2017年浙江省宁波市中考数学试卷(后附答案解析)
2017年浙江省衢州市中考数学试卷(附答案,解析)

2017年浙江省衢州市中考数学试卷一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)1.﹣2的倒数是()A.﹣ B.C.﹣2 D.22.如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体,它的主视图是()A.B.C.D.3.下列计算正确的是()A.2a+b=2ab B.(﹣a)2=a2C.a6÷a2=a3D.a3•a2=a64.据调查,某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示,则鞋子尺码的众数和中位数分别是()3435363738尺码(码)人数251021A.35码,35码B.35码,36码C.36码,35码D.36码,36码5.如图,直线AB∥CD,∠A=70°,∠C=40°,则∠E等于()A.30°B.40°C.60°D.70°6.二元一次方程组的解是()A.B.C.D.7.下列四种基本尺规作图分别表示:①作一个角等于已知角;②作一个角的平分线;③作一条线段的垂直平分线;④过直线外一点P作已知直线的垂线,则对应选项中作法错误的是()A.①B.②C.③D.④8.如图,在直角坐标系中,点A在函数y=(x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AB的垂直平分线与y轴交于点C,与函数y=(x>0)的图象交于点D,连结AC,CB,BD,DA,则四边形ACBD的面积等于()A.2 B.2 C.4 D.49.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于()A.B.C.D.10.运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是⊙O的直径,CD、EF是⊙O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8.则图中阴影部分的面积是()A.πB.10πC.24+4πD.24+5π二、填空题(本题共有6小题,每小题4分,共24分)11.二次根式中字母a的取值范围是.12.化简:=.13.在一个箱子里放有1个白球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从箱子里摸出1个球,则摸到红球的概率是.14.如图,从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是.15.如图,在直角坐标系中,⊙A的圆心A的坐标为(﹣1,0),半径为1,点P为直线y=﹣x+3上的动点,过点P作⊙A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是.16.如图,正△ABO的边长为2,O为坐标原点,A在x轴上,B在第二象限,△ABO沿x轴正方形作无滑动的翻滚,经一次翻滚后得到△A1B1O,则翻滚3次后点B的对应点的坐标是,翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为.三、解答题(本题共有8小题,第17-19小题每小题6分,第20-21小题每小题6分,第22-23小题每小题6分,第24小题12分,共66分,请务必写出解答过程)17.计算: +(π﹣1)0×|﹣2|﹣tan60°.18.解下列一元一次不等式组:.19.如图,AB为半圆O的直径,C为BA延长线上一点,CD切半圆O于点D,连接OD.作BE⊥CD于点E,交半圆O于点F.已知CE=12,BE=9.(1)求证:△COD∽△CBE.(2)求半圆O的半径r的长.20.根据衢州市统计局发布的统计数据显示,衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示,2016年国民生产总值中第一产业,第二产业,第三产业所占比例如图2所示.请根据图中信息,解答下列问题:(1)求2016年第一产业生产总值(精确到1亿元)(2)2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几?(精确到1%)(3)若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元,求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率(精确到1%)21.“五•一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.根据以上信息,解答下列问题:(1)设租车时间为x小时,租用甲公司的车所需费用为y1元,租用乙公司的车所需费用为y2元,分别求出y1,y2关于x的函数表达式;(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算.22.定义:如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,点P在该抛物线上(P 点与A、B两点不重合),如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2,则称点P为抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的勾股点.(1)直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标.(2)如图2,已知抛物线C:y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于A,B两点,点P(1,)是抛物线C的勾股点,求抛物线C的函数表达式.=S△ABP的Q点(异于点P)的(3)在(2)的条件下,点Q在抛物线C上,求满足条件S△ABQ坐标.23.问题背景如图1,在正方形ABCD的内部,作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,从而得到四边形EFGH是正方形.类比探究如图2,在正△ABC的内部,作∠BAD=∠CBE=∠ACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合)(1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等?如果是,请选择其中一对进行证明.(2)△DEF是否为正三角形?请说明理由.(3)进一步探究发现,△ABD的三边存在一定的等量关系,设BD=a,AD=b,AB=c,请探索a,b,c满足的等量关系.24.在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从A点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1)如图1,当t=3时,求DF的长.(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值.(3)连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,求相应的t的值.2017年浙江省衢州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)1.﹣2的倒数是()A.﹣ B.C.﹣2 D.2【考点】17:倒数.【分析】根据倒数的定义即可求解.【解答】解:﹣2的倒数是﹣.故选:A.2.如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体,它的主视图是()A.B.C.D.【考点】U2:简单组合体的三视图.【分析】主视图是从正面看所得到的图形,从左往右分2列,正方形的个数分别是:2,1;依此即可求解.【解答】解:如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体,它的主视图是.故选:D.3.下列计算正确的是()A.2a+b=2ab B.(﹣a)2=a2C.a6÷a2=a3D.a3•a2=a6【考点】48:同底数幂的除法;35:合并同类项;46:同底数幂的乘法;47:幂的乘方与积的乘方.【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.【解答】解:(A)2a与b不是同类项,故不能合并,故A不正确;(C)原式=a4,故C不正确;(D)原式=a5,故D不正确;故选(B)4.据调查,某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示,则鞋子尺码的众数和中位数分别是()3435363738尺码(码)人数251021A.35码,35码B.35码,36码C.36码,35码D.36码,36码【考点】W5:众数;W4:中位数.【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.【解答】解:数据36出现了10次,次数最多,所以众数为36,一共有20个数据,位置处于中间的数是:36,36,所以中位数是(36+36)÷2=36.故选D.5.如图,直线AB∥CD,∠A=70°,∠C=40°,则∠E等于()A.30°B.40°C.60°D.70°【考点】K8:三角形的外角性质;JA:平行线的性质.【分析】先根据两直线平行,同位角相等求出∠1,再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠E的度数.【解答】解:如图,∵AB∥CD,∠A=70°,∴∠1=∠A=70°,∵∠1=∠C+∠E,∠C=40°,∴∠E=∠1﹣∠E=70°﹣40°=30°.故选:A.6.二元一次方程组的解是()A.B.C.D.【考点】98:解二元一次方程组.【分析】用加减消元法解方程组即可.【解答】解:①﹣②得到y=2,把y=2代入①得到x=4,∴,故选B.7.下列四种基本尺规作图分别表示:①作一个角等于已知角;②作一个角的平分线;③作一条线段的垂直平分线;④过直线外一点P作已知直线的垂线,则对应选项中作法错误的是()A.①B.②C.③D.④【考点】N2:作图—基本作图.【分析】利用作一个角等于已知角;作一个角的平分线;作一条线段的垂直平分线;过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案.【解答】解:①作一个角等于已知角的方法正确;②作一个角的平分线的作法正确;③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点,作法错误;④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确.故选:C.8.如图,在直角坐标系中,点A在函数y=(x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AB的垂直平分线与y轴交于点C,与函数y=(x>0)的图象交于点D,连结AC,CB,BD,DA,则四边形ACBD的面积等于()A.2 B.2 C.4 D.4【考点】G5:反比例函数系数k的几何意义;KG:线段垂直平分线的性质.【分析】设A(a,),可求出B(2a,),由于对角线垂直,计算对角线长积的一半即可.【解答】解:设A(a,),可求出B(2a,),∵AC⊥BD,=AC•BD=×2a×=4,∴S四边形ABCD故选C.9.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于()A.B.C.D.【考点】PB:翻折变换(折叠问题);LB:矩形的性质.【分析】根据折叠的性质得到AE=AB,∠E=∠B=90°,易证Rt△AEF≌Rt△CDF,即可得到结论EF=DF;易得FC=FA,设FA=x,则FC=x,FD=6﹣x,在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+(6﹣x)2,解方程求出x.【解答】解:∵矩形ABCD沿对角线AC对折,使△ABC落在△ACE的位置,∴AE=AB,∠E=∠B=90°,又∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,∴AE=DC,而∠AFE=∠DFC,∵在△AEF与△CDF中,,∴△AEF≌△CDF(AAS),∴EF=DF;∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC=6,CD=AB=4,∵Rt△AEF≌Rt△CDF,∴FC=FA,设FA=x,则FC=x,FD=6﹣x,在Rt△CDF中,CF2=CD2+DF2,即x2=42+(6﹣x)2,解得x=,则FD=6﹣x=.故选:B.10.运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是⊙O的直径,CD、EF是⊙O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8.则图中阴影部分的面积是()A.πB.10πC.24+4πD.24+5π【考点】MO:扇形面积的计算;M5:圆周角定理.【分析】作直径CG,连接OD、OE、OF、DG,则根据圆周角定理求得DG的长,证明DG=EF,则S扇形ODG=S扇形OEF,然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD,S△OEF=S△AEF,则S阴影=S扇形OCD+S 扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆,即可求解.【解答】解:作直径CG,连接OD、OE、OF、DG.∵CG是圆的直径,∴∠CDG=90°,则DG===8,又∵EF=8,∴DG=EF,∴=,∴S扇形ODG=S扇形OEF,∵AB∥CD∥EF,∴S△OCD=S△ACD,S△OEF=S△AEF,∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=π.故选A.二、填空题(本题共有6小题,每小题4分,共24分)11.二次根式中字母a的取值范围是a≥2.【考点】72:二次根式有意义的条件.【分析】由二次根式中的被开方数是非负数,可得出a﹣2≥0,解之即可得出结论.【解答】解:根据题意得:a﹣2≥0,解得:a≥2.故答案为:a≥2.12.化简:=1.【考点】6B:分式的加减法.【分析】分式的加减运算中,如果是同分母分式,那么分母不变,把分子直接相加减即可.【解答】解:原式==1.13.在一个箱子里放有1个白球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从箱子里摸出1个球,则摸到红球的概率是.【考点】X4:概率公式.【分析】由一个不透明的箱子里共有1个白球,2个红球,共3个球,它们除颜色外均相同,直接利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解:∵一个不透明的箱子里有1个白球,2个红球,共有3个球,∴从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是;故答案为:.14.如图,从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是a+6.【考点】4G:平方差公式的几何背景.【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解.【解答】解:拼成的长方形的面积=(a+3)2﹣32,=(a+3+3)(a+3﹣3),=a(a+6),∵拼成的长方形一边长为a,∴另一边长是a+6.故答案为:a+6.15.如图,在直角坐标系中,⊙A的圆心A的坐标为(﹣1,0),半径为1,点P为直线y=﹣x+3上的动点,过点P作⊙A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是2.【考点】MC:切线的性质;F5:一次函数的性质.【分析】连接AP,PQ,当AP最小时,PQ最小,当AP⊥直线y=﹣x+3时,PQ最小,根据两点间的距离公式得到AP=3,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解:连接AP,PQ,当AP最小时,PQ最小,∴当AP⊥直线y=﹣x+3时,PQ最小,∵A的坐标为(﹣1,0),y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0,∴AP==3,∴PQ==2.16.如图,正△ABO的边长为2,O为坐标原点,A在x轴上,B在第二象限,△ABO沿x轴正方形作无滑动的翻滚,经一次翻滚后得到△A1B1O,则翻滚3次后点B的对应点的坐标是(5,),翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为(+896)π.【考点】O4:轨迹;D2:规律型:点的坐标.【分析】如图作B3E⊥x轴于E,易知OE=5,B3E=,观察图象可知3三次一个循环,一个循环点M的运动路径为++=()π,由2017÷3=672…1,可知翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•()π+π=(+896)π.【解答】解:如图作B3E⊥x轴于E,易知OE=5,B3E=,∴B3(5,),观察图象可知3三次一个循环,一个循环点M的运动路径为++=()π,∵2017÷3=672…1,∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•()π+π=(+896)π.故答案为(+896)π.三、解答题(本题共有8小题,第17-19小题每小题6分,第20-21小题每小题6分,第22-23小题每小题6分,第24小题12分,共66分,请务必写出解答过程)17.计算: +(π﹣1)0×|﹣2|﹣tan60°.【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂;T5:特殊角的三角函数值.【分析】按照实数的运算法则依次计算,注意:tan60°=,(π﹣1)0=1.【解答】解:原式=2+1×2﹣=2+.18.解下列一元一次不等式组:.【考点】CB:解一元一次不等式组.【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【解答】解:解不等式x≤2,得:x≤4,解不等式3x+2>x,得:x>﹣1,则不等式组的解集为﹣1<x≤4.19.如图,AB为半圆O的直径,C为BA延长线上一点,CD切半圆O于点D,连接OD.作BE⊥CD于点E,交半圆O于点F.已知CE=12,BE=9.(1)求证:△COD∽△CBE.(2)求半圆O的半径r的长.【考点】S9:相似三角形的判定与性质;MC:切线的性质.【分析】(1)由切线的性质和垂直的定义得出∠E=90°=∠CDO,再由∠C=∠C,得出△COD∽△CBE.(2)由勾股定理求出BC==15,由相似三角形的性质得出比例式,即可得出答案.【解答】(1)证明:∵CD切半圆O于点D,∴CD⊥OD,∴∠CDO=90°,∵BE⊥CD,∴∠E=90°=∠CDO,又∵∠C=∠C,∴△COD∽△CBE.(2)解:在Rt△BEC中,CE=12,BE=9,∴BC==15,∵△COD∽△CBE.∴,即,解得:r=.20.根据衢州市统计局发布的统计数据显示,衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示,2016年国民生产总值中第一产业,第二产业,第三产业所占比例如图2所示.请根据图中信息,解答下列问题:(1)求2016年第一产业生产总值(精确到1亿元)(2)2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几?(精确到1%)(3)若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元,求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率(精确到1%)【考点】AD:一元二次方程的应用;VB:扇形统计图;VC:条形统计图.【分析】(1)2016年第一产业生产总值=2016年国民生产总值×2016年第一产业国民生产总值所占百分率列式计算即可求解;(2)先求出2016年比2015年的国民生产总值增加了多少,再除以2015年的国民生产总值即可求解;(3)设2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率为x,那么2017年我市国民生产总值为1300(1+x)亿元,2018年我市国民生产总值为1300(1+x)(1+x)亿元,然后根据2018年的国民生产总值要达到1573亿元即可列出方程,解方程就可以求出年平均增长率.【解答】解:(1)1300×7.1%≈92(亿元).答:2016年第一产业生产总值大约是92亿元;(2)÷1204×100%=96÷1204×100%≈8%.答:2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%;(3)设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x,依题意得1300(1+x)2=1573,∴1+x=±1.21,∴x=10%或x=﹣2.1(不符合题意,故舍去).答:2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%.21.“五•一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.根据以上信息,解答下列问题:(1)设租车时间为x小时,租用甲公司的车所需费用为y1元,租用乙公司的车所需费用为y2元,分别求出y1,y2关于x的函数表达式;(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算.【考点】FH:一次函数的应用;FA:待定系数法求一次函数解析式.【分析】(1)根据函数图象中的信息,分别运用待定系数法,求得y1,y2关于x的函数表达式即可;(2)当y1=y2时,15x+80=30x,当y1>y2时,15x+80>30x,当y1<y2时,15x+80>30x,分求得x的取值范围即可得出方案.【解答】解:(1)设y1=k1x+80,把点(1,95)代入,可得95=k1+80,解得k1=15,∴y1=15x+80(x≥0);设y2=k2x,把(1,30)代入,可得30=k2,即k2=30,∴y2=30x(x≥0);(2)当y1=y2时,15x+80=30x,解得x=;当y1>y2时,15x+80>30x,解得x<;当y1<y2时,15x+80>30x,解得x>;∴当租车时间为小时,选择甲乙公司一样合算;当租车时间小于小时,选择乙公司合算;当租车时间大于小时,选择甲公司合算.22.定义:如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,点P在该抛物线上(P 点与A、B两点不重合),如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2,则称点P为抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的勾股点.(1)直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标.(2)如图2,已知抛物线C:y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于A,B两点,点P(1,)是抛物线C的勾股点,求抛物线C的函数表达式.(3)在(2)的条件下,点Q 在抛物线C 上,求满足条件S △ABQ =S △ABP 的Q 点(异于点P )的坐标.【考点】HA :抛物线与x 轴的交点;H8:待定系数法求二次函数解析式. 【分析】(1)根据抛物线勾股点的定义即可得; (2)作PG ⊥x 轴,由点P 坐标求得AG=1、PG=、PA=2,由tan ∠PAB==知∠PAG=60°,从而求得AB=4,即B (4,0),待定系数法求解可得;(3)由S △ABQ =S △ABP 且两三角形同底,可知点Q 到x 轴的距离为,据此求解可得.【解答】解:(1)抛物线y=﹣x 2+1的勾股点的坐标为(0,1);(2)抛物线y=ax 2+bx 过原点,即点A (0,0), 如图,作PG ⊥x 轴于点G ,∵点P 的坐标为(1,),∴AG=1、PG=,PA===2,∵tan ∠PAB==,∴∠PAG=60°, 在Rt △PAB 中,AB===4,∴点B 坐标为(4,0), 设y=ax (x ﹣4), 将点P (1,)代入得:a=﹣, ∴y=﹣x (x ﹣4)=﹣x 2+x ;(3)①当点Q 在x 轴上方时,由S △ABQ =S △ABP 知点Q 的纵坐标为,则有﹣x 2+x=,解得:x1=3,x2=1(不符合题意,舍去),∴点Q的坐标为(3,);=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣,②当点Q在x轴下方时,由S△ABQ则有﹣x2+x=﹣,解得:x1=2+,x2=2﹣,∴点Q的坐标为(2+,﹣)或(2﹣,﹣);综上,满足条件的点Q有3个:(3,)或(2+,﹣)或(2﹣,﹣).23.问题背景如图1,在正方形ABCD的内部,作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,从而得到四边形EFGH是正方形.类比探究如图2,在正△ABC的内部,作∠BAD=∠CBE=∠ACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合)(1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等?如果是,请选择其中一对进行证明.(2)△DEF是否为正三角形?请说明理由.(3)进一步探究发现,△ABD的三边存在一定的等量关系,设BD=a,AD=b,AB=c,请探索a,b,c满足的等量关系.【考点】LO:四边形综合题.【分析】(1)由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,证出∠ABD=∠BCE,由ASA证明△ABD≌△BCE即可;(2)由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论;(3)作AG⊥BD于G,由正三角形的性质得出∠ADG=60°,在Rt△ADG中,DG=b,AG= b,在Rt△ABG中,由勾股定理即可得出结论.【解答】解:(1)△ABD≌△BCE≌△CAF;理由如下:∵△ABC是正三角形,∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,∵∠ABD=∠ABC﹣∠2,∠BCE=∠ACB﹣∠3,∠2=∠3,∴∠ABD=∠BCE,在△ABD和△BCE中,,∴△ABD≌△BCE(ASA);(2)△DEF是正三角形;理由如下:∵△ABD≌△BCE≌△CAF,∴∠ADB=∠BEC=∠CFA,∴∠FDE=∠DEF=∠EFD,∴△DEF是正三角形;(3)作AG⊥BD于G,如图所示:∵△DEF是正三角形,∴∠ADG=60°,在Rt△ADG中,DG=b,AG=b,在Rt△ABG中,c2=(a+b)2+(b)2,∴c2=a2+ab+b2.24.在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从A点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1)如图1,当t=3时,求DF的长.(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值.(3)连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,求相应的t的值.【考点】LO:四边形综合题.【分析】(1)当t=3时,点E为AB的中点,由三角形中位线定理得出DE∥OA,DE=OA=4,再由矩形的性质证出DE⊥AB,得出∠OAB=∠DEA=90°,证出四边形DFAE是矩形,得出DF=AE=3即可;(2)作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,证明四边形DMAN是矩形,得出∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,由平行线得出比例式,=,由三角形中位线定理得出DM=AB=3,DN=OA=4,证明△DMF∽△DNE,得出=,再由三角函数定义即可得出答案;(3)作作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,若AD将△DEF的面积分成1:2的两部分,设AD 交EF于点G,则点G为EF的三等分点;①当点E到达中点之前时,NE=3﹣t,由△DMF∽△DNE得:MF=(3﹣t),求出AF=4+MF=﹣t+,得出G(,t),求出直线AD的解析式为y=﹣x+6,把G(,t)代入即可求出t的值;②当点E越过中点之后,NE=t﹣3,由△DMF∽△DNE得:MF=(t﹣3),求出AF=4﹣MF=﹣t+,得出G(,t),代入直线AD的解析式y=﹣x+6求出t的值即可.【解答】解:(1)当t=3时,点E为AB的中点,∵A(8,0),C(0,6),∴OA=8,OC=6,∵点D为OB的中点,∴DE∥OA,DE=OA=4,∵四边形OABC是矩形,∴OA⊥AB,∴DE⊥AB,∴∠OAB=∠DEA=90°,又∵DF⊥DE,∴∠EDF=90°,∴四边形DFAE是矩形,∴DF=AE=3;(2)∠DEF的大小不变;理由如下:作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,如图2所示:∵四边形OABC是矩形,∴OA⊥AB,∴四边形DMAN是矩形,∴∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,∴,=,∵点D为OB的中点,∴M、N分别是OA、AB的中点,∴DM=AB=3,DN=OA=4,∵∠EDF=90°,∴∠FDM=∠EDN,又∵∠DMF=∠DNE=90°,∴△DMF∽△DNE,∴=,∵∠EDF=90°,∴tan∠DEF==;(3)作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,若AD将△DEF的面积分成1:2的两部分,设AD交EF于点G,则点G为EF的三等分点;①当点E到达中点之前时,如图3所示,NE=3﹣t,由△DMF∽△DNE得:MF=(3﹣t),∴AF=4+MF=﹣t+,∵点G为EF的三等分点,∴G(,t),设直线AD的解析式为y=kx+b,把A(8,0),D(4,3)代入得:,解得:,∴直线AD的解析式为y=﹣x+6,把G(,t)代入得:t=;②当点E越过中点之后,如图4所示,NE=t﹣3,由△DMF∽△DNE得:MF=(t﹣3),∴AF=4﹣MF=﹣t+,∵点G为EF的三等分点,∴G(,t),代入直线AD的解析式y=﹣x+6得:t=;综上所述,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,t的值为或考试小提示试卷一张一张,发的是希望;考试一场一场,考的是能力;笔尖一动一动,动的是梦想;问候一声一声,道的是真情;考试日,愿你们认真、细心做题,取得好成绩。
