第八讲 找规律三答案
高思奥数导引小学三年级含详解答案第08讲 智巧趣题一.
第8讲智巧趣题一◇◇兴趣篇◇◇1. 如图所示，用12根火柴可以摆出3个正方形。
如果要用11根火柴刚好摆出3个正方形，应该怎么摆？用10根火柴呢？2. 如图所示，如果一根火柴长度为1，那么拼1个边长为1的小等边三角形需要3根火柴，拼2个边长为1的小等边三角形需要5根火柴。
你能用12根火柴拼出6个边长为1的小等边三角形吗？3. 如图所示，我们用13根火柴摆放成了一头向右前进的猪。
请移动1根火柴，使得这头猪掉头向左前进。
4. 在图中，哪些图形可以一笔画出？5. 如图所示，两条河流的交汇处有两个小岛，有7座桥连接着两个岛及河岸。
一个散步者能不能一次走遍这7座桥，而且每座桥恰好经过1次？6. 过节了，爸爸妈妈给小光和小强每人买了一盒相同数目的弹珠。
打开后发现，小光的弹珠全是红的，而小强的弹珠全是绿的。
第一天玩弹珠时，小光输给小强10枚弹珠。
第二天小光又同小强玩弹珠，结果小光赢了10枚弹珠。
这时，小光盒里的绿弹珠多，还是小强盒里的红弹珠多？7. 如图，有6个杯子方程一排。
前三个杯子中盛了一些水，而后三个杯子是空的。
要是得盛水的杯子和空杯子相互交叉排成一排，最少要动几个杯子？8. 有一根粗细不均匀的绳子。
如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧2个小时。
但由于绳子粗细不均匀，所以不能确定燃烧到一半是在什么时候。
但现在想用这根绳子来确定1个小时的时间，应该怎么做？9. 池塘里生长着一种浮萍。
这种植物在水面上繁殖，而且每天都能增长一倍。
如果10天后，池塘里刚好长满这种浮萍，那么多少天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面？10. 一休去河边打水。
他有两个桶，大桶能装9升水，小桶能装4升水。
要想恰好从河中打上6升的水带回去，他应该怎么办？◇◇拓展篇◇◇1.（1）如图（a）所示，我们用8根火柴摆放成了一条向左游动的鱼，请移动3根火柴，使得这条鱼掉头向右游动；（2）如图（b）所示，我们用10根火柴摆放成了一把椅子，请移动2根火柴，将这把椅子倒过来。
小升初特训专题：找规律考题及答案讲解学习
小升初特训专题：找规律考题及答案专题三：典型找规律问题答案1. 一条直线把圆分为两部分，两条直线可把圆分4部分，3条直线把圆分为（7 ）部分，10条直线把圆分为（56）部分。
［规律：1 n （n 1）,n表示22. 在平面上画一个圆把平面分为2部分，画2个圆把平面分为4部分，画5个圆把平面分为（22 ）部分，画10个圆把平面分为（92 ）部分。
［规律：2 n （n 1）, n表示圆的个数。
］3. 在平面上画一个三角形把平面分为2部分，画2个三角形把平面分为8部分，画3个三角形把平面分为（20 ）部分，画10个三角形把平面分为（272）部分。
［规律：2 3n （n 1）, n表示三角形的个数。
］4. 在平面上画一个四边形把平面分为2部分，画2个四边形把平面分为10部分，画5个四边形把平面分为（82）部分，画10个四边形把平面分为（362）部分.［规律：2 4n （n 1）, n表示四边形的个数。
］5. 找规律填上合适的数或字母:① 1、2、3、5、8、（13 ）、（21 ）、34.【斐波那契数列】②1、4、9、16、（25 ）、（36 ）............. 这个数列中的第90个数是（8100）,第100个数是（10000）。
【规律：第n个数二n x n】③1、2、5、10、17、（26 ）、（37）......... 这个数列中个数是（8101），第101 个数是（10001 ）。
【规律：第n 个数=（n-1）X（n-1）+1 】101,1,98 ）、（99,4,100 ）、（97,9,102 ） .......... 这个数列中个括号内的三个数分别是（83,100,116 ）。
⑤A B C D E FD E A F B CF B D C E A（C E F A B D ）. 【规律：每行的第一个字母是上一行的第四个字母。
以此类推】⑥111,31,15,11.8,（ 11.16）,11.032 【规律：从相邻两数的差80、16、3.2……中发现前一个差是后一个差的5倍】3 1 12 12 16 1 10 1⑦——，一，，，，1 ,（2 ）.【规律：分子分母同时乘以6得89 14 79 37 23 2 59 146即可发现：后一个分数的分子是前个分数的分子的2倍，后一个分数的分84母是前个分数的分母小5。
中考数学复习专题——找规律(含答案)
中考数学试复习专题——找规律1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第100个图中有__________个小圆圈．（1） （2） （3）2、 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形．3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为______________．5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案， 则其中完整的圆共有 个．1 2 3n … … 第1个图 2个图 3个图 …6、 如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子 枚（用含有n 的代数式表示，并写成最简形式）.○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形需 根火柴棒。
8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 ．9、如图 ２ ，用n 表示等边三角形边上的小圆圈，f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f(n)和n 的关系是10、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是 （ ）1-2 3-4 5 -67 -8 9 -10。
[二年级数学]二年级奥数上册
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[二年级数学]二年级奥数上册1二年级奥数上册:第一讲速算与巧算一、“凑整”先算1.计算:(1)24+44+56(2)53+36+47解:(1)24+44+56=24+(44+56)=24+100=124这样想:因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.(2)53+36+47=53+47+36=(53+47)+36=100+36=136这样想:因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面;然后再把53+47的和算出来.2.计算:(1)96+15(2)52+69解:(1)96+15=96+(4+11)=(96+4)+11=100+11=1112这样想:把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.(2)52+69=(21+31)+69=21+(31+69)=21+100=121这样想:因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.3.计算:(1)63+18+19(2)28+28+28解:(1)63+18+19=60+2+1+18+19=60+(2+18)+(1+19)=60+20+20=100这样想:将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.(2)28+28+28=(28+2)+(28+2)+(28+2)-63=30+30+30-6=90-6=84这样想:因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.二、改变运算顺序:在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算:(1)45-18+19(2)45+18-19解:(1)45-18+19=45+19-18=45+(19-18)=45+1=46这样想:把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.(2)45+18-19=45+(18-19)=45-1=44这样想:加18减19的结果就等于减 1.三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如: 41，2，3，4，5，6，7，8，91，3，5，7，92，4，6，8，103，6，9，12，154，8，12，16，20等等都是等差连续数.1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成:(1)计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9=5×9 中间数是 5=45 共9个数(2)计算:1+3+5+7+9=5×5 中间数是 5=25 共有5个数(3)计算:2+4+6+8+10=6×5 中间数是 6=30 共有5个数5(4)计算:3+6+9+12+15=9×5 中间数是9=45 共有5个数(5)计算:4+8+12+16+20=12×5 中间数是12=60 共有5个数2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成:(1)计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)×5=11×5=55共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.(2)计算:3+5+7+9+11+13+15+17=(3+17)×4=20×4=806共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.(3)计算:2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(2+20)×5=110共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.四、基准数法(1)计算:23+20+19+22+18+21解:仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=1236个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”;19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.(2)计算:102+100+99+101+987解:方法1:仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.102+100+99+101+98=100×5+2+0-1+1-2=500方法2:仔细观察，可将5个数重新排列如下:(实际上就是把有的加数带有符号搬家)102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=100×5=500可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是 5.习题一1.计算:(1)18+28+72=(2)87+15+13=(3)43+56+17+24=8(4)28+44+39+62+56+21=2.计算:(1)98+67=(2)43+28=(3)75+26=3.计算:(1)82-49+18=(2)82-50+49(3)41-64+294.计算:(1)99+98+97+96+95(2)9+99+9995.计算:(1)5+6+7+8+9(2)5+10+15+20+25+30+359(3)9+18+27+36+45+54(4)12+14+16+18+20+22+24+266.计算:(1)53+49+51+48+52+50(2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+847.