求复合函数的单调区间
复合函数的单调性
区间
例题讲解
例4、已知函数y=loga(x2-4ax+2)在区间(1，4)上 是减函数，求实数a的取值范围
1 答案： 0 a 或a 2 2
教辅P84 课后评价 13
练习
1、下列函数在(0,+∞)上是增函数的是 （ D）
注意：复合函数y=f [g(x)]的单调区间必然是 其定义域的子集
例题讲解Байду номын сангаас
2 f ( x ) log ( 2 x x 6) 的单调区间 例3、求函数 2
1 答案： 单调减区间： , 2 4
2 2
3 1 , 单调增区间： 2 4
求函数 f ( x) log 1 (2 x x 6)的单调区间
1 x
A. y 5
1 B.y 3
x
1 x 1
C. y log 1 (2 1)
2
1 D. y 2
x 1 x
x y log (2 4)的递减区间是____________ 2、函数 1 2
小结：
1、在求函数的值域、最值、单调区间、奇偶性 时，首先必须考察函数的定义域. 2、掌握求解复合函数单调区间的一般步骤: (1)求复合函数的定义域 (2)求u=g(x)的单调区间，判断y=f (u)的单调性 (3)利用“同增异减”下结论
新课讲解
2、复合函数的单调性的规律
y=f (u) u=g(x) y=f [g(x)]
增 增 增 减 减 增 减
减 减 增
结论：同增异减
例题讲解
例2、求函数 f ( x) x x 6 的单调区间
复合函数单调区间
复合函数单调区间
复合函数的单调性可以通过分析各个函数的单调性来得到。
如果函数f(x) 和g(x) 都是在某个区间上单调递增或单调递减的，则复合函数 h(x) = f(g(x)) 在该区间上也是单调递增或单调递减的。
具体来说，设函数 f(x) 在区间 I 上是单调递增或单调递减的，
函数 g(x) 在区间 J 上是单调递增或单调递减的。
如果区间 J 的值域是区间 I 的子集，则复合函数 h(x) = f(g(x)) 在区间 J 上也
是单调递增或单调递减的。
举个例子，假设函数 f(x) = x^2，在区间I = [0, ∞) 上是单调递
增的；函数 g(x) = x+1，在区间 J = (-∞, ∞) 上是单调递增的。
由于区间 J 的值域 (-∞, ∞) 包含了区间 I，所以复合函数 h(x) =
f(g(x)) = (x+1)^2 在整个区间 J 上都是单调递增的。
需要注意的是，这里的结果只适用于两个函数的单调性相互影响的情况。
如果函数 f(x) 和 g(x) 的单调性没有明显的关系，
那么复合函数的单调性也很难确定。
在这种情况下，可以考虑绘制函数图像或利用导数分析来判断复合函数的单调性。
复合函数的相关方法
序轴法——复合函数单调区间的一种简捷求法复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。
而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。
本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的 定理（判定定理）：若)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 都是单调函数，则n 次复合函数][}{)(121x y F F F n += 在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是),(1x y F=),(21x Fu =)(,1x F u n n += 中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 中减函数的个数为奇数。
[]1下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。
例1． 已知x x x f 228)(-+=，若)2()(2x f x g -=，求函数)(x g 的单调区间。
（89年高考理科（11）改编--原题为选择题）解：令t=2x 2-,则82)(2++-=t t f t ，故)(x g 是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R 。
当,1<t 即1122-<⇔<-x x 或1>x 时，)(t f ； 当,1≥t 即11221≤≤-⇔-≥x x 时， )(t f ； 当0<x 时，)(x t ；当0≥x 时，)(x t 。
将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。
如（图1）)(x t ： )(t f ：)(x g ： -1 0 1 x（图1）由图1可知，)(x g 的递增区间为](1,-∞-，[0，1]；递减区间为（-1，0），（1，+)∞。
复合函数的相关方法
序轴法——复合函数单调区间的一种简捷求法复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。
而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。
本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的定理（判定定理）：若)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 都是单调函数，则n 次复合函数][}{)(121x y F F F n += 在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是),(1x y F =),(21x F u =)(,1x F u n n += 中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 中减函数的个数为奇数。
[]1下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。
例1． 已知x x x f 228)(-+=，若)2()(2x f x g -=，求函数)(x g 的单调区间。
（89年高考理科（11）改编--原题为选择题）解：令t=2x 2-,则82)(2++-=t t f t ，故)(x g 是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R 。
当,1<t 即1122-<⇔<-x x 或1>x 时，)(t f ；当,1≥t 即11221≤≤-⇔-≥x x 时， )(t f ； 当0<x 时，)(x t ；当0≥x 时，)(x t 。
