上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
上海市2019年七校联考高考数学一模试卷(理科)含答案解析
上海市2019年七校联考高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是．（用数字作答）4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．318．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．2019年上海市七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是x=0．【分析】由已知得（2x）2﹣2×2x+1=0，由此能求出原方程的解．【解答】解：∵4x=2x+1﹣1，∴（2x）2﹣2×2x+1=0，解得2x=1，∴x=0．故答案为：x=0．【点评】本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为5．【分析】根据余子式的定义可知，M21=﹣，计算即可得解．【解答】解：由题意得：M21=﹣=5，故答案为：5．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是15．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数【解答】解：（1+）6展开式的通项为T r+1=C6r（）r=C6r，令r=4得含x2的项的系数是C64=15，∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．故答案为：15【点评】本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．【点评】本题考查一元二次不等式的解法．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．【分析】由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换可得：y=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为8．【分析】利用双曲线和抛物线的简单性质直接求解．【解答】解：∵双曲线，∴c==2，∴双曲线的两个焦点坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），∵抛物线x2=py的焦点F（，0）与双曲线的上焦点重合，∴==2，∴p=8．故答案为：8．【点评】本题考查抛物线中参数的求法，是基础题，解题时要注意双曲线和抛物线的简单性质的合理运用．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=5000．【分析】由已知条件可得数列的奇数项是以0为首项，以2为公差的等差数列、偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，分别代入等差数列的前n项和公式计算．【解答】解：a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=（0+2+4+...+98）+（2+4+ (100)=49×50+51×50=5000故答案为5000．【点评】本题主要考查等差数列的求和公式，分组求和的方法，考查学生的运算能力．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x ≤1，或x=2} ．【分析】结合函数的图象可得，若f[f（x）]=2，则f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象求得x得范围；若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x的范围，再把这2个x的范围取并集，即得所求．【解答】解：画出函数f（x）=的图象，如图所示：故函数的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．由f[f（x）]=2 可得f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象可得0≤x≤1，或x=2．若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x∈∅．综上可得，使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x≤1，或x=2}，故答案为{x|0≤x≤1，或x=2}．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据曲线的方程可求得函数的周期，进而根据被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，推断出k==1，A＞=3．答案可得．【解答】解：曲线y=Asin（2ωx+ϕ）+k（A＞0，k＞0）的周期为T==，被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，结合图形可得k==1，A＞=3．则A+k＞4，故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查了三角函数图象和性质，对y=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0），周期为T=，平衡位置为y=B，y max=A+B，y min=﹣A+B，属于中档题．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为18+12．【分析】求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将表示成θ的三角函数，求出最．大值【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴=﹣18cosθ+6sinθ+18=12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．【分析】从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，共有种方法，若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，由此能求出数学期望Eξ．【解答】解：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）==，若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）==，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=，∴随机变量ξ的数学期望E（ξ）=1×+×=．故答案为：．【点评】本题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【分析】根据条件确定a n+1﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…（5分）又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…（6分）由此可得a n+1﹣a n=nπ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n）=0+π+…+（n﹣1）π=﹣1∴故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．【分析】由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．【解答】解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=R，E为BO的中点，AE==R，AP==R，AP2=OP2+OA2﹣2OPOAcos∠AOP，∴（R）2=R2+R2﹣2RRcos∠AOP，∴cos∠AOP=，∠AOP=arccos，∴A、P两点间的球面距离为．故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当b=﹣1，a=1时，满足，但不成立．若，则，∴，∴成立．∴“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果．【解答】解：函数f（x）=acosax，因为函数f（﹣x）=acos（﹣ax）=acosax=f（x），所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为：π，所以a=2，所以B不正确，C正确．故选C【点评】本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）从而得到，通过累加得：m=+…+=﹣=2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，可得：a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分．【解答】解：由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1），，∴m=+…+=﹣═2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，∴a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分1．故答案选：B．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．18．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用定义，只要求出g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数h（x）=sin，x＞0，观察h（x）与g（x）=log2（x+1），x＞0的交点个数，即为中心对称点的组数．【解答】解：由题意可知g（x）=sin，x≤0，则函数g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数为h（x）=sin，x＞0，则坐标系中分别作出函数h（x）=sin，x＞0，g（x）=log2（x+1），x＞0的图象如图，由图象可知，两个图象的交点个数有1个，所以函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为1组．故选：B【点评】本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于原点对称的函数，是解决本题的关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．【分析】（1）连接C1B，因为C1B∥EF，异面直线A1B、EF所成角与C1B、A1B所成角相等．（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B1到平面AEF的距离．【解答】解：以A为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）（2分）（1），，∴（6分）（2）设平面AEF的一个法向量为，∵，由得令a=1可得（10分）∵，∴（13分）∴点B1到平面AEF的距离为．（14分）【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，可得椭圆的标准方程为：；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，（*）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0 ①，由（*）式，②，得y1+y2=k（x1+x2）+4k③，由①②③，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即．．即，整理得20k2﹣4k﹣3＜0，解得．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f（x）的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围；（3）韦达定理可得x1，x2，x3，x4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a表示t．【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=（x+）﹣|x﹣|=．故y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；（2）f（x）=a（x+）﹣|x﹣|=，f′（x）=，当a≤1时，y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞），不合题意．当a＞1时，f（x）在（0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，又由f（）=f（）=，f（1）=2a，∴方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：＜t＜2a，a＞1；（3）f（x）=t即，或，即（a+1）x2﹣tx+a﹣1=0，或（a﹣1）x2﹣tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x2x3=1，x1x4=1，∴x1x2x3x4=1，若x1，x2，x3，x4成等比数列，则x1=x23，∴x1x2=x24=，x1+x2=，∴x2=，∴+（）3=，解得：t=+（a＞1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．【分析】（1）由已知可得，即．分别令n=1，n=2，n=3，代入可求a1，a2，a3，进而猜想a n（2）由a n=2n可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求（3）因为，，若成立设，则只需即可利用g（n）的单调性可求其最大值，从而可求a的范围【解答】解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以．令n=1，得，所以a1=2；令n=2，得，所以a2=4；令n=3，得，所以a3=6．由此猜想：a n=2n．（2）因为a n=2n（n∈N*），所以数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010（3）因为，故，所以．又，故对一切n∈N*都成立，就是对一切n∈N*都成立．设，则只需即可．由于=，所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，于是．令，即，解得，或．综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a的取值范围是．【点评】本题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项，等差数列的求和公式的应用，及利用数列的单调性求解数列的最大（小）项问题的求解，属于函数与数列知识的综合应用的考查。
2019年高考真题数学(上海卷含解析)
（1）若{an} 为等差数列，且 a4 15 ，求 Sn ；
（2）若{an} 为等比数列，且
lim
n
Sn
12
，求公比
q
的取值范围．
19．（14 分）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个 人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2012 年 2015 年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和 政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
7．（5 分）在 (x 1 )6 的展开式中，常数项等于 ． x
8．（5 分）在 ABC 中， AC 3 ， 3sin A 2sin B ，且 cos C 1 ，则 AB ． 4
9．（5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续 参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
年份 卫生总费
个人现金卫生支出
社会卫生支出
政府卫生支出
用（亿
绝对数（亿元） 元）
占卫生总费用 比重 (%)
绝对数（亿元）
占卫 生
绝对数 （亿
占卫 生
总 元） 总
费
费
用
用
比
比
重
重
(%)
(%)
2012 28119.00 9656.32 2013 31668.95 10729.34 2014 35312.40 11295.41 2015 40974.64 11992.65 （数据来源于国家统计年鉴）
34.34 33.88 31.99 29.27
10030.70 35.67 8431.98 29.99 11393.79 35.98 9545.81 30.14 13437.75 38.05 10579.23 29.96 16506.71 40.29 12475.28 30.45
上海市奉贤区2019届高三一模数学试题(含答案)
6.有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本，若将其随机地摆放到书架的同一层上， 则同一科目的书都相邻的概率是________
上海市奉贤区 2019 届高三一模数学试卷
一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1.已知 A ={x | 3x <1}， B ={x | y = lg(x +1)} ，则 AÈ B = ________ 【答案】 R
【解析】 【分析】
{ } 由题意，分别求解集合 A ={x | x < 0} ， B = x x - 1 ，根据集合的并集的运算，即可求解。 { } 【详解】由题意，集合 A ={x | 3x <1} ={x | x < 0} ， B ={x | y = lg(x +1)} = x x - 1 ，则 AÈ B = R 。
【答案】 25 2
【解析】 【分析】
根据复数的运算，求得 z = (3a - 4) +(4a +3)i ，又由实部与虚部相等，求得 a = - 7 ，得到 z = - 25 - 25i ，
在根据复数模的概念，即可求解。
【详解】由题意，复数 z = (a +i)(3 +4i) = (3a - 4) +(4a +3)i ， 又由实部与虚部相等，则 3a - 4 = 4a +3 ，解得 a = - 7 ，即 z = - 25 - 25i ， 则复数 z 的共轭复数的模 z = (- 25)2 +(- 25)2 = 25 2 。
2019年上海市松江区高考数学一模试卷及解析〔精品解析版〕
2019年上海市松江区⾼考数学⼀模试卷及解析〔精品解析版〕2019年上海市松江区⾼考数学⼀模试卷⼀、填空题（本⼤题满分54分)，本⼤题共有12题，第1-6题每个空格填对得4分，第7-12题每个空格得5分，否则⼀律得零分1．（4分）设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|＜0}，则A∩B＝．2．（4分）若复数z满⾜（3﹣4i）?z═4+3i，则|z|＝．3．（4分）已知f（x）的图象与函数y＝a x（a＞0，a≠1）的图象关于直线y＝x对称，且点P（4，2）在函数y＝f（x）的图象上，则实数a＝．4分）等差数列5分）若增⼴矩阵为的线性⽅程组⽆解，则实数6分）已知双曲线标准⽅程为7若向量，满⾜（）|，|与夹⾓为8中，内⾓A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若＝9分）若函数）＝，则y＝10是单位圆上三个互不相同的点，若||＝|，则?11．（5分）已知向量，是平⾯α内的⼀组基向量，O为α内的定点，对于α内任意⼀点P，当＝x+y时，则称有序实数对（x，y）为点P的⼴义坐标．若点A、B的⼴义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题：①线段A、B的中点的⼴义坐标为（）；②A、B两点间的距离为；③向量平⾏于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；④向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0其中的真命题是．（请写出所有真命题的序号）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）?f（﹣x）＝1和f（1+x）?f（1﹣x）＝4对任意的x∈R都成⽴．若当x∈[0，1]，f（x）的值城为[1，2]，则当x∈[﹣100，100]时，函数f（x）的值域为．⼆、选择题（本⼤题满分20分）本⼤题共有4题，每题有且只有⼀个正确答案，选对得5分，否则⼀律得零分.13．（5分）过点（0，1）且与直线x﹣2y+1＝0垂直的直线⽅程是（）A．2x+y﹣1＝0B．2x+y+1＝0C．x﹣2y+2＝0D．x﹣2y﹣1＝0 14．（5分）若a＞0，b＞0，则是的（）A．充分⾮必要条件B．必要⾮充分条件C．充要条件D．既⾮充分也⾮必要条件15．（5分）将函数f（x）＝2sin（3x+）的图象向下平移1个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）?g（x2）＝9，其中x1，x2∈[0，4π]，则的最⼤值为（）A．9B．C．3D．116．（5分）对于平⾯上点P和曲线C，任取C上⼀点Q，若线段PQ的长度存在最⼩值，则称该值为点P到曲线C的距离，记作d（P，C）若曲线C是边长为6的等边三⾓形，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表⽰的图形的⾯积为（）A．36B．36﹣3C．36+πD．36﹣3+π三、解答题（本⼤题满分76分⼤题共有5题17．（14分）已知向量＝（sin x，1），＝（cos x，﹣1）．（1）若，求tan2x的值；（2）若f（x）＝（+），求函数f（x）的最⼩正周期及当x∈[0，]时的最⼤值．。
2019年高考数学上海卷及答案解析
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，则AB = ．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．在6x ⎛⎝的展开式中，常数项等于 ．8．在ABC △中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅，则1F P与2F Q 的夹角范围为 ．12．已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0,)+∞的是（ ） A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x =D ．cos y x = 14．已知,a b R ∈，则“22a b ＞”是“||||a b ＞”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC ====== （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）18．已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞＜，求公比q 的取值范围．19．改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年—2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份之间拟合函数6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断()()13d P d P +与()22d P 的关系．21．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．t数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学答案解析1.【答案】{3,5}【解析】解：集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，{3,5}A B ∴=．故答案为：{3,5}． 2．【答案】2【解析】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2． 3．【答案】{6,4}-【解析】解：由15x +<得515x -<+<，即64x -<<. 故答案为：{6,4}-．4．【答案】1()0)f x x -> 【解析】解：由2(0)y x x =>解得x1()0)f x x -∴=>故答案为1()0)f x x -∴=> 5．【答案】【解析】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴=故答案为： 6．【答案】2-【解析】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，∴可对①，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-．故答案为：2-． 7．【答案】15【解析】解：6x ⎛ ⎝展开式的通项为36216r rr T C x -+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15． 8．【解析】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cosC 4=，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：AB9．【答案】24【解析】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．10．【解析】解：由题意得：点坐标为a ⎫⎪⎪⎭，点坐标为a ⎛ ⎝，11||||23AQ CP a +=，当且仅当a =时，取最小值，11．【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y+=的焦点坐标为(，(，2⨯P Q数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）121F P F P ⋅，2221x y ∴-+≤，结合22142x y +=可得：2[1,2]y ∈故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：(2221222122381cos 31,223F P F Qy y y F P F Q x θ⋅-⎡⎤====-+∈--⎢⎥++⎣⎦⋅故1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．【答案】1或3-【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，的值为1或3-． 故答案为：1或3-．13．【答案】B【解析】解：A ，2xy =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y [0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1,1]-+，故D错故选：B 14．【答案】C【解析】解：22a b >等价，22|||a b >，得“||||a b >”，∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C 15．【答案】B【解析】解：如图1，可得,,a b c 可能两两垂直； 如图2，可得,,a b c 可能两两相交；t数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）如图3，可得,,a b c 可能两两异面；故选：B 16．【答案】A【解析】解：因为111r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=， 所以121y y =，则()()1212121a a --=， 即12122a a a a =+， 则12112a a +=， 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A17．【答案】解：（1）,M N 分别为,PB BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角， 在PAC △中，由2,PA PC AC ===可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠===⋅AC ∴与MN的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32123AN AO AN ===，．PO ∴==11333224P ABC V -∴=⨯=．18．【答案】解：（1）4133315,4a a d d d =+=+=∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）()31,lim 1n n n n q S S q →∞-=-存在，11q ∴-<<，lim n n S →∞∴存在，11q ∴-<<且0q ≠，()313lim lim11n n n n q S qq→∞→∞-∴==--， 3121q ∴<-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为3(1,0)0,4⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭．19．【答案】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.4200.1136357876.60531200001t e->+，解得50.68t >，数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．【答案】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，84323PF k ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得103PF =， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-， 联立1x my =+和24y x=，可得2440y my --=，2Q y m ==+，2()||22P P Q y d P PF y -==22=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+； （3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()132132242d P d p d P PFP F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦=由()2213131628y y y y ⎡⎤-++=-⎣⎦，()()()()(22222213131313134444840y y y yy y y y y y ++-+=+-=->，则()()()1322d P d P d P +>．21．【答案】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，22S =⎨⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =∴∴∴数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．。
