八年级数学平行四边形与特殊平行四边形解题技巧
特殊平行四边形动点问题解题技巧
特殊平行四边形动点问题解题技巧《特殊平行四边形动点问题解题技巧：和动点斗志斗勇的日子》嘿，大家好呀！今天咱就来唠唠特殊平行四边形动点问题解题技巧这档子事儿。
咱就说，遇到这种动点问题啊，就像是和一个调皮的小精灵在玩捉迷藏。
它一会儿在这儿，一会儿又跑那儿去了，让人是又好气又好笑。
但咱可不能被它给吓住，得和它斗智斗勇才行。
首先呢，咱得有双“火眼金睛”，能快速地找出题目中的关键信息。
比如这个动点的运动轨迹是啥呀，是沿着边跑，还是在对角线上蹦跶。
这就像是找到了小精灵的行动路线，心里就有底了。
然后呢，咱得学会“以静制动”。
别管它怎么动，咱就把它当成静止的来分析。
比如说，在某个时刻，它在这个位置，那这个时候的图形有啥特点，跟其他条件一结合，能得出啥结论。
嘿，就这么一分析，好像那小精灵也不那么调皮了。
还有啊，要多画画图。
有时候光靠脑子想是不行滴，得动手画出来。
看着那图形在笔下一点点呈现，感觉就像在掌控整个局面一样。
而且呀，多画几种不同时刻的图，说不定就能找到规律，那小精灵的小把戏也就不攻自破啦。
再说说解题的时候，那可得思路清晰啊。
把各种条件、结论像串珠子一样串起来，可不能乱了套。
这就好比在给小精灵设陷阱，让它乖乖地掉进咱的圈套里。
咱还得有点“大胆假设”的精神。
碰到难题别退缩，大胆地去猜测一下，说不定还就猜中了呢。
就算没猜中，那也没啥损失呀，就当给大脑做个热身运动了。
总之，面对特殊平行四边形动点问题，咱可不能怕。
就把它当成一场有趣的挑战，和那个调皮的小精灵好好过过招。
只要咱掌握了这些解题技巧，再加上一点点细心、耐心和恒心，那小精灵最后还不得乖乖就范。
所以呀，大家都别怕，大胆地去和动点战斗吧！让我们在解题的海洋里畅游，享受那份攻克难题后的喜悦和成就感！加油哦，朋友们！。
数学平行四边形证明题技巧思路与方法
数学平行四边形证明题技巧思路与方法
证明平行四边形的一般方法是使用平行线的性质和几何定理，以下是一些常用的技巧思路和方法：
1. 平行线的性质：平行线具有许多重要的性质，例如对应角相等、内错角相等、同旁内角互补等等。
可以利用这些性质来推导出平行四边形的相关结论。
2. 逆向思维：当需要证明一个四边形是平行四边形时，可以从相反的方向思考。
即首先假设该四边形不是平行四边形，然后推导出矛盾结论，从而得出原命题的正确性。
3. 利用已知条件：观察已知条件，比如已知两条边平行或已知两条边等长，然后利用这些已知条件进行推导证明。
例如，通过使用平行线的性质证明两组对应边相等等。
4. 使用平行四边形的定义：平行四边形的定义是对角线互相平分，可以利用这一定义来证明平行四边形的性质。
例如，通过证明对角线的中点连线平行于两边，或证明对角线互相垂直等。
5. 利用其他几何定理：除了平行线的性质外，还可以利用其他几何定理来证明平行四边形的性质。
例如，利用三角形的一些性质或相似三角形的性质来推导出平行四边形的相关结论。
总的来说，证明平行四边形的关键是灵活运用几何定理和性质，善于利用已知条件进行推导，并运用逆向思维来证明。
在证明
过程中，需要详细演算和陈述每一步的推导过程，注重逻辑严密和证明的完整性。
初中数学中的平行四边形解题技巧详解
初中数学中的平行四边形解题技巧详解平行四边形是初中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
在解题过程中，我们需要掌握一些基本的解题技巧。
本文将详细介绍初中数学中平行四边形的解题方法及技巧。
一、平行四边形的基本性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
在解题过程中，我们首先需要掌握平行四边形的基本性质。
1. 两对对边分别平行：平行四边形的两对对边分别平行，这是平行四边形的最基本的性质。
2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
这意味着平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。
3. 同底三角形面积相等：若两个三角形有一个共同的底，且底上的高相等，则这两个三角形的面积相等。
利用这一性质，我们可以简化解题过程。
二、平行四边形解题技巧1. 判断平行四边形的条件：在解题过程中，首先要判断给定的四边形是否为平行四边形。
我们可以通过观察边的长度和夹角的关系来判断是否为平行四边形。
2. 利用平行四边形的性质：在解题过程中，我们可以利用平行四边形的性质简化问题。
例如，判断一条线段是否平行于另一条线段，可以利用平行四边形的对角线互相平分的性质。
3. 利用同底三角形的性质：在解题过程中，若需要比较两个三角形的面积，我们可以利用平行四边形的同底三角形面积相等的性质简化问题。
比如，如果需要判断两个三角形的面积大小，我们可以找到它们的共同底，并比较高的长度。
4. 应用平行四边形的周长公式：在解题过程中，如果已知平行四边形的一些边长，我们可以利用平行四边形的周长公式求解未知边长。
5. 运用平行四边形的扩充性质：平行四边形具有很多扩充性质，例如，平行四边形的对角线相等、平行四边形的同位角相等等。
在解题过程中，我们可以利用这些扩充性质进行推理和求解。
三、实例分析为了更好地理解平行四边形的解题技巧，下面我们通过一些实例进行详细分析。
