_模态分析理论基础
模态分析原理
模态分析原理模态分析是指通过对物体或系统的振动特性进行分析，来确定其固有频率、振型和振动模态等相关参数的一种分析方法。
在工程领域中，模态分析被广泛应用于结构设计、振动控制、故障诊断等方面，具有重要的理论和实际意义。
本文将对模态分析的原理进行介绍，希望能够帮助读者更好地理解和应用模态分析技术。
模态分析的基本原理是通过对系统的动力学方程进行求解，得到系统的固有频率和振型。
在进行模态分析时，需要考虑系统的质量、刚度和阻尼等因素，这些因素将直接影响系统的振动特性。
在实际工程中，通常会采用有限元方法或者试验测量的方式来获取系统的动力学参数，然后利用模态分析的理论进行计算和分析。
在进行模态分析时，首先需要建立系统的动力学模型，这包括系统的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵等参数。
然后利用模态分析的理论，可以求解系统的特征方程，从而得到系统的固有频率和振型。
通过对系统的固有频率和振型进行分析，可以了解系统的振动特性，包括主要振动模态、振动形式和振动幅值等信息。
在实际工程中，模态分析通常用于结构设计和振动控制方面。
通过对结构的模态进行分析，可以确定结构的主要振动模态和固有频率，从而指导结构设计和优化。
同时，还可以通过模态分析来评估结构的振动响应，为振动控制和减震设计提供依据。
除了在结构设计和振动控制方面的应用外，模态分析还被广泛应用于故障诊断和结构健康监测等领域。
通过对系统的模态进行分析，可以发现系统的异常振动模态和频率，从而判断系统的工作状态和健康状况。
这对于提前发现系统的故障和隐患，具有重要的意义。
总之，模态分析作为一种重要的振动分析方法，具有广泛的应用前景和理论价值。
通过对系统的振动特性进行分析，可以深入理解系统的动力学行为，为工程设计和故障诊断提供重要的依据。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用模态分析技术，推动其在工程领域的进一步发展和应用。
第3章 实验模态分析的基本理论
实验模态分析第三章：实验模态分析的基本理论振动系统的特性可以用模态来描述:固有频率、固有振型(主振型)、模态质量、模态刚度和模态阻尼等。
建立用模态参数表示的振动系统的运动方程并确定其模态参数的过程使称为模态分析。
—种理解可以认为，振动系统的物理模型、物理参数和以物理参数表示的运动方程都是已知的，引入模态参数、建立模态方程的目的是为了简化计算，解除方程耦合，缩减自由度。
另一种理解可以认为，通过对实际结构的振动测试，识别振动系统的模态参数，从而建立起系统的以模态参数表示的运动方程，供各种工程计算应用。
试验模态分析指的是后一种过程,即通过振动测试(称模态试验),识别模态参数,建立以模态参数表示的运动方程这样一个过程。
1 多自由度系统振动基础回顾&&&++=M x C x K x f t []{}[]{}[]{}{()} 2实模态理论一个n 自由度线性定常振动系统，其运动方程可以如下表示:现对两端作付氏变换得:[]{}[]{}[]{}{()}M x C xK x f t ++=&&&2([][][]){()}{()}M j C K X F ωωωω−++=式中和分别是x(t)和F(t)的付氏变换,并有()X ω()F ω()()j t X x t e dt ωω+∞−−∞=∫()()j t F f t e dtωω+∞−−∞=∫(){()}{()}Z X F ωωω=111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ωωωωωωωωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 1()[()]{()}{()}{()}X Z F H F ωωωωω−==2[][][]K M j C ωω=−+阻抗矩阵中各元素值无法在实际振动测试中获得，因为人们不可能在实际结构上固定其它坐标，令其不动，仪留下J坐标，待其作出响应；也不可能仅使某个坐标运动，在其余坐标上测量力。
单自由度模态分析理论
要点二
非线性模态分析的研 究
目前，大多数模态分析研究都集中在 线性系统上。然而，在许多工程应用 中，非线性因素对结构振动的影响是 不可忽视的。因此，未来可以进一步 研究非线性模态分析方法，以更准确 地描述这些非线性效应。
要点三
智能材料和结构的应 用
随着智能材料和结构的发展，它们在 许多领域的应用越来越广泛。这些材 料和结构具有独特的动态特性，需要 新的模态分析方法来描述。因此，未 来的研究可以探索适用于智能材料和 结构的模态分析方法。
背景
随着工程结构的日益复杂化，模态分析在结构健康监测、振 动控制、地震工程等领域的应用越来越广泛。单自由度模态 分析作为模态分析的基础，为多自由度模态分析提供了理论 支持。
