积分和式求极限的公式
极限的求法综述
求极限的方法摘要：求极限的方法是高等数学的一个重点，而极限概念是微积分学的中心内容。
因此，弄清极限概念，熟练掌握极限的计算方法，对于学好高等数学是十分必要的。
为此，本文将高等数学中各种极限的计算方法，系统地归纳起来，对于在求极限时，能够灵活地运用求极限的法则，较熟练地选择简便的方法，是很有帮助的。
关键词： 正文：极限的概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。
例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。
设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A 1；再作内接正十二边形，其面积记为A 2；再作内接正十二边形，其面积记为A 3；循此下去，每次边数加倍，一般把内接正6×2n-1边形的面积记为A n （n ∈N ）.这样，就得到一系列内接正多边形的面积：A1,A 2,A 3…,A n ,…..,它们构成一列有次序的数。
当n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以An 作为圆面积的近似值也越精确。
但是无论n 取得如何大，只要n 取定了，An 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。
因此，设想n 无限增大（记为n →∞），即内接正多边形的边数无限增加,在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A n 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A 1,A 2,A 3,…..,A n ,…..当n →∞时的极限。
极限有两种.：数列极限：∞→n limxn=a ⇔∀ε>0,∃一个正整数N ，当n>N 时，恒有|Xn-a|<ε函数极限：∞→x limf(x)=A ⇔ε>0,一个x>0,当|x|>X,恒有|f(x)－A|<ε.limx x →f(x)=A ⇔∀ε>0,∃一个δ>0,当0<|x －x 0|<δ时，恒有|f(x)－A|<ε求极限的方法已归纳出15种，分别列举如下： §1 利用极限定义求极限[解题提示]当数列Xn 不单调时，其极限的存在性可考虑用极限的定义证明。
求极限的方法总结
学号：0 学年论文求极限的方法总结Method of Limit学院理学院专业班级学生指导教师（职称）完成时间年月日至年月日摘要极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。
许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。
因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。
但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。
本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。
关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理AbstractThe concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference.Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem引言极限时分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。
极限求法大全
极限求法大全1.1利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值 A ,这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限 值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是 密切相连的例：lim f x A 的「S 定义是指：£>0， S = S ( x 0， £ ) >0, O v |x- X Q |x X Ovs |f(x)-A| V£为了求S 可先对X O 的邻域半径适当限制，如然后适当放大I f(x)-A (x)(必然保证© (x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式:I x+a I =|(x- X O )+( x o +a)| < |x- x °|+| x o +a| v| x °+a | +S 1域|x+a|=|(x- X O )+( x o +a)| >| x °+a|-|x- X O | >| x °+a|- S 1 从© (x) VS 2,求出S 2后，取3 = min( S 1，S 2)，当 0 v |x- x 0 | VS 时，就有 |f(x)-A| V£ . 例: 设 lim X n a 贝V 有 lim __也―a .n nn证明：因为 lim x nn a ,对0,N 1 N,),当n N 1时，X n -a -于是当n N 1 时，X 1 X 2…Xna X 1 X 2 ...x na1.2利用极限的四则运算性质求极限定理⑴：若极限lim f (x)和lim g(x)都存在，贝U 函数f (x) g(x)， f (x) g(x)当 X X)X X OX x 0时也存在且① l in i f(x) g(x) 阿 f(x) l in i g(x) x X 0 x X 0 x^0② lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)XX )X X )X X)nn其中A X 1 aX 2 a X N 1是一个定数 ,再由 A n2，解得n2A,故取N maxM, 2A当nN 时,X 1 x 2..X n—+ —2 2n of(x)lim f(x)在 x ------------ x 0时也存在，且有 lim -^-xo.g(x)x xg(x) lim g(x)Xx利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在， 一般情况所给的变量都不满足这个条件， 例如出现0，-，等情况，都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。
