2019年湖南省娄底市中考数学试卷含答案解析

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2019年湖南省娄底市中考数学试卷

2019年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 2019的相反数是（）A.−2019B.2019C.12019D.−120192. 下列计算正确的是（）A.(−2)3＝8B.(a2)3＝a6C.a2⋅a3＝a6D.4x2−2x＝2x3. 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形4. 一组数据−2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（）A.−2、0B.1、0C.1、1D.2、15. 2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗7nm(1nm＝10−9m)手机芯片．7nm用科学记数法表示为（）A.7×10−8mB.7×10−9mC.0.7×10−8mD.7×10−10m6. 下列命题是假命题的是（）A.到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B.等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C.n边形(n≥3)的内角和是180∘n−360∘D.旋转不改变图形的形状和大小7. 如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y=1x y=−1x，则阴影部分的面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π8. 如图，边长为2√3的等边△ABC的内切圆的半径为（）A.1B.√3C.2D.2√39. 将y=1的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所x得图象的解析式为（）+1A.y=1x+1−1B.y=1x+1+1C.y=1x−1−1D.y=1x−110. 如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A(−2, 0)，点B(3, 0)，则{x+b>0解集为（）kx+2>0A.x<−2B.x>3C.x<−2或x>3D.−2<x<311. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc<0②b2−4ac<0③2a>b④(a+c)2<b2A.1个B.2个C.3个D.4个12. 如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为π120∘的AB^多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒23米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A.−2B.−1C.0D.1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）函数y=√x−3的自变量x的取值范围是________．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是________．如图，AB // CD，AC // BD，∠1＝28∘，则∠2的度数为________．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30∘，则AD＝________．已知方程________．已知点________（________．计算：(√2019−1)0−(12)−1+|−√3|−2sin60∘先化简，再求值：a2−2ab+b2a−b ÷(1b−1a)．其中a=√2−1，b=√2+1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如下统计图表：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为________，________＝________，________＝________．（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1:1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）求证：CD⋅BE＝AD⋅DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≅△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(−1, 0)，点B(3, 0)，与y轴交于点C，且过点D(2, −3)．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．参考答案与试题解析2019年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.【答案】A【考点】相反数【解析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】2019的相反数是：−2019．2.【答案】B【考点】同底数幂的乘法幂的乘方与积的乘方【解析】分别根据幂的定义、幂的乘方、同底数幂的乘法法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．【解答】B．(a2)3＝a6，故选项B符合题意（1）C．a2⋅a3＝a5，故选项C不合题意（2）D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．3.【答案】C【考点】平行四边形的判定中点四边形矩形的判定菱形的判定与性质正方形的判定【解析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EF⊥FG，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．【解答】如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF // AC且EF=1AC，2AC，同理，GH // AC且GH=12∴EF // GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF // AC，FG // BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．4.【答案】C【考点】众数中位数【解析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数进行分析即可．【解答】这组数据的众数为1，从小到大排列：−2，0，1，1，1，2，中位数是1，5.【答案】B【考点】科学记数法–表示较小的数【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】7nm用科学记数法表示为7×10−9m．6.【答案】B【考点】命题与定理【解析】利用垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形(n≥3)的内角和是180∘n−360∘，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，7.【答案】C【考点】扇形面积的计算反比例函数系数k的几何意义【解析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．【解答】解：双曲线y=1x y=−1x的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180∘，半径为2，所以：S阴影=180π×22360=2π．故选C.8.【答案】A【考点】等边三角形的性质三角形的内切圆与内心【解析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB＝60∘，CH⊥AB，则∠OAH＝30∘，AH＝BH=12AB＝3，然后利用正切的定义计算出OH即可．【解答】设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60∘，CH⊥AB，∴∠OAH＝30∘，AH＝BH=12AB=√3，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH=OHAH=tan30∘，∴OH=√33×√3=1，即△ABC内切圆的半径为1．9.【答案】C【考点】反比例函数的图象【解析】直接根据函数图象的变换规律进行解答即可．【解答】由“左加右减”的原则可知，y =1x 的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y =1x−1；由“上加下减”的原则可知，函数y =1x−1的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y =1x−1+1． 10.【答案】D【考点】一次函数与一元一次不等式【解析】根据两条直线与x 轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．【解答】∵ 直线y ＝x +b 和y ＝kx +2与x 轴分别交于点A(−2, 0)，点B(3, 0)，∴ {x +b >0kx +2>0解集为−2<x <3， 11.【答案】A【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】由函数图象可知a <0，对称轴−1<x <0，图象与y 轴的交点c >0，函数与x 轴有两个不同的交点；即可得出b −2a >0，b <0；△＝b 2−4ac >0；再由图象可知当x ＝1时，y <0，即a +b +c <0；当x ＝−1时，y >0，即a −b +c >0；即可求解．【解答】由函数图象可知a <0，对称轴−1<x <0，图象与y 轴的交点c >0，函数与x 轴有两个不同的交点，∴ b −2a >0，b <0；△＝b 2−4ac >0；abc >0；当x ＝1时，y <0，即a +b +c <0；当x ＝−1时，y >0，即a −b +c >0；∴ (a +b +c)(a −b +c)<0，即(a +c)2<b 2；∴ 只有④是正确的；12.【答案】B【考点】坐标与图形性质【解析】先计算点P 走一个AB^的时间，得到点P 纵坐标的规律：以1，0，−1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4＝504...3，得出在第2019秒时点P 的纵坐标为是−1．【解答】点运动一个AB ^用时为120π×2180÷23π＝2秒．如图，作CD ⊥AB 于D ，与AB^交于点E ．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90∘，∠ACD=12∠ACB＝60∘，∴∠CAD＝30∘，∴CD=12AC=12×2＝1，∴DE＝CE−CD＝2−1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为−1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，−1，0四个数为一个周期依次循环，∵2019÷4＝504...3，∴第2019秒时点P的纵坐标为是−1．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）【答案】x≥3【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据被开方数非负列式求解即可．【解答】根据题意得，x−3≥0，解得x≥3．【答案】23【考点】列表法与树状图法【解析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率．【解答】用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P=46=23，故答案为：23.28∘【考点】平行线的性质【解析】由平行线的性质得出∠1＝∠A，再由平行线的性质得出∠2＝∠A，即可得出结果．【解答】∵AC // BD，∴∠1＝∠A，∵AB // CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝28∘，【答案】1【考点】圆周角定理【解析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90∘，∠B＝∠ACD＝30∘，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【解答】∵AB为直径，∴∠ADB＝90∘，∵∠B＝∠ACD＝30∘，∴AD=12AB=12×2＝1．【答案】x2+bx+3＝0的一根为√5+√2，则方程的另一根为√5−√2【考点】一元二次方程的解根与系数的关系【解析】设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】设方程的另一个根为c，∵(√5+√2)c＝3，∴c=√5−√2．【答案】P,x0，y0)到直线y＝kx+b的距离可表示为d=00√1+k2，例如：点(0, 1)到直线y＝2x+6的距离d=√1+22=√5．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x−4之间的距离为2√2【考点】两直线相交非垂直问题一次函数的性质两直线平行问题两直线垂直问题利用两平行线间的距离定义，在直线y＝x上任意取一点，然后计算这个点到直线y＝x−4的距离即可．【解答】当x＝0时，y＝x＝0，即点(0, 0)在直线y＝x上，因为点(0, 0)到直线y＝x−4的距离为：d=√1+12=√2=2√2，因为直线y＝x和y＝x−4平行，所以这两条平行线之间的距离为2√2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）【答案】原式＝1−2+√3−2×√32＝1−2+√3−√3＝−1．【考点】零指数幂实数的运算特殊角的三角函数值零指数幂、负整数指数幂【解析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】原式＝1−2+√3−2×√32＝1−2+√3−√3＝−1．【答案】a2−2ab+b2a−b ÷(1b−1a)=(a−b)2a−b÷a−bab=a−b⋅ab＝ab，当a=√2−1，b=√2+1时，原式＝(√2−1)×(√2+1)＝1．【考点】分式的化简求值分母有理化【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】a2−2ab+b2a−b ÷(1b−1a)(a−b)2a−b=a−b1⋅aba−b＝ab，当a=√2−1，b=√2+1时，原式＝(√2−1)×(√2+1)＝1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）【答案】200,m,80,n,0.1补全图中的条形统计图高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．【考点】用样本估计总体频数（率）分布表条形统计图【解析】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1−0.4−0.5＝0.1；（2）据上信息补全图中的条形统计图；（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人）．【解答】根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1−0.4−0.5＝0.1；故答案为200，80，0.4；补全图中的条形统计图高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．【答案】如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1:1，∴BE＝AE＝x米．∴BC=CDtanβ=964=24（米），∴EC＝EB+BC＝(x+24)米，∴AF＝EC＝(x+24)米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90∘，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF⋅tanα＝2(x+24)米，∵DF＝DC−CF＝DC−AE＝(96−x)米，∴2(x+24)＝96−x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】作AF⊥CD于F．设AE＝x米．由斜坡AB的坡度为i＝1:1，得出BE＝AE＝x米．解Rt△BDC，求得BC=CDtanβ=24米，则AF＝EC＝(x+24)米．解Rt△ADF，得出DF＝AF⋅tanα＝2(x+24)米，又DF＝DC−CF＝DC−AE＝(96−x)米，列出方程2(x+ 24)＝96−x，求出x即可．【解答】如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1:1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90∘，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC=CDtanβ=964=24（米），∴EC＝EB+BC＝(x+24)米，∴AF＝EC＝(x+24)米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90∘，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF⋅tanα＝2(x+24)米，∵DF＝DC−CF＝DC−AE＝(96−x)米，∴2(x+24)＝96−x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）【答案】购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元【考点】二元一次方程组的应用——行程问题【解析】（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润＝单箱利润×销售数量，即可求出结论．【解答】设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱，依题意，得：{x +y =50025x +35y =14500，解得：{x =300y =200．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．(35−25)×300+(48−35)×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．【答案】连接OD ，∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠CAD ＝∠BAD ，∵ OA ＝OB ，∴ ∠BAD ＝∠ADO ，∴ ∠CAD ＝∠ADO ，∴ AC // OD ，∵ CD ⊥AC ，∴ CD ⊥OD ，∴ 直线CD 是⊙O 的切线；连接BD ，∵ BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ABE ＝∠BDE ＝90∘，∵ CD ⊥AC ，∴ ∠C ＝∠BDE ＝90∘，∵ ∠CAD ＝∠BAE ＝∠DBE ，∴ △ACD ∽△BDE ，∴CD⋅BE＝AD⋅DE．【考点】圆周角定理角平分线的性质切线的判定与性质相似三角形的性质与判定【解析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ADO，求得∠CAD＝∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE＝∠BDE＝90∘，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC // OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90∘，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90∘，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴CDDE =ADBE，∴CD⋅BE＝AD⋅DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）【答案】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，{AE=CG∠A=∠C AH=CF，∴△AEH≅△CGF(SAS)；∵由知，△AEH≅△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≅△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（1）四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G 关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．连接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB // CG′，∴四边形AEG′C为平行四边形，∴EG′＝AC．在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′＝AC，∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．【考点】四边形综合题【解析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH＝GF，同理可得FE＝HG，即可得四边形EFGH是平行四边形；（3）由轴对称–最短路径问题得到：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，{AE=CG∠A=∠C AH=CF，∴△AEH≅△CGF(SAS)；知，△AEH ≅△CGF ，则EH ＝GF ，同理证得△EBF ≅△GDH ，则EF ＝GH ， ∴ 四边形EFGH 是平行四边形；（1）四边形EFGH 的周长一半大于或等于矩形ABCD 一条对角线长度．理由如下：作G 关于BC 的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF +FG 的最小值．连接AC ，∵ CG′＝CG ＝AE ，AB // CG′，∴ 四边形AEG′C 为平行四边形，∴ EG′＝AC ．在△EFG′中，∵ EF +FG′≥EG′＝AC ，∴ 四边形EFGH 的周长一半大于或等于矩形ABCD 一条对角线长度．【答案】函数的表达式为：y ＝a(x +1)(x −3)，将点D 坐标代入上式并解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2−2x −3…①；设直线PD 与y 轴交于点G ，设点P(m, m 2−2m −3)，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y ＝sx +t 并解得：直线PD 的表达式为：y ＝mx −3−2m ，则OG ＝3+2m ，S △POD =12×OG(x D −x P )=12(3+2m)(2−m)＝−m 2+12m +3，∵ −1<0，故S △POD 有最大值，当m =14时，其最大值为4916；∵ OB ＝OC ＝3，∴ ∠OCB ＝∠OBC ＝45∘，∵ ∠ABC ＝∠OBE ，故△OBE 与△ABC 相似时，分为两种情况：①当∠ACB ＝∠BOQ 时，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC=12×AH×BC=12AB×OC，解得：AH＝2√2，则sin∠ACB=AHAC =√5tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝−2x…②，联立①②并解得：x=±√3，故点Q1(√3, −2√3)，Q2(−√3, 2√3)，②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC=OCOA =31=3＝tan∠BOQ，则点Q(n, −3n)，则直线OQ的表达式为：y＝−3x…③，联立①③并解得：x=−1±√132，故点Q3(−1+√132, 3−3√132)，Q4(−1−√132, 3+3√132)；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：(√3, −2√3)或(−1+√132, 3−3√132)或(−√3, 2√3)或(−1−√132, 3+3√132)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）函数的表达式为：y＝a(x+1)(x−3)，将点D坐标代入上式，即可求解；（2）S△POD=12×OG(x D−x P)=12(3+2m)(2−m)＝−m2+12m+3，即可求解；（3）分∠ACB＝∠BOQ、∠BAC＝∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．【解答】函数的表达式为：y＝a(x+1)(x−3)，将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2−2x−3…①；设直线PD与y轴交于点G，设点P(m, m2−2m−3)，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y ＝sx +t 并解得：直线PD 的表达式为：y ＝mx −3−2m ，则OG ＝3+2m ， S △POD =12×OG(x D −x P )=12(3+2m)(2−m)＝−m 2+12m +3， ∵ −1<0，故S △POD 有最大值，当m =14时，其最大值为4916； ∵ OB ＝OC ＝3，∴ ∠OCB ＝∠OBC ＝45∘，∵ ∠ABC ＝∠OBE ，故△OBE 与△ABC 相似时，分为两种情况： ①当∠ACB ＝∠BOQ 时，AB ＝4，BC ＝3√2，AC =√10，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，S △ABC =12×AH ×BC =12AB ×OC ，解得：AH ＝2√2，则sin∠ACB =AH AC =√5tan∠ACB ＝2，则直线OQ 的表达式为：y ＝−2x …②，联立①②并解得：x =±√3，故点Q 1(√3, −2√3)，Q 2(−√3, 2√3)，②∠BAC ＝∠BOQ 时， tan∠BAC =OC OA =31=3＝tan∠BOQ ，则点Q(n, −3n)，则直线OQ 的表达式为：y ＝−3x …③，联立①③并解得：x =−1±√132，故点Q 3(−1+√132, 3−3√132)，Q 4(−1−√132, 3+3√132)；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：(√3, −2√3)或(−1+√132, 3−3√132)或(−√3, 2√3)或(−1−√132, 3+3√132)．。

