．问共有多少种不同的走法？32.如图，从A处到B处要求走最近的路，必通过十字路口C．问共有多少种不同的走法？33.如图，从A处到B的最短路线中，必通过十字路口C和D的，共有多少条？34.如图，从A出发经过十字路口D，但不经过线段BC（不过点B、C），不同的最短路径有多少条？35.如图，从A出发经过十字路口D，但不经过线段BC（不过点B、C），不同的最短路径有多少条？36.如图，从A出发经过十字路口D，但不经过线段BC（不过点B、C），不同的最短路径有多少条？。
16.3(2)加法原理
课堂练习
3.如图,该电
路,从A到B共 有多少条不 同的线路可 通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条
所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。
5种 5 种 4种
5 5 4 1,5组成无重复数字 的5位数,其中小于50000的偶数有几个?
万 千 百 十 个
3个 3个 2个 1个 2个
3 3 2 1 2 36(个）
4 . 某游人上山，从前山上山的道路有3条， 从后山上山的道路有2条，那么游人从上山 到下山，共有多少种不同的走法？ 1.前山上,后山下: 2.后山上,前山下: 3.前山上,前山下:
分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、 第1位 第2位 第3位 第100位 C、G、U中任选一个来占据。
……
4种 4种 4种 4种
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U 中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
共有1 2 3 9 45 （个）
(9)m 8 n 0
总结：
１．加法原理：做一件事，完成它可以有 k类办法，在第一类办法 中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方法，… …， 在第k类办法中有mk种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1+ m2+… …+ mk 种不同的方法。 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n步有 mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的方法。 ２．加法原理和乘法原理的 共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成； 不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完 备，就用加法原理；如果分事件相互关联，缺一不可， 就用乘法原理。
四年级高思奥数之加法原理与乘法原理含答案
第15讲加法原理与乘法原理内容概述理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分步计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题．1．阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个．他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择?2．阿奇进人一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种．他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法?3．老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多少种不同的写法?4．传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现．邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序．请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?5．用红、黄、蓝三种颜色给图15-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?6．在图15—2中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”．那么一共有多少种不同的读法？7．运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛者只能参加其中的一项．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：(1)如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法?(2)如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法?8．冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书．请问：(1)如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法?(2)如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法?9．如图15-3，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线?10．图15-4中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有多少条?拓展篇1．阿奇一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择?2．“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?3．书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同．请问：(1)如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法?(2)如果从每一层中各取l本，共有多少种不同的取法?(3)如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法?4．如图15-5，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?5．如图15-6，四张卡片上写有数字2、4、7、8．从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数．请问：一共可以组成多少个不同的三位数?其中有多少个不同的三位奇数?6．奥运场馆实行垃圾分类处理．每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图15-7. 现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？7．如图15-8，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?8．如图15-9，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：(1)如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法?(2)如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法?9．甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车．会驾驶汽车A的只有甲和乙，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案?10．如图15-10，4枚相同的棋子放人4×4的方格内，每个方格只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，一共有多少种不同的放法?11．图15-11是一个阶梯形方格表，在方格中放入5枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1枚棋子，这样的放法共有多少种?12．如图15-12和图15-13，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问：(1)按图15-12所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?(2)按图15-13所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?超越篇1．爸爸、妈妈带阿奇去吃西餐．餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点．如果阿奇想要点1种主食1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限．请问：阿奇一共有多少种点菜方法?2．如图15-14，在一个3×4的方格表内放人4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?如果放人4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?3．如图15-15，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这4种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?4．用4种不同的颜色给图15-16中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?5．一只甲虫沿着图15-17中的方格线从A爬到曰，每次只能向右爬一格或向上爬一格．图中画着黑点的地方不能通过．请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线?6．王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法? 7．