例题1：已知平行四边形ABCD中，AB=5cm，BC=8cm，AC=10cm，求平行四边形的周长和对角线长度。
平行四边形及特殊平行四边形的判定方法总结
平行四边形及特殊平行四边形的判定方法总结1.平行四边形的判定方法：(1)边平行法：若四边形的对边都平行，即其中一对对边的斜率相等，则该四边形是平行四边形。
(2)同位角相等法：若四边形的两组对顶角相等，则该四边形是平行四边形。
(3)对角线平行法：若四边形的对角线互相平行，则该四边形是平行四边形。
(4)同位线相交法：若四边形的一对对边分别在第三对边的同位点上相交，则该四边形是平行四边形。
2.矩形的判定方法：(1)边相等法：若四边形的对边长度相等，则该四边形是矩形。
(2)同位角为直角法：若四边形的一对对顶角为直角，即为90度，则该四边形是矩形。
(3)对角线相等法：若四边形的对角线长度相等，则该四边形是矩形。
3.正方形的判定方法：正方形是矩形的一种特殊情况，所以可以使用矩形的判定方法来判定正方形。
此外，还有以下方法来判定正方形：(1)边相等且同位角为直角法：若四边形的对边长度相等且一对对顶角为直角，即为90度，则该四边形是正方形。
(2)对角线相等法：若四边形的对角线长度相等，则该四边形是正方形。
4.菱形的判定方法：(1)边相等法：若四边形的对边长度相等，则该四边形是菱形。
(2)对角线垂直相等法：若四边形的对角线相互垂直且长度相等，则该四边形是菱形。
(3)对角线角平分法：若四边形的一对对角线的夹角为90度，并且相互平分，则该四边形是菱形。
总结起来，判定平行四边形的方法包括边平行法、同位角相等法、对角线平行法和同位线相交法。
对于特殊平行四边形如矩形、正方形和菱形，可以通过判定边相等、同位角为直角、对角线相等等属性得出结论。
这些判定方法可以帮助我们快速准确地判断出平行四边形及其特殊情况。
平行四边形及特殊平行四边形知识点(经典完整版)
正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系有怎样的包含关系？请填入下图中. 二、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
（1）判定矩形的常用方法（3种）
①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的有一个角为直角．
②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．
③说明四边形ABCD的三个角是直角．
（2）判定菱形的常用方法（3种）
①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．
②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．
③说明四边形ABCD的四条边相等．
（3）判定正方形的常用方法。
人教版初二下册探究平行四边形中解题技巧与方法知识点总结
人教版初二下册探究平行四边形中解题技巧与方法知识点总结一、平行四边形的性质与判定：1、实质：〝两组对边区分平行的四边形是平行四边形〞，与角大小、边长短变化有关，是特殊四边形。
2、借助全等三角形的判定和性质易得平行四边形性质：边：对边平行且相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线相互平方；留意：凡可用平行四边形性质处置的不思索三角形全等处置。
3、平行四边形判定：①由边：两组对边区分平行；或一组对边平行且相等；或两组对边区分相等，都可以判定为平行四边形。
②由角：两组对角区分相等的四边形是平行四边形。
③对角线：对角线相互平分的四边行是平行四边形。
判定平行四边形方法：▲需求两个条件；A:先应看条件给出了或由条件易推出要证的四边形中有哪些性质。
B:以易得的一组判定条件为基础，寻觅与其搭配的另一组判定条件：二、特殊平行四边形的性质与判定特殊之处是因除去平行四边形性质之外具有自己的性质，不属于平行四边形范围。
〔一〕矩形性质与判定：1、矩形是一个角是直角的平行四边形，可见是特殊平行四边形，具有平行四边形一切性质。
2、矩形四个角是直角，两对角线相等，是平行四边形没有的，防止将矩形特殊性质用在平行四边形上。
3.矩形的判定有三个，实践上有两个是判别平行四边形的，一个是矩形特殊条件：当题设中有多个直角或垂直时，应用三个角是直角证明矩形；图中有对角线，采用对角线相等。
两条对角线分的四个三角形面积相等，且分红两对全等的等腰三角形。
（二）、菱形性质与判定：1、菱形是一组邻边相等的平行四边形，可见为特殊平行四边形，具有平行四边形一切性质。
2、菱形特殊性质：四边相等，对角线相互垂直，每条对角线平分一组对角，切莫与矩形性质混杂。
3、菱形判定需三个条件，定义判定最重要和基本判定方法。
（三）正方形的性质与判定1、正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，可见不只是特殊平行四边形，还是〝一组邻边相等的菱形〞和〝一个角是直角的矩形〞具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，中学研讨的重点图形。
数平行四边形的方法和技巧
