(完整)(典型题高考数学二轮复习知识点总结函数与方程及函数的应用,推荐文档

函数与方程及函数的应用

1.函数的零点与方程的根

(1)函数的零点

对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0 的实数x 叫做函数f(x)的零点．

(2)函数的零点与方程根的关系

函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b) <0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0 的根．

注意以下两点：

①满足条件的零点可能不唯一；

②不满足条件时，也可能有零点．

(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．

2.函数模型

解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.

考点一函数的零点

例1 (1)(2013·重庆)若a

( )

A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

(2)函数f(x)＝Error!的零点个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

答案 (1)A (2)D

解析 (1)由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)

<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选 A.

(2)依题意，当x>0 时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝ln x 和

y＝x2－2x＝(x－1)2－1 的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y＝2x＋1 的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y＝f(x)有三个零点．

(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；

②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题

的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．

(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0 的根，即当函数的自变量取这个实数时，

其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标． (1) (2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0,1)内的零点个数是 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

(2)已知函数f(x)＝a x＋x－b 的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b 满足

2a＝3,3b＝2，则n＝ .

答案(1)B (2)－1

解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零

点．因为f′(x)＝2x ln 2＋3x2>0，

所以函数f(x)＝2x＋x3－2 在(0,1)上递增，

且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，

所以有 1 个零点．

(2)f(x)＝a x＋x－b 的零点x0就是方程a x＝－x＋b 的

根．设y1＝a x，y2＝－x＋b，

故x0就是两函数交点的横坐标，如图，

1

当x＝－1 时，y1＝a＝log32

∴－1

考点二与函数有关的自定义问题

例2 若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0 对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ－伴随函数”．有下

列

关于“λ－伴随函数”的结论：①f(x)＝0 是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；

1

②f(x)＝x是“λ－伴随函数”；③f(x)＝x2 是“λ－伴随函数”；④“2－伴随函数”至少有一个零点．

其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4

先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而

判断所给命题的正确性．

答案 A

解析对于①，若f(x)＝c≠0，取

λ＝－1，则f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，

即f(x)＝c≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正

确．对于②，若f(x)＝x是一个“λ－伴随函数”，

则(x＋λ)＋λx＝0，求得λ＝0 且λ＝－1，矛盾，故②不正

确．对于③，若f(x)＝x2 是一个“λ－伴随函数”，

则(x＋λ)2＋λx2＝0，求得λ＝0 且λ＝－1，矛盾，故③不正确．

1

对于④，若f( x)是“2－伴随函数”，

1 1

则f(x＋2)＋2f(x)＝0，取x＝0，

1 1

则f(2)＋2f(0)＝0，

1

若f(0)，f(2)任意一个为 0，函数f(x)有零点；

1

若f(0)，f(2)均不为 0，

1

则f(0)，f(2)异号，由零点存在性定理，

1

知f(x)在(0，2)内存在零点x0，

所以④正确．故选 A.

函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题

目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f(x＋λ)