2019年上海市金山区高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市金山区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．（4分）已知集合A＝{1，3，5，6，7}，B＝{2，4，5，6，8}，则A∩B＝．2．（4分）抛物线y2＝4x的准线方程是．3．（4分）计算：＝．4．（4分）不等式|3x﹣2|＜1的解集为．5．（4分）若复数z＝（3+4i）（1﹣i）（i为虚数单位），则|z|＝．6．（4分）已知函数f（x）＝1+log2x，则f﹣1（5）＝．7．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．8．（5分）在（x3）10二项展开式中，常数项的值是．（结果用数值表示）9．（5分）无穷等比数列{a n}各项和S的值为2，公比q＜0，则首项a1的取值范围是．10．（5分）在120°的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是．11．（5分）设函数f（x）＝lg（1+|x|）﹣，则使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是．12．（5分）已知平面向量、满足条件：＝0，||＝cosα，||＝sinα，α∈（0，），若向量＝（λ，μ∈R）．且（2λ﹣1）2cos2α+（2μ﹣1）2sin2α＝，则||的最小值为．二、选择题(本大题共4小题，满分20分，每小题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）已知方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＞2或m＜﹣1B．m＞﹣2C．﹣1＜m＜2D．m＞2或﹣2＜m＜﹣114．（5分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要15．（5分）欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位，x∈R，e为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2018i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．（5分）已知函数f（x）＝，则方程f（x+﹣2）＝a（a∈R）的实数根个数不可能（）A．5个B．6个C．7个D．8个三、解答题（本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，M是BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，）（1）求行列式的值；（2）若函数f（x）＝cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα（x∈R），求函数f（﹣2x）+2f2（x）的最大值，并指出取得最大值时x的值．19．（14分）设函数f（x）＝2x﹣1的反函数为f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）若f﹣1（x）≤g（x），求x的取值范围D；（2）在（1）的条件下，设H（x）＝g（x）﹣f﹣1（x），当x∈D时，函数H（x）的图象与直线y＝a有公共点，求实数a的取值范围．20．（16分）已知椭圆C以坐标原点为中心，焦点在y轴上，焦距为2，且经过点（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（a，0），点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d（a）；（3）在（2）的条件下，当0＜a＜1时，设△QOA的面积为S1（O是坐标原点，Q是曲线C上横坐标为a的点），以d（a）为边长的正方形的面积为S2•若正数m满足S1≤mS2，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．21．（18分）在等差数列{a n}中，a1+a3+a5＝15，a6＝1l．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m+1，22m+1）内的项的个数记为{b m}，记数列{b m}的前m项和S m，求使得S m＞2018的最小整数m；（3）若n∈N*，使不等式a n+≤（2n+1）λ≤a n+1+成立，求实数λ的取值范围．2019年上海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．【解答】解：A∩B＝{5，6}．故答案为：{5，6}．2．【解答】解：∵2p＝4，∴p＝2，开口向右，∴准线方程是x＝﹣1．故答案为x＝﹣1．3．【解答】解：．故答案为：．4．【解答】解：∵|3x﹣2|＜1⇔﹣1＜3x﹣2＜1⇔1＜3x＜3，∴＜x＜1∴不等式|3x﹣2|＜1的解集为{x|＜x＜1}．故答案为：{x|＜x＜1}．5．【解答】解：∵z＝（3+4i）（1﹣i）＝7+i，∴|z|＝．故答案为：．6．【解答】解：根据题意，令f（x）＝1+log2x＝5，得log2x＝4，则x＝24＝16，∴f﹣1（5）＝16．故答案为：16．7．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为＝；故答案为：．8．【解答】解：展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r C10r x30﹣5r，令30﹣5r＝0得r＝6，所以展开式中的常数项为C106＝210，故答案为：210．9．【解答】解：由题意可得，，﹣1＜q＜0a1＝2（1﹣q）∴2＜a1＜4故答案为：（2，4）10．【解答】解：由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，又120°的二面角内，故∠AOB＝60°∵半径为10cm的球切两半平面于A，B两点∴两切点在球面上的最短距离是6×＝2π．故答案为：2π．11．【解答】解：函数f（x）＝lg（1+|x|）﹣，∴f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．∵f（2x）＜f（3x﹣2），∴|2x|＜|3x﹣2|，∴（2x）2＜（3x﹣2）2，化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0，解得：x＞2，或x＜．∴使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是∪（2，+∞）．故答案为：∪（2，+∞）．12．【解答】解：由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），且设∵＝＝（λcosα，μsinα），∴，α∈（0，），∵（2λ﹣1）2cos2α+（2μ﹣1）2sin2α＝，则，即，∴C在以D（）为圆心，以为半径的圆上，α∈（0，），∴||mn＝|OD|﹣＝＝，故答案为：．二、选择题(本大题共4小题，满分20分，每小题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1又∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故选：D．14．【解答】解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件故选：C．15．【解答】解：e2018i＝cos2018+i sin2018，∵2018＝642π+（2018﹣642π），2018﹣642π∈，∴cos2018＝cos（2018﹣642π）＞0．sin2018＝sin（2018﹣642π）＞0，∴e2018i表示的复数在复平面中位于第一象限．故选：A．16．【解答】解：如图所示：∵函数f（x）＝，即f（x）＝．因为当f（x）＝1时，求得x＝﹣4，或，或1，或3．则①当a＝1时，由方程f（x+﹣2）＝a（a∈R），可得x+﹣2＝﹣4，或，或1，或3．又因为x+﹣2≥0，或x+﹣2≤﹣4，所以，当x+﹣2＝﹣4时，只有一个x＝﹣2 与之对应，其它3种情况都有2个x值与之对应．故此时，原方程f（x+﹣2）＝a的实数根有7个根．②当1＜a＜2时，y＝f（x）与y＝a有4个交点，故原方程有8个根．②当a＝2时，y＝f（x）与y＝a有3个交点，故原方程有6个根．综上：不可能有5个根，故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．【解答】解：（1）因为P A⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以因为AB＝2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角计算可得：，MN＝1，异面直线PM与AC所成的角为18．【解答】解：角α的终边经过点P（﹣3，）可得：sinα＝，cosα＝，tanα＝．（1）行列式＝sinαcosα﹣tanα＝；（2）函数f（x）＝cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα＝cos x那么函数y＝f（﹣2x）+2f2（x）＝cos（）+2cos2x＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+1，当2x+＝时，即x＝kπ，函数y取得最大值为3．19．【解答】解：（1）f﹣1（x）＝log2（x+1），…（3分）由log2（x+1）≤log4（3x+1），∴…．（6分）解得0≤x≤1，∴D＝[0，1]﹣﹣﹣．（8分）（2），…..（10分）∴，…（12分）当x∈[0，1]时，单调递增，∴H（x）单调递增，…．（14分）∴因此当时满足条件．…（16分）20．【解答】解：（1）由题意得：2c＝2，b＝1，故a2＝b2+c2＝2，∴椭圆C的方程为：．（2）设P（x，y），则y2＝2﹣2x2．∴|P A|2＝（x﹣a）2+y2＝（x﹣a）2+2﹣2x2＝﹣（x+a）2+2a2+2，令f（x）＝﹣（x+a）2+2a2+2，x∈[﹣1，1]，所以，当﹣a＜﹣1，即a＞1时，f（x）在[﹣1，1]上是减函数，[f（x）]max＝f（﹣1）＝（a+1）2；当﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1时，f（x）在[﹣1，﹣a]上是增函数，在[﹣a，1]上是减函数，则[f（x）]max＝f（﹣a）＝2a2+2；当﹣a＞1，即a＜﹣1时，f（x）在[﹣1，1]上是增函数，[f（x）]max＝f（1）＝（a﹣1）2．所以，d（a）＝．（3）当0＜a＜1时，P（a，±），于是S1＝a，S2＝2a2+2，若正数m满足条件，则a≤m（2a2+2），即m≥，m2≥．令f（a）＝，设t＝a2+1，则t∈（1，2），则a2＝t﹣1．于是f（a）＝＝（﹣+﹣1）＝﹣（﹣）2+，∴当＝时，即t＝∈（1，2）时，[f（a）]max＝，即m2≥，m≥．所以，m存在最小值21．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由，解得，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1，n∈N*．（2）对任意m∈N*，若2m+1＜2n﹣1＜22m+1，则，∴b m＝22m﹣2m，m∈N*，S m＝（22+24+26+…+22m）﹣（2+22+23+…+2m）＝﹣＝．令＞2018，解得m ＞≈5.3，∴所求的最小整数m为6．（3）≤（2n+1）λ≤，，记A n ＝，B n＝1+，n∈N*，由A n+1﹣A n ＝﹣＝，知A1＝A2，且从第二项起，{A n}递增，即A1＝A2，A3＜A4＜…＜A n，∵B n＝1+递减，∴实数λ的范围为[A1，B1]，即[]．第11页（共11页）。
2019年上海高考数学真题试卷(word解析版)
⎨ ⎩f ( ) n →∞绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分） 1. 已知集合 A = (-∞, 3)、B = (2, +∞) ，则 A B =.2. 已知 z ∈ C 且满足 1- 5 = i ，求 z = .z 3. 已知向量a = (1,0,2) ， b = (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为 . 4. 已知二项式(2x +1)5，则展开式中含 x 2 项的系数为. ⎧ 5. 已知 x 、y 满足⎪x ≥ 0 y ≥ 0 ，求 z = 2x - 3y 的最小值为.⎪x + y ≤ 2 6. 已知函数 f (x ) 周期为1，且当0 < x ≤ 1， f ( x ) = - log 2x ，则 3= .27. 若 x 、y ∈ R + ，且 1+ 2 y = 3 ，则 yx x的最大值为.8. 已知数列{a n }前 n 项和为 S n ，且满足 S n + a n = 2 ，则 S 5 =.9. 过 y 2 = 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与 y 2 = 4x 交于 A 、B ， A 在 B 上方， M 为抛物线上一点， OM = λOA + (λ - 2)OB ，则λ =.10. 某三位数密码锁，每位数字在0 - 9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.11. 已知数列{a n } 满足a n < a n +1 （ n ∈ N *）， P n (n , a n ) 在双曲线 x 2 - y 2 = 上，则lim P n P n +1 6 2= .12. 已知 f (x ) = - a ( x > 1, a > 0) ，若a = a 0 ， f ( x ) 与 x 轴交点为 A ， f ( x ) 为曲线 L ，在 L 上任意一点 P ，总存在一点Q （ P 异于 A ）使得 AP ⊥ AQ 且 AP = a 0 =.AQ ，则 2 x -11二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 已知直线方程2x - y + c = 0 的一个方向向量d 可以是（ ） A. (2,-1)B. (2,1)C. (-1,2)D. (1,2)14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） A. 1B. 2C. 4D. 815. 已知ω ∈ R ，函数 f (x ) = ( x - 6)2⋅sin (ωx ) ，存在常数 a ∈ R ，使得 f ( x + a ) 为偶函数，则ω 可能的值为（ ）A.πB.2πC. 3πD. π4516. 已知tan α ⋅ tan β = tan(α + β ) . ①存在α 在第一象限，角 β 在第三象限； ②存在α 在第二象限，角 β 在第四象限； A. ①②均正确；B. ①②均错误；C. ①对，②错；D. ①错，②对；三.解答题（本大题共 5 题，共 76 分）17. （本题满分 14 分）如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， M 为 BB 1 上一点，已知BM = 2 ， AD = 4 ， CD = 3 ， AA 1 = 5 .（1） 求直线 A 1C 与平面 ABCD 的夹角； （2） 求点 A 到平面 A 1MC 的距离.18.（本题满分 14 分）已知 f ( x ) = ax +1x +1(a ∈ R ) . （1） 当a = 1 时，求不等式 f (x ) +1 < f ( x +1) 的解集； （2） 若 x ∈[1, 2]时， f ( x ) 有零点，求a 的范围.19.（本题满分 14 分）如图， A - B - C 为海岸线， AB 为线段， BC 为四分之一圆弧，BD = 39.2km ， ∠BDC = 22， ∠CBD = 68， ∠BDA = 58.（1） 求 BC 长度；2 （2） 若 AB = 40km ，求 D 到海岸线 A - B - C 的最短距离.（精确到0.001km ）20.（本题满分 16 分）已知椭圆 x+ y 8 4= 1， F 1 , F 2 为左、右焦点，直线l 过 F 2 交椭圆于 A 、B 两点.（1） 若 AB 垂直于 x 轴时，求 AB ；（2） 当∠F 1 AB = 90 时， A 在 x 轴上方时，求 A , B 的坐标；（3） 若直线 AF 1 交 y 轴于 M ，直线 BF 1 交 y 轴于 N ，是否存在直线l ，使 S △F AB = S △F MN ，11若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分 18 分）数列{a n } 有100 项，a 1 = a ，对任意n ∈[2,100] ，存在a n = a i + d , i ∈[1, n -1]，若a k与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质 P .（1） 若a 1 = 1，求a 4 可能的值；（2） 若{a n } 不为等差数列，求证：{a n } 中存在满足性质 P ；（3） 若{a n } 中恰有三项具有性质 P ，这三项和为C ，使用a , d , c 表示 a 1 + a 2 ++ a 100 .25 ⎨ ⎩3上海市 2019 届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分）1. 已知集合 A =(-∞, 3)、B = (2, +∞) ，则 A B =.【思路分析】然后根据交集定义得结果． 【解析】：根据交集概念，得出： (2,3) .【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2. 已知 z ∈ C 且满足 1- 5 = i ，求 z = .z 【思路分析】解复数方程即可求解结果．【解析】： 1 = 5 + i ， z =z1 5 + i = 5 - i (5 + i )(5 - i ) = 5 - 26 1 i . 26 【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．3. 已知向量a = (1,0,2) ， b = (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为.【思路分析】根据夹角运算公式cos θ 求解．【解析】： cos θ a ⋅ b = = 2 .5【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．4. 已知二项式(2x +1)5，则展开式中含 x 2 项的系数为.【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含 x 2项的的项，再求系数．【解析】： T = C r ⋅ (2x )5-r ⋅1r = C r ⋅ 25-r ⋅ x 5-rr +155令5 - r = 2 ，则r = 3 ， x 2 系数为C 3 ⋅ 22 = 40 .【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．⎧ 5. 已知 x 、y 满足⎪x ≥ 0y ≥ 0 ，求 z = 2x - 3y 的最小值为.⎪x + y ≤ 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当 x = 0 ，y = 2 时， z min = -6 .【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6. 已知函数 f( x ) 周期为1，且当0 < x ≤ 1， f ( x ) = - log 2 x ，则 f ( 2) =.【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转 3 到已知范围0 < x ≤ 1内，代入函数解析式即2a ⋅b a ⋅ ba ⋅ b2 5 ⋅ 51⋅ 2 y x S n →∞3 可．【解析】：f ( ) = 21 f ( ) 2= -log1 = 1 .2 2【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．7. 若 x 、y ∈ R + ，且1 +2 y =3 ，则 yx x的最大值为 .y 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有x的式子求解1y ⎛ 3 ⎫2 9 【解析】：法一： 3 = + 2 y ≥ 2 x ，∴ ≤ ⎪ = ；x ⎝ 2 2 ⎭ 8 法二：由 1 = 3 - 2 y ， y = (3 - 2 y ) ⋅ y = -2 y 2+ 3y （ 0 < y < 3 ），求二次最值⎛ y ⎫ = 9 .⎪x x 2 ⎝ x ⎭max 8【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．8. 已知数列{a n }前 n 项和为 S n ，且满足 S n + a n = 2 ，则 S 5 =.【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. 【解析】：由⎧S n + a n = 2 得： a = 1a （ n ≥ 2 ） ⎨ ⎩ n -1{ } + a n -1 = 2(n ≥ 2)1n 2 n -1 1⋅[1 -( 1 )5] 231 ∴ a n 为等比数列，且a 1 = 1 ， q = 2 ，∴ S 5 == . 1 -1 16 29. 过 y 2 = 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与 y 2= 4x 交于 A 、B ，A 在 B 上方，M 为抛物线上一点， OM = λOA + (λ - 2)OB ，则λ = .【思路分析】根据等式建立坐标方程求解【解析】：依题意求得： A (1,2) ， B (1,-2) ，设 M 坐标 M (x , y )有： (x , y ) = λ(1,2) + (λ - 2) ⋅ (1,-2) = (2λ - 2,4) ，代入 y 2 = 4x 有：16 = 4 ⋅ (2λ - 2) 即： λ = 3 .【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10 某三位数密码锁，每位数字在0 - 9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.C 1 ⋅ C 2 ⋅ C 1 27【解析】：法一： P = 10 3 9 = 103100 （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字） C 1 + P 3 27 法二： P = 1 - 10 10= 103100 （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．11. 已知数列{a n } 满足a n < a n +1 （ n ∈ N * ）， P n (n , a n ) 在双曲线 x 2 - y2= 上，则lim P n P n +1 6 2= .1n →∞ 2 2【思路分析】利用点在曲线上得到 P n P n +1 关于 n 的表达式，再求极限.【解析】：法一：由 n 8 a 2 - n = 1 得： a n = 2 n 2 2( 6-1) ，∴ P n (n , 2( n -1)) ， 6 P n +1 (n +1, (n +1)2 2(61) ) ，利用两点间距离公式求解极限。
