高一数学必修二知识点总结：空间两直线的位置关系
高一必修二2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
必修二 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系【知识要点】 一．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．用集合符号表示： ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,且 (证线、点在面内依据)公理2： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．用集合符号表示：l P l P P ∈=⋂⇒∈∈且βαβα, (证点在面内依据) 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．二．空间中两直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线所成的角定义：直线a ，b 是异面直线，过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a ，b′∥b ，我们把直线a ′和b′所成的锐角(或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角． 异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角 异面直线所成的角θ角的取值范围：θ∈（0°，90°]．异面直线的距离：两异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度两直线位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧不同在任何一个平面内:异面直线点在同一平面内没有公共:平行直线:没有公共点相交直线:有一个公共点 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．b c a c b a //////⇒⎭⎬⎫等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．三．空间中直线与平面的位置关系线与面位置关系⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫→→→直线线在平面外 线面平行 没有公共点 线面相交 有一个公共点线在面内 有无数公共点a四．空间中面与面位置关系⎩⎨⎧2)公理--交于一条直线(有无数公共点相交没有公共点平行：：【基础练习】1. 已知下列四个命题： ① 很平的桌面是一个平面； ② 一个平面的面积可以是4m 2；③ 平面是矩形或平行四边形； ④ 两个平面叠在一起比一个平面厚． 其中正确的命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是______________。
高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)
1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。
2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ； （2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】 已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误； 直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。
空间中两直线的位置关系
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
B. 2个
D. 一个也不正确
5、空间两个角α、β, α与β的两边对应平行, 且α＝600, 则β等（ ） D A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° 6、若空间四边形的对角线相等,则以它的四 条边的中点为顶点的四边形是（ B ） A.空间四边形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
空间中两条直线的位置关系
高一数学 王培花
复习引入 平面内两条直线的位置关系
相交直线
a
平行直线
b
平行直线 （无公共点）
o
a b
相交直线 （有一个公共点）
四通八 达、错 落有致 的立交 桥
一、异面直线定义
讲授新知
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
A E B F G C H D
1 2
巩固练习
1. (1)一条直线与两条异面直线中的一条相交， D ） 那么它与另一条之间的位置关系是（
Ａ.平行 Ｃ.异面 Ｂ.相交 Ｄ.可能平行、可能相交、可能异面
D ） (2)两条异面直线指的是（ Ａ.没有公共点的两条直线
Ｂ.分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
BF
与GH
D1 A1
D
C1 （2）如图，已知四棱柱ABCDB1
C B
A1B1C1D1，底面ABCD是平行四 边形，则与棱AB所在直线异面 的棱共有4 条?
A
分别是 ：A1D1、DD1、 B1C1、CC1
五、平行直线
初中所学平行公里：过直线外一点有且只有 一条直线和已知直线平行
高一必修2数学空间两直线的位置关系知识点梳理-教学文档
高一必修2数学空间两直线的位置关系知识点梳理在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
小编准备了高一必修2数学空间两直线的位置关系知识点，具体请看以下内容。
空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0，90)esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点相交直线;(2)没有公共点平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内有无数个公共点②直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a 叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
高一必修2数学立体几何知识点总结