将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。
如（图1）)(x t ：)(t f ：)(x g ：x（图1）由图1可知，)(x g 的递增区间为](1,-∞-，[0，1]；递减区间为（-1，0），（1，+)∞。
补充：复合函数的单调性
拓展训练
题型2.解不等式
例3：已知：f(x)是定 解：依题意，f ( x 1) f (x2 1)
义在[－1,1]上的增函数，可转化为不等式组
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x 1 1 易错点
求x的取值范围。
1 x2 1 1
注： 在利用函数的
单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。
这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景法
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松；
y
y x
O
x
y x在定义域 0, 上是增函数。
本节新知识
1.在某个区间上，若f(x),g(x)同为增函数， 则f(x)+g(x)也为增函数；
2.在某个区间上，若f(x),g(x)同为减函数， 则f(x)+g(x)也为增函数；
3.在某个区间上，若f(x)为增函数，g(x)为减函 数，则f(x)-g(x)也为增函数；
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一 些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻；
TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正 常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故事法
例2.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。 解：x2 4x 3 0，即x2 4x 3 0，
复合函数的单调性
复合函数类型一：指数式讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性.解：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．举一反三：1.求函数2323x x y -+-=的单调区间. 【解析】设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.2.求函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间. 【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x xf x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数；当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.类型二：对数式1.求函数y=log 0.5(x 2+4x+3)的单调区间.解析：令y= log 0.5u ，u= x 2+4x+3，由x 2+4x+3>0知函数的定义域为),1()3,(∞+-⋃--∞∈x ，因y= log 0.5u 在u ∈(0,+∞)上是减函数，而u= x 2+4x+4在x ∈(-∞，-3)上是减函数，在(-1，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=log 0.5(x 2+4x+4) 在x ∈(-∞，-3)上是增函数；在x ∈(-1，+ ∞)上是减函数.举一反三：【变式1】函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，13 D.(3，＋∞)解析：由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1，又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3. 【变式2】求函数()22log 4y x =+的单调区间．【解析】设24t x =+，则244t x =+≥，∵ y=2log t 为增函数，2222log log (4)log 42t x ∴=+≥=()22log 4y x ∴=+的值域为[)2,+∞．再由：22log (4)y x =+的定义域为R24t x ∴=+在()0,+∞上是递增而在(),0-∞上递减，而2log y t =为增函数∴ 函数y=22log (4)x +的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.。
复合函数单调区间的求法
复合函数单调区间的求法汪 卫 国（孝昌二中，湖北 432900）函数的单调性是函数的最重要性质之一，它有很广泛的应用，在整个高中数学中占有重要的地位，每年全国各地的高考试题几乎都会涉及到函数的单调性，而且多数情况下都是考察难易程度不同的复合函数的单调性，因此，掌握复合函数单调区间的求法就显得尤为重要。
本文先通过介绍求解复合函数单调区间的一般步骤，再结合一些相应的例题，以帮助同学们切实掌握复合函数单调区间的求法。
定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。
求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：（1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =；（2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等；（3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M； （4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数)]([x g f y =的一个单调区间；若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间；（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性；（6） 令内层函数B x g u ∈=)(，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。