模态分析的定义
模态
模态是结构的固有振动特性，包 括频率、阻尼比和振型。
模态分析
模态分析是通过试验或数值方法 识别结构的模态参数的过程。
模态振型之间具有正交性， 即不同模态的振动不会相 互干扰。
选择性
在实际工程中，可以根据需要 选择特定的模态进行分析，以 简化计算和提高分析效率。
Part
03
单自由度系统的01
激振器激励
STEP 02
自由衰减振动
通过激振器对系统施加激励 ，使其产生振动响应，然后 采集响应信号进行分析。
04
单自由度系统的模态特性分析
模态正交性分析
模态正交性是指在模态空间中，不同的模态之间相互独立， 没有耦合关系。在单自由度系统中，模态正交性表现为各模 态振型函数的正交性，即它们的内积为零。
模态正交性的意义在于，它使得各模态之间互不干扰，各自 独立地响应外部激励，从而使得系统的响应可以通过叠加各 模态的响应得到。
模态分析理论基础
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结
构设计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实
际结构的误差,而且受到边界条件很难准
确确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，
有限元简化模型和计算的误差较大。通过对结构进行实验模态分 析，可以正确确定其动态特性，并利用动态实验结果修改有限元 模型，从而保证了在结构响应、寿命预计、可靠性分析、振动与 噪声控制分析与预估以及优化设计时获得有效而正确的结果。
•传递函数和频率响应函数
H(s)m2s(11jg)k
H()m21(1jg)k
（1＋jg）k — 复刚度
–用实部和虚部表示
H ()1 k (1 1 2 )22 g2j(1 2)g 2g2
与粘性阻尼系统相比频响函数形式相同 g和2 相互置换即可得各自表达式
位移、速度和加速度传递函数
Hd (s)
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构，以 动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静力 设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也可 从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
x(s) f (s)
Hv(s)
v(s) f (s)
Ha(s)
a(s) f (s)
• 位移、速度和加速度频率响应函数
()
x() f ()
Hv()
v() f ()
• 三者之间的关系
Ha()
模态分析理论基础
点，有图可知节点并不唯一，而且修改前后节点的位置未变。
对应尽可能避开结构振动的节点，以免给测量带来误差。
４．４试验模态分析试验模态分析的目的是为了验证理论模态分析的正确性的基础上进行深入研究奠定基础。
４．４．１试验模态分析的理论基础阻１所以在进行模态实验为在理论模态分析在物理坐标下，描述Ｎ自由度离散振动系统的运动微分方程为阻】耕＋【ｃ】扛｝＋医】Ｍ＝沙｝（４．２）式中：【Ｍ］——质量矩阵（对称且正定），Ｍ∈Ｒ～，【Ｃ】——阻尼矩阵，Ｃ∈Ｒ“”，晖】——刚度矩阵（对称且正定或半正定），Ｋ∈Ｒ“”，｛ｘ），｛卦，｛封——Ｎ维位移、速度和加速度响应向量，｛厂（ｒ））——＿Ｎ维激振力向量。
设系统的初始状态为零，对式（４．２）两边进行拉普拉斯变换可得（［Ｍｌｓ２“Ｃ］ｓ＋【Ｋ］）｛Ｘ０））＝【Ｚ（ｓ）］｛工０））＝｛Ｆ０））式中的矩阵【Ｚ（ｓ）］－（［Ｍ］ｓ２＋［ｃ］ｓ＋［Ｋ】）反映了系统的动态特性，称为系统动态矩阵或广义阻抗矩阵，其逆阵［日（５）】＝［Ｚ（ｓ）】～＝（【Ｍ］ｓ２＋【Ｃ］ｓ＋［Ｋ］）。
１称为广义导纳矩阵，也就是传递函数矩阵。
由式（２．２）可知｛ｘ（Ｊ））＿【日０）】（Ｆ（Ｊ）｝在上式中．令Ｓ＝ｊｏＪ，即可得到系统在频域内输出和输入的关系式｛并（国）｝＝【日（脚）】（Ｆ（国））（４．３）（４．４）（４．５）（４．６）（４．７）式中［Ｈ（ｃｏ）】为频率响应函数矩阵。
［Ｈ（∞）】矩阵中第ｆ行＿，列的元素％（叻２篇（４８）表示仅在』坐标激振（其余坐标激振力为零）时，ｉ坐标的响应与激振力之比。
在式（４．４）中令Ｓ＝＿，∞，可得阻抗矩阵［ｚ（∞）】＝（［Ｋ］一曲２【吖］）＋ｊｃｏ［Ｃ］（４．９）它和导纳矩阵有类似式（４．５）的关系［日（珊）］＝［ｚ（国）】～＝｛（【置卜。