数平行四边形的方法和技巧如何求解平行四边形的方法和技巧平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的，而且对边长度相等。
在解决平行四边形问题时，我们可以运用一些方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将一步一步回答如何求解平行四边形的方法和技巧。
第一步：了解平行四边形的基本属性在求解平行四边形时，首先需要了解它的基本属性。
平行四边形的对边是平行的，而且对边长度相等，这意味着我们可以利用这些属性来解决问题。
第二步：利用平行四边形的性质推导出其他结论平行四边形具有一些重要的性质，可以帮助我们推导出其他结论，从而解决问题。
以下是一些常用的性质：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的。
这意味着我们可以利用对边平行的性质来推导出其他结论。
2. 对边等长性质：平行四边形的对边长度相等。
这意味着我们可以利用对边等长的性质来推导出其他结论。
3. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度。
这意味着我们可以利用内角和的性质来推导出其他结论。
通过运用这些性质，我们可以推导出一些重要的结论，如同位角相等、内错角相等等。
这些结论可以帮助我们更好地理解和解决平行四边形的问题。
第三步：利用平行四边形的特殊性质解决问题在解决平行四边形问题时，我们还可以利用其特殊性质，采用一些特定方法和技巧。
1. 平行线截取等腰三角形：当我们需要求解平行四边形的边长或角度时，可以利用平行线截取等腰三角形的方法。
我们可以通过画一条辅助线，构造一个等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质来求解平行四边形问题。
2. 平行线截取相似三角形：当我们需要求解平行四边形的边长比或者面积比时，可以利用平行线截取相似三角形的方法。
我们可以通过画一条辅助线，构造一个相似三角形，从而利用相似三角形的性质来求解平行四边形问题。
3. 使用向量法：当给定平行四边形的顶点坐标时，我们可以使用向量法来求解平行四边形的边长、面积等问题。
我们可以将平行四边形的向量表示进行计算，从而得到所求解的结果。
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定平行四边形是指四边形的对边两两平行，同时对边长度相等的四边形。
平行四边形具有一些特殊的性质和判定条件，下面将对这些内容进行详细介绍。
一、平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边两两平行，且对边长度相等。
二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边是平行的，即任意两条对边之间的夹角相等。
2. 对角性质：平行四边形的对角线相互平分，即任意一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形。
3. 同位角性质：平行四边形的同位角相等，即相对于平行四边形的两组对边所夹的角分别相等。
4. 邻补角性质：平行四边形的邻补角之和为180度，即相邻的内角互为补角。
三、特殊四边形的判定1. 矩形的判定：一个四边形如果同时满足对角线相等，内角为直角，则为矩形。
2. 正方形的判定：一个四边形如果同时满足对边相等，内角为直角，则为正方形。
3. 菱形的判定：一个四边形如果同时满足对边相等，对角线相等，则为菱形。
4. 长方形的判定：一个四边形如果同时满足对边相等，内角不是直角，则为长方形。
四、判定方法的应用案例例如，我们需要判断一个四边形ABCD是否是平行四边形。
首先，我们可以通过测量四边形的对边长度来判断，如果AB=CD，且AD=BC，则可以初步判定为平行四边形。
其次，我们可以判断四边形的内角，如果∠A = ∠C，且∠B = ∠D，则可以进一步确认为平行四边形。
如果我们需要判断一个四边形是否是矩形、正方形、菱形或长方形，具体的判定方法如下：1. 矩形的判定方法：a. 测量对边的长度，如果AB=CD且AD=BC，则为矩形。
b. 测量内角，如果∠A=∠B=∠C=∠D=90度，则为矩形。
2. 正方形的判定方法：a. 测量对边的长度，如果AB=BC=CD=AD，则为正方形。
b. 测量内角，如果∠A=∠B=∠C=∠D=90度，则为正方形。
3. 菱形的判定方法：a. 测量对边的长度，如果AB=BC=CD=AD，则为菱形。
八年级下册数学平行四边形难题
八年级下册数学平行四边形难题平行四边形是在数学中常见的几何形状之一，它具有特殊的性质和规律。
在本文中，我们将介绍一些关于平行四边形的难题，帮助大家更好地理解和运用这个概念。
1. 平行四边形的基本性质平行四边形指的是具有两对平行边的四边形。
首先，我们来看一道简单的题目：题目：在平行四边形ABCD中，若AB = 5cm，BC = 8cm，且∠BAD = 60°，求DC的长度。
解析：根据平行四边形的性质，我们知道对边是相等的，即AD = BC = 8cm。
同时，根据三角形的角度和为180°的性质，我们可以计算出∠ADB = 180° - 60° - 90° = 30°，再利用正弦定理可以求得DC的长度。
2. 平行四边形的面积计算平行四边形的面积计算方法与矩形相同，即面积等于底边乘以高。
