【实用资料】奥数第1讲[1][1].竞赛123班.教师版.doc
四年级全册奥数精品讲义1-20讲(全册奥数)
目录◆第一讲找规律（一） (2)◆第二讲找规律（二） (5)◆第三讲长方形和正方形（一） (8)◆第四讲长方形和正方形（二） (11)◆第五讲算式谜（一） (14)◆第六讲算式谜（二） (17)◆第七讲植树问题（一） (19)◆第八讲植树问题（二） (22)◆能力测试（一） (25)◆第九讲和差问题（一） (28)◆第十讲和倍问题（一） (31)◆第十一讲和倍问题（二） (33)◆第十二讲差倍问题 (35)◆第十三讲年龄问题（一） (38)◆第十四讲年龄问题（二） (41)◆第十五讲还原问题（一） (43)◆第十六讲还原问题（二） (45)◆能力测试（二） (48)◆第17讲周期问题（一） (2)◆第18讲周期问题（二） (7)◆第19讲假设问题（一） (12)◆第20讲假设问题（二） (16)◆第21讲计数问题（一） (17)◆第22讲计数问题（二） (19)◆第23讲容斥问题（一） (23)◆第24讲容斥问题（二） (26)◆能力测试（一） (26)◆第25讲行程问题（一） (28)◆第26讲行程问题（二） (31)◆第27讲平均数问题 (35)◆第28讲推理问题（一） (37)◆第29讲推理问题（二） (39)◆第30讲巧算（一） (40)◆第31讲巧算（二） (45)◆第32讲巧算（二） (45)◆第33讲巧算（三） (45)◆第34讲等量代换 (45)◆第35讲拼拼算算 (45)◆能力测试（二） (63)第一讲 找规律（一）事物的发展中有规律的，只有认为观察事物，找到事物发展变化的规律，才能深入地了解和掌握它，从而找到解决问题的方法和途径。
在数学竞赛中，常常出现按规律填数的题目，找规律的方法是根据已知数的前后（可上下）之间的联系，找出其中的规律。
例题与方法例1． 请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
（1）1，5，9，13，（ ），21，25。
（2）3，6，12，24，（ ），96，192。
奥数讲座第一讲课件
数学在金融和经济领域的模型和决策分析 方面有广泛应用。
3 工程技术
4 计算机科学
数学在工程和技术领域中的建模和优化中 发挥重要作用。
数学是计算机科学中的基础，涉及算法、 数据结构和密码学等方面。
奥数讲座的案例分析
1
Case 1
通过奥数讲座培训，一名学生在数学竞赛中获得金牌。
2
Case 2
一位科学家利用奥数思维解决了一个复杂的科学难题。
奥数讲座的学习方法
自主学习
鼓励学生独立思考和主动学 习，通过解决问题来提高数 学能力。
合作学习
通过小组合作学习，增强学 生的团队合作精神和沟， 让学生将数学知识应用到实 际场景中。
奥数讲座的应用领域
1 科学研究
2 金融与经济
数学在物理、化学、生物等科学研究中起 着重要的作用。
奥数讲座第一讲ppt课件
欢迎参加奥数讲座第一讲！通过本课件，我们将介绍奥数讲座的目的、主要 内容、学习方法、应用领域、案例分析以及学习资源，让您对奥数有更全面 的了解。
奥数讲座的目的
我们的目的是激发学生对数学的兴趣，提高数学思维能力，培养创新思维和 解决问题的能力。通过奥数讲座，学生将学习到更多的数学知识和技巧。
3
Case 3
一家公司应用奥数方法优化了生产流程，提高了效率和质量。
奥数讲座的学习资源
教材和参考书
竞赛资料
提供丰富的数学教材和参考书， 帮助学生深入理解数学知识。
提供各类数学竞赛的模拟题和 解析，帮助学生提高解题和答 题速度。
在线资源
提供丰富的在线数学学习资源， 包括视频课程、习题库和学习 社区。
奥数讲座的主要内容
基础概念
深入浅出地讲解数学的基础概念，帮助学生 建立坚实的数学基础。
三年级奥数 第一讲
常见方法：
❖ 1.补数凑整法： ❖ 2.拆数凑整法
3.合理分组 4.基准数法（标准数） 5.公式法（等差数列...） 6.靠经验来做题 （多种方法的综合应用）
❖
接下来我们进行演练
加法交换律、结合律
• 在加法运算中，交换加数的位置，改变运 算顺序，计算结果不变。
快数要求
• 一个人认不认真，看你语文成绩怎么样，一个人聪不聪明， 看你数学成绩怎么样，那么奥数，就上让你变得更聪明， 它训练你的思维能力，让你以后和别人面对同一个问题的 时候，能够更快更有效率更轻松的解决。为了达到这样的 目标，快数对你们提出以下几点要求：
• 1、认真听讲，积极思考和回答问题。 • 2、完成课堂笔记和课堂作业，写在一个本上，要
4.带符号搬家“+” ,“-” （同级运算）
• 325＋46-125＋54
• 19+12-19＋3+4 -12
• 497+334－297
补数凑整法
• 例1、1999＋199＋19
• 试一试1、 3999＋499＋59
拆数凑整
• 例2、97＋979＋124
• 试一试2、 98＋3＋99＋998＋3＋9
• =（11+81）×8÷2
• =92×4
• =368
举一反三：
• 计算： • 28+44+39+62+56+21 • 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18
小学四年级奥数教程——第一讲整理版
= 21×20÷2 = 210
⑵2＋4＋6＋8＋ ?＋ 48＋50 =（2＋50） ×25÷2
= 52×25÷2 = 650 注意：利用等差数列求和公式之前 ，一定要判断题目中的各个 加数是否构成等差数列。
练一练：
⑴计算1＋2＋3＋4＋5 ＋ ?＋ 49＋50的和 解： 原式 ＝（1＋50） ×50÷2