若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。
例1 求函数2)21(-=x y 的单调区间 解 原函数是由外层函数u y =和内层函数2)21(-=x u 复合而成的；易知)0[∞+，是外层函数u y =的单调增区间； 令02)21(≥-=x u ，解得x 的取值范围为]1,(--∞； 由于]1,(--∞是内层函数2)21(-=x u 的一个单调减区间，于是]1,(--∞便是原函数的一个单调区间；根据复合函数“同增异减”的复合原则知，]1,(--∞是原函数的单调减区间。
复合函数单调性的判断方法
【解】 （1）定义域： 0，
（4）外函数 y 2u 2 2u 1在
（2）此函数是由下列函数复合所得
y 2u 2 2u 1，（ u x） log 1 x
2
（3）内函数 （ u x） log 1 x 在
2
1 1 u ， 单调递减， u ， 单调递增 2 2 2 1 ， （5）原函数在 u ， x 2 2
增减相异复合减
贰
判断
HI
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
【解】 （1）定义域： ， 1 3，
（2）还原复合函数的复合过程：
x 2， 单调递增
（4） y log 1 u 在 u 0, 上单调递减
2
此函数是由下列函数复合所得
y log 1 u，（ u x） x 4x 3
2 2
（5） y log 1 x 2 4 x 3 在
2
u x） x 4x 3 在 （3）内函数 （
2
1 单调递增， 3， 单调递减 ，
复合函数 单调性的判断方法
复合函数单调性的判断方法
1
1
2
定义
2
判断
一
定义
HI
设 y f (u ) 定义域为Ａ， u g ( x) 的值域为Ｂ 若B A 则 y 关于 x 的函数 y f [ g ( x)] 叫做 函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间变量
复合函数求单调区间
复合函数求单调区间定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。
求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：（1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =；（2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等；（3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M ；（4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数)]([x g f y =的一个单调区间；若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间；（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性；（勿忘定义域）（6） 令内层函数B x g u ∈=)(，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。
若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。
例题：求函数2)21(-=x y 的单调区间 解 原函数是由外层函数u y =和内层函数2)21(-=x u 复合而成的；易知)0[∞+，是外层函数u y =的单调增区间； 令02)21(≥-=xu ，解得x 的取值范围为]1,(--∞； 由于]1,(--∞是内层函数2)21(-=xu 的一个单调减区间，于是]1,(--∞便是原函数的一个单调区间；根据复合函数“同增异减”的复合原则知，]1,(--∞是原函数的单调减区间。
例2 求函数)23(log 221x x y --=的单调区间. 解 原函数是由外层函数u y 21log =和内层函数223x x u --=复合而成的； 易知),0(+∞是外层函数u y 21log =的单调减区间； 令0232>--=x x u ，解得x 的取值范围为)1,3(-；结合二次函数的图象可知)1,3(-不是内层函数223x x u --=的一个单调区间，但可以把区间)1,3(-划分成内层函数的两个单调子区间]1,3(--和)1,1[-，其中]1,3(--是其单调增区间，)1,1[-是其单调减区间；于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，]1,3(--是原函数的单调减区间，)1,1[-是原函数的单调增区间。
复合函数单调性
复习：
减函数：若对于定义域内某个区间上的任意两个自变量
的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（ x1 ）>f （ x2 ），则就说f（x）在这个区间上是减函 数。
单调性与单调区间：
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或者减函数， 则说函数y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性， 这一个区间叫做函数y=f(x)的单调区间
规律如下：
y=f(u) 增↑ u=g(x) 增↑ 减↓ y=f[g(x)] 增↑ 减 ↓
减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区 间必须是其定义域的子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单 调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的 单调性确定的且规律是“同增， 异减”
复习：
判断函数在某个区间上的单调性的 步骤：
1、任取区间上的两个自变量x1，x2，
且x1<x2； 2、计算f(x1)-f(x2)至最简； 3、判断f(x1)-f(x2)的符号； 4、下结论：若差<0，则为增函数， 若差>0，则为减函数。
复合函数的单调性：
已知函数y=f(u)和u=g(x)，u=g(x)在区间 （a，b）上具有单调性，当x∈（a，b）时 u ∈（m，n）且 y=f(u) 在（m，n） 上也 具有单调性，则复合函数y=f[g(x)]在区间 （a，b）上具有单调性，
例1: 已知函数f(x)在R上是增函数， g(x)在[a,b]上是减函数， 求证：f[g(x)]在[a,b]上是减函数.