２［＾卅）＋ｊｃｏ［Ｃ】｝１（４．１０）对于一般机械、结构，假设矩阵［ｃ］也对称，这样矩阵【ｚ（∞）】对称，频率响应函数矩阵［日＠）］也对称，故有ｑ（脚）＝ＨⅣ（０３）（４．１１）上式反映了机械、结构频率响应有互易性，可作为频率响应测试精度的一项重要检验手段。
模态分析的基础理论
运动微分方程
单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动
2π
m
T 2π
n
k
fn
1 T
n
2π
1 2π
k m
能量关系
mx dx kx dx 0 dt dt
意义：惯性力的功率Fm与弹性力的功率Fs之和为零
d dt
1 2
mx2
1 2
kx 2
0
ET
1 mx2 2
单自由度系统
自由振动 简谐振动 非周期强迫振动
自由振动
振动系统在初始激励下或外加激励消失后的 运动状态。
自由振动时系统不受外界激励的影响，其运 动时的能量来自于初始时刻弹性元件和惯性 元件中存储的能量。
振动规律完全取决于初始时刻存储的能量和 系统本身的性质。
运动微分方程
•使该矢量以等角速度在复平面内旋转（复数旋转矢量）
虚轴
ei x cos i sin
P A
t
z Acost i sint Aeit
实轴
y Asint Im z Im Aeit
运动学
速度、加速度的复数表示
位移 x Aeit
速度 x d Aeit iAAeeiitt / 2
2.0
0.5 和 0.7 临 界 阻 尼 比 无
c/cc=0
抛物线
阻尼曲线更接近理想加
1.5
速度计曲线
c/cc=0.5
1.0
c/cc=0.7
0.5
0 0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
模态分析基础知识
从北航马艳红老师的PPT中摘录下来。
模态分析技术从20世纪60年代后期发展至今已趋成熟，它和有限元分析技术一起成为结构动力学的两大支柱。
模态分析作为一种“逆问题”分析方法，是建立在实验基础上的，采用实验与理论相结合的方法来处理工程中的振动问题。
模态分析的经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。
坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。
模态分析有什么用处？模态分析所的最终目标在是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。
模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：1) 评价现有结构系统的动态特性；2) 在新产品设计中进行结构动态特性的预估和优化设计；3) 诊断及预报结构系统的故障；4) 控制结构的辐射噪声；5) 识别结构系统的载荷。
模态参数有：模态频率、模态质量、模态向量、模态刚度和模态阻尼等。
什么是实模态和复模态？按照模态参数（主要指模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态可以分为实模态和复模态。
对于无阻尼或比例阻尼振动系统，其各点的振动相位差为零或180度，其模态系数是实数，此时为实模态；对于非比例阻尼（或称为非经典阻尼）振动系统，各点除了振幅不同外相位差也不一定为零或180度，这样模态系数就是复数，即形成复模态。
什么是主模态、主空间、主坐标？无阻尼系统的各阶模态称为主模态，各阶模态向量所张成的空间称为主空间，其相应的模态坐标称为主坐标。
什么是模态截断？理想的情况下我们希望得到一个结构的完整的模态集，实际应用中这即不可能也不必要。
实际上并非所有的模态对响应的贡献都是相同的。
对低频响应来说，高阶模态的影响较小。
对实际结构而言，我们感兴趣的往往是它的前几阶或十几阶模态，更高的模态常常被舍弃。
这样尽管会造成一点误差，但频响函数的矩阵阶数会大大减小，使工作量大为减小。
模态分析理论基础
损耗因子
E 2U
U——最大势能
根据能量等效原则（一个周期内等效粘性阻尼与结构阻尼耗散能量相等 ΔW=ΔE），求得结构阻尼的等效粘性阻尼系数ce ：
ce g rk 2
或
ce
k
注意与频率有 关，非常数
其中 g
rk k 称为结构阻尼系数，具有刚度量纲。 2
损耗因子常称为结构阻尼比。
5
2014/12/18
表1.3-1 单自由度结构阻尼系统频响函数各种图形及数字特征（续）
(b) 相频特性曲线
半功率带宽
O 4 2 4
A B
① 拐点M （位移谐振点）：
A M B
=1 ( =D =0 )
固有频率
0 D
-
② 半功率点A、B： A ，B 结构阻尼比
(1.3-1)
其中频率比（无量纲频率） B. 频响函数的极坐标表达式：
0
H H e j
(1.3-2) (1.3-3) (1.3-4)
8
其中：幅频特性 相频特性
H
1 k
1
2
1
2
tg 1
2 1
i. ii.
