算法设计与分析-回溯法

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算法设计与分析——批处理作业调度（回溯法）

算法设计与分析——批处理作业调度（回溯法）之前讲过⼀个相似的问题流⽔作业调度问题，那⼀道题最开始⽤动态规划，推到最后得到了⼀个Johnson法则，变成了⼀个排序问题，有兴趣的可以看⼀下本篇博客主要参考⾃⼀、问题描述给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。

每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。

作业Ji需要机器j的处理时间为t ji。

对于⼀个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。

所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。

批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度⽅案，使其完成时间和达到最⼩。

例：设n=3，考虑以下实例：看到这⾥可能会对这些完成时间和是怎么计算出来的会有疑问，这⾥我拿123和312的⽅案来说明⼀下。

对于调度⽅案（1,2,3）作业1在机器1上完成的时间是2，在机器2上完成的时间是3作业2在机器1上完成的时间是5，在机器2上完成的时间是6作业3在机器1上完成的时间是7，在机器2上完成的时间是10所以，作业调度的完成时间和= 3 + 6 + 10这⾥我们可以思考⼀下作业i在机器2上完成的时间应该怎么去求？作业i在机器1上完成的时间是连续的，所以是直接累加就可以。

但对于机器2就会产⽣两种情况，这两种情况其实就是上图的两种情况，对于（1,2,3）的调度⽅案，在求作业2在机器2上完成的时间时，由于作业2在机器1上还没有完成，这就需要先等待机器1处理完；⽽对于（3,1,2）的调度⽅案，在求作业2在机器2上完成的时间时，作业2在机器1早已完成，⽆需等待，直接在作业1被机器1处理之后就能接着被处理。

综上，我们可以得到如下表达式if(F2[i-1] > F1[i])F2[i] = F2[i-1] + t[2][i]elseF2[i] = F1[i] + t[2][i]⼆、算法设计类Flowshop的数据成员记录解空间的结点信息，M输⼊作业时间，bestf记录当前最⼩完成时间和，数组bestx记录相应的当前最佳作业调度。