浅析网格题的一般解法

浅析网格题的一般解法发布时间:2021-04-20T06:30:27.557Z 来源:《当代教育家》2021年3期作者:何明生[导读] 网格题是每年各省市中考中常考题型,学生的完成情况不理想,本人结合自己的教学经验,谈谈自己的一些想法,希望能对大家有所帮助。
何明生江苏省泰兴市实验初级中学 225400网格题是每年各省市中考中常考题型,学生的完成情况不理想,本人结合自己的教学经验,谈谈自己的一些想法,希望能对大家有所帮助。
题型一:过定点作已知直线(线段)的平行线。
解题步骤:可以通过平移线段得到平行线。
首先是在已知直线上找出一条线段(线段的两个端点都是格点),找出其中一个端点移动到定点的方法(向左右上下平移几格),其次将另一个端点按同样的方法移动得到对应的端点(将该点加粗描一下),最后将定点与对应的端点相连作出直线(注意平行线是直线)。
题型二:过定点作已知直线的垂线。
这类题目的解题步骤分两步:首先是在已知直线上找一条线段(线段的两个端点都是格点),找出这条线段所在的长方形,以这条线段的一个端点为旋转中心,将长方形绕这个端点顺时针或逆时针方向旋转90度,作出旋转后的长方形,作其过旋转中心的对角线,则此线段与已知线段垂直;其次,将所得线段平移使其一个端点与定点重合,找出另一个端点的对应点描一下,两点相连,那么这条线段所在直线与已知直线垂直。
例1:(2018年浙江省宁波市中考数学试卷). 在的方格纸中,的三个顶点都在格点上.(1)在图1中画出线段BD,使,其中D是格点;(2)在图2中画出线段BE,使,其中E是格点.解:在图1中,可以看着是将线段AC平移到过点B。
由A B,向右平移2格,将点C向右平移2格得点D,连接BD,则。
在图2中,线段AC是横3竖2的长方形中一条对角线,将长方形绕端点C逆时针旋转900,作出新长方形中过点C的对角线CF,此对角线CF与线段AC垂直,将此对角线平移,使其一个端点F与B点重合,另一个端点为E,连接BE,线段。
【中考数学】有理数解答题训练经典题目(附答案)

【中考数学】有理数解答题训练经典题目(附答案)一、解答题1.点A、O、B、C从左向右依次在数轴上的位置如图所示,点O在原点,点A、B、C表示的数分别是a、b、c .(1)若a=﹣2,b=4,c=8,D为AB中点,F为BC中点,求DF的长.(2)若点A到原点的距离为3,B为AC的中点.①用b的代数式表示c;②数轴上B、C两点之间有一动点M,点M表示的数为x,无论点M运动到何处,代数式|x﹣c|﹣5|x﹣a|+bx+cx 的值都不变,求b的值.2.已知表示5与-2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离请试着探索:(1)找出所有符合条件的整数,使,这样的整数是________;(2)利用数轴找出,当时,的值是________;(3)利用数轴找出,当取最小值时,的范围是________.3.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示:解答下列式子:(1)比较a,,c的大小(用“<”连接);(2)若,试化简等式的右边;(3)在(2)的条件下,求的值.4.如图,点、、是数轴上三点,点表示的数为,, .(1)写出数轴上点、表示的数:________,________.(2)动点,同时从,出发,点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点以个单位长度的速度沿数向左匀速运动,设运动时间为秒.①求数轴上点,表示的数(用含的式子表示);② 为何值时,点,相距个单位长度.5.如图,数轴上点A,B分别对应数a,b.其中a<0,b>0.(1)当a=﹣2,b=6时,求a-b=________,线段AB的中点对应的数是________;(直接填结果)(2)若该数轴上另有一点M对应着数m.①当a=﹣4,b=8,点M在A,B之间,且AM=3BM时,求m的值.②当m=2,b>2,且AM=2BM时,求代数式a+2b+20的值.6.同学们都知道,|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索:(1)求|5-(-2)|=________.(2)找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是________.(3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|是否有最小值?如果有写出最小值,如果没有说明理由.7.观察下列等式,,,以上三个等式两边分别相加得:(1)猜想并写出: ________(2)计算: ________(3)探究并计算:8.(1)阅读下面材料:点、在数轴上分别表示实数,,、两点之间的距高表示为当、两点中有一点在原点时,不妨设点在原点,如图1,;当、都不在原点时,①如图2,点、都在原点的右侧,;②如图3,点、都在原点的左侧,;③如图4,点、在原点的两侧,;(1)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点间的距离是________,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________;②数轴上表示和-1的两点和之间的距离是________,如果,那么为________;③当代数式取最小值时,相应的的取值范围是________;④求的最小值,提示:.9.点A在数轴上对应的数为3,点B对应的数为b,其中A、B两点之间的距离为5 (1)求b的值(2)当B在A左侧时,一点D从原点O出发以每秒2个单位的速度向左运动,请问D运动多少时间,可以使得D到A、B两点的距离之和为8?(3)当B在A的左侧时,一点D从O出发以每秒2个单位的速度向左运动,同时点M从B出发,以每秒1个单位的速度向左运动,点N从A出发,以每秒4个单位的速度向右运动;在运动过程中,MN的中点为P,OD的中点为Q,请问MN-2PQ的值是否会发生变化?若发生变化,请说明理由;如果没有变化,请求出这个值.10.已知数轴上,点A和点B分别位于原点O两侧,AB=14,点A对应的数为a,点B对应的数为b.(1)若b=-4,则a的值为________.(2)若OA=3OB,求a的值.(3)点C为数轴上一点,对应的数为c.若O为AC的中点,OB=3BC,直接写出所有满足条件的c的值.11.如图,数轴上两点分别表示有理数-2和5,我们用来表示两点之间的距离.(1)直接写出的值=________;(2)若数轴上一点表示有理数m,则的值是________;(3)当代数式∣n +2∣+∣n -5∣的值取最小值时,写出表示n的点所在的位置;(4)若点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动,求经过多少秒后,点到原点的距离是点到原点的距离的2倍.12.阅读材料:如图①,若点B把线段分成两条长度相等的线段AB和BC,则点B叫做线段AC的中点.回答问题:(1)如图②,在数轴上,点A所表示的数是﹣2,点B所表示的数是0,点C所表示的数是3.①若A是线段DB的中点,则点D表示的数是________;②若E是线段AC的中点,求点E表示的数________.(2)在数轴上,若点M表示的数是m,点N所表示的数是n,点P是线段MN的中点.①若点P表示的数是1,则m、n可能的值是________(填写符合要求的序号);(i)m=0,n=2;(ii)m=﹣5,n=7;(iii)m=0.5,n=1.5;(iv)m=﹣1,n=2②直接用含m、n的代数式表示点P表示的数________.13.数轴上点A表示的数为10,点M,N分别以每秒a个单位长度,每秒b个单位长度的速度沿数轴运动,a,b满足|a-5|+(b-6)2=0.(1)请真接与出a=________,b=________;(2)如图1,点M从A出发沿数轴向左运动,到达原点后立即返回向右运动:同时点N从原点0出发沿数轴向左运动,运动时间为t,点P为线段ON的中点若MP=MA,求t的值: (3)如图2,若点M从原点向右运动,同时点N从原点向左运动,运动时间为t时M运动到点A的右侧,若此时以M,N,O,A为端点的所有线段的长度和为142,求此时点M对应的数.14.我们知道,|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离.如:|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离。
浙江省宁波市2017届中考数学一模试卷(含解析)

2017年浙江省宁波市七校联考中考数学一模试卷一、选择题1.﹣3的相反数是()A.3 B.﹣3 C.D.﹣2.下列计算正确的是()A.B.(a2)3=a5C.2a﹣a=2 D.a•a3=a43.2016年鄞州区财政收入仍保持持续增长态势,全年财政收入为373.9亿元,其中373.9亿元用科学记数法表示为()A.373.9×108元 B.37.39×109元 C.3.739×1010元D.0.3739×10114.如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体,则它的俯视图是()A.B.C.D.5.使代数式有意义的x的取值范围为()A.x>2 B.x≠0 C.x<2 D.x≠26.一组数据为1,5,3,4,5,6,这组数据的众数、中位数分为()A.4,5 B.5,4.5 C.5,4 D.3,27.如图,直线l1∥l2,以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l1、l2于点B、C,连接AC、BC.若∠ABC=67°,则∠1=()A.23° B.46° C.67° D.78°8.如图,点A、B、C在⊙O上,若∠B AC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为()A.π﹣2 B.C.π﹣4 D.9.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()A. B. C. D.10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象过点(﹣1,0),顶点为(1,2),则结论:①abc>0;②x=1时,函数最大值是2;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤2c<3b.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个11.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=5,CD=2.以A为圆心,AD为半径的圆与BC边相切于点M,与AB交于点E,将扇形A﹣DME剪下围成一个圆锥,则圆锥的高为()A.1 B.4 C. D.12.当m,n是实数且满足m﹣n=mn时,就称点Q(m,)为“奇异点”,已知点A、点B是“奇异点”且都在反比例函数y=的图象上,点O是平面直角坐标系原点,则△OAB的面积为()A .1B .C .2D .二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分)13.分解因式:a 2﹣4a+4= .14.若方程x 2+kx+9=0有两个相等的实数根,则k= .15.直角三角形两直角边为3,4,则其外接圆和内切圆半径之和为 .16.如图所示,一个宽为2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动,当刻度尺的一边与光盘相切时,另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位:cm ),那么该光盘的直径是 cm .17.在△ABC 中,点D ,E 分别在AB ,AC 上,且CD 与BE 相交于点F ,已知△BDF 的面积为6,△BCF 的面积为9,△CEF 的面积为6,则四边形ADFE 的面积为 .18.赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴,大正方形的顶点B 1、C 1、C 2、C 3、…、C n 在直线y=﹣x+上,顶点D 1、D 2、D 3、…、D n 在x 轴上,则第n 个阴影小正方形的面积为 .三、解答题(本题有8小题,共78分)19.(6分)计算:﹣|2﹣9tan30°|+()﹣1﹣(1﹣π)0.20.(8分)宁波轨道交通4号线已开工建设,计划2020年通车试运营.为了了解镇民对4号线地铁票的定价意向,某镇某校数学兴趣小组开展了“你认为宁波4号地铁起步价定为多少合适”的问卷调查,并将调查结果整理后制成了如下统计图,根据图中所给出的信息解答下列问题:(1)求本次调查中该兴趣小组随机调查的人数;(2)请你把条形统计图补充完整;(3)如果在该镇随机咨询一位居民,那么该居民支持“起步价为2元或3元”的概率是(4)假设该镇有3万人,请估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有多少人?21.(8分)2014年3月,某海域发生航班失联事件,我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救,分别在A、B两个探测点探测到C处是信号发射点,已知A、B两点相距400m,探测线与海平面的夹角分别是30°和60°,若CD的长是点C到海平面的最短距离.(1)问BD与AB有什么数量关系,试说明理由;(2)求信号发射点的深度.(结果精确到1m,参考数据:≈1.414,≈1.732)22.(10分)如图,已知反比例函数y1=与一次函数y2=k2x+b的图象交于点A(1,8),B(﹣4,m)两点.(1)求k1,k2,b的值;(2)求△AOB的面积;(3)请直接写出不等式x+b的解.23.(10分)某服装店购进一批秋衣,价格为每件30元.物价部门规定其销售单价不高于每件60元,不低于每件30元.经市场调查发现:日销售量y(件)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;x=50时,y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.(1)求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(2)求该服装店销售这批秋衣日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.(3)当销售单价为多少元时,该服装店日获利最大?最大获利是多少元?(10分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE•CA.24.(1)求证:BC=CD;(2)分别延长AB,DC交于点P,若PB=OB,CD=2,求⊙O的半径.25.(12分)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,且其中一个等腰三角形的底角是另一个等腰三角形底角的2倍,我们把这条对角线叫做这个四边形的黄金线,这个四边形叫做黄金四边形.(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD=DC,对角线AC,BD都是黄金线,且AB<AC,CD<BD,求四边形ABCD各个内角的度数;(2)如图2,点B是弧AC的中点,请在⊙O上找出所有的点D,使四边形ABCD的对角线AC 是黄金线(要求:保留作图痕迹);(3)在黄金四边形ABCD中,AB=BC=CD,∠BAC=30°,求∠BAD的度数.26.(14分)已知:如图一,抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线y=x﹣2经过A、C两点,且AB=2.(1)求抛物线的解析式;(2)若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移,且分别交y轴、线段BC于点E,D,同时动点P从点B出发,沿BO方向以每秒2个单位速度运动,(如图2);当点P运动到原点O时,直线DE与点P都停止运动,连DP,若点P运动时间为t秒;设s=,当t为何值时,s有最小值,并求出最小值.(3)在(2)的条件下,是否存在t的值,使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似;若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.2017年浙江省宁波市七校联考中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题(2016•新疆)﹣3的相反数是()A.3 B.﹣3 C.D.﹣【考点】相反数.【分析】根据相反数的概念解答即可.【解答】解:﹣3的相反数是3,故选:A.【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.2.下列计算正确的是()A.B.(a2)3=a5C.2a﹣a=2 D.a•a3=a4【考点】幂的乘方与积的乘方;算术平方根;合并同类项;同底数幂的乘法.【分析】直接利用算术平方根的定义结合幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则分别化简求出答案.【解答】解:A、=4,故此选项错误,不合题意;B、(a2)3=a6,故此选项错误,不合题意;C、2a﹣a=a,故此选项错误,不合题意;D、a•a3=a4,故此选项正确,符合题意;故选:D.【点评】此题主要考查了算术平方根的定义、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、合并同类项等知识,正确掌握相关运算法则是解题关键.3.2016年鄞州区财政收入仍保持持续增长态势,全年财政收入为373.9亿元,其中373.9亿元用科学记数法表示为()A.373.9×108元 B.37.39×109元 C.3.739×1010元D.0.3739×1011【考点】科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:373.9亿元用科学记数法表示3.739×1010元,故选:C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.4.如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体,则它的俯视图是()A.B.C.D.【考点】简单组合体的三视图.【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.【解答】解:从上面看易得上面一层有3个正方形,下面中间有一个正方形.故选A.【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.5.使代数式有意义的x的取值范围为()A.x>2 B.x≠0 C.x<2 D.x≠2【考点】分式有意义的条件.【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可.【解答】解:由题意,得x﹣2≠0,解得x≠2,故选:D.【点评】本题考查的是分式有意义的条件,熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键.6.一组数据为1,5,3,4,5,6,这组数据的众数、中位数分为()A.4,5 B.5,4.5 C.5,4 D.3,2【考点】众数;中位数.【分析】根据众数和中位数的概念求解.【解答】解:这组数据按照从小到大的顺序排列为:1,3,4,5,5,6,则众数为:5,中位数为:4.5.故选B.【点评】本题考查了众数和中位数的知识,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.7.如图,直线l1∥l2,以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l1、l2于点B、C,连接AC、BC.若∠ABC=67°,则∠1=()A.23° B.46° C.67° D.78°【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质.【分析】首先由题意可得:AB=AC,根据等边对等角的性质,即可求得∠ACB的度数,又由直线l1∥l2,根据两直线平行,内错角相等,即可求得∠2的度数,然后根据平角的定义,即可求得∠1的度数.【解答】解:根据题意得:AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=67°,∵直线l1∥l2,∴∠2=∠ABC=67°,∵∠1+∠ACB+∠2=180°,∴∠1=180°﹣∠2﹣∠ACB=180°﹣67°﹣67°=46°.故选B.【点评】此题考查了平行线的性质,等腰三角形的性质.此题难度不大,解题的关键是注意掌握两直线平行,内错角相等与等边对等角定理的应用.8.如图,点A、B、C在⊙O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为()A.π﹣2 B.C.π﹣4 D.【考点】圆周角定理;扇形面积的计算.【分析】先证得△OBC是等腰直角三角形,然后根据S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC即可求得.【解答】解:∵∠BAC=45°,∴∠BOC=90°,∴△OBC是等腰直角三角形,∵OB=2,∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC=π×22﹣×2×2=π﹣2.故选A.【点评】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式,熟记扇形的面积公式是解答此题的关键.9.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()A. B. C. D.【考点】相似三角形的判定.【分析】根据网格中的数据求出AB,AC,BC的长,求出三边之比,利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可.【解答】解:根据题意得:AB==,AC=,BC=2,∴AC:BC:AB=:2: =1::,A、三边之比为1::2,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似;B、三边之比为::3,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似;C、三边之比为1::,图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似;D、三边之比为2::,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似.故选C.【点评】此题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键.10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象过点(﹣1,0),顶点为(1,2),则结论:①abc>0;②x=1时,函数最大值是2;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤2c<3b.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】二次函数图象与系数的关系.