下面是一个稍微复杂些的问题：题目：在平行四边形ABCD中，AB = 6cm，AD = 8cm，且∠ADC = 120°，求平行四边形ABCD的面积。
解析：我们可将平行四边形分成两个三角形和一个梯形。
首先，利用正弦定理可以计算出∠DAB = 180° - 120° = 60°。
然后，我们可以通过计算三角形的面积来求得梯形ABCD的面积。
这里使用的公式是：面积 = 底边乘以高除以2。
通过计算两个三角形的面积之和，再减去梯形内部的三角形的面积，即可得到平行四边形ABCD的面积。
3. 平行四边形的角度性质平行四边形的角度和为360°，其中对角线之间交叉的角是互补角。
我们来看一个与角度性质相关的问题：题目：在平行四边形ABCD中，已知∠A = 100°，求∠BCD 的度数。
解析：根据平行四边形的角度性质，我们可以得出∠ABC = 180° - ∠A = 80°。
由平行四边形的性质可知∠BCD = 180° - ∠ABC = 100°。
平行四边形解题规律技巧
综合利用平行四边形的性质和全等三角形判定与性质证明线段或角相等的方法首先利用平行四边形的性质得到直线平行线段相等或角的相等关系再把所得结论作为判定三角形全等的条件再根据全等三角形的性质得线段或角相等
1．利用平行四边形的定义判断平行四边形的方法 利用定义识别平行四边形首先要看所给图形是否是四边形，其次是四边形的两 组对边是否分别平行．
7． 综合 利用 平行 四边 形的 判定 和性 质证 明线 段或 角的 相等 关系
在证明时首先选择适当的方法证明平行四边形，再根 据性质得线段或角相等．
例7 如图7，△ABF中，AB＝BF，∠EAD＝∠BAF，
AD＝BC，求证：∠BAD＝∠C．
分析：∠BAD和∠C是四边形ABCD的对角，因此只需证明四边形ABCD是 平行四边形就可以证明∠BAD＝∠C，由已知条件知AD＝BC，因此可再证明 AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形可证．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO． ∵AB＋CD＋AD＋CB＝60，AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8， ∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8．∴AB＝CD＝19 cm，BC＝AD＝11 cm． 答：这个平行四边形各边长分别为19 cm、11 cm、19 cm、11 cm． 点评：(1)平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半． (2)平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于 邻边之差．
平行四边形解题方法与技巧
♦解读平行四边形1.正确理解平行四边形的概念有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.用数学语言表示为:在四边形ABCD中,若AB〃DC,AD#BC,则四边形ABCD是平行四边形.记作口ABCED.平行四边形的定义也是判定一个四边形是不是平行四边形的一种方法.2.掌握平行四边形的性质平行四边形的性质可以从以下三个方面去理解：(1)从边着眼:平行四边形的两组对边分别平行且相等；(2)从角着眼:平行四边形的两组对角分别相等,邻角互补；(3)从对角线着眼:平行四边形的对角线互相平分.事实上，平行四边形的对角线除了互相平分外，它还是将四边形转化为三角形的“桥梁”，在处理许多与平行四边形有关的问题时,常用“对角线”互相平分这一性质解决.如：OABCD的周长为26,对角线AC和BD相交于点0,若AAOB的周长比AAOD的周长多1,这样我们就可以利用平行四边形的对边相等和对角线互相平分得到AB+AD=13,,AB-AD=1,从而求得AB=7,AD=6.3.掌握平行四边形的判定方法判定一个四边形是平行四边形的方法主要有：(1)两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等；(3)一组对边平行且相等；(4)两组对角分别相等；(5)两条对角线互相平分.♦平行四边形性质的活用平行四边形除了具有一般四边形的性质外，还具有以下特性：(1)对边平行且相等；⑵对角相等,邻角互补；(3)对角线互相平分；⑷是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心；(5)平行四边形被对角线分成的4个三角形的面积相等.例1:已知：如图，在DABCD中，E、F分别是AB、CD的中点.求证：(1)AAFD^ACEB；(2)四边形AECF 是平行四边形.例2:如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且NDAF二NBCE.(1)求证：△DAFSBCE；(2)若NABC=60°,NECB=20°,NABC的平分线BN交AF与M,交AD于N,求NAMN的度数.♦判定平行四边形的五种基本方法判定平行四边形的五种方法1 .两组对边分别平行例：如图1,已知4ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE,连结DE 并延长至点F,使 EF=AE,连结AF 、BE 和CF⑴请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；⑵判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