计算:1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5 10二年级奥数上册:第一讲速算与巧算习题解答111213141516171819第一层 1个第二层 2个第三层 3个第四层 4个第五层 5个20第六层 6个第七层 7个第八层 8个第九层 9个第十层 8个第十一层7个第十二层6个第十三层 5个第十四层 4个第十五层 3个第十六层 2个第十七层 1个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(8+7+6+5+4+3+2+1) =45+36=81(利用已学过的知识计算).21第一层 1个第二层 3个第三层 5个第四层 7个第五层 9个第六层 11个第七层 13个第八层 15个第九层 17个总数:1+3+5+7+9+11+13+15+17=81(利用已学过的知识计算).22×101+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想: 1=1×11+2+1=2×21+2+3+2+1=3×31+2+3+4+3+2+1=4×41+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5231+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×61+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×71+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8×91+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×101+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.?由方法2和方法3也可以得出下式:1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想:1+3=2×21+3+5=3×31+3+5+7=4×41+3+5+7+9=5×5241+3+5+7+9+11=6×61+3+5+7+9+11+13=7×71+3+5+7+9+11+13+15=8×81+3+5+7+9+11+13+15+17=9×91+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.解:(1)我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有: AB AC AD AE AF 5条.以B点为共同左端点的线段有:BC BD BE BF 4条.以C点为共同左端点的线段有:CD CE CF 3条.25以D点为共同左端点的线段有:DE DF 2条.以E点为共同左端点的线段有:EF1条.总数5+4+3+2+1=15条.26272829二年级奥数上册:第三讲数数与计数(二)习题3031323334二年级奥数上册:第四讲认识简单数列35363738二年级奥数上册:第四讲认识简单数列习题39二年级奥数上册:第四讲认识简单数列习题解答404142二年级奥数上册:第五讲自然数列趣题第五讲自然数列趣题本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们能很好地掌握它.例1 小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”,解:分类计算:“1”出现在个位上的数有:1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个;“1”出现在十位上的数有:10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个;“1”出现在百位上的数有:100共1个;共计10+10+1=21个.43例2 一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字,解:分类计算:从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9(个);从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180(个);第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用铅字的总数是: 9+180+3=192(个).44解:(见图5—1)先按题要求，把1到100的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算:如图5—1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数字之和是: (1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10=45×10=450.窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数字之和是:1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10+8×10+9×10=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10=45×10,450.另外100这个数的数字和是1+0+0=1.所以，这一百个自然数的数字总和是:45450+450+1=901.顺便提请同学们注意的是:一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力.比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来,二年级奥数上册:第五讲自然数列趣题习题1.有一本书共200页，页码依次为1、2、3、,,、199、200，问数字“1”在页码中共出现了多少次,2.在1至100的奇数中，数字“3”共出现了多少次,3.在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多少个,4.一本书共200页，如果页码的每个数字都得用一个单独的铅字排版(比如，“150”这个页码就需要三个铅字“1”、“5”和“0”)，问排这本书的页码一共需要多少个铅字,5.像“21”这个两位数，它的十位数字“2”大于个位数字“1”，问从1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数,6.像“101”这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以后，数的大小并不改变，问从100至200之间有多少个这样的三位数,467.像11、12、13这三个数，它们的数位上的各个数字相加之和是(1+1)+(1+2)+(1+3)=9.问自然数列的前20个数的数字之和是多少,8.把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少,9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少,习题五解答1.解:分类计算，并将有数字“1”的数枚举出来.“1”出现在个位上的数有:1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，101，111，121，131，141，151，161，171，181，191 共20个;“1”出现在十位上的数有:10，11，12，13，14，15，16，17，18，19110，111，112，113，114，115，116，117，118，119 共20个;47“1”出现在百位上的数有:100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126，127，128，129，130，131，132，133，134，135，136，137，138，139，140，141，142，143，144，145，146，147，148，149，150，151，152，153，154，155，156，157，158，159，160，161，162，163，164，165，166，167，168，169，170，171，172，173，174，175，176，177，178，179，180，181，182，183，184，185，186，187，188，189，190，191，192，193，194，195，196，197，198，199 共100个;数字“1”在1至200中出现的总次数是:20+20+100=140(次).2.解:采用枚举法，并分类计算:48“3”在个位上:3，13，23，33，43，53，63，73，83，93共10个;“3”在十位上:31，33，35，37，39共5个;数字“3”在1至100的奇数中出现的总次数:10+5=15(次).3.解:枚举法:12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，72，77，82，87，92，97共18个.4.解:分段统计，再总计.页数铅字个数1,9共9页1×9=9(个)(每个页码用1个铅字)10,90共90页2×90=180(个)(每个页码用2个铅字)100,199共100页3×100=300(个)(每个页码用3个铅字)第200页共1页3×1=3(个)(这页用3个铅字)总数:9+180+300+3=492(个).5.解:列表枚举，分类统计:10 1个4920 21 2个30 31 32 3个40 41 42 43 4个50 51 52 53 54 5个60 61 62 63 64 65 6个70 71 72 73 74 75 76 7个80 81 82 83 84 85 86 87 8个90 91 92 93 94 95 96 97 98 9个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(个).6.解:枚举法，再总计:101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10个.5051二年级奥数上册:第六讲找规律(一)525354二年级奥数上册:第六讲找规律(一)习题5556二年级奥数上册:第六讲找规律(一)习题解答575859二年级奥数上册:第七讲找规律(二) 60。
二年级奥数题
第一讲速算与巧算一、“凑整”先算1.计算：（1）24+44+56（2）53+36+472.计算：（1）96+15（2）52+693.计算：（1）63+18+19（2）28+28+28二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算：（1）45-18+19（2）45+18-19三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：1，2，3，4，5，6，7，8，91，3，5，7，92，4，6，8，103，6，9，12，154，8，12，16，20等等都是等差连续数.1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9（2）计算：1+3+5+7+9（3）计算：2+4+6+8+10（4）计算：3+6+9+12+15（5）计算：4+8+12+16+202. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10（2）计算：3+5+7+9+11+13+15+17（3）计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20四、基准数法（1）计算：23+20+19+22+18+21（2）计算：102+100+99+101+981.计算：（1）18+28+72（2）87+15+13（3）43+56+17+24（4）28+44+39+62+56+212.计算：（1）98+67（2）43+28（3）75+263.计算：（1）82-49+18（2）82-50+49（3）41-64+294.计算：（1）99+98+97+96+95（2）9+99+9995.计算：（1）5+6+7+8+9（2）5+10+15+20+25+30+35（3）9+18+27+36+45+54（4）12+14+16+18+20+22+24+266.计算：（1）53+49+51+48+52+50（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+847.计算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5第二讲数数与计数（一）数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发现的重要作用，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发挥想像力.例1 数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方块？例2 图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4）才能把它补好？