【分析】根据抛物线开口向下判断出a<0,再根据对称轴判断出b>0,根据抛物线与y轴的交点判断出c>0,然后根据有理数的乘法判断出①错误;根据抛物线的顶点坐标判断②正确;根据图象,抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0),然后根据x=2时的函数值大于0判断出③正确;根据抛物线对称轴求出④正确;根据x=﹣1时的函数值为0,再把a用b 表示并代入整理得到2c=3b,判断出⑤错误.【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,∵抛物线与y轴的交点在正半轴,∴c>0,∴abc<0,故①错误;∵顶点坐标为(1,2),∴x=1时,函数最大值是2,故②正确;根据对称性,抛物线与x轴的另一交点为(0,3),∴x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,故③正确;∵b=﹣2a,∴2a+b=0,故④正确;当x=﹣1时,y=a﹣b+c=0,∴﹣﹣b+c=0,∴2c=3b,故⑤错误;综上所述,正确的结论有②③④共3个.故选C.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定,要注意特殊值的利用.11.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=5,CD=2.以A为圆心,AD为半径的圆与BC边相切于点M,与AB交于点E,将扇形A﹣DME剪下围成一个圆锥,则圆锥的高为()A.1 B.4 C. D.【考点】切线的性质;圆锥的计算.【分析】如图,作CF⊥AB于F,连接AM.则四边形ADCF是矩形,再证明△AMB≌△CFB,推出BM=BF=3,在Rt△AMB中,AM===4,设圆锥的高为h,底面半径为r,由题意2π•r=•2π•4,推出r=1,由此即可解决问题.【解答】解:如图,作CF⊥AB于F,连接AM.∵AD∥CF,CD∥AF,∴四边形ADCF是平行四边形,∴∠A=90°,∴四边形ADCF是矩形,∴AD=CF=AM,CD=AF=2,∵AB=5,∴BF=3,在△AMB和△CFB中,,∴△AMB≌△CFB,∴BM=BF=3,在Rt△AMB中,AM===4,设圆锥的高为h,底面半径为r,由题意2π•r=•2π•4,∴r=1,∴h==,故选C .【点评】本题考查切线的性质、全等三角形的判定和性质、圆锥的侧面展开图等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.12.当m ,n 是实数且满足m ﹣n=mn 时,就称点Q (m ,)为“奇异点”,已知点A 、点B是“奇异点”且都在反比例函数y=的图象上,点O 是平面直角坐标系原点,则△OAB 的面积为( )A .1B .C .2D . 【考点】反比例函数系数k 的几何意义.【分析】设A (a ,),利用新定义得到a ﹣b=ab ,再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到a•=2,a ﹣=a 3,则可解得a 和b 的值,所以A (﹣2,﹣1),B (1,2),接着利用待定系数法求出直线AB 的解析式.从而得到直线AB 与y 轴的交点坐标,然后根据三角形面积公式计算△OAB 的面积.【解答】解:设A (a ,),∵点A 是“奇异点”,∴a ﹣b=ab ,∵a•=2,则b=,∴a ﹣=a 3, 而a ≠0,整理得a 2+a ﹣2=0,解得a 1=﹣2,a 2=1,当a=﹣2时,b=2;当a=1时,b=,∴A (﹣2,﹣1),B (1,2),设直线AB 的解析式为y=mx+n ,把A(﹣2,﹣1),B(1,2)代入得,解得,∴直线AB与y轴的交点坐标为(0,1),∴△OAB的面积=×1×(2+1)=.故选B.【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义:在反比例函数y=图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|,在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|,且保持不变.二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分)13.分解因式:a2﹣4a+4= (a﹣2)2.【考点】因式分解﹣运用公式法.【分析】根据完全平方公式的特点:两项平方项的符号相同,另一项是两底数积的2倍,本题可用完全平方公式分解因式.【解答】解:a2﹣4a+4=(a﹣2)2.【点评】本题考查用完全平方公式法进行因式分解,能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握.14.若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,则k= ±6 .【考点】根的判别式.【分析】根据根判别式△=b2﹣4ac的意义得到△=0,即k2﹣4×1×9=0,然后解方程即可.【解答】解:∵方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,∴△=0,即k2﹣4•1•9=0,解得k=±6.故答案为±6.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的根判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.15.直角三角形两直角边为3,4,则其外接圆和内切圆半径之和为 3.5 .【考点】三角形的内切圆与内心;三角形的外接圆与外心.【分析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是5,再根据其外接圆的半径等于斜边的一半和内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半进行计算.【解答】解:∵直角三角形两直角边为3,4,∴斜边长==5,∴外接圆半径==2.5,内切圆半径==1,∴外接圆和内切圆半径之和=2.5+1=3.5.故答案为:3.5.【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心,此题要熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公式:外接圆的半径等于斜边的一半;内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半.16.如图所示,一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动,当刻度尺的一边与光盘相切时,另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位:cm),那么该光盘的直径是10 cm.【考点】切线的性质;勾股定理;垂径定理.【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形,然后在直角三角形中已知弦长和弓形高,根据勾股定理求出半径,从而得解.【解答】解:如图,设圆心为O,弦为AB,切点为C.如图所示.则AB=8cm,CD=2cm.连接OC,交AB于D点.连接OA.∵尺的对边平行,光盘与外边缘相切,∴OC⊥AB.∴AD=4cm.设半径为Rcm,则R2=42+(R﹣2)2,解得R=5,∴该光盘的直径是10cm.故答案为:10【点评】此题考查了切线的性质及垂径定理,建立数学模型是关键.17.在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且CD与BE相交于点F,已知△BDF的面积为6,△BCF的面积为9,△CEF的面积为6,则四边形ADFE的面积为24 .【考点】三角形的面积.【分析】可设S△ADF=m,根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系,进而用m表示出△AEF,求出m的值,进而可得四边形的面积.【解答】解:如图,连AF,设S△ADF=m,∵S△BDF:S△BCF=6:9=2:3=DF:CF,则有m=S△AEF+S△EFC,S△AEF=m﹣6,而S△BFC:S△EFC=9:6=3:2=BF:EF,又∵S△ABF:S△AEF=BF:EF=3:2,而S△ABF=m+S△BDF=m+6,∴S△ABF:S△AEF=BF:EF=3:2=(m+6):(m﹣6),解得m=12.S△AEF=12,S ADEF=S△AEF+S△ADF=12+12=24.故答案为:24.【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题,能够利用三角形的性质进行一些简单的计算.18.赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴,大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、C n在直线y=﹣x+上,顶点D1、D2、D3、…、D n在x轴上,则第n个阴影小正方形的面积为.【考点】相似三角形的判定与性质;一次函数的性质.【分析】设第n个大正方形的边长为a n,则第n个阴影小正方形的边长为a n,根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出直线y=﹣x+与y轴的交点坐标,进而即可求出a1的值,再根据相似三角形的性质即可得出a n=a1=,结合正方形的面积公式即可得出结论.【解答】解:设第n个大正方形的边长为a n,则第n个阴影小正方形的边长为a n,当x=0时,y=﹣x+=,∴=a1+a1,∴a1=.∵a1=a2+a2,∴a2=,同理可得:a3=a2,a4=a3,a5=a4,…,∴a n=a1=,∴第n个阴影小正方形的面积为==.故答案为:.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的面积,找出第n个大正方形的边长为a n=a1=是解题的关键.三、解答题(本题有8小题,共78分)19.计算:﹣|2﹣9tan30°|+()﹣1﹣(1﹣π)0.【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.【分析】本题涉及二次根式化简、绝对值、负整数指数幂、零指数幂4个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.【解答】解:﹣|2﹣9tan30°|+()﹣1﹣(1﹣π)0.=3﹣|2﹣9×|+2﹣1=3﹣|2﹣3|+1=3﹣+1=2+1.【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.20.宁波轨道交通4号线已开工建设,计划2020年通车试运营.为了了解镇民对4号线地铁票的定价意向,某镇某校数学兴趣小组开展了“你认为宁波4号地铁起步价定为多少合适”的问卷调查,并将调查结果整理后制成了如下统计图,根据图中所给出的信息解答下列问题:(1)求本次调查中该兴趣小组随机调查的人数;(2)请你把条形统计图补充完整;(3)如果在该镇随机咨询一位居民,那么该居民支持“起步价为2元或3元”的概率是(4)假设该镇有3万人,请估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有多少人?【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图;概率公式.【分析】(1)根据5元在扇形统计图中的圆心角和人数可以解答本题;(2)根据(1)中的答案和统计图中的数据可以求得条形统计图中的未知数据,从而可以将条形统计图补种完整;(3)根据统计图中的数据可以得到该居民支持“起步价为2元或3元”的概率;(4)根据前面求得的数据可以估计该镇支持“起步价为3元”的居民人数.【解答】解:(1)由题意可得,同意定价为5元的所占的百分比为:18°÷360°×100%=5%,∴本次调查中该兴趣小组随机调查的人数为:10÷5%=200(人),即本次调查中该兴趣小组随机调查的人数有200人;(2)由题意可得,2元的有:200×50%=100人,3元的有:200﹣100﹣30﹣10=60人,补全的条形统计图如右图所示;(3)由题意可得,该居民支持“起步价为2元或3元”的概率是:,故答案为:;(4)由题意可得,(人),即该镇支持“起步价为3元”的居民大约有9000人.【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题,注意第(2)问中是求2元和3元的概率,不要误认为求3元和4元的.21.2014年3月,某海域发生航班失联事件,我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救,分别在A、B两个探测点探测到C处是信号发射点,已知A、B两点相距400m,探测线与海平面的夹角分别是30°和60°,若CD的长是点C到海平面的最短距离.(1)问BD与AB有什么数量关系,试说明理由;(2)求信号发射点的深度.(结果精确到1m,参考数据:≈1.414,≈1.732)【考点】解直角三角形的应用.【分析】(1)易证三角形ABC的是等腰三角形,再根据30°所对直角边是斜边的一半可求出DB的长,(2)由(1)结合勾股定理即可求出CD的长.【解答】解:(1)由图形可得∠BCA=30°,∴CB=BA=400米,∴在Rt△CDB中又含30°角,得DB=CB=200米,可知,BD=AB,(2)由勾股定理DC==,=200米,∴点C的垂直深度CD是346米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用,难度适中,解答本题的关键是构造直角三角形,解直角三角形,也考查了把实际问题转化为数学问题的能力.22.(10分)(2017•宁波一模)如图,已知反比例函数y1=与一次函数y2=k2x+b的图象交于点A(1,8),B(﹣4,m)两点.(1)求k1,k2,b的值;(2)求△AOB的面积;(3)请直接写出不等式x+b的解.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】(1)由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式,再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标,根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式;(2)根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出一次函数图象与y轴的交点坐标,再利用分割图形法即可求出△AOB的面积;(3)根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集.【解答】解:(1)∵反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(1,8)、B(﹣4,m),∴k1=1×8=8,m=8÷(﹣4)=﹣2,∴点B的坐标为(﹣4,﹣2).将A(1,8)、B(﹣4,﹣2)代入y2=k2x+b中,,解得:.∴k1=8,k2=2,b=6.(2)当x=0时,y2=2x+6=6,∴直线AB与y轴的交点坐标为(0,6).∴S△AOB=×6×4+×6×1=15.(3)观察函数图象可知:当﹣4<x<0或x>1时,一次函数的图象在反比例函数图象的上方,∴不等式x+b的解为﹣4≤x<0或x≥1.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式,解题的关键是:(1)根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式;(2)利用分割图形法求出△AOB的面积;(3)根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集.23.(10分)(2017•宁波一模)某服装店购进一批秋衣,价格为每件30元.物价部门规定其销售单价不高于每件60元,不低于每件30元.经市场调查发现:日销售量y(件)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;x=50时,y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.(1)求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(2)求该服装店销售这批秋衣日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.(3)当销售单价为多少元时,该服装店日获利最大?最大获利是多少元?【考点】二次函数的应用.【分析】(1)根据y与x成一次函数解析式,设为y=kx+b,把x与y的两对值代入求出k 与b的值,即可确定出y与x的解析式,并求出x的范围即可;(2)根据利润=单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可;(3)利用二次函数的性质求出W的最大值,以及此时x的值即可.【解答】解:(1)设y=kx+b,根据题意得,解得:k=﹣2,故y=﹣2x+200(30≤x≤60);(2)W=(x﹣30)(﹣2x+200)﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2(x﹣65)2+2000;(3)W=﹣2(x﹣65)2+2000,∵30≤x≤60,∴x=60时,w有最大值为1950元,∴当销售单价为60元时,该服装店日获利最大,为1950元.【点评】此题考查了二次函数的应用,待定系数法求一次函数解析式,以及二次函数的性质,熟练掌握二次函数性质是解本题的关键.24.(10分)(2017•宁波一模)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE•CA.(1)求证:BC=CD;(2)分别延长AB,DC交于点P,若PB=OB,CD=2,求⊙O的半径.【考点】相似三角形的判定与性质;圆周角定理.【分析】(1)由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE,可判断△CAD∽△CDE,得到∠CAD=∠CDE,再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD,所以∠CDB=∠CBD,于是利用等腰三角形的判定可得BC=DC;(2)连结OC,如图,设⊙O的半径为r,先证明OC∥AD,利用平行线分线段成比例定理得到==2,则PC=2CD=4,然后证明△PCB∽△PAD,利用相似比得到=,再利用比例的性质可计算出r的值.【解答】(1)证明:∵DC2=CE•CA,∴=,而∠ACD=∠DCE,∴△CAD∽△CDE,∴∠CAD=∠CDE,∵∠CAD=∠CBD,∴∠CDB=∠CBD,∴BC=DC;(2)解:连结OC,如图,设⊙O的半径为r,∵CD=CB,∴=,∴∠BOC=∠BAD,∴OC∥AD,∴===2,∴PC=2CD=4,∵∠PCB=∠PAD,∠CPB=∠APD,∴△PCB∽△PAD,∴=,即=,∴r=4,即⊙O的半径为4.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;或依据基本图形对图形进行分解、组合;或作辅助线构造相似三角形,判定三角形相似的方法有时可单独使用,有时需要综合运用,无论是单独使用还是综合运用,都要具备应有的条件方可.也考查了圆周角定理.。
浙江省宁波市南三县中考数学模拟试卷(4)含答案解析

浙江省宁波市南三县中考数学模拟试卷(4)一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1.(3分)计算:﹣15÷(﹣5)结果正确的是()A.75 B.﹣75 C.3 D.﹣32.(3分)下列交通标志图案中,是中心对称图形的是()A.B.C.D.3.(3分)书架上有a本经济类书,7本数学书,b本小说,5本电脑游戏类书.现某人随意从架子上抽取一本书,若得知取到经济类或者数学书的机会为,则a,b的关系为()A.a=b﹣2 B.a=b+12 C.a+b=10 D.a+b=124.(3分)如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体,那么其三种视图中面积最小的是()A.主视图B.俯视图C.左视图D.一样大5.(3分)下列运算中正确的是()A.a5+a5=2a10B.a5•a5=2a10C.(﹣4a﹣1)(4a﹣1)=1﹣16a2D.(a﹣2b)2=a2﹣4b26.(3分)如图,AB∥CD,∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H,∠K﹣∠H=27°,则∠K=()A.76°B.78°C.80°D.82°7.(3分)抛物线y=x2+4x+5是由抛物线y=x2+1经过某种平移得到,则这个平移可以表述为()A.向左平移1个单位B.向左平移2个单位C.向右平移1个单位D.向右平移2个单位8.(3分)下列命题中,真命题的个数有()①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.③两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补.④内错角相等,两直线平行.A.4 B.3 C.2 D.19.(3分)如图:二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,若AC⊥BC,则a的值为()A.﹣ B.﹣ C.﹣1 D.﹣210.(3分)如图,AB为⊙O的直径,过B作⊙O的切线,在该切线上取点C,连接AC交⊙O于D,若⊙O的半径是6,∠C=36°,则劣弧AD的长是()A.πB.πC.πD.3π二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)11.(4分)据最新统计,苏州市常住人口约为1062万人.数据10 620 000用科学记数法可表示为.12.(4分)分解因式:a2﹣a+2=.13.(4分)教室里有几名学生,这个时候一位身高170厘米的老师走进了教室,使得教室里所有人的平均身高从140厘米变成了145厘米,使得所有人的平均体重从35千克变成了39千克,则老师的体重是千克.14.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连接DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.已知tan∠BPD=,CE=2,则△ABC的周长是.15.(4分)如图,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分△ABC的周长,则DE的长是.16.(4分)已知在平面直角坐标系中有两点A(0,1),B(﹣1,0),动点P在反比例函数y=的图象上运动,当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时,点P 的坐标为.三.解答题(共8小题,满分66分)17.(6分)化简计算①π0+2﹣1﹣﹣|1﹣|②﹣2③﹣(+2)④3﹣9+3⑤÷﹣×+.18.(6分)解不等式组;19.(6分)已知:如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于E,BF平分∠CBD,交CD于F.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)当AD与BD满足什么关系时,四边形DEBF是矩形?请说明理由.20.(8分)如图,反比例函数y=(k≠0,x<0)的图象过等边△AOB的顶点A.已如点B在x轴上,且B(﹣4,0).(1)求反比例函数的表达式;(2)若要使点B在上述反比例函数的图象上,需将△AOB向上平移多少个单位长度?21.(8分)某校九年级开展征文活动,征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题选择一个,九年级每名学生按要求都上交了一份征文,学校为了解选择各种征文主题的学生人数,随机抽取了部分征文进行了调查,根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.(1)求共抽取了多少名学生的征文;(2)将上面的条形统计图补充完整;(3)在扇形统计图中,选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少;(4)如果该校九年级共有1200名学生,请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名.22.(10分)如图,已知A、B是⊙O上两点,△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C,CD⊥AB交AB的延长线于D.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)E为的中点,F为⊙O上一点,EF交AB于G,若tan∠AFE=,BE=BG,EG=3,求⊙O的半径.23.(10分)A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行,s(千米)表示汽车与甲地的距离,t(分)表示汽车行驶的时间,如图,L1,L2分别表示两辆汽车的s与t的关系.(1)L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系?(2)汽车B的速度是多少?(3)求L1,L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式.(4)2小时后,两车相距多少千米?(5)行驶多长时间后,A、B两车相遇?24.(12分)抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(,0),且与y 轴相交于点C.(1)求这条抛物线的表达式;(2)求∠ACB的度数;(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC 上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.浙江省宁波市南三县中考数学模拟试卷(4)参考答案与试题解析一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1.【解答】解:﹣15÷(﹣5)=3,故选:C.2.【解答】解:四张交通标志图案的卡片中,只有第三张为中心对称图形.故选:C.3.【解答】解:由已知可得a+7=,解得a+2=b,即a=b﹣2.故选A.4.【解答】解:如图,该几何体正视图是由5个小正方形组成,左视图是由3个小正方形组成,俯视图是由5个小正方形组成,故三种视图面积最小的是左视图.故选:C.5.【解答】解:A、a5+a5=2a5,故本选项错误;B、a5•a5=a10,故本选项错误;C、(﹣4a﹣1)(4a﹣1)=(﹣1)2﹣(4a)2=1﹣16a2,故本选项正确;D、(a﹣2b)2=a2﹣4ab+4b2,故本选项错误;故选:C.6.