2019年湖南省娄底市中考数学试卷(word版,含解析)

2019年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3分）2019的相反数是（）A．﹣2019 B．2019 C．D．﹣2．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣2）3＝8 B．（a2）3＝a6C．a2•a3＝a6D．4x2﹣2x＝2x3．（3分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形4．（3分）一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（）A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、15．（3分）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗7nm（1nm＝10﹣9m）手机芯片．7nm用科学记数法表示为（）A．7×10﹣8m B．7×10﹣9m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣10m6．（3分）下列命题是假命题的是（）A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°D．旋转不改变图形的形状和大小7．（3分）如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝，则阴影部分的面积是（）A．4πB．3πC．2πD．π8．（3分）如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．29．（3分）将y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为（）A．y＝+1 B．y＝﹣1 C．y＝+1 D．y＝﹣110．（3分）如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（）A．x＜﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2或x＞3 D．﹣2＜x＜311．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b④（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个12．（3分）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数的自变量x的取值范围是．14．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是．15．（3分）如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2的度数为．16．（3分）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．17．（3分）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为．18．（3分）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：（﹣1）0﹣（）﹣1+|﹣|﹣2sin60°20．（6分）先化简，再求值：÷（﹣）．其中a＝﹣1，b＝+1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了如统计图表：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为，m＝，n＝．（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？22．（8分）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？24．（9分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）求证：CD•BE＝AD•DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．2019年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．【解答】解：2019的相反数是：﹣2019．故选：A．2．【解答】解：A．（﹣2）3＝﹣8，故选项A不合题意；B．（a2）3＝a6，故选项B符合题意；C．a2•a3＝a5，故选项C不合题意；D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．3．【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC且EF＝AC，同理，GH∥AC且GH＝AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：C．4．【解答】解：这组数据的众数为1，从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，故选：C．5．【解答】解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．故选：B．6．【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选：C．7．【解答】解：双曲线y＝的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180°，半径为2，所以：S阴影＝＝2π．故选：C．8．【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，∴OH＝×＝1，即△ABC内切圆的半径为1．故选：A．9．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，y＝的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝；由“上加下减”的原则可知，函数y＝的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝+1．故选：C．10．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．11．【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有④是正确的；故选：A．12．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∵2019÷4＝504…3，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．14．【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P＝，故答案为：．15．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠1＝∠A，∵AB∥CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝28°，故答案为：28°．16．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．17．【解答】解：设方程的另一个根为c，∵（+）c＝3，∴c＝﹣．故答案为：﹣．18．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．【解答】解：原式＝1﹣2+﹣2×＝1﹣2+﹣＝﹣1．20．【解答】解：÷（﹣）＝＝＝ab，当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；故答案为200，80，0.4；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．22．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．24．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD•BE＝AD•DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：如图，连接AC，BD．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∵E、H分别是边AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD．同理，FG＝BD，EF＝HG＝AC．∴（EH+HG+GF+EF）＝（AC+BD）＝AC．∴四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．26．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，△POD∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB ＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC与点H，S＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，△ABC则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点Q（，﹣2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）；综上，点Q（，﹣2）或（，）．。

2019年湖南省娄底市中考数学试卷(原卷+解析)

2019年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．【解答】解：2019的相反数是：﹣2019．故选：A．2．【解答】解：A．（﹣2）3＝﹣8，故选项A不合题意；B．（a2）3＝a6，故选项B符合题意；C．a2•a3＝a5，故选项C不合题意；D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．3．【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC且EF＝AC，同理，GH∥AC且GH＝AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：C．4．【解答】解：这组数据的众数为1，从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，故选：C．5．【解答】解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．故选：B．6．【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选：C．7．【解答】解：双曲线y＝的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180°，半径为2，所以：S阴影＝＝2π．故选：C．8．【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，∴OH＝×＝1，即△ABC内切圆的半径为1．故选：A．9．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，y＝的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝；由“上加下减”的原则可知，函数y＝的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝+1．故选：C．10．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．11．【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有④是正确的；故选：A．12．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．14．【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P＝，故答案为：．15．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠1＝∠A，∵AB∥CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝28°，故答案为：28°．16．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．17．【解答】解：设方程的另一个根为c，∴c＝﹣．故答案为：﹣．18．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．【解答】解：原式＝1﹣2+﹣2×＝1﹣2+﹣＝﹣1．20．【解答】解：÷（﹣）＝＝＝ab，当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；故答案为200，80，0.4；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．22．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．24．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD•BE＝AD•DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：如图，连接AC，BD．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∵E、H分别是边AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD．同理，FG＝BD，EF＝HG＝AC．∴（EH+HG+GF+EF）＝（AC+BD）＝AC．∴四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．26．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC与点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点Q（，﹣2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）；综上，点Q（，﹣2）或（，）．。

湖南娄底中考数学及答案word资料6页

娄底市2019年初中毕业学业考试试题卷数学温馨提示：1．亲爱的同学，祝贺你完成了初中阶段数学课程的学习任务，现在是展示你的学习成果之时，希望你充满自信，尽情发挥，仔细，仔细，再仔细！祝你成功！2．本学科为闭卷考试，试卷分为试题卷和答题卡两部分.3．本学科试卷共六道大题，满分120分，考试时量120分钟.4．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上.5．请安答题卡上的注意事项在答题卡上作答，书写在试题卷上无效.6．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回.一、精心选一选，旗开得胜(本大题共10道小题，每小题3分，满分30分.每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里)1．（2019湖南娄底，1,3分）-2019的相反数是A.2019B.-2011C.12011D. -12011【答案】A2．2011年4月28日，国家统计局发布2019年第六次全国人口普查主要数据公报，数据显示，大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1339724852人，大陆总人口这个数据用科学记数法表示(保留3个有效数字)为A. 1.33⨯109人B. 1.34⨯109人C. 13.4⨯108人D. 1.34⨯1010人【答案】B3．若|x-3|=x-3，则下列不等式成立的是A. x-3>0B.x-3<0C.x-3≥0D.x-3≤0【答案】C4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=5x的图象上的两点，若x1<0<x2，则有A. y1<0<y2B. y2<0<y1C. y1<y2<0D. y2<y1<0【答案】A5．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30︒，∠2=50︒，则∠3的度数为A. 80︒B. 50︒C. 30︒D. 20︒【答案】D6．下列命题中，是真命题的是A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】A7．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是A. 点A在圆外B. 点A在圆上C. 点A在圆内D. 不能确定【答案】C8．如图2所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是【答案】D9．因干旱影响，市政府号召全市居民节约用水.为了了解居民节约用水的情况，小张在某小区随机调查了五户居民家庭2019年5月份的用水量：6吨，7吨，9吨，8吨，10吨.则关于这五户居民家庭月用水量的下列说法中，错误的是A. 平均数是8吨B. 中位数是9吨C. 极差是4吨D. 方差是2【答案】B10．如图3，自行车的链条每节长为2.5cm ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm ，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为A. 150cmB. 104.5cmC. 102.8cmD. 102cm【答案】C二、细心填一填，一锤定音(本大题共8道小题，每小题4分，满分32分)11．计算：-2＝．【答案】-612．不等式组24348x x +>⎧⎨-≤⎩，的解集是 .【答案】2<x ≤413．如果方程x 2+2x + a =0有两个相等的实数根，则实数a 的值为 .【答案】114．一次函数y = -3 x + 2的图象不经过第象限.【答案】三15．如图4，点C 是线段AB 上的点，点D 是线段BC 的中点，若AB =12，AC =8，则CD = .【答案】216．如图5，△ABC 内接于⊙O ，已知∠A =55︒，则∠BOC = .【答案】110︒17．如图6，△ABC 中：∠C =90︒，BC =4cm ，tan B =32，则△ABC 的面积是 cm 2. 【答案】1218．如图7所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率是 .【答案】13三、用心做一做，慧眼识金(本大题共3道小题，每小题7分，满分21分)19．（本小题7分）先化简：(1111a a ++-)÷2221a a a -+.再从1，2，3中选一个你认为合适的数作为a 的值代入求值.【答案】解：原式=(1)(1)(1)(1)a a a a -+++-·2212a a a-+ ∵a ≠1，a ≠-1，，a ≠0.∴在1，2，3中，a 只能取2或3.当a=2时，原式=13.当a=3时，原式=12.注：在a=2，a=3中任选一个算对即可.20．（本小题7分）喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图8，河对岸有一水文站A，小伟在河岸B处测得∠ABD=45︒，沿河岸行走300米后到达C处，在C处测得∠ACD=30︒，求河宽AD.（最后结果精确到1米.≈1.414 1.732≈2.449，供选用）【答案】解：如图8，由图可知AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45︒，∠ACD=30︒.在Rt△ABD中，BD=AD.在Rt△ACD中，CDAD.设AD=x，则有BD=x，CD x.依题意，得BD+CD=300，即x=300，∴（）x=300，∴x≈110(米).答：河宽AD约为110米.21．（本小题7分）2011年5月31日是第24 个世界无烟日，也是我国从5月1日开始在公共场所禁止吸烟满一个月的日子.为创建国家级卫生城市，搞好公共场所卫生管理，市育才实验学校九年级(1)班社会实践小组对某社区居民开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，图9是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.请根据以上条形统计图和扇形统计图提供的信息，解答下列问题：（1）九年级(1)班社会实践小组一共调查了名社区居民.（2）扇形统计图中，表示支持“替代品戒烟”的扇形的圆心角的度数为. （3）请将条形统计图补充完整.【答案】解：（1）200 （2）108︒（3）如下图四、综合用一用，马到成功(本大题共1道小题，满分8分)22．（本小题8分）为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作.某地决定对居民家庭用电实际“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实际“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”.（1）小张家2019年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元.求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费.【答案】解：（1）设“基本电价”为x元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据题意，得解之，得0.61.xy=⎧⎨=⎩，答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时.（2）80⨯0.6+(130-80) ⨯1=98（元）.答：预计小张家6月份上缴的电费为98元.五、耐心解一解，再接再厉(本大题共1道小题，满分9分)23．（本小题9分）如图10，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90︒，AC =BC =10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90︒得到△A 1BC 1.（1）线段A 1C 1的长度是，∠CBA 1的度数是 .（2）连结CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形.【答案】（1）解：A 1C 1=10，∠ CBA 1=135︒（2）证明：∵∠A 1C 1B =∠C 1BC =90︒，∴A 1C 1∥BC .又∵A 1C 1=AC =BC ，∴四边形CBA 1C 1是平行四边形.六、探究试一试，超越自我(本大题共2道小题，每小题10分，满分20分)24．（本小题10分）如图11，已知二次函数y = -x 2 +mx +4m 的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点(B 点在A 点的右边)，与y 轴的正半轴交于点C ，且(x 1+x 2) - x 1x 2=10.（1）求此二次函数的解析式.（2）写出B ，C 两点的坐标及抛物线顶点M 的坐标；（3）连结BM ，动点P 在线段BM 上运动（不含端点B ，M ），过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，设OH 的长度为t ，四边形PCOH 的面积为S .请探究：四边形PCOH 的面积S 有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由.【答案】解：（1）由根与系数的关系，得∵(x 1+x 2) -x 1x 2=10，∴ m + 4m =10， m =2.∴二次函数的解析式为y = -x 2 +2x +8.（2）由-x 2 +2x +8=0，解得x 1= -2，x 2=4.y = -x 2 +2x +8= -(x -1)2+9.∴B ，C ，M 的坐标分别为B (4，0)，C (0，8)，M (1，9).（3）如图，过M 作MN ⊥x 轴于N ，则ON =1，MN =9，OB =4，BN =3.∵OH =t (1<t <4)，∴BH =4-t .由PH ∥MN ，可求得PH =3BH =3(4-t )，∴S =12(PH +CO )·OH =12(12-3t +8)t= -32t 2+10t (1<t <4).S = -32t 2+10t = -32(t -103)2+503. ∵1<103<4. ∴当t =103时，S 有最大值，其最大值为503.25．（本小题10分）在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD =2，以CD 为直径作⊙O 1，交BC 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 于F ，建立如图12所示的平面直角坐标系，已知A ，B 两点的坐标分别为A (0，)，B (-2，0).（1）求C ，D 两点的坐标.（2）求证：EF 为⊙O 1的切线.（3）探究：如图13，线段CD 上是否存在点P ，使得线段PC 的长度与P 点到y 轴的距离相等？如果存在，请找出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）连结DE ，∵CD 是⊙O 1的直径，∴DE ⊥BC ，∴四边形ADEO 为矩形.∴OE =AD =2，DE =AO.在等腰梯形ABCD 中，DC =AB .∴CE =BO =2，CO =4.∴C (4，0)，D (2，).（2）连结O 1E ，在⊙O 1中，O 1E =O 1C ，∠O 1EC =∠O 1C E ，在等腰梯形ABCD 中，∠ABC =∠DCB .∴O 1E ∥AB ,又∵EF ⊥AB ，∴O 1E ⊥EF .∵E 在AB 上，∴EF 为⊙O 1的切线（3）解法一：存在满足条件的点P .如右图，过P 作PM ⊥y 轴于M ，作PN ⊥x 轴于N ，依题意得PC =PM ,在矩形OMPN 中，ON =PM ，设ON =x ，则PM =PC =x ，CN =4-x ，tan ∠ABO=AO BO ==∴∠ABO =60︒，∴∠PCN =∠ABO =60︒.在Rt △PCN 中，cos ∠PCN =12CN PC =，即412x x -=, ∴x =83.∴PN =CN ·tan ∠PCN =(4-83)∴满足条件的P 点的坐标为(83). 解法二：存在满足条件的点P ，M P如右图，在Rt △AOB 中，AB 4. 过P 作PM ⊥y 轴于M ，作PN ⊥x 轴于N ，依题意得PC =PM , 在矩形OMPN 中，ON =PM ，设ON =x ，则PM =PC =x ，CN =4-x ，∵∠PCN =∠ABO ，∠PCN =∠AOB =90︒.∴△PNC ∽△AOB ， ∴PC CN AB BO =，即442x x -=. 解得x =83.又由△PNC ∽△AOB ，得∴PN =∴满足条件的P 点的坐标为(83).。

