知识总结圆锥曲线之动弦过定点的问题

题型三：动弦过定点的问题

圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。

例题4、已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为2，且在x 轴上的顶点分别为

A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；

（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A 1、A 2的坐标都知道，可以设直线PA 1、PA 2的方程，直线PA 1和椭圆交点是A 1(-2,0)和M ，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。动点P 在直线:(2)l x t t =>上，相当于知道了点P 的横坐标了，由直线PA 1、PA 2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M 、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。

解：（I ）由已知椭圆C 的离心率2

c e a =

=，2a =,则得1c b ==。 从而椭圆的方程为2

214

x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，

由122

(2)44

y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-= 12x -和是方程的两个根，

2112

1

164

214k x k -∴-=+ 则2

112

12814k x k -=+，1121

414k y k =+， 即点M 的坐标为211

22

11284(,)1414k k k k -++，

同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐

标为222

22

22

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-

12122

k k k k t

-∴

=-+，

直线MN 的方程为：

121

121

y y y y x x x x --=--， ∴令y=0，得211212x y x y x y y -=

-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4

x t

=

又

2t >，∴402t

<

< 椭圆的焦点为(3,0)

4

3t

∴=，即433t = 故当43

3

t =

时，MN 过椭圆的焦点。 方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程222

121(14)161640k x k x k +++-=的一个

根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M 的横坐标：2112

1

2814k x k -=+， 再利用直线A 1M 的方程通过同点的坐标变换，得点M 的纵坐标：1

12

1

414k y k =

+； 其实由222

(2)44

y k x x y =-⎧⎨

+=⎩消y 整理得222

222(14)161640k x k x k +-+-=，得到

22222164214k x k -=+，即2

222

2

8214k x k -=+，2222414k y k -=+很快。 不过如果看到：将2112

1

164

214k x k --=+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，就得点N 的坐标222

22

22

824(,)1414k k k k --++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。

本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到

12122

k k k k t

-=-+，由直线

MN 的方程

121

121

y y y y x x x x --=--得直线与x 轴的交点，即横截距2112

12

x y x y x y y -=

-，将点M 、N 的坐标代入，化

简易得4x t =

，由4

3t

=解出433t =，到此不要忘了考察433t =是否满足2t >。

另外：也可以直接设P(t ，y 0)，通过A 1，A 2的坐标写出直线PA 1，PA 2的直线方程，再分别

和椭圆联立，通过韦达定理求出M 、N 的坐标，再写出直线MN 的方程。再过点F ，求出t 值。

例题5、（07山东理）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点，并且椭圆的右顶点和A 、B 的连线互相垂直，证明直线l 过定点，就是通过垂直建立k 、m 的一次函数关系。

解（I ）由题意设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>

3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===