各种特性曲线不象结构阻尼系统那样具有较简单的特征； 粘性阻尼系统具有三种不相等的谐振频率：位移谐振频率D、阻尼谐 振频率d和无阻尼谐振频率0，它们出现在各种曲线的不同特征点上， 具有如下关系：
D d 0
iii.
粘性阻尼系统的Nyquist图也不在是一个圆，而是一个近似桃形的图形。 不过，在小阻尼情形下，使用Nyquist图作参数识别时仍可将其视为圆 来处理。
模态分析的理论介绍及目的
模态分析理论1模态分析简介1.1 模态简介模态是结构固有的振动特性，每一个模态具有一个特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由分析软件分析取得，也可以经过试验计算获得，这样一个软件或者试验分析过程称为模态分析。
这个分析结果如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果结果是通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
1.2 固有频率简介固有频率是物体的一种物理特性，由它的结构、大小、形状等因素决定的。
这种物理特征不以物体是否处于振动状态而转移。
当物体在多个频率上振动时会渐渐固定在某个频率上振动，当他受到某一频率策动时，振幅会达到最大值，这个频率就是物体的固有频率。
1.3 振型简介振型是指体系的一种固有的特性。
它与固有频率相对应，即为对应固有频率体系自身振动的形态。
每一个物体实际上都会有无穷多个固有频率，每一阶固有频率相对应物体相对应的形状改变我们称之为振型。
理论上来说振型也有无穷多个，但是由于振型阶数越高，阻尼作用造成的衰减越快，所以高振型只有在振动初期才较明显，以后则衰减。
因此一般情况下仅考虑较低的几个振型.1.4模态分析的目的模态分析技术从上世纪60年代开始发展至今，已趋于成熟。
它和有限元分析技术一起，已成为结构动力学中的两大支柱。
到目前，这一技术已经发展成为解决工程振动问题的重要手段，在机械、航空航天、土木建筑、制造化工等工程领域被广泛的应用。
我国在这一方面的研究，在理论上和应用上都取得了很大的成果，处于世界前列。
模态分析的最终目标就是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性的分析、振动故障的诊断和检测以及结构的优化提供依据。
模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：1) 评价所求结构系统的动态特性；2) 在新产品设计中进行结构特性的预估，优化对结构的设计；3) 诊断及预报结构系统中的故障；4) 识别结构系统的载荷。
振动 冲击及噪声测试技术09-模态分析PPT
八 、模态分析系统
► 反映了模态参数k、m、g、φ、 ω与H (ω)之间的关
系 ，是参数识别的基本公式
►如果H (ω)的值足够多 ，便可以求得系统的各个模
态参数
七 、模态参数识别
是一种系统识别技术
识别步骤：
（ 1）模态试验，测量导纳 Hlp (ω)
（2）根据实测导纳值求出结构的模态参数
ωi 、mi 、ki 、ci 、φli 、 （3） 由模态参数φ求pi 出相应的物理模型参数
第九讲 、模态分析基本原理
将复杂的多自由度系统模态分解为若干 个单自度系统模态来分析 ，是一种重要 的分析方法
一 、理论基础
► 物理模型： 又称空间模型 ，用质量 、刚度和阻尼特性描述结构 的物理特性
► 模态模型： 即振动模态（振型） ，一组固有频率以及对应的振 型和模态阻尼因子
► 响应模态： 即响应特性 ，结构在标准激励下的响应 ，一般是指 一组频率响应函数
F (f2) 2阶主模态
3 、模态质量矩阵
共振时的运动方程 其中［M］称为模态质量矩阵 ，q称为模态坐标 广义坐标系与模态坐标间的关系为
可见模态质量与结构质量是不一样的
3 、模态刚度与各阶共振频率
模态刚度矩阵
系统特征值(共振频率) 系统坐标系的变换不会改变系统的特征值
四 、粘性阻尼系统的模态
阻尼振动系统是强迫振动系统 对于粘性阻尼系统 ，其运动方程为
1 、物理模型和模态模型
物理模型mk1Fra bibliotek模态模型 2
模态模型 1
模态模型 3
2、单自度系统的响应模型 Ⅰ
位移导纳
2 、单自度系统的响应模型Ⅱ
奈奎斯特图
位移图
速度图
模态分析与振动测试技术
模态分析与振动测试技术固体力学S0902015李鹏飞模态分析与振动测试技术模态分析的理论基础是在机械阻抗与导纳的概念上发展起来的。
近二十多年来，模态分析理论吸取了振动理论、信号分析、数据处理数理统计以及自动控制理论中的有关“营养”，结合自身内容的发展，形成了一套独特的理论，为模态分析及参数识别技术的发展奠定了理论基础。
一、单自由度模态分析单自由度系统是最基本的振动系统。
虽然实际结构均为多自由度系统，但单自由度系统的分析能揭示振动系统很多基本的特性。