证明：设x1,x2∈[a,b],且x1<x2，
∵g(x)在[a,b]上单调递减， ∴g(x1) >g(x2), 又f(x)在R上递增， 而g(x1)∈R，g(x2)∈R， ∴f[g(x1)]>f[g(x2)], ∴f[g(x)]在[a,b]上是减函数.
求解复合函数单调性
求解复合函数单调性【引理证明】已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. 【方法技巧】1．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 2．复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。
【例题演练】例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。
求复合函数的单调区间
定理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x) 在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c，d)， 又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数， 那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间 (a,b)上是增函数.
证明： 设a x1 x2 b
u g ( x)在(a, b)上是增函数
练习1：求 y x 2 4 x 5函数的单调区间。
解： x 4x 5 0
2
,1 5,。 函数的定义域为
令u x 4x 5, 则y u ,
2
又u x 2 1在5,上是增函数，
2
y u在定义域内是增函数。
2 2
3. y x 2 x 3
2
1 4. y x 1 5. y 1 3 2x x
2
2
y x 2 4 x 3在 2,3 上是减函数。
故函数y x 2 4 x 3的单调递减区间为 2,3。
(问：函数 y x 2 4 x 3的单调递增区间是什么 ？）
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。
五.练习：
练习1：求 y x 2 4 x 5函数的单调区间。
内层函数 u=g(x) 外层函数 Y=f(u) 复合函数 Y=f[g(x)]
注:复合函数单调性:(内 外层函数单调性)同增异 减.
求复合函数的单调区间 (1)求定义域 (2)求内层函数的单调区间 (3)说出外层函数的单调性 (4)写出复合函数的单调区间 (1
c g ( x1 ) g ( x 2 ) b
又y f (u)在(c, d )上为增函数
即c u1 u2 d
即f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] y f [ g ( x)]在(a, b)上为增函数
复合函数的单调性及简单的恒成立问题
u=g(x)
y=单调递减） ↓
↑ ↓ ↓ ↑
↑ ↓ ↑ ↓
1 2 x 2 x 3的单调区间. 例1：求函数y 2
y 1 2 x 2 x 3 的定义域为 (,3] [1,). 2 1 u , u x 2 2 x 3, 设 y 2
变式：已知函数 f ( x) 8 2x x , g ( x) f (2 x ), 试求 g ( x) 的单调区间.
2 2
↓
恒成立问题：
例2：已知x ax 2 0 在 x [2,3] 恒 成立，求实数a的取值范围。
2
变式1：已知x ax 2 0 在 a [2,3] 恒 成立，求实数x的取值范围。
拓展题： 已知f ( x)是定义在区间 [-1,1]上的函数，且f (1) 1, 若 f ( m) f ( n ) m、n [1,1], m n 0时，有 0, 对任意 mn x [1,1], f ( x) f ( x)都成立. 1 （ 1）解不等式f ( x ) f (1 x); 2 2 （2）若f ( x) t 2ax 1对所有x [1,1]恒成立，求实 数t的取值范围 .