立体几何一、平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行二、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面 (既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点三、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
③垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）④两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）⑤中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）⑥平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④利用勾股定理，等腰三角形三线合一。
(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a ∥α.（线面平行的判定定理）③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b ⊂α，a ∩b=P,a ∥β,b ∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a －β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l ⊥β,l ⊂α，则α⊥β. （面面垂直判定定理） 四、空间中的各种角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 1、异面直线所成的角(1)定义：a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a,b ′∥b,则a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围： 0°＜θ≤90°. (3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 3、二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.②找(或作)二面角的平面角的主要方法. (i)定义法 (ii)三垂线法先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值. 五 表面积公式和体积公式=2 S =S rl rlππ圆柱侧圆锥侧12)=S r r lπ+圆台侧（''()1=2S c c h +正棱台侧'1=ch S =2S ch直棱柱侧正棱锥侧1= V =3V Sh Sh柱体锥体1=+3V S S h下台体上（234=4 V =3S R R ππ球面球。
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
第二章 点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基本性质 ①公理1：②公理2：不共线的三点确定一个平面③公理3：A lB l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭P l P l P ααββ∈⎫⇒⋂=∈⎬∈⎭则二、点与面、直线位置关系1、点与平面有2种位置关系2、点与直线有2种位置关系三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线2、直线与直线的位置关系⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩相交共面平行异面3、公理4和定理 公理4：12A B αα∈⎧⎨∉⎩、、12A lB l∈⎧⎨∉⎩、、131223l l l l l l ⎫⇒⎬⎭定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
4、求异面直线所成角的步骤： ①作：作平行线得到相交直线；②证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角； ③构造三角形求出该角。
提示：1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。
2、异面直线所的角的范围是 。
四、空间中直线与平面之间的位置关系位置关系公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示图形表示五、空间中平面与平面之间的位置关系位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点有一条公共直线符号表示αβa αβ=(000,90⎤⎦a α直线与平面平行a α直线与平面相交a 直线在平面内a α⊂a αa Aα=图形表示直线、平面平行的判定及其性质一、线面平行1、判定：（线线平行，则线面平行）2、性质：（线面平行，则线线平行）二、面面平行1、判定：（线面平行，则面面平行）b a b b a ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭a a ab b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭a b a b P a b βββααα⊂⎫⎪⊂⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⎪⎪⎭2、性质1：（面面平行，则线面平行） 性质2：m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭（面面平行，则线面平行）说明（1）判定直线与平面平行的方法：①利用定义：证明直线与平面无公共点。
高一数学空间中直线与直线之间的位置关系
B
A
等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补. 方向都相同或相反------相等
一边方向相同一边方向相反------互补
两条异面直线的夹角
如图: a, b是两条异面直线, 经过空间任意一点 O, 作直线a`// a, b`// b, 我们把直线a`和b`所成的锐角 (或直角)叫做 异面直线 a, b 所成的角 .
b
b`
b
a
O
a`
a` a
O
思考：异面直线的夹角的范围是多少呢？
实例讲解
例1 如图是一个正方体的表面展开图,如果
将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这 四条线段所在直线是异面直线的有多少对?
C G D H A H B G C A D
B
F
E F E
C G
A
A C B G
D
D