= 51×50÷2 = 1275 ⑵计算1＋3＋5＋7＋ ?＋ 97＋99的和 解： 原式 ＝（1＋99） ×50÷2 = 100×50÷2 = 2500 ⑶第一行放了1颗糖 ，第二行放了2颗糖 ，第三行放了3颗糖 ，依 此类推 ，第四十行放了40颗糖 ，第一～四十行一共放了多少颗 糖？ 1＋2＋3＋4＋5 ＋ ?＋ 40 =（ 1＋40） ×40÷2 = 41×40÷2 = 820（颗）
= 1006 解法二：（2＋4＋6＋ ?＋ 2012）－（ 1＋3＋5＋ ?＋ 2011）
=（2－1） ＋（4 －3） ＋ ? ＋（ 2012－2011）
= 1×1006 = 1006
练一练：
⑴ （7＋9＋ 11＋ ?＋ 25）－（5＋7＋9＋?＋ 23）
解法一 ：（25－7） ÷2＋ 1
= 18÷2＋ 1 =9＋ 1
= 90÷6＋ 1
= 15＋ 1 = 16 总和 ＝（ 1＋91） ×16÷2 = 92×16÷2
= 736
练一练：
⑵在1—400中 ，所有不是9的倍数的数的和是多少？
分析： 1—400中 ，所有“不是9的倍数的数的和 ” ，可以先求出 1—400各数的和 ，再去掉所有9的倍数的数的和 ，就能得到所 要求的结果 。而在所有9的倍数的数中 ，最小的是9，最大的 是396，相邻两数都相差9 。即这些数依次是9 、18 、27、?396。 显然 ，它们成等差数列 。项数是（ 396－9） ÷9＋ 1 ＝44 （ 1＋2＋3＋?＋ 400）－（9＋18＋27＋?＋ 396）
小学生奥数精讲教材目次汇总(1-6年级)
越小，乘机越大；差越大，乘积越小。
乘法原理：m1*m2*…*mn
如果2个正整数的乘积一定，则这2个正整数的
差越小，和越小；差域大，和越大。
把1个正整数分拆成N个正整数之和，则乘积
越大，正整数应都是2或3，且2最多不超过2
第20讲 幻方
第20讲 奇数与偶数
每行、每列、每条对角线上的3个正整数的和
均相等
第17讲 利用图形解题
第18讲 巧解应用题 第19讲 火柴棒游戏
第20讲 数学趣题
三年级
第1讲 速算与巧算 加法的简便运算： A+B=B+A （A+B）+C=A+（B+C） 减法的简便运算: A-B-C=A-(B+C) A-B+C=A-(B-C)
四年级
第1讲 速算与巧算 分解或合并、利用特殊数、添括号或取括号、 带符号搬家
第12讲 数阵图 重叠数1个，数阵图的填法是唯一的； 重叠数2个，填法可能是不唯一的； 第13讲 长方形的面积
第14讲 数谜问题 重叠问题
第15讲 定义新运算
第15讲 图形的拼切与面积计算 利用面积大小的逐推、利用图形的对称性、旋 转分割
第16讲 混合运算与应用题
第16讲 巧算24点
同级运算，从左到右依次计算
第2讲 平均数 平均数：使几个不相等的数变成相等的数 平均数=总数/份数
第2讲 和倍问题 和/（倍数+1）=较小数 较小数*倍数=较大数 和-较小数=较大数
第3讲 简单数列求和
第3讲 差倍关系
等差数列：当一列数的规律是相邻2项的差是 2个量的差/2个量的倍数差，求1倍数
一个固定的数
固定的差：d；和：S；项数：n
四年级奥数讲义教案库第1讲竞赛班教师版
第一讲速算与巧算1. 掌握常用的运算律并能熟练运用；2. 掌握周期性数字的特征；3. 掌握从简单情况找规律的思想方法。
在计算的过程中，运算律的应用是最常用的技巧。
经常用到的运算律有：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：()()a b c a b c ++=++⑶乘法交换律：a b b a ⨯=⨯⑷乘法结合律：()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⑸乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯（反过来就是提取公因数） ⑹减法的性质：()a b c a b c --=-+ ⑺除法的性质：()a b c a b c ÷⨯=÷÷ ()a b c a c b c +÷=÷+÷ ()a b c a c b c -÷=÷-÷教学目标巧用运算律 经典精讲去括号对运算符号的影响：⑴在“+”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都不变；⑵在“-”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都改变，其中“+”号变成“-”号，“-”号变成“+”号；⑶在“⨯”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；⑷在“÷”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都改变，其中“⨯”号变成“÷”号，“÷”号变成“⨯”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算。
此外，下面的三个结论也是很有用的：和不变性质：如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，它们的和不变；积不变性质：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，它们的积不变；商不变性质：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，它们的商不变。