复合函数的单调性及简单的 恒成立问题
复合函数的单调性判断：
1.求复合函数y=f[g(x)]单调区间的步骤（定义域优先原则）： （1）确定定义域（公共定义域）； （2）将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x)； （3）分别确定这两个函数的单调区间； （4）若这两个函数同增或同减，则y=f[g(x)]为增函数，若 这两个函数一增一减，则y=f[g(x)]为减函数。 2.复合函数单调性的判断方法可以从下表中得到（同增异减）：
当 x 1 时，u是x的增函数，y是u的减函数， 故y是x的减函数。
复合函数求单调区间的数形结合方法
复合函数求单调区间的数形结合方法作者：冯艳超来源：《课程教育研究》2017年第28期【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）28-0133-01对于复合函数求单调区间的问题常用解决方法有两种：第一种方法可以用导数方法来求；但是解不等式有的时候难度很大；第二种方法可以用数形结合的方法来求。
这种求复合函数单调区间的方法直观、简便、易懂、便于学生掌握，是值得一试的好方法。
现将这种方法解析如下：比如，求函数y=log■（x2-4x-5）的单调区间。
解：要先分内外层：内层函数为：t=x2-4x-5；外层函数为：y=log■t，画出内层函数t=x2-4x-5的图像；由内层图像可直接观察得到内层函数的定义域和单调区间，外层函数y=log■t当t∈（0，∞）是减函数，用方向箭头代表单调性标在内层图像上；在x轴上方图像对应外层函数为减函数，x轴下方图像无对应的外层单调性即复合函数在这部分范围无意义，只观察内层和外层单调性都同时存在的部分即可；x∈（-∞，-1）内层函数是减函数，外层函数是减函数，所以根据同增异减的原则复合函数在x∈（-∞，-1）是增函数；同理在x∈（5，+∞）内层函数是增函数而对应外层函数是减函数，根据同增异减的原则复合函数在是x∈（5，+∞）减函数。
即：复合函数在区间（-∞，-1）是增函数，在区间（5，+∞）减函数。
现将此方法总结一下：复合函数求单调区间，首先要把复合函数分为内层函数和外层函数；其次画内层函数图像，这是因为自变量范围和单调区间能直接可观察；第三步求出外层函数的单调区间标画在内层函数的图像上；第四步根据内外层函数的同增异减原则直接得出复合函数的单调区间。
再比如，求y=（sinx）2-sinx+1的单调区间。
解：内层函数： t=sinx外层函数：y=t2-t+1在t≥■范围上是增函数，在t≤■范围上是减函数。
周期函数画一个周期的图像即可，由图可知直线t=■上方的内层函数图像对应外层函数单调性是增函数；t=■下方的内层函数图象对应外层函数单调性是减函数；要先求出t=■与内层函数的交点的横坐标，因为交点把内层函数分成四段对应不同的外层单调性，在区间-■，■内层函数是增函数对应外层函数是减函数，所以在这个区间复合函数是减函数；在区间■，■内内层函数是增函数对应外层函数是增函数，所以在这个区间复合函数是增函数；其他同理可得；因为内层函数是周期函数，所以写复合函数的单调区间加上周期即可，所以复合函数单调区间即：2k？仔-■，2k？仔+■（k∈z）和2k？仔+■，2k？仔+■（k∈z）是增函数；2k？仔+■，2k？仔+■（k∈z）和2k？仔+■，2k？仔+■（k∈z）是减函数。
复合函数单调性、函数奇偶性
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k (k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
复合函数的单调性
复合函数的单调性
例1.（1）判断y=单调性。
解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R 设u=,y= (将原函数分解为内函数和外函数) 由u==知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， y=为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞）
（2）判断32x y -=单调性
小结：求指数型复合函数单调性步骤：
第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x 的限制，然后解不等式，求交集。
第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，
第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间
第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。
练习1.
（1）函数y=的单调递增区间为（ ）
A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞)（2 ) 函数y=2(x 3)2+的单调递增区间为____________________
（3）求函数y=232x
x a -++的单调区间
例2.求y=的单调区间
2412x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +12u ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +2
(x 2)4+-12u
⎛⎫ ⎪⎝⎭
2112x -⎛⎫ ⎪⎝
⎭
练习2.