H E F
高一年级数学必修2
2.1 空间中直线与直线之间的位置关系
知识回顾
平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个 平面内,那么这条直线在此平面内.
A l , B l , 且A , B l
公理1的作用：
A ． B ．
α
判断直线是否在平面内.
知识回顾
公理2 过不在一条直线上的三点,有 且只有一个平面.
“不共线的三点确定一个平面”
A、B、C不共线 A、B、C 确定平面
B
．
． A ． C
知识回顾
公理2推论1： 经过一条直线和这条直线外一点, 有且只有一个平面.
B A
a
C
知识回顾
高一数学必修二知识点总结：空间两直线的位置关系
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高一数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系PPT课件
空间两直线的 位置关系
相交直线 平行直线 异面直线
2021
32
异面直线所成的角: 平移，转化为相交直线所成的角。 公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理： 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
2021
33
高考链接
1（2007 湖南） 如图1，在正四棱柱
D
A
C B
D
C
A
B
有，如AB和CC‘，AB和DD’。
2021
26
（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线 垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？
相交直线的垂直 垂直分为两种：
异面直线的垂直
c
b
cb
a
a
垂直
2021
27
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
c
a b
如图，若c⊥α，则c垂直于α内所有直线，
C
A
B
C A C A B B
C
B
A
CA C B A B 18 0
2021
22
在平面内两直线相交成四个角，不大于 90°的角成为夹角。
夹角 a
b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜 程度，异面直线通过异面直线所称的角来刻画。
2021
23
异面直线所成的角
已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作 直线a`//a, b`//b，我们把a`与b`所成的锐角（或直 角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
D
A
C B
D
C
A
B
两者都不是
2021
7
高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系
5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面 有__0_或__1___个．
解析 当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足 条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】 由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】 由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异 面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间 考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1； 和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不 共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③， 若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？ 答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．
空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系知识点一空间两条直线的位置关系1．异面直线⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线;⑵特点：既不相交,也不平行;⑶理解：①“不同在任何一个平面内”,指这两条直线永不具备确定平面的条件,因此,异面直线既不相交,也不平行,要注意把握异面直线的不共面性;②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”;③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说,在两个不同平面内的直线,它们既可以是平行直线,也可以是相交直线．2．空间两条直线的位置关系⑴相交——在同一平面内,有且只有一个公共点；⑵平行——在同一平面内,没有公共点；⑶异面——不同在任何个平面内,没有公共点．例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．注：把你认为正确的结论的序号都填上答案：③④例2、异面直线是指____．①空间中两条不相交的直线； ②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线．变式1、一个正方体中共有 对异面直线．知识点二 平行直线例4、如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E 1、E 分别 为A 1D 1、AD 的中点,求证：∠C 1E 1B 1=∠CEB ． 知识点三 异面直线1、 异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直观性,如下图l,若画成如下图2的情形,就分不开了,千万不能画成2的图形;画平面衬托时,通常画成下图中的情形;2、异面直线的判定⑴异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．E 1E A C B D AB CD⑵判定两条直线为异面直线的常用方法有：①定义法：不同在任一平面内的两条直线．②定理法：过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线为异面直线．