例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问：（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色，然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些切成的小立方体中，问：］（1）1面涂成红色的有几个？（2）2面涂成红色的有几个？（3）3面涂成红色的有几个？习题二1.如图2－8所示，数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙补好？2.图2－9所示的墙洞，用1号和2号两种特型砖能补好吗？若能补好，共需几块？第三讲数数与计数（二）1/ 数一数，图3－1中共有多少点？2 数一数，图3－5中有多少条线段？3 数一数，图3－9中共有多少个锐角？③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.4.图2－10所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块？5.如图2－11所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1寸的小正方体.求：（1）3面涂成红色的有多少块？（2）2面涂成红色的有多少块？（3）1面涂成红色的有多少块？（4）各面都没有涂色的有多少块？（5）切成的小正方体共有多少块？6.图2－12所示为棱长4寸的正方体木块，将它的表面全染成蓝色，然后锯成棱长为1寸的小正方体.问：（1）有3面被染成蓝色的多少块？（2）有2面被染成蓝色的多少块？（3）有1面被染成蓝色的多少块？（4）各面都没有被染色的多少块？（5）锯成的小正方体木块共有多少块？7.图2－13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？8.图2－14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围成的，你知道哪一条绳子长吗？（仔细观察，想办法比较出来）.习题三1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本？2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘上共有多少个棋孔？3.数一数，图3－18中有多少条线段？4.数一数，图3－19中有多少锐角？5.数一数，图3－20中有多少个三角形？6.数一数，图3－21中有多少正方形？第四讲认识简单数列我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习找出数列的生成规律；学会把数列中缺少的数写出来，最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.例1 找出下面各数列的规律，并填空.（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.（5） 5，10，15，20，□，□，35，40，45.例2 找出下面的数列的规律并填空.1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.例3 找出下面数列的生成规律并填空.1，2，4，8，16，□，□，128，256.例4 找出下面数列的规律，并填空.1，2，4，7，11，□，□，29，37.例5 找出下面数列的规律，并填空：1，3，7，15，31，□，□，255，511.例6 找出下面数列的生成规律，并填空.1，4，9，16，25，□，□，64，81，100.例7 一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？例8 如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到一列数：3，10，17，……，73.这里3叫第一项，10叫第二项，17叫第三项，试求73是第几项？例9 一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？”小朋友，请你帮小明想一想？习题四1.从1开始，每隔两个数写出一个自然数，共写出十个数来.2.从1开始，每隔六个数写出一个自然数，共写出十个数来.3.在习题一和习题二中，按题目要求写出的两个数列中，除1以外出现的最小的相同的数是几？4.自2开始，隔两个数写一个数：2，5，8， (101)可以看出，2是这列数的第一项，5是第二项，8是第三项，等等.问101是第几个数？5.如图4－1所示，“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的高度，而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高，那么，整个图形应包括多少个小正方形？6.如图4－2所示，把小立方体叠起来成为“宝塔”，求这个小宝塔共包括多少个小立方体？7.开学的第一个星期，小明准备发起成立一个趣味数学小组，这时只有他一个人.他决定第二个星期吸收两名新组员，而每个新组员要在进入小组后的下一个星期再吸收两名新组员，求开学4个星期后，这个小组共有多少组员？8.图4－3所示为细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，问经过10次分裂，一个细胞变成几个？9.图4－4所示是一串“黑”、“白”两色的珠子，其中有一些珠子在盒子里，问（1）盒子里有多少珠子？（2）这串珠子共有多少个？第五讲自然数列趣题本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们能很好地掌握它.例1 小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”？例2 一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字？例3 把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少？顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力.比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来？习题五1.有一本书共200页，页码依次为1、2、3、……、199、200，问数字“1”在页码中共出现了多少次？2.在1至100的奇数中，数字“3”共出现了多少次？3.在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多少个？4.一本书共200页，如果页码的每个数字都得用一个单独的铅字排版（比如，“150”这个页码就需要三个铅字“1”、“5”和“0”），问排这本书的页码一共需要多少个铅字？5.像“21”这个两位数，它的十位数字“2”大于个位数字“1”，问从1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数？6.像“101”这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以后，数的大小并不改变，问从100至200之间有多少个这样的三位数？7.像11、12、13这三个数，它们的数位上的各个数字相加之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9.问自然数列的前20个数的数字之和是多少？8.把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少？9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少？第六讲找规律（一）例1 观察下面由点组成的图形（点群），请回答：（1）方框内的点群包含多少个点？（2）第（10）个点群中包含多少个点？（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？例2 图6—2表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的.仔细观察后，请你回答：（1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？（3）从第（1）到第（10）的十个“宝塔”，共包含多少个小三角形？例3 下面的图形表示由一些方砖堆起来的“宝塔”.仔细观察后，请你回答：（1）从上往下数，第五层包含几块砖？（2）整个五层的“宝塔”共包含多少块砖？（3）若另有一座这样的十层宝塔，共包含多少块砖？习题六1.观察图6—4中的点群，请回答：（1）方框内的点群包含多少个点？（2）第10个点群中包含多少个点？（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？2.观察下面图6—5中的点群，请回答：（1）方框内的点群包含多少个点？（2）推测第10个点群中包含多少个点？（3）前10个点群中，所有点的总数是多少？3.观察图6—6中的点群，请回答：（1）方框内的点群包含多少个点？（2）推测第10个点群包含多少个点？（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？4.图6—7所示为一堆砖.中央最高一摞是10块，它的左右两边各是9块，再往两边是8块、7块、6块、5块、4块、3块、2块、1块.问：（1）这堆砖共有多少块？（2）如果中央最高一摞是10O块，两边按图示的方式堆砌，问这堆砖共多少块？5.图6—8所示为堆积的方砖，共画出了五层.如果以同样的方式继续堆积下去，共堆积了10层，问：（1）能看到的方砖有多少块？（2）不能看到的方砖有多少块？第七讲找规律（二）例1仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？例2按顺序仔细观察图7—5、7—6的形状，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？例3观察图7—7的变化，请先回答：在方框（4）中应画出怎样的图形？再答按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框中是怎样的图形？例4观察图7—10的变化，请先回答：第（4）、（8）个图中，黑点在什么地方？第（10）、（18）个图中，黑点在什么地方？习题七1.仔细观察图7—14，找找变化规律，猜猜在第3组的空白格内填一个什么样的图？2.仔细观察图7—15，找找变化规律，猜猜在第3组的空白格内填一个什么样的图？3.仔细观察图7—16，找找变化规律，猜猜在第3组的空白格内填一个什么样的图？4.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？5.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？6.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”应填什么图？7.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”应填什么图？8.仔细观察下列图形的变化，请先回答：①在方框（4）中应画出怎样的图形？②再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框是怎样的图形？9.仔细观察下列图形的变化，请先回答：①在方框（4）中应画出怎样的图形？②再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框是怎样的图形？第八讲找规律（三）数学家看问题，总想找规律.我们学数学，也要向他们学习.找规律，要从简单的情况着手，仔细观察，得到启示，大胆猜想，找出一般规律，还要进行验证，最后还需要证明（在小学阶段不要求同学们进行证明）.例1沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来，这个图形就叫做线段.这两个点就叫线段的端点，如图8—1—1所示.不难看出，线段也可以看成是直线上两点间的部分.如果一条直线上标出11个点，如图8—1—2所示，任何两点间的部分都是一条线段，问共有多少条线段.例2如图8—2中（1）～（5）所示两条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，……那么，11条直线相交最多有多少交点？例3如图8—4所示，一张大饼，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……问切10刀最多切成多少块？