如图15-18所示，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，不能重复经过任何点．试问：这只甲虫有多少种不同的走法?8．如图15-19所示，国际象棋中的棋子“皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法?第15讲加法原理与乘法原理内容概述理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分步计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题．1．阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个．他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择?【分析】9+3+2=142．阿奇进人一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种．他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法?【分析】3×20=603．老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多少种不同的写法?【分析】9×10×10=9004．传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现．邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序．请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?【分析】7×6×5×4×3×2×1=50405．用红、黄、蓝三种颜色给图15-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?【分析】3×2×1=66．在图15—2中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”．那么一共有多少种不同的读法？【分析】2×2×2×2=167．运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛者只能参加其中的一项．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：(1)如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法?(2)如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法?【分析】（1）4×4×4×4=256（2）4×3×2×1=248．冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书．请问：(1)如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法?(2)如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法?【分析】（1）5+6+3=14（2）5×6×3=909．如图15-3，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线?【分析】4×2+3=1110．图15-4中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有多少条?【分析】56拓展篇1．阿奇一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择?【分析】4+3+2=92．“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?【分析】5×4×3=603．书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同．请问：(1)如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法?(2)如果从每一层中各取l本，共有多少种不同的取法?(3)如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法?【分析】（1）15+10+5=30（2）15×10×5=750（3）15×10+10×5+15×5=2754．如图15-5，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?【分析】3×3+2×4=175．如图15-6，四张卡片上写有数字2、4、7、8．从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数．请问：一共可以组成多少个不同的三位数?其中有多少个不同的三位奇数?【分析】（1）4×3×2=24（2）3×2=66．奥运场馆实行垃圾分类处理．每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图15-7. 现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？【分析】2×2×2×2×2=327．如图15-8，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?【分析】4×3×2×2×2=968．如图15-9，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：(1)如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法?(2)如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法?【分析】（1）92=512（2）72=1289．甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车．会驾驶汽车A的只有甲和乙，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案?【分析】2×2×3×2×1=2410．如图15-10，4枚相同的棋子放人4×4的方格内，每个方格只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，一共有多少种不同的放法?【分析】4×3×2×1=2411．图15-11是一个阶梯形方格表，在方格中放入5枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1枚棋子，这样的放法共有多少种?【分析】2×2×2×2×1=1612．如图15-12和图15-13，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问：(1)按图15-12所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?(2)按图15-13所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?【分析】（1）5种（2）108超越篇1．爸爸、妈妈带阿奇去吃西餐．餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点．如果阿奇想要点1种主食1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限．请问：阿奇一共有多少种点菜方法?【分析】2×3×(1+1+2+1+2+1)=482．如图15-14，在一个3×4的方格表内放人4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?如果放人4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?【分析】（1）3×3×3×3=81（2）3×3×3×3×4×3×2×1=19443．如图15-15，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这4种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?【分析】4×3×2×2×2×2×2×2=7684．用4种不同的颜色给图15-16中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?【分析】4×3×2×1+4×3×2+4×3×2+4×3=845．一只甲虫沿着图15-17中的方格线从A爬到曰，每次只能向右爬一格或向上爬一格．图中画着黑点的地方不能通过．请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线?【分析】66种6．王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法?【分析】3×3+3×3+3×3=277．如图15-18所示，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，不能重复经过任何点．试问：这只甲虫有多少种不同的走法?【分析】树形图法：（略）分类枚举法：从A走3段到B，从A走4段到B从A走5段到B，从A走6段到B，从A走7段到B，共69种8．如图15-19所示，国际象棋中的棋子“皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法?【分析】188。
分类计数加法原理与分步计数乘法原理(含答案)
