数学实验“线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代解法”实验报告(内含matlab程序代码)

西京学院数学软件实验任务书

实验四实验报告

一、实验名称：线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代。 二、实验目的：熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线

性方程组121231

235210

64182514

x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩的根，提高matlab 编程能力。

三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。 四、实验原理：

1、雅可比迭代法（J-迭代法）：

线性方程组b X A =*，可以转变为：

迭代公式(0)(1)()

k 0,1,2,....k k J X

X

B X f +⎧⎪⎨=+=⎪⎩ 其中b M f U L M A M I B J 111),(---=+=-=，称J B 为求解

b X A =*的雅可比迭代法的迭代矩阵。以下给出雅可比迭代的

分量计算公式，令),....,()()(2)(1)(k n k k k X X X X =，由雅可比迭代公式有

b X

U L MX

k k ++=+)

()

1()(，既有i n

i j k i ij

i j k i

ij k i

ij b X a

X

a X a +-

-=∑∑+=-=+1

)(1

1

)()

1(，于

是，解b X A =*的雅可比迭代法的计算公式为

⎪⎩

⎪⎨⎧--==∑∑-=+=+)(1),....,(111)

()()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k i

T

n X a X a b a X X X X X 2、 高斯-赛德尔迭代法（GS-迭代法）：

GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进，给出了

迭代公式：⎪⎩

⎪⎨⎧--==∑∑-=+=+++)(1)

,....,(111)

1()1()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k i

T

n X a X a b a X X X X X 其余部分与雅克比迭代类似。 3、逐次超松弛迭代法（SOR-迭代法）：

选取矩阵A 的下三角矩阵分量并赋予参数w ，将之作为分裂矩阵M ，)(1

wL D w

M -=

，其中，w>0，为可选择的松弛因子，又（1）公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为A wL D w I B s 1)(---≡从而得到解b X A =*的逐次超松弛迭代法。

(0)(1)()

k 0,1,2,....k k s X

X

B X f +⎧⎪⎨=+=⎪⎩ 其中：

b

wL D w f wU D w wL D B s 1

1)())1(()(---=+--=

由此，解b X A =*的SOR-迭代法的计算公式为

⎪⎩

⎪⎨⎧--+==∑∑-=+=+++)(),....,(111)1()1()()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k i k i

T

n X a X a b a w X X X X X X （2） 观察（2）式，可得结论：

（1）、当w=1时，SOR-迭代法为J-迭代法。

（2）、当w>1时，称为超松弛迭代法，当w<1时，称为低松弛迭代法。

五、实验内容：

%1.J-迭代

function x1=jacobi(A,b,y);

m=input('请输入迭代次数m:');

eps=input('请输入精度eps:');

D=diag(diag(A));

L=triu(A)-A;

U=tril(A)-A;

M=D\(L+U);

g=D\b;

a=1;

k=0;

while a>eps

x2=M*x1+g;

a=norm(x2-x1,inf);

x1=x2;

k=k+1;

end

%输出方程组的近似解、精确值及误差

disp('近似解：');

disp(x1);

x2=x1-y;

a=norm(x2,inf);

fprintf('误差：%.6f;迭代次数：%d\n',a,k);

%2.GS-迭代

function x1=G_S(A,b,y)

n=100;

m=input('请输入迭代次数m:');

eps=input('请输入精度eps:');

D=diag(diag(A));

L=triu(A)-A;

U=tril(A)-A;

%生成矩阵M,向量g

M=(D-L)\U;

g=(D-L)\b;

%迭代首项

x1=eye(n-1,1);

x2=eye(n-1,1);

for i=1:n-1

x1(i)=1;

x2(i)=0;

end

a=1;

k=0;

while a>eps

x2=M*x1+g;

a=norm(x2-x1,inf); x1=x2;

k=k+1;

end