2019年高考上海卷数学试题(含解析)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（上海卷）一、填空题1.已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B =I . 答案：(2,3)解答：(2,3)A B =I .2.已知z C ∈，且满足15i z =-，求z = . 答案：5i -解答：155i iz =+=-.3.已知向量(1,0,2)a =r ，(2,1,0)b =r ，则a r 与b r的夹角为 .答案：2arccos5解答：2cos 5||||a b a b θ⋅===⋅r r r r . 4.已知二项式5(21)x +，则展开式中含2x 项的系数为 . 答案：40解答：2x 的系数为325240C ⋅=.5.已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =-的最小值为 .答案：6-解答：线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当0x =，2y =时，min 6z =-. 6.已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，2()log f x x =，则3()2f = . 答案：1-解答：2311()()log 1222f f ===-. 7.若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为 .答案：98解答：法一：132y x =+≥298y x ≤=； 法二：由132y x =-，2(32)23y y y y y x =-⋅=-+3(0)2y <<，求二次最值max 9()8y x =. 8.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S = . 答案：3116解答：由1122(2)n n n n S a S a n --+=⎧⎨+=≥⎩得：112n n a a -=(2)n ≥，∴{}n a 为等比数列，且11a =，12q =，∴5511[1()]31211612S ⋅-==-.9.过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A 、B ，A 在B上方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，则λ= .答案：3解答：依题意求得：(1,2)A ，(1,2)B -，设M 坐标为(,)M x y ，有：(,)(1,2)(2)(1,2)(22,4)x y λλλ=+-⋅-=-，带入24y x =有：164(22)λ=⋅-，即3λ=.10.某三位数密码，每位数字可在09-这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是 . 答案：27100解答：法一：121103932710100C C C P ⋅⋅==（分子含义：选相同数字⨯选位置⨯选第三个数字）；法二：131010327110100C P P +=-=（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）. 11.已知数列{}n a 满足1n n a a +<()n N *∈，若(,)n n P n a (3)n ≥均在双曲线22162x y -=上，则1lim ||n n n P P +→∞= .解答：法一：由22182n a n -=得：n a =，∴(n n P ，1(n P n ++，利用两点间距离公式求解极限：1lim ||n n n P P +→∞=法二：（极限法）：当n →∞时，1n n P P +与渐近线平行，1n n P P +在x 轴投影为1，渐近线斜角θ满足：tan θ=，∴11cos 6n n P P π+==. 12.已知2()||1f x a x =--(1,0)x a >>，()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图像上任意一点P ，在其图像上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ），满足AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，则a = .答案：a =解答：如图所求，利用极限思想，当y →+∞时，点P 可以看成在直线1x =上，同时点Q可以看成在直线y a =上，所以PEA ADQ ∆≅∆，即2a a= ，所以a =二、选择题13.已知直线方程20x y c -+=的一个方向向量d u r可以是（ ）A.(2,1)-B.(2,1)C.(1,2)-D.(1,2)答案：D解答：依题意：(2,1)-为直线的一个法向量，∴方向向量为(1,2).14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 答案：B解答：依题意，21142133V ππ=⋅⋅⋅=，22121233V ππ=⋅⋅⋅=. 15.已知R ω∈，函数2()(6)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a R ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω的值可能为（ ） A.2π B.3π C.4π D.5π答案：C解答：法一：依次代入选项的值，检验()f x a +的奇偶性；法二：2()(6)sin[()]f x a x a x a ω+=+-⋅+，若()f x a +为偶函数，则6a =，且sin[(6)]x ω+也为偶函数（偶函数⨯偶函数=偶函数），∴62k πωπ=+，当1k =时，4πω=.16.已知tan tan tan()αβαβ⋅=+，有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（ ） A.①②均正确 B.①②均错误 C.①对②错 D.①错②对 答案：D解答：取特殊值检验法：例如：令1tan 3α=和1tan 3α=-，求tan β是否存在（考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在）三、解答题17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，3CD =，4AD =，15AA =.（1）求直线1A C 与平面ABCD 的夹角.（2）求点A 到平面1A MC 的距离.解析：（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，显然1A A ⊥平面ABCD ， ∴直线1A C 与平面ABCD 的夹角是1A CA ∠， ∵3CD =，4AD =，15AA =， ∴5AC =，∴14ACA π∠=.（2）∵2BM =，∴11CM MA AC ===在1A MC ∆中，根据余弦定理可得1cos 10A MC ∠=-，∴1sin 10A MC ∠=，1111sin 92A MC S A MC A M MC ∆=∠⋅⋅= 设点A 到平面1A MC 的距离为h ， ∵11A A MC A AMC V V --=(等体积法)， ∴103h =. 18.已知1()1f x ax x =++，a R ∈. （1）当1a =时，求不等式()1(1)f x f x +<+的解集. （2）若()f x 在[1,2]x ∈时有零点，求a 的取值范围.解析：（1）1a =时，()1(1)f x f x +<+，即211111+++<+++x x x x ，解得21->>-x ，所以不等式()1(1)f x f x +<+的解集为(2,1)--. （2）1=01ax x ++，∴x x a +-=21，Θ[1,2]x ∈，∴11[,]26a ∈--. 19.如图，A B C --为海岸线，AB 为线段，»BC为四分之一圆弧，39.2BD km =，22BDC ∠=︒，68CBD ∠=︒，58BDA ∠=︒.（1）求»BC的长度. （2）若40AB km =，求D 到海岸线A B C --的最短距离.（精确到0.001km ）解析：（1）90BCD ∠=︒，∴ sin 22BC BD =⋅︒，BM =，»22BM BCπ=⋅，即»39.2sin 2216.3104BCkm π=⨯︒≈（2）39.2cos2236.346CD km =⨯︒=. 在ABD ∆中，56.21sin sin BD ABA A ADB=⇒∠≈︒∠ ∴ 18065.79ABD A ADB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴ 39.2sin 35.752ND ABD km CD =⨯∠≈<. ∴ D 到海岸线最短距离为35.752km .20.已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B 两点.（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB .（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A ，B 的坐标.（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S ∆∆=，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.解析：由题意知椭圆中2a b c ===，（1）直线l 过2F 且垂直于x 轴，则:2l x =，该直线与椭圆交点的纵坐标y = 所以||AB （2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，知||2AO =，又椭圆中2b =，则(0,2)A ，有:2AB l y x =-+，与椭圆方程联立，消去y 得2380x x -=，则82,33B B x y ==-，所以82(,)33B -. （3）设存在直线:2AB l x my =+， 1122(,),(,)A x y B x y ，111112:(2)(0,)22AF y y l y x M x x =+⇒++ 122222:(2)(0,)22BF y y l y x N x x =+⇒++ 11F AB F MN S S ∆∆=，即121211211222M N M N F F y y FO y y y y y y -=-⇔-=-，12122244M N y y y y my my -=-++，则上式化简得12(4)(4)4my my ++=， 由22222(2)44028x my m y my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩， 12122244,22m y y y y m m +=-=-++，所以21228(4)(4)412m my my m -++=⇒=+，解得23m m =⇒=即所求直线l 的方程为20x ±-=.21.数列{}n a (*)m N ∈有100项，1a a =，对任意[2,100]n ∈，存在n i a a d =+，[1,1]i n ∈- ，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P .（1）若11a =，2d =，求4a 所有可能的值.（2）若{}n a 不是等差数列，求证：数列{}n a 中存在某些项具有性质P .（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项具有性质P ，这三项和为c ，请用a ，b ，c 表示12100a a a ++L .解析：（1）11a =，2d =，则213a a d =+=，313a a d =+=或325a a d =+=，4a 的情况可能为123+=，325+=，527+=.（2）假设数列{}n a 中不存在具有性质P 的项，即在数列{}n a 中，任意两项都不相同， 依题意1a a =，21a a d =+，因为12a a ≠，则0d ≠；{}3,1,2i a a d i =+∈，又 因为数列{}n a 中任意两项都不相同，则{}1i ∉即32a a d =+；依此类推对任意{}2,3,,100n L ∈，{},1,2,3,,1n i a a d i n L =+∈-，由于假设成立，则i 只能取1n -，即1n n a a d -=+，所以数列{}n a 是等差数列与已知条件数列{}n a 不是等差数列矛盾，所以原假设错误，数列{}n a 中存在具有性质P 的项成立.（3）将数列中具有性质P 的三项去掉，形成一个新数列{}*()n b n N ∈，11b a a ==，[2,97]n ∈时，,[1,1]n i b b d i n =+∈-，且{}n b 中没有满足性质P 的项，由（2）可得，数列{}n b 为以a 为首项，d 为公差的等差数列，则有129719796979746562b b b b d a d ⨯+++=+⨯=+L ， 又{}n a 中去掉的三项之和为c ，所以12100974656a a a a d c L +++=++.。
2019年上海市青浦区高考数学一模试卷解析版
2019年上海市青浦区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“n=4”是“（x+）n的二项展开式中存在常数项”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵二项式（x+）n的通项为T r+1=C n r x r（）n-r=C n r x2r-n（0≤r≤n），∴（x+）n的二项展开式中存在常数项⇔n=2r⇔n为正偶数，∵n=4⇒n为正偶数，n为正偶数推不出n=4，∴n=4是（x+）n的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．故选：A．二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．以简易逻辑为载体，考查了二项式定理，属基础题．2.长轴长为8，以抛物线y2=12x的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0），长轴长为8，所以椭圆的长半轴为：4，半焦距为3，则b==．所以所求的椭圆的方程为：．故选：D．求出抛物线的焦点坐标，利用椭圆的长轴，求出b，即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A. 若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B. 若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC. 若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD. 若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线【答案】C【解析】解：若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．故选：C．由线面平行的性质和面面的位置关系可判断A；由线面垂直的性质和面面平行的判断和性质，可判断B；由线面平行的性质定理可判断C；由线面垂直的性质和面面的位置关系可判断D．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．4.记号[x]表示不超过实数x的最大整数，若f（x）=[]，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（29）+f（30）的值为（）A. 899B. 900C. 901D. 902【答案】C【解析】解：令g（x）=[]，h（x）=，则g（1）=g（2）=g（3）=g（4）=g（5）=0，g（6）=g（7）=1，g（8）=g（9）=2，g（10）=3，g（11）=g（12）=4，g（13）=5，g（14）=6，g（15）=7g（16）=8，g（17）=9，g（18）=10g（19）=12，g（20）=13，g（21）=14g（22）=16，g（23）=17，g（24）=19g（25）=20，g（26）=22，g（27）=24g（28）=26，g（29）=28，g（30）=30h（1）=5，h（2）=7，h（3）=9，h（4）=10，h（5）=12，h（6）=13，h（7）=14，h（8）=15，h（9）=16，h（10）=17，h（11）=h（12）=18，h（13）=19，h（14）=20，h（15）=h（16）=21，h（17）=22，h（18）=h（19）=23h（20）=24，h（21）=h（22）=25，h（23）=h（24）=26，h（25）=h（26）=27，h（27）=h（28）=28，h（29）=29，h（30）=30，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（29）+f（30）=901，故选：C．令g（x）=[]，h（x）=，分别求出x=1，2，3，…，30时，两个函数的值，相加可得答案．本题考查的知识点是函数求值，运算量大，属于难题．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={-1，0，1，2}，B=（-∞，0），则A∩B=______．【答案】{-1}【解析】解：A∩B={-1}．故答案为：{-1}．直接利用交集运算得答案．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6.写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题______．【答案】“若a＜b，则am2＜bm2”【解析】解：“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，故答案为：“若a＜b，则am2＜bm2”．直接写出逆命题即可．本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题．7.不等式2＜（）3（x-1）的解集为______．【答案】（-2，3）【解析】解：原不等式可化为：2＜23-3x，根据指数函数y=2x的增函数性质得：x2-4x-3＜3-3x，解得：-2＜x＜3，故答案为：（-2，3）．两边化为同底的指数不等式，再根据指数函数的单调性可解得．本题考查了指数不等式的解法，属基础题．8.在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），则tan（π+θ）的值为______．【答案】【解析】解：∵平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），∴tanθ==，∴tan（π+θ）=tanθ=，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用诱导公式，求得tan（π+θ）的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．9.已知直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为______．【答案】12π【解析】解：∵直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体是底面是以AB为半径的圆，高为AC的圆锥，∴△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为：V===12π．故答案为：12π．△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体是底面是以AB为半径的圆，高为AC的圆锥，由此能求出其体积．本题考查直角三角形绕直角边旋转一周所成几何体的体积的求法，考查旋转体的性质、圆锥的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则||=______．【答案】【解析】解：由表格可知，z1=i，z2=2-i，则，∴||=|-1-2i|=．故答案为：．由已知求得z1，z2，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的公式求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算及复数模的求法，是基础题．11.已知无穷等比数列{a n}的各项和为4，则首项a1的取值范围是______．【答案】（0，4）∪（4，8）【解析】解：由题意可得，，|q|＜1且q≠0a1=4（1-q）∴0＜a1＜8且a1≠4故答案为：（0，4）∪（4，8）由无穷等比数列{a n}的各项和为4得，，|q|＜1且q≠0，从而可得a1的范围．本题主要考查了等比数列的前n项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．12.设函数f（x）=sinωx（0＜ω＜2），将f（x）图象向左平移单位后所得函数图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω=______．【答案】【解析】解：把函数f（x）=sinωx的图象向左平移单位后，所得函数图象对应的函数解析式为y=sinω（x+）=sin（ωx+ω）．再由所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，可得ω=kπ，k∈z，结合ω的范围，可得ω=，故答案为．先求出变换后所得函数图象对应的函数解析式为y=sin（ωx-ω），再由所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，可得ω=kπ，k∈z，结合ω的范围，可得ω 的值．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．13.2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名为男性，则不同的选派方案共有______种．【答案】80【解析】解：利用间接法，先从9人任选3人，再排除3人全是女的情况，故有C95-C43=80，故答案为：80．利用间接法，先从9人任选3人，再排除3人全是女的情况，即可求出．本题考查组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题14.设等差数列{a n}满足a1=1，a n＞0，其前n顶和为S n，若数列{}也为等差数列，则=______．【答案】【解析】解：设等差数列{a n}满足a1=1，a n＞0，a n=1+（n-1）d，S n=，其前n顶和为S n，=1则，=，，数列{}也为等差数列，可得，可得d=2，所以a n=2n-1，S n=n2，===．故答案为：．求出等差数列求和公式，以及通项公式，求出数列的公差，得到数列的和，然后求解数列的极限．本题考查等差数列的应用，数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力．15.已函数f（x）+2=，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，若在区间（-1，1]内，g（x）=f（x）-t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是______．【答案】（0，]【解析】解：由当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当-1＜x≤0，可得0＜≤1，可知函数在x∈（-1，1]上的解析式为f（x）=，由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），可将函数f（x）在x∈（-1，1]上的大致图象呈现如图：根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，当直线经过点（1，1），可得t =， 因此直线的斜率t 的取值范围是（0，]． 故答案为：（0，]．由g （x ）=f （x ）-t （x +1）=0得f （x ）=t （x +1），分别求出函数f （x ）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．本题考查函数方程的转化思想，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．16. 已知平面向量、、满足||=1，||=||=2，且=0，则当0≤λ≤1时，|-λ-（1-λ）|的取值范围是______．【答案】[] 【解析】解：设=+（1-λ），则|-λ-（1-λ）|=|-|，∵|||-|||≤|-|≤||+||，∴|||-1|≤|-|≤||+1，∵||2=|+（1-λ）|2=λ2||2+（1-λ）2||2+2λ（1-λ）•=4λ2+4（1-λ）2=8λ2-8λ+4=8（λ-）2+2又0≤λ≤1，∴2≤||2≤4，∴≤||≤2，∴-1≤|-|≤3，即-1≤|-λ-（1-λ）|≤3．故答案为：[-1，3]．设=+（1-λ），则|-λ-（1-λ）|=|-|，得|||-1|≤|-|≤||+1，由||2=8（λ-）2+2和0≤λ≤1，得≤||≤2，得-1≤|-λ-（1-λ）|≤3．本题主要考查向量模的求解，换元法与模的求解方法结合是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，A 1D =5． （1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段A 1D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小．【答案】解：（1）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AA1⊥AD，故，∴正四棱柱的侧面积为（4×3）×4=48，体积为V=（32）×4=36；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：D（0，0，0），B（3，3，0），A1（3，0，4），E（，0，2），，，设与所成角为α，直线BE与平面ABCD所成角为θ，则cosα=，又是平面ABCD的一个法向量，故sinθ=cosα=，则．∴直线BE与平面ABCD所成的角为．【解析】（1）直接由棱柱的表面积与体积公式求解；（2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角．本题考查棱柱体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．18.如图，某广场有一块边长为1（hm）的正方形区域ABCD，在点A处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图象的角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上）设∠PAB=θ，记tanθ=t．（1）用t表示的PQ长度，并研究△CPQ的周长l是否为定值？（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少hm2？【答案】解：（1）设BP=t，CP=1-t（0≤t≤1），所以∠DAQ=45°-θ，DQ=A tan（45°-θ）=，则：CQ=1-．所以：PQ==，故：l=CP+CQ+PQ=1-t+=1-t+1+t=2．所以△CPQ的周长为定值2．（2）S=S正方形-S△ABP-S△ADQ，=1--=2-．当且仅当t=时，摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为2-hm2．【解析】（1）直接利用已知条件求出t的关系式，进一步求出周长为定值．（2）利用关系式的恒等变换和不等式的基本性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，分割法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.对于在某个区间[a，+∞）上有意义的函数f（x），如果存在一次函数g（x）=kx+b使得对于任意的x∈[a，+∞），有|f（x）-g（x）|≤1恒成立，则函数g（x）是函数f （x）在区间[a，+∞）上的弱渐近函数．（1）若函数g（x）=3x是函数f（x）=3x+在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；（2）证明：函数g（x）=2x是函数f（x）=2在区间[2，+∞）上的弱渐近函数．【答案】解：（1）函数g（x）=3x是函数f（x）=3x+在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，可得|3x+-3x|≤1在[4，+∞）上恒成立，即|m|≤x在[4，+∞）上恒成立，可得|m|≤4，即-4≤m≤4；（2）证明：|f（x）-g（x）|=|2-2x|，由x≥2时，由x2-（x2-1）=1＞0，即x＞，可得|f（x）-g（x）|=2（x-）=，由y=x，y=在x≥2递增，可得y=x+在x≥2递增，即有x+≥2+，则＜=2（2-）＜1，即为|f（x）-g（x）|＜1在区间[2，+∞）上恒成立，故函数g（x）=2x是函数f（x）=2在区间[2，+∞）上的弱渐近函数．【解析】（1）由题意可得|m|≤x在[4，+∞）上恒成立，由x的最小值即可得到所求范围；（2）由弱渐近函数的定义，只要证得|f（x）-g（x）|＜1在区间[2，+∞）上恒成立，结合函数的单调性即可得证．本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为4，渐近线方程为y=±x．求双曲线的标准方程；（2）过（1）中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且P是线段AB的中点，求证：x1•x2为常数；（3）我们知道函数y=的图象是由双曲线x2-y2=2的图象逆时针旋转45°得到的，函数y=的图象也是双曲线，请尝试写出曲线y=的性质（不必证明）．【答案】解：（1）设双曲线的方程为，由2a=4，a=2，由双曲线的渐近线方程为y=±x，则=，则b=2，∴双曲线的方程为：；（2）法一：由题不妨设，，则，则P在双曲线上，代入双曲线方程得x1•x2=4；法二：当直线AB的斜率不存在时，显然x=±2，则x1•x2=4；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，（k≠0，k≠±），则，则，同理，则，此时，，代入双曲线方程得t2=4（k2-3），则x1•x2═=4；（3）①对称中心：原点，对称轴方程：，，②顶点坐标为，，焦点坐标：，，实轴长：，虚轴长：2b=2，焦距：2c=4；③范围：x≠0，，④渐近线：．【解析】（1）根据双曲线的性质求得双曲线的方程；（2）方法一：设A，B点坐标，求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得x1•x2；方法二：分类讨论，设直线AB的方程，分别求得A和B点坐标，求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得x1•x2；（3）根据曲线方程，分别求得曲线的性质．本题考查双曲线的方程及性质，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题．21.若存在常数k（k∈N*，k≥2）、c、d，使得无穷数列{a n}满足a n+1=，则称数列{a n}为“Γ数列．已知数列{b n}为“Γ数列”．（1）若数列{b n}中，b1=1，k=3、d=4、c=0，试求b2019的值；（2）若数列{b n}中，b1=2，k=4、d=2、c=1，记数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S4n≤λ•3n对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．【答案】解：（1）数列{b n}为“Γ数列”中，b1=1，k=3、d=4、c=0，所以：当n≥1时，n∈N+时，b3n+1=0，又，即：b2017=0，b2018=b2017+d=0+4=4，b2019=b2018+d=4+4=8．（2）因为数列{b n}是“Γ数列”，且b1=2，k=4，d=2，c=1，所以：b4n+1-b4n-3=1×（b4n-1+d）-b4n-3=（b4n-2+2d）-b4n-3=（b4n-3+3d）-b4n-3=3d=6，则：数列前4n项中的项b4n-3是以2为首项，6为公差的等差数列．易知{b4n}的项后按原来的顺序构成一个首项为4，公差为2的等差数列．所以：S4n=（b1+b5+…+b4n-3）+[（b2+b3+b4）+（b6+b7+b8）+…+（b4n-6+b4n-5+b4n-4）+（b4n-2+b4n-1+b4n）]，=，=12n2+8n．由于不等式S4n≤λ•3n对n∈N*恒成立，所以：，设=，则：λ≥（∁n）max，所以：c n+1-∁n==．当n=1时，-24n2+8n+20＞0，当n≥2时，-24n2+8n+20＜0，所以：c1＜c2＞c3＞…，所以∁n的最大值为．即．（3）{b n}为等比数列，设数列{b n}的公比，由等比数列的通项公式：，当m∈N+时，b km+2-b km+1=d，即：bq km+1-bq km=bq km（q-1）=d，①q=1，则d=0，故：b n=b．②当q≠1时，则：，所以q km为常数，则q=-1，k为偶数时，d=-2b ，经检验，满足条件数列{b n}的通项公式为：．【解析】（1）直接利用信息求出数列的项．（2）利用恒成立问题和函数的单调性，求出λ的取值范围．（3）直接利用分类讨论思想求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．第11页，共11页。