由于他简单，因此常常作为振动分析的基础。
从单自由度系统的分析出发分析系统的频响函数，将使我们便于分析和深刻理解他的基本特性。
对于线性的多自由度系统常常可以看成为许多单自由度系统特性的线性叠加。
二、多自由度系统模态分析对于多自由度系统频响函数数学表达式有很多种，一般可以根据一个实际系统来讨论，给出一种形式；也可根据问题的要求来讨论，给出其他不同的形式。
为了课程的紧凑，直接联系本课程的模态分析问题，我们就直接讨论多自由度系统通过频响函数表达形式的模态参数和模态分析。
即多自由度系统模态参数与模态分析。
多自由度系统模态分析将主要用矩阵分析方法来进行。
我们以N个自由度的比例阻尼系统作为讨论的对象。
然后将所分析的结果推广到其他阻尼形式的系统。
设所研究的系统为N个自由度的定常系统。
其运动微分方程为：MX CX KX 二F （2—1）式中M , C，K分别为系统的质量、阻尼及刚度矩阵。
均为（N N ）阶矩阵。
并且M及K矩阵为实系数对称矩阵，而其中质量矩阵M是正定矩阵，刚度矩阵K对于无刚体运动的约束系统是正定的；对于有刚体运动的自由系统则是半正定的。
当阻尼为比例阻尼时，阻尼矩阵C为对称矩阵（上述是解耦条件）X及F分别为系统的位移响应向量及激励力向量，均为N 1阶矩阵。
即X（2— 1）式是用系统的物理坐标X 、X 、X 描述的运动方程组。
在其每一 个方程中均包含系统各点的物理坐标，因此是一组耦合方程（请大家想象一下其 展开式）。
模态分析原理
模态分析原理模态分析是一种用于研究材料结构和性能的重要方法。
通过模态分析，我们可以了解材料在外部力作用下的响应情况，进而指导材料的设计和制备。
本文将介绍模态分析的原理及其在材料科学中的应用。
首先，我们来了解一下模态分析的基本原理。
模态分析是通过对材料的振动特性进行研究来分析其结构和性能。
在模态分析中，我们通常会使用有限元方法来建立材料的数学模型，然后通过数值计算的方式来求解材料的振动模态。
在振动模态分析中，我们可以得到材料在不同频率下的振动模式和振动形态，从而了解材料的结构特性和动态响应。
模态分析在材料科学中有着广泛的应用。
首先，模态分析可以帮助我们了解材料的固有振动特性，包括自然频率、振动模式等。
这对于材料的设计和优化至关重要，可以帮助我们预测材料在不同工况下的响应情况，指导材料的合理设计。
其次，模态分析还可以用于研究材料的损伤和疲劳行为。
通过监测材料在振动过程中的变化，我们可以及时发现材料的损伤情况，预测材料的寿命，从而延长材料的使用寿命。
除此之外，模态分析还可以应用于材料的质量控制和故障诊断。
通过对材料进行振动特性的监测和分析，我们可以及时发现材料的质量问题和故障情况，从而采取相应的措施进行修复和改进。
这对于提高材料的质量和可靠性具有重要意义。
总的来说，模态分析是一种重要的研究方法，可以帮助我们深入了解材料的结构和性能。
通过模态分析，我们可以预测材料在不同工况下的响应情况，指导材料的设计和制备，提高材料的质量和可靠性。
因此，模态分析在材料科学领域具有重要的应用前景，也是当前材料研究的热点之一。
综上所述，模态分析原理是一种重要的研究方法，通过对材料的振动特性进行分析，可以帮助我们了解材料的结构和性能。
模态分析在材料科学中有着广泛的应用，可以指导材料的设计和制备，提高材料的质量和可靠性。
相信随着科学技术的不断发展，模态分析在材料研究领域将会发挥越来越重要的作用。
什么是模态分析,模态分析有什么用
什么是模态分析,模态分析有什么用什么是模态分析模态分析有什么用结构劢力学分析中，最基础、也是最重要的一种分析类型就是“结构模态分析”。
模态分析主要用亍计算结构的振劢频率和振劢形态，因此，又可以叫做频率分析戒者是振型分析。
劢力学分析可分为时域分析不频域分析，模态分析是劢力学频域分析的基础分析类型。
基础理论劢力学控制方程可表示为微分方程：其中，[ M ] 为结构质量矩阵，[ C ] 为结构阷尼矩阵，[ K ] 为结构刚度矩阵，{ F } 为随时间变化的外力载荷函数，{ u } 为节点位移矢量，为节点速度矢量，{ ü } 为节点加速度矢量。
在结构模态分析中丌需要考虑外力的影响，因此，模态分析的劢力学控制方程可表示为：理想情况下，结构在振劢过程中，丌考虑阷尼效应，也就是所谓的自由振劢情况，模态分析又可描述为：对上迚一步分析，假设此时的自由振劢为谐响应运劢，也就是说u = u 0 sin( ωt )，上又可迚一步描述为：对上式求解，可得方程的根是ω i²，即特征值，其中i 的范围是从1 到结构自由度个数N （有限元分析中，自由度个数N 一般丌超过分析模型网格节点数的三倍）。
特征值开平方根是ω i ，即固有圆周频率，这样，结构振劢频率（结构固有频率）f i就可通过公式f i = ω i /2 π 得到。
有限元模态分析可以得到f i 戒者ω i ，都可以用来描述结构的振劢频率。