2019年湖南娄底中考数学试题(解析版)_最新修正版

{来源}娄底市2019年初中毕业学业考试{适用范围:3．九年级}娄底市2019年初中毕业学业考试试题题卷数学温馨提示：1、本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量120分钟，满分120分。

2、请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上。

3、请你在答题卡规定区域内作答，答在本试卷上无效。

{题型:1-选择题}一、选择题（本大题共12小题，第小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）{题目}1．2019的相反数是（）A．−2019 B．2019 C．12019D．12019{答案}A{解析}本题考查了相反数的意义．理解a的相反数是-a，是解决本题的关键．2019的相反数是-2019，因此本题选A．{分值}3{章节:[1-1-2-3]相反数}{考点:相反数的定义}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．下列计算正确的是A．（−2）3=8 B．（a2）3=a6C．a2∙a3=a6D．4x2−2x=2x{答案}B{解析}本题考查了整式运算法则的掌握，选项A．根据乘方意义，表示3个−2相乘，结果为−8，所以该项不正确；选项B．仍然幂的乘方法则，底数a不变，指数2与3相乘，指数为6，结果应该为a6，所以该项正确；选项C．根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加，得a2×a3 =a5，所以该项不正确；选项D．根据整式减法法则，这两项不是同类项，故结果是4x2−2x，所以该项不正确；因此本题选B．{分值}3{章节:[1-2-2]整式的加减}{章节:[1-14-1]整式的乘法}{章节:[1-1-5-1]乘方}{考点:有理数乘方的定义}{考点:乘方运算法则}{考点:幂的乘方}{考点:同底数幂的乘法}{考点:整式加减}{考点:单项式乘以单项式}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}3．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形{答案}C{解析}本题考查了中点四边形的有关内容。

精品解析：2019年湖南省娄底市九年级初中毕业学业质量检测数学试题(解析版)

2019年娄底市初中毕业学业考试质量检测数学一、选择题的相反数是（）A. ﹣8B. ±8C. ﹣4D. ±4 【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根的定义及相反数的定义解答即可.-4故选C【点睛】本题考查的是算术平方根及相反数，熟练的掌握其定义是关键.2.李明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约6180万，这个数用科学记数法表示为（）A. 56.1810⨯B. 66.1810⨯C. 76.1810⨯D. 86.1810⨯ 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于6180万有8位，所以可以确定n=8-1=7．【详解】解：6180万=6.18×107．故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．3.下列计算正确的是（）= B. ()224ab ab =C. 236 a ab ab +=D. 34a a a ⋅=【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加减，可判断A ，根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可判断B ，根据合并同类项，可判断C ，根据同底数幂的乘法，可判断D ．【详解】解：A 、不是同类二次根式不能相加，故A 错误；B 、()2224ab a b =，故B 错误；C 、不是同类项不能相加，故C 错误；D 、34a a a ⋅=，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方、同底数幂相乘、合并同类项以及二次根式的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．4.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、不是轴对称图形．是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）动时间（小时） 3 3.5 4 4.5人数 1 1 2 1A. 中位数是4，平均数是3.75B. 众数是4，平均数是3.75C. 中位数是4，平均数是3.8D. 众数是2，平均数是3.8【答案】C【解析】试题解析：这组数据中4出现的次数最多，众数为4，∵共有5个人，∴第3个人的劳动时间为中位数，故中位数为：4，平均数为：3 3.542 4.55++⨯+=3.8．故选C．6.如图，CD平分∠ACE，且∠B=∠ACD，可以得出的结论是()A. AD∥BCB. AB∥CDC. CA平分∠BCDD. AC平分∠BAD【答案】B【解析】【详解】解：由CD为角平分线，得到∠ACD=∠ECD，根据已知∠B=∠ACD，等量代换得到一对同位角∠ECD=∠B，利用同位角相等两直线平行即可得AB∥CD，故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．7.如图，直线x=2与反比例函数y=2x 、y=1x -的图象分别交于A 、B 两点，若点P 是y 轴上任意一点，则△PAB 的面积是（）A . 12 B. 1 C. 32 D. 2 【答案】C 【解析】连接PA ，PB ，∵一次函数x=2与反比例函数y=2x 和y=−1x的图象分别交于A 、B 两点 ∴点A 的坐标为：(2，1)，点B 的坐标为：(2，−1 2)， ∴AB=1−(−12)=3 2， ∵P 是y 轴上任意一点，∴P 到直线AB 的距离为2，∴S △PAB =12×32×2=32. 故选C.8.如果关于x 的一元二次方程2kx 2k 1x 10++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【】A. k ＜12B. k ＜12且k≠0C. ﹣12≤k ＜12D. ﹣12≤k ＜12且k≠0 【答案】D【解析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知：k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0．三者联立，解得﹣12≤k＜12且k≠0．故选D．9.不等式组5152643x xx-+⎧+>⎪⎨⎪≤⎩的整数解的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先解出不等式组的解集，再确定符合题意的整数解的个数即可得出答案．【详解】解：5152643x xx-+⎧+>⎪⎨⎪≤⎩①②由①得：x＞-1，由②得x≤3，∴不等式组的解集为：-1＜x≤3，∴整数解为：0，1，2，3．共有4个．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，难度一般，关键是会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．10.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A. 3B. 33C. 3D. 2【答案】A【解析】【详解】解：∵AB=BC ，∴∠BAC=∠C ．∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=30°．∵∠C 和∠D 是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=30°．∵AD 为直径，∴∠ABD=90°．∵AD=6，∴AB=12AD=3．故选A ．11.如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（）A. 3个或4个B. 4个或5个C. 5个或6个D. 6个或7个【答案】B【解析】【分析】根据给出的几何体的视图，通过动手操作，观察可得答案，也可以根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，直接想象出其小正方体的个数．【详解】解：综合三视图，第一行第1列有1个，第一行第2列没有；第二行第1列没有，第二行第2列和第三行第2列有3个或4个，一共有：4或5个．故选B ．【点睛】本题比较容易，考查三视图和考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力．12.如图所示在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，……，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标是（）A. （2018，0）B. （2019，1）C. （2019，﹣1）D. （2020，0）【答案】C【解析】分析：计算点P 走一个半圆的时间，确定第2019秒点P 的位置．详解：点运动一个半圆用时为2ππ＝2秒∵2019=1009×2+1 ∴2019秒时，P 在第1010个的半圆的中点处∴点P 坐标为（2019，-1）故选C ．点睛：本题是平面直角坐标系下的规律探究题，解答时既要研究动点的位置规律，又要考虑坐标的象限符号．二、填空题13.函数11x +中自变量x 的取值范围是______．【答案】x ⩽2且x ≠−1.【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】由题意得，2−x ⩾0且x+1≠0，解得x ⩽2且x≠−1.故答案为x ⩽2且x≠−1.【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握各性质定义.14.将抛物线向上平移2个单位，再向右平移4个单位，所得新抛物线的解析式为：2–2,y x =则原抛物线的解析式为____．【答案】()2242y x =-+-【解析】【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【详解】解：抛物线向上平移2个单位，再向右平移4个单位，所得新抛物线的解析式为：y=-2x 2，将抛物线y=-2x2下移2个单位，左移4个单位得原函数解析式y=-2（x+4）2-2，故答案为：y=-2（x+4）2-2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，BE平分∠ABC，若AE=2，则CE的长为______．【答案】1【解析】【分析】根据角平分线的性质得到ED=EC，根据直角三角形的性质计算即可【详解】解：∵BE平分∠ABC，∠C=90°，ED⊥AB，∴CE=ED，∵∠ADE=90°，∠A=30°，∴DE=12AE=1，∴CE=DE=1，故答案为1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，和含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16.边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A B、两点，在格点小正方形的顶点中任意放置点C，则能使、、A B C构成ABC且其面积为1的概率为______．【答案】6 25【解析】【分析】按照题意分别找出点C 所在的位置：当点C 与点A 在同一条直线上时，AC 边上的高为1，AC=2，符合条件的点C 有4个；当点C 与点B 在同一条直线上时，BC 边上的高为1，BC=2，符合条件的点C 有2个，再根据概率公式求出概率即可．【详解】解：如图，在格点小正方形的顶点中任意放置点C 有25种结果，其中能使A 、B 、C 构成△ABC 且其面积为1的有6种结果，所以使A 、B 、C 构成△ABC 且其面积为1的概率为625，故答案为：625．【点睛】此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC 的面积为1的点． 17.如图，在ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD 于点E ，延长BA 与A 相交于点F ．若EF 的长为2π，则图中阴影部分的面积为________．【答案】22π-【解析】【详解】如解图，连接AC ，DC 是A 的切线，AC CD ∴⊥．又AB AC CD ==，ACD ∴是等腰直角三角形，45CAD ∴∠=︒，又∵四边形ABCD 是平行四边形，ADBC ∴，45CAD ACB ∴∠∠︒＝＝，FAE B ∠=∠，又AB AC =，45ACB B ∴∠=∠=︒，45FAE ∴∠=︒．EF ∴的长为2π，45r 2180ππ⋅∴=，解得2r ， 2145222223602ACD ACE S S S ππ⋅∴=-=⨯⨯-=-阴影扇形．【点睛】18. 规定：sin （﹣x ）=﹣sinx ，cos （﹣x ）=cosx ，sin （x+y ）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是（写出所有正确的序号）①cos （﹣60°）=﹣12； 62+； ③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x ﹣y ）=sinx•cosy﹣cosx•siny．【答案】②③④．【解析】【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．【详解】根据题意，得，①cos(－60°)＝cos60°=12 ≠1-2 ，故错误； ②sin75°=sin （45°+30°)=sin45°×cos30°+cos45°×sin30°=23212222+ ＝624，故正确； ③sin2x ＝sinx ﹒cosx+cosx·sinx=2sinx·cosx ，故正确； ④sin(x －y)＝sinx·cos （-y ）+cosx·sin(-y)=sinx ·cosy-cosx ·siny ，故正确，故答案为②③④.【点睛】本题主要考查新定义题，主要考查学生的阅读理解能力以及运用知识解决问题的能力，解题的关键是能根据新规定正确地进行运算.三、解答题19.计算：)201122sin 453-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ 【答案】8【解析】【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：原式(1922=+--- 8=【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 20.（2015河南16题）先化简，再求值：2221122a ab ba b b a -+⎛⎫÷-⎪-⎝⎭，其中1a =，1b =．【答案】2ab ；2．【解析】【详解】解：原式2()2()a b a b a b ab --=÷- 2ab ab a b-=⋅- =2ab ．当1,1a b ==-时，原式1)51222-===． 21.育人中学开展课外体育活动，决定开设A ：篮球、B ：乒乓球、C ：踢毽子、D ：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为________ ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是______度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？【答案】（1）40% ， 144；（2）补图见解析；（3）估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约100人.【解析】试题分析：（1）利用100%减去D、C、B三部分所占百分比即可得到最喜欢A项目的人数所占的百分比；所在扇形统计图中对应的圆心角度数用360°×40%即可；（2）根据频数=总数×百分比可算出总人数，再利用总人数减去D、C、B三部分的人数即可得到A部分的人数，再补全图形即可；（3）利用样本估计总每个体的方法用1000×样本中喜欢踢毽子的人数所占百分比即可．解：（1）100%﹣20%﹣10%﹣30%=40%，360°×40%=144°；（2）抽查的学生总人数：15÷30%=50，50﹣15﹣5﹣10=20（人）．如图所示：（3）1000×10%=100（人）．答：全校最喜欢踢毽子的学生人数约是100人．22.2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30︒的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60︒的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC.【答案】8003【解析】分析：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=12AD=700，DE=3AE=7003，则BE=300，所以DF=300，BF=7003，再在Rt△CDF中计算出CF，然后计算BF和CF的和即可．详解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，Rt△ADE中，AE=12AD=12×1400=700，∴BE=AB-AE=1000-700=300，∴DF=300，在Rt△CDF中，×，∴答：选手飞行的水平距离BC为．点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．23.由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2，两队合做6天可以完成．（1）求两队单独完成此项工程各需多少天；（2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元．【答案】（1）甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天；（2）甲队所得报酬8000元，乙队所得报酬12000元．【解析】【分析】（1）求工效，时间明显，一定是根据工作总量来列等量关系的．等量关系为：甲6天的工作总量+乙6天的工作总量=1；（2）让20000×各自的工作量即可．【详解】解：（1）设甲队单独完成此项工程需x天，由题意得66123xx+=解之得x=15经检验，x=15是原方程的解．答：甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需15×23=10（天）（2）甲队所得报酬：20000×115×6=8000（元）乙队所得报酬：20000×110×6=12000（元）【点睛】本题主要考查了分式方程的应用.24.如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=，将Rt ABC 绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC 点E 在AC 上，再将Rt ABC 沿着AB 所在直线翻转180得到ABF ，连接AD ．（1）求证：四边形AFCD 是菱形；（2）连接BE 并延长AD 交于G 连接,CG 请问：四边形ABCG 是什么特殊四边形？为什么？【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCG 是矩形，见解析【解析】【分析】（1）需证明△ACD 是等边三角形、△AFC 是等边三角形，即可证明四边形AFCD 是菱形．（2）可先证四边形ABCG 是平行四边形，再由∠ABC=90°，可证四边形ABCG 是矩形．【详解】解：()1证明：DEC Rt △是由Rt ABC 绕C 点旋转60︒得到，,60,AC DC ACB ACD ∴=∠=∠=︒ACD ∴是等边三角形，AD DC AC ∴==，又Rt ABF 是由Rt ABC 沿AB 所在直线翻转180︒得到，,90,AC AF ABF ABC ∴=∠=∠=︒60,ACB ACD ∠=∠=AFC ∴是等边三角形，AF FC AC ∴==，,AD DC FC AF ∴===∴四边形AFCD 是菱形．()2四边形ABCG 是矩形．证明：由()1可知：,ACD AFC 是等边三角形，ACB AFB ≌，130,2EDC BAC FAC ∴∠=∠=∠=︒且ABC 为直角三角形， 1,2BC AC ∴= ,EC CB =12EC AC ∴=， E ∴为AC 中点，,DE AC ∴⊥,AE EC ∴=//,AG BC,EAG ECB AGE EBC ∴∠=∠∠=∠,,AEG CEB ∴≌,AG BC ∴=∴四边形ABCG 是平行四边形，90ABC ∠=︒，∴四边形ABCG 是矩形．【点睛】此题主要考查菱形和矩形的判定，综合应用等边三角形的判定、全等三角形的判定等知识是解题的关键．25.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点O 在BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线与AC 的延长线相交于点P ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）求证：△ABD ∽△DCP ；（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CP=16.9cm．【解析】【分析】（1）先判断出∠BAC=2∠BAD，进而判断出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出结论；（2）先判断出∠ADB=∠P，再判断出∠DCP=∠ABD，即可得出结论；（3）先求出BC，再判断出BD=CD，利用勾股定理求出132△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出结论．【详解】（1）如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=∠BAC=90°，∵DP∥BC，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴PD⊥OD，∵OD⊙O半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB=∠P，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠P，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，∴∠DCP=∠ABD，∴△ABD∽△DCP；（3）∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，在Rt△ABC中，BC=22AB AC+=13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，∴BD=CD=22BC=1322，∵△ABD∽△DCP，∴AB BD CD CP=，∴1322 1322CP=，∴CP=16.9cm．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握切线的判定方法、相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.26.已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB,（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝3 4 x2＋94x－3；（2）13.5；（3）存在，P1（-3，-3），P2（3-412-，3），P3（3412-+，3）．【解析】【分析】（1）根据OC=3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，-3），把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，求出a点坐标即可求出函数解析式；（2）过点D作DE∥y轴分别交线段AC于点E．设D（m，m2+2m-3），然后求出DE的表达式，把S四边形ABCD分解为S△ABC+S△ACD，转化为二次函数求最值；（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，由题意可知点P2、P3的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．【详解】（1）∵B的坐标为（1，0），∴OB=1．∵OC=3OB=3，点C在x轴下方，∴C（0，-3）．∵将B（1，0），C（0，-3）代入抛物线的解析式得：403a cc+⎧⎨-⎩＝＝，解得：a=34，C=-3，∴抛物线的解析式为y=23944x+x-3．（2）如图1所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．∵x=-943224ba-=⨯=-32，B（1，0），∴A（-4，0）．∴AB=5．∴S△ABC=12AB•OC=12×5×3=7.5．设AC的解析式为y=kx+b．∵将A（-4，0）、C（0，-3）代入得：403k bb-+⎧⎨-⎩＝＝，解得：k=-34，b=-3，∴直线AC的解析式为y=-34x-3．设D（a，34a2+94a-3），则E（a，-34a-3）．∵DE=-23393443344a a a--+-=-（）（a+2）2+3，∴当a=-2时，DE有最大值，最大值为3．∴△ADC的最大面积=12DE•AO=12×3×4=6．∴四边形ABCD的面积的最大值为13.5．（3）存在．①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C （0，-3），令23944x +x-3=-3， ∴x 1=0，x 2=-3．∴P 1（-3，-3）． ②平移直线AC 交x 轴于点E 2，E 3，交x 轴上方的抛物线于点P 2，P 3，当AC=P 2E 2时，四边形ACE 2P 2为平行四边形，当AC=P 3E 3时，四边形ACE 3P 3为平行四边形．∵C （0，-3），∴P 2，P 3的纵坐标均为3．令y=3得：23944x +x-3=3，解得；x 12x 22．∴P 223），P 32，3）．综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P 1（-3，-3），P 22，3），P 32，3）．【点睛】此题考查二次函数综合题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质，解题关键在于根据题意作出图形，利用数形结合求解，在解答（3）时要注意进行分类讨论．。