【例1】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）计算：11353715⨯-⨯【分析】根据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，进行适当变换，再提取公因数，进而凑整求和。
奥数-一年级-教案-第1讲.基础班.教师版
第一讲数字趣题这节课我们主要引导学生来认识数位，并掌握不同数位所表示的意义．在这个基础上来学习数的组成与分解以及根据条件写数字问题．在解答这类题的时候老师要引导学生从已知条件出发进行推理，并且按一定的顺序来进行思考，让学生对数字的认识上一个台阶，对数的组成有个更深的理解．1、教学点为各位老师提供了本节课挂图．2、教师自制一个计数器．第一讲数字趣题猜猜我是谁？神奇的数字伙伴们，一眨眼就变成了各种不同的水果，根据他们说的话，猜一猜他们各是谁？【教学思路】开课的时候，通过抢答的形式，让学生来猜一猜这些数，初步感知不同的数，它所表示的意思不一样，它的组成也不同．让学生对数字产生好奇．（1）我比10大，但比20小，我的个位与十位上的数字相同，我是谁？（11）（2）我和最小的两位数成了好朋友，组成了100，我是谁？（90）（3）我是最大的两位数，你知道我是谁？（99）（4）我是最小的三位数，最小的三位数是（100），最大的三位数是（999）．老师可根据时间情况，另外出一些数字问题的谜语，用卡片出示让学生来抢答．小朋友们，我们知道一个数，都是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成的，不同的数大小不同，它所表示的意思也不同．今天这节课就让我们一起来研究这有趣的数字问题吧！大家猜猜我是几？想一想，个位数字是“6”的两位数一共有多少？请你把它们全部写出来．个位数字是“6”的两位数有：【教学思路】两位数中，个位数字是“6”，而十位上的数字没有限制，可以是1，2，3，4，5，6，7，8，9．（让学生想一想：能不能是0？）个位数字是“6”的两位数一共有9个：16，26，36，46，56，66，76，86，96小结：“0”是一个特殊的数，当某一个数位上一个也没有的时候就用“0”来占位，但是它不能放在最高位．在所有的两位数中，个位数字与十位数字相同的一共有多少个？请你写出来．【教学思路】两位数中，十位上的数字有九个：1，2，3，4，5，6，7，8，9．因为十位上不能为0，所以十位上有九个数．个位数字与十位数字相同的两位数，共有9个：11，22，33，44，55, 66，77，88，99．从1写到20，一共要写多少个“1”？【教学思路】从1到20，包含有1的数字有“1、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19”，数一数，一共写了12个“1”。
小学数学奥数基础教程(四年级)--01.doc
小学数学奥数基础教程(四年级)本教程共30讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。
例1所用的方法叫做加法的基准数法。
这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。
作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。
由例1得到：总和数=基准数×加数的个数+累计差，平均数=基准数+累计差÷加数的个数。
在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。
同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。
例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。
小学奥数第一节课教案模板
教学目标：1. 让学生了解奥数的概念，激发学生对奥数的兴趣。
2. 培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
3. 培养学生的团队合作精神和自主学习能力。
教学重点：1. 奥数的概念和特点。
2. 培养学生的逻辑思维能力。
教学难点：1. 奥数问题的解决方法。
2. 培养学生的团队合作精神和自主学习能力。
教学过程：一、导入1. 教师简要介绍奥数的概念和起源，让学生对奥数有一个初步的了解。
2. 提问：同学们，你们知道奥数吗？奥数有什么特点？二、新课导入1. 教师讲解奥数的概念和特点，强调奥数注重培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
2. 举例说明奥数题目与常规数学题目的区别，让学生感受到奥数的魅力。
三、课堂讲解1. 教师讲解一道简单的奥数题目，引导学生分析题目，找出解题思路。
2. 教师引导学生进行讨论，培养学生的团队合作精神。
四、课堂练习1. 教师布置几道简单的奥数题目，让学生独立完成。
2. 教师巡视课堂，解答学生提出的问题。
五、课堂小结1. 教师对本节课所学内容进行总结，强调奥数的特点和重要性。
2. 鼓励学生在课后多做题，提高自己的奥数水平。
六、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 尝试解决一些简单的奥数题目，提高自己的解题能力。
教学反思：1. 本节课通过讲解奥数的概念和特点，激发了学生对奥数的兴趣。
2. 在课堂讲解和练习过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
3. 课后作业的设计旨在巩固所学知识，提高学生的解题能力。