特征值对应的特性矢量为{ u } i 。
特征矢量{ u } i表示结构在以固有频率f i振劢时所具有的振劢形状（振型）。
模态分析中的矩阵1. 模态分析微分方程组包含六个矩阵：[ K ] 代表刚度矩阵。
可参考“结构静力学”中的解释说明。
{ u } 代表位移矢量。
主要用来描述模态分析的振型。
可参考“结构静力学”中的解释说明，但一定要注意，模态分析中得到的位移矢量不静力学分析中位移矢量代表变形丌同。
[ C ] 代表阷尼矩阵。
模态分析理论
精心整理模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。
首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态22¨330m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z +--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（9） 定义主振型由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。
主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相（相差0o ）就是反相位（相差180o ），即同时达到平衡位置和最大位置。
主振型定义如下：()i i j ωt+i i sin ωt+=Im(e )φφi mi mi z =z z （10）其中为第i 阶频率下，各自有度的位移矢量，为第i 个特征矢量，表示第i 阶固有频率下的振型，i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值，i φ为（去除项化简得以矩阵的形式展开得：2i 2i mi 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（15）有非零解，则2i 2i 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（16）即()234222ω-m ω+4km ω-3k m =0（17）阶固有频率，每一个特征根对应一个特征矢量，表示对应模态下该由式3i i 21=z k 如果设定了1z 值，则就可以求出三个特征根值下，2z 和3z 相对于1z 的位移。
假设m=k=1， 一阶模态，1ω=0：21z =1z ，31z =1z ，即；二阶模态，223kω=m ：21z=0z，31z=-1z，即；三阶模态，23kω=m ：21z=-2z，31z=1z，即。
运动方程的解耦图错误！未指定顺序。
运动方程解耦过程在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化。
实验模态分析基础
实验模态分析基础实验模态分析是一种因果推断方法，它可以确定不同变量之间的因果关系。
它通常用于实验研究中，其中研究人员对一组受试者进行操作，在不同处理条件下观察和测量结果变量。
通过比较不同处理条件下的结果变量，研究人员可以确定不同变量之间的关系。
实验模态分析包括几个主要步骤。
首先，研究人员需要设计实验研究，以确定不同的处理条件和结果变量。
然后，研究人员将受试者随机分配到不同的处理条件中，并在每个处理条件下测量结果变量。
接下来，研究人员使用分析方法来确定主效应和相互作用效应。
最后，研究人员对结果进行解释和解读。
主效应和相互作用效应实验模态分析的目标是确定主效应和相互作用效应。
主要效应是指一个变量对结果变量的直接影响。
相互作用效应是指两个或多个变量之间的交互作用对结果变量的影响。
通过分析主效应和相互作用效应，研究人员可以确定变量之间的关系。
实验模态分析使用统计学方法来确定主效应和相互作用效应。
通常使用方差分析（ANOVA）来进行分析。
方差分析将总变差分解为组内变差和组间变差。
组内变差反映了随机误差的影响，而组间变差反映了处理条件的影响。
通过比较组内变差和组间变差，可以确定主效应和相互作用效应。
实验模态分析可以广泛应用于各个领域的研究中。
例如，在医学研究中，实验模态分析可以用来研究药物和治疗的效果。
在农业研究中，实验模态分析可以用来研究不同肥料对作物产量的影响。
在教育研究中，实验模态分析可以用来研究不同教学方法的效果。
总结实验模态分析是一种统计学方法，用于研究和解释不同变量之间的关系。
通过实验模态分析，我们可以确定主效应和相互作用效应，从而更好地理解变量之间的相互关系。
实验模态分析可以应用于各个领域的研究中，并为实践提供建议和决策。
模态分析理论
模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。