运用定积分求极限
运用定积分求极限修正后：求极限的方法层出不穷，但最常用的方法有极限的定义和性质、重要极限的结论、洛必达法则以及泰勒公式等。
应用极限的定义时，往往是在极限的结果已经比较明显，只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果。
但这种方法一方面叙述上比较麻烦，另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子。
重要极限的结论形式上要求非常严格，只能解决两种形式的极限问题。
洛必达法则是用于解决“$\frac{0}{0}$”型的极限和“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的。
泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题，通过___展式后可以达到某些项抵消效果。
但若仔细观察这些方法，其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识。
事实上，微分学和积分学的关系正如中小学时代研究过的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样，它们互为逆运算。
如果也能用到积分学知识来解决求极限的问题，那么求极限的方法才算完美。
而利用定积分求极限正体现了这一理念。
下面回顾一下定积分以及极限的定义：定积分：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在闭区间$[a,b]$内任意插入$n-1$个分点将$[a,b]$分成$n$个区间$[x_{i-1},x_i]$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots,n)$，$\forall \xi\in[x_{i-1},x_i]$，作乘积$f(\xi_i)\Delta x_i$（称为积分元），把这些乘积相加得到和式$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Deltax_i$（称为积分形式）。
设$\lambda=\max\{\Delta i\leq n\}$，若$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$极限存在唯一且该极限值与区间$[a,b]$的分法$\lambda\to 0$及分点$\xi_i$的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，即$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。
(整理)几种求极限方法的总结
几种求极限方法的总结摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过n s 对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列[]1根据极限的定义：数列{n x }收敛⇔∃a,ε∀〉0,∃N N ∈+,当n 〉N 时，有n x -a 〈ε. 例1 用定义证明11lim=+∞→n nn证明：0,ε∀>要使不等式11-+n n =11n ε<+成立：解得n 11ε>-,取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11ε，于是0,ε∀>∃ N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11ε，n N ∀>，有1,1n n ε-<+即11lim =+∞→n n n2利用两边夹定理求极限[]1例2 求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221312111lim 解：设=n c nn n n +++++22212111则有：2n cn n>=+同时有：21nc n<=+，于是nc<<1nn <=+>=. 有11n nnc n n<<<<=+ 已知：11lim=+∞→n n n ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221312111lim =1 3利用函数的单调有界性求极限[]1实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.例3 设a x =1，a a x +=2， a a a x n +++= （n=1,2, ）(0a >),求n n x ∞→lim解：显然{}n x 是单调增加的。
我们来证明它是有界的.易见12x a x +=，23x a x += ， 1-+=n n x a x ，从而 12-+=n n x a x ，显然n x 是单调增加的，所以2n n x a x <+两段除以n x ，得 1n nax x <+ 1+≤≤⇒a x a n 这就证明了{}n x 的有界性 设l x n →，对等式12-+=n n x a x 两边去极限，则有∞→-∞→+=n n n n x a x 12l i m l i m⇒a l l +=2解得214++=a l l 4利用无穷小的性质求极限[]2关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x )a →是无穷小，函数g(x)在U （),ηa 有界，则函数f(x)*g(x)(x )a →是无穷小. 