曲线坐标下三维水动力学生态综合模型的建立

H
∂ − ∂x j
C C
2 c µ ρ k ∂T + ∂ − ρ v ′jθ ′ εσ T ∂x j ∂x j
(
)
浓度
C
~C ) ∂ (w s Q +S − ∂z
−
∂ ∂x j
2 c µ ρ k ∂C + ∂ − ρ v ′j c ′ εσ c ∂x j ∂x j
µe = µ + µt ;G = µe
∂vi ∂x j
+
∂v j ∂vi µ ∂T ; B = ρβg i e ; Pb = − ρβg i vi′θ ′; ∂xi ∂ ∂ σ x x j T i
Pk = − ρ vi′v ′j
∂v j ∂v ∂vi ; Pij = − ρ ; Pij ,b = − ρβ g i v ′jθ ′ + g j vi′θ ′ ; + vl′v ′j i vi′vl′ ∂xl ∂x j ∂xl
表1
∂φ ∂ ∂ ′ + Sφ ′′ = (ρφ ) + ∂ (ρv jφ ) = ∂ + Sφ Γφ ∂xi ∂t ∂x j ∂xi ∂xi
Sφ Γφ
∂φ + Sφ Γφ ∂x i
(10)
方程
φ
′ Sφ
0
′′ Sφ
0
连续 动量
1 vi
2 代数应力控制方程转换及其离散
(9)
2.1 基本方程 在天然水域中，由于温度、盐度或含沙量的不同，经常出现水体分层现象。倪浩清、周力行 等于1987年4月首次提出了改进的双方程k-ε模型[7]，首次运用于分层流的模拟中，并取得了一定的成功，但 由于改进的k-ε模型属于经验性关系，求解缺乏系统性。稍后倪浩清、周力行等于1987年7月提出了改进的代 [8] 数应力模型 ，取得了满意的结果。这就充分发挥了代数应力湍流模型固有的各向异性的特征，从而克服了双 方程中k-ε模型经验性的弱点。从此，对分层流的模拟取得了较大进展。但对于不规则边界的天然河流及海湾 等问题，其使用受到了很大限制。为此，采用坐标变换是解决该问题的途径之一。现将笛卡儿坐标的三维湍流 代数应力/热流模型的通用形式列表1，以便该模型方程组的转换。
∂ξ j ∂xi
式中:
=
1 aij J
(5)
Jacobin行列式为
∂x ∂ξ ∂x J= ∂η ∂x ∂ξ
∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ξ
∂z ∂ξ ∂z ∂η ∂z ∂ξ
(6)
2
水
2005 年 8 月
利
∂y ∂ξ ∂x ∂ξ ∂x ∂ξ
学
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报
第 36 卷 第8期
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aij为下列伴随矩阵A 的元素(度量系数)
(7)
这样便可得到下列Eulerian型曲线坐标系中的转换控制方程守恒形式
∂ ∂ ∂ ∂ M+ F+ G+ H =Q ∂τ ∂ξ ∂η ∂ξ
其中:
(8)
M = JM ; Q = JQ; F = Fa11 + Ga 21 + Ha31 ; G = Fa12 + Ga 22 + Ha32 ; H = Fa13 + G a 23 + Ha33
(
)
− θ ′θ ′ =
1 k ∂T ′θ ′ vk cθ1 ε ∂x k k ρcc1 ε ∂v ′ c′ i − Pi ,C + ρ 1 − cc3 βg i c ′c ′ − ρcc2 v m ∂x m
− v ′j c ′ = − c ′c ′ =
(
)
1 k ∂C ′ c′ vk c c1 ε ∂x k
0 μe
−
∂P ∂ + ∂xi ∂x j
∂v j µ e ∂x − ρg i βT i
−
∂ ∂x j
∂v k2 ∂vi + j c µ ρ ε ∂x j ∂xi
∂ + − ρ vi′v ′j ∂x j
(
)
能量
T
µe σT µe σC
报
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v u w τ yx τ zx 2 P − τ xx vu − u + ρ wu − ρ P O ρ u f τ zy 2 P − τ yy uv − τ xy x v + wv − = = M = v , Q = f y , F = , G ρ , H ρ ρ τ P − τ zz vw − τ yz uw − xz w 2 + w fz ρ ρ ρ φ S ∂φ ∂φ ∂φ vφ − D yy uφ − D xx wφ − D zz ∂z ∂x ∂y
∂M ∂F ∂G ∂H + + + =Q ∂t ∂x ∂y ∂z
收稿日期：2004-04-02
(1)