首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数。
特征根问题以图3所示的三自由度无阻尼系统为例，设123m =m =m =m ，123k =k =k =k ，图 1 三自由度系统其齐次运动方程为：（8）其中分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵，123m 00m 00m=0m 0=0m 000m 00m ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，11212221k -k 0k -k 0k=-k k +k -k =-k 2k -k 0-k k 0-k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则运动方程展开式为： ¨11¨22¨33z m 00k k 0z 00m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（9）定义主振型由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。
主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相（相差0o ）就是反相位（相差180o ），即同时达到平衡位置和最大位置。
主振型定义如下：()i ij ωt+i i sin ωt+=Im(e)φφi mi mi z =z z （10）其中为第i 阶频率下，各自有度的位移矢量，为第i 个特征矢量，表示第i 阶固有频率下的振型，i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值，i φ为初始相位。
对于三自由度系统，在第i 阶频率下，等式可以写成1m1i 2m2i i i 3m3i z z z =z sin(ωt+)z z φ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（11）mki z 表示第k 个自由度在第i 阶模态下的模态矩阵。
模态分析理论
机械模态分析理论基础假设：系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统 线性：描述系统振动的微分方程为线性方程，其响应对激励具有叠加性;定常：振动系统的动态特性（如质量、阻尼、刚度等）不随时间变化，即具有频率保持性;如系统受简谐激励-响应的频率必定与激励一致。
稳定：系统对有限激励必将产生一个有限响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。
振动系统分类：空间角度：离散（有限自由度）系统和连续（无限自由度）系统 时间角度：连续时间系统和离散时间系统 连续模拟信号--离散数字信号研究步骤：（1）建立结构的物理参数模型（以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程）（2）研究其特征值问题，求得特征值和特征矢量，得到结构的模态参数模型（模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态阻尼、模态刚度等参数）。
正则化，解耦。
（3）通过研究受迫动力响应问题，可得到系统的非参数模型（频响函数和脉冲响应函数）。
频响函数和脉冲响应函数是试验模态分析系统识别模态参数的基础。
根据阻尼模型的不同，分为：无阻尼系统、比例阻尼系统、结构阻尼系统、粘性阻尼系统1、 单自由度系统的振动粘性阻尼系统的振动微分方程：)(t f kx x c x m =++&&&自由振动：0=++kx x c x m &&&正则形式：0220=++x x x ωσ&&&其中：m c 2=σ：衰减系数（衰减指数）；mk =0ω：无阻尼固有频率（固有频率） 引入阻尼比（无量纲阻尼系数）：mkc 20==ωσζ运动微分方程可写成：02200=++x x x ωζω&&&特解为：t e xλϕ=，λ为方程的特征值，因此： 0)(2=++ϕλλk c m为使系统有非零解，很显然：02=++k c m λλ因此可得到λ的解为：d j ωσλ±-=2,1 式中：201ζωω-=d 成为阻尼固有频率。
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有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结 构设计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实
际结构的误差,而且受到边界条件很难准 确确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，