例 求极限)cos 1(cos lim x x x -++∞→解4 )221sin()221sin(2cos 1cos xx x x x x -+++-=-+ 2)221sin(2≤++-xx 而)1(21221)221sin(0x x x x xx ++=-+≤-+≤ 而,0)1(21lim=++∞→x x x 故 02_1lim=+∞→xx n 5 应用“两个重要极限”求极限[]2e xx x x x x =+=∞→→)11(lim ,1sin lim例5求)1cos 1(sin lim xx x +∞→解2sin 1222sin 211112(sin cos )(sin cos )(1sin )xx xx xx x x x x ⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦∴原式=e xxxxx =+∞→22sin 2sin 1)2sin 1(lim6利用洛必达法则求极限[]2例6求xx x 1sin arctan 2lim -∞→π（)00 解： xx n 1sin arctan 2lim -∞→π=11cos111lim 22=-+-∞→x xx n 例7 求极限xx x 3tan tan lim2π→（)∞∞解 xxx 3tan tan lim2π→= 3262cos 26cos 6lim 2sin 6sin lim sin cos 63sin 3cos 6lim )(cos 3)3(cos lim )3(tan )(tan lim 222232,,2=--===--==→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x πππππ7利用泰勒公式求极限[]2例8：求极限 xx x x n cos sin 1lim2-+∞→解 ∵xx x x cos sin 12-+中分子为2x ，∴将各函数展开到含2x 项。
求极限的简捷方法
1引言极限理论是微积分学的基础理论，贯全整个微分学，要学好微积分必须认识和理解极限理论，这是解决微积分问题的基本方法.微积分的基本思想和基本方法与极限始终有着密不可分的联系.在学习中若能掌握好极限的使用，对学好微积分有着很大的帮助.通常我们使用的教材只能计算出一些常见的，简单的式子的极限，但对于一些复杂式子的计算过程不仅麻烦，而且有可能导致无法计算.这会使我们在教学过程中遇到较大的障碍，为了在教学过程中简化运算，本文主要介绍了利用导数定义，微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，定积分定义，积分中值定理，广义积分定义求极限的方法等7种利用微积分求极限的简便方法.1.利用微分求极限的特殊方法1.1利用导数的定义求极限的方法定义1 （导数的定义）设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，若极限()()()1lim00x x x f x f x x --→存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，2记作 .令()()000,x f x x f y x x x -∆+=∆∆+= 则()1式可改写为()()()00000lim lim x x x f x x f x yf x x x→∆→+∆-∆'==∆∆ ． 例1:求极限012lim x x nxxx x e e e n →⎡⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦，其中n 为自然数． 解:令()()2ln x x nx f x e e e =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则()0f =n ln ，故()0ln ln lim ln 1lim 2020--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++→→x ne e e n e e e x nx x x x nx x x x ()()()000limf x f x f x '=--=→从而，原式 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅⋅⋅⋅⋅++→n e e e x nx x x x e 20ln 1lim =()20ln ln limx x nx x e e e nx e→++⋅⋅⋅⋅⋅+--=()0f e' =ne 1．例2：求极限2lim cot 22x x x ππ→⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭解：取 ，则222112lim lim tan 2tan 2tan 2tan(2)2lim 22x x x x x x x x x πππππππ→→→-==-⋅--22211111lim 212()()()2sec (2)2222x f x f f x πππππ→=====⨯'-⋅-()0x f '1()tan 2cot 2f x x x ===⋅2lim cot 22x x x ππ→⎛⎫- ⎪⎝⎭31.2利用微分中值定理求极限的方法定理1 (拉格朗日中值定理)若函数f 满足如下条件：,()i f 在闭区间[]b a ，上连续； ()ii f 在开区间()b a ，内可导，则在()b a ，内至少存在一点C ，使得()()()()f b f a f a b a b a θ'-=+--⎡⎤⎣⎦， ()01θ<<．证 :作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----．已知函数()x ϕ在[]b a ，上连续，在()b a ，内可导，又有()()0a b ϕϕ== 根据罗尔定理，在()b a ，内至少存在一点C ，使()0c ϕ'=．而()()()()f b f a x f x b a ϕ-''=-- ． 于是 ()()()()0f b f a c f c b aϕ-''=-=-. 即，()()()()2f b f a f c b a-'=-因为不论b a <或b a >，比值()()ab a f b f --不变，所以()2式对b a <或b a >， 成立，即()()()f b f a f c b a-'=- ，或()()()()a b c f a f b f -'=-，在C 在a 与b 之间．因为()()10b ，，∈∃⇔∈∃θa c ，使()a b a -+=θc ，所以()2式也常写为 ()()()[]()a b a b a f a f b f --+'=-θ，10<<θ ．4例3 :计算x x e e xx x sin lim sin 0--→ ．解 ： 假设()x e x f =()()x f x f e e x x sin sin -=-()()[]x x x f x x sin sin sin -+'-=θ ()()x x x e x x sin sin sin -+-=θ∴()()xx e x x x x e e x x x x x x x sin sin lim sin lim sin sin 0sin 0--=---+→→θ()x x x x esin sin 0lim -+→=θ 10==e ， ()10<<θ∴sin 0lim1sin x xx e e x x→-=-. 1.3 利用洛必达法则求极限的方法在极限的四则运算中，0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x f x g x g x →→→=成立的条件是：必须都存在，且0lim ()0x x g x →≠ 然而，当 时，就不能其他方法去计算极限，这时 这个极限分别称为未定式“00”型或未 定式“∞∞”型。
