为什么复振幅模值的平方可以表示辐照度分布

为什么复振幅模值的平方可以表示辐照度分布
特殊情况（平面波）
电磁场的电场，磁场矢量：
E =E 0cos (kx −ωt +φ0)⟺E 0exp⁡
{j(kx −ωt +φ0)} H =0με(kx −ωt +φ0)⟺0με{j(kx −ωt +φ0)} 电场的复振幅为：
E =E 0exp⁡
{j(kx +φ0)} 坡印廷矢量为：
S =E ∙H =E 02με
2(kx −ωt +φ0) 一个周期的能量为：
W =∫S 2πω0dt =∫
E 02με2(kx −ωt +φ0)2πω0
dt =πE 02ωμε∝E 02ω 能量的平均值为： W ̅=W 2πω
=E 022με∝E 02 复振幅的模值为：
E 02
一般情况，假设电场矢量复振幅已知，为：
E =Aexp⁡
{j (ax +b )+(cx +d)} 作如下变换：
E =Aex p {ja +b }=A ∙exp {(cx +d)}∙exp {j (ax +b )}
电场，磁场矢量为：
E =A ∙exp {(cx +d)}∙cos(ax +b +ωt) H =A με∙exp {(cx +d)}∙cos(ax +b +ωt) 坡印廷矢量为：
S =E ∙H =2
με
exp {2(cx +d)}∙cos 2(ax +b +ωt) 一个周期内的能量为： W =∫S 2πω
dt =πA 2ωμε∙exp {2(cx +d)}∝A 2∙exp {2(cx +d)}ω 能量平均值为： W ̅=W 2πω
=A 22με∙exp {2(cx +d)}∝A 2∙exp {2(cx +d)} 复振幅的模值为：
A 2∙exp {2(cx +d)}
一般平面情况
假设其复振幅为：
E =w(x,y)∙exp {ju (x,y )+v(x,y)}
作如下变换：
E =w(x,y)∙exp {v(x,y)}∙exp {ju (x,y )}
电磁场矢量分别为：
E =w(x,y)∙exp {v (x,y )}∙cos {ju (x,y )−ωt }
H =w(x,y)εμ∙exp {v (x,y )}∙cos {ju (x,y )−ωt } 坡印廷矢量为：
S =w 2(x,y)εμ
∙exp {2v (x,y )}∙cos 2{ju (x,y )−ωt } 一个周期内的能量为：
W =∫S 2πω
dt =w 2(x,y)2εμexp {2v (x,y )}∙2πω 能量的平均值为：
W ̅=W 2πω
=w 2(x,y)2εμ∙exp {2v (x,y )}∝w 2(x,y)∙exp {2v (x,y )} 复振幅模的平方为：
w 2(x,y)∙exp {2v (x,y )}
由计算结果可得结论：电磁波（光波）的一个周期内的能量值与模值的平方除角频率的值成正比，能量的平均值与复振幅模值的平方成正比，可以拿复振幅的模值的平方表示能量分布。

两个波叠加过程用复振幅表示同样也可以用复振幅模值的平方表示复振幅分布 假设两个波复振幅分别为：
E 1=u 1(x,y)∙exp {jv 1(x,y)}
E 2=u 2(x,y)∙exp {jv 2(x,y)}
对应的函数分别为：
E 1=u 1(x,y)∙cos {v 1(x,y )−ωt }
E 2=u 2(x,y)∙cos {v 2(x,y )−ωt }
和函数为：
E =E 1+E 2
H =εμ=12εμ
坡印廷矢量为：
S =εμ
∙(E 1+E 2)2 =1εμ
∙(E 12+E 22+2E 1E 2)2 =1εμ
∙{u 12(x,y )∙cos 2[v 1(x,y )−ωt ]+u 22(x,y )∙cos 2[v 2(x,y )−ωt ]+2u 1(x,y )u 2(x,y )cos [v 1(x,y )−ωt ]cos [v 2(x,y )−ωt ]}
=1εμ
∙{u 12(x,y )∙cos 2[v 1(x,y )−ωt ]+u 22(x,y )∙cos 2[v 2(x,y )−ωt ]+u 1(x,y )u 2(x,y )cos [v 1(x,y )+v 2(x,y )−2ωt ]cos [v 2(x,y )−v 1(x,y )]}
一个周期内的能量为： W =∫S 2πω0dt =
12εμ2πω
∙{u 12(x,y )+u 22(x,y )+2u 1(x,y )u 2(x,y )cos[v 2(x,y )−v 1(x,y )]} 能量平均值为：
W ̅=W 2πω
=12εμ{u 12(x,y )+u 22(x,y )+2u 1(x,y )u 2(x,y )cos[v 2(x,y )−v 1(x,y )]} 复振幅相加：
E =E 1+E 2
=u 1(x,y)∙cos⁡[v 1(x,y )]+u 2(x,y)∙cos[v 2(x,y )]+j{u 1(x,y)∙sin[v 1(x,y )]
+u 2(x,y)∙sin[v 2(x,y )]}
复振幅模值的平方：
u 12(x,y )+u 22(x,y )+2u 1(x,y )u 2(x,y )cos[v 2(x,y )−v 1(x,y )]
当只进行线性运算时，利用复振幅表示波进行加减运算后的结果也满足复振幅模值的平方可以用来表示辐照度分布这一结论。