习题八1.如图8—6所示，直线上有13个点，任意两点间的部分都构成一条线段，问共构成多少条线段？2.如图8—7所示，两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有六个交点，……，问十三条直线最多有几个交点？3.图8—8所示为切大饼示意图，已知切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……，问切12刀最多切成多少块？4.如图8—9所示，将自然数从小到大沿三角形的边成螺旋状，排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，问在第十个拐弯处的自然数是几？5.如图8—10所示为切大饼的示意图.切一刀只有一种切法，切两刀有2种切法，切三刀有4种切法，……，问切十一刀有多少种切法（规定：三刀或三刀以上不能切在同一点上，如图8—11所示）？第九讲填图与拆数填图是一种运算游戏，它要求把一些数字按照一定的规则填进各类图形.这不仅可以提高运算能力，而且更能促使你积极地去思考问题、分析问题，使你的智力得到更好地发展.例1请你把1、2、3这三个数填在图9.1中的方格中，使每行、每列和每条对角线上的三个数字之和都相等.例2请把1～9九个数字填入图9—5中，要求每行、每列和每条对角线上三个数的和都要等于15.例3 如下面图9—9所示有八张卡片.卡片上分别写有1、2、3、4、5、6、7、8八个数.现在请你重新按图 9—10进行排列，使每边三张卡片上的数的和等于：①13，②15.例4 图9—13是由八个小圆圈组成的，每个小圆圈都有直线与相邻的小圆圈相接连.请你把1、2、3、4、5、6、7、8八个数字分别填在八个小圆圈内，但相邻的两个数不能填入有直线相连的两个小圆圈（例如，你在最上头的一个小圆圈中填了5，那么4和6就不能填在第二层三个小圆圈中了）.习题九1.在图9—15，9—16中，只能用图中已有的三个数填满其余的空格，并要求每个数字必须使用3次，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都必须相等.2.把10、12、14这三个数填在图9—17的方格中，使每行、每列和每条对角线上的三个数之和都相等.3.在图9—18中，三个圆圈两两相交形成七块小区域，分别填上1～7七个自然数，在一些小区域中，自然数3、5、7三个数已填好，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是15.4.与第3题的图相似，只是已经把1、4、6三个数填好，请你继续把图9—19填满.5.图9—20中有三个大圆，在大圆的交点上有六个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6六个数分别填在六个小圆圈里，要求每个大圆上的四个小圆圈中的数之和都是14.6.图9—21是由四个三角形组成的，每个三角形上都有三个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数填在九个小圆圈中，让每个三角形上的三个数之和都是15.7.图9—22是由四个扁而长的圆圈组成的，在交点处有8个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填在8个小圆圈中.要求每个扁长圆圈上的四个数字的和都等于18.十讲有些数学题，要求把符合条件的算式或得数全部找出来；若漏掉一个，答案就不对.做这种题，特别强调有秩序的思考.例1 从2个5分硬币、5个2分硬币、10个1分硬币中，拿出1角钱来，有多少种不同的拿法？例2 5个茶杯的价钱分别是9角、8角、6角、4角和3角，3个茶盘的价钱分别是7角、5角和2角；如果一个茶杯配一个茶盘，一共可以配成多少种不同价钱的茶具？例3 将无法区分的7个苹果放在三个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放.问共有多少种不同的放法？例4把一个整数表示成若干个小于它的自然数之和，通常叫做整数的分拆.问整数4有多少种不同的分拆方式？例5 邮局门前共有5级台阶.若规定一步只能登上一级或两级，问上这个台阶共有多少种不同的上法？习题十1.现有5分币一枚，2分币三枚，1分币六枚，若从中取出6分钱，有多少种不同的取法？2.从1个5分，4个2分，8个1分硬币中拿出8分钱，你能想出多少种不同的拿法？3.把3个无法区分的苹果放到同样的两个抽屉里，有多少种不同的放法？4.把4个苹果放到同样的2个抽屉里，有多少种不同的放法？5.整数6有多少种不同的分拆方式？6.用分别写着1，2，3的三张纸片，可以组成多少个不同的三位数？7.一个盒中装有七枚硬币，两枚1分的，两枚5分的，两枚1角的，一枚5角的，每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒中.如此反复地取出和放回，那么记下的和至多有多少种不同的钱数？8.一个外国小朋友手中有4张3分邮票和3张5分邮票.请你帮他算一算，他用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？第十一讲考虑所有可能情况（二）例1象右边竖式那样十位数字和个位数字顺序相颠倒的一对二位数相加之和是99，问这样的两位数共有多少对？例2 一些十位数字和个位数字相同的二位数可以由十位数字和个位数字不同的两个二位数相加得到，如12+21=33（人们通常把12和21这样的两个数叫做一对倒序数）.问在100之内有多少对这样的倒序数？例3 规定：相同的字母代表同一个数字，不同的字母代表不同的数字.请问，符合下面的算式的数字共有多少组？例4 把整数10分拆成三个不同的自然数之和共有多少种不同的分拆分式？例5将1、2、3、4、5填入下图11－1的五个空格中，使横行和竖行的三个数之和相等.问共有多少种不同的填法？习题十一1.想一想，下面算式中的△和□中，各有多少对不同的填法？2.见下式，满足下式的两个二位数，共有多少对？3.见图11—5，将1、2、3、4、5、6六个数填在下图中的黑点处，使每条线的三个数之和相等，共有多少种不同的填法？4.把整数20分拆成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式？5.把整数19分拆成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式？6.十位数字大于个位数字的二位数共有多少个？7.两个整数之积是144，差为10，求这两个数.8.三个不完全相同的自然数的乘积是24.问由这样的三个数所组成的数组有多少个？9.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑顺序，那么和为10的三元自然数组有多少个[注意：“不考虑顺序”的意思是指如（1，1，8）与（1，8，1）是相同的三元自然数组]？第十二讲仔细审题解数学题很关键的一步是审题.如果把题目看错了，或是把题意理解错了，那样解题肯定是得不出正确的答案来的.什么叫审题？扼要地讲，审题就是要弄清楚：未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？有一种类型的数学题叫“机智题”.在这一讲要通过解这种题体会如何审题.例1①树上有5只小鸟，飞起了1只，还剩几只？②树上有5只小鸟，“叭”地一声，猎人用枪打下来1只，树上还剩几只？例2 要把一个篮子里的5个苹果分给5个孩子，使每人得到1个苹果，但篮子里还要留下一个苹果，你能分吗？例3两个父亲和两个儿子一起上山捕猎，每人都捉到了一只野兔.拿回去后数一数一共有兔3只.为什么？例4 一个小岛上住着说谎的和说真话的两种人.说谎人句句谎话，说真话的人句句是实话.假想某一天你去小岛探险，碰到了岛上的三个人A、B和C.互相交谈中，有这样一段对话：A说：B和C两人都说谎；B说：我没有说谎；C说：B确实在说谎.小朋友，你能知道他们三个人中，有几个人说谎，有几个人说真话吗？例5 如图12—5，三根火柴棍可以组成一个等边三角形，再加三根火柴棍，请你组成同样大小的四个等边三角形.例6一笔画出由四条线段连接而成的折线把九个点串起来，你能做到吗？（见图12—7）.习题十二1.①一个学生花2角钱买了2个练习本，花5角钱能买几个练习本？②在上学的路上2个学生拾到了2角钱，问5个学生捡到多少钱？2.桌上放着一堆糖果，两个母亲和两个女儿，还有一个外祖母和一个外孙女，每人拿了一块，这堆糖果就被拿完了，而这堆糖只有3块.这是为什么？3.天上飞着几只大雁：两只在后，一只在前；一只在后，两只在前；一只在两只中间，三只排成一条线.请你猜猜看，天上共有几只雁？4.小强带了5元钱上街，他到书店买了3本书，应付一元五角钱，可是售货员找给他五角钱，你说售货员一定错了吗？5.一栋大楼内有60盏灯，关掉其中的一半后，还剩下多少盏灯？6.大海中有一个小岛，小岛上住着的100名妇女中有一半人只戴一只耳环.余下的妇女中一半人戴两只耳环，另一半人不戴耳环.问这100名妇女共戴有多少只耳环？7.有一人一天读20页书，第三天因病没读，其他日子都按计划读了书.问第十二天他读了多少页书？8.一家文具店卖某种文具，文具的价钱是：五个是2元，五十个是3元，而五百个、五千个、五万个都是3元.问五十万个是几元？9.王老师有一个孩子，李老师也有一个孩子，两位老师共有多少个孩子？10.一个长方形，剪掉一个角时，剩下的部分还有几个角？11.图中12—10正方体形的纸盒六个面的正中都有一个洞口，旁边放着三根圆木棍，洞口的直径能容棍子通过去.请你将三根木棍从三个洞口穿到另外三个洞口，而且每根棍子穿好后就不再拔出来，你能做得到吗？12.一家冷饮店规定，喝完汽水后，用4个空汽水瓶可以换1瓶汽水.老师带着32个学生进店后，他只买了24瓶汽水.问每个学生能喝到一瓶汽水吗？13.两条直线垂直相交，可以组成4个直角，如图12—11所示，那么三根直线相交时最多能组成多少个直角呢？14.图12—12有12个点.请你用一笔画出由五条线段连接成的折线，把12个点串起来.15.图12—13有16个点，请你用一笔画出由六条线段连接成的折线，把16个点串起来.第十三讲猜猜凑凑有些数学题可以用猜猜凑凑的方法求出答案．猜，很难一次猜中；凑，也不一定凑得准．那不要紧，再猜再凑，对于比较简单的问题，最后总能凑出答案来．数学家说，猜猜凑凑也是一种数学方法，它的正式的名字叫“尝试法”．有时，它还是一种极为有效的方法，数学上的有些重大的发现往往都是大数学家们大胆地猜出来的．猜，要大胆；凑，要细心．要知道猜的对不对，还要根据题目中的条件进行检验．例1小明心中想到三个数，这三个数的和等于这三个数的积，你知道小明想的三个数都是什么吗？例3 一些老人去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨，一人两梨少两梨，问几个老人几个梨？例4 100个和尚分100个馒头，大和尚每人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头，恰好分完．问大和尚、小和尚各多少人？例5 甲、乙、丙三个小朋友在操场跑步．甲2分钟跑一圈，乙3分钟跑一圈，丙5分钟跑一圈．如果他们三人同时从同一起点起跑，问多少分钟后他们三人再次相遇？。
第八讲 2013小学“希望杯”全国数学邀请赛-赛前集训专题系列-4年级03-周期问题
2012小学“希望杯”全国数学邀请赛-赛前集训专题系列（四年级）专题三周期问题【名师导航】我们知道，每周七天，从星期一开始，依次为星期一，星期二，星期三，…，星期日。
一年有十二个月，从1月开始依次为1月，2月，3月，…，12月。
周周如此，年年一样。
生活中有许多类似这样重复出现的事物，这就是自然界常见的周期现象。
如果某一事物的变化具有周期性，那么该事物在经历一段变化后，又会呈现原来的状态。
我们把事物所经历的这一段，叫该事物变化的周期。
例如上面说到的星期的周期是7天，月份的周期是12个月。
再例如个位数字变化的周期是10，用动物记年的周期是12年等等。
在数学中，我们把与周期性有关的数学问题叫做周期问题，研究这一类问题主要是通过找规律，发现周期性，确定周期，然后把要求的问题和某一周期的变化相对应，以求得问题的解。
【例题精讲】例1.2003盏彩灯，按8盏红灯，5盏绿灯，12盏黄灯的顺序轮流排列挂在道路的旁边。
问最后一盏是什么颜色的灯，这2003盏灯中红灯、绿灯、黄灯各有多少盏？解：2003÷（8+5+12）=80…3，按彩灯排列的规律，最后一盏是红灯。
红灯有：8×80+3=643（盏）绿灯有：5×80=400（盏）黄灯有：12×80=960（盏）答：最的一盏灯是红灯，红灯有643盏，绿灯有400盏，黄灯有960盏。
例2.有4567个3连乘：3×3×3×…×3×3 它的积的个位数字是几？4567个3解：n个3相乘的个位数字是以“3、9、7、1”,四个数为一个周期循环的。
4567÷4=1141 (3)余数是3，所以4567个3连乘的个位数字是7。