2019年湖南省娄底市中考数学试题

湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，满分 30 分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里） 1．（3 分）（2019•娄底）2019 的相反数是（）A ．﹣2019B ．-C ．2019D ．2．（3 分）（2019•娄底）下列运算正确的是（）A ．x 2•x 3=x 6B ．（x 3）3=x 9C ．x 2+x 2=x 4D ．x 6÷x 3=x 23．（3 分）（2019•娄底）函数 y=中自变量 x 的取值范围为（）A ．x ≥0B ．x ≥﹣2C ．x ≥2D ．x ≤﹣2 4．（3 分）（2019•娄底）方程组的解是（）A ．B ．C ．D ．5．（3 分）（2019•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．（3 分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为 2cm 和 6cm ，圆心距为了 8cm ，则两圆的位置关系为（） A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．外离7．（3 分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：“分值”这组数据的中位数和众数分别是（） A ．89，90 B ．90，90C ．88，95D ．90，958．（3 分）（2019•娄底）下列命题中，错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．菱形的对角线互相垂直平分C ．矩形的对角线相等且互相垂直平分D ．角平分线上的点到角两边的距离相等9．（3 分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）A．40°B．45°C．50°D．60°10．（3 分）（2019•娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．二、细心填一填，一锤定音（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分）11．（3 分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000 个，75100000 用科学记数法表示为．12．（3 分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为．13．（3 分）（2019•娄底）已知关于x 的方程2x+a﹣5=0 的解是x=2，则a 的值为．14．（3 分）（2019•娄底）不等式组的解集为．15．（3 分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是或（添加一个条件即可）．16．（3 分）（2019•娄底）如图，M 为反比例函数y=的图象上的一点，MA 垂直y 轴，垂足为A，△ MAO 的面积为2，则k 的值为．17．（3 分）（2019•娄底）如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB 的高为m．18．（3 分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．19．（3 分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第1 个图案由4 个▲组成，第2 个图案由7 个▲组成，第3 个图案由10 个▲组成，第4 个图案由13 个▲组成，…，则第n（n 为正整数）个图案由个▲ 组成．20．（3 分）（2019•娄底）如图，▱ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是．三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3 道小题，每小题8 分，满分24 分）21．（8 分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．22．（8 分）（2019•娄底）如图，有小岛A 和小岛B，轮船以45km/h 的速度由C 向东航行，在C 处测得A 的方位角为北偏东60°，测得B 的方位角为南偏东45°，轮船航行2 小时后到达小岛B 处，在B 处测得小岛A 在小岛B 的正北方向．求小岛A 与小岛B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1．41，≈2．45）23．（8 分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中B 等级所占圆心角的度数．四．综合用一用，马到成功（本大题共1 道小题，满分8 分）24．（8 分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1．5 倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1 道小题，满分8 分）25．（8 分）（2019•娄底）如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数．六、探究试一试，超越自我（本大题共2 道小题，每小题10 分，满分20 分）26．（10 分）（2019•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x 轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y 轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．27．（10 分）（2019•娄底）如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ 的面积为S，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C 为菱形时，求t的值；′（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里）1．（3 分）（2019•娄底）2019 的相反数是（）A．﹣2019 B．- C．2019 D．考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．解答：解：2019 的相反数是﹣2019，故选：A．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3 分）（2019•娄底）下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6 B．（x3）3=x9 C．x2+x2=x4 D．x6÷x3=x2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得答案．解答：解：A、x2•x3=x5，故原题计算错误；B、（x3）3=x9，故原题计算正确；C、x2+x2=2x2，故原题计算错误；D、x6÷x3=x3，故原题计算错误；故选：B．点评：此题主要考查了同底数幂的乘、除法，幂的乘方，以及合并同类项的法则，关键是掌握各种计算法则，不要混淆．3．（3 分）（2019•娄底）函数y=中自变量x 的取值范围为（）A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤﹣2考点：函数自变量的取值范围．分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．解答：解：根据题意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故选C．点评：考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．4．（3 分）（2019•娄底）方程组的解是（）A．B．C．D．考点：解二元一次方程组．分析：用加减法解方程组即可．解答：解：，（1）+（2）得，3x=6，x=2，把x=2 代入（1）得，y=﹣1，∴原方程组的解．故选D．点评：此题考查二元一次方程组的解法．5．（3 分）（2019•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合．6．（3 分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为2cm 和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置关系为（）A．外切B．相交C．内切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R 和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．解答：解：根据题意，得：R+r=8cm，即R+r=d，∴两圆外切．故选A．点评：本题主要考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系，属于基础题．7．（3 分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：“分值”这组数据的中位数和众数分别是（） A ．89，90B ．90，90考点：众数；中位数C ．88，95D ．90，95分析：根据中位数和众数的定义找出从小到大排列后最中间的数和出现次数最多的数即可．解答：解：把这组数据从小到大排列：85，89，90，90，90，91，96，最中间的数是 90，则中位数是 90； 90 出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 90；故选 B ．点评：此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数． 8．（3 分）（2019•娄底）下列命题中，错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．菱形的对角线互相垂直平分C ．矩形的对角线相等且互相垂直平分D ．角平分线上的点到角两边的距离相等考点：命题与定理．分析：根据平行四边形的性质对 A 进行判断；根据菱形的性质对 B 进行判断；根据矩形的性质对 C 进行判断；根据角平分线的性质对 D 进行判断．解答：解：A 、平行四边形的对角线互相平分，所以 A 选项的说法正确；B 、菱形的对角线互相垂直平分，所以 B 选项的说法正确；C 、矩形的对角线相等且互相平分，所以 C 选项的说法错误；D 、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 D 选项的说法正确．故选 C ．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．9．（3 分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°考点：平行线的性质．分析：由把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=40°，可求得∠3 的度数，又由AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等“即可求得∠2 的度数．解答：解：∵∠∠1+∠3=90°，∠1=40°，∴∠3=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=50°．故选：C．点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．10．（3 分）（2019•娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：一次函数的图象．分析：首先根据k 的取值范围，进而确定﹣k＞0，然后再确定图象所在象限即可．解答：解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k 的图象经过第一、二、四象限，故选：A．点评：此题主要考查了一次函数图象，直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx 平移|b|个单位而得到．当b ＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移．二、细心填一填，一锤定音（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分）11．（3 分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000 个，75100000 用科学记数法表示为7．51×107 ．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．解答：解：将75100000 用科学记数法表示为7．51×107．故答案为：7．51×107．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及n 的值．12．（3 分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为55 ．考点：代数式求值专题：图表型．分析：根据运算程序列式计算即可得解．解答：解：由图可知，输入的值为 3 时，（32+2）×5=（9+2）×5=55．故答案为：55．点评：本题考查了代数式求值，读懂题目运算程序是解题的关键．13．（3 分）（2019•娄底）已知关于x 的方程2x+a﹣5=0 的解是x=2，则a 的值为 1 ．考点：一元一次方程的解分析：把x=2 代入方程即可得到一个关于a 的方程，解方程即可求解解答：解：把x=2 代入方程，得：4+a﹣5=0，解得：a=1．故答案是：1．点评：本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．14．（3 分）（2019•娄底）不等式组的解集为2＜x≤5 ．考点：解一元一次不等式组分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞2，由②得x≤5，故此不等式组的解集为：2＜x≤5．故答案为：2＜x≤5．点评：本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．15．（3 分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（添加一个条件即可）．考点：矩形的判定；平行四边形的性质专题：开放型．分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．解答：解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．点评：本题主要应用的知识点为：矩形的判定．①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90 度的平行四边形是矩形．16．（3 分）（2019•娄底）如图，M 为反比例函数y=的图象上的一点，MA 垂直y 轴，垂足为A，△ MAO 的面积为2，则k 的值为4 ．考点：反比例函数系数k 的几何意义．专题：计算题．分析：根据反比例函数比例系数k 的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值得到满足条件的k的值．解答：解：∵MA 垂直y 轴，∴S△AOM= |k|，∴|k|=2，即|k|=4，而k＞0，∴k=4．故答案为4．点评：本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=的图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．17．（3 分）（2019•娄底）如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB 的高为9 m．考点：相似三角形的应用．分析：根据△OCD 和△OAB 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：由题意得，CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得AB=9．故答案为：9．点评：本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．18．（3 分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．考点：概率公式．分析：由五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），∴该卡片上的数字是负数的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（3 分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第1 个图案由4 个▲组成，第2 个图案由7 个▲组成，第3 个图案由10 个▲组成，第4 个图案由13 个▲组成，…，则第n（n 为正整数）个图案由3n+1个▲ 组成．考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．解答：解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4 个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7 个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10 个三角形；…第n 个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1 个三角形；故答案为：3n+1．点评：考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．20．（3 分）（2019•娄底）如图，▱ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是9．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：根据平行四边形的性质得出DE=AD= BC，DO= BD，AO=CO，求出OE=CD，求出△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD），代入求出即可．解答：解：∵E 为AD 中点，四边形ABCD 是平行四边形，∴DE= AD= BC，DO= BD，AO=CO，∴OE= CD，∵△BCD 的周长为18，∴BD+DC+B=18，∴△DEO 的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）= ×18=9，故答案为：9．点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出DE=BC，DO= BD，OE= DC．三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3 道小题，每小题8 分，满分24 分）21．（8 分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式的解集，找出解集中的正整数解得到x 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，不等式2x﹣3＜7，解得：x＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x=1 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（8 分）（2019•娄底）如图，有小岛A 和小岛B，轮船以45km/h 的速度由C 向东航行，在C 处测得A 的方位角为北偏东60°，测得B 的方位角为南偏东45°，轮船航行2 小时后到达小岛B 处，在B 处测得小岛A 在小岛B 的正北方向．求小岛A 与小岛B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1．41，≈2．45）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：先过点C 作CP⊥AB 于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC 的值，在Rt△PCB 中，根据勾股定理求出BP=CP 的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP 的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．解答：解：过点C 作CP⊥AB 于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h，轮船航行 2 小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45 ，∵∠CAP=60°，∴tan60°= =，∴AP=15 ，∴AB=AP+PB=15+45=15×2．45+45×1．41≈100（km）．答：小岛A 与小岛B 之间的距离是100km．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．23．（8 分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中B 等级所占圆心角的度数．考点：折线统计图；扇形统计图专题：数形结合．分析：（1）用C 等级的人数除以C 等级所占的百分比即可得到抽取的总人数；（2）先用总数50 分别减去A、C、D 等级的人数得到B 等级的人数，然后画出折线统计图；（3）用360°乘以B 等级所占的百分比即可得到B 等级所占圆心角的度数．解答：解：（1）10÷20%=50，所以抽取了50 个学生进行调查；（2）B 等级的人数=50﹣15﹣10﹣5=20（人），画折线统计图；（3）图乙中B 等级所占圆心角的度数=360°×=144°．点评：本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化；折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图．四．综合用一用，马到成功（本大题共1 道小题，满分8 分）24．（8 分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1．5 倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？考点：分式方程的应用．分析：（1）由题意，设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1．5xkm/h，根据“小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，”列出方程解决问题；（2）利用（1）中小张开着大货车的速度，即可求得答案．解答：解：（1）设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1．5xkm/h，由题意得解得x=60，则1．5x=90，答：大货车速度为60km/h，则小轿车的速度为90km/h．（2）180﹣60×1=120km答：当小刘出发时，小张离长沙还有120km．点评：此题考查分式方程的运用，注意题目蕴含的数量关系，设出未知数，列方程解决问题．五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1 道小题，满分8 分）25．（8 分）（2019•娄底）如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）根据AB，CD 是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL 定理得出△ABD≌△CDB；（2）由BE 是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC 的度数．解答：（1）证明：∵AB，CD 是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在△ABD 和△CDB 中，，∴△ABD 和△CDB（HL）；（2）解：∵BE 是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC 的度数为37°．点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大．六、探究试一试，超越自我（本大题共2 道小题，每小题10 分，满分20 分）26．（10 分）（2019•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x 轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y 轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．1 2 1 2考点：二次函数综合题．分析：（1）利用根与系数的关系，等式 x 2+x 2+x x =7．由一元二次方程根与系数的关系，得 x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1．代入等式，即可求得 m 的值，从而求得解析式．（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得 P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得．解答：解（1）依题意：x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1，∵x 1+x 2+x 1x 2=7，∴（x 1+x 2）2﹣x 1x 2=7，∴（﹣m ）2﹣（m ﹣1）=7，即 m 2﹣m ﹣6=0，解得 m 1=﹣2，m 2=3，∵c=m ﹣1＜0，∴m=3 不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是 y=x 2﹣2x ﹣3；（2）能如图，设 p 是抛物线上的一点，连接 PO ，PC ，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 D ．若∠POC=∠PCO 则 PD 应是线段 OC 的垂直平分线∵C 的坐标为（0，﹣3）∴D 的坐标为（0，﹣）∴P 的纵坐标应是﹣令x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=因此所求点P 的坐标是（，﹣），（。