③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线．④反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法,证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设,从而肯定与假设相反的结论,即命题的结论成立,3、异面直线所成的角a与b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′∥a,b ′θθ将这个角放入某个三角形中计算这个角的大小,若该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形,便易求此角的大小.3我们规定：两条平行直线所成的角为0°角,两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角或直角,因此在空间中的两条直线所成的角的范围为0°,90°；特别地,若两异面直线所成角为90°,则称两异面直线互相垂直；4求异面直线所成角的一般步骤是：①构造恰当地选择一个点,用平移法构造异面直线所成的角．②证明证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角,③计算通过解三角形常用余弦定理等知识,求①中所构造的角的大小,④结论 假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求;例5、已知平面l =βα ,直线,,P l a a =⊂ α直线l b b //,β⊂,求证：直线a 和b 是异面直线．例6、如图所示,正方体ABCD －A1B1C1D1中,M 、N 分别是A1B1、B1C1的中点,问：1AM 和CN 是否是异面直线说明理由；2D1B 和CC1是否是异面直线说明理由．解：1不是异面直线．理由如下：∵M 、N 分别是A1B1、B1C1的中点,∴MN ∥A1C1.又∵A1A D1D,而D1D C1C,∴A1A C1C,A1ACC1为平行四边形,∴A1C1∥AC,得到MN ∥AC,∴A,M,N,C 在同一个平面内,故AM 和CN 不是异面直线．2是异面直线．理由如下：假设D1B 与CC1在同一个平面D1CC1内,则B ∈平面CC1D1,C ∈平面CC1D1,∴BC 平面CC1D1,这与BC 是正方体的棱相矛盾,∴假例7、如图2．1．2—18,已知不共面的三条直线a ,b ,c 相交于点P ,A ∈a ,B ∈a ,C∈b ,D ∈c ,求证：AD 和BC 是异面直线．证法一：反证法：假设AD 和BC 共面,所确定的平面为α,那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内,∴直线a 、b 、c 都在平面α内,与已知条件a 、b 、c 不共面相矛盾．∴AD 与BC 是异面直线．证法二：直接用判定定理：∵ a ∩c ＝P ,∴a 和c 确定一个平面,设为β,巳知C 平面β,B ∈平面β,AD 平面β,BAD , ∴AD 和BC 是异面直线．变式1、 如图2．1．2—19,a ,b 是异面直线,A 、B ∈a ,C 、D ∈b ,E 、F 分别为线段AC 和BD 的中点,判断直线EF 和a 的位置关系,并证明你的结论．答案：EF 和a 是异面直线,可用反证法证明．例8、正方体AC l 中,E,F 分别是A 1B 1,B 1Cl 的中点,求异面直线DB 1与EF 所成角的大小;变式1、空间四边形ABCD中,E、F分别是对角线BD、AC的中点,若BC＝AD＝2EF,求直线EF与直线AD所成的角;例9、直三棱柱中,若,,则异面直线与所成的角等于A．30° B．45° C．60° D．90°解：C变式1、已知空间四边形ABCD各边长相等,求异面直线AB和CD所成的角的大小.解：∴异面直线AB、CD成90°角.巩固练习：一、判断题1. 若三条直线两两平行,则这三条直线必共面．2. 互不平行的两条直线是异面直线．二、单选题1. 关于异面直线,有下列3个命题：①分别在两个不同平面内的两直线是异面直线②平面内的一直线与平面外的一直线是异面直线③都不在某一平面内的两条直线是异面直线其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．32. 直线a、b是两条异面直线,A、B与C、D分别为直线a、b上不同的点,则直线AC与BD的关系是A．可能相交 B．可能平行 C．异面 D．相交或异面3. 两条异面直线指的是A．在空间不相交的两条直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线4. 下列命题中,真命题的是A．两两相交的三条直线共面 B．两两相交且不共点的四条直线共面C．不共面的四点中可以有三点共线 D．边长相等的四边形一定是菱形5. 空间两条互相平行的直线,指的是A．在空间没有公共点的两条直线B．分别在两个平行平面内的两条直线C．位于同一平面内且没有公共点的两条直线D．分别与第三条直线成等角的两条直线6. 平面M、N相交于EF,分别在平面M、N内作∠EAC=∠FBD,则AC和BD的关系是A．异面 B．平行 C．相交 D．不确定7. 直线a和b是异面直线,直线c∥a,那么b与cA．异面 B．不异面 C．相交 D．异面或相交8. 如果一条直线和两条异面直线都相交,那么它们可确定A．4个平面 B．3个平面C．2个平面 D．1个平面9. 若m和n是异面直线,n和l也是异面直线,则A．当m∩l=φ时,m与l异面 B．m∩l=φC．当m与l共面时,m∥l D．m与l相交、异面、平行都可能10．若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面11．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作A．1条B．2条 C．3条D．4条三、填空题1. “直线a、b异面”的否定说法是“__________”．2. 不平行的两条直线的位置关系是_________．3. “直线a、b相交”的否定说法是“__________________________”．4. 过已知直线外一点,可以作_____条直线与已知直线垂直．5. 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_____________________．6. 已知直线a和b是异面直线,直线c和a平行而不和b相交,则c和b的位置关系是_________．7. 直线a、b确定一个平面,则a、b的位置关系是________________．8. “直线a、b异面”还可以说成“直线a、b既不______,又不______”．9. 空间有三条直线a、b、c,如果b⊥a,c⊥a,那么直线b、c的位置关系是_________________．10. 