例3.有一个一千位数，各位上的数字都是“1”。
这个一千位数除以7的余数是几？解：○1N个1除以7的余数是以“1、4、6、5、2、0”这六个数为一个周期循环的。
○2作有余除法：1000÷6=166 (4)○3余数是4，即在第167个周期的第四个数上，即余数是5.答：这个一千位数除以7的余数是5。
第八讲：找规律填一填
第八讲：找规律填一填
（一升二暑期）班级姓名一、我会学。
例1：在○里填上合适的数。
试一试：在○里填上合适的数。
例2：根据规律填上合适的数。
试一试：根据规律填上合适的数。
例3：在水果里填上合适的数。
试一试：在蔬菜上填上合适的数。
例4：根据规律，在方框里填上合适的数。
试一试：根据规律，在方框里填上合适的数。
例5：先找规律，再填数。
试一试：根据规律，在方框里填上合适的数。
二、我能行。
1. 在○里填上合适的数。
2.在□里填上合适的数。
3．找规律填数。
4.想一想，信封上缺了哪些数？
5. 五角星的角上缺了哪些数？
6.根据规律填一填。
7.在括号里填上合适的数。
（1）1,3,5,7，（ ），（ ），（ ）
（2）15,14,12,9，（ ），（ ）
（3）5,2,6,2,7,2,（ ），（ ）
（4）8,1,6,2,4,3，（ ），（ ）
（5）13＋2，12＋4，11＋6，（ ），（ ）
三、我真棒。
1．根据规律把表格补充完整。
2. 根据规律填一填。
3．在括号里填上合适的数。
（1）1，2，4，8，（ ），（ ）
（2）1，2，3，5，8，（ ），（ ）。
一年级数学下册8.3找规律(三)课件新人教版
四、布置作业பைடு நூலகம்
作业：第90页练习二十，第6题。
所我所按我以的以顺发还发可序现可现以想：以和这就样可想以。 这你写4＋样不全8想一啦＝。样！12： 111220－－＋412＝0＝＝8122
132＋－（3＝9）（＝9）12 （1207－）（＋（70）152＝）（＝11522） 18 81 141 141 29 92 130 130 310 13092 92 411 14181 81 512 15270 70 6 66 6
找规律
找规律（3）
一、复习旧知
猜猜 后面藏着谁？
8 11 14 17 20 23 26
这也是你我们们真学棒过！的这，是找我到们学过的重复 相邻两在数神相奇差的多数少学排就王列行国的了里规。还律存，在找着准一
许多规律，跟组我就一行起了去。看看吧！
二、探究新知
找规律，填数。
说一说你发现的 规律。
三、知识运用
1. 在空白圆圈里填上合适的数。
70 50 20
25 19 6
48 18 30
61 53 8
先观察前两组数，它 们之间有什想么关：系1583？＋（8＝（）＝）48
每组下面两个圆里
的数的和等于上面
圆里的数。
三、知识运用
2. 找规律，填数。
把两个三 怎数么角左想形右就中交能的换把3个位所 置也是数 有不有 答同什 案的么 都答关找案系全！？
部编版数学六年级暑假第8讲.整数裂项与通项归纳
第八讲五年级春季比较与估算六年级暑期分数裂项六年级暑期整数裂项与通项归纳六年级寒假计算模块综合选讲一六年级春季计算模块综合选讲二掌握整数裂项技巧；灵活运用通项归纳的技巧进行巧算漫画释义知识站牌在第一讲我们学过分数裂项，也就是大家看到的下面的题目：111111335577999101+++++⨯⨯⨯⨯⨯ .但是如果来了一个怪兽，它非常喜欢吃分数，尤其喜欢吃分数的分子，结果这个怪兽就把上题的分子吃掉了，只剩下1335577999101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ 了，此时还可以用我们的法宝（裂项）计算吗？也许是因为怪兽只吃到了分数的皮毛，分数没有受到很大的伤害，因此法宝还可以继续使用，这就是我们今天要学习的整数裂项.1.掌握整数裂项的技巧，并能理解整数裂项与分数裂项的联系和区别2.灵活运用通项归纳的技巧进行巧算一、整数裂项()()()112231123⨯+⨯++⨯+=⨯⨯+⨯+ n n n n n 例如：1×2+2×3+3×4+…+9×10()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；……()19109101189103⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；那么，原式=（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+9×10×11-8×9×10）13⨯=（9×10×11-0×1×2）13⨯=330二、通项归纳一些计算题目中，如果题目中给出数字很有规律，而且题目又很长，那么我们通常就可以采取把这个规律用字母总结成公式的形式，然后对公式进行计算，找到非常简单的运算技巧，最后把简单运算技巧运用到每一项最终达到简算的目的，这就是通项归纳的技巧．课堂引入经典精讲教学目标第八讲模块一：裂项例1：因数差1的整数裂项例2：因数差不是1的整数裂项例3：多个因数乘积的整数裂项例4：整数裂项的应用模块二：通项归纳例5：整数裂项中的通项归纳例6：平方差公式中的通项归纳模块三：综合运用例7：通项归纳的灵活运用例8：裂项的综合运用计算：⑴12231920⨯+⨯++⨯= ________．⑵4556675960⨯+⨯+⨯++⨯= ________．（学案对应：超常1，带号1）【分析】⑴本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+，所以原式：)1=192021012=26603⨯⨯-⨯⨯⑵原式()7196054361605931=⨯⨯-⨯⨯=.计算：⑴35573335⨯+⨯++⨯= ________．⑵14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ =_________（学案对应：超常2）【分析】（1）原式=()712053137353361=⨯⨯-⨯⨯．（2）原式()15572741555249914=⨯⨯-⨯⨯+=例题思路计算：⑴12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=⑵1234234534569101112⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= ⑶123423453456(1)(2)(3)n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++= ⑷357579192123⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ⑸135735795791119212325⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= （学案对应：带号2）【分析】⑴()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，原式()1910111201234=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯191011124=⨯⨯⨯⨯2970=从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++++=+++ ．⑵()()()()()()()()1112(3)123(4)112(3)55n n n n n n n n n n n n n n +++=++++--+++，原式()1910111213012345=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯19101112135=⨯⨯⨯⨯⨯30888=⑶()()12342345345612(3)n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++ ()()()1123(4)5n n n n n =++++⑷原式()11921232513578=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯28665=⑸原式1105(192123252713579)10=+⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯619458=计算：1!32!43!54!62012!20142013!⨯-⨯+⨯-⨯+-⨯+= ．【分析】观察下面的规律：1!31!(12)1!2!⨯=⨯+=+，2!42!(13)2!3!⨯=⨯+=+原式1!2!2!3!3!4!4!5!2011!2012!2012!2013!2013!=+--++--+++--+ 1=．第八讲1111121223122334122334910++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯ 【分析】由于()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则()()()131223112n n n n n =⨯+⨯++⨯+++ ，原式333312323434591011=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 31111112122323349101011⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3112121011⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭81110=大约1500年前，欧洲的数学家们是不会用“0”的.他们使用罗马数字.罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目.在这种数字的运用里，不需要使用“0”.后来，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号.有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍.过了一段时间，这件事被教皇知道了.当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，教皇的权力更是远远超过皇帝.教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，使他两手残废，再也不能握笔写字.就这样，“0”被那个愚昧、残忍的教皇明令禁止了.虽然“0”被禁止使用，但是罗马的数学家们还是不管禁令，在数学研究中仍然秘密地使用“0”，并做出了很多贡献.后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.计算：22222222246201231517120131⨯⨯⨯⨯=---- （学案对应：超常3，带号3）【分析】通项归纳：()()()222222221211n n n nn n n n ⨯==⨯+++-原式=1231006123410071007⨯⨯⨯⨯=计算：222222221223201220132013201412232012201320132014++++++++⨯⨯⨯⨯ （学案对应：超常4，带号4）【分析】（法1）：可先来分析一下它的通项情况，2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n ++++==+=+⨯+⨯+⨯++原式=213243542013201220142013()()()()()()122334452012201320132014++++++++++++ 2013201320132402620142014=⨯+=（法2）：22222(1)2211122(1)(1)n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+⨯+++⨯+原式1111222212232012201320132014=++++++++⨯⨯⨯⨯ 120132(1)2014=⨯+-201340262014=计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【分析】设原式=BA()3333002101011009931=⨯⨯-⨯⨯=+A B 500099252322=⨯++⨯+⨯+=- A B 原式=B A ()()()()3283338350003333005000333300=-+=--+-++=A B A B A B AB第八讲1.计算：1234234517181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【分析】原式()11718192021012345=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯488376=2.