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方法总结1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理1.1（1（2（3）若B ≠0（4（5）[]0lim ()lim ()nnn x x x x f x f x →→⎡⎤==A ⎢⎥⎣⎦（n 为自然数）i由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例1. 求225lim3x x x →+- 解：由定理中的第三式可以知道()()22222lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=--22222lim lim5lim lim3x x x x x x →→→→+=+225923+==--例2. 求3x →33x x→→=3x→=14=式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知()11112231nxn n=+++⨯⨯-⨯观察11=1122-⨯111=2323-⨯因此得到()11112231nxn n=+++⨯⨯-⨯11111111223311n nn=-+-+-+---1lim lim11nn nxn→∞→∞⎛⎫=-=⎪⎝⎭2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)如果()()00lim limx xf x x f xyx x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则此极限值就称函数f(x)()'f x。
即f(x)在定点0x 的导数。
例4.lim()212lim'22x x f x f x f πππ→⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭12=3 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：（1（2）1lim 1xx ex →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭但我们经常使用的是它们的变形：（1，（2例5：xx x x 10)1()21(lim +-→解：为了利用极限故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为e x xx =+→10)1(lim 1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。
求极限的方法及例题总结
求极限的⽅法及例题总结1．定义：说明：（1）⼀些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以⽤上⾯的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim 2=-→x x （2）在后⾯求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运⽤，⽽不需再⽤极限严格定义证明。
利⽤导数的定义求极限这种⽅法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下⾯极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim（3）)0(,)()(lim成⽴此时需≠=B B Ax g x f说明：极限号下⾯的极限过程是⼀致的；同时注意法则成⽴的条件，当条件不满⾜时，不能⽤。
. 利⽤极限的四则运算法求极限这种⽅法主要应⽤于求⼀些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使⽤这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.⽤初等⽅法变形后，再利⽤极限运算法则求极限例11213lim解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以⽤洛⽐达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分⼦分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→n n n n上下同除以。
3．两个重要极限（1） 1sin lim 0=→x xxx xx =+→1)1(lim ； ex x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运⽤这两个重要极限本⾝，还应能够熟练运⽤它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，ex xx =--→210)21(lim ，ex xx =+∞→3)31(lim ；等等。
(总结)定积分计算方法总结
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定积分计算方法总结、定积分的计算方法
1.利用函数奇偶性
2.利用函数周期性
3.参考不定积分计算方法
二、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
三、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
f(x)>=g(x),则>=()dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之a)
b)当0<x<兀/2时，2/兀<<1