特殊四边形解题技巧(7篇)
1、判别平行四边形方法多多2、例析特殊平行四边形的判定技巧3、开放中的特殊四边形4、用好平行四边形的性质与判定5、特殊平行四边形判定问题例析6、梯形添加辅助线常用方法例析7、巧补形妙解题1、判别平行四边形方法多多判断一个四边形是平行四边形的方法除了定义，还有几个相关定理．共有五种情况，下面让我们一起来探讨这些判定方法灵活使用．一、定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．例1．如图1，已知△ABC中，AB＝AC，点E、F、D分别在AB、AC、BC上，且BE＝DE，FC＝FD．求证：四边形AEDF是平行四边形．【分析】根据已知条件，可得出AF//DE，AE//DF，根据平行四边形的定义可以证明四边形AEDF是平行四边形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∴∠C＝∠EDB，∴ED//AC，又∵FD＝FC，∴∠C＝∠FDC，∴∠FDC＝∠B，∴FD//AB，∴四边形AEDF是平行四边形．二、定理法例2．如图2，在□ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且BF＝DE，连结AE、CE、AF、CF．求证：四边形AECF是平行四边形．【分析一】要证明四边形AECF是平行四边形，由□ABCD由的性质和BF＝DE，容易想到证△ABF≌△CDE，从而得到AF＝CE，同理可证AE＝CF，由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”结论得证．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠1＝∠2，又∵BF＝DE，∴△ABF≌△CDE ，（SAS）∴AF＝CE．同理可证得AE＝CF．21FEDCBA图2∴ 四边形AECF 是平行四边形．【分析二】要证四边形AECF 是平行四边形，由△ABF ≌△CDE 可得∠AFB ＝∠CED ，AF ＝CE ，从而得到∠AFE ＝∠CEF ，所以AF ∥CE ，可由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明：证 △ABF ≌△CDE （同分析一）∴ AF ＝CE ，∠AFB ＝∠CED ， ∴ ∠AFE ＝∠CEF ， ∴ AF ∥CE ，∴ 四边形AECF 是平行四边形．【分析三】已知BD 是平行四边形ABCD 的对角线，并且要证的四边形AECF 的对角线也在BD 上，故可想到连结对角线AC （如图3），并且AC 是两个四边形的公共对角线，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”也可证得．证明：连结AC 交BD 于O ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA ＝OC ，OB ＝OD ，又∵ BF ＝DE ，∴ BF －OB ＝DE －OD ，即OF ＝OE ，∴ 四边形AECF 是平行四边形．点评：本例以上各种方法，应细心体会，看看哪种方法好，同时也请思考一下，还有没有其它的方法．例3．已知，如图3，在□ABCD 中，AE ，CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的平分线，求证：四边形EAFC 是平行四边形．【分析】本题已知中含有角的平分线，可以从“两角分别相等的四边形是平行四边形”来考虑．证明：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以∠DAB ＝∠BCD ，AB//CD ，又∠1＝21∠BAD ，∠2＝21∠BCD ，所以∠1＝∠2， 因为AB//CD ，所以∠3＝∠1，∠4＝∠2，所以∠3＝∠4，所以∠5＝∠6， 所以四边形AECF 是平行四边形．2、例析特殊平行四边形的判定技巧因平行四边形的判定方法常常不惟一，而矩形、菱形、正方形又都是特殊的平行四边形，因此它们的判定也就显得相当灵活，不能光背几个概念、定理，这样解题时弄不好就容易出错．下面给大家介绍两种判定特殊平行四边形的方法． 一、分层判定法所谓分层判定法，就是在判定一个四边形为何种特殊平行四边形时，分层进行．即先判定是否为平行四边形，再判定是否是矩形、菱形、正方形．而判定一个四边形是平行四边形有下列四条途径：O FE DCBA 图3(1)若已知一组对边平行，则可找另一组对边平行，或证已知这组对边相等；(2)若已知一组对边相等，则可找另一组对边相等，或证已知这组对边平行；(3)若已知一组对角相等，则可找另一组对角相等；(4)若已知两条对角线，则可证这两条对角线互相平分．例1．（2007年江西省中考题）如图1，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．