算法设计与分析中的贪心算法与回溯法

算法设计与分析中的贪心算法与回溯法算法设计与分析领域中，贪心算法和回溯法是两种常用的解题方法。

本文将介绍这两种算法，并比较它们在不同场景下的优势和劣势。

一、贪心算法贪心算法是一种在每一步都选择当前最优解的策略，希望通过局部最优解的选择最终达到全局最优解。

贪心算法的实现较为简单，时间复杂度较低，适用于解决一些最优化问题。

贪心算法的基本思想是每次都选择当前状态下的最优解，并将其加入到解集中。

例如，在求解最小生成树的问题中，贪心算法会选择当前具有最小权值的边，并将其添加到最终结果中，直到生成树完成。

然而，贪心算法的局限性在于它只考虑了当前的最优解，无法保证找到全局最优解。

在某些问题中，贪心算法可能会陷入局部最优解而无法跳出。

因此，需要在具体问题中综合考虑问题的性质和约束条件来确定是否适合采用贪心算法。

二、回溯法回溯法是一种通过不断尝试可能的步骤来寻找问题解的方法。

它通常基于递归的思想，在每一步都尝试所有的可能选择，并逐步构建解空间，直到找到解或确定无解。

回溯法的核心思想是深度优先搜索，通过遍历解空间树来寻找解。

在每一步，回溯法都会考虑当前状态下的所有可能选择，并递归地进入下一步。

如果某一步的选择无法达到目标，回溯法会回退到上一步进行其他可能的选择。

回溯法常用于解决一些全排列、子集和组合等问题。

例如，在解决八皇后问题时，回溯法通过逐个放置皇后并进行合法性判断，直到找到所有解或遍历完所有可能的情况为止。

然而，回溯法的缺点在于其时间复杂度较高，其搜索过程包含了大量的重复计算。

因此，在使用回溯法解决问题时，需注意适当剪枝以减少搜索空间，提高算法效率。

三、贪心算法与回溯法的比较贪心算法和回溯法都是常用的算法设计与分析方法，但其适用场景和效果有所差异。

贪心算法在解决问题时能够快速找到局部最优解，并且具有较低的时间复杂度。

它适用于一些满足最优子结构性质的问题，例如最小生成树、单源最短路径等。

然而，贪心算法无法保证一定能找到全局最优解，因此需根据具体问题的特点来判断是否使用。

算法分析与设计

他把1,2,3,...16 这16个数字填写在4 x 4的方格中。 16 ? ? 13 ? ? 11 ? 9??* ? 15 ? 1
表中有些数字已经显露出来，还有些用?和*代替。请你计算出? 和 * 所代表的数字。并把 * 所代表的数字作为本题答案提交。
素数环问题
素数环是一个计算机程序问题，指的是将从1到n这n个整数围成一个圆环，若其中任意2个相邻的数字相加，结果均为素数，那么这个环就成为素数环。现在要求输入一个n，求n个数围成一圈有多少种素数环，规定第一个数字是1。 143256 165234
例如当n=5，m=4时，面值为1，3，11，15，32的5种邮票可以贴出邮资的最大连续区间是1到70。
➢ 通用的解题法 ➢ 核心在于构造解空间树：
➢ 子集树 ➢ 排列树 ➢ 回溯法是优化的暴力搜索： ➢ 不满足限制条件； ➢ 当前解与最优解进行预计算； ➢ 学习回溯法：心中有树
回溯法
总结
➢ 动态规划适合两个连续步骤之间有联系的问题； ➢ 回溯法几乎适用于所有的问题，但问题之间最好有明确的层次。
总结
➢ 构造心中的解空间树是关键； ➢ 回溯法与函数的局部变量； ➢ 访问解空间树的优化处理；
迷宫问题中的回溯法
➢ 四邻域 ➢ 八邻域
图论问题
无向图： ➢ 连通 ➢ 不连通
有向图： ➢ 弱连通 ➢ 单向连通 ➢ 强连通
最大团问题
连通子图（分支）
最大团问题
给定无向图G=(V,E)，如果UV，且对任意的u,vU，都有(u,v)E，则称U是G的完全子图。G的完全子图U是G 的一个团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G中的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
yes no yes
➢ 通用的解题法 ➢ 核心在于构造解空间树：

算法分析与设计实验报告--回溯法

算法分析与设计实验报告--回溯法实验目的：通过本次实验，掌握回溯法的基本原理和应用，能够设计出回溯法算法解决实际问题。

实验内容：1.回溯法概述回溯法全称“试探回溯法”，又称“逐步退化法”。

它是一种通过不断试图寻找问题的解，直到找到解或者穷尽所有可能的解空间技术。

回溯法的基本思路是从问题的某一个初始状态开始，搜索可行解步骤，一旦发现不满足求解条件的解就回溯到上一步，重新进行搜索，直到找到解或者所有可能的解空间已经搜索完毕。

2.回溯法的基本应用回溯法可用于求解许多 NP 问题，如 0/1 背包问题、八皇后问题、旅行商问题等。

它通常分为两种类型：一种是通过枚举所有可能的解空间来寻找解；另一种则是通过剪枝操作将搜索空间减少到若干种情况，大大减少了搜索时间。

3.回溯法的解题思路（1）问题分析：首先需要对问题进行分析，确定可行解空间和搜索策略；（2）状态表示：将问题的每一种状况表示成一个状态；（3）搜索策略：确定解空间的搜索顺序；（4）搜索过程：通过逐步试探，不断扩大搜索范围，更新当前状态；（5）终止条件：在搜索过程中，如果找到了满足要求的解，或者所有的可行解空间都已搜索完毕，就结束搜索。

4.八皇后问题八皇后问题是指在一个 8x8 的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。

通过回溯法可以求解出所有的可能解。

实验过程：回溯法的实现关键在于搜索空间的剪枝，避免搜索无用的解；因此，对于八皇后问题，需要建立一个二维数组来存放棋盘状态，以及一个一维数组来存放每行放置的皇后位置。

从第一行开始搜索，按照列的顺序依次判断当前的空位是否可以放置皇后，如果可以，则在相应的位置标记皇后，并递归到下一行；如果不能，则回溯到上一行，重新搜索。

当搜索到第八行时，获取一组解并返回。

代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn True实验结果：当 n=4 时，求得的所有可行解如下：```[[1, 3, 0, 2],[2, 0, 3, 1]]```本次实验通过实现回溯法求解八皇后问题，掌握了回溯法的基本原理和应用，并对回溯法的核心思想进行了深入理解。