2019年上海市松江区高考数学一模试卷及解析〔精品解析版〕
．
6．（4 分）已知双曲线标准方程为 ﹣y2＝1，则其焦点到渐近线的距离为
．
7．（5 分）若向量 ， 满足（ + ） ＝7，且| |＝ ，| |＝2，则向量 与 夹角为
．
8．（5 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，若 c2＝（a﹣b）2+6，
C＝ ，则△ABC 的面积是
．
9．（5 分）若函数 f（x）＝
，则 y＝f（x）图象上关于原点 O 对称的点
共有
对．
10．（5 分）已知 A、B、C 是单位圆上三个互不相同的点，若| |＝| |，则 • 的最小
值是
．
11．（5 分）已知向量 ， 是平面 α 内的一组基向量，O 为 α 内的定点，对于 α 内任意
一点 P，当 ＝x +y 时，则称
其中的真命题是
．（请写出所有真命题的序号）
12．（5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且 f（x）•f（﹣x）＝1 和 f（1+x）•f（1﹣x）＝4
对任意的 x∈R 都成立．若当 x∈[0，1]，f（x）的值城为[1，2]，则当 x∈[﹣100，100]时，
函数 f（x）的值域为
．
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，选对得 5
2019 年上海市松江区高考数学一模试卷
一、填空题（本大题满分 54 分)，本大题共有 12 题，第 1-6 题每个空格填对得 4 分，第 7-12 题每个空格得 5 分，否则一律得零分
1．（4 分）设集合 A＝{x|x＞1}，B＝{x| ＜0}，则 A∩B＝
．
2．（4 分）若复数 z 满足（3﹣4i）•z═4+3i，则|z|＝
2019年高考数学上海卷-答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学答案解析1.【答案】{3,5}【解析】解：集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，{3,5}A B ∴=．故答案为：{3,5}． 2．【答案】2【解析】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2． 3．【答案】{6,4}-【解析】解：由15x +<得515x -<+<，即64x -<<. 故答案为：{6,4}-．4．【答案】1()0)f x x -=> 【解析】解：由2(0)y x x =>解得x =1()0)f x x -∴=>故答案为1()0)f x x -∴=> 5．【答案】【解析】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴==故答案为： 6．【答案】2-【解析】解：由题意，可知：方程有无穷多解，∴可对①，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-． 故答案为：2-． 7．【答案】15【解析】解：6x ⎛ ⎝展开式的通项为36216r r r T C x -+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =．故答案为：15． 8．【解析】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cosC 4=，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯， ∴解得：AB9．【答案】24【解析】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24． 10．【解析】解：由题意得：点坐标为a ⎫⎪⎪⎭，点坐标为a ⎛ ⎝，11||||23AQ CP +=，当且仅当a =时，取最小值，2⨯P Q11．【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(，(， 121F P F P ⋅， 2221x y ∴-+≤，结合22142x y += 可得：2[1,2]y ∈故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：(2221222122381cos 31,223F P F Qy y y F P F Q x θ⋅-⎡⎤====-+∈--⎢⎥++⎣⎦⋅故1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．【答案】1或3-【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+；当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，的值为1或3-． 故答案为：1或3-． 13．【答案】B【解析】解：A ，2xy =的值域为(0,)+∞，故A 错B，y =[0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确 C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错tD ，cos y x =的值域为[1,1]-+，故D 错 故选：B 14．【答案】C【解析】解：22a b >等价，22|||a b >，得“||||a b >”，∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C 15．【答案】B【解析】解：如图1，可得,,a b c 可能两两垂直； 如图2，可得,,a b c 可能两两相交； 如图3，可得,,a b c 可能两两异面；故选：B 16．【答案】A【解析】解：因为111r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=， 所以121y y =，则()()1212121a a --=， 即12122a a a a =+， 则12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A17．【答案】解：（1）,M N 分别为,PB BC 的中点，//MN PC ∴，则PCA ∠为AC 与MN 所成角， 在PAC △中，由2,PA PC AC ==可得222cos 24PC AC PA PCA PC AC +-∠===⋅，AC ∴与MN的夹角为arccos4； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心，连接AO 并延长，交BC 于N ，则32123AN AO AN ===，．PO ∴=11333224P ABC V -∴=⨯=．18．【答案】解：（1）4133315,4a a d d d =+=+=∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）()31,lim 1n n n n q S S q→∞-=-存在，11q ∴-<<，lim n n S →∞∴存在，11q ∴-<<且0q ≠，()313lim lim11n n n n q S qq→∞→∞-∴==--， 3121q ∴<-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<，∴公比q 的取值范围为3(1,0)0,4⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭．19．【答案】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.4200.1136357876.60531200001t e ->+，解得50.68t >， 当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．【答案】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，84323PFk ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得103PF ==， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m ==+，2()||22P P Q y d P PF y -==22=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()132132242d P d p d P PF P F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦∴∴=由()2213131628y y y y⎡⎤-++=-⎣⎦，()()()()(22222213131313134444840y y y y y y y y y y++-+=+-=->，则()()()1322d P d P d P+>．21．【答案】解：（1）等差数列{}n a的公差(0,]dπ∈，数列{}n b满足()sinn nb a=，集合{}*|,nS x x b n N==∈．当120,3a dπ==，集合S⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭．（2）12aπ=，数列{}n b满足()sinn nb a=，集合{}*|,nS x x b n N==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a的终边落在y轴的正负半轴上时，集合S恰好有两个元素，此时dπ=，②1a终边落在OA上，要使得集合S恰好有两个元素，可以使2a，3a的终边关于y轴对称，如图OB，OC，此时23dπ=，综上，23dπ=或者dπ=．（3）①当3T=时，3n nb b+=，集合{}123,,S b b b=，符合题意．②当4T=时，4n nb b+=，()sin4sinn na d a+=，42n na d a kπ+=+，或者42n na d k aπ+=-，等差数列{}n a的公差(0,]dπ∈，故42n na d a kπ+=+，2kdπ=，又1,2k∴=当1k=时满足条件，此时{,1,1}S=--．∴③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,s i n 7s i n s i n n nn n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．。
2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁U A＝．2．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为．3．（4分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则其两条渐近线的夹角为．4．（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n＝．5．（4分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是．6．（4分）若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于．7．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1+a2+……+a n）＝，则a1的取值范围是．8．（5分）若函数f（x）＝ln的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A，则实数a的取值范围为．9．（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y＝1+f（x）的零点是．10．（5分）已知复数z1＝cos x+2f（x）i，z2＝（sin x+cos x）+i（x∈R，i为虚数单位）．在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若∠Z1OZ2＝90°，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期．11．（5分）当0＜x＜a时，不等式+≥2恒成立，则实数a的最大值为．12．（5分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足T n+＝（﹣1）n b n （n∈N*），且d＝a5＝b2，若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．若H n是数列{T n}的前n项和，对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，则所有满足条件的k的值为．二、选择题（本题共有4题，满分20分）13．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）＝arcsin x B．y＝lg|x|C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝cos x14．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）已知f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a≤c≤b B．b≤c≤a C．c≤b≤a D．a≤b≤c16．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，P A＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣P AD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝．（1）若sin A＝，求cos C；（2）已知b＝4，证明≥﹣5．19．（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1﹣）元，其中1≤x≤10．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．20．（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，满足P A，PB的中点均在抛物线C上（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P（x P，y P），M（x M，y M），证明：y P＝y M；（3）若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的最小值．21．（18分）记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，其中n∈N*．（1）若a n＝2n+cos，请写出b3的值；（2）求证：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|a n|＜2018，且|b n|＝1，请问：是否存在K∈N*，使得对于任意不小于K的正整数n，有b n+1＝b n成立？请说明理由．2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁U A＝{1，2}．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用补集定义直接求解．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{3，4，5}，∴∁U A＝{1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为6π．【考点】G8：扇形面积公式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；56：三角函数的求值．【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l＝αr＝×6＝2π，根据扇形的面积公式可得S＝lr＝•2π•6＝6π．故答案为：6π．【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．3．（4分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则其两条渐近线的夹角为900．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．【解答】解：双曲线x2﹣y2＝11的两条渐近线的方程为：y＝±x，所对应的直线的倾斜角分别为90°，∴双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线的夹角为90°，故答案为：90°．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．4．（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n＝3．【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n的值．【解答】解：（a+b）n展开式的二项式系数之和为2n＝8，则n＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5．（4分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是[﹣，]．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．【分析】三角换元后，利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得．【解答】因为x2+y2＝1，所以可设x＝cosθ，y＝sinθ，则xy＝cosθsinθ＝sin2θ∈[﹣，]故答案为[﹣，]【点评】本题考查了三角换元以及正弦函数的值域．属基础题．6．（4分）若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于12πcm3．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径，那么圆锥的体积＝×π×底面半径2×高，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的高是4cm，母线长是5cm，∴圆锥的底面半径为3cm，∴圆锥的体积＝×π×32×4＝12πcm3．故答案为：12πcm3．【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．7．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1+a2+……+a n）＝，则a1的取值范围是．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】无穷等比数列{a n}中，，推出0＜|q|＜1，然后求出首项a1的取值范围．【解答】解：因为无穷等比数列{a n}中，，所以|q|＜1，＝，所以，∵﹣1＜q＜1且q≠0∴0＜a1＜1且a1≠故答案为：．【点评】本题考查无穷等比数列的极限存在条件的应用，解题时要注意极限逆运算的合理运用．8．（5分）若函数f（x）＝ln的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A，则实数a的取值范围为[﹣1，0]．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先化简集合A，由B⊆A，得，得﹣1≤a≤0．【解答】解：∵＞0，∴（x+1）（x﹣1）＜0，∴﹣1＜x＜1，∴A＝（﹣1，1）；∵B⊆A，∴，∴﹣1≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣1，0]．故答案为[﹣1，0]．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．9．（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y＝1+f（x）的零点是﹣1．【考点】OY：三阶矩阵．【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】将行列式按第3行第2列展开，由f（x）＝A32＝﹣＝﹣（4×2x﹣4×4x）＝﹣2x+2（1﹣2x），令y＝1+f（x）＝1﹣2x+2（1﹣2x）＝0，解得：x＝﹣1，即可求得y ＝1+f（x）的零点．【解答】解：第3行第2列的元素的代数余子式A32＝﹣＝﹣4×2x+4×4x＝﹣2x+2（1﹣2x），∴f（x）＝﹣2x+2（1﹣2x），y＝1+f（x）＝1﹣2x+2（1﹣2x），令y＝0，即2x+2（1﹣2x）＝1，解得：2x＝，x＝﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查三阶行列式的余子式的定义，考查函数的零点的定义，属于中档题．10．（5分）已知复数z1＝cos x+2f（x）i，z2＝（sin x+cos x）+i（x∈R，i为虚数单位）．在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若∠Z1OZ2＝90°，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期π．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4R：转化法；57：三角函数的图象与性质；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知求得Z1，Z2的坐标，结合∠Z1OZ2＝90°可得f（x）的解析式，降幂后利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期．【解答】解：由题意，Z1（cos x，2f（x）），，∴∠Z1OZ2＝90°，∴，即2f（x）＝﹣，∴f（x）＝．则函数f（x）的最小正周期为π．故答案为：π．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数周期的求法，是基础的计算题．11．（5分）当0＜x＜a时，不等式+≥2恒成立，则实数a的最大值为2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】想法求出左边式子的最小值，首先把分式形式乘以a2，变形为2+[+]+[+]，利用均值不等式得出式子的最小值．【解答】解：∵（+）a2＝（+）[x+（a﹣x）]2＝（+）[x2+2x（a﹣x）+（a﹣x）2]＝2+[+]+[+]≥2+4+2＝8∴+≥∴≥2'∴0＜a≤2．【点评】考查了对式子的配凑变形，均值定理的应用，思路不太好想，有一定难度．12．（5分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足T n+＝（﹣1）n b n （n∈N*），且d＝a5＝b2，若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．若H n是数列{T n}的前n项和，对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，则所有满足条件的k的值为3，4．【考点】8E：数列的求和．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】求得n＝1，2，3，4，5时，数列{b n}的前5项，即可求出通项公式，再求得d 和首项a1，得到等差数列{a n}的通项公式，求得n＝1，2，3，4，H2n﹣1的特点，结合k ＝3，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值．【解答】解：T n+＝（﹣1）n b n（n∈N*），可得n＝1时，T1+＝﹣b1＝﹣T1，解得b1＝﹣，T2+＝b2＝﹣+b2+＝b2，T3+＝﹣b3＝﹣+b2+b3+，即b2+2b3＝，T4+＝b4＝﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3＝，解得b2＝，b3＝﹣，同理可得b4＝，b5＝﹣，…，b2n﹣1＝﹣，d＝a5＝b2，可得d＝a1+4d＝，解得a1＝﹣，d＝，a n＝，设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1＝T1＝b1＝﹣，H3＝T1+T2+T3＝﹣，H5＝T1+T2+T3+T4+T5＝﹣，H7＝﹣+0﹣＝﹣，…，H2n﹣1＝H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k＝3时，P3＝{x|a1＜x＜a6}＝{x|﹣＜x＜}，当k＝4时，P4＝{x|a2＜x＜a7}＝{x|﹣＜x＜}，当k＝5时，P5＝{x|a3＜x＜a8}＝{x|﹣＜x＜1}，当k＝6时，P3＝{x|a4＜x＜a9}＝{x|0＜x＜}，显然k＝5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．答案为：3，4【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式的求法，集合的性质和数列的单调性的判断和应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．二、选择题（本题共有4题，满分20分）13．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）＝arcsin x B．y＝lg|x|C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝cos x【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可看出f（x）＝arcsin x在[﹣1，1]上单调递增，y＝lg|x|和f（x）＝cos x都是偶函数，从而判断A，B，D都错误，只能选C．【解答】A．f（x）＝arcsin x在区间[﹣1，1]上单调递增；∴该选项错误；B．y＝lg|x|为偶函数，∴该选项错误；C．f（x）＝﹣x是奇函数，且在[﹣1，1]上单调递减；∴该选项正确；D．f（x）＝cos x是偶函数，∴该选项错误．故选：C．【点评】考查反正弦函数和一次函数的单调性，以及奇函数和偶函数的定义．14．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【解答】解：随机选派2人参加象棋比赛，有＝10种，选出的2人中恰有1人是女队员，有＝6种，∴所求概率为＝，故选：B．【点评】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键．15．（5分）已知f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a≤c≤b B．b≤c≤a C．c≤b≤a D．a≤b≤c【考点】3G：复合函数的单调性．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】先判断f（x）在（0，+∞）上是减函数，再比较，，的大小关系，从而得到a，b，c的大小关系．【解答】解：∵f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），∴sinθ∈（0，1），故f（x）在（0，+∞）上为减函数．∵a＝f（），b＝f（），c＝f（），∵≥＞0，∴a＝f（）≤b＝f （），a≤b．又≤＝，即）≥，∴b＝f（）≤c＝f（），即b≤c．