娄底市2019年中考数学试卷及答案(Word解析版)

湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里）3．（3分）（2019•娄底）函数y=中自变量x的取值范围为（）4．（3分）（2019•娄底）方程组的解是（）B，∴原方程组的解B．（3分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置67．（3分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学9．（3分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）B二、细心填一填，一锤定音（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分）11．（3分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000个，75100000用科学记数法表示为7.51×107．12．（3分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为55．13．（3分）（2019•娄底）已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，则a的值为1．14．（3分）（2019•娄底）不等式组的解集为2＜x≤5．，由①得，15．（3分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（添加一个条件即可）．16．（3分）（2019•娄底）如图，M为反比例函数y=的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为4．的几何意义得到=|k|=2y=17．（3分）（2019•娄底）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为9m．=，=，18．（3分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．∴该卡片上的数字是负数的概率是：故答案为：．19．（3分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由3n+1个▲组成．20．（3分）（2019•娄底）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是9．AD=BC BD OE=DE+OE+DO=（AD=BC DO=CDDE+OE+DO==BC BD DC三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3道小题，每小题8分，满分24分）21．（8分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．÷=•=22．（8分）（2019•娄底）如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）BP=CP=45，=，+4523．（8分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中B等级所占圆心角的度数．×四、综合用一用，马到成功（本大题共1道小题，满分8分）24．（8分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？﹣=1五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1道小题，满分8分）25．（8分）（2019•娄底）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）26．（10分）（2019•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B （x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．，﹣的纵坐标应是﹣，解得，，﹣（），，27．（10分）（2019•娄底）如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？，得出==，得出t AQ PH=t﹣，=t+4QE=得出﹣﹣t+3t+4PQ=，=t，即=5=，=，﹣×PH=×﹣﹣），秒时，最大值为cm=，==t+4═﹣t+4QC=（﹣t+4=t+2t=，＜的值是t+3t+4PQ===，；=t，即=5；s s s。

2019年湖南省娄底市中考数学试题(含解析)

湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里）1．（3 分）（2019•娄底）2019 的相反数是（）A．﹣2019B．- C．2019D．2．（3 分）（2019•娄底）下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6B．（x3）3=x9C．x2+x2=x4D．x6÷x3=x23．（3 分）（2019•娄底）函数y=中自变量x 的取值范围为（）A．x≥0B．x≥﹣2C．x≥2D．x≤﹣24．（3 分）（2019•娄底）方程组的解是（）A．B．C．D．5．（3 分）（2019•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3 分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为2cm 和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置关系为（）A．外切B．相交C．内切D．外离7．（3 分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：组别一二三四五六七分值90968990918590“分值”这组数据的中位数和众数分别是（）A．89，90B．90，90C．88，95D．90，958．（3 分）（2019•娄底）下列命题中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等9．（3 分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）A．40°B．45°C．50°D．60°10．（3 分）（2019•娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．二、细心填一填，一锤定音（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分）11．（3 分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000 个，75100000 用科学记数法表示为．12．（3 分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为．13．（3 分）（2019•娄底）已知关于x 的方程2x+a﹣5=0 的解是x=2，则a 的值为．14．（3 分）（2019•娄底）不等式组的解集为．15．（3 分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是或（添加一个条件即可）．16．（3 分）（2019•娄底）如图，M 为反比例函数y=的图象上的一点，MA 垂直y 轴，垂足为A，△MAO 的面积为2，则k 的值为．17．（3 分）（2019•娄底）如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB 的高为m．18．（3 分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．19．（3 分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第1 个图案由4 个▲组成，第2 个图案由7 个▲组成，第3 个图案由10 个▲组成，第4 个图案由13 个▲组成，…，则第n（n 为正整数）个图案由个▲组成．20．（3 分）（2019•娄底）如图，▱ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是　．三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3 道小题，每小题8 分，满分24 分）21．（8 分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．22．（8 分）（2019•娄底）如图，有小岛A 和小岛B，轮船以45km/h 的速度由C 向东航行，在C 处测得A 的方位角为北偏东60°，测得B 的方位角为南偏东45°，轮船航行2 小时后到达小岛B 处，在B 处测得小岛A 在小岛B 的正北方向．求小岛A 与小岛B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1．41，≈2．45）23．（8 分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中 B 等级所占圆心角的度数．四．综合用一用，马到成功（本大题共1 道小题，满分8 分）24．（8 分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1．5 倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1 道小题，满分8 分）25．（8 分）（2019•娄底）如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数．六、探究试一试，超越自我（本大题共2 道小题，每小题10 分，满分20 分）26．（10 分）（2019•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x 轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y 轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．27．（10 分）（2019•娄底）如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P 由点 B 出发沿BA 方向向点 A 匀速运动，同时点Q 由点 A 出发沿AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ 的面积为S，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C 为菱形时，求t的值；′（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里）1．（3 分）（2019•娄底）2019 的相反数是（）A．﹣2019B．- C．2019D．考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．解答：解：2019 的相反数是﹣2019，故选：A．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3 分）（2019•娄底）下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6B．（x3）3=x9C．x2+x2=x4D．x6÷x3=x2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得答案．解答：解：A、x2•x3=x5，故原题计算错误；B、（x3）3=x9，故原题计算正确；C、x2+x2=2x2，故原题计算错误；D、x6÷x3=x3，故原题计算错误；故选：B．点评：此题主要考查了同底数幂的乘、除法，幂的乘方，以及合并同类项的法则，关键是掌握各种计算法则，不要混淆．3．（3 分）（2019•娄底）函数y=中自变量x 的取值范围为（）A．x≥0B．x≥﹣2C．x≥2D．x≤﹣2考点：函数自变量的取值范围．分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．解答：解：根据题意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故选C．点评：考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．4．（3 分）（2019•娄底）方程组的解是（）A．B．C．D．考点：解二元一次方程组．分析：用加减法解方程组即可．解答：解：，（1）+（2）得，3x=6，x=2，把x=2 代入（1）得，y=﹣1，∴原方程组的解．故选D．点评：此题考查二元一次方程组的解法．5．（3 分）（2019•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合．6．（3 分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为2cm 和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置关系为（）A．外切B．相交C．内切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R 和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．解答：解：根据题意，得：R+r=8cm，即R+r=d，∴两圆外切．故选A．点评：本题主要考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系，属于基础题．7．（3 分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：组别一二三四五六七分值90968990918590“分值”这组数据的中位数和众数分别是（）A．89，90B．90，90C．88，95D．90，95考点：众数；中位数分析：根据中位数和众数的定义找出从小到大排列后最中间的数和出现次数最多的数即可．解答：解：把这组数据从小到大排列：85，89，90，90，90，91，96，最中间的数是90，则中位数是90；90 出现了3 次，出现的次数最多，则众数是90；故选B．点评：此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．8．（3 分）（2019•娄底）下列命题中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等考点：命题与定理．分析：根据平行四边形的性质对 A 进行判断；根据菱形的性质对 B 进行判断；根据矩形的性质对C 进行判断；根据角平分线的性质对D 进行判断．解答：解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以 A 选项的说法正确；B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B 选项的说法正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C 选项的说法错误；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D 选项的说法正确．故选C．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．9．（3 分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）A．40°B．45°C．50°D．60°考点：平行线的性质．分析：由把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=40°，可求得∠3 的度数，又由AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等“即可求得∠2 的度数．解答：解：∵∠∠1+∠3=90°，∠1=40°，∴∠3=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=50°．故选：C．点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．10．（3 分）（2019•娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：一次函数的图象．分析：首先根据k 的取值范围，进而确定﹣k＞0，然后再确定图象所在象限即可．解答：解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k 的图象经过第一、二、四象限，故选：A．点评：此题主要考查了一次函数图象，直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx 平移|b|个单位而得到．当b＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移．二、细心填一填，一锤定音（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分）11．（3 分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000 个，75100000 用科学记数法表示为7．51×107．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．解答：解：将75100000 用科学记数法表示为7．51×107．故答案为：7．51×107．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及n 的值．12．（3 分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为55．考点：代数式求值专题：图表型．分析：根据运算程序列式计算即可得解．解答：解：由图可知，输入的值为 3 时，（32+2）×5=（9+2）×5=55．故答案为：55．点评：本题考查了代数式求值，读懂题目运算程序是解题的关键．13．（3 分）（2019•娄底）已知关于x 的方程2x+a﹣5=0 的解是x=2，则a 的值为1．考点：一元一次方程的解分析：把x=2 代入方程即可得到一个关于 a 的方程，解方程即可求解解答：解：把x=2 代入方程，得：4+a﹣5=0，解得：a=1．故答案是：1．点评：本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．14．（3 分）（2019•娄底）不等式组的解集为2＜x≤5．考点：解一元一次不等式组分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞2，由②得x≤5，故此不等式组的解集为：2＜x≤5．故答案为：2＜x≤5．点评：本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．15．（3 分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（添加一个条件即可）．考点：矩形的判定；平行四边形的性质专题：开放型．分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．解答：解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．点评：本题主要应用的知识点为：矩形的判定．①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90 度的平行四边形是矩形．16．（3 分）（2019•娄底）如图，M 为反比例函数y=的图象上的一点，MA 垂直y 轴，垂足为A，△MAO 的面积为2，则k 的值为4．考点：反比例函数系数k 的几何意义．专题：计算题．分析：根据反比例函数比例系数k 的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值得到满足条件的k的值．解答：解：∵MA 垂直y 轴，∴S△AOM= |k|，∴|k|=2，即|k|=4，而k＞0，∴k=4．故答案为4．点评：本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=的图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．17．（3 分）（2019•娄底）如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB 的高为9m．考点：相似三角形的应用．分析：根据△OCD 和△OAB 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：由题意得，CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得AB=9．故答案为：9．点评：本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．18．（3 分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．考点：概率公式．分析：由五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），∴该卡片上的数字是负数的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（3 分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第1 个图案由4 个▲组成，第2 个图案由7 个▲组成，第3 个图案由10 个▲组成，第4 个图案由13 个▲组成，…，则第n（n 为正整数）个图案由3n+1个▲组成．考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．解答：解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4 个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7 个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10 个三角形；…第n 个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1 个三角形；故答案为：3n+1．点评：考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．20．（3 分）（2019•娄底）如图，▱ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是9　．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：根据平行四边形的性质得出DE= AD= BC，DO= BD，AO=CO，求出OE=CD，求出△DEO 的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD），代入求出即可．解答：解：∵E 为AD 中点，四边形ABCD 是平行四边形，∴DE= AD= BC，DO= BD，AO=CO，∴OE= CD，∵△BCD 的周长为18，∴BD+DC+B=18，∴△DEO 的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）= ×18=9，故答案为：9．点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出DE=BC，DO= BD，OE= DC．三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3 道小题，每小题8 分，满分24 分）21．（8 分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式的解集，找出解集中的正整数解得到x 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，不等式2x﹣3＜7，解得：x＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x=1 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（8 分）（2019•娄底）如图，有小岛A 和小岛B，轮船以45km/h 的速度由C 向东航行，在C 处测得A 的方位角为北偏东60°，测得B 的方位角为南偏东45°，轮船航行2 小时后到达小岛B 处，在B 处测得小岛A 在小岛B 的正北方向．求小岛A 与小岛B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1．41，≈2．45）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：先过点 C 作CP⊥AB 于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC 的值，在Rt△PCB 中，根据勾股定理求出BP=CP 的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP 的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．解答：解：过点 C 作CP⊥AB 于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h，轮船航行 2 小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45 ，∵∠CAP=60°，∴tan60°= =，∴AP=15 ，∴AB=AP+PB=15+45=15×2．45+45×1．41≈100（km）．答：小岛 A 与小岛 B 之间的距离是100km．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．23．（8 分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中 B 等级所占圆心角的度数．考点：折线统计图；扇形统计图专题：数形结合．分析：（1）用 C 等级的人数除以 C 等级所占的百分比即可得到抽取的总人数；（2）先用总数50 分别减去A、C、D 等级的人数得到 B 等级的人数，然后画出折线统计图；（3）用360°乘以 B 等级所占的百分比即可得到 B 等级所占圆心角的度数．解答：解：（1）10÷20%=50，所以抽取了50 个学生进行调查；（2）B 等级的人数=50﹣15﹣10﹣5=20（人），画折线统计图；（3）图乙中 B 等级所占圆心角的度数=360°×=144°．点评：本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化；折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图．四．综合用一用，马到成功（本大题共1 道小题，满分8 分）24．（8 分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1．5 倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？考点：分式方程的应用．分析：（1）由题意，设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1．5xkm/h，根据“小刘比张晚出发1 小时，最后两车同时到达长沙，”列出方程解决问题；（2）利用（1）中小张开着大货车的速度，即可求得答案．解答：解：（1）设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1．5xkm/h，由题意得解得x=60，则1．5x=90，答：大货车速度为60km/h，则小轿车的速度为90km/h．（2）180﹣60×1=120km答：当小刘出发时，小张离长沙还有120km．点评：此题考查分式方程的运用，注意题目蕴含的数量关系，设出未知数，列方程解决问题．五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1 道小题，满分8 分）25．（8 分）（2019•娄底）如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）根据AB，CD 是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL 定理得出△ABD≌△CDB；（2）由BE 是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC 的度数．解答：（1）证明：∵AB，CD 是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在△ABD 和△CDB 中，，∴△ABD 和△CDB（HL）；（2）解：∵BE 是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC 的度数为37°．点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大．六、探究试一试，超越自我（本大题共2 道小题，每小题10 分，满分20 分）26．（10 分）（2019•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x 轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y 轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用根与系数的关系，等式x 2+x 2+x x =7．由一元二次方程根与系数的关系，得12 1 2x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1．代入等式，即可求得m 的值，从而求得解析式．（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得．解答：解（1）依题意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1，∵x1+x2+x1x2=7，∴（x1+x2）2﹣x1x2=7，∴（﹣m）2﹣（m﹣1）=7，即m2﹣m﹣6=0，解得m1=﹣2，m2=3，∵c=m﹣1＜0，∴m=3 不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（2）能如图，设p 是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D．若∠POC=∠PCO则PD 应是线段OC 的垂直平分线∵C 的坐标为（0，﹣3）∴D 的坐标为（0，﹣）∴P 的纵坐标应是﹣令x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=因此所求点P 的坐标是（，﹣），（。

