求复合函数的单调区间

1 3 2 a 1 3 a 0 1 a 1 3 2



解之得： 2 3 a 2。 2
a的取值范围为 a | 2 2 3 a 2 。


规律总结
y=f (u) u=g(x) y=f [g(x)]
注:
复合函数单调性:(内外层函数单调性)同 增异减.
c g ( x1 ) g ( x 2 ) b
又y f (u)在(c, d )上为增函数
即c u1 u2 d
即f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] y f [ g ( x)]在(a, b)上为增函数
f (u1 ) f (u2 )
例1: 已知函数f (x)在R上是增函数，g(x)在[a,b]上是减 函数，求证：f [g(x)]在[a,b]上是减函数.
一.函数单调性的定义：
1增函数：
一般地，设函数f ( x)的定义域为I：
如果对于属于定义 区间上增函数
I内某个区间上的任意两
个自变量
的值 x1 , x2 , 当x1 x2时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说在这个
2减函数：
如果对于属定义域 这个区间是减函数 I内某个区间的任意个自 变量 的值 x1 , x2 , 当x1 x2时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说在
例4.求f ( x) log
0.4
x 2 4 x 3的单调区间。
解： x2 4 x 3 0
1 x 3, 即定义域为1,3
令u x 2 4 x 3 x 2 1,
2
故单调递增区间为1,2 ， 单调递减区间为 2,3
二.常用函数的单调性
y k x b(k 0)
y
y kx b(k 0)
O
x
图象的函数解析式是 : y kx b(k 0)， 此函数是一次函数， 当k 0时，此函数为增函数，函数的单调递增区间为 , ， 当k 0时，此函数为减函数，函数的单调递减区间为 , 。
复合函数单调区间的求解
例 .求 数 y x 2 4 x 3的 调 区 1 函 单 减 间
解： x 2 4 x 3 0，即x 2 4 x 3 0， 1 x 3， 函 的 义 为 [1,3] 即 数 定 域
令u x 2 4 x 3，故y u，
证明：设x1,x2∈[a,b],且x1<x2
∵g(x)在[a,b]上单调递减 ∴g(x1) >g(x2) ∵ f (x)在R上递增 又∵ g(x1)∈R，g(x2)∈R ∴f [g(x1)]>f [g(x2)], ∴f[g(x)]在[a,b]上是减函数
0 0.4 1
f ( x) log
0.4
y log 0.4 t是减区间。
x
2
4 x 3的单调递增区间为 2,3 ,
单调递减区间为1, 2 。
拓展1：判断函数f ( x) log
2
拓展2：判断函数f ( x) log
a
x
x 2 4 x 3 的单调性。
y
k (k 0) x
y
y
k k 0 x
O
xLeabharlann Baidu
k 图象的函数解析式是：y k 0 。此函数是反比例函数。 x 当k 0时，函数在 ,0 上是减函数，在0, 上也是减函数；
当k 0时，函数在 ,0 上是增函数，在0, 上也是增函数。
y
2


求a实数的取值范围。
解：令u x 2 ax a, 则y log 1 u
0 1 1, y log 1 u在定义域内是减函数，根据复合函数的单调 2 2
2
2
性可知：y log 1 x 2 ax a 是增函数时，u x 2 ax a应是其定 义域内某区间上的减函数，则
y ax2 bx c(a 0)
O
x
b 2a
x
y ax2 bx c(a 0)
图象的函数解析式是：y ax 2 bx c(a 0)。此函数是二次函数。 b b 当a 0时，函数在 , 上是减函数，在 , 上是增函数； 2a 2a b b 当a 0时，函数在 , 上是增函数，在 , 上是减函数。 2a 2a
复合函数单调区间的求解
1、定义：
如果y是u的函数，记为y=f(u),u 又是x 的函数，记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的 定义域的交集不空，则确定了一个y关于x 的函y=f[g(x)],这时y叫x的复合函数，其中 u叫中间变量，y=f(u)叫外层函数，u=g(x) 叫内层函数。x
u
y
增 增 增 减 减 增 减
减 减 增
定理 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x) 在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c，d)， 又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数， 那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间 (a,b)上是增函数.
证明： 设a x1 x2 b
u g ( x)在(a, b)上是增函数
2
4 x 3 的单调性。
练 3： 函 y log 2 6 x x 2 的 调 增 间 习 求 数 单 递 区 。
解： 6 x x 2 0
即x 2 x 6 0


3 x 2，即函数的定义域为 3,2
令t 6 x x 2 , 则y log 2 t
y log 2 t在定义域内是增函数，
1 13 1 又t x 在 3, 上是增函数。 2 2 2
2
1 函数y log 2 6 x x 2 的单调递增区间为 3， 。 2


例5.已知函数y log 1 x 2 ax a 在 ,1 3 上是增函数，
y u是定义域内是的单调递增函数。
又u x 2 1在 2,3 上是减函数。
2
y x 2 4 x 3在 2,3 上是减函数。
故函数y x 2 4 x 3的单调递减区间为 2,3。
问 你 求 函 ： 能 出 数
y x 2 4 x 3的 调 增 吗 单 递 区 ？
1 x2 2 x 例2、求函数 f ( x) ( ) 的单调增区间 3
解 函 f ( x)的 义 为 R ： 数 定 域
1 u 令u x 2 x 则y ( ) 3 1 u 又 为 y( ) 是 调 减 数 因 单 递 函 3
2
2
你能归纳一下 复合函数单调 区间的求解步 骤吗？
(1)求定义域 又u x 2 x在(,1]上 单 递 函 是 (2)求内层函数的单调区间 调 减 数 (3)说出外层函数的单调性 1 x 2 2 x 所 函 y( ) 以 数 在(,1]上 增 数 为 (4)写出复合函数的单调区间 函 3
问：你能求出求函数
1 x 2 2 x y ( ) 的单调递减区间吗？ 3