综上，a≤b≤c，故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，基本不等式的应用，比较两个数大小的方法，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）【考点】19：集合的相等．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；5J：集合．【分析】由{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}可得f（0）＝0，从而求得m＝0；从而化简f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，从而讨论求得【解答】解：设x1∈{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}，∴f（x1）＝f（f（x1））＝0，∴f（0）＝0，即f（0）＝m＝0，故m＝0；故f（x）＝x2+nx，f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，当n＝0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n＝0的根，故△＝n2﹣4n＜0，解得：0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选：A．【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，P A＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣P AD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）转换底面，代入体积公式计算；（2）利用线线垂直证明AF⊥平面PBC，即可得出结论．【解答】（1）解：∵P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…（3分）∴…（6分）（2）证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AB，又∵P A＝AB＝1，且点F是PB的中点，∴AF⊥PB…（8分）又P A⊥BC，BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，又AF⊂平面P AB，∴BC⊥AF…（10分）由AF⊥平面PBC，又∵PE⊂平面PBC∴无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE成立．…（12分）【点评】本题给出特殊的四棱锥，考查了线面垂直的证明与性质的运用，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，关键是要熟练掌握定理的条件．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝．（1）若sin A＝，求cos C；（2）已知b＝4，证明≥﹣5．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HR：余弦定理．【专题】15：综合题；35：转化思想；58：解三角形；5A：平面向量及应用．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sin B，由sin B＞sin A，可得A为锐角，可求cos A，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式即可计算得解cos C 的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求得ac≤13，根据平面向量数量积的运算，诱导公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵cos B＝，可得：sin B＝＝，∵sin B＝＞sin A＝，∴B＞A，可得A为锐角，∴cos A＝＝，∴cos C＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝．（2）证明：∵由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：a2+c2﹣ac＝16，∵a2+c2≥2ac，∴解得：ac≤13，当且仅当a＝c时等号成立，∴＝ac cos（π﹣B）＝﹣ac cos B＝﹣ac≥﹣5．得证．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理，基本不等式，平面向量数量积的运算，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1﹣）元，其中1≤x≤10．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．【考点】5A：函数最值的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得：2（5x+1﹣）≥30，1≤x≤10．解出即可得出．（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，≤10，可得t∈[90，900]．可得获得利润f（t）＝5×+1﹣＝﹣+1，t＞0．利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：2（5x+1﹣）≥30，1≤x≤10．解得：3≤x≤10，因此要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，x的取值范围为[3，10]．（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，≤10，可得t∈[90，900]．则获得利润f（t）＝5×+1﹣＝﹣+1，t＞0．由反比例函数的单调性可得：f（t）在t∈[90，900]单调递减．∴t＝90时，即该厂应选取10千克小时的速度匀速生产，可使生产900千克该产品获得的利润最大，其最大利润为900f（10）＝45630元．故该厂应选取10千克小时的速度匀速生产，可使生产900千克该产品获得的利润最大，其最大利润为900f（10）＝45630元．【点评】本题考查了不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，满足P A，PB的中点均在抛物线C上（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P（x P，y P），M（x M，y M），证明：y P＝y M；（3）若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的最小值．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】34：方程思想；4I：配方法；4J：换元法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由抛物线方程求得p，则答案可求；（2）P（x P，y P），设A（，y1），B（，y2），运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2y P y+8x P﹣＝0的两根，由根与系数的关系即可得到结论；（3）由题意可得，﹣1≤x P＜0，﹣2＜y P＜2，可得△P AB面积为S＝|PM|•|y1﹣y2|，再由配方和换元法结合函数单调性求最值．【解答】（1）解：由抛物线C：y2＝4x，得2p＝4，则p＝2，∴抛物线C的焦点到准线的距离为2；（2）证明：P（x P，y P），设A（，y1），B（，y2），AB中点为M的坐标为M（x M，y M），则M（，），抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上，可得，，化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2y P y+8x P﹣＝0的两根，可得y1+y2＝2y P，y1y2＝8，可得；（3）解：若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，可得，﹣1≤x P＜0，﹣2＜y P＜2，由（2）可得y1+y2＝2y P，y1y2＝8，由PM垂直于y轴，可得△P AB面积为S＝|PM|•|y1﹣y2|＝（）•＝[﹣]•＝（），令t＝＝＝，得时，t取得最大值．x P＝﹣1时，t取得最小值2，即2≤t≤，则S＝在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，∴△P AB面积的最小值为6．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，属于难题．21．（18分）记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，其中n∈N*．（1）若a n＝2n+cos，请写出b3的值；（2）求证：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|a n|＜2018，且|b n|＝1，请问：是否存在K∈N*，使得对于任意不小于K的正整数n，有b n+1＝b n成立？请说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）a n＝2n+cos，可得a1＝2，a2＝3，a3＝8，M3，m3．即可得出b3．（2）充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，可得b n＝，b n+1＝．b n+1﹣b n＝常数，即可证明“数列{b n}是等差数列”．必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′，b n+1﹣b n＝﹣＝+＝d′，根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1＝M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n＝a n，m n ＝a1，进而得出．同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′＝0时，M n+1＝M n，且m n+1＝m n，故{a n}为常数列，是等差数列．（3）假设结论不成立，即对任意K∈N*，存在n＞K，使b n+1≠b n．由|b n|＝1，b n＝1或﹣1，对∀K∈N*，一定存在i＞K，使得b i，b i+1符号相反．在数列{b n}中存在，，…，，，…，其中k1＜k2＜k3＜…＜k i＜…．﹣1＝＝＝…＝＝，1＝＝＝…＝＝＝…，＝﹣1，＝1.＝﹣1，＝1，由于≥与≤中只有一个等号成立，必有＞，＝．可得＝+4.＝＝+4．k i＞k i﹣1，k i≥k i﹣1+1，≥+1，≥+4，﹣≥4．利用累加求和方法即可得出．【解答】解：（1）∵a n＝2n+cos，∴a1＝2，a2＝3，a3＝8，∴M3＝8，m3＝2．∴b3＝＝5．（2）证明：充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，则b n＝，b n+1＝．∴b n+1﹣b n＝，故“数列{b n}是等差数列”必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′则b n+1﹣b n＝﹣＝+＝d′根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1＝M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n＝a n，m n＝a1，则b n+1﹣b n＝﹣＝＝d′，即a n+1﹣a n＝2d′，即“数列{a n}是等差数列”，同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′＝0时，M n+1＝M n，且m n+1＝m n，故{a n}为常数列，是等差数列．综上可得：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）假设结论不成立，即对任意K∈N*，存在n＞K，使b n+1≠b n．∵|b n|＝1，∴b n＝1或﹣1，∴对∀K∈N*，一定存在i＞K，使得b i，b i+1符号相反∴在数列{b n}中存在，，…，，，…，其中k1＜k2＜k3＜…＜k i＜…且﹣1＝＝＝…＝＝，1＝＝＝…＝＝＝…∵＝﹣1，＝1即＝﹣1，＝1，由于≥与≤中只有一个等号成立，∴必有＞，＝．可得＝+4．∴＝＝+4．∵k i＞k i﹣1∴k i≥k i﹣1+1∴≥+1∴≥+4∴﹣≥4．利用累加求和方法可得：≥+4（m﹣1），∴≥+4×（1010﹣1）＞﹣2018+4036＝2018．这与|a n|＜2018矛盾，故假设错误，∴存在K∈N*，使∀n≥K，有b n+1＝b n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与单调性、累加求和方法、不等式的解法、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019年上海市宝山区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市宝山区高考数学一模试卷一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。
1．（4分）函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为．2．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．3．（4分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则＝．4．（4分）方程ln（9x+3x﹣1）＝0的根为．5．（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有种不同的选法．（用数字作答）6．（4分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为，则x+y＝．7．（5分）如果无穷等比数列{a n}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q＝．8．（5分）函数y＝f（x）与y＝lnx的图象关于直线y＝﹣x对称，则f（x）＝．9．（5分）已知A（2，3），B（1，4），且＝（sin x，cos y），x，y∈（﹣，），则x+y＝．10．（5分）将函数y＝﹣的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是．11．（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b＝2，∠A＝45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是（只需填写一个适合的答案）12．（5分）如果等差数列{a n}，{b n}的公差都为d（d≠0），若满足对于任意n∈N*，都有b n ﹣a n＝kd，其中k为常数，k∈N*，则称它们互为同宗”数列．已知等差数列{a n}中，首项a1＝1，公差d＝2，数列{b n}为数列{a n}的“同宗”数列，若（）＝，则k＝．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）若等式1+x+x2+x3＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+a3（1﹣x）3对一切x∈R都成立，其中a0，a1，a2，a3为实常数，则a0+a1+a2+a3＝（）A．2B．﹣1C．4D．114．（5分）“x∈[﹣，]是“sin（arcsin）＝x”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要15．（5分）关于函数f（x）＝的下列判断，其中正确的是（）A．函数的图象是轴对称图形B．函数的图象是中心对称图形C．函数有最大值D．当x＞0时，y＝f（x）是减函数16．（5分）设点M、N均在双曲线C：＝1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，||的最小值为（）A．2B．4C．2D．以上都不对三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。
【上海卷】2019年普通高等学校招生全国统一考试数学真题(含解析)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则AB = ．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．（4分）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为 6．（4分）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．（5分）在6(x+的展开式中，常数项等于 ．8．（5分）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．（5分）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P …，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =14．（5分）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．（5分）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势： （2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = {3，5} ．【解答】解：集合{1A =，2，3，4，5}， {3B =，5，6}， {3AB ∴=，5}．故答案为：{3，5}．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 2 ．【解答】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ． 【解答】解：由|1|5x +<得515x -<+<，即64x -<< 故答案为：{6-，4)．4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为1()0)f x x -=> ． 【解答】解：由2(0)y x x =>解得x =，1()0)f x x -∴=>故答案为1f -()0)x x =>5．（4分）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为【解答】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴==故答案为：6．（4分）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 2- ． 【解答】解：由题意，可知：方程有无穷多解，∴可对①2⨯，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-． 故答案为：2-． 7．（5分）在6(x+的展开式中，常数项等于 15 ．【解答】解：6(x+展开式的通项为36216r r r T C x-+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15．8．（5分）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB【解答】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cos 4C =， ∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：AB =．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．10．（5分）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a【解答】解：由题意得：P点坐标为，)a ，Q点坐标为(a ，||||AQ CP +=+，当且仅当a =11．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P …，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 1[arccos 3π-，]π ．【解答】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(2-，0)，(2，0)，121F P F P …，2221x y ∴-+…，结合22142x y +=可得：2[1y ∈，2]故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++，1]3-故1[arccos 3θπ∈-，]π故答案为：1[arccos 3π-，]π12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t的值是 1或3- ．【解答】解：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t aλ∈+，9]t +，当[4a t ∈+，9]t +时，则[t aλ∈，1]t +，即当a t =时，9t a λ+…；当9a t =+时，t a λ…，即(9)t t λ=+；当1a t =+时，4t a λ+…，当4a t =+时，1t a λ+…，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，则[4t aλ∈+，9]t +，即当a t =时，1t aλ+…，当1a t =+时，t a λ…，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t a λ+…，当9a t =+时，4t a λ+…，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解．综上，t 的值为1或3-． 故答案为：1或3-．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【解答】解：A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错． 故选：B ．14．（5分）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：22a b >等价，22||||a b >，得“||||a b >”，∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C ．15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【解答】解：如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．16．（5分）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【解答】解：因为11|1|r a =-=21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为120lny lny +=， 所以121y y =， 则12(12)(12)1a a --=， 即12122a a a a =+， 则12112a a +=， 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A ．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．【解答】解：（1）M ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角，在PAC ∆中，由2PA PC ==，AC =，可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠===，AC ∴与MN的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =，213AO AN ==．PO ∴=∴11333224P ABC V -=⨯=．18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．【解答】解：（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=， 2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）3(1)1n n q S q -=-，lim n n S →∞存在，11q ∴-<<，∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--， ∴3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为(1-，0)(0⋃，3)4．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势： （2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2） 6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>， 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增，令6.44200.1136357876.60531200001te ->+，解得50.68t >，∴当51t …时，我国卫生总费用超过12万亿，∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系． 【解答】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ，8(1,)3P --，84323PFk ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得10||3PF ==， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==；（2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m =+2()||22(22P P Q y d P PF y m m -==+ 2122m +-=-=，则存在常数a ，使得2()||d PPF a =+；（3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，则1321322[()()]4()||||2||d P d p dP PF P F P F+-=+-=， 由2222231313134)[()16]24428y y y y y y y +-++=++-，2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->，则132()()2()d P d P d P +>．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．【解答】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n nb a =，集合{}*|,n S x x b nN ==∈．∴当120,3a d π==， 集合{S =0． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=， ②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{S =-，1，1}-．③当5T =时，5n n b b +=，sin(5)sin n n a d a +=，52n n a d a k π+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0d ∈，]π，故1k =，2． 当1k =时，{sin10S π=，1，sin}10π-满足题意． ④当6T =时，6n n b b +=，sin(6)sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3．当1k =时，S =，满足题意． ⑤当7T =时，7n n b b +=，sin(7)sin sin n n n a d a a +==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7m n -=，7m >，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3T ，4，5，6．。
上海市普陀区2019届高考数学一模试题卷及答案解析