和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条直线的位置关系是______________．11. 已知直线a 、b 、c 满足a ∥b,b 与c 是异面直线,则a 与c 的位置关系是____________．12. 正方体ABCD ─A1B1C1D1中,与侧面对角线AD1成异面直线的棱共有_____条,它们分别是___________________________．13. 正方体ABCD ─A1B1C1D1中,与棱AB 成异面直线的棱共有_____条,它们分别是____________________．14. 正方体的12条棱中,互为异面直线的有________对.答案一、 判断题1. ×2. ×二、 单选题1. A2. C3. D4. B5. C6. D7. D8. C9. D三、 填空题1. a 、b 共面2. 相交或异面3. a 、b 不相交或a 、b 无公共点4. 无数5. 平行或相交或异面6. 异面7. 相交或平行8. 相交,平行9. 平行或相交或异面 10. 相交或平行或异面 11. 相交或异面12. 6；BC,B1C1,BB1,CC1,DC,A1B1 13. 4；A1D1,B1C1,CC1,DD114. 24空间两条直线的位置关系1. 已知直线b a ,都在平面α外, 则下列推断错误的是A ．αα////,//a b b a ⇒B ．αα//,a b b a ⇒⊥⊥C ．b a b a ////,//⇒ααD ．b a b a //,⇒⊥⊥αα答案C2. 已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于l的直线A．只有一条,不在平面α内B．只有一条,在平面α内C．有两条,不一定都在平面α内D．有无数条,不一定都在平面α内答案B3. 下列命题正确的是A．若两条直线与同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B．若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行答案C4. 下列四个条件中,能确定一个平面的是A. 一条直线和一个点B.空间两条直线C. 空间任意三点D.两条平行直线答案D5. 在平整的地面上任意放一根笔直的钢管,则在地面上必存在直线与钢管所在的直线A.平行B.相交C.异面D.垂直答案D6. 平行于同一平面的两条直线的位置关系A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交或异面答案D7. 下列命题中,错误的是A ．三角形的两条边平行一个平面,则第三边也平行于这个平面．B ．平面 α∥平面β,a ⊂α,过β内的一点B 有惟一的一条直线b ,使b ∥a .C ．α∥β,γ∥δ,α、β、γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ,则a ∥b ∥c ∥d .D ．一条直线与两个平面所成角相等,则这两个平面平行．答案D8. 直线m 不平行于平面α,且m α⊄,则下列结论成立的是A ．α内所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交答案B9. 正三棱锥P-ABC 的高为2,侧棱与底面所成的角为450,则点A 到侧面PBC 的距离是 A.5 B. 22 C.2 D.556 答案D10. 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是A ．23B ．1010C ．53D ．52答案D11. 已知直线,l m ,平面,αβ,且l α⊥,m β⊂,给出下列四个命题：①若α∥β,则l m ⊥；②若l m ⊥,则α∥β；③若αβ⊥,则l ∥m ；④若l ∥m ,则αβ⊥．其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案B12. 设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不重合的平面,给定下列四个命题： ①若m n ⊥,n α⊂,则m α⊥； ②若a α⊥,a β⊂,则αβ⊥；③若m α⊥,n α⊥,则//m n ； ④若m α⊂,n β⊂,//αβ则//m n ．其中真命题的是A ．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 答案B13. 如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,E F ，分别是1AB ,1BC 的中点,则以下结论中不成立．．．的是A ．EF 与1BB 垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面答案D14. 异面直线a 、b,a ⊥b,c 与a 成30°角,则c 与b 成角的范围是ABCF答案A15. 在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,AC 与B 1D 所成的角的大小A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π答案D16. 已知空间直角坐标系中,O 为原点,A 0,0,3,B 0,4,0,C 5,0,0则经过O 、A 、B 、C 四点的球的体积为A ．π50B ．π32125 C ．π321000 D ．π425答案B17. 设m,n 是两条不同直线,βα,是两个不同的平面,给出下列四个命题 ①若n m n m //,//,则αα⊂②βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m ③若,//,//,//n m n m m αβαβ⋂=则且④若βαβα//,,则⊥⊥m m 其中正确的命题是 A.① B.② C.③④ D.②④ 答案D18. 已知直线l 和平面βα,, A ．若l ∥α,βα⊥,则β⊥lB ．若l ∥α,α∥β,则l ∥βC ．若l ∥α,β⊂l ,则α∥βD ．若l ⊥α,β⊂l ,则βα⊥答案D19. 在下列条件下,可判断平面α与平面β平行的是A. α、β都垂直于平面γB. α内不共线的三个点到β的距离相等C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥βD. l,m 是异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β答案D20. 设,m n 是空间两条不同直线,,αβ是空间两个不同平面,当,m n αβ⊂⊂≠≠时,下列命题正确的是 A ．若m n ,则αβ B ．若m n ⊥,则αβ⊥C ．若m β⊥,则m n ⊥D ．若n α⊥,则m β⊥ 答案C21. 已知直线l 、m ,平面βα、,则下列命题中： ①．若βα//,α⊂l ,则β//l ②．