注意事项：1. 教师在讲解奥数题目时，要注重启发学生思考，引导学生找到解题思路。
2. 在课堂练习环节，教师要及时解答学生提出的问题，帮助学生掌握解题方法。
3. 在课后作业布置方面，要注重难度适中，让学生在完成作业的过程中有所收获。
奥数第一课
小结：加减混合，善用括号。 减号后加（或者去掉）括号， 括号里的运算符号要改变。
例4、（1）428+199 （2）1035-298
小结:少加要加，多加要减； 少减要减，多减要加。
例5、84+79+85+74+83
小结：几个相近的数相加，用乘法 来算比较简便，注意：少加要加， 多加要减。
速算巧算很重要，凑整方法是诀窍。
仔细观察数特点，才能找到算技巧。
学习要求：
1、按时上学，有事请假。
2、养成良好的书写习惯。 3、拓展数学思维，学习数学探究方法。
4、学会预习并发表自己的见解。
5、善于倾听并学会与他人合作。
6、知难而上，持之以恒。
简单的补数训练
1、什么叫补数？
如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、 整千。。。的数，那么其中一个数叫做另 一个数”的简称。 作为一项数学国际性比赛，奥数在中国，既 不属于义务教育范围，又非英语、计算机等 必须掌握的技能。但它所引起的热潮却不容 小觑：去年6月，本市某知名奥数班报名当 天，规定只招300人，结果几千名家长在校 门口排起长龙，引来当地民警出面维持秩序 和交通。一位奥数教师保守估计，杭州起码 有两成以上的小学生在学奥数。
2、快速说出一些数的补数。
第一讲：加减法巧算 例1 、（1）72+463+28 （2）247+195+753+405
小结：连加运算找补数。
例2、（1）65+75+45 （2）999+198+27+6
小结：拆分找补数。
例3、（1）436-199+164
（2）946-54-146 （3）357-（240-43）
小学奥数培训 第一堂课
第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。
2．规定，那么8*5=________。
3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷（2*6）=________。
六年级奥数一至十讲(教师版)
小学六年级奥数教案—01比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
也就是说，6.借助第三个数进行比较。
有以下几种情况：（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。
（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。
前一个差比较小，所以m＜n。
（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。
注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。
（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。
新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。
利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。
第1讲：找规律,填图形_教师版_
．观察1-6，并按照变化规律在“？”处填上合适的图形．
分析首先，图中(1)与(4)成对，(2)与(5)成对，所以(3)与(6)也应成对．(5)的左图是(2)的左图颠倒过来，(4)的左图也是(1)的左图颠倒过来，所以(3)的左图也应当是(6)的左图颠倒过来．(4)的右图是(1)的左图的右半部分，(5)的右图是(2)的左图的右半部分，所以(6)的右图也应当是(3)的左图的右半部分．
解(3)、(6)处的图形分别如图1-7．
观察图1-8，按照变化规律住“？”处填图．
．观察图1-9，并按照变化规律在“？”处填上合适的图形．
分析首先，在(1)、(2)、(3)各图中都只有三角形、长方形、圆、正方形这四种图形，所以(4)中的图形也是三角形、长方形、圆、正方形四种其次，从第二幅图开始，每一幅图都是由前一幅图逆时针方向旋转90 而得到的，所以，(3)再逆时针旋转90 就得到(4)．
．仔细观察图1-3，并按照它的变化规律，在“？”处填上适当的图．
分析首先，我们从图形的形状上看，每一行有三个图，分别是三角形、圆与正方形，所以在“？”处应当填人一个三角形．其次，从涂色的变化看，每一行都有一个图打上条形纹，一个图全被涂上，一个图没涂，所以，在“？”处的图形应当全被涂上．
解在“？”处应当填入的图形如图1-4．
分析与解从第一个图形起，每四个图形一组，按顺序 重复出现，由于23=4×5+3，重复出现5次后，第六组的第三个图形即第23个图形，是
黑棋子与白棋子排成一列，如图1-13所示。问：第99个棋子是什么颜色？这99个棋子中，有多少个白棋子？
一般地，观察图形变化的规律，应从以下几点考虑：
(1)时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
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重点中学选拔考试的试卷，考察学生的计算能力是必不可少的，近几年来又以考察：1.速算巧算；2.分数的计算技巧为明显趋势。
本讲我们将系统地归纳和总结这一部分的技巧和方法。