上海市普陀区2019届高考数学一模试题卷一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数f(x)=1−x+2x的定义城为______．2.若sinα=13，则cos(π2+α)=______．3.设α∈{13,12,−1,−2,3}，若f(x)=xα为偶函数，则α=______．4.若直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点且其一个方向向量为d=(1,1)，则直线l的方程为______．5.若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为______．6.在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为______.(结果用最简分数表示)7.设(x−1)(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3=______(结果用数值表示)8.设a>0且a≠1，若log a(sinx−cosx)=0，则sin8x+cos8x=______．9.如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1=F，BC1∩B1C=E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为______．10.某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%.照此推算，此人2019年的年薪为______万元(结果精确到0.1) 11.已知点A(−2,0)，设B、C是圆O：x2+y2=1上的两个不同的动点，且向量OB= tOA+(1−t)OC(其中t为实数)，则AB⋅AC=______．12.设a为常数记函数f(x)=12+log a xa−x(a>0且a≠1，0<x<a)的反函数为f−1(x)，则f−1(12a+1)+f−1(22a+1)+f−1(32a+1)+……+f−1(2a2a+1)=______．二、选择题（本大题共4小题，共20.0分）13.下列关于双曲线Γ：x26−y23=1的判断，正确的是()A.渐近线方程为x±2y=0B.焦点坐标为(±3,0)C.实轴长为12D.顶点坐标为(±6,0)14.函数y=2cos(2x+π4)的图象()A.关于原点对称B.关于点(−3π8,0)C.关于y轴对称 D.关于直线x=π4轴对称15.若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a//b”成立的一个充分非必要条件是()A.a⊥b，b⊥cB.a//α，b//αC.a⊥β，b⊥βD.a//c，b⊥c16.设f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且f(x)=2log2x,1<x<4sin2πx,0≤x≤1，记g(x)=f(x)−a，若0<a≤12则函数g(x)在区间[−4,5]上零点的个数是()A.5B.6C.7D.8三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cosC=14．(1)求2cos2A+B2+2sin2C的值；(2)设c=2，求a+b的取值范围．18.已知曲线Γ：x216+y212=1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．(1)当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1⋅k2是定值；(2)设点C满足AC=λCB(λ>0)，且|PC|的最大值为7，求λ的值．19.如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为A i(i=1,2，3，4)．(1)设OA1=a(a>0)，当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小(结果用反三角函数值表示)．(2)若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为32cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料多少米？20.设数列{a n}满足a1=35，a n+1=3a n an+2(n∈N∗)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：{1a n −1}是等比数列，并求n→∞lim(1a1+1a2+…+1a n−n)的值；(3)记{a n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得对于任意的n(n∈N∗且n≥2)均有S n≥k成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．21.已知函数f(x)=2x(x∈R)，记g(x)=f(x)−f(−x)．(1)解不等式：f(2x)−f(x)≤6；(2)设k为实数，若存在实数x0∈(1,2]，使得g(2x0)=k⋅g2(x0)−1成立，求k的取值范围；(3)记h(x)=f(2x+2)+a⋅f(x)+b(其中a，b均为实数)，若对于任意的x∈[0,1]，均有|h(k)|≤12，求a，b的值．上海市普陀区2019届高考数学一模试卷及解析一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数f(x)=1−x+2x的定义城为______．【答案】(−∞,0)∪(0,1]【解析】解：由x≠01−x≥0解得：x≤1且x≠0，故答案为：(−∞,0)∪(0,1]根据偶次根式中被开方非负，分母不为0列式解得．本题考查了函数的定义域及其求法.属基础题．2.若sinα=13，则cos(π2+α)=______．【答案】−13【解析】解：∵sinα=1，∴cos(π+α)=−sinα=−1．故答案为：−1．由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3.设α∈{1,1,−1,−2,3}，若f(x)=xα为偶函数，则α=______．【答案】−2【解析】解：f(x)=x−2是偶函数；∴α=−2．故答案为：−2．可以看出，只有α=−2时，f(x)为偶函数，从而得出α=−2．考查偶函数的定义，偶函数图象的特点．4.若直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点且其一个方向向量为d=(1,1)，则直线l的方程为______．【答案】x−y−1=0【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，方向向量为d=(1,1)的直线l的斜率为1，故直线l的方程是y−0=1⋅(x−1)，即y=x−1，故答案为：x−y−1=0．求出抛物线y2=4x的焦点，求出直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．本题考查用点斜式求直线方程的方乘，抛物线的简单性质，确定斜率是解题的关键．5.若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为______．【解析】解：设球的半径为R，则43πR3=43R，∴πR2=1，球的表面积为：4πR2=4，故答案为：4．设球的半径为R，根据题意列方程可得．本题考查了球的体积和表面积，属中档题．6.在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为______.(结果用最简分数表示)【答案】712【解析】解：在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，从袋中随机取出两个球，基本事件总数n=C92=36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，∴至少有一个红球的概率为P=1−C6236=712．故答案为：712．从袋中随机取出两个球，基本事件总数n=C92=36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，由此能求出至少有一个红球的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.设(x−1)(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3=______(结果用数值表示)【答案】0【解析】解：∵(x−1)(x+1)5=(x−1)(x5+5x4+10x3+10x2+5x+1)=a0+a1x+a2x2+ a3x3+…+a6x6，则a3=10−10=0，故答案为：0．把(x+1)5按照二项式定理展开，可得a3的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.设a>0且a≠1，若log a(sinx−cosx)=0，则sin8x+cos8x=______．【答案】1【解析】解：设a>0且a≠1，若log a(sinx−cosx)=0，所以：sinx−cosx=a0=1，所以：sinx⋅cosx=0，则：sinx−cosx=1，则：sin8x+cos8x=(sin4x−cos4x)2+2sin4x⋅cos4x，=[(sin2x+cos2x)(sin2x−cos2x)]2+2sin4x⋅cos4x，=[(sinx+cosx)(sinx−cosx)]2−0，=1，故答案为：1．直接利用三角函数关系式的恒等变变换和对数的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1=F，BC1∩B1C=E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为______．【答案】322【解析】解：建立如图所示空间直角坐标系，设DD1=h，又AB=BC=4，)，B(4,4，0)，F(2,2，h)，则A(4,0，0)，E(2,4，h2∴AE =(−2,4,h 2)，BF =(−2,−2,h)，∵AE ⊥BF ，∴4−8+h 22=0，即h =22．∴此棱柱的体积为4×4×22=322．故答案为：322．建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h ，求出AE,BF 的坐标，由数量积为0求得h ，则棱柱的体积可求．本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，是中档题．10.某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%.照此推算，此人2019年的年薪为______万元(结果精确到0.1)【答案】10.4【解析】解：由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，则此人2019年每月的基础工资为2100+210(10−1)=3990元，每月的绩效工资为2000×1.19≈4715.90元，则此人2019年的年薪为12(3990+4715.90)≈10.4万元，故答案为：10.4．由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，即可求出2019年的每月的工资，即可求出年薪本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题．11.已知点A(−2,0)，设B 、C 是圆O ：x 2+y 2=1上的两个不同的动点，且向量OB =tOA +(1−t)OC(其中t 为实数)，则AB ⋅AC =______．【答案】3【解析】解：由向量OB =tOA +(1−t)OC(其中t 为实数)，可得：A ，B ，C 三点共线，且AB ，AC 同向，设圆O 与x 轴正半轴交于点E ，由圆的割线定理可得，|AB||AC|=|AO||AE|，∴AB ⋅AC =|AB||AC|cos0=|AB||AC|=|AO||AE|=1×3=3故答案为：3由向量OB =tOA +(1−t)OC(其中t 为实数)，可得：A ，B ，C 三点共线，且AB ，AC 同向，设圆O 与x 轴正半轴交于点E ，由割线定理可得，|AB||AC|=|AO||AE|=1×3=3本题考查了向量中三点共线的判断，及圆的割线定理，属中档题12.设a 为常数记函数f(x)=12+log a x a−x (a >0且a ≠1，0<x <a)的反函数为f −1(x)，则f −1(12a+1)+f −1(22a+1)+f −1(32a+1)+……+f −1(2a 2a+1)=______．【答案】a 2【解析】解：由f(x)=12+log a x a−x ，得f −1(x)=a x+12a x−12+1，∴f −1(1−x)=a 1−x+12a 1−x−12+1=a 1+a x−12，∴f −1(x)+f −1(1−x)=a x+12a x−12+1+a 1+a x−12=a ，∴原式=a ⋅a =a 2，故答案为：a 2先求出反函数，然后求出f −1(x)+f −1(1−x)=a ，所以等于a 个a ．本题考查了反函数，属基础题．二、选择题（本大题共4小题，共20.0分）13.下列关于双曲线Γ：x 26−y 23=1的判断，正确的是()A.渐近线方程为x ±2y =0B.焦点坐标为(±3,0)C.实轴长为12D.顶点坐标为(±6,0)【答案】B【解析】解：关于双曲线Γ：x 26−y 23=1，a 2=6，b 2=3，c 2=9，则渐近线方程为x ±2y =0；焦点为(±3,0)；实轴2a =26，顶点坐标为(±6,0)．故选：B ．关于双曲线Γ：x 26−y 23=1，a 2=6，b 2=3，c 2=9，即可得答案．本题考查双曲线的方程、几何性质，属于基础题．14.函数y =2cos(2x +π4)的图象()A.关于原点对称B.关于点(−3π8,0)C.关于y 轴对称D.关于直线x =π4轴对称【答案】B【解析】解：对于选项：A ，当x =0时y =2，故错误．对于选项C ：当x =0时，y =2≠2，故错误．对于选项D ：当x =π4时，y =−2≠±2，故错误．故选：B ．直接利用余弦函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“a//b ”成立的一个充分非必要条件是()A.a ⊥b ，b ⊥cB.a//α，b//αC.a ⊥β，b ⊥βD.a//c ，b ⊥c【答案】C【解析】解：由a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，在A 中，a ⊥b ，b ⊥c ，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；在B中，a//α，b//α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，a⊥β，b⊥β，则a//b，反之a//b，不一定得到a⊥β，b⊥β，故C正确；在D中，a//c，b⊥c，则a与b相交或异面，故D错误．故选：C．在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交、平行或异面；在C中，a⊥β，b⊥β，则a//b，反之a//b，不一定得到a⊥β，b⊥β；在D中，a与b相交或异面．本题考查命题成立的一个充分非必要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.设f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且f(x)=2log2x,1<x<4sin2πx,0≤x≤1，记g(x)=f(x)−a，若0<a≤12则函数g(x)在区间[−4,5]上零点的个数是()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】解：由图可知：直线y=a(0<a≤12)与y=f(x)在区间[−4,5]上的交点有8个，故选：D．分别作出y=f(x)与直线y=a(1<a≤12)的图象，观察交点个数即可本题考查了数形结合的思想及作图能力．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cosC=14．(1)求2cos2A+B2+2sin2C的值；(2)设c=2，求a+b的取值范围．【答案】解：(1)∵cosC=14，∴sinC=1−cos2C=154，∴2cos2A+B2+2sin2C=1+cos(A+B)+2sin2C=1−cosC+4sinCcosC=1−1+4×1×15 4=3+154.…(6分)(2)∵c=2，cosC=14，∴由余弦定理可得：4=a2+b2−12ab=(a+b)2−52ab，∵a2+b2≥2ab，可得：ab≤8，当且仅当a=b时等号成立，∴可得：(a+b)2=4+52ab≤323，可得：a+b≤463，当且仅当a=b时等号成立，∵a+b>c=2，∴a+b的取值范围为：(2,463].…(12分)【解析】(1)利用同角三角函数基本关系式可求sinC，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解．(2)由余弦定理，基本不等式可求a+b的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求a+b>c=2，即可得解a+b的取值范围．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.已知曲线Γ：x216+y212=1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．(1)当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1⋅k2是定值；(2)设点C满足AC=λCB(λ>0)，且|PC|的最大值为7，求λ的值．【答案】(1)证明：由椭圆方程可得A(−4,0)，B(4,0)，设P(x 0,y 0)(−4≤x 0≤4)，则k 1=y 0x 0+4，k 2=y 0x 0−4，∴k 1⋅k 2=y 02x 02−16=12(1−x 0216)x 02−16=−1216=−34为定值；(2)解：设C(m,0)(−4<m <4)，则|PC|=(x 0−m)2+y 02=x 02−2mx 0+m 2+12(1−x 0216)=14(x 0−4m)2+12−3m 2．若m ≥0，则|PC|max =14(−4−4m)2+12−3m 2=7，解得m =3．此时AC =(7,0)，CB =(1,0)，AC =7CB ，由AC =λCB ，得λ=7；同理，若m <0，可得m =−3，此时求得λ=17．故λ的值为7或17．【解析】(1)由已知椭圆方程求出A ，B 的坐标，设P(x 0,y 0)(−4≤x 0≤4)，由斜率公式及点P 在椭圆上即可证明k 1⋅k 2是定值；(2)设C(m,0)(−4<m <4)，写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m 值，结合AC =λCB(λ>0)，求得λ的值．本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题．19.如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为A i(i=1,2，3，4)．(1)设OA1=a(a>0)，当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小(结果用反三角函数值表示)．(2)若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为32cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料多少米？【答案】解：(1)根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A1，A2，A3，A4两两连结后得到的四面体A1A2A3A4为正四面体，延长A4O交平面A1A2A3于B，则A4B⊥平面A1A2A3，连结A1B，则A1B是OA1在平面A1A2A3上的射影，∴∠OA1B就是OA1与平面A1A2A3所成角，设A1A4=l，则A1B=33l，在Rt△A4A1B中，A1A42=A1B2+A4B2，即l2=(33l)2++a)2，∴l=263a，∴A1B=33×263a=223a，cos∠OA1B=A1BOA1=223(其中0<∠OA1B<π2)，∴∠OA1B=223，∴OA1与平面A1A2A3所成角的大小为arccos223．(2)12A1A22⋅32=32，根据(1)可得A1A2=263a，∴a=4272cm，∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料：1100⋅100⋅(4a)=4a =24216(米)．∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料24216米.【解析】(1)组成该种钉的条线段长必相等，且两两所成的角相等，A 1，A 2，A 3，A 4两两连结后得到的四面体A 1A 2A 3A 4为正四面体，延长A 4O 交平面A 1A 2A 3于B ，则A 4B ⊥平面A 1A 2A 3，连结A 1B ，则∠OA 1B 就是OA 1与平面A 1A 2A 3所成角，由此能求出OA 1与平面A 1A 2A 3所成角的大小．(2)推导出12A 1A 22⋅32=32，A 1A 2=263a ，从而a =4272cm ，由此能求出要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料的长度．本题考查线面角的求法，考查需要材料数量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．20.设数列{a n }满足a 1=35，a n+1=3a n a n +2(n ∈N ∗)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：{1a n −1}是等比数列，并求n →∞lim (1a 1+1a 2+…+1a n −n)的值；(3)记{a n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n(n ∈N ∗且n ≥2)均有S n ≥k 成立？若存在，求出k 的值：若不存在，说明理由．【答案】解：(1)数列{a n }满足a 1=35，a n+1=3a n a n +2(n ∈N ∗)．所以：a 2=3a 1a 1+2=95135=913，a 3=3a 2a 2+2=2735，(2)由于数列{a n }满足a 1=35，a n+1=3a n a n +2(n ∈N ∗)．所以：1a n+1−11a n −1=13a n a n +2−11a n −1=23(常数)，所以：：{1a n −1}是以23为首项，23为公比的等比数列．所以：1n −1=2⋅(2)n−1=(2)n ，所以：1a n =(23)n +1，故：n →∞lim (1a 1+1a 2+…+1a n −n)，=n →∞lim 23[1−(23)n ]1−23，=2．(3)由于：1a n =(23)n +1，所以，a n =1(23)n +1，a n+1=1(23)n+1+1，所以：a n+1−a n =1(23)n+1+1−1(23)n +1<0，所以：数列{a n }为递减数列，则：当n ≥2时，k ≤S 2=a 1+a 2=35+913=8465，所以：k =1．所以：存在k =1，使得对于任意的n(n ∈N ∗且n ≥2)均有S n ≥k 成立．【解析】(1)直接利用关系式求出结果．(2)利用定义证明数列{1a n −1}是等比数列，并求出极限值．(3)首先求出数列的关系式，进一步利用数列的单调性求出函数的存在问题的条件，进一步确定k 的值．1本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.已知函数f(x)=2x (x ∈R)，记g(x)=f(x)−f(−x)．(1)解不等式：f(2x)−f(x)≤6；(2)设k 为实数，若存在实数x 0∈(1,2]，使得g(2x 0)=k ⋅g 2(x 0)−1成立，求k 的取值范围；(3)记h(x)=f(2x +2)+a ⋅f(x)+b(其中a ，b 均为实数)，若对于任意的x ∈[0,1]，均有|h(k)|≤12，求a ，b 的值．【答案】解：(1)函数f(x)=2x ，f(2x)−f(x)≤6，即为22x −2x −6≤0，即为(2x +2)(2x −3)≤0，即有2x ≤3，解得x ≤log 23，即解集为(−∞,log 23]；(2)存在实数x0∈(1,2]，使得g(2x0)=k⋅g2(x0)−1成立，即为1+22x0−2−2x0=k(2x0−2−x0)2，设t=2x0−2−x0，在(1,2]递增，可得32<t≤154，(2x0+2−x0)2=22x0+2−2x0+2=t2+4，即有1+4+t2=kt2，则k=1t2+设m=1t2，m∈[16225,49)，即有y=m+m+4m2，在m∈[16225,49)递增，可得y∈(2125,273 289]，即有k∈(2125,273289]，(3)h(x)=f(2x+2)+a⋅f(x)+b=22x+2+a⋅2x+b=4(2x)2+a⋅2x+b，令v=2x，∵x∈[0,1]，∴v∈[1,2]，∴h(x)=φ(v)=4v2+av+b．若对于任意的x∈[0,1]，均有|h(x)|≤12，即对任意v∈[1,2]，|φ(v)|=|4v2+av+b|≤12．∴|4+a+b|≤12①|16+2a+b|≤12②|16b−a216|≤12③，解得：a=−12，b=13.5．【解析】(1)函数f(x)=2x，f(2x)−f(x)≤6，即为22x−2x−6≤0，即为(2x+2)(2x−3)≤0，可得解集；(2)根据g(2x0)=k⋅g2(x0)−1，利用换元法，求解最值，即可求解k的取值范围；(3)根据h(x)=f(2x+2)+a⋅f(x)+b(其中a，b均为实数)，x∈[0,1]，均有|h(k)|≤12，建立关系即可求解a，b的值．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．。
2019年上海市交大附中高考数学一模试卷解析版