2019年湖南省娄底市中考数学试卷解析

2019年湖南省娄底市中考数学试卷解析一、选择题（共10小题）1．（2018娄底）2018的倒数是（）A．B．﹣ C． 2018 D．﹣考点：倒数。

专题：计算题。

分析：根据倒数的定义直接解答即可．解答：解：∵2018×=1，∴2018的倒数是．故选A．点评：本题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（2018娄底）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。

专题：常规题型。

分析：先求出两个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可进行选择．解答：解：，解不等式①得，x≤1，解不等式②得，x＞﹣2，在数轴上表示如下：故选B．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＞”，“＜”要用空心圆点表示．3．（2018娄底）娄底市针对城区中小学日益突出的“大班额”问题，决定自2018年起启动《中心城区化解大班额四年（2018年～2018年）行动计划》，计划投入资金8.71亿元，力争新增学位3.29万个．3.29万用科学记数法表示为（）A．3.29×105B．3.29×106C．3.29×104D．3.29×103考点：科学记数法—表示较大的数。

专题：应用题。

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：3.29万=3.29×104，故选C．点评：本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2018娄底）下列命题中，假命题是（）A．平行四边形是中心对称图形B．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等C．对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差D．若x2=y2，则x=y考点：命题与定理；有理数的乘方；线段垂直平分线的性质；中心对称图形；用样本估计总体。

2019年湖南省娄底市中考数学试卷(解析版)

2019年湖南省娄底市中考数学试卷（解析版）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.2019的相反数是（）A．﹣2019 B．2019 C．D．﹣2.下列计算正确的是（）A．（﹣2）3＝8 B．（a2）3＝a6C．a2•a3＝a6D．4x2﹣2x＝2x3.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形4.一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（）A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、15.2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗7nm（1nm＝10﹣9m）手机芯片．7nm用科学记数法表示为（）A．7×10﹣8m B．7×10﹣9m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣10m6.下列命题是假命题的是（）A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°D．旋转不改变图形的形状和大小7.如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝，则阴影部分的面积是（）A．4πB．3πC．2πD．π8.如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．29.将y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为（）A．y＝+1 B．y＝﹣1 C．y＝+1 D．y＝﹣110.如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（）A．x＜﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2或x＞3 D．﹣2＜x＜311.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b④（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个12.如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题（共6小题）13.函数的自变量x的取值范围是．14.如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是．15.如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2的度数为．16.如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．17.已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为﹣．18.已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．三、解答题（共8小题）19.计算：（﹣1）0﹣（）﹣1+|﹣|﹣2sin60°20.先化简，再求值：÷（﹣）．其中a＝﹣1，b＝+1．21.湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如下统计图表：关注程度频数频率A．高度关注m0.4B．一般关注1000.5C．没有关注20n（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为，m＝，n＝．（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？22.如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A 的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．23.某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：类别成本价（元/箱）销售价（元/箱）甲2535乙3548求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？24.如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）求证：CD•BE＝AD•DE．25.如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．26.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．2019年湖南省娄底市中考数学试卷（解析版）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：2019的相反数是：﹣2019．故选：A．【知识点】相反数2.【分析】分别根据幂的定义、幂的乘方、同底数幂的乘法法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．【解答】解：A．（﹣2）3＝﹣8，故选项A不合题意；B．（a2）3＝a6，故选项B符合题意；C．a2•a3＝a5，故选项C不合题意；D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方3.【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EF⊥FG，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC且EF＝AC，同理，GH∥AC且GH＝AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：C．【知识点】平行四边形的判定、正方形的判定、菱形的判定与性质、中点四边形、矩形的判定4.【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数进行分析即可．【解答】解：这组数据的众数为1，从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，故选：C．【知识点】众数、中位数5.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．故选：B．【知识点】科学记数法—表示较小的数6.【分析】利用垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选：B．【知识点】命题与定理7.【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．【解答】解：双曲线y＝的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180°，半径为2，所以：S阴影＝＝2π．故选：C．【知识点】扇形面积的计算、反比例函数系数k的几何意义8.【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB＝60°，CH⊥AB，则∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝3，然后利用正切的定义计算出OH即可．【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，∴OH＝×＝1，即△ABC内切圆的半径为1．故选：A．【知识点】等边三角形的性质、三角形的内切圆与内心9.【分析】直接根据函数图象的变换规律进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，y＝的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝；由“上加下减”的原则可知，函数y＝的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝+1．故选：C．【知识点】反比例函数的图象10.【分析】根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．【知识点】一次函数与一元一次不等式11.【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；即可得出b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；再由图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；即可求解．【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有④是正确的；故选：A．【知识点】二次函数图象与系数的关系12.【分析】先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4＝504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∵2019÷4＝504…3，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．【知识点】坐标与图形性质二、填空题（共6小题）13.【分析】根据被开方数非负列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．【知识点】函数自变量的取值范围14.【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率．【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P＝，故答案为：．【知识点】列表法与树状图法15.【分析】由平行线的性质得出∠1＝∠A，再由平行线的性质得出∠2＝∠A，即可得出结果．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠1＝∠A，∵AB∥CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝28°，故答案为：28°．【知识点】平行线的性质16.【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．【知识点】圆周角定理17.【分析】设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个根为c，∵（+）c＝3，∴c＝﹣．故答案为：﹣．【知识点】根与系数的关系、一元二次方程的解18.【分析】利用两平行线间的距离定义，在直线y＝x上任意取一点，然后计算这个点到直线y＝x﹣4的距离即可．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．【知识点】两条直线相交或平行问题、一次函数的性质三、解答题（共8小题）19.【分析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2+﹣2×＝1﹣2+﹣＝﹣1．【知识点】负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算20.【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：÷（﹣）＝＝＝ab，当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．【知识点】分母有理化、分式的化简求值21.【分析】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；（2）据上信息补全图中的条形统计图；（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人）．【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；故答案为200，80，0.1；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．【知识点】频数（率）分布表、条形统计图、用样本估计总体22.【分析】作AF⊥CD于F．设AE＝x米．由斜坡AB的坡度为i＝1：1，得出BE＝AE＝x米．解Rt△BDC，求得BC＝＝24米，则AF＝EC＝（x+24）米．解Rt△ADF，得出DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，又DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，列出方程2（x+24）＝96﹣x，求出x即可．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题、解直角三角形的应用-仰角俯角问题23.【分析】（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润＝单箱利润×销售数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．【知识点】二元一次方程组的应用24.【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ADO，求得∠CAD＝∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE＝∠BDE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD•BE＝AD•DE．【知识点】角平分线的性质、圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质25.【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH＝GF，同理可得FE＝HG，即可得四边形EFGH是平行四边形；（3）由轴对称﹣﹣最短路径问题得到：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．连接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，∴四边形AEG′C为平行四边形，∴EG′＝AC．在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′＝AC，∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．【知识点】四边形综合题26.【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式，即可求解；（2）S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，即可求解；（3）分∠ACB＝∠BOQ、∠BAC＝∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC与点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点Q（，﹣2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）；综上，点Q（，﹣2）或（，）．【知识点】二次函数综合题。

湖南省娄底市2019届九年级初中毕业学业考试质量检测数学答案

2019 年娄底市初中毕业数学学业考试质量检测参考答案一、选择题题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C C D B C B B D D A B C二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分）13、x≤2 且x≠-1 14、y= - 2(퐱 + ퟒ)ퟒ−ퟒ15、1ퟒ16、17、218、②③④ퟒퟒ2三、解答题（本大题共2 小题，每小题 6 分，满分12 分）19. 计算：（√ퟒퟒퟒퟒ+ ퟒ)ퟒ+ （−−ퟒퟒퟒ）- |√ퟒ−ퟒ|-2퐬퐢퐧ퟒퟒퟒ解：原式=1+9-（2-√ퟒ）-2×=8 √ퟒퟒ퐚ퟒ−ퟒ퐚퐛+퐛ퟒퟒ퐚−ퟒ퐛20．先化简，再求值：ퟒ퐛÷ (−ퟒ퐚), 其中a=√ퟒ+1, b=√ퟒ-1 .(퐚−퐛)ퟒ解：原式=ퟒ（퐚−퐛)ퟒ÷ 퐚−퐛퐚퐛퐚퐛=ퟒ当a=√ퟒ+1, b=√ퟒ-1 时，原式=2四、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）21、解：（1），40%；144（2）如图所示；（3）解：1000×10%=100（人）答：全校喜欢踢键子的大约有100 人.23.六、解答题（本大题共 2个小题，每小题 10分，满分 20分）25.证明：（ 1）连接 ODBC 为直径，AD 平分BAC11= 45 =COD2COD 90又 BC ∥DPODP COD 180ODP 90OD DPPD O是⊙ 的切线（ 2）四边形ABCD 为 O 的内接四边形PCD ABD 又 BC ∥DPP 22 3 AB 与所对弧都是2 3 P ABD ∽DCP（ 3）BC ABAC 2213且90 ， BDC BDCD13 2 BD CD2ABD DCP∽ AB BD DCCP513 2 213 2 2CP169 5PC 2169 PC16.9(cm )1026.解：(1) OC 3OBC 3）点为（0, 3把 ), (0 3)代入y B (1，0 C ，a x 3ax2c 中.a 得c3 4 3y 3 4x29x 4 3(2)设点D 坐标为(x , 3 4 x 2 9 4 x 3)过点D 作x 轴的虚线交AC 于点E .3 时，4当y 0 x2x 4, x1129x 430 A 点为（ 4，0）求得AC 直线为y3 4 x3 3E x , x 3 点为（）4S S SABCD ABCACD12533 4 x 33 4 2x 2 9 4 x3 43x1526x 2 2 3 27 (x 2)222x 当2时，S最大ABCD27 2(3)①过点C 作CP ∥ 1x 轴交抛物线于点P ，1过P 作P E ∥ 11AC 交x 轴于点E .1AE PC . 四边形为平行四边形1 1P点的纵坐标为 13，代入y3 4x 29 4 x 3中得x10, x23P 3 3点为（，）1②平移直线AC 交x 轴于点E (或E )，交抛物线于点P （或P ).2323当AC P E 时，四边形ACE P 为平行四边形，2 2 2 2此时P 的纵坐标为3.代入y 23 4 x29 4x 3 中3413 41得x，x122 2 当ACP E ACE P时，四边形为平行四边形3 33 3P 3 3点为（，）或（3 24 13 ，3），或（241，3）。