（1）观察图形，写出图中两个不同形状．．．．的特殊四边形；（2）选择（1）中的一个结论加以证明．图1析解：（1）矩形ABDE，矩形BCEF；或菱形BNEM；或直角梯形BDEM，AENB等．（2）选择四边形BNEM是菱形．证明：∵ABCDEF是正六边形，∴∠AFE＝∠FAB＝120°，∴∠EAF＝30°，∴∠EAB＝∠FAB－∠FAE＝90°．同理可证：∠FBC＝∠ECB＝90°，∠EAB＝∠ABD＝90°，∴BM∥NE，BN∥ME．∴四边形BNEM是平行四边形．——（第一层：先证平行四边形）∵ BC＝DE，∠CBD＝∠DEN＝30°，∠BNC＝∠END，∴△BCN≌△EDN．∴ BN＝NE．∴四边形BNEM是菱形．——（第二层：有一组邻边相等的平行四边形是菱形）【点评】这种分层判定法具有思路清晰，条理清楚的优点，可帮助克服证特殊平行四边形的盲目性．二、一次性判定法所谓一次判定法，就是从任意四边形出发，根据有关结论，直接证明该四边形是某特殊四边形．概括起来，用一次判定法判定四边形为矩形、菱形、正方形有如下方法：(1)矩形：有三个角是直角的四边形或四边形两对角线相等且互相平分；(2)菱形：四条边相等的四边形或四边形的两条对角线互相垂直平分；(3)正方形：四边形的两条对角线相等，且互相垂直平分．例如例2．（2）选择ABDE是矩形．证明：∵ABCDEF是正六边形，∴∠AFE＝∠FAB＝120°，∴∠EAF＝30°，∴∠EAB＝∠FAB－∠FAE＝90°．同理可证∠ABD＝∠BDE＝90°．∴四边形ABDE是矩形．（有三个角是直角的四边形是矩形）3、开放中的特殊四边形中考中四边形的开放性试题频频出现，这类题常常一因多果，或一果多因，一题多解来考察或培养学生的发散思维能力或创新思维能力．本文选几例特殊四边形的开放型题供大家赏析．一、条件开放型这类问题条件不完备或满足结论的条件不唯一，要求解答时发现内部联系，补充使结论成立的某些条件，便以培养我们逆向思维的能力．例1．如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是。
初中数学重点梳理：平行四边形
平行四边形知识定位平行四边形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，平行四边形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习特殊四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。
平行四边形的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中平行四边形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S==⨯底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；②角：同一底边上的两个角相等；对角互补③对角线：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ． ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ． ④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ．例题精讲【试题来源】 【题目】如图所示．在ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，DN=BM ．求证：EF 与MN 互相平分．【答案】如下解析【解析】 证明：因为ABCD 是平行四边形，所以ADBC ，ABCD ，∠B=∠D ．又AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，所以AECF 是矩形，从而AE=CF．所以Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF．①又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF．②由①②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．【答案】如下解析【解析】解：作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB．①在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以△ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．下面证明四边形EHCF是平行四边形．因为AD∥GH，所以∠AEG=∠BGH(内错角相等)．②又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以∠AGB=∠GEH．从而EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以FC=EH=AE．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如图2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．