2019年上海市交大附中高考数学一模试卷若函数图象上关于原点对称的点，等价为当X >0时，f (X ) =3.丨：■■- I -与y= x+ , x >0的交点个数即可， 作出函数f (x )在x >0时的图象如图，由图象知，函数分别关于 x=1 , x=3, x=5, x=7,x=9对称，且函数的最大值为 f (2k-1) =3, 当 y=_x+_=3 时，得 _x 三，即 x=7 , 故当x > 0时，f (x ) =3 I • I •与y= x+ , x >0的交点个数有 8个， 即函数图象上关于原点对称的点有 8对，故选：B .21 2 I求出函数y= x-关于原点对称的函数为 y= x+ , x >0，利用数形结合判断当 x >0时，f (x ) =3丨•.'■■■ I -与y= x+ , x >0的交点个数即可本题主要考查函数与方程的应用， 利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关 键•注意利用数形结合是解决本题的关键.一、选择题(本大题共 4小题，共12.0分)1. 已知定义域为 R 的函数/W =函数图象上关于原点对称的点有(A. 7对B. 8对【答案】B【解析】解：当x=0时，f (x )=-，此时 (0，-)关于原点对称的点(0，)此时 与f ( x )没有交点， 函数y= X-关于原点对称的函数为2 1 2 1-y=- X-，即卩 y= x+ , X >0,无 E (2k —2.2k], k€N2 1 八 I存一不注0)C. 9对，则此D.以上都不对【解析】解：易得第一层有4碗，第二层最少有3碗， 第三层最少有2碗， 所以至少共有9个碗. 故选：B .主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考 查.如果掌握口诀“俯视图打地基， 正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.3.已知f (x ) =X 2+3X ，若|x-a| w,l 则下列不等式一定成立的是()A. |f (x ) -f (a ) | w a!|+3B. |f (x ) -f (a ) | <J 2|+4 2C. |f (x ) -f (a ) | W |+5D. |f (x ) -f (a ) | w(|a|+1)【答案】B【解析】解："x-al w, /a-1W<W a+1, ••f (x )是二次函数，•'f (x )在区间［a-1, a+1］上单调时，|f (x ) -f (a ) |取得最大值为 |f (a+1) -f (a ) |或 |f(a-1) -f (a ) L而 |f (a+1) -f (a ) |=| (a+1) +3 (a+1) -a -3a ) |=|2a+4| w 釧+4,2 2|f (a-1) -f ( a ) |=| ( a-1) +3 (a-1) -a -3a|=|-2a-2|=|2a+2| w 2|+2.•ff (x ) -f (a ) | w a^+4, 故选：B .结合二次函数的图象可知，当 f (x )在区间［a-1, a+1］单调时，|f (x ) -f (a ) |的最大值 为 |f (a+1) -f (a ) |或 |f (a-1) -f (a ) |,从而得出结论.本题考查了二次函数的性质， 利用函数的最值研究恒成立问题的思路，同时结合函数图象分析问题是关键.4. 若1. " . _ 1 _',且 ，—’_''',则一 一丨的取值范围是()A. < 'B. [0, 2]C.■.! ■■ D.■:i【答案】D 【解析】解:"二，且 「，一 -''',2•f ?h -tr ?「-b ?r + l r l w0—Ji T T T —!■ T「4 二 V + V + V ,2. 某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面,如图是它们的三视图,则货架上的红A. 8桶【答案】BB. 9桶C. 10 桶D. 11 桶I-* -»审］-+ -+2 77 2 2 2=P l +P l +l l +2 ? -2 ? -2 ? w 4+4+48=4,• • I w2又由■，得：+ I =2 ',故•丨「-丄2 -2,故’I的取值范围是…丄■.■, 故选：D.由「，得：1 1=2•，故’$1=2-2，结合’」，得1；+ ；-；*2进而得到答案.本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，向量的模，难度中档.二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)5. 已知集合A={x|0v x w 2}集合B={x|-1v x v 2}，贝U AUB= ________ .【答案】{x|-1v x w 2}【解析】解：••集合A={x|0v x w 2},集合B={ x|-1v x v 2},:A UB={x|-1 v x w 2}故答案为：{x|-1v x w 2}利用并集定义直接求解.本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用.6. 若复数z=4+3i，其中i是虚数单位，则|z2|= _________ .【答案】252 2 2【解析】解：由z=4+3i，得z =( 4+3i) =16+24i+9i =7+24i,则|z2|=|7+24i|= •「丨.故答案为：25.直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.7. 函数A W = {+ 3) (x < 4)，则f[f (-1) ]= ____________ .【答案】0【解析】解: f (-1) =f (2) =f ( 5) =5-4=1所以f[f (-1) ]=f (1) =f (4) =0故答案为0先根据函数的解析式求出 f (-1)的值，再求出f[f (-1) ]=f (1) =f ( 4) =0 .求分段函数的值，关键是判断出自变量所属的范围，然后将自变量的值代入相应段的解析式求出值.n 1 JT8. 已知sin (a )=，贝y COS ( a )• 'COS ( a )【解析】解：：sin ( a-)=,故答案为:根据sin ( a )的值，利用同角三角函数间的基本关系求出COS ( a )的值即可.此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键.2 *9. 已知数列｛a n｝的前n项和为S n=n+2n (n€N )，则数列｛a n｝的通项公式a n= _________ 【答案】2n+1 (n €N*)【解析】解：当n》2且n€N*时，2 2a n= S n-S n-i = (n +2n) -[ ( n-1) +2 (n-1)]2 2=n +2n- (n -2n+1+2n-2)=2n+1 ,又S i=a i=1 2+2=3，满足此通项公式，则数列｛a n｝的通项公式a n=2n+1 (n €N )•故答案为：2n+1 (n€N*)由数列的前n项和公式S n=n2+2n,表示出当n大于等于2时，前n-1项和S n-1，利用a n=S n-S n-1得出n大于等于2时的通项公式，把n=1代入此通项公式检验也满足，故得到数列的通项公式.此题考查了等差数列的通项公式，熟练掌握数列的递推式a n=S n-S n-1是解本题的关键，同时注意要把首项代入通项公式进行验证./ x + 2y > 210. ________________________________________________________________________ 已知实数x,y满足约束条件|瓷二[兰;，则目标函数z=3x+y的取值范围为____________________ 【答案】[1 , 6]/ x + 2y > 2【解析】解：由约束条件:' -J,作出可行域如图，联立.2 ■. - ■■-[，解得 A (2, 0),(x + 2y = 2联立.I I ,解得B (0, 1 ) •化目标函数z=3x+y为y=-3x+z,由图可知，当直线y=-3x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1,当直线y=-3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为6 •.•目标函数z=3x+y的取值范围为[1 , 6] •故答案为：[1 , 6] • 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.11. 已知函数f(x) =asin2x+bcos2x (a, b G R, ab^0，若其图象关于直线卞二石对称,则直线ax+ by+2=0的倾斜角a = _______【答案】•。
2019年上海市宝山区高考数学一模试卷和答案
2019年上海市宝山区高考数学一模试卷一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。
1．（4分）函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为．2．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．3．（4分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则＝．4．（4分）方程ln（9x+3x﹣1）＝0的根为．5．（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有种不同的选法．（用数字作答）6．（4分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为，则x+y＝．7．（5分）如果无穷等比数列{a n}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q＝．8．（5分）函数y＝f（x）与y＝lnx的图象关于直线y＝﹣x对称，则f（x）＝．9．（5分）已知A（2，3），B（1，4），且＝（sin x，cos y），x，y∈（﹣，），则x+y＝．10．（5分）将函数y＝﹣的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是．11．（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b＝2，∠A＝45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是（只需填写一个适合的答案）12．（5分）如果等差数列{a n}，{b n}的公差都为d（d≠0），若满足对于任意n∈N*，都有b n ﹣a n＝kd，其中k为常数，k∈N*，则称它们互为同宗”数列．已知等差数列{a n}中，首项a 1＝1，公差d＝2，数列{b n}为数列{a n}的“同宗”数列，若（）＝，则k＝．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）若等式1+x+x2+x3＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+a3（1﹣x）3对一切x∈R都成立，其中a0，a1，a2，a3为实常数，则a0+a1+a2+a3＝（）A．2B．﹣1C．4D．114．（5分）“x∈[﹣，]是“sin（arcsin）＝x”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要15．（5分）关于函数f（x）＝的下列判断，其中正确的是（）A．函数的图象是轴对称图形B．函数的图象是中心对称图形C．函数有最大值D．当x＞0时，y＝f（x）是减函数16．（5分）设点M、N均在双曲线C：＝1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，||的最小值为（）A．2B．4C．2D．以上都不对三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。
2019年上海市闵行区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市闵行区高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x≥0}，则∁U A＝．2．（3分）＝．3．（3分）若复数z满足（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），则z＝．4．（3分）方程＝0的解为．5．（3分）等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a5+a6＝16，则a9+a10＝．6．（3分）（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是（用数字表示）7．（3分）已知两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l l与l2的距离为．8．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣1|（x+1），x∈[a，b]的值域为[0，8]，则a+b的取值范围是．9．（3分）如图，在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数为．10．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S＝（a+b）2﹣c2，则cos C＝．11．（3分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），且α﹣β＝，若向量满足||＝1，则||的最大值为．12．（3分）若无穷数列{a n}满足：a1≥0，当n∈N*，n≥2时．|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}（其中max{a1，a2，…，a，n﹣1}表示a1，a2，…，a，n﹣1中的最大项），有以下结论：①若数列{a n}是常数列，则a n＝0（n∈N*）②若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，则d＜0；③若数列{a n}是公比为q的等比数列，则q＞1④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有a n+T＝a n，则a1是数列{a n}的最大项．则其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）二、选择题13．（3分）若a，b为实数，则“a＜﹣1”是“＞﹣1”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分必要条件14．（3分）已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，则下面结论不可能成立的是（）A．b⊄β，且b∥αB．b⊄aC．b∥α，且b∥βD．b与α，β都相交15．（3分）已知函数y＝，（x≥a，a＞0，b＞0）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（）A．a＝b B．a＜bC．a＞b D．a与b的大小关系不确定16．（3分）在平面直角坐标系中，已知向量＝（1，2），O是坐标原点，M是曲线|x|+2|y|＝2上的动点，则•的取值范围（）A．[﹣2，2]B．[﹣]C．[﹣]D．[﹣]三、解答题17．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB与C1D所成角的大小．18．已知抛物线C：y2＝2px（p≠0）．（1）若C上一点M（1，t）到其焦点的距离为3，求C的方程；（2）若P＝2，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点＝0，求点M的坐标．19．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x （天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝a sin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC 段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20）（44，12）．（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？20．对于函数y＝f（x），若函数F（x）＝f（x+1）﹣f（x）是增函数，则称函数y＝f（x）具有性质A．（1）若f（x）＝x2+2，求F（x）的解析式，并判断f（x）是否具有性质A；（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数g（x）＝f（sin x）﹣sin x在区间[0，π]上零点的个数．21．对于数列{a n}，若存在正数p，使得a n+1≤pa n对任意n∈N*都成立，则称数列{a n}为“拟等比数列”．（1）已知a＞0，b＞0且a＞b，若数列{a n}和{b n}满足：a1＝，b1＝且a n+1＝，b n+1＝（n∈N*）．①若a1＝1，求b1的取值范围；②求证：数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；（2）已知等差数列{c n}的首项为c1，公差为d，前n项和为S n，若c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，且{c n}是“拟等比数列”，求p的取值范围（请用c1，d表示）．2019年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x≥0}，则∁U A＝（0，3）．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可求出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：A＝{x|x≤0，或x≥3}；∴∁U A＝（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】考查描述法的定义，以及补集的运算．2．（3分）＝．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】由，，可得＝＝．【解答】解：＝．＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了极限及其运算，属简单题．3．（3分）若复数z满足（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），则z＝2﹣i．【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算性质即可得出．【解答】解：（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），∴（1﹣2i）（1+2i）z＝（1﹣2i）（4+3i），∴5z＝10﹣5i，可得z＝2﹣i．故答案为：2﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（3分）方程＝0的解为log25．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】利用行列式展开法则列出方程，从而能求出结果．【解答】解：∵方程＝0，∴2x﹣2﹣3＝0，解得x＝log25．故答案为：log25．【点评】本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（3分）等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a5+a6＝16，则a9+a10＝256．【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式可得a5+a6＝q4×a1+q4×a2＝q4（a1+a2）＝16，解可得q4的值，又由a9+a10＝q8×a1+q8×a2＝q8（a1+a2），计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1+a2＝1，则a5+a6＝q4×a1+q4×a2＝q4（a1+a2）＝16，解可得：q4＝16，则a9+a10＝q8×a1+q8×a2＝q8（a1+a2）＝256，故答案为：256．【点评】本题考查等比数列的性质，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．6．（3分）（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是﹣80（用数字表示）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】在（1﹣2x）5的展开式中，令通项x的指数等于3，求出r，再求系数【解答】（1﹣2x）5的展开式的通项为T r+1＝C5r（﹣2x）r，令r＝3，得x3的项的系数是C53（﹣2）3＝﹣80故答案为：﹣80【点评】本题考查二项式定理的简单直接应用，属于基础题．7．（3分）已知两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l l与l2的距离为．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【专题】35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先把直线方程中x、y的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式d ＝，求出他们之间的距离．【解答】解：两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，即两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：4x+2y+2＝0，它们之间的距离为d＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式d＝应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．8．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣1|（x+1），x∈[a，b]的值域为[0，8]，则a+b的取值范围是[2，4]．【考点】34：函数的值域．【专题】33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】写出分段函数解析式，作出图形，数形结合得答案．【解答】解：数f（x）＝|x﹣1|（x+1）＝．作出函数的图象如图：由图可知，b＝3，a∈[﹣1，1]，则a+b∈[2，4]．故答案为：[2，4]．【点评】本题考查函数的值域，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（3分）如图，在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数为12．【考点】LN：异面直线的判定．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】结合正方体的结构特征，利用列举法能求出在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数．【解答】解：在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线有：A1D1，DD1，CD，A1B1，BC，BB1，B1D1，B1C，D1C，BD，A1D，A1B，共12条．故答案为：12．【点评】本题考查异面直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是基础题．10．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S＝（a+b）2﹣c2，则cos C＝0．【考点】HR：余弦定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由余弦定理和三角形面积公式得sin C﹣cos C＝1，结合平方关系得答案．【解答】解：∵4S＝（a+b）2﹣c2，∴4×ab sin C＝a2+b2﹣c2+2ab，由余弦定理得：2ab sin C＝2ab cos C+2ab，∴sin C﹣cos C＝1，又∵sin2C+cos2C＝1，∴sin C cos C＝0，又∵在△ABC中，sin C≠0，∴cos C＝0．故答案为：0．【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式、平方关系，考查计算能力．11．（3分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），且α﹣β＝，若向量满足||＝1，则||的最大值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】首先解决，结合两角差的余弦可以得到的模，即对应点的轨迹，进而得到对应点的轨迹，问题得解．【解答】解：∵，∴＝2+2cos（α﹣β）＝3，令，则||＝，∴D点轨迹为以原点为原心，半径为的圆，令，则||＝||＝1，∴C点轨迹是以原点为原心，半径为的两个圆及其之间的部分，∴最大值为，即||最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了向量的模与点的轨迹，三角公式等，难度不大．12．（3分）若无穷数列{a n}满足：a1≥0，当n∈N*，n≥2时．|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}（其中max{a1，a2，…，a，n﹣1}表示a1，a2，…，a，n﹣1中的最大项），有以下结论：①若数列{a n}是常数列，则a n＝0（n∈N*）②若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，则d＜0；③若数列{a n}是公比为q的等比数列，则q＞1④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有a n+T＝a n，则a1是数列{a n}的最大项．则其中正确的结论是①②③④（写出所有正确结论的序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用；8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】由常数列，结合新定义可得a n＝0，可判断①；由等差数列的定义和单调性，可判断②；由等比数列的定义和单调性可判断③；假设a1不是数列{a n}的最大项，设i是使得a i＞a1的最小正整数，根据第二数学归纳法可判断④．【解答】解：①，若数列{a n}是常数列，由|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}，可得max{a1，a2，…，a n﹣1}＝0，则a n＝0（n∈N*），故①正确；②，若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，由max{a1，a2，…，a n﹣1}＝|d|，若d＞0，即有数列递增，可得d＝a n，即数列为常数列，不成立；若d＜0，可得数列递减，可得﹣d＝a1成立，则d＜0，故②正确；③，若数列{a n}是公比为q的等比数列，若q＝1可得数列为非零常数列，不成立；由|a2﹣a1|＝a1，可得a2＝0（舍去）或a2＝2a1，即有q＝2＞1，a1＞0，则数列递增，由max{a1，a2，…，a n﹣1}＝a n﹣1，可得a n﹣a n﹣1＝a n﹣1，可得a n＝2a n﹣1，则q＞1，故③正确；④，假设a1不是数列{a n}的最大项，设i是使得a i＞a1的最小正整数，则|a i+1﹣a i|＝max{a1，a2，…a i}＝a i，因此a i+1是a i的倍数，假设a i+1，a i+2，…，a i+k﹣1都是a i的倍数，则|a i+k﹣a i+k﹣1|＝max{a1，a2，…，a i+k﹣1}＝max{a i，a i+1…，a i+k﹣1}，故a i+k是a i的倍数，假设a i+1，a i+2，…，a i+k﹣1都是a i的倍数，则|a i+k﹣a i+k﹣1|＝max{a1，a2，…，a i+k﹣1}＝max{a1，a i+1，…，a i+k﹣1}，因此，a i+k也是a i的倍数，由第二数学归纳法可知，对任意n≥i，a n都是a i的倍数，又存在正整数T，对任意正整数n，都有a T+n＝a n，故存在正整数m≥i，a m＝a1，故a i 是a1的倍数，但a i＞a1，故a1不是a i的倍数，矛盾，故a i是数列{a n}的最大值．故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查数列新定义问题，考查等差数列和等比数列的定义的运用，考查举例法和数学归纳法的运用，属于综合题．二、选择题13．（3分）若a，b为实数，则“a＜﹣1”是“＞﹣1”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】首先找出＞﹣1的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：＞﹣1⇔a＜﹣1或a＞0，∵a＜﹣1⇒a＜﹣1或a＞0，a＜﹣1或a＞0推不出a＜﹣1，∴“a＜﹣1”是“＞﹣1”的充分非必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14．（3分）已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，则下面结论不可能成立的是（）A．b⊄β，且b∥αB．b⊄aC．b∥α，且b∥βD．b与α，β都相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】以正方体ABCD﹣A1B1C1D1为载体，能求出结果．【解答】解：由a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，知：在A中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，C1D1⊄平面ABCD，且C1D1∥AB，∴b⊄β，且b∥α有可能成立，故A错误；在B中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，C1D1∥平面ABCD，且C1D1∥平面ABB1A1，∴b⊄a有可能成立，故B错误；在C中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，C1D1∥平面ABCD，且C1D1∥平面ABB1A1，∴b∥α，且b∥β有可能成立，故C错误；在D中，b与α，β都相交不可能成立，故D成立．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．15．（3分）已知函数y＝，（x≥a，a＞0，b＞0）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（）A．a＝b B．a＜bC．a＞b D．a与b的大小关系不确定【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】问题转化为函数y＝（x≥a，a＞0，b＞0）与函数y＝x有交点．【解答】解：依题意得：函数y＝（x≥a，a＞0，b＞0）与函数y＝x有交点，即＝x2，x2＝＝≥a2，∴b2＞a2，∴b＞a，故选：B．【点评】本题考查了反函数．属基础题．16．（3分）在平面直角坐标系中，已知向量＝（1，2），O是坐标原点，M是曲线|x|+2|y|＝2上的动点，则•的取值范围（）A．[﹣2，2]B．[﹣]C．[﹣]D．[﹣]【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】首先去绝对值，得到曲线，并发现垂直关系，从而找到向量的射影，得解．【解答】解：去绝对值整理后知，曲线为菱形BCDE，易知CD⊥AN，BE⊥AN，故当点M在曲线上运动时，在上的射影必在FN上，且当M在CD上时得到最大值，在BE上时得到最小值，最大值为＝＝2，最小值为﹣2，故选：A．【点评】此题考查了曲线方程，数量积，射影等，难度适中．三、解答题17．