【解答】解:如图,分别过K、H作AB的平行线MN和RS,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥RS∥MN,∴∠RHB=∠ABE=∠ABK,∠SH C=∠DCF=∠DCK,∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°,∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣(∠ABK+∠DCK),∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣(180°﹣∠ABK)﹣(180°﹣∠DCK)=∠ABK+∠DCK﹣180°,∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC,又∠BKC﹣∠BHC=27°,∴∠BHC=∠BKC﹣27°,∴∠BKC=180°﹣2(∠BKC﹣27°),∴∠BKC=78°,故选:B.7.【解答】解:原抛物线的顶点为(0,1),新抛物线的顶点为(﹣2,1),∴是抛物线y=x2+1向左平移2个单位得到,故选:B.8.【解答】解:①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行是真命题.②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是真命题.③两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补是假命题.④内错角相等,两直线平行是真命题.故选:B.9.【解答】解:设A(x1,0)(x1<0),B(x2,0)(x2>0),C(0,t),∵二次函数y=ax2+bx+2的图象过点C(0,t),∴t=2;∵AC⊥BC,∴OC2=OA•OB,即4=|x1x2|=﹣x1x2,根据韦达定理知x1x2=,∴a=﹣.故选:A.10.【解答】解:连接BD,OD,∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,∵BC与圆O相切,∴AB⊥BC,即∠ABC=90°,∵∠C=36°,∴∠ABD=36°,∵OB=OD,∴∠ABD=∠ODB=36°,∴∠AOD=72°,则劣弧AD的长为=π.故选:C.二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)11.【解答】解:数据10 620 000用科学记数法可表示为1.062×107,故答案为:1.062×107.12.【解答】解:a2﹣a+2=(a2﹣6a+9)=(a﹣3)2.故答案为:(a﹣3)2.13.【解答】解:设学生人数为x名,依题意有140x+170=145(x+1),解得x=5,39×(5+1)﹣35×5=234﹣175=59(千克).答:老师的体重是59千克.故答案为:59.14.【解答】解:过D点作DQ⊥AC于点Q.则△DQE与△PCE相似,设AQ=a,则QE=1﹣a.∴且tan∠BPD=,∴DQ=2(1﹣a).∵在Rt△ADQ中,据勾股定理得:AD2=AQ2+DQ2即:12=a2+【2(1﹣a)】2,解之得a=1(不合题意,舍去),或a=.∵△ADQ与△ABC相似,∴====.∴AB=5AD=5,BC=5DQ=4,AC=5AQ=3,∴三角形ABC的周长是:AB+BC+AC=5+4+3=12;故答案为:12.15.【解答】解:延长BC至M,使CM=CA,连接AM,作CN⊥AM于N,∵DE平分△ABC的周长,∴ME=EB,又AD=DB,∴DE=AM,DE∥AM,∵∠ACB=60°,∴∠ACM=120°,∵CM=CA,∴∠ACN=60°,AN=MN,∴AN=AC•sin∠ACN=,∴AM=,∴DE=,故答案为:.16.【解答】解:如图,设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(0,1)、B(﹣1,0)代入,得:,解得:,∴直线AB的解析式为y=x+1,直线AB与双曲线y=的交点即为所求点P,此时|PA﹣PB|=AB,即线段PA与线段PB之差的绝对值取得最大值,由可得或,∴点P的坐标为(1,2)或(﹣2,﹣1),故答案为:(1,2)或(﹣2,﹣1).三.解答题(共8小题,满分66分)17.【解答】解:①原式=1+﹣﹣(﹣1)=2﹣.②原式=2+1﹣2=1.③原式=2﹣2﹣2=﹣2.④原式=12﹣3+6=15.⑤原式=4﹣+2=4+.18.【解答】解:由①得:x>,由②得:x<8,故不等式组的解集为:<x<8.19.【解答】证明:(1)∵▱ABCD,∴AD=BC,∠A=∠C,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵DE平分∠ADB,BF平分∠CBD,∴∠ADE=∠CBF,在△ADE与△CBF中,∴△ADE≌△CBF(ASA),(2)当AD=BD时,∵DE平分∠ADB,∴DE⊥BE,∴∠DEB=90°,∵△ADE≌△CBF,∴DE=BF,∵∠EDB=∠DBF,∴DE∥BF,∴四边形DEBF是平行四边形,∵∠DEB=90°,∴平行四边形DEBF是矩形.20.【解答】解:(1)过A作AD⊥OB于D,∵B(﹣4,0),∴OB=4,∵△AOB是等边三角形,∴OD=2,AD==2,∵反比例函数y=(k≠0,x<0)的图象过等边三角形AOB的顶点A,∴A(﹣2,2),∴k=﹣2×2=﹣4,∴反比例函数的表达式为:y=﹣;(2)∵B(﹣4,0),∵当x=﹣4时,y=﹣=,∴要使点B在上述反比例函数的图象上,需将△AOB向上平移个单位长度.21.【解答】解:(1)本次调查共抽取的学生有3÷6%=50(名).(2)选择“友善”的人数有50﹣20﹣12﹣3=15(名),条形统计图如图所示:(3)∵选择“爱国”主题所对应的百分比为20÷50=40%,∴选择“爱国”主题所对应的圆心角是40%×360°=144°;(4)该校九年级共有1200名学生,估计选择以“友善”为主题的九年级学生有1200×30%=360名.22.【解答】(1)证明:连接OC,如图,∵BC平分∠OBD,∴∠OBD=∠CBD,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OCB=∠CBD,∴OC∥AD,而CD⊥AB,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线;(2)解:连接OE交AB于H,如图,∵E为的中点,∴OE⊥AB,∵∠ABE=∠AFE,∴tan∠ABE=tan∠AFE=,∴在Rt△BEH中,tan∠HBE==设EH=3x,BH=4x,∴BE=5x,∵BG=BE=5x,∴GH=x,在Rt△EHG中,x2+(3x)2=(3)2,解得x=3,∴EH=9,BH=12,设⊙O的半径为r,则OH=r﹣9,在Rt△OHB中,(r﹣9)2+122=r2,解得r=,即⊙O的半径为.23.【解答】解:(1)由函数图形可知汽车B是由乙地开往甲地,故L1表示汽车B 到甲地的距离与行驶时间的关系;(2)(330﹣240)÷60=1.5(千米/分);(3)设L1为s1=kt+b,把点(0,330),(60,240)代入得k=﹣1.5,b=330所以s1=﹣1.5t+330;设L2为s2=k′t,把点(60,60)代入得k′=1所以s2=t;(4)当t=120时,s1=180,s2=120330﹣180﹣120=30(千米);所以2小时后,两车相距30千米;(5)当s1=s2时,﹣1.5t+330=t解得t=132即行驶132分钟,A、B两车相遇.24.【解答】解:(1)当x=0,y=3,∴C(0,3).设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣).将C(0,3)代入得:﹣a=3,解得:a=﹣2,∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+x+3.(2)过点B作BM⊥AC,垂足为M,过点M作MN⊥OA,垂足为N.∵OC=3,AO=1,∴tan∠CAO=3.∴直线AC的解析式为y=3x+3.∵AC⊥BM,∴BM的一次项系数为﹣.设BM的解析式为y=﹣x+b,将点B的坐标代入得:﹣×+b=0,解得b=.∴BM的解析式为y=﹣x+.将y=3x+3与y=﹣x+联立解得:x=﹣,y=.∴MC=BM═=.∴△MCB为等腰直角三角形.∴∠ACB=45°.(3)如图2所示:延长CD,交x轴与点F.∵∠ACB=45°,点D是第一象限抛物线上一点,∴∠ECD>45°.又∵△DCE与△AOC相似,∠AOC=∠DEC=90°,∴∠CAO=∠ECD.∴CF=AF.设点F的坐标为(a,0),则(a+1)2=32+a2,解得a=4.∴F(4,0).设CF的解析式为y=kx+3,将F(4,0)代入得:4k+3=0,解得:k=﹣.∴CF的解析式为y=﹣x+3.将y=﹣x+3与y=﹣2x2+x+3联立:解得:x=0(舍去)或x=.将x=代入y=﹣x+3得:y=.∴D(,).。
2023年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析

2023年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题(每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.(4分)在﹣2,﹣1,0,π这四个数中,最小的数是()A.﹣2B.﹣1C.0D.π2.(4分)下列计算正确的是()A.x2+x=x3B.x6÷x3=x2C.(x3)4=x7D.x3•x4=x7 3.(4分)据中国宁波网消息:2023年一季度宁波全市实现地区生产总值380180000000元,同比增长4.5%.数380180000000用科学记数法表示为()A.0.38018×1012B.3.8018×1011C.3.8018×1010D.38.018×1010 4.(4分)如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的,它的主视图是()A.B.C.D.5.(4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.6.(4分)甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数(单位:环)及方差S2(单位:环2)如下表所示:甲乙丙丁9899 S2 1.20.4 1.80.4根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应选择()A.甲B.乙C.丙D.丁7.(4分)如图,一次函数y1=k1x+b(k1>0)的图象与反比例函数y2=(k2>0)的图象相交于A,B两点,点A的横坐标为1,点B的横坐标为﹣2,当y1<y2时,x的取值范围是()A.x<﹣2或x>1B.x<﹣2或0<x<1C.﹣2<x<0或x>1D.﹣2<x<0或0<x<18.(4分)茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一,是助力乡村振兴的民生产业.某村有土地60公顷,计划将其中10%的土地种植蔬菜,其余的土地开辟为茶园和种植粮食,已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷,问茶园和种粮食的面积各多少公顷?设茶园的面积为x公顷,种粮食的面积为y公顷,可列方程组为()A.B.C.D.9.(4分)已知二次函数y=ax2﹣(3a+1)x+3(a≠0),下列说法正确的是()A.点(1,2)在该函数的图象上B.当a=1且﹣1≤x≤3时,0≤y≤8 C.该函数的图象与x轴一定有交点D.当a>0时,该函数图象的对称轴一定在直线x=的左侧10.(4分)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连结AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S﹣S1﹣S2的值,只需知道()A.△ABE的面积B.△ACD的面积C.△ABC的面积D.矩形BCDE的面积二、填空题(每小题5分,共30分)11.(5分)分解因式:x2﹣y2=.12.(5分)要使分式有意义,x的取值应满足.13.(5分)一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球,它们除颜色外其余相同.从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为.14.(5分)如图,圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm,母线长为50cm,则烟囱帽的侧面积为cm2.(结果保留π)15.(5分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,E为AB边上一点,以AE为直径的半圆O 与BC相切于点D,连结AD,BE=3,BD=3.P是AB边上的动点,当△ADP为等腰三角形时,AP的长为.16.(5分)如图,点A,B分别在函数y=(a>0)图象的两支上(A在第一象限),连结AB交x轴于点C.点D,E在函数y=(b<0,x<0)图象上,AE∥x轴,BD∥y轴,连结DE,BE.若AC=2BC,△ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,则a﹣b 的值为,a的值为.三、解答题(本大题有8小题,共80分)17.(8分)计算:(1)(1+)0+|﹣2|﹣;(2)(a+3)(a﹣3)+a(1﹣a).18.(8分)在4×4的方格纸中,请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB,再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′.(2)将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,画出经旋转后的△A′B′C.19.(8分)如图,已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,﹣2)和B(0,﹣5).(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.(2)当y≤﹣2时,请根据图象直接写出x的取值范围.20.(10分)宁波象山作为杭州亚运会分赛区,积极推进各项准备工作.某校开展了亚运知识的宣传教育活动,为了解这次活动的效果,从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分为100分,得分x均为不小于60的整数),并将测试成绩分为四个等第:合格(60≤x<70),一般(70≤x<80),良好(80≤x<90),优秀(90≤x≤100),制作了如下统计图(部分信息未给出).由图中给出的信息解答下列问题:(1)求测试成绩为一般的学生人数,并补全频数分布直方图.(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.(3)这次测试成绩的中位数是什么等级?(4)如果全校学生都参加测试,请你根据抽样测试的结果,估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人?21.(10分)某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角,利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪,如图1所示.(1)如图2,在P点观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上A,B两点均在视线PC上时,测得视线与铅垂线所夹的锐角为α,设仰角为β,请直接用含α的代数式示β.(2)如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度,该小组利用自制简易测角仪在点B,C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°,∠ACD为45°,地面上点B,C,D在同一水平直线上,BC=20m,求气球A离地面的高度AD.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)22.(10分)某校与部队联合开展红色之旅研学活动,上午7:00,部队官兵乘坐军车从营地出发,同时学校师生乘坐大巴从学校出发,沿公路(如图1)到爱国主义教育基地进行研学.上午8:00,军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行,到达仓库后,部队官兵下车领取研学物资,然后乘坐军车按原速前行,最后和师生同时到达基地,军车和大巴离营地的路程s(km)与所用时间t(h)的函数关系如图2所示.(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值.(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间.23.(12分)定义:有两个相邻的内角是直角,并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形,相等两邻边的夹角称为邻等角.(1)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,对角线BD平分∠ADC.求证:四边形ABCD为邻等四边形.(2)如图2,在6×5的方格纸中,A,B,C三点均在格点上,若四边形ABCD是邻等四边形,请画出所有符合条件的格点D.(3)如图3,四边形ABCD是邻等四边形,∠DAB=∠ABC=90°,∠BCD为邻等角,连结AC,过B作BE∥AC交DA的延长线于点E.若AC=8,DE=10,求四边形EBCD 的周长.24.(14分)如图1,锐角△ABC内接于⊙O,D为BC的中点,连结AD并延长交⊙O于点E,连结BE,CE,过C作AC的垂线交AE于点F,点G在AD上,连结BG,CG,若BC平分∠EBG且∠BCG=∠AFC.(1)求∠BGC的度数.(2)①求证:AF=BC.②若AG=DF,求tan∠GBC的值,(3)如图2,当点O恰好在BG上且OG=1时,求AC的长.2023年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.【分析】正数>0>负数,两个负数比较大小,绝对值大的反而小,据此进行判断即可.【解答】解:∵|﹣2|=2,|﹣1|=1,2>1,∴﹣1>﹣2,∴π>0>﹣1>﹣2,则最小的数为:﹣2,故选:A.【点评】本题考查实数的大小比较,此为基础且重要知识点,必须熟练掌握.2.【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂除法、幂的乘方以及同底数幂乘法的运算法则计算即可.【解答】解:A、x2和x不是同类项,不能进行合并,故选项不符合题意;B、x6÷x3=x3,原式计算错误,故选项不符合题意;C、(x3)4=x12,原式计算错误,故选项不符合题意;D、x3•x4=x7,运算计算正确,故选项符合题意.故选:D.【点评】本题考查了合并同类项的法则、同底数幂除法、幂的乘方以及同底数幂乘法的运算法则,解题的关键是熟记相关的运算法则并灵活运用.3.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.【解答】解:380180000000=3.8018×1011.故选:B.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.4.【分析】根据从正面看得到的图形是主视图判断即可.【解答】解:从正面看,上边是一个长方形,下边也是一个长方形,故选:A.【点评】本题考查了简单几何体的三视图,需掌握:从正面看得到的图形是主视图,从上面看得到的图形是俯视图,从左面看得到的图形是左视图.5.【分析】解出每个不等式,取公共解集,再表示在数轴上即可.【解答】解:,解不等式①得:x>﹣1,解不等式②得:x≤1,∴﹣1<x≤1,解集表示在数轴上如图:故选:C.【点评】本题考查解一元一次不等式组,解题的关键是掌握取公共解集的方法.6.【分析】根据平均环数比较成绩的优劣,根据方差比较数据的稳定程度.【解答】解:由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等,且大于乙的平均数,∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛,∵甲、丙、丁三人中,丁的方差较小,∴丁发挥最稳定,∴选择丁参加比赛.故选:D.【点评】本题考查的是方差和算术平均数,掌握方差反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,方差越小,数据越稳定是解题的关键.7.【分析】根据图象即可.【解答】解:由图象可知,当y1<y2时,x的取值范围是x<﹣2或0<x<1,故选:B.【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合.8.【分析】根据“茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷”和“茶园的面积与种粮食面积的和为54公顷”列方程组求解.【解答】解:设茶园的面积为x公顷,种粮食的面积为y公顷,由题意得:,故选:B.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,找到相等关系是解题的关键.9.【分析】将点(1,2)代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断;将a=1代入抛物线的解析式求出顶点坐标为(2,﹣1),据此可对选项B进行判断;令y=0,则ax2﹣(3a+1)x+3=0,然后判断该方程判别式的符号即可对选项C进行判断;求出抛物线的解析式为:,然后根据a>0得,据此可对选项C进行判断.【解答】解:①对于y=ax2﹣(3a+1)x+3,当x=1时,y=a×12﹣(3a+1)×1+3=2﹣2a∵a≠0,∴y=2﹣2a≠2,∴点A(1,2)不在该函数的图象上,故选项A不正确;②当x=1时,抛物线的解析式为:y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线的顶点坐标为(2,﹣1),即当x=2时,y=﹣1<0,故得选项B不正确;③令y=0,则ax2﹣(3a+1)x+3=0,∵Δ=[﹣(3a+1)]2﹣4a×3=(3a﹣1)2≥0,∴该函数的图象与x轴一定有交点,故选项C正确;④∵该抛物线的对称轴为:,又∵a>0,∴,∴该抛物线的对称轴一定在直线的右侧,故选项D不正确.故选:C.【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质,解答此题的关键是熟练掌握求二次函数的顶点、对称轴以及判定与x轴有无交点的方法.10.【分析】作AG⊥ED于点G,交BC于点F,可证明四边形BFGE是矩形,AF⊥BC,可推导出S﹣S1﹣S2=ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG=ED•AG﹣FG•ED=BC•AF ,所以只需知道S△ABC,就可求出S﹣S1﹣S2的值,于是得到问题的答案.=S△ABC【解答】解:作AG⊥ED于点G,交BC于点F,∵四边形BCDE是矩形,∴∠FBE=∠BEG=∠FGE=90°,BC∥ED,BC=ED,BE=CD,∴四边形BFGE是矩形,∠AFB=∠FGE=90°,∴FG=BE=CD,AF⊥BC,∴S﹣S1﹣S2=ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG=ED•AG﹣FG•ED=BC•AF=S△ABC,,就可求出S﹣S1﹣S2的值,∴只需知道S△ABC故选:C.【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、三角形的面积公式、矩形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.二、填空题(每小题5分,共30分)11.【分析】因为是两个数的平方差,所以利用平方差公式分解即可.【解答】解:x2﹣y2=(x+y)(x﹣y).故答案是:(x+y)(x﹣y).【点评】本题考查了平方差公式因式分解,熟记平方差公式的特点:两项平方项,符号相反,是解题的关键.12.【分析】当分母不等于0时,分式有意义.【解答】解:由题意得:x﹣2≠0,解得:x≠2,故答案为:x≠2.【点评】本题考查了分式有意义的条件,掌握解不等式的方法是解题的关键.13.【分析】根据概率公式可知,用绿球的个数除以球的总数即可.【解答】解:∵袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球,∴从袋中任意摸出一个球是绿球的概率为.故答案为:.【点评】此题考查了概率公式,熟知概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.14.【分析】根据扇形面积公式计算即可.【解答】解:烟囱帽的侧面积为:×2π×30×50=1500π(cm2),故答案为:1500π.【点评】本题考查的是圆锥的计算,熟记圆锥的侧面展开图是扇形以及扇形面积公式是解题的关键.15.【分析】连接OD,DE,根据切线的性质和勾股定理求出OD=6,然后分三种情况讨论:①当AP=PD时,此时P与O重合,②如图2,当AP′=AD时,③如图3,当DP′′=AD时,分别进行求解即可.【解答】解:如图1,连接OD,DE,∵半圆O与BC相切于点D,∴OD⊥BC,在Rt△OBD中,OB=OE+BE=OD+3,BD=3.∴OB2=BD2+OD2,∴(OD+3)2=(3)2+OD2,解得OD=6,∴AO=EO=OD=6,①当AP=PD时,此时P与O重合,∴AP=AO=6;②如图2,当AP′=AD时,在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴AC⊥BC,∴OD∥AC,∴△BOD∽△BAC,∴==,∴==,∴AC=10,CD=2,∴AD===2,∴AP′=AD=2;③如图3,当DP′′=AD时,∵AD=2,∴DP′′=AD=2,∵OD=OA,∴∠ODA=∠BAD,∴OD∥AC,∴∠ODA=∠CAD,∴∠BAD=∠CAD,∴AD平分∠BAC,过点D作DH⊥AE于点H,∴AH=P″H,DH=DC=2,∵AD=AD,∴Rt△ADH≌Rt△ADC(HL),∴AH=AC=10,∴AH=AC=P″H=10,∴AP″=2AH=20(E为AB边上一点,不符合题意,舍去),综上所述:当△ADP为等腰三角形时,AP的长为6或2.故答案为:6或2.【点评】此题属于圆的综合题,考查了切线的性质,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,综合性强,解决本题的关键是利用分类讨论思想.16.【分析】依据题意,设A(m,),再由AE∥x轴,BD∥y轴,AC=2BC,可得B(﹣2m,﹣),D(﹣2m,﹣),E(,),再结合△ABE的面积为9,四边形ABDE 的面积为14,即可得解.【解答】解:设A(m,),∵AE∥x轴,且点E在函数y=上,∴E(,).∵AC=2BC,且点B在函数y=上,∴B(﹣2m,﹣).∵BD∥y轴,点D在函数y=上,∴D(﹣2m,﹣).∵△ABE的面积为9,=AE×(+)=(m﹣)(+)=m••==9.∴S△ABE∴a﹣b=12.