线性方程组的迭代解法(Matlab)

第六章线性方程组的迭代解法

2015年12月27日17:12

迭代法是目前求解大规模稀疏线性方程组的主要方法之一。包括定常迭代法和不定常迭代法，定常迭代法的迭代矩阵通常保持不变，包括有雅可比迭代法（Jacobi）、高斯-塞德尔迭代法（Gauss-Seidel）、超松弛迭代法（SOR）

1.雅可比迭代法（Jacobi）

A表示线性方程组的系数矩阵，D表示A的主对角部分，L表示下三角部分，U表示上三角部分。

A=D+L+U

要解的方程变为Dx+Lx+Ux=b

x=D^(-1)（b-（L+U）x）

所以Jocabi方法如下：

Matlab程序

function [x,iter] =jacobi(A,b,tol)

D=diag(diag(A));

L=D-tril(A);

U=D-triu(A);

x=zeros(size(b));

for iter=1:500

x=D\(b+L*x+U*x);

error=norm(b-A*x)/norm(b);

if(error

break;

end

End

2.高斯-塞德尔迭代法（Guass-Seidel）

在雅可比迭代法中将算出来的的分 马上投入到下一个迭代方程中进行

Matlab程序

function [x,iter]=guass_seidel(A,b,tol)

D=diag(diag(A));

L=D-tril(A);

U=D-triu(A);

x=zeros(size(b));

for iter=1:500

x=(D-L)\(U*x+b);

error=norm(b-A*x)/norm(b);

if(error

break;

end

end

3.超松弛迭代法（SOR）

GS迭代格式可以改写成

上面等式的右边第二项可以看成修正 ，在修正 之前加参数w（松弛因子），SOR迭代格式为

即

Matlab程序

function [x,iter]=sor(A,b,omega,tol)

D=diag(diag(A));

L=D-tril(A);

U=D-triu(A);

x=zeros(size(b));

for iter=1:500

x=(D-omega*L)\(omega*b+(1-omega)*D*x+omega*U*x);

error=norm(b-A*x)/norm(b);

if(error

break;

end

end