最新量子力学的基本理论

令
求
得
令
求极大值的 x 坐标
得到归一化波函数：
积分得： 解得
另外两个解
处
最大
处题设
概率密度
请在放映状态随下堂点击小你议认为是对的答案
下列波函数中合理的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
结束选择
请在放映状小态下议点链击你接认为1 是对的答案
下列波函数中合理的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
结束选择
请在放映状小态下议点链击你接认为2 是对的答案
经典力学
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薛定谔方程引言
量子力学
不考虑物质的波粒二象性 经典质点有运动轨道概念
牛顿力学方程
根据初始条件可求出经典质点的
运动状态
针对物质的波粒二象性 微观粒子无运动轨道概念 是否存在一个
量子力学方程
根据某种条件可求出微观粒子的
运动状态 波函数
量子力学中的
算符
基本算符 算符是表示对某一函数进行某种数学运算的
下列波函数中合理的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
结束选择
请在放映状小态下议点链击你接认为3 是对的答案
下列波函数中合理的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
结束选择
请在放映状小态下议点链击你接认为4 是对的答案
下列波函数中合理的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
结束选择
第二节
23-2
Schrodinger equation
力学量的可能值是它的本征值
力学量的平均值由下述积分求出
薛定谔方程
1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程
质量为 的粒子
在势能函数为
的势场中运动
当其运动速度远小于光速时
它的波函数 所满足的方程为
它反映微观粒子运动状态随时间变化 的力学规律，又称含时薛定谔方程。
式中， 为哈密顿算符，
该势能函数称作一维无限深势阱。 这是一个理想化的物理模型，
应用定态薛定谔方程可求出运动粒 子的波函数，有助于进一步理解在 微观系统中，有关概率密度、能量 量子化等概念。
续上求解 设质量为 的微观粒子，处在一维无限深势阱中，
阱外
该势阱的势能函数为
阱内
建立定态薛定谔方程
一维问题
阱内
阱外
因
及
要连续、有限，
获1933年诺贝尔物理学奖
含时薛定谔方程
定态薛定谔方程
若粒子所在的
势场只是空间函数
即
，则
对应于一个可能态
有一个能量定值
定态薛定谔方程
定态 波函数
解释： 若 故
时间的函数
由
则
可分离变量，写成
得 定态薛定谔方程
常量
对应一个可能
空间的函数 态有一常量
此外，对
解得 将常量 归入 定态 波函数
积分 中，得
续上
符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符
来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。
数学运 算符号
劈形算符
拉普拉 斯算符
力 学 量 算 符 统称 举 例
位矢算符
动量算符 动能算符
哈密顿算符
含动、势能
若 作用在某函数 上的效果
和 与某一常量 的乘积相当，
即
则
称为 的 本征值
称为 的 本征函数
所描述的状态称为 本征态
在阱外 只有
薛定谔方程才成立，
故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。
求定态薛定谔方程的通解
阱内
即 令 得
此微分方程的通解为 其三角函数表达形式为
式中 和 为待定常数
续根上据标求准条解件确定常数
和 并求能量 的可能取值
在边界
和
处
的取值应与阱外 故 边界处的
连续，
得
及
又因
得
以及
时阱内
不合理 舍去
同一 的负值和正值概率密度相同。
所谓“定态”，就是波函数具有
形
式
所描述的状态。它的重要特点是：
其概率密度
与时间无关
定态波函数
中的
称为 振幅函数
（有时直称 为波函数）。
的函数形式也应满足统计的条件
连续、单值、有限的标准条件； 归一化条件； 对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。
若已知势能函数
，应用定态薛定谔方程
可求解出 ，并得到定态波函数
连续 单值 有限
因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续；
因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的；
因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
某粒子的 波函数为
归一化波函数
算例
概率密度 概率密度最大的位置
定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。
态跌加原理
设
为薛定谔方程的两个解，分别代表体系的两个可能状态。
为它们的线性叠加
即
为复常数
将上式两边对时间 求偏导数并乘以
因
都满足薛定谔方程
即
这表明：
体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态。 称为 态叠加原理
一维无限深势阱
粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式
量子力学的基本理论
本章内容
Contents chapter 23
波函数及其统计解释 wave function and its statistical explanation
薛定谔方程 Schrodinger equation
隧道效应 tunnel effect
不确定关系 uncertainty relation
决于波强的绝对值。
各点的振幅同时增大 C倍， 则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度
因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍，不影响粒子 的概率密度分布，即 和C 所
分布状态。
描述德布罗意波的状态相同。
波动方程无归一化问题。 波函数存在归一化问题。
波函数的三波个函标准数条件标：准条件
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经典波
德布罗意波
是振动状态的传播
不代表任何物理量的传播
波强（振幅的平方）代表 通过某点的能流密度
波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度
能流密度分布取决于空 概率密度分布取决于空间
间各点的波强的绝对值。 各点波强的比例，并非取
因此，将波函数在空间
取
得
求归一化定态波函数
由上述结果 阱外 阱内
及 得
续求解
积分
得 归一化定态波函数
应满足归一化条件
概率密度
势阱问题小结 一维无限深势阱中的微观粒子 （小结）
能量 量子化
波函数
概率密度
能量量子化是微观世界的固有现象
称 基态能 或 零点能
相邻能级的能量间隔
从能级绝对间隔
看，
如，电子 处在宽度
因概率密度
波函数归一化
故在 矢端的体积元
内
发现粒子的概率为
在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。
此条件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
概率波与经典波