2019湖南娄底中考数学试题解析答案

2019年湖南省娄底市初中毕业、升学考试数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2019湖南省娄底市，1，3分）2019的相反数是（）A. －2019B ．2019C ．12019 D ． 12019- 【答案】A【解析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”或相反数的性质“互为相反数的两个数之和为0”来解答即可．【知识点】相反数、倒数 2．（2019湖南省娄底市，1，3分）下列计算正确的是（）A. ()328-= B ． ()326a a = C ． 236a a a = D ． 2422x x x -=【答案】B【解析】A 、根据乘方的定义()()()()322228-=---=-，该选项不正确；B 、根据幂的乘方底数不变指数相乘得()32236a a a ⨯==，该选项正确；C 、根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加得23235a a a a +==，该选项不正确；D 、根据整式加减的法则，只有同类项才能合并，故2422x x x -=不正确．【知识点】乘方、幂的运算性质、整式的加减3．（2019湖南省娄底市，1，3分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（） A 平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形【答案】C【解析】如图：菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EH∴FG∴BD ，EH ＝FG ＝ 12 BD ；EF∴HG∴AC ，EF ＝HG ＝12 AC ，故四边形EFGH 是平行四边形，又∴AC∴BD ，∴EH∴EF ，∴HEF ＝90° ∴四边形EFGH 是矩形．故选C ．【知识点】菱形的性质、矩形的判定、三角形中位线的性质 4．（2019湖南省娄底市，1，3分）一组数据－2、1、1、0、2、1，这组数据的众数和中位数分别是（） A. －2，0 B ． 1，0 C ． 1，1 D ． 2，1 【答案】C【解析】将这组数据按从小到大排列为－2，0，1，1，1，2，第三、四个数的平均数是中位数；出现次数最多的数是众数；故C 正确．【知识点】数据统计中的众数、中位数 5．（2019湖南省娄底市，1，3分）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC 麒麟980,这款号称六项全球第一的芯片,随着华为Mate 20系列、荣耀Magic 2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体验，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗7nm （1nm ＝910-m ）手机芯片．7nm 用科学记数法表示为（）A. 8710m -⨯ B ． 9710m -⨯ C ． 80.710m -⨯ D ． 10710m -⨯ 【答案】B【解析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示为10n a -⨯，其中n 是等于原数左边起第一个不为零的数字前面的所有0的个数．其实本题可由条件中9110nm m -=得9771710nm nm m -=⨯=⨯．【知识点】科学记数法——表示较小的数 6．（2019湖南省娄底市，1，3分）下列命题是假命题的是（）A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．n 边形（n ≥3）的内角和是180360n ︒-︒D ．旋转不改变图形的形状和大小【答案】B【解析】A ．由线段垂直平分线的判定知该选项是真命题．B ．等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形；故该选项为假命题．C ．由n 边形（n ≥3）的内角和是()2180n -︒知该选项是真命题．D ．由旋转的性质得该选项是真命题．【知识点】线段垂直平分线的判定、n 边形的内角和、轴对称图形、中心对称图形、旋转的性质 7．（2019湖南省娄底市，1，3分）如图（1），⊙O 的半径为2，双曲线的解析式分别为1y x =和1y x=-，则阴影部分的面积为( )A ． 4πB ． 3πC ． 2πD ． π 【答案】C【解析】根据反比例函数1y x =，1y x=-及圆的中心对称性和轴对称性知，将二、四象限的阴影部分旋转到一、三象限对应部分，显然所有阴影部分的面积之和等于一、三象限内两个扇形的面积之和，也就相当于一个半径为2的半圆的面积． ∴21222S ππ=⨯=阴影．故选C ．【知识点】反比例函数图象和圆的中心对称性及轴对称性、扇形的面积 8．（2019湖南省娄底市，1，3分）如图（2），边长为23的等边△ABC 的内切圆的半径为（）A. 1 B ．C ． 2D ．【答案】A【解析】由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形OCD 中，从而解得．如图（2－1），设D 为⊙O 与AC 的切点，连接OA 和OD ，∵等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点， ∴OD∴AC ，∴OAD ＝30°，OD 即为圆的半径．又∵AC =∴1122AD AC ==⨯=∴在直角三角形OAD 中，tan tan 30OD OAD AD ∠=︒=== 代入解得：OD ＝1．故答案为 1．【知识点】等边三角形的性质、三角形的内切圆与内心、特殊角的三角函数值．9．（2019湖南省娄底市，1，3分）将1y x=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图（3）．则所得图象的解析式为（）A. 111y x =++ B ． 111y x =-+ C ． 111y x =+- D ． 111y x =-- 【答案】C ．【解析】二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”对所有函数的图象平移均适合．∵将1y x =的图象向右平移1个单位长度后所得函数关系式为11y x =-， ∴将1y x =的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象的解析式为111y x =+-．故选C ．【知识点】函数图象的平移与几何变换“上加下减、左加右减”的原理． 10．（2019湖南省娄底市，1，3分）如图（4），直线y x b =+和2y kx =+与x 轴分别交于点A （－2，0），点B （3，0），则020x b kx +>⎧⎨+>⎩的解集为（）A. x<－2 B ． x>3 C ． x<－2或x>3 D ．－2<x<3 【答案】D ．【解析】观察两个函数图象在x 轴上方部分对应点的横坐标的公共部分，在x ＝﹣2的右边，对应于每一个x 的值，函数值y x b =+都落在x 轴的上方，即不等式0x b +>的解集为x>﹣2；在x 轴上3的左边，对应于每一个x 的值，函数值2y kx =+都落在x 轴的上方，即不等式kx+2＞0的解集为x ＜3；再根据“大小小大取中间”即可得出不等式组020x b kx +>⎧⎨+>⎩的解集．观察函数图象得到不等式0x b +>的解集为x ＞﹣2，不等式kx+2＞0的解集为x ＜3；所以不等式组020x b kx +>⎧⎨+>⎩的解集为－2＜x ＜3．故选A ．【知识点】一次函数的图象与一元一次不等式解集的关系． 11．（2019湖南省娄底市，1，3分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（）① abc<0② 240b ac -<③ 2a b > ④ ()22a c b +< A ． 1个 B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y 轴的左侧得a 、b 同号，抛物线与y 轴交于正半轴得c>0,所以abc>0 ；故结论①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点得240b ac ->，故结论②错误； ③由图象知对称轴12b x a =->-得12ba<；由a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a,即2a<b ；故结论③错误；④由图象知：当x ＝1时，y<0即a+b+c<0；当x ＝－1时，y>0即a －b+c>0；∴()()0a b c a b c ++-+<，即()220a c b +-<；∴()22a c b +<．故结论④正确．故答案A 正确．【知识点】二次函数图象的性质、不等式的性质、判别式的性质．12．（2019湖南省娄底市，1，3分）如图（6），在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从A(A 为坐标原点)出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P 的纵坐标为（）A. －2 B ．－1 C ． 0 D ． 1【答案】B∴点P 走1秒走12个弧，…，根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P2019的坐标．∵2019÷4＝504 (3)∴在第2019秒时点P 的纵坐标为－1．故答案为B ．【知识点】点的坐标、探索图形规律、周期性．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 13．（2019湖南省娄底市，1，3分）函数y =的自变量x 的取值范围____________．【答案】x ≥3【解析】根据二次根式有意义的条件是“被开方数为非负数”得30x -≥，即x ≥3．【知识点】二次根式的定义14．（2019湖南省娄底市，1，3分）如图（7），随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，能让灯泡发光的概率是____________．【答案】23．【解析】当开关1S 与2S 闭合或1S 与3S 闭合时，灯泡才会发光．同时闭合两个开关可能出现表格中的几种情况：()4263P ==灯泡发光．【知识点】列举法求概率 15．（2019湖南省娄底市，1，3分）如图（8），AB ∥CD ，AC ∥BD ，∠1＝28°，则∠2的度数为_____________．【答案】28°．【解析】解：∵AC∥BD，∠1＝28°，∴∠A＝∠1＝28°．又∵AB∥CD，∴∠2＝∠A＝28°．【知识点】平行线的性质．16．（2019湖南省娄底市，1，3分）如图（9），C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝_____________．【答案】1．【思路分析】连结AD，由AB为圆的直径得∠ADB＝90°，在⊙O中有∠B＝∠ACD＝30°，故得112122AD AB==⨯=．【解题过程】如图，图9－1，连结AD，∵由AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵在⊙O中有∠ACD＝30°,∴∠B＝∠ACD＝30°，∴112122AD AB==⨯=．【知识点】圆周角的性质“直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等”、30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 17．（2019湖南省娄底市，1，3分）已知方程230x bx ++=___________．【思路分析】一元二次方程根与系数的关系12cx x a=得13x ⨯=，进而求得1x ．【解题过程】解：设原方程的另一个根为1x ，则由一元二次方程根与系数的关系12c x x a=得13x ⨯=∴13x === 1:1i =【知识点】一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的定义及解法． 18．（2019湖南省娄底市，1，3分）已知点P ()00,x y 到直线y kx b =+的距离可表示为d=0，1）到直线y ＝2x+6的距离d ==y x =与4y x =-之间的距离为___________．【答案】．【思路分析】在直线y x =上任取点，不妨取（0，0），利用公式计算（0，0）到直线4y x =-的距离就是两平行直线y x =与4y x =-之间的距离．【解题过程】解：在直线y x =上任取点，不妨取（0，0），根据两条平行线之间距离的定义可知，（0，0）到直线4y x=-的距离就是两平行直线y x=与4y x =-之间的距离．d ===．【知识点】两条平行线之间的距离、二次根式的化简．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19．（2019湖南省娄底市，19，6分）计算：)1112sin 602-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭【思路分析】根据()010a a =≠，()10p pa a a -=≠，sin 60︒=代入化简计算即可．【解题过程】解：)10112sin602-⎛⎫-+-︒⎪⎝⎭11212=-＝1－2＝－1【知识点】0指数、负指数、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的化简．20．（2019湖南省娄底市，20，6分）先化简，再求值：22211a ab ba b b a-+⎛⎫+-⎪-⎝⎭，其中1a=，1b=【思路分析】先将条件进行适当的变形，再分式按运算法则进行化简，代入，按照二次根式的运算法则进行化简．【解题过程】解：∵1a=，1b=，∴))112a b-=-=-，)111ab==＝22211a ab ba b b a-+⎛⎫+-⎪-⎝⎭()2a b a ba b ab--=+-a ba bab-=-+221-=-+4=-【知识点】分式的运算和化简、二次根式的计算与化简四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（2019湖南省娄底市，21，8分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我店里某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区居民部分居民，根据采访情况制作了如下统计呼表：表（一）（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为_________，m ＝______，n ＝_________．（2）根据以上信息补全图（10）中的条形统计图．（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？【思路分析】（1）先由表（一）“B ．一般关注”中频数除以频率计算样本容量，再用样本容量乘以0．4得m ，最后用20除以样本容量求得n ．（2）根据由（1）中所得的m 在条形统计图中画出对应的部分A ．（3）用样本估计总体，用1500乘以样本频率0．4就估计出高度关注新高考政策的大约人数．【解题过程】解：（1）1000.5200÷=，2000.480m =⨯=，202000.1n =÷=（2）2000.480⨯=(人),补全的条形图如图(10-1) 1．（3）15000.4600⨯=（人）∴在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有600人【知识点】统计表、条形统计图、频数、频率、用样本估计总体．22．（2019湖南省娄底市，22，8分）如图（11），某建筑物CD 高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB 的坡度为i ＝1:1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D 处测得山顶A 和坡底B 的俯角分别为α，β．已知tan 2α=，tan 4β=，求山顶A 的高度AE （C 、B 、E 在同一水平面上）．【思路分析】设DA 与CB 的交点为O ．由题意知，tan tan 2DCO OCα∠===，结合CD ＝96，可求得OC 的长．同理由tan tan 4DCDBC BCβ∠===，结合CD ＝96，可求得BC 的长；进而求得OB 的长．设AE x =,则则由i ＝1:1得BE x =,12OE x =；列得方程12x x OB +=，求得x 即可．【解题过程】解：如图（11－1），设DA 与CB 的交点为O ． ∵96tan tan 2DC O OC OCα∠====， ∴48OC =同理，∵96tan tan 4DC DBC BC BCβ∠==== ∴24BC =．∴482424OB OC BC =-=-=．设AE x =米,则则由i ＝1:1得BE x =,12OE x =； ∴1242x x +=， ∴16x =∴山顶A 的高度AE 为16米．【知识点】坡度、俯角、三角函数的应用、解直角三角形．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23．（2019湖南省娄底市，23，9分）表（二）求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？【思路分析】（1）设购进甲种矿泉水x 箱，则乙种矿泉水（500－x ）箱，列得方程()253550014500x x +-=解答即可．（2）由表格可知，售出甲种矿泉水一箱可得35－25＝10元，售出乙种矿泉水一箱可得48－35＝13元，结合（1）中售出的矿泉水的箱数即可解答．【解题过程】解：（1）设购进甲种矿泉水x 箱，则乙种矿泉水（500－x ）箱，根据题意得 ()253550014500x x +-=解得 300x = ∴500500300200x -=-=答：购进甲种矿泉水300箱，则乙种矿泉水200箱．（2）()()3003525200483530010200135600⨯-+⨯-=⨯+⨯=（元）答：商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元【知识点】一元一次方程、二元一次方程组的应用 24．（2019湖南省娄底市，24，9分）如图（12），点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ．（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线．（2）求证：CD BE AD DE =．【思路分析】（1）证明切线的方法有两种：①当直线和圆有公共点时，连结该点跟圆心得半径，证该半径垂直已知直线；②当直线和圆有没有公共点不确定时，经圆心作已知直线的垂线段，证垂线段的长度等于圆的半径．本题是第一种情况．连结OD ，则由OA ＝OD 得∠OAD ＝∠ODA ，结合AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC 证得∠ODC ＝90°，即OD ⊥CD ；进而得直线CD 是⊙O 的切线．（2）先将等积式CD BE AD DE =化为比例式CD DEAD BE=，结合题中条件运用三点定形法证△ACD ∽△BDE 即得结论．【解题过程】证明：（1）如图，连结OD ，∵在⊙O 中，有OA ＝OD ，∴∠OAD＝∠ODA，又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，又∵DC⊥AC∴∠ADC+∠ADO＝90°∴∠ODC＝90°，即OD⊥CD；∴直线CD是⊙O的切线．（2）如图，连结BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDE＝90°．又∵DC⊥AC∴∠ACD ＝∠BDE．∵BE为⊙O的切线，DC⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠E＝∠ADC∴△ACD∽△BDE∴CD DE AD BE=∴CD BE AD DE=．【知识点】切线的性质和判定、圆的半径相等、圆周角的性质及推论、相似三角形的性质与判定．25．（2019湖南省娄底市，25，10分）如图（13），点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长的一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．【思路分析】（1）、由矩形的性质得∠A＝∠C＝90°，结合条件AE＝CG，AH＝CF，用SAS即可得证．（2）、由（1）中△AEH≌△CGF可得HE＝FG，与（1）同理可证得△BEF≌△DGH进而有EF＝GH，易证得四边形EFGH为平行四边形．（3）设AE=CG=a，AH=CF=b，结合矩形ABCD中，AB=CD，BC=AD，不妨设HD=BF=c，BE=DG=d．借助勾股定理来计算比较即可．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠C＝90°，又∵AE＝CG，AH＝CF，∴△AEH≌△CGF （SAS）（2）四边形EFGH是平行四边形．理由：由（1）中△AEH≌△CGF得HE＝FG，∵在矩形ABCD中有∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，BC＝AD，且有AE＝CG，AH＝CF，∴HD＝BF，BE＝DG∴△BEF≌△DGH∴EF＝GH，∴四边形EFGH为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（3）四边形EFGH的周长的一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长．理由如下：如图13-1，连结BD，设AE=CG=a，AH=CF=b，结合矩形ABCD中，AB=CD，BC=AD，不妨设HD=BF=c，BE=DG=d．由勾股定理得HE=HG=BD=∴()2222HE HG BD+-=-()2222222222a b c d a b c d ad bc=+++++++++()2ad bc⎤=+⎥⎦又∵()()222222222222222ad bc a c a d b c b d a d b c abcd-+=+++-++()2222220a cb d abcd ac bd=+-=-≥∴()220HE HG BD+-≥∴HE+HG≥BD又∵四边形EFGH为平行四边形，四边形ABCD为矩形；∴四边形EFGH的周长的一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长，当E、F、G、H为矩形ABCD的四边中点时，四边形EFGH的周长的一半等于矩形ABCD一条对角线长．【知识点】矩形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定、勾股定理．26．（2019湖南省娄底市，26，10分）如图（14），抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，且过点D（2，－3）．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求△POD 面积的最大值．（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当△OBE 与△ABC 相似时，求点Q 的坐标．【思路分析】（1）、利用二次函数的一般式，运用待定系数法，将已知三点的坐标代入2y ax bx c =++求出a 、b 、c 的值进而求得解析式或结合抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，利用交点式，设()()13y a x x =+-，再将D 点的坐标代入求得a 的值．（2）、先设P 点的坐标，进而求出直线PD 与y 轴的交点F ，则()12ODP S OF D P ∆=⨯-点的横坐标点的横坐标，再利用配方法结合自变量的范围求面积的最大值．（3）、①当OE ∥AC 时，△OBE 与△ABC 相似；②当BE OBBA BC=时，△OBE 与△ABC 相似．进而求得E 点坐标后Q 点的坐标．【解题过程】解：（1）方法一、将点A （－1，0），点B （3，0），点D （2，3）代入2y ax bx c =++得0930423a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为223y x x =--方法二、∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），∴设抛物线的解析式为()()13y a x x =+-．又∵抛物线过点 D （2，－3），∴()()21233a +-=- ∴1a =∴()()211323y x x x x =⨯+-=--．（2）如图，设PD 与y 轴相交于点F ，OD 与抛物线相交于点G ，设P 坐标为（2,23m m m --），则直线PD 的解析式为23y mx m =--，它与y 轴的交点坐标为F （0，－2m －3），则OF ＝2m+3．∴()()()21112323222ODP S OF D P m m m m ∆=⨯-=+-=-++点的横坐标点的横坐标由于点P 在直线OD 下方，所以322m -<<．∴当()1122214b m a =-=-=⨯-时，△POD 面积的最大值2211114933242416ODP S m m ∆⎛⎫=-++=-+⨯+= ⎪⎝⎭ （3）①由223y x x =--得抛物线与y 轴的交点C （0，－3），结合A （－1，0）得直线AC 的解析式为33y x =--， ∴当OE ∥AC 时，△OBE 与△ABC 相似；此时直线OE 的解析式为3y x =-．又∵2233y x x y x ⎧=--⎨=-⎩的解为1112x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2212x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴Q的坐标为⎝⎭和⎝⎭． ②如图，作EN ⊥y 轴于N ，由A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）得AB ＝3－(－1)＝4，BO ＝3，BC=当BE OB BA BC=即4BE =时，△OBE 与△ABC 相似；此时BE＝又∵△OBC ∽△ONE ，∴NB ＝NE ＝2，此时E 点坐标为（1，－2），直线OE 的方程为2y x =-．又∵2232y x x y x ⎧=--⎨=-⎩的解为11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴Q的坐标为-和(．综上所述，Q的坐标为13,22⎛-+- ⎝⎭，1322⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，-，(．【知识点】二次函数解析式的求法、坐标系中三角形面积的求法、二次函数最值的应用、相似三角形的判定．。