若βα⊥,α⊥l ,则β//l③．若α//l ,α⊂m ,则m l // ④．若βα⊥,l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m ,其中真命题有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案B22. 如图1所示,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,G 是EF 的中点,现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使B 、C 、D 三点重合,重合后的点记为H ,如图2所示,那么,在四面体AEFH 中必有 ． A ．AH ⊥△EFH 所在平面 B ．AG ⊥△EFH 所在平面 C ．HF ⊥△AEF 所在平面 D ．HG ⊥△AEF 所在平面 答案A23. 如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使面ABD⊥面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为A．1 B．2 C．3 D．4答案C24. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:①AA1⊥MN ②异面直线AB1,BC1所成的角为60°③四面体B1-D1CA的体积为13④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1,其中正确的结论的个数为A．4 B3 C．2 D．1答案A25. 已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是A．平行 B．垂直 C．斜交 D．不能确定答案B26. 已知两个不重合的平面,αβ,给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②,l m是α内的两条直线,且//,//l mββ；③,l m是两条异面直线,且//,//,//,//l l m mαβαβ；其中可以判定//αβ的是A．① B．②C．①③D．③答案D27. 如图所示,在空间四边形ABCD中,AB＝BC,CD＝DA,E、F、G分别为CD、DA和AC 的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD .答案∵AB ＝BC ,CD ＝AD ,G 是AC 的中点,∴BG ⊥AC ,DG ⊥AC .∴AC ⊥平面BGD .又EF ∥AC ,∴EF ⊥平面BGD .又EF 平面BEF ,∴平面BDG ⊥平面BEF . 28. 已知三条不重合的直线,,m n l ,两个不重合的平面,αβ,有下列命题： ①若//,//l m αβ,且//αβ,则//l m ②若,l m αβ⊥⊥,且//l m ,则//αβ ③若,m n αα⊆⊆,//,//m n ββ,则//αβ ④若,,,m n n m αβαββ⊥=⊆⊥,则n α⊥其中真命题的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案C29. 若M 、N 分别是△ABC 边AB 、AC 的中点,MN 与过直线BC 的平面β的位置关 系是∥β 与β相交或MN ⊂≠βC. MN ∥β或MN ⊂≠βD. MN ∥β或MN 与β相交或MN ⊂≠β答案C30. 空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或3答案C31. 已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,则下列四种说法正确的为A 、若m ∥n,n ⊂α,则m ∥αB 、若m ⊥n,m ⊥α,则n ∥αC 、若m ⊂α,n ⊂β,α∥β,则m,n 为异面直线D 、若α⊥β,m ⊥α,n ⊥β,则m ⊥n答案D32. 直径为32的球的内接正方体的棱长为A．2B．2 C．3D．5答案B33. 在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AC=1,M 为 AB 中点,将△ACM 沿 CM 折起,使A．B 间的距离为2,则 M 到面 ABC 的距离为A．12B3C．1 D．32答案A答案由已知得AB=2,AM=MB=MC=1,BC=3由△AMC为等边三角形,取CM中点,则AD⊥CM,AD交BC于E,则AD=32,DE=36,CE=33.折起后,由BC2=AC2+AB2,知∠BAC=90°,又cos∠ECA=33,∴AE2=CA2+CE2-2CACEcos∠ECA=23,于是AC2=AE2+CE2.∴∠AEC=90°.∵AD2=AE2+ED2,∴AE⊥平面BCM,即AE是三棱锥A-BCM的高,AE=63.设点M 到面ABC 的距离为h,∵S △BC M =,∴由V A-B CM =V M -AB C ,可得1313⨯121×h,∴h=12.故选A ． 34. 设m,n 是异面直线,则1一定存在平面α,使m ⊂α,且n ∥α；2一定存在平面α,使m ⊂α,且n ⊥α；3一定存在平面γ,使得m,n 到平面γ距离相等；4一定存在无数对平面α和β,使m ⊂α,n ⊂β且α⊥β;上述4个命题中正确命题的序号是 A ．123 B ．124 C ．134 D ．14 答案C45. 关于直线,,a b l 以及平面βα,,下面命题中正确的是 A ．若,//,//βαb a 则.//b a B ．若,,//a b a ⊥α则.α⊥bC ．若,//,βαa a ⊥则.βα⊥D ．若βα⊂⊂b a ,,且,//,b l a l ⊥,则.α⊥l 答案C。
必修二数学空间几何相关知识点
必修二数学空间几何相关知识点一、空间直线：1. 定义：空间中的直线是由两个不同点确定的。
2. 直线方程：设直线上一点为P(x1,y1,z1)，直线的方向向量为（a,b,c），则直线的方程为[(x-x1)/a] = [(y-y1)/b] = [(z-z1)/c] （向量形式）或者按分量形式表示：x - x1 / a = y - y1 / b = z - z1 / c （分量形式）二、空间平面：1. 定义：空间中的平面是由三个不共线的点确定的。
2. 平面方程：设平面上一点为P（x1，y1，z1），平面的法向量为（a，b，c），则平面的方程为a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0三、空间几何中的位置关系：1. 平行关系：两条直线或者两个平面的方向向量相等或者成比例，则它们互相平行。
2. 垂直关系：两条直线的方向向量相互垂直，或者一条直线的方向向量垂直于平面的法向量，则它们相互垂直。
3. 位置关系：两个平面相交于一条直线，或者一条直线和一个平面相交于一点。
4. 距离：点到直线的距离为线段所在直线的长度；点到平面的距离为垂直于平面的线段的长度。