求12y ⎛=
⎪⎝⎭
例3.求函数y=的单调区间与值域
练习3.求函数y=的单调区间与值域
21223x x +-+x 11242x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
有关复合函数单调性的定义和解题方法
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k (k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
高三数学有关复合函数单调性的定义和解题方法
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
复合函数单调区间的求法
复合函数单调区间的求法浙江省诸暨市学勉中学（311811） 郭天平一、复合函数单调性的判断：设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则()[]x g f y =在],[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则()[]x g f y =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则()[]x g f y =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时,则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时,则复合函数为减函数。
简而言之“同为增，异为减”。
二、复合函数单调区间的求解步骤: ①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本函数；③分别判定常见的基本函数在定义域范围内的单调性；④由复合函数的增减性判断方法，写出复合函数的单调区间.例1．求函数21x y =的单调区间 解：由02≠x ，得0<x 或0>x令2x t =（0>t ），则t y 1= ty 1=在),0(+∞上为减函数而2x t =在)0,(-∞上为减函数，在),0(+∞上是增函数；由“同增异减”可得，函数21xy =在)0,(-∞上为增函数，在),0(+∞上为减函数。
例2 求函数342+-=x x y 的单调区间. 解：由x x x x 243013-+≥⇒≤≥或 ∴函数的定义域是(][)-∞+∞，，13 .令u x x =-+243 ,则21u y = y u =12在[)+∞,0是增函数，而u 在(]1,∞-上是减函数，在[)+∞,3上是增函数；由“同增异减”得，函数的增区间是[)3，+∞， 函数的减区间是(]1,∞-.例3 已知228)(x x x f -+=，试确定)2(2x f y -=的单调区间.解：令22x t -=，则()()912822+--=-+==t t t t f y ，得()t f 在(]1,∞-上为增函数，在[)+∞,1上为减函数；由122≤-=x t ，解得1-≤x 或1≥x ，由122≥-=x t ，解得11≤≤-x ；而函数t 在(]1,-∞-和[]0,1-上是增函数，在[]1,0和[)+∞,1上是减函数；由复合函数求单调区间的方法得，)(x g 的单调递增区间为(]1,-∞-和[]1,0，)(x g 的单调递减区间为[)+∞,1和[]0,1-.例 4 若函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，试判断()22x x f y -=的单调区间。
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c g ( x1 ) g ( x 2 ) b
又y f (u)在(c, d )上为增函数
即c u1 u2 d
即f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] y f [ g ( x)]在(a, b)上为增函数
f (u1 ) f (u2 )
例1: 已知函数f (x)在R上是增函数，g(x)在[a,b]上是减 函数，求证：f [g(x)]在[a,b]上是减函数.
0 0.4 1
f ( x) log
0.4
y log 0.4 t是减区间。
x
2
4 x 3的单调递增区间为 2,3 ,
单调递减区间为1, 2 。
拓展1：判断函数f ( x) log
2
拓展2：判断函数f ( x) log
a
x
x 2 4 x 3 的单调性。
y u是定义域内是的单调递增函数。
又u x 2 1在 2,3 上是减函数。
2
y x 2 4 x 3在 2,3 上是减函数。
故函数y x 2 4 x 3的单调递减区间为 2,3。
问 你 求 函 ： 能 出 数
y x 2 4 x 3的 调 增 吗 单 递 区 ？
函数，记为y=f(u),u 又是x 的函数，记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的 定义域的交集不空，则确定了一个y关于x 的函y=f[g(x)],这时y叫x的复合函数，其中 u叫中间变量，y=f(u)叫外层函数，u=g(x) 叫内层函数。x
u
y
y ax2 bx c(a 0)
O
x
b 2a
x
y ax2 bx c(a 0)
图象的函数解析式是：y ax 2 bx c(a 0)。此函数是二次函数。 b b 当a 0时，函数在 , 上是减函数，在 , 上是增函数； 2a 2a b b 当a 0时，函数在 , 上是增函数，在 , 上是减函数。 2a 2a
增 增 增 减 减 增 减
减 减 增
定理 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x) 在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c，d)， 又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数， 那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间 (a,b)上是增函数.