计算：357579313335⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【分析】原式()13133353713578=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯165585=3.计算111111111335192124______111111111111123234345192021++++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯…【分析】利用裂和的方法可以将每一项展开原式111111113351912421111111111111111111111111123123234234345345192021192021=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯...11111111111111111111111123123423453420211920=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ (23123423453420211920)=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯…兔妈妈买来10个萝卜，准备分给四个小宝宝.她把10个萝卜分成4份．从左到右分别是1个、2个、3个、4个.小黑闹着要吃那份最多的.妈妈说：“你如果能只移动1个萝卜，使4份萝卜的排列顺序倒过来，从左到右分别是4个、3个、2个、1个，那就给你最多的.”大家能帮帮小黑吗？答案：把第四堆的第三个萝卜移到第一堆和第二堆之间.附加题=（1×2+2×3+…+19×20）+（2×3+3×4+…+20×21）通过整数裂项方法得到结果．原式11192021(202122123)573833=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯=4.147474647464547464521525251525150525150495251504965⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析】首先把每项分数约分．14747464746454321525251525150525150495251504948⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 再将原式各项的分母都通分为5251504948⨯⨯⨯⨯，则各项的分子依次为51504948⨯⨯⨯，50494847⨯⨯⨯，49484746⨯⨯⨯，…………4321⨯⨯⨯．计算中可以应用下面的公式：()()()12342345123n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++ ()()()()112345n n n n n =++++．根据上面的公式，分子的和为148495051525⨯⨯⨯⨯⨯，与分母约分，结果为15．5.222222222222233333333333331121231234122611212312341226+++++++++-+-+-=+++++++++ 【分析】先找通项公式：2222223333(1)(21)1232212116()(1)1233(1)314n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯++++++===⨯=⨯+⨯+++++⨯++ ，所以，原式21111111131223342627⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-+++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2152132781⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭6.计算1×100+2×99+3×98+…+98×3+99×2+100×1=.【分析】通项公式2(101)101n a n n n n =-=-，所以原式1101(1100)10021001012016=⨯+⨯÷-⨯⨯⨯=1717007.计算：2323233--- （共2013条分数线）=【分析】32272133321--==-第八讲43261521332772133--=-==--5421431213321515213233--=-==--- (212)2132213233n n ++--=---，所以2013条分数线的话，答案应该为201520142121--一、整数裂项1122334(1)(1)(1)3n n n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=-⨯⨯+ 1123234345(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=-⨯-⨯⨯+ 110111112121399100(9910010191011)3⨯+⨯+⨯++⨯=⨯⨯-⨯⨯ 二、通项归纳解题步骤1.找规律，归纳第n 项公式2..将归纳出的公式用到每一项，进行计算1.请计算：1223344950⨯+⨯+⨯++⨯ =_________【分析】原式()4165021051504931=⨯⨯-⨯⨯=.2.请计算：24462426⨯+⨯++⨯= ________．【分析】原式()291242028262461=⨯⨯-⨯⨯=3.计算：2464686810222426⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【分析】原式家庭作业知识点总结()12224262802468=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48048=4.计算：2013!(1!2!23!34!42011!20112012!2012)-+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯= ．【分析】观察下面的规律：1!11!(21)2!1!⨯=⨯-=-2!22!(31)3!2!⨯=⨯-=-原式2013!(2!1!3!2!4!3!2012!2011!2013!2012!)=--+-+-++-+- 2013!(2013!1!)=--1=5.计算：111112122312233412233499100++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯ 【分析】由于()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则()()()131223112n n n n n =⨯+⨯++⨯+++ ，原式333312323434599100101=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 311111121223233499100100101⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦311212100101⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭1514720200=6.计算：22222223992131991⨯⨯⨯=--- 【分析】通项公式：()()()()()221111112n n n a n n n n ++==+++-+，原式22334498989999(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999931425364999710098⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22334498989999132435979998100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 29999110050=⨯=7.计算：2222122318191920⨯+⨯++⨯+⨯ 【分析】方法一：2(1)(1)[(2)1](1)(2)(1)n a n n n n n n n n n n =+=++-=++-+原式123122342318192018191920211920=⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯++⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯ 123234181920192021(122318191920)=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯++⨯+⨯第１１级上超常体系教师版第八讲111920212219202143=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯41230=方法二：分拆(21-)232222⨯=-，(31-)232333⨯=- 再用公式原式323232333222(22)(33)(2020)(12320)(12320)=-+-++-=++++-++++ 221120212021414123046=⨯⨯-⨯⨯⨯=8.计算：12343456567817181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= （提示：()2333211214n n n +++=+ ）【分析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678916171819B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ ，则12342345345617181920A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ 117181920214883765=⨯⨯⨯⨯⨯=，现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．1234234534564567567817181920A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ 4(123345567...171819)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)18(181)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24618)4(24618)=⨯++++-⨯++++ 221148*********=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯64440=所以，()488376644402276408A =+÷=．【超常班学案1】计算：⑴34455619202021⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⑵233445100101⨯+⨯+⨯++⨯= 【分析】⑴134=345-2343⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）；145=56-3453⨯⨯⨯⨯⨯⨯（4）；156=67-4563⨯⨯⨯⨯⨯⨯（5）；……12021=2122-1920213⨯⨯⨯⨯⨯⨯（20）；原式=15-234+56-35++202122-1920213⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （3444）超常班学案第１１级上超常体系教师版=1202122-2343⨯⨯⨯⨯⨯（）=3072⑵原式(234123)(345234)(10010110299100101)3⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯= ()11001011021233=⨯⨯⨯-⨯⨯343398=本题也可直接采用结论：()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则原式()1223344510010112=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ 110010110223=⨯⨯⨯-343398=【超常班学案2】请计算：（1）25588116265⨯+⨯+⨯++⨯= ________；（2）3771111156367⨯+⨯+⨯++⨯= ________．