∵△ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,∴S△BDE=DB•(+2m)=(﹣+)()m=(a﹣b)••()•m=3()=5.∴a=﹣3b.又a﹣b=12.∴a=9.故答案为:12,9.【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质,解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键.三、解答题(本大题有8小题,共80分)17.【分析】(1)根据零指数幂的定义、绝对值的代数意义以及二次根式的性质解答即可;(2)根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可.【解答】解:(1)(1+)0+|﹣2|﹣=1+2﹣3=0;(2)(a+3)(a﹣3)+a(1﹣a)=a2﹣9+a﹣a2=a﹣9.【点评】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算,解题的关键是掌握零指数幂的定义、平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则.18.【分析】(1)根据等腰三角形的定义,平移变换的性质作出图形即可;(2)根据旋转变换的性质作出图形即可.【解答】解:(1)如图1,△P′A′B′即为所求;(2)如图2,△A′B′C即为所求.【点评】本题考查作图﹣旋转变换,平移变换,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.19.【分析】(1)用待定系数法求出函数表达式,配成顶点式即可得顶点坐标;(2)求出A关于对称轴的对称点坐标,由图象直接可得答案.【解答】解:(1)把A(1,﹣2)和B(0,﹣5)代入y=x2+bx+c得:,解得,∴二次函数的表达式为y=x2+2x﹣5,∵y=x2+2x﹣5=(x+1)2﹣6,∴顶点坐标为(﹣1,﹣6);(2)如图:∵点A(1,﹣2)关于对称轴直线x=﹣1的对称点C(﹣3,﹣2),∴当y≤﹣2时,x的范围是﹣3≤x≤1.【点评】本题考查二次函数图象及性质,解题的关键是掌握待定系数法,求出函数表达式.20.【分析】(1)由优秀人数及其所占百分比求出总人数,再根据四个等级人数之和等于总人数求出一般等级人数,从而补全图形;(2)用360°乘以样本中“良好”等级人数所占比例即可;(3)根据中位数的定义求解即可;(4)用总人数乘以样本中良好和优秀人数和所占比例即可.【解答】解:(1)被调查的总人数为40÷20%=200(人),测试成绩为一般的学生人数为200﹣(30+40+70)=60(人),补全图形如下:(2)360°×=126°,答:扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为126°;(3)这组数据的中位数是第100、101个数据的平均数,而这2个数据均落在良好等级,所以这次测试成绩的中位数是良好;(4)1200×=660(人),答:估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有660人.【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是计算出抽取的人数,利用数形结合的思想解答.21.【分析】(1)由已知直接可得答案;(2)设AD=xm,可得CD=AD=xm,BD=(20+x)m,而tan∠ABD=,有0.75=,即可解得答案.【解答】解:(1)根据题意得:β=90°﹣α;(2)设AD=xm,∵∠ACD=45°,∠ADB=90°,∴CD=AD=xm,∵BC=20m,∴BD=(20+x)m,在Rt△ABD中,tan∠ABD=,∴tan37°=,即0.75=,解得:x=60,∴AD=60(m),答:气球A离地面的高度AD是60m.【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题,解题的关键是掌握锐角三角函数的定义.22.【分析】(1)求出大巴速度为=40(km/h),即得s=20+40t;令s=100得a=2;(2)求出军车速度为60÷1=60(km/h),设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh,可得:60(2﹣x)=100,即可解得答案.【解答】解:(1)由函数图象可得,大巴速度为=40(km/h),∴s=20+40t;当s=100时,100=20+40t,解得t=2,∴a=2;∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s=20+40t,a的值为2;(2)由函数图象可得,军车速度为60÷1=60(km/h),设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh,根据题意得:60(2﹣x)=100,解得:x=,答:部队官兵在仓库领取物资所用的时间为h.【点评】本题考查一次函数的应用,解题的关键是读懂题意,能从函数图象中获取有用的信息.23.【分析】(1)根据邻等四边形定义证明即可;(2)根据邻等四边形定义利用网格即可画图;(3)先证明四边形AEBC是平行四边形,得AE=BC=DC,设AE=BC=DC=x,得AD =DE﹣AE=10﹣x,过点D作DF⊥BC于点F,得矩形ABFD,得AB=DF,AD=BF=10﹣x,所以CF=BC﹣BF=x﹣(10﹣x)=2x﹣10,根据勾股定理得82﹣x2=x2﹣(2x ﹣10)2,求出x的值,进而可得四边形EBCD的周长.【解答】(1)证明:在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∴∠ABC=180°﹣∠A=90°,∵对角线BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠CBD=∠CDB,∴CD=CB,∴四边形ABCD为邻等四边形;(2)解:如下3个图,点D′、D、D″即为所求;(3)解:如图3,四边形ABCD是邻等四边形,∴CD=CB,∵∠DAB=∠ABC=90°,∴AD∥BC,∵BE∥AC,∴四边形AEBC是平行四边形,∴EB=AC=8,AE=BC,∴AE=BC=DC,设AE=BC=DC=x,∵DE=10,∴AD=DE﹣AE=10﹣x,过点D作DF⊥BC于点F,得矩形ABFD,∴AB=DF,AD=BF=10﹣x,∴CF=BC﹣BF=x﹣(10﹣x)=2x﹣10,在Rt△ABE和Rt△DFC中,根据勾股定理得:BE2﹣AE2=AB2,CD2﹣CF2=DF2,∴BE2﹣AE2=CD2﹣CF2,∴82﹣x2=x2﹣(2x﹣10)2,整理得x2﹣20x+82=0,解得x1=10﹣3,x2=10+3(不符合题意,舍去),∴CD=CB=10﹣3,∴四边形EBCD的周长=BE+DE+2CD=8+10+2×(10﹣3)=38﹣6.【点评】本题属于四边形的综合题,考查了邻等四边形定义,矩形的判定与性质,勾股定理,一元二次方程,解决本题的关键是理解邻等四边形定义.24.【分析】(1)根据同弧圆周角相等得∠EBC=∠EAC,然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题;(2)①证明△ACF≌△BGC(ASA),即可解决问题;②过点C作CH⊥EG于点H,设AG=DF=2x,根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题;(3)过点O作OM⊥BE于点M,连结OC交AE于点N,分别证明△EBD≌△NCD(ASA),△COG≌△OBM(AAS),得BM=OG=1,设OB=OC=r,然后由△GON∽△GBE,对应边成比例,求出r的值,进而可求AC的长.【解答】(1)解:∵BC平分∠EBG,∴∠EBC=∠CBG,∵∠EBC=∠EAC,∴∠CBG=∠EAC,∵AC⊥FC,∴∠AFC+∠EAC=90°,∵∠BCG=∠AFC,∴∠BCG+∠CBG=90°,∴∠BGC=90°;(2)①证明:∵∠BGC=90°,D为BC中点,∴GD=CD,∴∠DGC=∠DCG,∵∠BCG=∠AFC,∴∠DGC=∠AFC,∴CF=CG,∵∠ACF=∠BGC=90°,∴△ACF≌△BGC(ASA),∴AF=BC;②解:如图1,过点C作CH⊥EG于点H,设AG=DF=2x,∵△ACF≌△BGC,∴AF=BC=2DG,∴CD=DG=AG+DF=4x,∵CF=CG,∴HG=HF=3x,∴DH=x,AH=5x,∴CH===x,∴tan∠GBC=tan∠CAF==,∴tan∠GBC的值为;(3)解:如图2,过点O作OM⊥BE于点M,连结OC交AE于点N,∵OB=OC,∴∠CBE=∠OBC=∠OCB,∴OC∥BE,∵BD=CD,∠BDE=∠CDN,∴△EBD≌△NCD(ASA),∴BE=CN,∵OC∥BE,∴∠GOC=∠MBO,∵∠CGO=∠OMB=90°,OC=OB,∴△COG≌△OBM(AAS),∴BM=OG=1,∵OM⊥BE,∴CN=BE=2BM=2,设OB=OC=r,∵OC∥BE,∴△GON∽△GBE,∴=,∴=,解得r =或r =(舍去),∴AC=BG=BO+OG=r+1=.∴AC 的长为.【点评】本题属于圆综合题,考查了垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定与性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用参数构建方程解决问题。
浙江省宁波市宁海县中考数学模拟试卷(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

2016年某某省某某市某某县中考数学模拟试卷一、选择题1.在﹣5,2,﹣1,3这四个数中,比﹣2小的数是()A.﹣5 B.2 C.﹣1 D.32.下列计算正确的是()A.a2•a3=a6B.(﹣2ab)2=4a2b2C.(a2)3=a5D.3a3b2÷a2b2=3ab×107×107,结果用科学记数法表示为()×107×106C.1×107D.1×1064.在某班组织的跳绳比赛中,第一小组五位同学跳绳次数分别为198,230,220,216,209,则这五个数据的中位数为()A.220 B.218 C.216 D.2095.下列正多边形的地砖中,不能铺满地面的正多边形是()A.正三角形 B.正方形C.正五边形 D.正六边形6.估计的值在()A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间7.如图,直线l1,l2,l3交于一点,直线l4∥l1,若∠1=124°,∠2=88°,则∠3的度数为()A.26° B.36° C.46° D.56°8.某厂接到加工720件衣服的订单,预计每天做48件,正好按时完成,后因客户要求提前5天交货,设每天应多做x件才能按时交货,则x应满足的方程为()A.B. =C.D.9.如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知AD平分∠BAC交⊙O于点D,AD=5,BD=2,则DE的长为()A.B.C.D.10.如图,在4×4正方形网格中,任选取一个白色的小正方形并涂黑,使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是()A.B.C.D.11.如图,正方形ABCD的边长为4,点P、Q分别是CD、AD的中点,动点E从点A向点B 运动,到点B时停止运动;同时,动点F从点P出发,沿P→D→Q运动,点E、F的运动速度相同.设点E的运动路程为x,△AEF的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是()A.B.C.D.12.把2X形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为m,宽为n)的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.阴影部分刚好能分割成两X形状大小不同的小长方形卡片(如图③),则分割后的两个阴影长方形的周长和是()A.4m B.2(m+n) C.4n D.4(m﹣n)二、填空题13.6的平方根为.14.分解因式:2a2﹣2=.15.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是命题.(填入“真”或“假”)16.若关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y<2,则a的取值X围为.17.如图,△ABC中,CA=CB,AB=6,CD=4,E是高线CD的中点,以CE为半径作⊙C,G是⊙C上一个动点,P是AG中点,则DP的最大值为.18.如图,在△ABC中,AB=AC=a,BC=b,∠A=100°,点D在AC边上,∠ABD=30°,则AD 的长为.三、解答题(本大题有8小题,共78分)19.计算:2×(﹣3)+4×()﹣1﹣20160;(2)解方程:﹣1=0.20.(8分)某中学学生会为考察该校学生参加课外体育活动的情况,采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好如图,某某市共湖中有一小岛,湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,在小道上测得如下数据:AB=60米,∠PAB=45°,∠PBA=30°.请帮助小X求出小桥PD的长.(≈1.414,≈1.732,结果精确到)22.(10分)△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1.(2)将△A1B1C1向右平移4个单位,作出平移后的△A2B2C2.(3)在x轴上求作一点P,使PA1+PC2的值最小,并写出点P的坐标(不写解答过程,直接写出结果)23.(10分)在平面直角坐标系中,点A(﹣3,4)关于y轴的对称点为点B,连接AB,反比例函数y=(x>0)的图象经过点B,过点B作BC⊥x轴于点C,点P是该反比例函数图象上任意一点,过点P作PD⊥x轴于点D,点Q是线段AB上任意一点,连接OQ、CQ.(1)求k的值;(2)判断△QOC与△POD的面积是否相等,并说明理由.24.(10分)某工厂计划招聘A,B两个工种的工人120人,已知A,B两个工种的工人的月工资分别为800元和1000元.(1)若工厂每月所支付的工资为110 000元,那么A,B两个工种的工人各招聘多少人?(2)若要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍,那么招聘A工种的工人多少人时,可使每月所支付的工资最少?25.(12分)定义:有一组邻边相等且对角线相等的四边形称为“美好四边形”.(1)从学过的特殊四边形中,写出一个“美好四边形”;(2)如图,在4×4的网格图中有A、B两个格点,请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点,使得以A、B、C、D为顶点的四边形互不全等的“美好四边形”,画出相应的“美好四边形”,并写出该“美好四边形”的对角线长.(3)如图,已知等边△ABC,在△ABC外存在点D,设∠BDC=α,∠DAC=β,探究α、β满足什么关系时,四边形ABCD为“美好四边形”.26.(14分)如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,0)、B(8,0)、C(0,4)三点,顶点为D,连结AC,BC.(1)求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标;(2)如图2,点P是该抛物线在第一象限内上的一点.①过点P作y轴的平行线交BC于点E,若CP=CE,求点P的坐标;②连结AP交BC于点F,求的最大值.(3)若点Q在该抛物线的对称轴上,以Q为圆心的圆过A、B两点,并且和直线CD相切,求点Q的坐标.2016年某某省某某市某某县中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题(2016•象山县模拟)在﹣5,2,﹣1,3这四个数中,比﹣2小的数是()A.﹣5 B.2 C.﹣1 D.3【考点】18:有理数大小比较.【分析】根据有理数大小比较的法则直接求得结果,再判定正确选项.【解答】解:∵﹣5<﹣2<﹣1<2<3,∴在﹣5,2,﹣1,3这四个数中,比﹣2小的数是﹣5.故选:A.【点评】考查了有理数大小比较法则.正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小.2.下列计算正确的是()A.a2•a3=a6B.(﹣2ab)2=4a2b2C.(a2)3=a5D.3a3b2÷a2b2=3ab【考点】4H:整式的除法;46:同底数幂的乘法;47:幂的乘方与积的乘方.【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法,即可解答.【解答】解:A、a2•a3=a5,故正确;B、正确;C、(a2)3=a6,故错误;D、3a2b2÷a2b2=3,故错误;故选:B.【点评】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法,解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法的法则.×107×107,结果用科学记数法表示为()×107×106C.1×107D.1×106【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.【分析】直接根据乘法分配律即可求解.【解答】×107×107=(3.8﹣3.7)×107×107=1×106.故选:D.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.注意灵活运用运算定律简便计算.4.在某班组织的跳绳比赛中,第一小组五位同学跳绳次数分别为198,230,220,216,209,则这五个数据的中位数为()A.220 B.218 C.216 D.209【考点】W4:中位数.【分析】根据中位数的定义进行求解即可.【解答】解:这组数据按照从小到大的顺次排列为:198,209,216,220,230,则中位数为:216;故选C.【点评】本题考查了中位数的知识,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.5.下列正多边形的地砖中,不能铺满地面的正多边形是()A.正三角形 B.正方形C.正五边形 D.正六边形【考点】L4:平面镶嵌(密铺).【分析】平面图形镶嵌的条件:判断一种图形是否能够镶嵌,只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角.若能构成360°,则说明能够进行平面镶嵌;反之则不能.【解答】解:∵用一种正多边形镶嵌,只有正三角形,正四边形,正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案,∴只用上面正多边形,不能进行平面镶嵌的是正五边形.故选:C.【点评】本题考查了学生对平面镶嵌知识的掌握情况,体现了学数学用数学的思想.由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形.6.估计的值在()A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间【考点】2B:估算无理数的大小.【分析】直接利用32=9,42=16得出的取值X围.【解答】解:∵32=9,42=16,∴估计在3和4之间.故选:C.【点评】此题主要考查了估算无理数的大小,正确得出接近无理数的有理数是解题关键.7.如图,直线l1,l2,l3交于一点,直线l4∥l1,若∠1=124°,∠2=88°,则∠3的度数为()A.26° B.36° C.46° D.56°【考点】JA:平行线的性质.【分析】如图,首先运用平行线的性质求出∠AOB的大小,然后借助平角的定义求出∠3即可解决问题.【解答】解:如图,∵直线l4∥l1,∴∠1+∠AOB=180°,而∠1=124°,∴∠AOB=56°,∴∠3=180°﹣∠2﹣∠AOB=180°﹣88°﹣56°=36°,故选B.【点评】该题主要考查了平行线的性质及其应用问题;应牢固掌握平行线的性质,这是灵活运用、解题的基础和关键.8.某厂接到加工720件衣服的订单,预计每天做48件,正好按时完成,后因客户要求提前5天交货,设每天应多做x件才能按时交货,则x应满足的方程为()A.B. =C.D.【考点】B6:由实际问题抽象出分式方程.【分析】本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间,然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系,然后列出方程.【解答】解:因客户的要求每天的工作效率应该为:(48+x)件,所用的时间为:,根据“因客户要求提前5天交货”,用原有完成时间减去提前完成时间,可以列出方程:.故选:D.【点评】这道题的等量关系比较明确,直接分析题目中的重点语句即可得知,再利用等量关系列出方程.9.如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知AD平分∠BAC交⊙O于点D,AD=5,BD=2,则DE的长为()A.B.C.D.【考点】S9:相似三角形的判定与性质;M5:圆周角定理.【分析】根据AD平分∠BAC,可得∠BAD=∠DAC,再利用同弧所对的圆周角相等,求证△ABD ∽△BED,利用其对应边成比例可得=,然后将已知数值代入即可求出DE的长.【解答】解;∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,∵∠DBC=∠DAC(同弧所对的圆周角相等)∴∠DBC=∠BAD,∴△ABD∽△BED,∴=,∴DE==.故选D.【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和圆周角定理等知识点的理解和掌握,难度不大,属于基础题,要求学生应熟练掌握.10.如图,在4×4正方形网格中,任选取一个白色的小正方形并涂黑,使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是()A.B.C.D.【考点】X4:概率公式;P3:轴对称图形.【分析】由共有13个白色的小正方形,任选取一个白色的小正方形并涂黑,使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况,直接利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解:如图,∵共有13个白色的小正方形,任选取一个白色的小正方形并涂黑,使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况,∴任选取一个白色的小正方形并涂黑,使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是:.故选B.【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.11.如图,正方形ABCD的边长为4,点P、Q分别是CD、AD的中点,动点E从点A向点B 运动,到点B时停止运动;同时,动点F从点P出发,沿P→D→Q运动,点E、F的运动速度相同.设点E的运动路程为x,△AEF的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是()A.B.C.D.【考点】E7:动点问题的函数图象.【分析】分F在线段PD上,以及线段DQ上两种情况,表示出y与x的函数解析式,即可做出判断.【解答】解:当F在PD上运动时,△AEF的面积为y=AE•AD=2x(0≤x≤2),当F在AD上运动时,△AEF的面积为y=AE•AF=x(6﹣x)=﹣x2+3x(2<x≤4),图象为:故选A【点评】此题考查了动点问题的函数问题,解决本题的关键是读懂图意,得到相应y与x 的函数解析式.12.把2X形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为m,宽为n)的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.阴影部分刚好能分割成两X形状大小不同的小长方形卡片(如图③),则分割后的两个阴影长方形的周长和是()A.4m B.2(m+n) C.4n D.4(m﹣n)【考点】44:整式的加减.【分析】设2X形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为x、y,然后分别求出阴影部分的2个长方形的长宽即可.【解答】解:设2X形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为x、y.∴GF=DH=y,AG=CD=x,∵HE+CD=n,∴x+y=n,∵长方形ABCD的长为:AD=m﹣DH=m﹣y=m﹣(n﹣x)=m﹣n+x,宽为:CD=x,∴长方形ABCD的周长为:2(AD+CD)=2(m﹣n+2x)=2m﹣2n+4x∵长方形GHEF的长为:GH=m﹣AG=m﹣x,宽为:HE=y,∴长方形GHEF的周长为:2(GH+HE)=2(m﹣x+y)=2m﹣2x+2y,∴分割后的两个阴影长方形的周长和为:2m﹣2n+4x+2m﹣2x+2y=4m﹣2n+2(x+y)=4m,故选(A)【点评】本题考查整式的运算,解题的关键是设2X形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为x、y,然后根据图中的结构求出分割后的两个阴影长方形的周长和.本题属于中等题型.二、填空题13.6的平方根为.【考点】21:平方根.【分析】根据平方运算,可得一个数的平方根.【解答】解:∵()2=6∴6的平方根为,故答案为:.【点评】本题考查了平方根,平方运算是求平方根的关键.14.分解因式:2a2﹣2= 2(a+1)(a﹣1).【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.【分析】先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【解答】解:2a2﹣2,=2(a2﹣1),=2(a+1)(a﹣1).【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.15.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是假命题.(填入“真”或“假”)【考点】O1:命题与定理.【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,如果能就是真命题.【解答】解:“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”,根据全等三角形的定义,不符合要求,因此是假命题.【点评】本题考查了互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.16.若关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y<2,则a的取值X围为a<4 .【考点】C6:解一元一次不等式;98:解二元一次方程组.【分析】先解关于关于x,y的二元一次方程组的解集,其解集由a表示;然后将其代入x+y<2,再来解关于a的不等式即可.