证明： 设a x1 x2 b
u g ( x)在(a, b)上是增函数
1 x2 2 x 例2、求函数 f ( x) ( ) 的单调增区间 3
解 函 f ( x)的 义 为 R ： 数 定 域
1 u 令u x 2 x 则y ( ) 3 1 u 又 为 y( ) 是 调 减 数 因 单 递 函 3
2
2
你能归纳一下 复合函数单调 区间的求解步 骤吗？
证明：设x1,x2∈[a,b],且x1<x2
∵g(x)在[a,b]上单调递减 ∴g(x1) >g(x2) ∵ f (x)在R上递增 又∵ g(x1)∈R，g(x2)∈R ∴f [g(x1)]>f [g(x2)], ∴f[g(x)]在[a,b]上是减函数
复合函数单调区间的求解
例 .求 数 y x 2 4 x 3的 调 区 1 函 单 减 间
解： x 2 4 x 3 0，即x 2 4 x 3 0， 1 x 3， 函 的 义 为 [1,3] 即 数 定 域
令u x 2 4 x 3，故y u，
y log 2 t在定义域内是增函数，
1 13 1 又t x 在 3, 上是增函数。 2 2 2
2
1 函数y log 2 6 x x 2 的单调递增区间为 3， 。 2
例5.已知函数y log 1 x 2 ax a 在 ,1 3 上是增函数，
例4.求f ( x) log
0.4
x 2 4 x 3的单调区间。
解： x2 4 x 3 0
1 x 3, 即定义域为1,3
令u x 2 4 x 3 x 2 1,
2
故单调递增区间为1,2 ， 单调递减区间为 2,3
二.常用函数的单调性
y k x b(k 0)
y
y kx b(k 0)
O
x
图象的函数解析式是 : y kx b(k 0)， 此函数是一次函数， 当k 0时，此函数为增函数，函数的单调递增区间为 , ， 当k 0时，此函数为减函数，函数的单调递减区间为 , 。
2
求a实数的取值范围。
解：令u x 2 ax a, 则y log 1 u
0 1 1, y log 1 u在定义域内是减函数，根据复合函数的单调 2 2
2
2
性可知：y log 1 x 2 ax a 是增函数时，u x 2 ax a应是其定 义域内某区间上的减函数，则
一.函数单调性的定义：
1增函数：
一般地，设函数f ( x)的定义域为I：
如果对于属于定义 区间上增函数
I内某个区间上的任意两
个自变量
的值 x1 , x2 , 当x1 x2时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说在这个
2减函数：
如果对于属定义域 这个区间是减函数 I内某个区间的任意个自 变量 的值 x1 , x2 , 当x1 x2时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说在
(1)求定义域 又u x 2 x在(,1]上 单 递 函 是 (2)求内层函数的单调区间 调 减 数 (3)说出外层函数的单调性 1 x 2 2 x 所 函 y( ) 以 数 在(,1]上 增 数 为 (4)写出复合函数的单调区间 函 3
问：你能求出求函数
1 x 2 2 x y ( ) 的单调递减区间吗？ 3
2
4 x 3 的单调性。
练 3： 函 y log 2 6 x x 2 的 调 增 间 习 求 数 单 递 区 。
解： 6 x x 2 0
即x 2 x 6 0
3 x 2，即函数的定义域为 3,2
令t 6 x x 2 , 则y log 2 t
y
k (k 0) x
y
y
k k 0 x
O
x
k 图象的函数解析式是：y k 0 。此函数是反比例函数。 x 当k 0时，函数在 ,0 上是减函数，在0, 上也是减函数；
当k 0时，函数在 ,0 上是增函数，在0, 上也是增函数。
y
1 3 2 a 1 3 a 0 1 a 1 3 2
解之得： 2 3 a 2。 2
a的取值范围为 a | 2 2 3 a 2 。
规律总结
y=f (u) u=g(x) y=f [g(x)]
注:
复合函数单调性:(内外层函数单调性)同 增异减.