(高清版)2019年湖南省娄底市中考数学试卷

（）
A． 2 、0
B．1、0
C．1、1
D．2、1
5.2018 年 8 月 31 日，华为正式发布了全新一代自研手机 SoC 麒麟 980，这款号称六项全
球第一的芯片，随着华为 Mate20 系列、荣耀 Magic2 相继搭载上市，它的强劲性能、题
出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更
C． x＜ 2 或 x＞3
D． 2＜x＜3
11.二次函数 y ax2 bx c 的图象如图（5）所示，下列结论中正确的是
（）
① abc＜0
② b2 4ac＜0
③ 2a＞b
④（a c）2＜b2
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12.如图，在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为 2 米，圆心角为120 的 AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点 P 从 A（A 为坐标原点）出发，以每秒 2 π 3
17.已知方程 x2 bx 3 0 的一根为 5 2 ，则方程的另一根为________．
18.已知点 P x0 , y0 到直线 y kx b 的距离可表示为 d
kx0 b y0 1 k2
，例如：点 0,1 到
直线 y 2x 6 的距离 d 2 0 6 1 5 ．据此进一步可得两条平行线 y x 和 1 22
事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关
注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如统计
图表：
关注程度
频数
频率
A．高度关注
m
0.4
B．一般关注
100
0.5

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【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，以及矩形的判定，连接四边形
的中点得到的四边形的形状主要与原四边形的对角线的关系有关，原四边形的对角线相等，
则得到的四边形是菱形，原四边形对角线互相垂直，则得到的四边形是矩形，连接任意四边
形的四条边的中点得到的四边形都是平行四边形．
4．（3 分）一组数据 −2 、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是 ( )
2019 年湖南省娄底市中考数学试卷含答案解析
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分，每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的）
1．（3 分）2019 的相反数是 ( )
A． −2019
B．2019
2．（3 分）下列计算正确的是 ( )
C． 1 2009
D． − 1 2009
C． 1 2009
D． − 1 2009
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：2019 的相反数是： −2019 ．
故选： A ．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3 分）下列计算正确的是 ( )
A． (−2)3 = 8
B． (a2 )3 = a6
C． a2 a3 = a6
17．（3 分）已知方程 x2 + bx + 3 = 0 的一根为 5 + 2 ，则方程的另一根为．
18．（3
分）已知点
P( x0
，
y0
)
到直线
y
=
kx
+
b
的距离可表示为
d
=
|
kx0
+b− 1+ k2
y0
|
，例如：点
(0,1) 到直线 y = 2x + 6 的距离 d = | 2 0 + 6 −1| = 5 ．据此进一步可得两条平行线 y = x 和 1 + 22
2 同理， GH / / AC 且 GH = 1 AC ，
2 EF / /GH 且 EF = GH ，四边形 EFGH 是平行四边形，
四边形 ABCD 是菱形， AC ⊥ BD ，又根据三角形的中位线定理， EF / / AC ， FG / /BD ， EF ⊥ FG ，平行四边形 EFGH 是矩形．故选： C ．
第9页（共28页）
故选： C ．【点评】此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的定义． 5．（3 分）2018 年 8 月 31 日，华为正式发布了全新一代自研手机 SoC 麒麟 980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为 Mate20 系列、荣耀 Magic2 相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的
使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟 980 是全球首颗 7nm(1nm =10−9 m) 手机芯
片． 7nm 用科学记数法表示为 ( )
A． 7 10−8 m
பைடு நூலகம்
B． 7 10−9 m
【考点】1J ：科学记数法 − 表示较小的数
C． 0.7 10−8 m
D． 7 10−10 m
【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面
A． −2 、0
B．1、0
C．1、1
D．2、1
【考点】W 5 ：众数；W 4 ：中位数
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大
到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数进
行分析即可．
【解答】解：这组数据的众数为 1，
从小到大排列： −2 ，0，1，1，1，2，中位数是 1，
数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了如统计图表：
关注程度
频数频率
第4页（共28页）
A ．高度关注 m
0.4
B ．一般关注 100
0.5
C ．没有关注 20
n
（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为， m = ， n = ．（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．（3）请估计在该小区 1500 名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？
．
D．1
14．（3 分）如图，随机闭合开关 S1 ， S2 ， S3 中的两个，能让灯泡发光的概率是．
第3页（共28页）
15．（3 分）如图， AB / /CD ， AC / /BD ， 1 = 28 ，则 2 的度数为． 16．（3 分）如图，C 、D 两点在以 AB 为直径的圆上，AB = 2 ，ACD = 30 ，则 AD = ．
ba
2 −1，b =
2 +1．
四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）
21．（8 分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从 2018 年秋季入学的高
中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事
关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某
C．矩形
D．正方形
【考点】 LF ：正方形的判定； LC ：矩形的判定； LN ：中点四边形； LA ：菱形的判定与
性质； L6 ：平行四边形的判定
【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形
第8页（共28页）
EFGH 是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得 EF ⊥ FG ，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．【解答】解：如图， E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点， EF / / AC 且 EF = 1 AC ，
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C． n 边形 (n…3) 的内角和是180n − 360
D．旋转不改变图形的形状和大小
7．（3 分）如图， O 的半径为 2，双曲线的解析式分别为 y = 1 和y = − 1 ，则阴影部分的面
x
x
积是 ( )
第1页（共28页）
A． 4
B． 3
C． 2
D． 4x2 − 2x = 2x
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法【分析】分别根据幂的定义、幂的乘方、同底数幂的乘法法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．
【解答】解： A ． (−2)3 = −8 ，故选项 A 不合题意；
B ． (a2 )3 = a6 ，故选项 B 符合题意；
11．（3 分）二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示，下列结论中正确的是 ( )
① abc 0 ② b2 − 4ac 0 ③ 2a b
④ (a + c)2 b2
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12．（3 分）如图，在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为 2 米，圆心角
（2）该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利多少元？
24．（9 分）如图，点 D 在以 AB 为直径的 O 上， AD 平分 BAC ， DC ⊥ AC ，过点 B 作
O 的切线交 AD 的延长线于点 E ．
（1）求证：直线 CD 是 O 的切线．
（2）求证： CD BE = AD DE ．
六、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 25．（10 分）如图，点 E 、 F 、G 、 H 分别在矩形 ABCD 的边 AB 、 BC 、CD 、 DA （不包括端点）上运动，且满足 AE = CG ， AH = CF ．（1）求证： AEH CGF ；（2）试判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由．（3）请探究四边形 EFGH 的周长一半与矩形 ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由．
为120 的 AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点 P 从 A(A 为坐标原点）出发，以每秒 2 3
米的速度沿曲线向右运动，则在第 2019 秒时点 P 的纵坐标为 ( )
A． −2
B． −1
C．0
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
13．（3 分）函数 y = x − 3 的自变量 x 的取值范围是
C ． a2 a3 = a5 ，故选项 C 不合题意；
D.4x2 与 x 不是同类项，故不能合并，所以选项 D 不合题意．故选： B ．
【点评】本题主要考查了幂的运算以及合并同类项的法则，熟练掌握幂的运算性质是解答本
题的关键．
3．（3 分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是 ( )
A．平行四边形
B．菱形
22．（8 分）如图，某建筑物 CD 高 96 米，它的前面有一座小山，其斜坡 AB 的坡度为 i = 1:1．为了测量山顶 A 的高度，在建筑物顶端 D 处测得山顶 A 和坡底 B 的俯角分别为、．已知 tan = 2 ， tan = 4 ，求山顶 A 的高度 AE(C 、 B 、 E 在同一水平面上）．
26．（10 分）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴交于点 A(−1,0) ，点 B(3,0) ，与 y 轴交于点 C ，且过点 D(2, −3) ．点 P 、 Q 是抛物线 y = ax2 + bx + c 上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 在直线 OD 下方时，求 POD 面积的最大值．（3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E ，当 OBE 与 ABC 相似时，求点 Q 的坐标．

2019年湖南省娄底市中考数学试卷含答案解析