【解答】解:由①﹣②×3,解得y=1﹣;由①×3﹣②,解得x=;∴由x+y<2,得1+<2,即<1,解得,a<4.解法2:由①+②得4x+4y=4+a,x+y=1+,∴由x+y<2,得1+<2,即<1,解得,a<4.故答案是:a<4.【点评】本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式.解答此题时,采用了“加减消元法”来解二元一次方程组;在解不等式时,利用了不等式的基本性质:(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变.17.如图,△ABC中,CA=CB,AB=6,CD=4,E是高线CD的中点,以CE为半径作⊙C,G是⊙C上一个动点,P是AG中点,则DP的最大值为.【考点】KX:三角形中位线定理;KH:等腰三角形的性质;M8:点与圆的位置关系.【分析】据等腰三角形的性质可得点D是AB的中点,然后根据三角形中位线定理可得DP=BG,然后利用两点之间线段最短就可解决问题.【解答】解:连接BG,如图.∵CA=CB,CD⊥AB,AB=6,∴AD=BD=AB=3.又∵CD=4,∴BC=5.∵E是高线CD的中点,∴CE=CD=2,∴CG=CE=2.根据两点之间线段最短可得:BG≤CG+CB=2+5=7.当B、C、G三点共线时,BG取最大值为7.∵P是AG中点,D是AB的中点,∴PD=BG,∴DP最大值为.【点评】本题主要考查的是三角形中位线定理,涉及了等腰三角形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识,根据题意作出辅助线,利用三角形的中位线定理求解是解决本题的关键.18.如图,在△ABC中,AB=AC=a,BC=b,∠A=100°,点D在AC边上,∠ABD=30°,则AD 的长为.【考点】S9:相似三角形的判定与性质;KH:等腰三角形的性质;KK:等边三角形的性质.【分析】以BC为边在△ABC的下面作等边三角形BCE,连接AE,由等腰三角形和等边三角形的性质得出AE⊥BC,CE=BC=b,∠BCE=60°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ACB=∠ABC=50°,∠CAE=∠BAC=50°,求出∠ADB=∠CAE,∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠BAC,证出△ABD∽△CAE,得出对应边成比例,即可得出答案.【解答】解:以BC为边在△ABC的下面作等边三角形BCE,连接AE,如图所示:则AE⊥BC,CE=BC=b,∠BCE=60°,∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠ACB=∠ABC=(180°﹣1100°)÷2=50°,∠CAE=∠BAC=50°,∵∠ABD=30°,∴∠ADB=180°﹣∠BAC﹣∠ABD=50°,∴∠ADB=∠CAE,∠ACE=∠ACB+∠BCE=100°=∠BAC,∴△ABD∽△CAE,∴,即,解得:AD=;故答案为:.【点评】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识;熟练掌握等腰三角形的性质,证明三角形相似是解决问题的关键.三、解答题(本大题有8小题,共78分)19.(1)计算:2×(﹣3)+4×()﹣1﹣20160;(2)解方程:﹣1=0.【考点】B3:解分式方程;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂.【分析】(1)分别利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简进而求出答案;(2)首先移项,进而去分母解方程即可,再检验得出答案.【解答】解:(1)2×(﹣3)+4×()﹣1﹣20160=﹣6+4×2﹣1=1;(2)原式可变为: =1,则x﹣1=1,解得:x=2,检验:当x=2时,x﹣1≠0,故x=2是原方程的根.【点评】此题主要考查了解分式方程以及实数运算,正确掌握分式方程的解法是解题关键.20.某中学学生会为考察该校学生参加课外体育活动的情况,采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好(2016•象山县模拟)如图,某某市共湖中有一小岛,湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,在小道上测得如下数据:AB=60米,∠PAB=45°,∠PBA=30°.请帮助小X求出小桥PD的长.(≈1.414,≈1.732,结果精确到)【考点】T8:解直角三角形的应用.【分析】设PD=x米,根据锐角三角函数的概念用x表示出AD和BD的长,根据题意列式计算即可得到答案.【解答】解:设PD=x米,∵PD⊥AB,则∠ADP=∠BDP=90°.在Rt△PAD中,tan∠PAD=,故AD==x,在Rt△PBD中,tan∠PBD=,则DB===x,又∵AB=60米,∴x+x=60,解得:x=30﹣30≈22.0.答:小桥PD的长度约为.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用,掌握锐角三角函数的概念是解题的关键,解答时,把锐角三角函数的概念理解为公式,代入公式计算即可.22.(10分)(2013•某某)△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1.(2)将△A1B1C1向右平移4个单位,作出平移后的△A2B2C2.(3)在x轴上求作一点P,使PA1+PC2的值最小,并写出点P的坐标(不写解答过程,直接写出结果)【考点】R8:作图﹣旋转变换;PA:轴对称﹣最短路线问题;Q4:作图﹣平移变换.【分析】(1)延长AC到A1,使得AC=A1C1,延长BC到B1,使得BC=B1C1,即可得出图象;(2)根据△A1B1C1将各顶点向右平移4个单位,得出△A2B2C2;(3)作出A1关于x轴的对称点A′,连接A′C2,交x轴于点P,再利用相似三角形的性质求出P点坐标即可.【解答】解;(1)如图所示:(2)如图所示:(3)如图所示:作出A1关于x轴的对称点A′,连接A′C2,交x轴于点P,可得P点坐标为:(,0).【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识,利用轴对称求最小值问题是考试重点,同学们应重点掌握.23.(10分)(2013•某某)在平面直角坐标系中,点A(﹣3,4)关于y轴的对称点为点B,连接AB,反比例函数y=(x>0)的图象经过点B,过点B作BC⊥x轴于点C,点P是该反比例函数图象上任意一点,过点P作PD⊥x轴于点D,点Q是线段AB上任意一点,连接OQ、CQ.(1)求k的值;(2)判断△QOC与△POD的面积是否相等,并说明理由.【考点】GB:反比例函数综合题.【分析】(1)根据点B与点A关于y轴对称,求出B点坐标,再代入反比例函数解析式解可求出k的值;(2)设点P的坐标为(m,n),点P在反比例函数y=(x>0)的图象上,求出S△POD,根据AB∥x轴,OC=3,BC=4,点Q在线段AB上,求出S△QOC即可.【解答】解:(1)∵点B与点A关于y轴对称,A(﹣3,4),∴点B的坐标为(3,4),∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点B.∴=4,解得k=12.(2)相等.理由如下:设点P的坐标为(m,n),其中m>0,n>0,∵点P在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴n=,即mn=12.∴S△POD=OD•PD=mn=×12=6,∵A(﹣3,4),B(3,4),∴AB∥x轴,OC=3,BC=4,∵点Q在线段AB上,∴S△QOC=OC•BC=×3×4=6.∴S△QOC=S△POD.【点评】本题考查了反比例函数综合题,涉及反比例函数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征等,综合性较强.24.(10分)(2007•某某)某工厂计划招聘A,B两个工种的工人120人,已知A,B两个工种的工人的月工资分别为800元和1000元.(1)若工厂每月所支付的工资为110 000元,那么A,B两个工种的工人各招聘多少人?(2)若要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍,那么招聘A工种的工人多少人时,可使每月所支付的工资最少?【考点】C9:一元一次不等式的应用;8A:一元一次方程的应用.【分析】(1)A,B两个工种的工人的月工资乘以它们的人数就是工厂每月所支付的工资为110000元,因此可列方程,进而解答;(2)在(1)的基础之上又多出了一个最值问题,需要运用函数,考虑函数和自变量的增减性,找出自变量取值X围,进行解答.【解答】解:(1)设招聘A工种工人x人,则招聘B工种工人(120﹣x)人,根据题意得800x+1 000(120﹣x)=110 000解得x=50,则120﹣x=70即招聘A工种工人50人,招聘B工种工人70人;(2)设每月所支付的工资为y元,招聘A工种工人x人,则招聘B工种工人(120﹣x)人,根据题意得y=800x+1 000(120﹣x)=﹣200x+120 000,由题意得120﹣x≥2x,解得x≤40,y=﹣200x+120 000中的y随x的增大而减少,所以当x=40时,y取得最小值112000.即当招聘A工种工人40人时,可使每月所付工资最少.【点评】解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系.要熟练掌握利用自变量的取值X围求最值的方法.注意本题的不等关系为:B工种的人数不少于A工种人数的2.25.(12分)(2016•象山县模拟)定义:有一组邻边相等且对角线相等的四边形称为“美好四边形”.(1)从学过的特殊四边形中,写出一个“美好四边形”;(2)如图,在4×4的网格图中有A、B两个格点,请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点,使得以A、B、C、D为顶点的四边形互不全等的“美好四边形”,画出相应的“美好四边形”,并写出该“美好四边形”的对角线长.(3)如图,已知等边△ABC,在△ABC外存在点D,设∠BDC=α,∠DAC=β,探究α、β满足什么关系时,四边形ABCD为“美好四边形”.【考点】LO:四边形综合题.【分析】(1)根据正方形的性质和“美好四边形”的定义解答;(2)根据“美好四边形”的定义作图,根据勾股定理求出对角线的长;(3)根据等边三角形的性质和“美好四边形”的定义以及三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可.【解答】解:(1)∵正方形四条边相等且对角线相等,满足“美好四边形”的条件,∴正方形是“美好四边形”;(2)图1中两个四边形ABCD都是“美好四边形”,它们的对角线长都是;(3)∵△ABC是等边三角形,四边形ABCD为“美好四边形”,∴AB=AC=BC=BD,∠CBA=∠CAB=60°,∵∠BDC=α,∴∠BCD=α,∴∠DBC=180°﹣2α,∴∠ABD=60°﹣∠DBC=2α﹣120°,∵BA=BD,∴∠BAD=∠BDA==150°﹣α,∵∠DAC=β,∴150°﹣α﹣β=60°,∴α+β=90°.【点评】本题考查的是新定义、等腰三角形的性质、等边三角形的性质,正确理解“美好四边形”的定义、掌握等腰三角形的性质和等边三角形的性质是解题的关键.26.(14分)(2016•象山县模拟)如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,0)、B(8,0)、C(0,4)三点,顶点为D,连结AC,BC.(1)求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标;(2)如图2,点P是该抛物线在第一象限内上的一点.①过点P作y轴的平行线交BC于点E,若CP=CE,求点P的坐标;②连结AP交BC于点F,求的最大值.(3)若点Q在该抛物线的对称轴上,以Q为圆心的圆过A、B两点,并且和直线CD相切,求点Q的坐标.【考点】HF:二次函数综合题.【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x﹣8),将点C的坐标代入可求得a的值,从而得到抛物线的解析式,然后依据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴方程,将x=3代入可求得抛物线的顶点坐标;(2)①如图1所示:作CM⊥PE,垂足为M.先利用待定系数法求得BC的解析式,设点P(m,﹣ m2+m+4),则点E(m,﹣ m+4),M(m,4),接下来依据等腰三角形的性质可得到PM=EM,从而得到关于m的方程,于是可求得点P的坐标②作PN⊥BC,垂足为N.先证明△PNE∽△COB,由相似三角形的性质可知PN=PE,然后再证明△PFN∽△CAF,由相似三角形的性质可得到PF:AF与m的函数关系式,从而可求得的最大值;(3)设⊙Q与直线CD的切点为G,连接QG,过点C作CH⊥QD于H,如图3所示:先依据勾股定理可求得DC的长,设Q(3,b),然后依据锐角三角函数的定义得到QG的长,从而得到AQ的长,最后再△AQP中依据勾股定理可得到关于b的方程,从而得到点Q的坐标.【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x﹣8).∵抛物线经过点C(0,4),∴﹣16a=4,解得a=﹣.∴抛物线的解析式为y=﹣(x+2)(x﹣8)=x2+x+4.∵A(﹣2,0)、B(8,0),∴抛物线的对称轴为x=3.∵将x=3代入得:y=,∴抛物线的顶点坐标为(3,).(2)①如图1所示:作CM⊥PE,垂足为M.设直线BC的解析式为y=kx+b.∵将B、C的坐标代入得:,解得k=﹣,b=4,∴直线BC的解析式为y=﹣x+4.设点P(m,﹣ m2+m+4),则点E(m,﹣ m+4),M(m,4).∵PC=EC,CM⊥PE,∴PM=EM.∴﹣m2+m+4﹣4=4﹣(﹣m+4),解得:m=0(舍去),m=4.∴P(4,6).②作PN⊥BC,垂足为N.由①得:PE=﹣m2+2m.∵PE∥y轴,PN⊥BC,∴∠PNE=∠COB=90°,∠PEN=∠BCO.∴△PNE∽△BOC.∴==.∴PN=PE=(﹣m2+2m).∵AB=10,AC=2,BC=4,∴AC2+BC2=AB2.∴∠BCA=90°,又∵∠PFN=∠CFA,∴△PFN∽△CAF.∴==﹣m2+m.∴当m=4时,的最大值为.(3)设⊙Q与直线CD的切点为G,连接QG,过点C作CH⊥QD于H,如图3所示:由(1)可知:CH=3,DH=﹣4=.在△CHD中,由勾股定理可知DC==.设Q(3,b)则QD=﹣b.∵sin∠D==,在△AQP中,由勾股定理得QG=(﹣b)=b2+52.解得:b=0,b=﹣.∴点Q的坐标为(3,0)或(3,﹣).【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理的应用,与m的函数关系式是解题的关键.。
浙江省宁波市五年(2018-2022)中考数学真题分层分类汇编-06解答题(提升题)知识点分类

浙江省宁波市五年(2018-2022)中考数学真题分层分类汇编-06解答题(提升题)知识点分类一.分式方程的应用(共1小题)1.(2018•宁波)某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.(1)求甲、乙两种商品的每件进价;(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?二.二次函数图象与几何变换(共1小题)2.(2018•宁波)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(1,0),(0,).(1)求该抛物线的函数表达式;(2)将抛物线y=﹣x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.三.四边形综合题(共2小题)3.(2021•宁波)【证明体验】(1)如图1,AD为△ABC的角平分线,∠ADC=60°,点E在AB上,AE=AC.求证:DE平分∠ADB.【思考探究】(2)如图2,在(1)的条件下,F为AB上一点,连结FC交AD于点G.若FB=FC,DG=2,CD=3,求BD的长.【拓展延伸】(3)如图3,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,∠BCA=2∠DCA,点E在AC 上,∠EDC=∠ABC.若BC=5,CD=2,AD=2AE,求AC的长.4.(2019•宁波)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD 上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形.(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上.(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF 交AC于点N.若N为AC的中点,DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.四.圆的综合题(共5小题)5.(2022•宁波)如图1,⊙O为锐角三角形ABC的外接圆,点D在上,AD交BC于点E,点F在AE上,满足∠AFB﹣∠BFD=∠ACB,FG∥AC交BC于点G,BE=FG,连结BD,DG.设∠ACB=α.(1)用含α的代数式表示∠BFD.(2)求证:△BDE≌△FDG.(3)如图2,AD为⊙O的直径.①当的长为2时,求的长.②当OF:OE=4:11时,求cosα的值.6.(2021•宁波)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,BD为直径,上存在点E,满足=,连结BE并延长交CD的延长线于点F,BE与AD交于点G.(1)若∠DBC=α,请用含α的代数式表示∠AGB.(2)如图2,连结CE,CE=BG.求证:EF=DG.(3)如图3,在(2)的条件下,连结CG,AD=2.①若tan∠ADB=,求△FGD的周长.②求CG的最小值.7.(2020•宁波)定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.(1)如图1,∠E是△ABC中∠A的遥望角,若∠A=α,请用含α的代数式表示∠E.(2)如图2,四边形ABCD内接于⊙O,=,四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F,连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.(3)如图3,在(2)的条件下,连接AE,AF,若AC是⊙O的直径.①求∠AED的度数;②若AB=8,CD=5,求△DEF的面积.8.(2019•宁波)如图1,⊙O经过等边△ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连接DE,BF⊥EC交AE于点F.(1)求证:BD=BE.(2)当AF:EF=3:2,AC=6时,求AE的长.(3)设=x,tan∠DAE=y.①求y关于x的函数表达式;②如图2,连接OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.9.(2018•宁波)如图1,直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0<AC<).以点A为圆心,AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连接OE并延长交⊙A于点F.(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值;(2)如图2,连接CE,当CE=EF时,①求证:△OCE∽△OEA;②求点E的坐标;(3)当点C在线段OA上运动时,求OE•EF的最大值.五.相似形综合题(共3小题)10.(2022•宁波)【基础巩固】(1)如图1,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,DE∥BC,BF=CF,AF交DE于点G,求证:DG=EG.【尝试应用】(2)如图2,在(1)的条件下,连结CD,CG.若CG⊥DE,CD=6,AE=3,求的值.【拓展提高】(3)如图3,在▱ABCD中,∠ADC=45°,AC与BD交于点O,E为AO上一点,EG ∥BD交AD于点G,EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10,求BF的长.11.(2020•宁波)【基础巩固】(1)如图1,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD=∠B.求证:AC2=AD•AB.【尝试应用】(2)如图2,在▱ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,∠BFE=∠A.若BF=4,BE=3,求AD的长.【拓展提高】(3)如图3,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是△ABC内一点,EF∥AC,AC=2EF,∠EDF=∠BAD,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长.12.(2018•宁波)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值.六.频数(率)分布直方图(共1小题)13.(2018•宁波)在第23个世界读书日前夕,我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t表示,单位:小时),采用随机抽样的方法进行问卷调查,调查结果按0≤t<2,2≤t<3,3≤t<4,t≥4分为四个等级,并依次用A,B,C,D表示,根据调查结果统计的数据,绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题:(1)求本次调查的学生人数;(2)求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数,并把条形统计图补充完整;(3)若该校共有学生1200人,试估计每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数.参考答案与试题解析一.分式方程的应用(共1小题)1.(2018•宁波)某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.(1)求甲、乙两种商品的每件进价;(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?【解答】解:(1)设甲种商品的每件进价为x元,则乙种商品的每件进价为(x+8)元.根据题意,得,=,解得x=40.经检验,x=40是原方程的解.答:甲种商品的每件进价为40元,乙种商品的每件进价为48元;(2)甲乙两种商品的销售量为=50.设甲种商品按原销售单价销售a件,则(60﹣40)a+(60×0.7﹣40)(50﹣a)+(88﹣48)×50≥2460,解得a≥20.答:甲种商品按原销售单价至少销售20件.二.二次函数图象与几何变换(共1小题)2.(2018•宁波)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(1,0),(0,).(1)求该抛物线的函数表达式;(2)将抛物线y=﹣x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.【解答】解:(1)把(1,0),(0,)代入抛物线解析式得:,解得:,则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+;(2)抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣(x+1)2+2,将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为y=﹣x2.三.四边形综合题(共2小题)3.(2021•宁波)【证明体验】(1)如图1,AD为△ABC的角平分线,∠ADC=60°,点E在AB上,AE=AC.求证:DE平分∠ADB.【思考探究】(2)如图2,在(1)的条件下,F为AB上一点,连结FC交AD于点G.若FB=FC,DG=2,CD=3,求BD的长.【拓展延伸】(3)如图3,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,∠BCA=2∠DCA,点E在AC 上,∠EDC=∠ABC.若BC=5,CD=2,AD=2AE,求AC的长.【解答】(1)证明:如图1,∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD,∵AE=AC,AD=AD,∴△EAD≌△CAD(SAS),∴∠ADE=∠ADC=60°,∵∠BDE=180°﹣∠ADE﹣∠ADC=180°﹣60°﹣60°=60°,∴∠BDE=∠ADE,∴DE平分∠ADB.(2)如图2,∵FB=FC,∴∠EBD=∠GCD;∵∠BDE=∠CDG=60°,∴△BDE∽△CDG,∴;∵△EAD≌△CAD,∴DE=CD=3,∵DG=2,∴BD===.(3)如图3,在AB上取一点F,使AF=AD,连结CF.∵AC平分∠BAD,∴∠FAC=∠DAC,∵AC=AC,∴△AFC≌△ADC(SAS),∴CF=CD,∠FCA=∠DCA,∠AFC=∠ADC,∵∠FCA+∠BCF=∠BCA=2∠DCA,∴∠DCA=∠BCF,即∠DCE=∠BCF,∵∠EDC=∠ABC,即∠EDC=∠FBC,∴△DCE∽△BCF,∴,∠DEC=∠BFC,∵BC=5,CF=CD=2,∴CE===4;∵∠AED+∠DEC=180°,∠AFC+∠BFC=180°,∴∠AED=∠AFC=∠ADC,∵∠EAD=∠DAC(公共角),∴△EAD∽△DAC,∴=,∴AC=2AD,AD=2AE,∴AC=4AE=CE=×4=.4.(2019•宁波)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD 上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形.(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上.(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF 交AC于点N.若N为AC的中点,DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.【解答】解:(1)∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∠FAB与∠EBA互余,∴四边形ABEF是邻余四边形;(2)如图所示(答案不唯一),四边形AFEB为所求;(3)∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD=CD,∵DE=2BE,∴BD=CD=3BE,∴CE=CD+DE=5BE,∵∠EDF=90°,点M是EF的中点,∴DM=ME,∴∠MDE=∠MED,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△DBQ∽△ECN,∴,∵QB=3,∴NC=5,∵AN=CN,∴AC=2CN=10,∴AB=AC=10.