中国象棋中马的走法(回朔法)——算法分析与设计

实验五：中国象棋中马的走法。

（回溯法）1.问题描述：在4×5的棋盘上已知马的起始坐标(x,y)，求马能够返回到起始位置的不重复的所有不同走法的总数。

问题分析：(1)读入马的起始位置，进行合法性判断；(2)从起始位置开始搜索，搜索方法采用深搜，累计总数；(3)输出结果。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int array[2][8] = {{-1, -1, -2, -2, 2, 2, 1, 1},{-2, 2, 1, -1, 1, -1, 2, -2}};//表示马跳的8个方向int chess[4][5];//表示棋盘，1：表示已经在较早的时候走过，0：则没有int total = 0;//统计走法的个数int sx, sy;//(sx,sy)表示马的起始坐标void find_way(int p1, int p2);//回溯的过程void main(){ int i, j;for(i = 0; i < 4; i++)for(j = 0; j < 5; j++)chess[i][j] = 0;printf("输入马的起始坐标:\n");scanf("%d", &sx);scanf("%d", &sy);printf("sx = %d, sy = %d\n", sx, sy);if ((sx < 0)||(sx >= 4)||(sy < 0)||(sy >= 5))printf("ERROR\n");else{chess[sx][sy] = 1;find_way(sx, sy);//从起始位置开始试探printf("total = %d\n", total);getchar();}}void find_way(int p1, int p2){ int i, pi, pj;for(i = 0; i < 8; i++){//向8个方向试探pi = p1 + array[0][i];pj = p2 + array[1][i];if((sx == pi)&&(sy == pj))total++;//找到一种走法,(sx,sy)表示起点else if( (pi >= 0)&&(pi < 4)&&(pj >= 0)&&(pj < 5)&&(chess[pi][pj] == 0)){//继续试探chess[pi][pj] = 1;find_way(pi, pj);chess[pi][pj] = 0;}}//for}测试报告1.输入马的起始（3.4）2.运行结果。

回溯法论文-回溯法的分析与应用

沈阳理工大学算法实践与创新论文摘要对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的，算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。

为了更加的了解算法，本篇论文中，我们先研究一个算法---回溯法。

回溯法是一种常用的重要的基本设计方法。

它的基本做法是在可能的范围之内搜索，适于解一些组合数相当大的问题。

圆排列描述的是在给定n个大小不等的圆 C1,C2,…,Cn,现要将这n个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。

圆排列问题要求从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。

图着色问题用数学定义就是给定一个无向图G=（V, E），其中V为顶点集合，E为边集合，图着色问题即为将V分为K个颜色组，每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。

其优化版本是希望获得最小的K值。

符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。

在本篇论文中，我们将运用回溯法来解决着图的着色问题，符号三角形问题，图排列问题，将此三个问题进行深入的探讨。

关键词: 回溯法图的着色问题符号三角形问题图排列问题目录第1章引言 (1)第2章回溯法的背景 (2)第3章图的着色问题 (4)3.1 问题描述 (4)3.2 四色猜想 (4)3.3 算法设计 (5)3.4 源代码 (6)3.5 运行结果图 (10)第4章符号三角形问题 (11)4.1 问题描述 (11)4.2 算法设计 (11)4.3 源代码 (12)4.4 运行结果图 (16)第5章圆的排列问题 (17)5.1 问题描述 (17)5.2 问题分析 (17)5.3 源代码 (18)5.4 运行结果图 (22)结论 (23)参考文献 (24)第1章引言在现实世界中，有相当一类问题试求问题的全部解或求问题的最优解。

最基本的方法是通过枚举法搜索问题的解空间。

但许多问题解空间的大小随问题规模n的增长呈指数规律增长，这就使问题理论上可解而实际不可行。

《算法设计与分析》课程实验报告 (回溯法(二))

《算法设计与分析》课程实验报告实验序号：10实验项目名称：实验十一回溯法（二）一、实验题目1.图的着色问题问题描述：给定无向连通图G和m种不同的颜色。

用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。

如果有一种着色法使G中每条边的2个顶点着不同颜色，则称这个图是m可着色的。

图的m着色问题是对于给定图G和m种颜色，找出所有不同的着色法。

2.旅行商问题问题描述：给出一个n个顶点的带权无向图，请寻找一条从顶点1出发，遍历其余顶点一次且仅一次、最后回到顶点1的最小成本的回路——即最短Hamilton回路。

3.拔河比赛问题描述：某公司的野餐会上将举行一次拔河比赛。

他们想把参与者们尽可能分为实力相当的两支队伍。

每个人都必须在其中一只队伍里，两队的人数差距不能超过一人，且两队的队员总体重应该尽量接近。

4.批处理作业调度问题描述：给定n个作业的集合J=(J1,J2, .. Jn)。

每个作业J都有两项任务分别在两台机器上完成。

每个作业必须先由机器1处理，再由机器2处理。

作业i需要机器j的处理时间为tji(i=1,2, ..n; j=1,2)。

对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间，则所有作业在机器2上完成处理的时间和，称为该作业调度的完成时间和。