【分析】（1）原式()110626568258304509=+⨯⨯⨯-⨯⨯=；（2）原式()12163677137112497612=+⨯⨯⨯-⨯⨯=.【超常班学案3】计算：121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【分析】通项公式为：()()()1121231212n n n n n n n n n n +++++==⨯+++-+-+ ，（n 从2开始）原式32435451501425364952=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 3507515226=⨯=【超常班学案4】计算：22222212231001011223100101++++++⨯⨯⨯ 【分析】方法一：通过代数式进行通项归纳或者找规律，可知：2222(1)2112(1)(1)(1)n n n n n n a n n n n n n +++++===+⨯+++，所以原式=1111001002222002001223100101101101++++++=+=⨯⨯⨯ 方法二：原式=22222132()()12122323++++⨯⨯⨯⨯ 22101100()100101100101++⨯⨯21321011001223100101=++++++ 上式为若干组同分母分数的和，而且这些和都是2，所以原式⋅=+⨯= 1011002001011001002第１１级上超常体系教师版第八讲【超常123班学案1】请计算：（1）344556677889910101111121213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________；（2）4556674950⨯+⨯+⨯++⨯= ________．【分析】（1）原式()11213142347203=⨯⨯⨯-⨯⨯=；（2）原式()1495051345416303=⨯⨯⨯-⨯⨯=.【超常123班学案2】S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+ +2010×2011×2012，试求出4×S÷（2010×2011×2012）的值．【分析】1123=1234-01234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）；1234=345-12344⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（2）；1345=456-23454⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（3）；……12010201120122010201120122013-20092010201120124⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）原式=12010201120122013012342010201120124⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯（）（）=2013【超常123班学案3】222111111213120131⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】22221(1)(1)111(1)1(1)1(2)2n n n n n a n n n n n n ++++=+===⨯+-+-⨯++原式223320132013132420122014=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 220132013120141007=⨯=【超常123班学案4】计算：22222222212323489103353517+++++++++++++ 【分析】原式2222222222221232348910213191++++++=+++--- 通项归纳，()()22222221132551133111211n n n n n n n n n -++++⎛⎫==+=+- ⎪----+⎝⎭原式511138122910⎛⎫=⨯++-- ⎪⎝⎭292242799=+=１２３班学案。
小学奥数8-6 操作找规律.专项练习及答案解析
知识点说明 在奥数中有一类“不讲道理”的题目，我们称之为“简单操作找规律”。
有一些对小学生来说很难证明的，但与证明相比，发现却是比较容易的。
这也是数学中的一种重要的思想，在以后的数学学习中会有一种先猜后证的解题方法。
这类题主要考查孩子们的发现能力。
模块一，周期规律 【例 1】 四个小动物换座位．一开始，小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号．以后它们不停地交换位子．第一次上下两排交换．第二次 是在第一次交换后再左右两排交换．第三次再上下两排交换．第四次再左右两排交换……这样一直换下去．问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看 下图）【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛【解析】 根据题意将小兔座位变化的规律找出来．可以看出：每一次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每4次交换座位，小兔的座位又转回原处．知道了这个规律，答案就不难得到了．第十次交换座位后，小兔的座位应该是第2号位子。
【答案】第2号【例 2】 在1989后面写一串数字。
从第5个数字开始 ，每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数字。
这样得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6 8 8 4 2 ……那么这串数字中，前2005个数字的和是____________。
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，初试【解析】 由题意知，这串数字从第5个数字开始，只要后面的连续两个数字与前面的连续两个数字相同，后面的数字将会循环出现。
1989︱286884︱28……由上图知，从第5个数字开始，按2,8,6,8,8,4循环出现。
()2005463333-÷=⋯，前2005个数字和是例题精讲知识点拨操作找规律()()()+++++++++⨯+++271198816120311989286884333286=++=。
【答案】12031【例3】先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123…，则这个整数的数字之和是。
找规律填数含答案
找规律填数小朋友们，在学习和生活中，我们经常会遇到许多按一定顺序排列起来的数。
在数学上，我们把这样的一组数叫做“数列”。
找规律填数，就是先通过对数列的观察，再经过严密的逻辑推理，然后发现数列中数的排列规律，并依据这个规律把所缺的数填写出来，从而达到解决问题的目的。
这一讲，就让我们一起来探讨数列中的奥秘吧！例1.找出下面各数的排列规律，在括号里填上合适的数。
〈1〉1，2，3，4，（），（）〈2〉2，4，6，8，（），（）〈3〉45，40，35，（），（）点拨：〈1〉在这个数列中，通过观察可以发现，这一列数越来越大，而且后一个数都比前一个数多1，也就是说相邻两个数的差都是1，因此，括号里应按顺序填上5，6.〈2〉根据上题的方法，依次求出相邻两数的差，可以发现这列数的排列规律是：从第二个数起，后一个数都比前一个数多2，因此，括号里应按顺序填上10，12.〈3〉也可以用下面的计算过程来推算45 40 35 30 (25) (20)-5 -5 -5 -5 -5例2.找规律填数.〈1〉1，2，4，7，11，（），（）〈2〉1，3，7，13．21，（），（）〈3〉1，2，4，8，16，（），（）点拨：〈1〉通过观察和计算我们发现，在这一列数中，数也在逐渐增加，但每次增加的数并不相同，具体变化如下：第一个数加1得到第二个数，第二个数加2得到第三个数，第三个数加3得到第四个数，第四个数加4得到第五个数，依次推算，第五个数应该加5得到第六个数是16，第六个数加6得到第七个数是22，也就是说，每次增加的数都比上次增加的数多1，也可以用下面的计算过程来推算：1 2 4 7 11 （16）（22）+1 +2 +3 +4 +5 +6〈2〉这一列数每次增加的数都比上次增加的数多2.1 3 7 13 21 (31) (43)+2 +4 +6 +8 +10 +12〈3〉这一列数每次增加的数都是它本身，第一个数是1，再加上1得到第二个数，第二个数是2，再加上2得到第三个数，第三个数是4，再加上4得到第四个数，第四个数是8，再加上8得到第五个数，依次推算，第五数是16，也应该加上16得到第六个数是32，第六个数是32，也应该加上32得到第七个数是64.可以用下面的计算过程来推算：1 2 4 8 16 （32）（64）+1 +2 +4 +8 +16 +32例3.寻找下面一列数的规律，在（）填上合适的数.〈1〉1，3，1，5，1，7，（），（）〈2〉17，2，14，2，11，2，（），（）〈3〉25，6，20，7，15，8，（），（）点拨：〈1〉通过观察可以发现，这一列数是间隔着变化的。
学而思寒假班小学五年级家庭作业试题及答案第八讲
第八讲 阶段大比拼——考试基础班一、填一填 找规律填空：（1）0、1、1、2、3、5、（ 8 ）、13、……… （2）6、7、3、0、3、3、（ 6 ）、9、5、……… （3）0、3、8、15、24、35、（ 48 ）、63、……… 2、若规定b b a a b a ⨯+⨯=∆，，那么2△4=____20______。
3、在右面数阵中，第10行的第3个数分别是____53_______（从左往右数）?4、两个质数的和是39，这两个质数的积是___ 74______。
5、今年母亲与儿子的年龄之和为48岁，而6年前母亲的年龄恰好是儿子年龄的5倍，那么母亲今年____36_____岁。
6、育强小学五年级42名同学参加课外小组活动的人数如下（每人至少参加一项）：有27名同学参加美术小组，有22名同学参加体操小组，那么只参加体操小组的同学人数是只参加美术小组活动的同学人数的_____0.75_____倍。
7、有若干个苹果和梨，苹果的个数是梨的个数的3倍，如果每天吃2个梨和5个苹果，那么梨吃完的时候还剩20个苹果，问：梨有______40_____个。
8、一次考试共有100道选择题，答对一题得3分，不答不得分，答错了一题倒扣1分。
小明最后得了244分，而且他不答的题和答错的题一样多，那么他答对了_____84____道。
9、一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100，这两个质数的积是___864_____ 。
10、甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两个人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，小强已经赛了____2_______盘。
二、大显身手1、两个四位数275A 和B 275相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。
解答：考虑到72=8 ⨯9，而275A 是奇数，所以B 275必为8的倍数，因此可得B=2；四位数2752各位数字之和为2+7+5+2=16不是3的倍数也不是9的倍数，因此275A 必须是9的倍数，其各位数字之和A+2+7+5=A+14能被9整除，所以A=4。
小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全
小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10讲变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算第二十一周速算与巧算（二）第二十二周平均数问题第二十三周定义新运算第二十四周差倍问题第二十五周和差问题第二十六周巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题第三十一周还原问题第三十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周应用题（四）第三十九周盈亏问题第四十周数学开放题第1讲找规律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
