数据结构第7章 树形结构一

1 2 B 4 D 8 H I 9 10 J E 11 K 5 6 F G C A 3 7
完全二叉树
7.2.2 二叉树性质
性质1 非空二叉树上叶节点数等于双分支节点数加1。 证明：设二叉树上叶节点数为 n0 ，单分支节点数为 n1 ，双 分支节点数为 n2，则总节点数 n=n0+n1+n2。在一棵二叉树中， 所有节点的分支数（即度数）应等于单分支节点数加上双分支 节点数的2倍，即总的分支数=n1+2n2。 由于二叉树中除根节点以外，每个节点都有唯一的一个分支 指向它，因此二叉树中有：总的分支数=总节点数-1。 由上述三个等式可得：n1+2n2=n0+n1+n2-1 A 即：n =n +1
二叉树的五种基本形态： 空树 只含根节点
N
右子树为空树 左子树为空树
左右子树均 不为空树
N
N
N R
L
L
R
二叉树是可以采用树的逻辑结构表示法，其四种表示
法也都适用： 树形表示法 文氏图表示法 凹入表示法
括号表示法
在一棵二叉树中,如果所有分支节点都有左孩子节点和右孩 子节点，并且叶节点都集中在二叉树的最下一层，这样的二叉 树称为满二叉树。 下图所示就是一棵满二叉树。可以对满二叉树的节点进行 连续编号，约定编号从树根为 1开始，按照层数从小到大、同 一层从左到右的次序进行。图中每个节点外边的数字为对该节 1 点的编号。 A
B C D
E K L
F
G
H M
I
J
7.1.6 树的存储结构
1. 双亲存储结构
这种存储结构是一种顺序存储结构，用一组连续空间 存储树的所有节点，同时在每个节点中附设一个伪指针指 示其双亲节点的位置。
A B E C F (a) D G 0 1 2 3 4 5 6 A B C D E F G (b) -1 0 0 0 2 2 2
例：一棵度为4的树T中，若有20个度为4的节点，10个
度为3的节点，1个度为2的节点，10个度为1的节点，则树T
的叶子节点个数是 A.41 C.113 注：本题为2010年全国考研题 。 B.82 D.122
性质 2 i≥1。
度为m 的树中第 i 层上至多有 mi-1 个节点，这里应有
证明（采用数学归纳法）
2 B 4 D 8 H I 9 10 J E 11 12 K L 5 6 F 13 14 M N G 15 O C 3 7
满二叉树
若二叉树中最多只有最下面两层的节点的度数可以小于 2， 并且最下面一层的叶节点都依次排列在该层最左边的位置上， 则这样的二叉树称为完全二叉树。 如下图所示为一棵完全二叉树。同样可以对完全二叉树中每 个节点进行连续编号，编号的方法同满二叉树相同。图中每个 节点外边的数字为对该节点的编号。
A B F C G J H K D I L M
E
5. 节点的层次和树的高度：树 中的每个节点都处在一定的层次上。 节点的层次从树根开始定义，根节 点为第1层，它的孩子节点为第2层, 以此类推 , 一个节点所在的层次为 B 其双亲节点所在的层次加 1 。树中 E F 节点的最大层次称为树的高度（或 树的深度）。 6. 有序树和无序树：若树中各 节点的子树是按照一定的次序从左 向右安排的，且相对次序是不能随 意变换的，则称为有序树，否则称 为无序树。
B E
A C F (a) D G
2. 孩子链存储结构
孩子链存储结构可按树的度（即树中所有节点度的最大值） 设计节点的孩子节点指针域个数。以下左图的树对应的孩子链 存储结构如右图所示。
A A B B D E G F G ∧ ∧ ∧ C D ∧ ∧ ∧ E
∧ ∧ ∧
C ∧ ∧ ∧ F ∧ ∧ ∧
树的孩子链存储结构示意图
孩子链存储结构的节点类型声明如下：
typedef struct node { ElemType data; struct node *sons[MaxSons]; } TSonNode; //节点的值 //指向孩子节点
其中，MaxSons为最多的孩子节点个数。
思考题：有多少个空指针域？
思考题：该存储结构的优缺点？
递归定义：
树是由n（n≥0）个节点组成的有限集合（记为T）。其中： 如果n=0，它是一棵空树，这是树的特例； 如果n>0，这n个节点中存在（有仅存在）一个节点 作为树的根节点，简称为根节点（root），其余节点 可分为m （m>0）个互不相交的有限集T1,T2,…,Tm, 其中每一棵子集本身又是一棵符合本定义的树，称 为根root的子树。
A C B E F G I L K M E D H A
B
F
C G J H
D
I K L M
J
逻辑结构表示2
（3）凹入表示法。使用线段的伸缩描述树结构。下 图是树的凹入表示法。