1.回顾提取公因数（式）和凑整的应用；2.精讲公式应用、循环小数化分数、分数的拆分。
【例1】 1324264839724129612424836124816⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【分析】 原式=3333331324(1234)9124(1234)⨯⨯⨯+++=⨯⨯⨯+++， （此题学生容易做成1324(1234)9124(1234)⨯⨯⨯+++=⨯⨯⨯+++，虽然答案对,但是老师要强调错误原因。
）【拓展】（首师大附中入学选拔试题）1202505051313131321212121212121212121+++【分析】原式=121015101011310101011251312121101211010121101010121212121⨯⨯⨯+++=+++=⨯⨯⨯。
【例2】 求3333333×6666666乘积的各位数字之和。
【分析】 原式=9999999×2222222=（10000000-1）×2222222 =11111110000000-2222222 =11111107777778专题回顾教学目标计算之公式应用及技巧第一讲所以，各位数字之和为8×7=56。
下面这些公式是小学奥数中常见的计算公式，同学们一定要熟练掌握，这可是小升初考试中计算的好帮手。
同时也希望同学们在做题时能够对一些规律性比较强的数字的计算自己进行归纳。
常用技巧： 1. 100171113abcabc abc abc =⨯=⨯⨯⨯；2. 10101371337ababab ab ab =⨯=⨯⨯⨯⨯；3.10.1428577=，20.2857147=，30.4285717=， 40.5714287=，50.7142857=，60.8571427=； 4.1111111111123321n n n ⨯=个个，其中9n ≤。
经典精讲常用公式常用公式： 1. (1)1232n n n ⨯+++++=； 2. 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯++++=； 3. ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； 4. ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=；5. ()222222(21)(21)(41)13572133n n n n n n ⨯+⨯-⨯-+++++-==； 6. 等比数列求和公式：0111111(1)1n n a q Sn a q a q a q q --=++⋅⋅⋅+=-。
7. 平方差公式:：()()22a b a b a b -=+-；8.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=++；用文字表述为：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+。
为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”。
【例3】 计算199297395501⨯+⨯+⨯++⨯【分析】原式()()()()11012121012231012350101250=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯222211012121012231012350101250=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯()()222212350101212350=++++⨯-⨯++++=50511016⨯⨯42925=注：这条算式与222212350++++的值相等。
【拓展】计算1232343458910⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯【分析】原式()()()()2222221331441991=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-()333323492349=++++-++++()()2123912349=++++--++++24545=-1980=【例4】 计算3333333313579111315+++++++【分析】原式()333333333123414152414=++++++-+++()()223331515181274+=-⨯+++22576002784=-⨯⨯ 8182=。
【前铺】(浙江省小学数学活动课夏令营)11111111111357911131517192481632641282565121024+++++++++= 。
【分析】原式=11111111111357911131517192481632641282565121024+++++++++++++++++++=()1111910121024⨯+⨯+-10231001024=。
【点评】对公比为2的等比数列求和，可以运用“借来还去”的技巧。
本题对于后面的等比数列部分，可以“借来”11024，则有最后两个数的和等于前面一个数，依此前推，则总得数为两个12，即为1,但这不是最终结果，因为要“还去”11024，即111024-。
一般地，()1211111122221n n n S a a a a a -=++++=-。