2.估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则
1。
定积分是确定的和式的极限
第七章 重积分∑⎰=→=ni i i b ax f x x f 1)(lim d )(∆ξλ现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。
§1二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积设有一立体，它是以xOy 面上的闭区域D 为底，以D 的边界曲线为准线，母线平行z 轴的柱面为侧面，以曲面),(y x f z =（0),(≥y x f ，),(y x f 连续）为顶，这种立体叫做曲顶柱体。
2、平面薄片的质量设有一平面薄片在xOy 面上的区域D ，D 上任一点),(y x 的面密度为),(y x ρ，设),(y x ρ在D 上连续，求薄片的质量二重积分的定义：∑⎰⎰=→=ni i i i Df y x f 1),(lim d ),(σ∆ηξσλ 二重积分的存在性：设),(y x f 在闭区域D 上连续，则),(y x f 在D 上的二重积分一定存在。
在⎰⎰Dy x f σd ),(中，σd 是i σ∆的象征，叫做区域D 的面积元素。
在二重积分存在时对区域的分划是任意的，为了方便起见，采用平行于坐标的直线段分划D ，这样除了靠近边界外，各个消区域都为小矩形，i i i y x ∆∆σ∆=，于是y x d d d =σ，所以在直角坐标系下，二重积分的表达式为(,)Df x y d σ⎰⎰=y x y x f Dd d ),(⎰⎰。
二、二重积分的性质二重积分概念是定积分概念的推广，故有类似的性质。
性质1：线性性质⎰⎰⎰⎰=DDy x f k y x kf σσd ),(d ),(⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDy x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d )],(),([性质2：对区域可加性设21D D D +=，1D 与2D 只有公共边界， 则y x y x f y x y x f y x y x f D D Dd d ),(d d ),(d d ),(21⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=性质3：规范性若1),(=y x f ，D y x ∈),(，则σσ=⎰⎰Dy x f d ),(（D 的面积）性质4：单调性设),(),(y x g y x f ≤，D y x ∈),(，则⎰⎰Dy x f σd ),(⎰⎰≤Dy x g σd ),(特别地，由|),(|),(|),(|y x f y x f y x f ≤≤-则有|d ),(|⎰⎰Dy x f σ⎰⎰≤Dy x f σd |),(|性质5：估值定理设M 、m 分别是),(y x f 在D 上的最大和最小值，σ为D 的面积，则有σσσM y x f m D≤≤⎰⎰d ),(性质6：二重积分中值定理设),(y x f 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则在D 上至少存在一点D∈),(ηξσηξσ),(d ),(f y x f D=⎰⎰例1、比较⎰⎰+Dy x σd )ln(与⎰⎰+Dy x σd )][ln(2的大小。
极限的常用求法及技巧
极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。
极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。
极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。
极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。
函数的极限等等。
本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通。
1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。
数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。
1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。
若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有ε<-a a n则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞→或)(,∞→∞→n a n读作当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a 例证明2322n lim -∞→n n 解 由于)3n 93n 9323222≥≤-=--（nn n 因此，对于任给的ε>0,只要ε<n9，便有 ε<--33322n n即当n ε9>时，（2）试成立。
利用定积分求极限
科技信息定理１：连续函数的定积分一定存在根据该定理，只要ｙ＝ｆ（ｘ）是连续函数，ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍλ→０ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ，而且该极限与｛ξｉ｝的取法无关，与｛ｘｉ｝的分法无关。
其中Δｘｉ＝ｘｉ－ｘｉ－１。
正因为该极限与｛ξｉ｝的取法无关，与｛ｘｉ｝的分法无关，经常取｛ｘｉ｝使［ａ，ｂ］区间等分，取ξｉ＝ｘｉ或ξｉ＝ｘｉ－１所以Δｘｉ＝ｂ－ａｎ，ξｉ＝ａ＋ｂ－ａｎｉ或ξｉ＝ａ＋ｂ－ａｎ（ｉ－１）。