A
B
E F
C G J H
D
I K L M
逻辑结构表示3
（4）括号表示法。将树的根节点写在括号的左边，除 根节点之外的其余节点写在括号中并用逗号间隔来描述 树结构。下图是树的括号表示法。
B E F
C G J
2. 分支节点与叶节点：度不为零的节点称为非终端节点 பைடு நூலகம் 又叫分支节点。度为零的节点称为终端节点或叶节点。在分 支节点中，每个节点的分支数就是该节点的度。如对于度为 1的节点,其分支数为1，被称为单分支节点；对于度为 2的节 点，其分支数为2，被称为双分支节点，其余类推。
3. 路径与路径长度：对于任意 两个节点 di 和 dj ，若树中存在一个节 点序列 di,di1,di2,…,din,dj ，使得序列中 除di外的任一节点都是其在序列中的 B 前一个节点的后继，则称该节点序 F 列为由 di 到 dj 的一条路径，用路径所 E 通 过的 节 点 序 列 (di,di1,di2,…,dj) 表示 这条路径。 路径长度等于路径所通过的节点 数目减1（即路径上分支数目）。
E B F
A C G J H K D I L M
的度数加1。
证明：根据树的定义，在一棵树中， 除树根节点外，每个节点有且仅有一 个前驱节点。也就是说，每个节点与 指向它的一个分支一一对应，所以除 树根之外的节点数等于所有节点的分 支数（度数），从而可得树中的节点 数等于所有节点的度数加1。
度之和＝分支数 分支数=n-1 所以，n=度之和+1
树的双亲存储结构示意图
双亲存储结构的类型声明如下：
typedef struct { ElemType data; //节点的值 int parent; //指向双亲的位置
0 1 2 3 4 5 6 A B C D E F G (b) -1 0 0 0 2 2 2
} PTree[MaxSize];
思考题：该存储结构的优缺点？
由树的性质2可推出。 性质3 高度为h的二叉树至多有2h-1个节点（h≥1）。
1
由树的性质3可推出。
4 D 8 H
A C 3 7 F 11 12 K L 13 14 M N G 15 O
2 B 5 E 9 10 I J 6
满二叉树
性质4 对完全二叉树中编号为i的节点（1≤i≤n，n≥1，n 为节点数）有：
对于第一层,因为树中的第一层上只有一个节点，即整个树的 根节点 , 而由 i=1 代入 mi-1 ，得 mi-1=m1-1=1 ，也同样得到只有一个 节点，显然结论成立。 假设对于第(i-1)层（i＞1）命题成立，即度为m的树中第(i-1) 层上至多有mi-2个节点。
则根据树的度的定义，度为m的树中每个节点至多有 m个孩 子节点，所以第 i 层上的节点数至多为第 (i-1) 层上节点数的 m 倍， A 即至多为mi-2×m=mi-1个，这与命题相同，故命题成立。
root
T1
T2
…
Tm
7.1.2 树的表示
（1）树形表示法。这是树的最基本的表示，使用一棵倒 置的树表示树结构，非常直观和形象。下图就是采用这种表 示法。
A C F G J H K
B
E
D
I L M
逻辑结构表示1
（2）文氏图表示法。使用集合以及集合的包含关系描述树结 构。下图就是树的文氏图表示法。
A C G H
D
I
J
K
L
M
A到K的路径为A,D,I,K，
其长度为3
4. 孩子节点、双亲节点和兄弟节 点：在一棵树中，每个节点的后继， 被称作该节点的孩子节点（或子女节 点）。相应地，该节点被称作孩子节 点的双亲节点（或父母节点）。 具有同一双亲的孩子节点互为兄弟 节点。进一步推广这些关系，可以把 每个节点的所有子树中的节点称为该 节点的子孙节点。 从树根节点到达该节点的路径上经 过的所有节点被称作该节点的祖先节 点。
求解方法归纳
求解树的节点个数问题：对于度为m的树，在n、n0、n1、 n2、…、nm中只有两个参数未知时，一般可求出这两个值。 例如求n和n0的求解过程如下：
n=n0+n1+…+nm 度之和=n－1 度之和=n1+2n2+…+mnm 所以有：n＝n1+2n2+…+mnm+1=n0+n1+…+nm
这样：n0=n2+…+(m－1)nm+1
A(B(E,F),C(G(J)),D(H,I(K,L,M)))
B
A C F G J H K
D
I L M
括号表示法
E
7.1.3 树的基本术语
A
度为3 度为2 D H K I L M
1. 节点的度与树的度：树中某
个节点的子树的个数称为该节点的 度。树中各节点的度的最大值称为 树的度，通常将度为 m 的树称为 m 次树。