批处理作业调度问题要求，对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。

二、实验目的（1）通过练习，理解回溯法求解问题的解状态空间树与程序表达的对应关系，熟练掌握排列树、子集树的代码实现。

（2）通过练习，体会减少搜索解空间中节点的方法，体会解的状态空间树的组织及上界函数的选取对搜索的影响。

（3）通过练习，深入理解具体问题中提高回溯算法效率的方法。

（4）（选做题）：在掌握回溯法的基本框架后，重点体会具体问题中解的状态空间搜索时的剪枝问题。

三、实验要求（1）每题都必须实现算法、设计测试数据、记录实验结果，并给出时间复杂度分析。

四、实验过程（算法设计思想、源码）1.图的着色问题(1)算法设计思想用邻接矩阵a[i][j]存储无向图，对于每一个顶点有m种颜色可以涂。

算法设计与分析---回溯实验报告

《算法设计与分析》实验报告实验三回溯法3.迷宫问题一天Luna在森林里探险的时候不小心走入了一个迷宫，迷宫可以看成是由n * n的格点组成，每个格点只有2种状态，. 和#，前者表示可以通行后者表示不能通行。

同时当Luna处在某个格点时，她只能移动到东南西北(或者说上下左右)四个方向之一的相邻格点上，Luna想要从点A走到点B（不能走出迷宫）。

如果起点或者终点有一个不能通行(为#)，则看成无法办到。

[输入]第1行是测试数据的组数k，后面跟着k组输入。

每组测试数据的第1行是一个正整数n (1 <= n <= 100)，表示迷宫的规模是n * n 的。

接下来是一个n * n的矩阵，矩阵中的元素为. 或者#。

再接下来一行是4个整数ha, la, hb, lb，描述A处在第ha行, 第la列，B处在第hb 行, 第lb列。

注意到ha, la, hb, lb全部是从0开始计数的。

1.八皇后问题1.1解题思路八皇后问题的解法，很简单的解法。

通过回溯实现枚举。

对于当前行，尝试是否可在当前列放置皇后，然后进入下一行的尝试，同时尝试完毕以后，要将当前行回复（回溯），来进行下一次尝试。

到达最后一行的时候，即递归结束条件，打印结果即可。

1.2程序运行情况1.3所有的皇后解见附录。

（毕竟92个解...）1.4程序源码（含注释）2. 24点问题2.1 解题思路这题虽然使用dfs很简单，但是有一点思维在里面。

我很惭愧，自己没有想出来怎么如意的独立AC此题。

遇到的最大的问题——如何插入括号？枚举插入、和运算符一同排列都不靠谱。

解决方法是：用同等的办法转化。

每一次从待组合的是数字中，任取两个数，随机用运算符计算完毕后，再放回去。

下一次计算，再次重复这个过程，可以等价为有括号的运算方式了。

遇到第二个问题——如何实现这种“任取两个数”的选择方式。

这里就直接体现出了我个人能力的不足。

居然没想到。

尝试使用STL的set，但是没成功。

计算机算法设计与分析第5章回溯算法PPT课件

注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
22.09.2020
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5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}，所有可能的解向量构成了问题的解空间。
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提纲
一、回溯法的算法框架二、装载问题三、n后问题四、0-1背包问题五、最大团问题六、图的m着色问题七、旅行售货员问题
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提纲
一、回溯法的算法框架二、装载问题三、n后问题四、0-1背包问题五、最大团问题六、图的m着色问题七、旅行售货员问题
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2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员要到若干城市去推销商品，一直各城市之间的路程，他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到住地的路线，使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
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5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms

算法分析与设计回溯法

组织解空间（3）
子集和数问题
解空间由根结点到叶结点旳全部途径拟定
状态空间树
– 对于任何一种问题，一旦设想出一种状态空间树，那么就能够先系统地生成问题状态，接着拟定这些问题状态中旳哪些是解状态，最终拟定哪些解状态是答案状态从而将问题解出
– 生成问题状态旳两种措施便于问题旳描述，给出下列概念：
索过程中用剪枝函数防止无效搜索；
回溯算法旳形式描述
假设回溯算法要找出全部旳答案结点而不是仅仅只找出一种。 ① 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一种结点(问题状态)旳途径。 ② T(x1,x2,…,xi-1)是下述全部结点旳xi旳集合，它使得对于每一种xi, (x1,x2,…,xi)是一条由根到结点xi旳途径 ③ 存在某些限界函数Bi(能够表达成某些谓词)，假如途径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到一种答案结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，不然取真值。
end BACKTRACK
回溯算法旳递归表达
procedure RBACKTRACK(k)
global n, X(1:n) for 满足下式旳每个X(k)
X(k) ∈T(X(1),…X(k-1)) and B(X(1),…X(k))=true do
if(X(1),…,X(k)) 是一条已到达一答案结点旳途径
m=1+m1+m1m2+m1m2m3+…
Monte Carlo效率估计算法
procedure ESTIMATE m1; r 1; k 1 loop Tk{X(k):X(k)∈ T(X(1),…X(k-1)) and B(X(1),…X(k))} if SIZE(Tk)=0 then exit endif rr*SIZE(Tk) mm+r X(k)CHOOSE(Tk) KK+1 repeat return(m)

计算机算法的设计与分析方法

计算机算法的设计与分析方法计算机算法是解决问题的步骤和顺序的有序集合，是计算机科学和信息技术中的重要组成部分。

良好的算法设计与分析方法是确保计算机程序高效运行和问题解决的关键。

下面将介绍计算机算法的设计与分析方法，包括以下几个方面：1. 算法设计的基本原则：- 清晰和准确：算法应该清楚地描述每个步骤，确保没有歧义和模棱两可的地方。

- 可行和实用：算法应该可行和实用，要能在合理的时间和空间复杂度内完成任务。

- 高效和优化：算法应该尽可能地高效和优化，减少不必要的计算和资源消耗。

2. 算法设计的常用方法：- 贪心算法：每一步选择局部最优解，最终达到全局最优解。

- 分治法：将问题分解成子问题，递归地求解子问题，再组合子问题的解得到原问题的解。

- 动态规划：将问题分解成子问题，并且存储子问题的解，避免重复计算。

- 回溯法：通过不断回溯和试探，找到问题的解。

3. 算法分析的常用方法：- 时间复杂度：衡量算法运行时间的重要指标，通常用大O表示法表示。

- 空间复杂度：衡量算法所需的存储空间的重要指标，通常也用大O表示法表示。

- 正确性：分析算法的正确性，确保算法能够得出正确的结果。

- 稳定性：分析算法的稳定性，确保算法在不同输入下的行为一致。

4. 算法设计与分析的步骤：- 明确问题：首先要明确问题，并理解问题的背景和需求。

- 分析问题：分析问题的特点和要求，理清解决问题的思路和步骤。

- 设计算法：根据问题的特点和解决思路，选择合适的算法设计方法。

- 编写代码：根据算法的设计，编写相应的代码实现。

- 测试与调试：对编写的代码进行测试与调试，确保程序正常运行。

- 优化与改进：在代码运行过程中，不断优化和改进算法，使其更加高效。

计算机算法的设计与分析是计算机科学中的重要课题，每个学习计算机的人都应该掌握这些基本技能。

通过良好的算法设计与分析，可以提高计算机程序的运行效率和问题解决能力，为解决实际问题提供强有力的支持。

第5章回溯法

◎四川师范大学计算机科学学院刘芳 27
算法设计与分析<<回溯法
小结
回溯法解题的特征
在深度优先搜索过程中动态产生问题的解空间。几个术语
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的
结点称做活结点死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点。
有限集, 设已有满足约束条件的部分解(x1, x2,… xi)添加xi+1 si+1,
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加xi+2 ；若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去掉xi ,
回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
回溯法分支限界法
◎四川师范大学计算机科学学院刘芳 3
算法设计与分析<<回溯法
问题的解空间
问题的解向量：
问题的解可以表示成一个n元式(x1, x2,… xn)的形式。
问题的解空间
E={(x1, x2,… xn)| xi si , si为有限集 }称为问题的解空
间
约束条件
分析：
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成，其中如：
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
骤，而每一个步骤都有若干种可能的分支，为了完成这一过程，又必须遵守一些规则，