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e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构，以 动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静力 设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也可 从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
•解的形式（s为复数）及拉氏 变换： x Xest (ms2 cs k ) x(s) f (s)
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自由振动
m x c x kx 0
模态分析理论基础是20世纪30年代机械阻抗 与导纳的概念上发展起来。吸取了振动理论、 信号分析、数据处理、数理统计、自动控制理 论的有关营养，形成一套独特的理论。 模态分析的最终目标是识别出系统的模态 参数，为结构系统的振动分析、振动故障诊断 和预报、结构动力特性的优化设计提供依据。
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d. 振动与噪声控制
既然结构振动是各阶振型响应的迭加，只要设法控制相关频率附近 的优势模态（改设计和加阻尼材料等或使用智能材料）就可以达到控 制结构振动的目的。 对汽车车厢内或室内辐射噪声的控制，道理也一样。车厢座舱或室 内辐射噪声与其结构的振动特性（模态）关系密切，由于辐射噪声是 由结构振动“辐射”出来的。控制了结构的振动，也就是实现了辐射 噪声的控制。
c. 载荷(外激励)识别
由激励和模态参数预测响应的问题称为动力学正问题，反之由响应 和模态参数求激励称为反问题。原则上只要全部的各阶模态参数都求 得, 由响应就可以求出外激励（称为载荷识别）。
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模态分析定义为：将线性时不变系统振动微分方程组中 的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以 模态坐标及模态参数描述的独立方程，坐标变换的变换矩 阵为振型矩阵，其每列即为各阶振型。
解析模态分析可用有限元计算实现，而试验模态分析则是对结构进行 可测可控的动力学激励，由激振力和响应的信号求得系统的频响函数 矩阵，再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数，得到结 构固有的动态特性，这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。
f. 有限元模性修正与确认
当今工程结构计算采用最广泛的计算模型就是有限元模型。再好的 算法和软件都是建立在理想的结构物理参数和边界条件假设上的。结构 有限元计算结果和试验往往存在不小差距。此时在模态试验可信的前提 下，一般是以试验结果来对有限元模型进行修正和确认。经过修正和确 认的有限元模型具有优化概念下的与试验结果最大的接近。可以进一步 用于后继的响应、载荷和强度计算。
ms cs k 0
2
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s1, 2 0 j 0 1 2
实部：衰减因子，反映系统阻尼 虚部：有阻尼系统的固有频率
阻尼比 范围（0－1） 内为欠阻尼 无阻尼固有频率
试验模态分析的典型应用
a. 获得结构的固有频率,可避免共振现象的发生
当外界激励力的频率等于振动系统的固有频率时，系统发生共振 现象。此时系统最大限度地从外界吸收能量，导致结构过大有害振动。 结构设计人员要设法使结构不工作在固有频率环境中。 相反，共振现象并非总是有害的：振动筛、粉末碾磨机、打夯机 和灭虫声发射装置等等就是共振现象的利用。结构设计人员此时要设 法使这种器械工作在固有频率环境中，可以获得最大能量利用率。
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b. 为了应用模态叠加法求结构响应，确定动强度, 和疲劳寿命
分析告诉我们任何线性结构在已知外激励作用下他的响应是可以 通过每个模态的响应迭加而成的。所以模态分析另一主要的应用是建 立结构动态响应的预测模型，为结构的动强度设计及疲劳寿命的估计 服务。
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单自由度系统频响函数分析 粘性阻尼系统
•阻尼力（与振动速度成正比）：
f d cx
•强迫振动方程及其解
m x c x kx f