四.圆的综合题(共5小题)5.(2022•宁波)如图1,⊙O为锐角三角形ABC的外接圆,点D在上,AD交BC于点E,点F在AE上,满足∠AFB﹣∠BFD=∠ACB,FG∥AC交BC于点G,BE=FG,连结BD,DG.设∠ACB=α.(1)用含α的代数式表示∠BFD.(2)求证:△BDE≌△FDG.(3)如图2,AD为⊙O的直径.①当的长为2时,求的长.②当OF:OE=4:11时,求cosα的值.【解答】解:(1)∵∠AFB﹣∠BFD=∠ACB=α,①又∵∠AFB+∠BFD=180°,②②﹣①,得2∠BFD=180°﹣α,∴∠BFD=90°﹣;(2)由(1)得∠BFD=90°﹣,∵∠ADB=∠ACB=α,∴∠FBD=180°﹣∠ADB﹣∠BFD=90°﹣,∴DB=DF,∵FG∥AC,∴∠CAD=∠DFG,∵∠CAD=∠DBE,∴∠DFG=∠DBE,在△BDE和△FDG中,,∴△BDE≌△FDG(SAS);(3)①∵△BDE≌△FDG,∴∠FDG=∠BDE=α,∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α,∵DE=DG,∴∠DGE=(180°﹣∠FDG)=90°﹣,∴∠DBG=180°﹣∠BDG﹣∠DGE=90°﹣,∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,∴∠ABC=∠ABD﹣∠DBG=,∴与所对的圆心角度数之比为3:2,∴与的长度之比为3:2,∵=2,∴=3;②如图,连接BO,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB=α,∴∠BOF=∠OBD+∠ODB=2α,∵∠BDG=2α,∴∠BOF=∠BDG,∵∠BGD=∠BFO=90°﹣,∴△BDG∽△BOF,设△BDG与△BOF的相似比为k,∴,∵,∴设OF=4x,则OE=11x,DE=DG=4kx,∴OB=OD=OE+DE=11x+4kx,BD=DF=OF+OD=15x+4kx,∴==,由=k,得4k2+7k﹣15=0,解得k=或﹣3(舍去),∴OD=11x+4kx=16x,BD=15x+4kx=20x,∴AD=2OD=32x,在Rt△ABD中,cos∠ADB==,∴cosα=.方法二:连接OB,作BM⊥AD于M,由题意知,△BDE和△BEF都是等腰三角形,∴EM=MF,设OE=4,OF=11,设DE=m,则OB=m+11,OM=3.5,BD=m+15,DM=m+7.5,∴OB2﹣OM2=BD2﹣DM2,即(m+11)2﹣3.52=(m+15)2﹣(m+7.5)2,解得m=5或m=﹣12(舍去),∴cosα=.6.(2021•宁波)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,BD为直径,上存在点E,满足=,连结BE并延长交CD的延长线于点F,BE与AD交于点G.(1)若∠DBC=α,请用含α的代数式表示∠AGB.(2)如图2,连结CE,CE=BG.求证:EF=DG.(3)如图3,在(2)的条件下,连结CG,AD=2.①若tan∠ADB=,求△FGD的周长.②求CG的最小值.【解答】解:(1)∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=90°,∵=,∴∠ABG=∠DBC=α,∴∠AGB=90°﹣α;(2)∵BD为⊙O的直径,∴∠BCD=90°,∴∠BEC=∠BDC=90°﹣α,∴∠BEC=∠AGB,∵∠CEF=180°﹣∠BEC,∠BGD=180°﹣∠AGB,∴∠CEF=∠BGD,又∵CE=BG,∠ECF=∠GBD,∴△CFE≌△BDG(ASA),∴EF=DG;(3)①如图,连接DE,∵BD为⊙O的直径,在Rt△ABD中,tan∠ADB=,AD=2,∴AB=×AD=,∵=,∴+=+,即=,∴AD=CE,∵CE=BG,∴BG=AD=2,∵在Rt△ABG中,sin∠AGB==,∴∠AGB=60°,AG=BG=1,∴EF=DG=AD﹣AG=1,∵在Rt△DEG中,∠EGD=60°,∴EG=DG=,DE=DG=,在Rt△FED中,DF==,∴FG+DG+DF=,∴△FGD的周长为;②如图,过点C作CH⊥BF于H,∵△BDG≌△CFE,∴BD=CF,∠CFH=∠BDA,∴△BAD≌△CHF(AAS),∴FH=AD,∵AD=BG,∴FH=BG,∵∠BCF=90°,∴∠BCH+∠HCF=90°,∵∠BCH+∠HBC=90°,∴∠HCF=∠HBC,∵∠BHC=∠CHF=90°,∴△BHC∽△CHF,∴=,设GH=x,∴BH=2﹣x,∴CH2=2(2﹣x),在Rt△GHC中,CG2=GH2+CH2,∴CG2=x2+2(2﹣x)=(x﹣1)2+3,当x=1时,CG2的最小值为3,∴CG的最小值为.7.(2020•宁波)定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.(1)如图1,∠E是△ABC中∠A的遥望角,若∠A=α,请用含α的代数式表示∠E.(2)如图2,四边形ABCD内接于⊙O,=,四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F,连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.(3)如图3,在(2)的条件下,连接AE,AF,若AC是⊙O的直径.①求∠AED的度数;②若AB=8,CD=5,求△DEF的面积.【解答】解:(1)∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠E=∠ECD﹣∠EBD=(∠ACD﹣∠ABC)=α,(2)如图1,延长BC到点T,∵四边形FBCD内接于⊙O,∴∠FDC+∠FBC=180°,又∵∠FDE+∠FDC=180°,∴∠FDE=∠FBC,∵DF平分∠ADE,∴∠ADF=∠FDE,∵∠ADF=∠ABF,∴∠ABF=∠FBC,∴BE是∠ABC的平分线,∵=,∴∠ACD=∠BFD,∵∠BFD+∠BCD=180°,∠DCT+∠BCD=180°,∴∠DCT=∠BFD,∴∠ACD=∠DCT,∴CE是△ABC的外角平分线,∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.(3)①如图2,连接CF,∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角,∴∠BAC=2∠BEC,∵∠BFC=∠BAC,∴∠BFC=2∠BEC,∵∠BFC=∠BEC+∠FCE,∴∠BEC=∠FCE,∵∠FCE=∠FAD,∴∠BEC=∠FAD,又∵∠FDE=∠FDA,FD=FD,∴△FDE≌△FDA(AAS),∴DE=DA,∴∠AED=∠DAE,∵AC是⊙O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠AED+∠DAE=90°,∴∠AED=∠DAE=45°,②如图3,过点A作AG⊥BE于点G,过点F作FM⊥CE于点M,∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°,∵BE平分∠ABC,∴∠FAC=∠EBC=∠ABC=45°,∵∠AED=45°,∴∠AED=∠FAC,∵∠FED=∠FAD,∴∠AED﹣∠FED=∠FAC﹣∠FAD,∴∠AEG=∠CAD,∵∠EGA=∠ADC=90°,∴△EGA∽△ADC,∴,∵在Rt△ABG中,AB=8,∠ABG=45°,∴AG=,在Rt△ADE中,AE=AD,∴,∴,在Rt△ADC中,AD2+DC2=AC2,∴设AD=4x,AC=5x,则有(4x)2+52=(5x)2,∴x=,∴ED=AD=,∴CE=CD+DE=,∵∠BEC=∠FCE,∴FC=FE,∵FM⊥CE,∴EM=CE=,∴DM=DE﹣EM=,∵∠FDM=45°,∴FM=DM=,∴S△DEF=DE•FM=.8.(2019•宁波)如图1,⊙O经过等边△ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连接DE,BF⊥EC交AE于点F.(1)求证:BD=BE.(2)当AF:EF=3:2,AC=6时,求AE的长.(3)设=x,tan∠DAE=y.①求y关于x的函数表达式;②如图2,连接OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.【解答】证明:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,∵∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°,∴∠DEB=∠D,∴BD=BE;(2)如图1,过点A作AG⊥BC于点G,∵△ABC是等边三角形,AC=6,∴BG=,∴在Rt△ABG中,AG=BG=3,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴,∵AF:EF=3:2,∴BE=BG=2,∴EG=BE+BG=3+2=5,在Rt△AEG中,AE=;(3)①如图1,过点E作EH⊥AD于点H,∵∠EBD=∠ABC=60°,∴在Rt△BEH中,,∴EH=,BH=,∵,∴BG=xBE,∴AB=BC=2BG=2xBE,∴AH=AB+BH=2xBE+BE=(2x+)BE,∴在Rt△AHE中,tan∠EAD=,∴y=;②如图2,过点O作OM⊥BC于点M,设BE=a,∵,∴CG=BG=xBE=ax,∴EC=CG+BG+BE=a+2ax,∴EM=EC=a+ax,∴BM=EM﹣BE=ax﹣a,∵BF∥AG,∴△EBF∽△EGA,∴,∵AG=,∴BF=,∴△OFB的面积=,∴△AEC的面积=,∵△AEC的面积是△OFB的面积的10倍,∴,∴2x2﹣7x+6=0,解得:,∴,9.(2018•宁波)如图1,直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0<AC<).以点A为圆心,AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连接OE并延长交⊙A于点F.(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值;(2)如图2,连接CE,当CE=EF时,①求证:△OCE∽△OEA;②求点E的坐标;(3)当点C在线段OA上运动时,求OE•EF的最大值.【解答】解:∵直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),∴﹣×4+b=0,∴b=3,∴直线l的函数表达式y=﹣x+3,∴B(0,3),∴OA=4,OB=3,在Rt△AOB中,tan∠BAO==;(2)①如图2,连接DF,∵CE=EF,∴∠CDE=∠FDE,∴∠CDF=2∠CDE,∵∠OAE=2∠CDE,∴∠OAE=∠ODF,∵四边形CEFD是⊙A的圆内接四边形,∴∠OEC=∠ODF,∴∠OEC=∠OAE,∵∠COE=∠EOA,∴△COE∽△EOA,②过点E作EM⊥OA于M,由①知,tan∠OAB=,设EM=3m,则AM=4m,∴OM=4﹣4m,AE=5m,∴E(4﹣4m,3m),AC=5m,∴OC=4﹣5m,由①知,△COE∽△EOA,∴,∴OE2=OA•OC=4(4﹣5m)=16﹣20m,∵E(4﹣4m,3m),∴(4﹣4m)2+9m2=25m2﹣32m+16,∴25m2﹣32m+16=16﹣20m,∴m=0(舍)或m=,∴4﹣4m=,3m=,∴E(,),(3)如图,设⊙A的半径为r,过点O作OG⊥AB于G,∵A(4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3,∴AB=5,∴AB×OG=OA×OB,∴OG=,∴AG==×=,∴EG=AG﹣AE=﹣r,连接FH,∵EH是⊙A直径,∴EH=2r,∠EFH=90°=∠EGO,∵∠OEG=∠HEF,∴△OEG∽△HEF,∴,∴OE•EF=HE•EG=2r(﹣r)=﹣2(r﹣)2+,∴r=时,OE•EF最大值为.五.相似形综合题(共3小题)10.(2022•宁波)【基础巩固】(1)如图1,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,DE∥BC,BF=CF,AF交DE于点G,求证:DG=EG.【尝试应用】(2)如图2,在(1)的条件下,连结CD,CG.若CG⊥DE,CD=6,AE=3,求的值.【拓展提高】(3)如图3,在▱ABCD中,∠ADC=45°,AC与BD交于点O,E为AO上一点,EG∥BD交AD于点G,EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10,求BF的长.【解答】(1)证明:∵DE∥BC,∴△AGD∽△AFB,△AFC∽△AGE,∴=,=,∴=,∵BF=CF,∴DG=EG;(2)解:∵DG=EG,CG⊥DE,∴CE=CD=6,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴===;(3)解:延长GE交AB于M,连接MF,过点M作MN⊥BC于N,∵四边形ABCD为平行四边形,∴OB=OD,∠ABC=∠ADC=45°,∵MG∥BD,∴ME=GE,∵EF⊥EG,∴FM=FG=10,在Rt△GEF中,∠EGF=40°,∴∠EFG=90°﹣40°=50°,∵FG平分∠EFC,∴∠GFC=∠EFG=50°,∵FM=FG,EF⊥GM,∴∠MFE=∠EFG=50°,∴∠MFN=30°,∴MN=MF=5,∴NF==5,∵∠ABC=45°,∴BN=MN=5,∴BF=BN+NF=5+5.11.(2020•宁波)【基础巩固】(1)如图1,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD=∠B.求证:AC2=AD•AB.【尝试应用】(2)如图2,在▱ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,∠BFE=∠A.若BF=4,BE=3,求AD的长.【拓展提高】(3)如图3,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是△ABC内一点,EF∥AC,AC=2EF,∠EDF=∠BAD,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长.【解答】解:(1)证明:∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴,∴AC2=AD•AB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,又∵∠BFE=∠A,∴∠BFE=∠C,又∵∠FBE=∠CBF,∴△BFE∽△BCF,∴,∴BF2=BE•BC,∴BC==,∴AD=.(3)如图,分别延长EF,DC相交于点G,∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥DC,∠BAC=∠BAD,∵AC∥EF,∴四边形AEGC为平行四边形,∴AC=EG,CG=AE,∠EAC=∠G,∵∠EDF=∠BAD,∴∠EDF=∠BAC,∴∠EDF=∠G,又∵∠DEF=∠GED,∴,∴DE2=EF•EG,又∵EG=AC=2EF,∴DE2=2EF2,∴DE=EF,又∵,∴DG=,∴DC=DG﹣CG=5﹣2.12.(2018•宁波)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值.【解答】解:(1)∵△ABC是比例三角形,且AB=2、BC=3,①当AB2=BC•AC时,得:4=3AC,解得:AC=;②当BC2=AB•AC时,得:9=2AC,解得:AC=;③当AC2=AB•BC时,得:AC2=6,解得:AC=(负值舍去);所以当AC=或或时,△ABC是比例三角形;(2)∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD,又∵∠BAC=∠ADC,∴=,即CA2=BC•AD,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,∴CA2=BC•AB,∴△ABC是比例三角形;(3)如图,过点A作AH⊥BD于点H,∵AB=AD,∴BH=BD,∵AD∥BC,∠ADC=90°,∴∠BCD=90°,∴∠BHA=∠BCD=90°,又∵∠ABH=∠DBC,∴△ABH∽△DBC,∴=,即AB•BC=BH•DB,∴AB•BC=BD2,又∵AB•BC=AC2,∴BD2=AC2,∴=.六.频数(率)分布直方图(共1小题)13.(2018•宁波)在第23个世界读书日前夕,我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t表示,单位:小时),采用随机抽样的方法进行问卷调查,调查结果按0≤t<2,2≤t<3,3≤t<4,t≥4分为四个等级,并依次用A,B,C,D表示,根据调查结果统计的数据,绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题:(1)求本次调查的学生人数;(2)求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数,并把条形统计图补充完整;(3)若该校共有学生1200人,试估计每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数.【解答】解:(1)由条形图知,A级的人数为20人,由扇形图知:A级人数占总调查人数的10%所以:20÷10%=20×=200(人)即本次调查的学生人数为200人;(2)由条形图知:C级的人数为60人所以C级所占的百分比为:×100%=30%,B级所占的百分比为:1﹣10%﹣30%﹣45%=15%,B级的人数为200×15%=30(人)D级的人数为:200×45%=90(人)B所在扇形的圆心角为:360°×15%=54°.(3)因为C级所占的百分比为30%,所以全校每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数为:1200×30%=360(人)答:估计全校每周课外阅读时间满足3≤t<4的约有360人.。
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2017年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(4分)在,,0,﹣2这四个数中,为无理数的是()A.B.C.0 D.﹣22.(4分)下列计算正确的是()A.a2+a3=a5 B.(2a)2=4a C.a2•a3=a5 D.(a2)3=a53.(4分)2017年2月13日,宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮﹣﹣“泰欧”轮,其中45万吨用科学记数法表示为()A.0.45×106吨 B.4.5×105吨C.45×104吨D.4.5×104吨4.(4分)要使二次根式有意义,则x的取值范围是()A.x≠3 B.x>3 C.x≤3 D.x≥35.(4分)如图所示的几何体的俯视图为()A. B.C.D.6.(4分)一个不透明的布袋里装有5个红球,2个白球,3个黄球,它们除颜色外其余都相同,从袋中任意摸出1个球,是黄球的概率为()A.B.C.D.7.(4分)已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC=30°),其中A,B两点分别落在直线m,n上,若∠1=20°,则∠2的度数为()A.20°B.30°C.45°D.50°8.(4分)若一组数据2,3,x,5,7的众数为7,则这组数据的中位数为()A.2 B.3 C.5 D.79.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2,以BC的中点O为圆心分别与AB,AC 相切于D,E两点,则的长为()A.B.C.πD.2π10.(4分)抛物线y=x2﹣2x+m2+2(m是常数)的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.(4分)如图,四边形ABCD是边长为6的正方形,点E在边AB上,BE=4,过点E作EF ∥BC,分别交BD,CD于G,F两点.若M,N分别是DG,CE的中点,则MN的长为()A.3 B.C. D.412.(4分)一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形,且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形,在满足条件的所有分割中.若知道九个小矩形中n个小矩形的周长,就一定能算出这个大矩形的面积,则n的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题(每题4分,满分24分,将答案填在答题纸上)13.(4分)实数﹣8的立方根是.14.(4分)分式方程=的解是.15.(4分)如图,用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:则第⑦个图案有个黑色棋子.16.(4分)如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡,从A滑行至B,已知AB=500米,则这名滑雪运动员的高度下降了米.(参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67)17.(4分)已知△ABC的三个顶点为A(﹣1,﹣1),B(﹣1,3),C(﹣3,﹣3),将△ABC 向右平移m(m>0)个单位后,△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上,则m的值为.18.(4分)如图,在菱形纸片ABCD中,AB=2,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD 的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,则cos∠EFG的值为.三、解答题(本大题共8小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)19.(6分)先化简,再求值:(2+x)(2﹣x)+(x﹣1)(x+5),其中x=.20.(8分)在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.(1)在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形(画出一个即可);(2)将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°,画出经旋转后的三角形.21.(8分)大黄鱼是中国特有的地方性鱼类,有“国鱼”之称,由于过去滥捕等多种因素,大黄鱼资源已基本枯竭,目前,我市已培育出十余种大黄鱼品种,某鱼苗人工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御龙”、“甬岱”、“象山港”共300尾鱼苗进行成活实验,从中选出成活率最高的品种进行推广,通过实验得知“甬岱”品种鱼苗成活率为80%,并把实验数据绘制成下列两幅统计图(部分信息未给出):(1)求实验中“宁港”品种鱼苗的数量;(2)求实验中“甬岱”品种鱼苗的成活数,并补全条形统计图;(3)你认为应选哪一品种进行推广?请说明理由.22.(10分)如图,正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点.点C在x轴负半轴上,AC=AO,△ACO的面积为12.(1)求k的值;(2)根据图象,当y1>y2时,写出x的取值范围.23.(10分)2017年5月14日至15日,“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行,本届论坛期间,中国同30多个国家签署经贸合作协议,某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区.已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同,3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元?(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元,则至少销售甲种商品多少万件?24.(10分)在一次课题学习中,老师让同学们合作编题,某学习小组受赵爽弦图的启发,编写了下面这道题,请你来解一解:如图,将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H,使得AE=CG,BF=DH,连接EF,FG,GH,HE.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形,且∠FEB=45°,tan∠AEH=2,求AE的长.25.(12分)如图,抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点C(6,)在抛物线上,直线AC与y轴交于点D.(1)求c的值及直线AC的函数表达式;(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,连结MO 并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.①求证:△APM∽△AON;②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).26.(14分)有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.(1)如图1,在半对角四边形ABCD中,∠B=∠D,∠C=∠A,求∠B与∠C的度数之和;(2)如图2,锐角△ABC内接于⊙O,若边AB上存在一点D,使得BD=BO,∠OBA的平分线交OA于点E,连结DE并延长交AC于点F,∠AFE=2∠EAF.求证:四边形DBCF是半对角四边形;(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DG⊥OB于点H,交BC于点G,当DH=BG时,求△BGH与△ABC的面积之比.2017年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(4分)(2017•宁波)在,,0,﹣2这四个数中,为无理数的是()A.B.C.0 D.﹣2【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.【解答】解:,0,﹣2是有理数,是无理数,故选:A.【点评】此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如π,,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式.2.(4分)(2017•宁波)下列计算正确的是()A.a2+a3=a5 B.