分类计数加法原理与分步计数乘法原理一、单选题(共11道，每道9分)1.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，则（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )A.12B.60C.48D.72答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )2.上接第1题．A.12B.60C.48D.72答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理3.用10元，5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有( )A.3B.5C.9D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理4.现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有( )A.13种B.15种C.20种D.30种答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理5.乘积展开后共有的项数为( )A.11B.14C.45D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理6.在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有( )个A.36B.30C.12D.11答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理7.集合的不同子集有( )A.7个B.8个C.15个D.16个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理8.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0到5这六个数字中拨号，这4个拨号盘可组成的四位数号码个数是( )A.6000个B.36个C.3645个D.32个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理9.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.60种B.15种C.12种D.10种答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理10.从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.15种B.27种C.60种D.125种答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理11.3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有( )A. B.4×3×2种C. D.1×2×3种答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理。
四年级奥数：加乘原理(二)
四年级奥数：加乘原理（二）现有红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面，用它们挂在旗杆上作信号（顺序不同时表示的信号也不同），总共可以做出多少种不同信号？ 【解析】做出的信号可以按照挂出的小旗面数分成三类： ①只有一面旗做信号，这样做出的信号有3种；熟练掌握加法与乘法原理，懂得用标数法、枚举法去解决问题，掌握常见的计数方法，在运用加乘原理解决综合性问题时，懂得分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；明确知道哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合和其解题的常用思路，从而达到真正的运用自如。
名师点题例1知识概述⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．②用二面小旗做信号，由乘法原理，做出的信号有3×2=6种。
③用三面小旗做信号，由乘法原理，做出的信号有3×2×1=6种。
根据加法原理，总共可以做出3+6+6=15种不同的信号。
用1，2，3，4四个数字，请问：可组成多少个数字不重复的自然数？【解析】 一位数：4个； 两位数：4×3=12（个）； 三位数：4×3×2=24（个）； 四位数：4×3×2×1=24（个） 共4+12+24+24=64（个）。
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加法原理与乘法原理
1. 一个礼堂有4个门，若从一个门进，从任一门出，共有不同走法（
）
A . 8 种B. 12 种 C. 16 种D. 24 种
2. 从集合A=（0,1,2,3,4｝中任取三个数作为二次函数y= ax2 + bx+ c的系数a, b, c.则可构成不同的二次函数的个数是（）
A . 48 B. 59 C. 60 D . 100
3. 某电话局的电话号码为168〜xx xxx，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有（）
A . 20 个B. 25 个C. 32 个D. 60 个
4. 在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为（）
A . 20 B. 10 C. 5 D . 24
5. 将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有（）
A . 8 种B. 15 种 C. 125 种D. 243 种
6. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）
A . 24 种B. 18 种 C. 12 种D . 6 种
7. 已知异面直线a, b上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可以确
定不同的平面个数为（）
A . 40
B . 13 C. 10 D. 16
8. 书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有（）
A . 336 种B. 120 种 C. 24 种D . 18 种
9. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，
则不同的报名方法共有()
A . 10 种B. 20 种 C. 25 种D. 32 种
10. 有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，
若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是()
A . 14
B . 23 C. 48 D. 120
11. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有()
A . 6 种B. 12 种C. 24 种D. 30种
12. 从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，其和是偶数，共得偶数.
13. 从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有
中不同的取法.
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其中共6个焊接点A 、B 、C 、D 、E 、F,如果某个焊接点脱落，整个电路就会 不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落可能性共有 （）
A . 6 种 B. 36 种 C. 63 种 D. 64 种
19. 已知互不相同的集合 A 、B 满足AU B= {a, b},则符合条件的 A, B 的组数共有 中.
20. 已知a, be {0,1,2，…，9}，若满足|a — b|< 1,则称a, b “心有灵犀”.则 a, b “心有灵犀”的情形共有（）
A . 9 种 B. 16 种 C. 20 种 D. 28 种
21. （2012 F 东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个 位数为0的概率是（）
22. 把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有 1个，最多5个，则不同的分
法共有（
）
A . 4种 B. 5种
C. 6种 D . 7种
23. 从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比 数列，这样的等比数列的个数为（
）
A . 3 B. 4 C. 6 D. 8
24. 若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得 者有 中不同情况（没有并列冠军）?
25. 有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这 6张 人民币可组成 中不同的币值. 26. 三边长均为整数，且最大边长为 11的
三角形共有
__ _ x 2 y 2
2 若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？
4 A.9 1
2
B .3 C
-9
1
D.9
27. 设椭圆m + %= 1的焦点在y轴上，me {1,2,3,4,5},
n€ {1,2,3,4,5,6,7},贝U这样的椭圆个数为 .
28. 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形
中与正八边形有公共边的三角形有 _______ 个.
14. 动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？
15. 用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色.
(1) 共有多少种不同的涂色方法？
(3) 小于500的无重复数字的三位整数？
(4) 小于500,且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数？
(5) 小于100的无重复数字的白然数？
17. 已知集合M = {1 , -2,3} , N = ( - 4,5,6, —7},从两个集合中各取一个
元素作为点的坐标，则在直角坐标系第一、第二象限中的不同点的个数有()
F , . E
A . 18 个B. 16 个C. 14 个D. 10 个IT ------ ―
18. 如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，[I 〒
16. 用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个.
(1)三位整数?
(2)无重复数字的三位整数？* 1 2 3 4 5—1—1。