于是：ｌｉｍλ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ａ＋ｂ－ａｎｉ）＝ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ或ｌｉｍλ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ａ＋ｂ－ａｎ（ｉ－１））＝ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ一、形如ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ的极限推论１如果函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可积，将区间［ａ，ｂ］等分为ｎ个小区间，ξｉ为小区间ｉ－１ｎ（ｂ－ａ），ｉｎ（ｂ－ａ#$）上任意一点，Δｘｉ＝ｂ－ａｎ，则ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｎ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）。
例１．求极限ｌｉｍｎ→∞（ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋…＋ｎｎ２＋ｎ２）解：原式＝ｌｉｍｎ→∞１ｎｎｉ＝１"１１＋（ｉｎ）２＝ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"１ｎ１１＋（ｉｎ）２＝ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）１ｎ（１）（１）式是函数ｆ（ｘ）＝１１＋ｘ２在区间［０，１］上的一个积分和，它是把区间［０，１］分成ｎ等份，ξｉ取ｉ－１ｎ，ｉｎ%&的右端点构成的积分和，由推论１可得ｌｉｍｎ→∞（ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋…＋ｎｎ２＋ｎ２）＝１０!１１＋ｘ２ｄｘ＝π４利用定积分求ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ关键为（１）寻找被积函数；（２）确定积分的下限ａ及上限ｂ。
具体步骤如下：（4）通过恒等变形，将Ｓｎ化为特殊形式的积分和：Ｓｎ＝ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）ｂ－ａｎ（5）寻找被积函数ｆ确定积分下限及上限：令ξｉ＝ｘ，被积函数为ｆ（ξｉ）＝ｆ（ｘ）；积分下限ａ＝ｌｉｍｎ→∞ξｋ（ｋ为ｉ的第一个取值）；积分上限ｂ＝ｌｉｍｎ→∞ξｍ（ｍ为ｉ的最后一个取值）。
二重积分的计算法
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d
定积分求和极限与区间
第五章定积分积分学中的另一个基本概念就是定积分。
积分方法是解决许多实际应用问题的一个重要方法，本章将主要介绍定积分的基本概念、基本性质和基本计算方法。
第一节定积分概念一、概念引入的背景在引入定积分概念之前，我们先看两个实例。
例1 曲边梯形的面积问题设一平面图形由直线x = a , x = b , y = 0和曲线y = f(x)所围，求该平面图形的面积。
我们通常把三边为直边另一边为曲边的几何图形（本例描述的图形）称为曲边梯形。
矩形的面积我们是如下定义的：面积=底×高但是我们要求面积的图形不是矩形，这样，我们就有两个问题要解决，一是面积的定义，二是面积的求法。
微积分对人类的巨大功绩就是用干净利落方式同时解决了这两个问题。
矩形的面积是有定义的，其它图形的面积是没有定义的，如何用有定义的“东西”，去取代无定义的“东西”，这就是我们解决问题的关键。
具体做法如下：第一步：将[a, b]区间任意分割成n个小区间，分别记为：[x0, x1]；[x1, x2]；……；[x n-1，x n]。
x176177其中：x 0 = a ，x n = b 。
并令△x i = x i – x i-1 (i = 1,2,……，n )这样，我们就把整个图形分割成了n 个细长条，每个细长条都是小“曲边梯形”，但是，它们都非常的细，细到每一条都可以看成“矩形”。
形象的比喻，就把这一过程叫做“化整为‘零’”第二步：在每个小区间[x i-1，x i ]上任取一点i ξ∈[x i-1，x i ]作乘积f (i ξ)△x i 。
既然每一个小“曲边梯形”都成了“矩形”，其宽就是△x i ，其高呢？那就在小区间[x i-1，x i ]上任取一点i ξ，以这一点的函数值作为高，于是，这个细长条的面积就近似的等于f (i ξ)△x i 。
第三步：求和∑=∆ni iixf 1)(ξ每个小“曲边梯形”的面积求出来了，把它们累加起来，所有的小“曲边梯形”的面积和，就是整个图形的面积的近似值。
求极限的方法及例题总结
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim 2=-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B B Ax g x f说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→n n n n上下同除以 。
3．两个重要极限（1） 1sin lim 0=→x xx（2）ex xx =+→1)1(lim ； ex x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，ex xx =--→210)21(lim ，ex xx =+∞→3)31(lim ；等等。
极限的计算方法总结(最新)
极限的计算方法总结极限的计算方法总结1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的.范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
积分和的极限形式
积分和的极限形式
在数学中，积分是一种运算符号，用于计算函数在特定区间上的累积和。
而极限是描述函数或数列趋近某个值的概念。
积分和的极限形式是指将求和的过程用积分和极限的方式来表示。
它可以用来将离散的求和问题转化为连续的积分问题，从而更便于进行计算和分析。
具体来说，如果有一个函数 f(x) 在区间 [a, b] 上定义，并且对于该区间上的每个小区间 [x_i, x_{i+1}]，我们可以取其中任意一点 c_i，那么积分和的极限形式可以表示为：
∫(a to b) f(x) dx = lim(n→∞) Σ[ i=1 to n] f(c_i)Δx 其中，Σ表示求和符号，n 表示将整个区间 [a, b] 分成 n 个小区间，Δx 表示每个小区间的宽度（b-a)/n，c_i 表示每个小区间内的某个点。
当 n 趋向于无穷大时，这个积分和的极限形式就趋近于实际的积分值。