(2a)2=4a C.a2•a3=a5 D.(a2)3=a5【分析】根据积的乘方等于乘方的积,同底数幂的乘法底数不变指数相加,可得答案.【解答】解:A、不是同底数幂的乘法指数不能相加,故A不符合题意;B、积的乘方等于乘方的积,故B不符合题意;C、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故C符合题意;D、幂的乘方底数不变指数相乘,故D不符合题意;故选:C.【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方,熟记法则并根据法则计算是解题关键.3.(4分)(2017•宁波)2017年2月13日,宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮﹣﹣“泰欧”轮,其中45万吨用科学记数法表示为()A.0.45×106吨 B.4.5×105吨C.45×104吨D.4.5×104吨【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:将45万用科学记数法表示为:4.5×105.故选:B.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.4.(4分)(2017•宁波)要使二次根式有意义,则x的取值范围是()A.x≠3 B.x>3 C.x≤3 D.x≥3【分析】二次根式有意义时,被开方数是非负数.【解答】解:依题意得:x﹣3≥0,解得x≥3.故选:D.【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念:式子(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.5.(4分)(2017•宁波)如图所示的几何体的俯视图为()A. B.C.D.【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.【解答】解:从上边看外边是正六边形,里面是圆,故选:D.【点评】本题考查了简单几何体的三视图,熟记常见几何体的三视图是解题关键.6.(4分)(2017•宁波)一个不透明的布袋里装有5个红球,2个白球,3个黄球,它们除颜色外其余都相同,从袋中任意摸出1个球,是黄球的概率为()A.B.C.D.【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率.【解答】解:因为一共10个球,其中3个黄球,所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是.故选:C.【点评】本题考查概率的基本计算,用到的知识点为:概率等于所求情况数与总情况数之比.7.(4分)(2017•宁波)已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC=30°),其中A,B两点分别落在直线m,n上,若∠1=20°,则∠2的度数为()A.20°B.30°C.45°D.50°【分析】根据平行线的性质即可得到结论.【解答】解:∵直线m∥n,∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°,故选D.【点评】本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.8.(4分)(2017•宁波)若一组数据2,3,x,5,7的众数为7,则这组数据的中位数为()A.2 B.3 C.5 D.7【分析】根据众数的定义可得x的值,再依据中位数的定义即可得答案.【解答】解:∵数据2,3,x,5,7的众数为7,∴x=7,则这组数据为2、3、5、7、7,∴中位数为5,故选:C.【点评】本题考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.众数是数据中出现最多的一个数.9.(4分)(2017•宁波)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2,以BC的中点O为圆心分别与AB,AC相切于D,E两点,则的长为()A.B.C.πD.2π【分析】连接OE、OD,由切线的性质可知OE⊥AC,OD⊥AB,由于O是BC的中点,从而可知OD是中位线,所以可知∠B=45°,从而可知半径r的值,最后利用弧长公式即可求出答案.【解答】解:连接OE、OD,设半径为r,∵⊙O分别与AB,AC相切于D,E两点,∴OE⊥AC,OD⊥AB,∵O是BC的中点,∴OD是中位线,∴OD=AE=AC,∴AC=2r,同理可知:AB=2r,∴AB=AC,∴∠B=45°,∵BC=2∴由勾股定理可知AB=2,∴r=1,∴==故选(B)【点评】本题考查切线的性质,解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r 的值,本题属于中等题型.10.(4分)(2017•宁波)抛物线y=x2﹣2x+m2+2(m是常数)的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】先根据抛物线的顶点式求出抛物线y=x2﹣2x+m2+2(m是常数)的顶点坐标,再根据各象限内点的坐标特点进行解答.【解答】解:∵y=x2﹣2x+m2+2=(x﹣1)2+(m2+1),∴顶点坐标为:(1,m2+1),∵1>0,m2+1>0,∴顶点在第一象限.故选A.【点评】本题考查的是二次函数的性质及各象限内点的坐标特点,根据题意得出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键.11.(4分)(2017•宁波)如图,四边形ABCD是边长为6的正方形,点E在边AB上,BE=4,过点E作EF∥BC,分别交BD,CD于G,F两点.若M,N分别是DG,CE的中点,则MN的长为()A.3 B.C. D.4【分析】作辅助线,构建全等三角形,证明△EMF≌△CMD,则EM=CM,利用勾股定理得:BD==6,EC==2,可得△EBG是等腰直角三角形,分别求EM=CM的长,利用勾股定理的逆定理可得△EMC是等腰直角三角形,根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长.【解答】解:连接FM、EM、CM,∵四边形ABCD为正方形,∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,BC=CD,∵EF∥BC,∴∠GFD=∠BCD=90°,EF=BC,∴EF=BC=DC,∵∠BDC=∠ADC=45°,∴△GFD是等腰直角三角形,∵M是DG的中点,∴FM=DM=MG,FM⊥DG,∴∠GFM=∠CDM=45°,∴△EMF≌△CMD,∴EM=CM,过M作MH⊥CD于H,由勾股定理得:BD==6,EC==2,∵∠EBG=45°,∴△EBG是等腰直角三角形,∴EG=BE=4,∴BG=4,∴DM=∴MH=DH=1,∴CH=6﹣1=5,∴CM=EM==,∵CE2=EM2+CM2,∴∠EMC=90°,∵N是EC的中点,∴MN=EC=;故选C.【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理,属于基础题,本题的关键是证明△EMC 是直角三角形.12.(4分)(2017•宁波)一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形,且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形,在满足条件的所有分割中.若知道九个小矩形中n个小矩形的周长,就一定能算出这个大矩形的面积,则n的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积,进而得出符合题意的答案.【解答】解:如图所示:设①的周长为:4x,③的周长为2y,④的周长为2b,即可得出①的边长以及③和④的邻边和,设②的周长为:4a,则②的边长为a,可得③和④中都有一条边为a,则③和④的另一条边长分别为:y﹣a,b﹣a,故大矩形的边长分别为:b﹣a+x+a=b+x,y﹣a+x+a=y+x,故大矩形的面积为:(b+x)(y+x),其中b,x,y都为已知数,故n的最小值是3.故选:A.【点评】此题主要考查了推理与论证,正确结合正方形面积表示出矩形各边长是解题关键.二、填空题(每题4分,满分24分,将答案填在答题纸上)13.(4分)(2017•宁波)实数﹣8的立方根是﹣2.【分析】利用立方根的定义即可求解.【解答】解:∵(﹣2)3=﹣8,∴﹣8的立方根是﹣2.故答案﹣2.【点评】本题主要考查了立方根的概念.如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a (x3=a),那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做三次方根.14.(4分)(2017•宁波)分式方程=的解是x=1.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解:去分母得:4x+2=9﹣3x,解得:x=1,经检验x=1是分式方程的解,故答案为:x=1【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.15.(4分)(2017•宁波)如图,用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:则第⑦个图案有19个黑色棋子.【分析】根据图中所给的黑色棋子的颗数,找出其中的规律,根据规律列出式子,即可求出答案.【解答】解:第一个图需棋子1,第二个图需棋子1+3,第三个图需棋子1+3×2,第四个图需棋子1+3×3,…第n个图需棋子1+3(n﹣1)=3n﹣2枚.所以第⑦个图形有19颗黑色棋子.故答案为:19;【点评】此题考查了图形的变化类,是一道关于数字猜想的问题,关键是通过归纳与总结,得到其中的规律.16.(4分)(2017•宁波)如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡,从A滑行至B,已知AB=500米,则这名滑雪运动员的高度下降了280米.(参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67)【分析】如图在Rt△ABC中,AC=AB•sin34°=500×0.56≈280m,可知这名滑雪运动员的高度下降了280m.【解答】解:如图在Rt△ABC中,AC=AB•sin34°=500×0.56≈280m,∴这名滑雪运动员的高度下降了280m.故答案为280【点评】本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识,解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义,属于中考常考题型.17.(4分)(2017•宁波)已知△ABC的三个顶点为A(﹣1,﹣1),B(﹣1,3),C(﹣3,﹣3),将△ABC向右平移m(m>0)个单位后,△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上,则m的值为4或.【分析】求得三角形三边中点的坐标,然后根据平移规律可得AB边的中点(﹣1,1),BC边的中点(﹣2,0),AC边的中点(﹣2,﹣2),然后分两种情况进行讨论:一是AB边的中点在反比例函数y=的图象上,二是AC边的中点在反比例函数y=的图象上,进而算出m的值.【解答】解:∵△ABC的三个顶点为A(﹣1,﹣1),B(﹣1,3),C(﹣3,﹣3),∴AB边的中点(﹣1,1),BC边的中点(﹣2,0),AC边的中点(﹣2,﹣2),∵将△ABC向右平移m(m>0)个单位后,∴AB边的中点平移后的坐标为(﹣1+m,1),AC边的中点平移后的坐标为(﹣2+m,﹣2).∵△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上,∴﹣1+m=3或﹣2×(﹣2+m)=3.∴m=4或m=(舍去).故答案为4或.【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点,关键是掌握反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.18.(4分)(2017•宁波)如图,在菱形纸片ABCD中,AB=2,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,则cos∠EFG的值为.【分析】作EH⊥AD于H,连接BE、BD,连接AE交FG于O,如图,利用菱形的性质得△BDC 为等边三角形,∠ADC=120°,再在在Rt△BCE中计算出BE=CE=,接着证明BE⊥AB,设AF=x,利用折叠的性质得到EF=AF,FG垂直平分AE,∠EFG=∠AFG,所以在Rt△BEF中利用勾股定理得(2﹣x)2+()2=x2,解得x=,接下来计算出AE,从而得到OA的长,然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF,再利用余弦的定义求解.【解答】解:作EH⊥AD于H,连接BE、BD,连接AE交FG于O,如图,∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,∴△BDC为等边三角形,∠ADC=120°,∵E点为CD的中点,∴CE=DE=1,BE⊥CD,在Rt△BCE中,BE=CE=,∵AB∥CD,∴BE⊥AB,设AF=x,∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,∴EF=AF,FG垂直平分AE,∠EFG=∠AFG,在Rt△BEF中,(2﹣x)2+()2=x2,解得x=,在Rt△DEH中,DH=DE=,HE=DH=,在Rt△AEH中,AE==,∴AO=,在Rt△AOF中,OF==,∴cos∠AFO==.故答案为.【点评】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了菱形的性质.三、解答题(本大题共8小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)19.(6分)(2017•宁波)先化简,再求值:(2+x)(2﹣x)+(x﹣1)(x+5),其中x=.【分析】原式利用平方差公式,以及多项式乘以多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.【解答】解:原式=4﹣x2+x2+4x﹣5=4x﹣1,当x=时,原式=6﹣1=5.【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.20.(8分)(2017•宁波)在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.(1)在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形(画出一个即可);(2)将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°,画出经旋转后的三角形.【分析】(1)根据成轴对称图形的概念,分别以边AC、BC所在的直线为对称轴作出图形即可;(2)根据网格结构找出点A、B绕着点C按顺时针方向旋转90°后的对应点的位置,再与点C 顺次连接即可.【解答】解:如图所示.【点评】本题考查了利用旋转变换作图,利用平移变换作图,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.21.(8分)(2017•宁波)大黄鱼是中国特有的地方性鱼类,有“国鱼”之称,由于过去滥捕等多种因素,大黄鱼资源已基本枯竭,目前,我市已培育出十余种大黄鱼品种,某鱼苗人工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御龙”、“甬岱”、“象山港”共300尾鱼苗进行成活实验,从中选出成活率最高的品种进行推广,通过实验得知“甬岱”品种鱼苗成活率为80%,并把实验数据绘制成下列两幅统计图(部分信息未给出):(1)求实验中“宁港”品种鱼苗的数量;(2)求实验中“甬岱”品种鱼苗的成活数,并补全条形统计图;(3)你认为应选哪一品种进行推广?请说明理由.【分析】(1)求出“宁港”品种鱼苗的百分比,乘以300即可得到结果;(2)求出“甬岱”品种鱼苗的成活数,补全条形统计图即可;(3)求出三种鱼苗成活率,比较即可得到结果.【解答】解:(1)根据题意得:300×(1﹣30%﹣25%﹣25%)=60(尾),则实验中“宁港”品种鱼尾有60尾;(2)根据题意得:300×30%×80%=72(尾),则实验中“甬岱”品种鱼苗有72尾成活,补全条形统计图:(3)“宁港”品种鱼苗的成活率为×100%=85%; “御龙”品种鱼苗的成活率为×100%=74.6%; “象山港”品种鱼苗的成活率为×100%=80%,则“宁港”品种鱼苗的成活率最高,应选“宁港”品种进行推广.【点评】此题考查了条形统计图,扇形统计图,弄清题中的数据是解本题的关键.22.(10分)(2017•宁波)如图,正比例函数y 1=﹣3x 的图象与反比例函数y 2=的图象交于A 、B 两点.点C 在x 轴负半轴上,AC=AO ,△ACO 的面积为12.(1)求k 的值;(2)根据图象,当y 1>y 2时,写出x 的取值范围.【分析】(1)过点A 作AD 垂直于OC ,由AC=AO ,得到CD=DO ,确定出三角形ADO 与三角形ACD 面积,即可求出k 的值;(2)根据函数图象,找出满足题意x 的范围即可.【解答】解:(1)如图,过点A 作AD ⊥OC ,∵AC=AO ,∴CD=DO ,∴S △ADO =S △ACD =6,∴k=﹣12;(2)根据图象得:当y1>y2时,x的范围为x<﹣2或0<x<2.【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用了数形结合的思想,熟练掌握各函数的性质是解本题的关键.23.(10分)(2017•宁波)2017年5月14日至15日,“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行,本届论坛期间,中国同30多个国家签署经贸合作协议,某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区.已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同,3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元?(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元,则至少销售甲种商品多少万件?【分析】(1)可设甲种商品的销售单价x元,乙种商品的销售单价y元,根据等量关系:①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同,②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元,列出方程组求解即可;(2)可设销售甲种商品a万件,根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元,列出不等式求解即可.【解答】解:(1)设甲种商品的销售单价x元,乙种商品的销售单价y元,依题意有,解得.答:甲种商品的销售单价900元,乙种商品的销售单价600元;(2)设销售甲种商品a万件,依题意有900a+600(8﹣a)≥5400,解得a≥2.答:至少销售甲种商品2万件.【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用,解决本题的关键是读懂题意,找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系.24.(10分)(2017•宁波)在一次课题学习中,老师让同学们合作编题,某学习小组受赵爽弦图的启发,编写了下面这道题,请你来解一解:如图,将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H,使得AE=CG,BF=DH,连接EF,FG,GH,HE.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形,且∠FEB=45°,tan∠AEH=2,求AE的长.【分析】(1)由矩形的性质得出AD=BC,∠BAD=∠BCD=90°,证出AH=CF,在Rt△AEH和Rt △CFG中,由勾股定理求出EH=FG,同理:EF=HG,即可得出四边形EFGH为平行四边形;(2)在正方形ABCD中,AB=AD=1,设AE=x,则BE=x+1,在Rt△BEF中,∠BEF=45°,得出BE=BF,求出DH=BE=x+1,得出AH=AD+DH=x+2,在Rtt△AEH中,由三角函数得出方程,解方程即可.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=90°,∵BF=DH,∴AH=CF,在Rt△AEH中,EH=,在Rt△CFG中,FG=,∵AE=CG,∴EH=FG,同理:EF=HG,∴四边形EFGH为平行四边形;(2)解:在正方形ABCD中,AB=AD=1,设AE=x,则BE=x+1,在Rt△BEF中,∠BEF=45°,∴BE=BF,∵BF=DH,∴DH=BE=x+1,∴AH=AD+DH=x+2,在Rtt△AEH中,tan∠AEH=2,∴AH=2AE,∴2+x=2x,解得:x=2,∴AE=2.【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行四边形的判定、正方形的性质、三角函数等知识;熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解决问题的关键.25.(12分)(2017•宁波)如图,抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点C(6,)在抛物线上,直线AC与y轴交于点D.(1)求c的值及直线AC的函数表达式;(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,连结MO 并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.①求证:△APM∽△AON;②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).【分析】(1)把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值,令y=0可求得A点坐标,利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式;(2)①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD,在Rt△OPQ中可求得MP=MO,可求得∠MPO=∠MOP=∠AON,则可证得△APM∽△AON;②过M作ME⊥x轴于点E,用m可表示出AE和AP,进一步可表示出AM,利用△APM∽△AON可表示出AN.【解答】解:(1)把C点坐标代入抛物线解析式可得=9++c,解得c=﹣3,∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3,令y=0可得x2+x﹣3=0,解得x=﹣4或x=3,∴A(﹣4,0),设直线AC的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把A、C坐标代入可得,解得,∴直线AC的函数表达式为y=x+3;(2)①∵在Rt△AOB中,tan∠OAB==,在RtAOD中,tan∠OAD==,∴∠OAB=∠OAD,∵在Rt△POQ中,M为PQ的中点,∴OM=MP,∴∠MOP=∠MPO,且∠MOP=∠AON,∴∠APM=∠AON,∴△APM∽△AON;②如图,过点M作ME⊥x轴于点E,则OE=EP,∵点M的横坐标为m,∴AE=m+4,AP=2m+4,∵tan∠OAD=,∴cos∠EAM=cos∠OAD=,∴=,∴AM=AE=,∵△APM∽△AON,∴=,即=,∴AN=.【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识.在(1)中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式,以及待定系数法的应用,在(2)①中确定出两对对应角相等是解题的关键,在(2)②中用m表示出AP的长是解题的关键,注意利用相似三角形的性质.本题考查知识点较多,综合性较强,难度较大.26.(14分)(2017•宁波)有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.(1)如图1,在半对角四边形ABCD中,∠B=∠D,∠C=∠A,求∠B与∠C的度数之和;(2)如图2,锐角△ABC内接于⊙O,若边AB上存在一点D,使得BD=BO,∠OBA的平分线交OA于点E,连结DE并延长交AC于点F,∠AFE=2∠EAF.求证:四边形DBCF是半对角四边形;(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DG⊥OB于点H,交BC于点G,当DH=BG时,求△BGH与△ABC的面积之比.【分析】(1)根据题意得出∠B=∠D,∠C=∠A,代入∠A+∠B+∠C+∠D=360°求出即可;(2)求出△BED≌△BEO,根据全等得出∠BDE=∠BOE,连接OC,设∠EAF=α,则∠AFE=2∠EAF=2α,求出∠EFC=180°﹣2α,∠AOC=180°﹣2α,即可得出等答案;(3)过点O作OM⊥BC于M,求出∠ABC+∠ACB=120°,求出∠OBC=∠OCB=30°,根据直角三角形的性质得出BC=2BM=BO=BD,求出△DBG∽△CBA,根据相似三角形的性质得出即可.【解答】解:(1)在半对角四边形ABCD中,∠B=∠D,∠C=∠A,∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∴3∠B+3∠C=360°,∴∠B+∠C=120°,即∠B与∠C的度数和为120°;(2)证明:∵在△BED和△BEO中∴△BED≌△BEO,∴∠BDE=∠BOE,∵∠BCF=∠BOE,∴∠BCF=∠BDE,连接OC,设∠EAF=α,则∠AFE=2∠EAF=2α,∴∠EFC=180°﹣∠AFE=180°﹣2α,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=α,∴∠AOC=180°﹣∠OAC﹣∠OCA=180°﹣2α,∴∠ABC=∠AOC=∠EFC,∴四边形DBCF是半对角四边形;(3)解:过点O作OM⊥BC于M,∵四边形DBCF是半对角四边形,∴∠ABC+∠ACB=120°,∴∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴BC=2BM=BO=BD,∵DG⊥OB,∴∠HGB=∠BAC=60°,∵∠DBG=∠CBA,∴△DBG∽△CBA,∴=()2=,∵DH=BG,BG=2HG,∴DG=3HG,∴=,∴=.【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定等知识点,能灵活运用性质进行推理是解此题的关键,难度偏大.。