初中数学找规律题及其标准答案
初中数学找规律题及其答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：整式的加减——专题训练与提升1、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点．2、找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有个．3、如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第100个图案需棋子枚．4、观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．5、观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有个★．6、如图①，图②，图③，图④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是，第n个“广”字中的棋子个数是．7、如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°，下图2是二环四边形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A7=720°，图3是二环五边形，可得S=1080°，…聪明的同学，请你根据以上规律直接写出二环n边形（n≥3的整数）中，S= 度．（用含n的代数式表示最后结果）8、观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第n个图中最小的三角形的个数有个．9、将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则an= ．（用含n的代数式表示）所剪次数三角形个数10、用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为（用含n的代数式表示）．11、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有个．12、根据下列图形的排列规律，第2008个图形是福娃（填写福娃名称即可）．13、用火柴棒按照如图所示的方式摆图形，则第n个图形中，所需火柴棒的根数是．14、下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒根．15、一张长方形桌子需配6把椅子，按如图方式将桌子拼在一起，那么8张桌子需配椅子把．16、下列每个图是由若干个圆点组成的形如四边形的图案，当每条边（包括顶点）上有n （n≥2个圆点时，图案的圆点数为S n ．按此规律推断S n 关于n 的关系式为：S n = ．17、如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n 个图案中有 根火柴棒．（用含n的代数式表示）18、观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有 个圆．19、观察表一，寻找规律．表二，表三分别是从表一中选取的一部分，则a+b的值为．表一：表二：表三：20、如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形，则第n层有个白色正六边形．21、把边长为3的正三角形各边三等分，分割得到图①，图中含有1个边长是1的正六边形；把边长为4的正三角形各边四等分，分割得到图②，图中含有3个边长是1的正六边形；把边长为5的正三角形各边五等分，分割得到图③，图中含有6个边长是1的正六边形；…依此规律，把边长为7的正三角形各边七等分，并按同样的方法分割，得到的图形中含有个边长是1的正六边形．0 1 2 3 ....1 3 5 7 ....2 5 8 11 ....3 7 11 15 ....... ... ... ... ....1114a1 3722、观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）●□☆●●□☆●□☆●●□☆●…若第一个图形是圆，则第2008个图形是（填名称）．23、下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，按照图示的规律摆下去，则第n幅图中有个菱形．24、如图，观察下列图案，它们都是由边长为1cm的小正方形按一定规律拼接而成的，依此规律，则第16个图案中的小正方形有个．25、用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子枚．（用含n的代数式表示）27、如图所示是一副“三角形图”，第一行有一个三角形，第二行有2个三角形，第三行有4个三角形，第四行有8个三角形，…，你是否发现三角形的排列规律，请写出第七行有个三角形．28、如图，用3根小木棒可以摆出第（1）个正三角形，加上2根木棒可以摆出第（2）个正三角形，再加上2根木棒可以摆出第（3）个正三角形…这样继续摆下去，当摆出第（n）个正三角形时，共用了木棒根．29、观察下列图形，根据变化规律推测第100个与第个图形位置相同．30、如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼，搭1条小鱼用8根火柴棒，搭2条小鱼用14根，…，则搭n条小鱼需要根火柴棒．（用含n的代数式表示）整式的加减——专题训练与提升参考答案1．n2-n+1 2．（2n-1）3．302 4．121 5．49 6．152n+5 7．360（n-2）8．4n-19．3n+1 10．2n+2 11．181 12．欢欢13．3n+1 14．88 15．20 16．4n-4 17．2n（n+1）18．65 19．37 20．6n 21．15 22．正方形23．（2n-1）24．136 26．3n+1 27．64 28．2n+1 29．1或4 30．6n+2。
华罗庚学校数学课本∶二年级
华罗庚学校数学课本：二年级上册第一讲速算与巧算习题一习题一解答第二讲数数与计数（一）习题二习题二解答第三讲数数与计数（二）习题三习题三解答第四讲认识简单数列习题四习题四解答第五讲自然数列趣题习题五习题五解答第六讲找规律（一）习题六习题六解答第七讲找规律（二）习题七习题七解答第八讲找规律（三）习题八习题八解答第九讲填图与拆数习题九习题九解答第十讲考虑所有可能情况（一）习题十习题十解答第十一讲考虑所有可能情况（二）习题十一习题十一解答第十二讲仔细审题习题十二习题十二解答第十三讲猜猜凑凑习题十三习题十三解答第十四讲列表尝试法习题十四习题十四解答第十五讲画图凑数法习题十五习题十五解答下册第一讲机智与顿悟习题一习题一解答第二讲数数与计数习题二习题二解答第三讲速算与巧算习题三习题三解答第四讲数与形相映习题四习题四解答第五讲一笔画问题习题五习题五解答第六讲七座桥问题习题六习题六解答第七讲数字游戏问题（一）习题七习题七解答第八讲数字游戏问题（二）习题八习题八解答第九讲整数的分拆习题九习题九题答第十讲枚举法习题十习题十解答第十一讲找规律法习题十一习题十一解答第十二讲逆序推理法习题十二习题十二解答第十三讲画图显示法习题十三习题十三解答第十四讲等量代换法习题十四习题十四解答第十五讲等式加减法习题十五习题十五解答附录第一讲重量的认识习题一习题一解答第二讲长度的认识习题二习题二解答第三讲时间的认识（上）习题三习题三解答第四讲时间的认识（下）习题四习题四解答。
数学游戏之——大家都来找规律解答
大家都来找规律解答规律——自然界和社会诸现象之间必然、本质、稳定和反复出现的关系；往往决定着事物发展的必然趋向。
规律是客观的，不以人的意志为转移的。
科学就是寻找、发现规律。
找规律既需要我们有敏锐的观察力，又需要一定的逻辑推理能力。
找规律填图形是培养这方面能力的一种训练方法，我们一起来找找吧。
第一题：观察下图，并按照规律在空白处填上合适的字母。
解：每行都有ABC三个字母，第三行已经有了AB,所以填C第二题：观察下图，并按照规律在空白处填上合适的图形。
解：每行都有圆、方、三角三个图形，所以第二、三行都差一圆。
形。
解：图一、图二第二个格图是第一个格图的左半部分顺时针旋转90度。
图四，图五第二个格图是第一个格图右半部分上下翻转180度。
所以解答如下图。
解：如下图第五题：观察下图，并按照规律在第四方框内填上合适的图形。
解：逆时针旋转一格，（如下图）。
第六题：观察下图，找规律，问第2023个图是什么图形。
解：第一个是实心圆，第二个是实心三角，第三个是实心方框，第四个是空心圆，第五个是空心三角，第六个是空心方框，第七个是实心圆，第八个是实心三角，第九个是实心方框，第十个是空心圆，第十一个是空心三角，第十二个是空心方框，如此循环。
所以第2023个应该是实心圆。
第七题：观察下图，找规律，问第1314个图是什么图形。
解：第一个是狗，第二个是公鸡，第三个是小花猫，第四个是马，第五个是牛，第六个是狗，——如此循环。
所以第1314个应该是是马。
第八题：观察下图，并按照规律在第四方框内填上合适的图形。
解：如下图。
第九题：观察下图，并按照规律在第四方框内填上合适的图形。
解：不同颜色加一，如下图。
解：每行都有圆、方、三角三个图形，所以第二、差一圆，第三行差一个三角。
第十一题：观察下图，并按照规律在第三方格空白处填上合适的图形。
解：图一、图二第二个格图是第一个格图的右半部分逆时针旋转90度。
解：图一空心变实心、图二逆时针旋转90度，图三实心变空心。
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习题八
1.如图8—6所示，直线上有13个点，任意两点间的部分都构成一条线段，问共构成多少条线段？
2.如图8—7所示，两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有六个交点，……，问十三条直线最多有几个交点？
3.图8—8所示为切大饼示意图，已知切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……，问切12刀最多切成多少块？
4.如图8—9所示，将自然数从小到大沿三角形的边成螺旋状，排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，问在第十个拐弯处的自然数是几？
5.如图8—10所示为切大饼的示意图.切一刀只有一种切法，切两刀有2种切法，切三刀有4种切法，……，问切十一刀有多少种切法（规定：三刀或三刀以上不能切在同一点上，如图8—11所示）？
习题八解答
1.解：利用例1得到的规律可知：一条直线上有若干点时，线段的条数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点数小1.
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
=78（条）.
2.解：利用例2得到的规律可知，有若干条直线相交时，最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线条数小1.
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
=78（个）.
3.解：利用例3得到的规律可知，把一张大饼切若干刀时，切成的最多块数，等于从1开始的一串自然数相加之和加1，其中最大的自然数等于切的刀数.
1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
=1+78
=79（块）.
4.解：方法1：观察图8—12，仔细分析找规律.
第一个拐弯处 2=1+1
第二个拐弯处 4=1+1+2
第三个拐弯处 7=1+1+2+3
第四个拐弯处 11=1+1+2+3+4
第五个拐弯处 16=1+1+2+3+4+5
发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串自然数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个自然数.
所以第十个拐弯处的数是：
1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56.
方法2：由于此题比较简单，把图形画出来（图8—12），按要求把自然数排列在三角形的边上，答案也是56.
5.解：对简单的情况，仔细观察、分析，大胆猜想，找出规律，用于解决复杂的情况.如图8—13所示：切一刀，1种切法：1=1
切两刀，2种切法：2=1+1
切三刀，4种切法：4=1+1+2
大胆猜想，切四刀的切法数应为：
1+1+2+3=7种切法.
进行验证（实际切切看）：
应用得到的规律，求得切十一刀的不同切法数为：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =1+55
=56（种）.。