算法设计与分析课件--回溯法-作业调度问题

❖ 计算任务由计算机的中央处理器完成，打印输出任务由打印机完成。
❖ 计算机处理器是机器1，打印机是机器2。
5
5.4 作业调度问题
tmi 作业J1 作业J2 作业J3
机器m1 2 3 2
机器m2 1 1 3
调度一：1, 2, 3
F11=2 F21=3 F12=5 F22=5+1=6 F13=7 F23=7+3=10 f = F21+F22+F23 = 19
cf<bestf，限界条件满 K L
足，扩展生成的结点
J成为活结点。
24
5.4 作业调度问题
tmi 机器m1 机器m2
作业J1
2
1
作业J2
3
作业J3
2
1
A
3
x1=1 x1=2
B
C
x1=3 D
◼ 沿着结点 J 的x3=1 x2=2 x2=3 x2=1 x2=3 x2=1 x2=2
的分支扩展：
E
FG
H
//更新完成时间之和
if (f < bestf)
//判断与当前最优解之间的关系
Swap(x[i], x[j]);
//将j位置上的任务序号与i位置上的互换
backtrack(i+1);
//递归进行下一层的调度
Swap(x[i], x[j]);
//回溯，还原，执行第i层的下一个任务
f1 f1 - M[x[j]][1]; //出栈要回溯到父亲节点，先恢复数据；
K
L
❖此时，找到比先前更优的一种调度方案 (1,3,2) ，修改 bestf=18 。
14

算法分析设计回溯法求解装载问题实验报告

(1) (1)，xi(2)源自，…，xi(mi)
(mi-1)
，|Si| =mi，i=1，2，…，n。从根开始，
让 T 的第 I 层的每一个结点都有 mi 个儿子。这 mi 个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的，xi+1
(2)
，…，xi+1
，i=0，1，2，…，n-1。照这种构造方式，E
中的一个 n 元组（x1，x2，…，xn）对应于 T 中的一个叶子结点，T 的根到这个叶子结点的路径上依次的 n 条边的权分别为 x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，对于任意的 0≤i≤n-1，E 中 n 元组（x1，x2，…，xn）的一个前缀 I 元组（x1，x2，…，xi）对应于 T 中的一个非叶子结点，T 的根到这个非叶子结点的路径上依次的 I 条边的权分别为 x1，x2，…，xi，反之亦然。特别，E 中的任意一个 n 元组的空前缀（），对应于 T 的根。因而，在 E 中寻找问题 P 的一个解等价于在 T 中搜索一个叶子结点，要求从 T 的根到该
叶子结点的路径上依次的 n 条边相应带的 n 个权 x1，x2，…，xn 满足约束集 D 的全部约束。在 T 中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀 1 元组（x1i）、前缀 2 元组（x1，x2）、…，前缀 I 元组（x1， x2，…，xi），…，直到 i=n 为止。在回溯法中，上述引入的树被称为问题 P 的状态空间树；树 T 上任意一个结点被称为问题 P 的状态结点；树 T 上的任意一个叶子结点被称为问题 P 的一个解状态结点；树 T 上满足约束集 D 的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题 P 的一个回答状态结点，它对应于问题 P 的一个解。

算法——回溯法

算法——回溯法回溯法回溯法有“通⽤的解题法”之称。

⽤它可以系统地搜索⼀个问题的所有解或任⼀解。

回溯法是⼀种即带有系统性⼜带有跳跃性的搜索算法。

它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。

算法搜索⾄解空间树的任⼀结点时，先判断该节点是否包含问题的解。

如果不包含，则跳过对以该节点为根的⼦树的搜索，逐层向其它祖先节点回溯。

否则，进⼊该⼦树，继续按照深度优先策略搜索。

回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。

回溯法求问题的⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可结束。

这种以深度优先⽅式系统搜索问题的算法称为回溯法，它是⽤于解组合数⼤的问题。

问题的解空间⽤回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间⾄少包含问题的⼀个（最优）解。

例如对于有n种可选择物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有可能的0-1赋值。

例如n=3时，其解空间是{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}定义了问题的解空间后，还应该将解空间很好地组织起来，使得能⽤回溯法⽅便地搜索整个解空间。

通常将解空间组织成树或者图的形式。

例如，对于n=3时的0-1背包问题，可⽤⼀颗完全的⼆叉树表⽰其解空间，如下图。

解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。

从树根到叶⼦的任⼀路径表⽰解空间中的⼀个元素。

例如，从根节点到节点H的路径相当与解空间中的元素(1,1,1)。

回溯法的基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索⽅式搜索整个解空间。

回溯法以这种⼯作⽅式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为⽌。

回溯法搜索解空间树时，通常采⽤两种策略避免⽆效搜索，提⾼回溯法的搜索效率。

其⼀是⽤约束函数在当前节点（扩展节点）处剪去不满⾜约束的⼦树；其⼆是⽤限界函数剪去得不到最优解的⼦树。