【例5】 （06年希望杯）计算：3333341664102440963＋＋＋＋＋256【分析】 原式=234566633333311()44444444++++++-43214321公元前1世纪古希腊数学家尼科梅切斯(Nichomachus )就是采用数形结合的方法——图解法，得出了三次方幂求和的公式：333321123[(1)]2n n n ++++=⨯⨯+尼科梅切斯给出的解法是这样的：把求和式中任意一项k 。
写成“2k k ⨯”的形式，那么3k 就 可以理解成k 个“边长为k ”的正方形面积之和。
那么，可以构 造一个图形，如图：一方面，图中大正方形的边长为“1+2+3+4”，面积为2(1234)+++。
另一方面它又等于全部小正方形的面积之和。
但是注意在放置两个2×2及4×4的正方形时，两个正方形有重叠部分——图中浅色阴影正方形，再把重叠部分补到它的右上方的小正方块——图中深色阴影正方形中去，这样一来这些小正方形的面积和正好等于边长为“1+2+3+4”的大正方形面积。
所以：23333222221123411223344(1234)4(41)2⎡⎤+++=⨯+⨯+⨯+⨯=+++=⨯⨯+⎢⎥⎣⎦= 2345563333311()4444444+++++- ......=63114095()4444096+-=。
【例6】 234561111111333333++++++【分析】 (法一)设234561111111333333S =++++++则23451111133133333S =++++++61333S S -=-，整理可得3641729S =。
（法二）由题设，2345622222222333333S =++++++，则运用【例5】的方法， 将等式化为61233S +=，整理得到3641729S =。
【例7】 (浙江省小学数学活动课夏令营)⑴()2314159263141592531415927-⨯=______； ⑵221234876624688766++⨯=______。
【分析】⑴设31415926a =原式()()()2221111a a a a a =--+=--= ⑵原式2212348766212348766=++⨯⨯()212348766=+100000000=【点评】这里介绍平方差公式与完全平方公式的变形应用：【例8】 22222222(246100)(13599)12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++【分析】 原式=222222222(21)(43)(65)(10099)10-+-+-+⋅⋅⋅+-=(21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099)100+-++-++-+⋅⋅⋅++-=3711199100+++⋅⋅⋅+=1(3199)502100⨯+⨯=20215042=【例9】 222222222212233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯【分析】 原式=2222222222122334452000200112122323343445452000200120002001++++++++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =12233445200020012132435420012000++++++++⋅⋅⋅++ =2132435199920012000()()1223344200020002001⎛⎫⎛⎫+++++++⋅⋅⋅+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=20002000222222001++++⋅⋅⋅++个2相加=200040002001【点评】本题利用性质：b c b ca a a+=+对各个分数进行计算、比较。
【前铺】推导以下算式10.191240.129933123410.123999333=====12340.12349999121110.12909012312280.123900225=-==-== 123412311110.1234900090001234126110.123499004950123411370.123499901110-==-==-==【分析】以此题为例，推导1234126110.123499004950-==， 设：0.1234为A ,那么100A =12.34,10000A =1234.34， 所以：10000100A A -1234121222=-=,122261199004950A ==。
循环小数化分数【例10】⑴0.54+0.36 ⑵ 0.1230.034- ⑶0.3300.186⨯ ⑷ 0.1240.1230÷【分析】⑴原式=4360.59099++899990=。
⑵原式12313440.0899099045-=+==。
⑶原式=3301861999990-⨯330185999990⨯=⨯581=。
⑷原式124199999901230-=⨯1011.01100==。
【例11】 计算110.150.2180.3111⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭【分析】原式=1512182111909903111--⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3799=1113111⨯⨯181=。
【例12】（江苏省吴江市小学数学联赛）在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立。