作者简介：倪浩清(1931-)，男，江苏无锡人，教授级高级工程师，主要从事水利水电工程、海洋工程和火、核电冷却水工 程中的水动力学、波动力学及水环境动力学研究。 1
水
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c µ k 2 ∂k ρ σ x ε ∂ ε j Pb − cε 3
紊动能 ε
耗散率
µe σε
cห้องสมุดไป่ตู้l
ε
k
G + cε 3
ε
k
B − ρcε 2
ε2
k
∂ ∂x j
k ∂ε cε ρ ε v ′j vi′ ∂x l
+ cε 1
ε
k
PK − cε1
ε
k
G + cε 3
1
控制方程在拟合坐标系中的守恒方程
1.1 模型的选择与拟合坐标系 由于江河湖海的岸边界弯弯曲曲极不规则，其中的流体质点受到离心力及 各向异性湍流雷诺应力场的作用而导致产生二次流，它与弯道轴线方向的主流合成各向异性的螺旋流，这种二 次流能导致主流流场、温度场及污染物浓度场再分布，采用湍流代数应力/热流模型，则能模拟出离心力和各 向异性湍流应力场所引起的二次流。因此，选用具有考虑生化反应影响的各向异性湍流代数应力/热流模型作 为水环境数学模型是符合天然水域生态水动力学特性的。同时，针对天然河流、海湾边界弯曲不规则性，采用 拟合坐标系变换办法，则是解决数值模拟计算问题中重要途径之一。 1.2 变换坐标系中的守恒方程式 方程的守恒形式： 时均化的N-S方程及质量输运方程可以写成如下的笛卡儿坐标向量微分
水
2005 年 8 月 文章编号：0559-9350(2005)08-0891-09
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曲线坐标下三维水动力学生态综合模型的建立
倪浩清，李福田
(中国水利水电科学研究院，北京 100044)
摘要：为了获得高分辨率、高精度及快速的数值模拟计算成果，以便解决复杂边界的工程实际问题，本文研究了通用 形式表示的湍流代数应力模型流动基本方程组在拟合坐标系中的转换。通过该模型方程组的转换，并结合具有生物化 学作用过程的生态子模型，建立了曲线坐标下三维水动力学的生态综合模型，便于复杂边界工程问题的方程组求解及 对未来情况的预测和评价。 关键词：湍流基本方组转换；贴体曲线坐标；水动力生态综合模型 中图分类号：X171 文献标识码：A
τ = t , ξ = ξ ( x, y, z; t ), η = η (x, y, z; t ), ξ = ξ ( x, y, z; t )
(4)
同时将式(1)的笛卡儿坐标向量微分方程的守恒形式转换到曲线坐标系中微分方程的守恒形式中去。文献 [6]通过上述边界拟合坐标变换及其方程转换，便得到了Lagrange型曲线坐标系中的微分方程的守恒形式，本 文作者将Lagrange型中的函数行列式D的倒数转化为Eulerian型中Jacobin行列式并考虑了Lagrange型中变换 坐标函数的导数，即
其中
(2)
~ − ρ v ′v ′ τ ij = τ ij i j
(3)
~ = 这里: τ ij
µ
∂u j ∂xi
+
∂u i ∂x j
为层流剪切应力， ρ vi′v ′j 为雷诺应力。
假设边界拟合坐标变换将物理域(笛卡儿坐标系,x,y,z,t)变换到计算域(非正交曲线坐标系，ξ，η，ζ， τ)即
′ 为k-ε模型原有的湍流黏性(各向同性)的源项， ′ + Sφ ′′ 为紊动应力代数模型总的源项。其中， Sφ 表中: S φ = S φ ′′ 为考虑紊流应力、热流各向异性影响的附加源项；H为热交换项，包括太阳短波辐射、蒸发和热传导；c为 Sk
不同生态变量(状态变量)浓度；Q 为生化反应项，亦即是状态变量之间生物化学相互作用项(又称内源)；S 是
∂y ∂z ∂y ∂z − ∂η ∂ξ ∂ξ ∂η ∂x ∂z ∂x ∂z − A= ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂x ∂y ∂x ∂y − ∂η ∂ξ ∂ξ ∂η
∂z ∂y ∂z − ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂z ∂x ∂z − ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂y ∂x ∂y − ∂ξ ∂ξ ∂ξ
∂y ∂z ∂y ∂z − ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂x ∂z ∂x ∂z − ∂η ∂ξ ∂ξ ∂η ∂x ∂y ∂x ∂y − ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ
ε
k
ε