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB与C1D所成角的大小．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】（1）该三棱柱的表面积S＝2S△ABC+3，由此能求出结果．（2）取AC中点E，连结DE，C1E，则DE∥AB，从而∠C1DE是异面直线AB与C1D 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB与C1D所成角的大小．【解答】解：（1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，∴该三棱柱的表面积：S＝2S△ABC+3＝2×+3×2×2＝12+2．（2）取AC中点E，连结DE，C1E，∵D为棱BC的中点，∴DE∥AB，DE＝＝1，∴∠C1DE是异面直线AB与C1D所成角（或所成角的补角），DC1＝EC1＝＝，cos∠C1DE＝＝＝，∴∠C1DE＝arccos，∴异面直线AB与C1D所成角的大小为arccos．【点评】本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．18．已知抛物线C：y2＝2px（p≠0）．（1）若C上一点M（1，t）到其焦点的距离为3，求C的方程；（2）若P＝2，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点＝0，求点M的坐标．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据抛物线的定义可得；（2）设出直线l：y＝2x+b，并代入抛物线，根据韦达定理以及x1x2+y1y2＝0解得b，然后求得M（4，0）．【解答】解：（1）由抛物线的定义得：1﹣（﹣＝3，解得：p＝4，所以抛物线C的方程为：y2＝8x；（2）p＝2时，抛物线C：y2＝4x，设直线l：y＝2x+b，并代入抛物线C：y2＝4x得：4x2+（4b﹣4）x+b2＝0，△＝（4b﹣4）2﹣16b2＞0，解得设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝1﹣b，x1x2＝，∵•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（2x1+b）（2x2+b）＝5x1x2+2b（x1+x2）+b2＝+2b（1﹣b）+b2＝0，解得b＝0或b＝﹣8当b＝0时，M（0，0）不在x轴正半轴上，舍去；当b＝﹣8时，M（4，0）故点M的坐标为（4，0）【点评】本题考查了直线与抛物线的综合．属中档题．19．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x （天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝a sin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC 段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20）（44，12）．（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．【分析】（1）对照图象可求出a，ω，φ以及ABC的解析式；（2）先根据对称性求出DEF段的解析式，再令函数值等于24，解出x＝60，可得．【解答】解：（1）a＝12﹣4＝8，＝24﹣12＝12，∴T＝48，ω＝＝，由×24+φ＝可得φ＝，∴f（x）＝8sin（x+）+20＝8cos x+20，x∈[0，24]．（2）由题意得DEF的解析式为：y＝8cos[（68﹣x）]+20，由8cos[（68﹣x）]+20＝24，得x＝60，故买入60﹣44＝16天后股价至少是买入价的两倍．【点评】本题考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．20．对于函数y＝f（x），若函数F（x）＝f（x+1）﹣f（x）是增函数，则称函数y＝f（x）具有性质A．（1）若f（x）＝x2+2，求F（x）的解析式，并判断f（x）是否具有性质A；（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数g（x）＝f（sin x）﹣sin x在区间[0，π]上零点的个数．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；52：函数零点的判定定理．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由新定义直接化简即可得到F（x）的解析式，判断单调性可得f（x）的性质；（2）命题为假命题，可举指数函数；（3）由新定义结合单调性和导数，解不等式可得k的范围，运用正弦函数的图象和性质，讨论k的范围，即可得到所求零点个数．【解答】解：（1）f（x）＝x2+2，F（x）＝（x+1）2+2﹣x2﹣2＝2x+1，F（x）在R上递增，可知f（x）具有性质A；（2）命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：f（x）＝0.5x，F（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝﹣0.5x+1在R上递增，f（x）具有性质A；（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，可得F（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝k（x+1）2+（x+1）3﹣kx2﹣x3＝3x2+（3+2k）x+1+k 在x≥0递增，可得﹣≤0，解得k≥﹣；由t＝sin x（0≤t≤1），可得g（x）＝0，即f（t）＝t，可得kt2+t3＝t，t＝0时显然成立；0＜t≤1时，k＝，由在（0，1]递减，且值域为[，+∞），k＝0时，t＝0或1，sin x有三解，3个零点；当k＝时，t＝1，即sin x＝1，可得x＝，1个零点；当k＞时，f（t）＝t，t有一解，x两解，即两个零点；当﹣≤k＜，且k≠0时，f（t）＝t无解，即x无解，无零点．【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用新定义，考查函数的单调性，以及分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题．21．对于数列{a n}，若存在正数p，使得a n+1≤pa n对任意n∈N*都成立，则称数列{a n}为“拟等比数列”．（1）已知a＞0，b＞0且a＞b，若数列{a n}和{b n}满足：a1＝，b1＝且a n+1＝，b n+1＝（n∈N*）．①若a1＝1，求b1的取值范围；②求证：数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；（2）已知等差数列{c n}的首项为c1，公差为d，前n项和为S n，若c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，且{c n}是“拟等比数列”，求p的取值范围（请用c1，d表示）．【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据基本不等式的性质以及“拟等比数列”的定义进行求解证明即可（2）根据等差数列的通项公式以及前n项和公式，推导首项和公差d的范围，结合{c n}是“拟等比数列，建立不等式关系进行求解即可【解答】解：（1）①∵a＞0，b＞0，且a＞b，a1＝，b1＝＜1，∴b1∈（0，1）．②由题意得a1＝＞＝b1，∴当n∈N*且n≥2时，a n﹣b n＝＞0，∴对任意n∈N*，都有a n+1﹣b n+1＝＜﹣＝（a n﹣b n），即存在p＝，使得有a n+1﹣b n+1＜p（a n﹣b n），∴数列数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；（2）∵c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，∴，⇒，⇒⇒，由c1＞0得d＜0，从而解得﹣2018＜＜﹣2017，又{c n}是“拟等比数列”，故存在p＞0，使得c n+1≤p c n成立，1°当n≤2018时，c n＞0，p≥＝＝1+＝1+，由﹣2018＜＜﹣2017得2018＜1﹣＜2019，由图象可知1+在n≤2018时递减，故p≥＝1+∈（，），2°当n≥2019时，c n＜0，p≤＝＝1+＝1+，由﹣2018＜＜﹣2017得2018＜1﹣＜2019，由图象可知1+在n≥2019时递减，故p≤1，由1°2°得p的取值范围是[1+，1]．【点评】本题考查递推数列的应用，利用“拟等比数列”的定义结合等差数列的前n项和公式进行递推是解决本题的关键．查了推理能力与计算能力，运算量较大，有一定的难度．。
2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷及解析〔精品解析版〕
2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．2．（4分）已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x﹣2，x∈R，x≠0}，则∁U A＝．3．（4分）若实数x，y满足xy＝1，则2x2+y2的最小值为．45分）已知双曲线6直线经过坐标原点，＝对任意的正整数n，点（a n+1，a n）均在上，若a2＝67）∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为式中含（结果用数值表示）8分）上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表B+B B﹣C+C﹣49其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为人．9．（5分）已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x+1），令函数g（x）＝f（x）（x∈[1，2]），则g（x）的反函数为．10．（5分）已知函数y＝sin x的定义域是[a，b]，值域是[﹣1，]，则b﹣a的最大值是．11．（5分）已知λ∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．12．（5分）已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1．直线l1、l2分别过圆心M、N，且11与圆M相交于A，B两点，12与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆＝1上任意一点，则+的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设θ∈R，则“θ＝”是“sinθ＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）A．16B．16C．D．15．（5分）对于函数y＝f（x），如果其图象上的任意一点都在平面区域{（x，y）|（y+x）（y ﹣x）≤0}内，则称函数f（x）为“蝶型函数”，已知函数：①y＝sin x；②y＝，下列结论正确的是（）A．①、②均不是“蝶型函数”B．①、②均是“蝶型函数”C．①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D．①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数”16．（5分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，都有S n≥S3，则的值不可能为（）A．2B．C．D．三、解答题.17．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1．（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D'中哪些棱所在的直线与直线A′B是异面直线？（2）若M，N分别是A'B，BC′的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）≤﹣1；（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．19．（14分）我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．（1）求海域ABCD的面积；（2）现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B 点20海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．20．（16分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的长轴长为2，右顶点到左焦点的距离为+1，直线l：y＝kx+m与椭圆Γ交于A，B两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆Γ于N，，求k的值．（3）若原点O到直线l的距离为1，＝λ，当时，求△OAB的面积S 的范围．21．（18分）已知项数为n0（n0≥4）项的有穷数列{a n}，若同时满足以下三个条件：①a 1＝1，a＝m（m为正整数）；②a i﹣a i﹣1＝0或1，其中i＝2，3，……，n0；③任取数列{a n}中的两项a p，a q（p≠q），剩下的n0﹣2项中一定存在两项a s，a t（s≠t），满足a p+a q＝a s+a t，则称数列{a n}为Ω数列．（1）若数列{a n}是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{a n}是否是Ω数列，并说明理由．（2）当m＝3时，设Ω数列{a n}中1出现d1次，2出现d2次，3出现d3次，其中d1，d2，d3∈N*．求证：d1≥4，d2≥2，d3≥4；（3）当m＝2019时，求Ω数列{a n}中项数n0的最小值．2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【解答】解：由i•z＝1+2i，得z＝，∴z2．（4∴∁U A3．（41，则2x2+y2的最小值为≥2＝2，（当且仅当＝±，．4．（4的通项公式为a n＝（n∈N，则﹣则a n＝（﹣）＝﹣1．故答案为：﹣1．5．（4分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，则此双曲线的方程是．【解答】解：抛物线y2＝20x的焦点为（5，0），则双曲线的焦点在x轴上，双曲线的一条渐近线为y＝2x，可得b＝2a，由题意双曲线的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，可得＝5，解得a＝，b＝2，则双曲线的方程为：．故答案为：．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线经过坐标原点，＝（3，1）是l的一个法向量．已知数列{a n}满足：对任意的正整数n，点（a n+1，a n）均在l上，若a2＝6，则a3的值为﹣2．【解答】解：直线经过坐标原点，＝（3，1）是l的一个法向量，可得直线l的斜率为﹣3，即有直线l的方程为y＝﹣3x，点（a n+1，a n）均在l上，可得a n＝﹣3a n+1，即有a n+1＝﹣a n，则数列{a n}为公比q为﹣的等比数列，可得a3＝a2q＝6×（﹣）＝﹣2．故答案为：﹣2．7．（5分）已知（2x2﹣）n（n∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是﹣84．（结果用数值表示）【解答】解：由题意，2n＝128，得n＝7．∴（2x2﹣）n＝（2x2﹣）7，其二项展开式的通项＝．由14﹣3r＝﹣1，得r＝5．∴展开式中含项的系数是．故答案为：﹣84．8．（5分）上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表所示：上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得A+成绩，其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为15人．【解答】解：设取得A成绩的x人，取得B+成绩的y人，取得B成绩的z人，则70×5+67x+64y+61z＝64×（5+x+y+z），即z﹣x＝10，又x，y，z∈N，即当且仅当x＝0，y＝0，z＝10时，5+x+y+z取得最小值15，取得A成绩的0人，取得B+成绩的0人，取得B成绩的10人，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为15人，故答案为：159．（5分）已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x+1），令函数g（x）＝f（x）（x∈[1，2]），则g（x）的反函数为g﹣1（x）＝3﹣10x（0≤x≤lg2）．【解答】解：当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，∴f（x）＝f（﹣x）＝lg（﹣x+1），当1≤x≤2时，﹣1≤x﹣2≤0，∴f（x）＝f（x﹣2）＝lg[﹣（x﹣2）+1]＝lg（﹣x+3）．∴g（x）＝lg（﹣x+3）（1≤x≤2），∴﹣x+3＝10g（x），∴x＝3﹣10g（x），故答案为：g﹣1（x）＝3﹣10x，（0≤x≤lg2）10．（5分）已知函数y＝sin x的定义域是[a，b]，值域是[﹣1，]，则b﹣a的最大值是．【解答】解：函数y＝sin x，令≤a≤，要使b﹣a的最大值，可知b的最大值为：b＝，∴b﹣a的最大值为；故答案为：11．（5分）已知λ∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是（1，3]∪（4，+∞）．【解答】解：根据题意，在同一个坐标系中作出函数y＝x﹣4和y＝x2﹣4x+3的图象，如图：若函数f（x）恰有2个零点，即函数f（x）图象与x轴有且仅有2个交点，则1＜λ≤3或λ＞4，即λ的取值范围是：（1，3]∪（4，+∞）故答案为：（1，3]∪（4，+∞）．12．（5分）已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1．直线l1、l2分别过圆心M、N，且11与圆M相交于A，B两点，12与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆＝1上任意一点，则+的最小值为8．【解答】解：由题意可得，M（0，1），N（0，﹣1），r M＝r N＝1，＝（）•（）＝＝，＝（）•＝＝﹣1，∵∵P为椭圆上的点，∴＝+﹣2＝2（x2+y2）＝由题意可知，﹣3≤x≤3，∴8≤，故答案为：8．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设θ∈R，则“θ＝”是“sinθ＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由θ＝，则有sinθ＝，即“θ＝”是“sinθ＝”的充分条件，由sinθ＝，得：θ＝kπ+（﹣1）k，即“θ＝”是“sinθ＝”的不必要条件，即“θ＝”是“sinθ＝”的充分不必要条件．故选：A．14．（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）A．16B．16C．D．【解答】解：正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积，又由已知，∴．故选：C．15．（5分）对于函数y＝f（x），如果其图象上的任意一点都在平面区域{（x，y）|（y+x）（y ﹣x）≤0}内，则称函数f（x）为“蝶型函数”，已知函数：①y＝sin x；②y＝，下列结论正确的是（）A．①、②均不是“蝶型函数”B．①、②均是“蝶型函数”C．①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D．①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数”【解答】解：由y＝sin x，设g（x）＝sin x+x，导数为cos x+1≥0，即有x＞0，g（x）＞0；x＜0时，g（x）＜0；设h（x）＝sin x﹣x，其导数为cos x﹣1≤0，x＞0时，h（x）＜0，x＜0时，h（x）＞0，可得（y+x）（y﹣x）≤0恒成立，即有y＝sin x为“蝶型函数”；由（+x）（﹣x）＝x2﹣1﹣x2＝﹣1＜0，可得y＝为“蝶型函数”．故选：B．16．（5分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，都有S n≥S3，则的值不可能为（）A．2B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，都有S n≥S3，∴，∴，且∴﹣3d≤a1≤﹣2d，∴当＝＝2时，a1＝﹣3d．成立；当＝＝时，a1＝﹣d．成立；当＝＝时，a1＝﹣2d．成立；当＝＝时，a1＝﹣d．不成立．∴的值不可能为．故选：D．三、解答题.17．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1．（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D'中哪些棱所在的直线与直线A′B是异面直线？（2）若M，N分别是A'B，BC′的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．【解答】解：（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，直线A′B是异面直线的棱所在直线有：AD，B′C′，CD，C′D′，DD′，CC′，共6条．（2）M，N分别是A'B，BC′的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，则A′（1，0，1），B（1，1，0），C′（0，1，1），M（1，，），N（），B（1，1，0），C（0，1，0），＝（﹣，0），＝（﹣1，0，0），设异面直线MN与BC所成角的大小为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝45°，∴异面直线MN与BC所成角的大小为45°．18．（14分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）≤﹣1；（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．【解答】解：（1）x的不等式f（x）≤﹣1，即为≤﹣1，即为≤0，当a＝﹣1时，解集为{x|x≠﹣2}；当a＞﹣1时，解集为（﹣2，0]；当a＜﹣1时，解集为（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）；（2）f（x）＝＝a+，由f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，可得﹣2﹣2a＞0，解得a＜﹣1．即a的范围是（﹣∞，﹣1）．19．（14分）我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．（1）求海域ABCD的面积；（2）现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B 点20海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOB＝，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，AB＝100∴AD＝BC＝20，OA＝OB＝AB＝100，∴OD＝OA+AD＝100+20＝120，∴S ABCD＝•π（OD2﹣OA2）＝π（1202﹣1002）＝（平方海里），（2）由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即（x﹣100）2+y2＝7600…①，点P也在圆A上，即（x﹣50）2+＝1600…②；由①②组成方程组，解得或；又区域ABCD内的点满足，由302+＝3600＜10000，∴点（30，30）不在区域ABCD内，由902+＝15600＞14400，∴点（90，50）也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．20．（16分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的长轴长为2，右顶点到左焦点的距离为+1，直线l：y＝kx+m与椭圆Γ交于A，B两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆Γ于N，，求k的值．（3）若原点O到直线l的距离为1，＝λ，当时，求△OAB的面积S的范围．【解答】解：（1）由题意可知，，于是得到，因为右顶点到左焦点的距离为，所以，c＝1，则，因此，椭圆Γ的方程为；（2）当点A为椭圆的上顶点时，点A的坐标为（1，0），则m＝1，直线l的方程为y＝kx+1，将直线l的方程代入椭圆的方程并化简得（2k2+1）x2+4kx＝0，解得，，所以点B的坐标为，由于点M为线段AB的中点，则点M的坐标为，由于，所以，点N的坐标为，将点N的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得；（3）由于点O到直线l的距离为1，则有，所以，m2＝k2+1．设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程并化简得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由韦达定理可得，，＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝＝＝＝，由于，即，解得，线段AB的长为＝＝＝＝，所以，．因此，△OAB的面积S的取值范围是．21．（18分）已知项数为n0（n0≥4）项的有穷数列{a n}，若同时满足以下三个条件：①a 1＝1，a＝m（m为正整数）；②a i﹣a i﹣1＝0或1，其中i＝2，3，……，n0；③任取数列{a n}中的两项a p，a q（p≠q），剩下的n0﹣2项中一定存在两项a s，a t（s≠t），满足a p+a q＝a s+a t，则称数列{a n}为Ω数列．（1）若数列{a n}是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{a n}是否是Ω数列，并说明理由．（2）当m＝3时，设Ω数列{a n}中1出现d1次，2出现d2次，3出现d3次，其中d1，d2，d3∈N*．求证：d1≥4，d2≥2，d3≥4；（3）当m＝2019时，求Ω数列{a n}中项数n0的最小值．【解答】解：（1）若数列{a n}：1，2，3，4，5，6是Ω数列，取数列{a n}中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项a s，a t（s≠t），使得1+2＝a s+a t，故数列{a n}不是Ω数列；（2）若d1≤3，对于p＝1，q＝2，若存在2＜s＜t，满足a p+a q＝a s+a t，∵2＜s＜t，于是s≥3，t≥4，故a5≥a2，a t＞a1，从而a s+a t＞a2+a1，矛盾，故d1≥4，同理d3≥4，下面证明d2≥2：若d2＝1，即2出现了1次，不妨设a k＝2，a1+a k＝a s+a t，等式左边是3，等式右边有几种可能，分别是1+1或1+3或3+3，等式两边不相等，矛盾，于是d1≥2；（3）设出现d1次，2出现d2次…，2019出现d2019次，其中d1，d2，…，d2019∈N*，由（2）可知，d1≥4，d2019≥4，且d2≥2，同理d2018≥2，又∵d3，d4…，d2017∈N*，故项数n0＝d1+d2+…+d2019≥2027，下面证明项数n0的最小值是2027：取d1＝4，d2＝2，d3＝d4＝…＝d2017＝1，d2018＝2，d2019＝4，可以得到数列{a n}：1，1，1，1，2，2，3，4…，2016，2017，2018，2019，2019，2019，2019，接下来证明上述数列是Ω数列：若任取的两项分别是1，1，则其余的项中还存在2个1，满足1+1＝1+1，同理，若任取的两项分别是2019，2019也满足要求，若任取的两项分别是1，2，则其余的项中还存在3个1，1个2，满足要求，同理，若任取的两项分别是2018，2019也满足要求，若任取a p＝1，a q≥3，则在其中的项中取a5＝2，a t＝a q﹣1，满足要求，同理，若a p≤2017，a q＝2019也满足要求，若任取的两项a p，a q满足1＜a p≤a q＜2019，则在其余的项中选取a s＝a p﹣1，a t＝a q+1，每个数最多被选取了1次，于是也满足要求，从而，项数n 0的最小值是2027．。
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2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。