四、空间直线与平面的位置关系：1. 直线与平面的关系有三种可能：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
2. 直线在平面内的条件：直线上任意一点的坐标满足平面的方程。
3. 直线与平面相交的条件：直线与平面有公共点，且直线的方向向量不平行于平面的法向量。
4. 直线与平面平行的条件：直线的方向向量平行于平面的法向量。
以上是必修二数学空间几何相关的基础知识点，还有更多的内容可以进一步学习和了解。
高一数学必修二第二章“点、直线、平面之间的位置关系”知识点总结
数学必修2第二章"点、直线、平面之间的位置关系”知识点1、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.2、平面的基本性质：公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.,,,l l l αααA∈B∈A∈B∈⇒⊂《公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.,,,,,C C ααααA B ⇒A∈B∈∈三点不共线有且只有一个平面使公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.l l αβαβP∈⇒=P∈且推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.—//,////a b b c a c ⇒3、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.数学符号表示：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒&直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒5、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.数学符号表示：,,,//,////a b a b a b ββαααβ⊂⊂=P ⇒（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.符号表示：,//a a αβαβ⊥⊥⇒（3）：（4）平行于同一个平面的两个平面平行.符号表示：//,////αγβγαβ⇒ 面面平行的性质定理：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. //,//a a αβαβ⊂⇒（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.//,,//a b a b αβαγβγ==⇒【 6、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：,,,,m n m n l m l n l ααα⊂⊂=A ⊥⊥⇒⊥（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.//,a b a b αα⊥⇒⊥（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.//,a a αβαβ⊥⇒⊥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.} ,//a b a b αα⊥⊥⇒7、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.,a a βααβ⊥⊂⇒⊥8、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.数学符号表示：,,,b a a b a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥，。
高一数学必修2第二单元知识点：空间点、直线、平面之间的位置关系
高一数学必修2第二单元知识点：空间点、直线、
平面之间的位置关系
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
为大家推荐了高一数学必修2第二单元知识点，请大家仔细阅读，希望你喜欢。
知识点1、平面的表示与画法
知识点2、平面划分空间问题
平面像初中所学的直线一样具有无限延展性，它无大小，无厚薄，不可度量
知识点3、平面的基本性质的作用
公理1反映了平面的本质属性，通过直线的直和无限延伸的特性，揭示了平面的平和无限延展的特征.其作用是：①检验平面是否经过直线;②判定直线是否在平面内.
公理2的作用：确定平面的依据，即证明两平面重合的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.公理2中的有且只有一个包含两层含义：①有说明平面的存在性;②只有一个说明平面的惟一性.有且只有一个和只有一个不是同义词，和确定是同义词.因此，公理2又可叙述为不共线的三点确定一个平面.
公理3进一步反映了平面的无限延展性，其作用：①判定两个平面相交;②作两平面的交线;③证明点在直线(交线)上
或多点共线.已知两个平面有一个公共点时，我们就可确定
这两个平面相交，而且这个点在这两个平面的交线上;当已知两个平面有两个公共点时，我们可确定这两个平面相交，又能确定这两点的连线就是这两个平面的交线;很明显，两个相交平面将空间分成4部分.
小编为大家提供的高一数学必修2第二单元知识点，大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。
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高一数学必修二知识点总结：空间两直线的位置关系
空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面
1、按是否共面可分为两类：
(1)共面：平行、相交
(2)异面：
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法
两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法
2、若从有无公共点的角度看可分为两类：
(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面
直线和平面的位置关系：
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线和平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
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