【答案】如下解析【解析】证明：延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以∠MDC=∠CMD，则∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．从而∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．【答案】如下解析【解析】解：延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD．①又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以∠CFH=45°-∠FCH．②由①，②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有CA=CF．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：【答案】如下解析【解析】解：如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以FA=FH．设正方形边长为a，在Rt△ADF中，所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，所以Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．【答案】如下解析【解析】证明：因为DE BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以所以 BC=GC=CD．因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以又所以∠HDG=∠GHD，从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF ⊥AC于F，那么PE+PF的值为．【答案】60/13【解析】解：延长CD至M,使DM=CD,连接AM,过P作PN⊥AM,N为AM上的点.在△ACM中,AD⊥CM且CD=DM,则AD是△ACM的角平分线.则PF=PN.又在四边形ABDM中,AB平行等于DM.则为平行四边形.AM平行BD,故PE,PN在同一直线上.那么PE+PF=PE+PN=EN平行四边形ABDM面积S=ABxAD=BDxEN而BD=√(5x5+12x12)=13则EN=ABxAD/BD=5x12/13=60/13.【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G点，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC，求证：BC⊥BD，且BC=BD【答案】如下解析【解析】证明：∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠ACB=90°，∴CEPF是矩形（三角都是直角的四边形是矩形），∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵PG⊥EF，∴∠PEF+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠APE=∠BPF=45°，∴∠APE+∠2=∠BPF+∠1，即∠APG=∠CPB，∵∠BPD=∠APG（对顶角相等），∴∠BPD=∠CPB，又∵PC=PD，PB是公共边，∴△PBC≌△PBD（SAS），∴BC=BD，∠PBC=∠PBD=45°，∴∠PBC+∠PBD=90°，即BC⊥BD．故证得：BC⊥BD，且BC=BD【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（）【答案】2【解析】解：延长AB，DC，过P分作PE⊥AE，PF⊥DF，则CF=BE，AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，DP2=DF2+PF2，CP2=CF2+FP2，∴AP2+CP2=CF2+FP2+AE2+EP2，DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2，即AP2+CP2=DP2+BP2，代入AP，BP，CP得DP==2，【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，在△ADC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE 和AD交于G，求证：GF∥AC．【答案】如下解析【解析】证明：连接EF．∵∠BAC=90°，AD⊥BC．∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．∵BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线．∴∠ABG=∠EBD．∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，∴∠AGE=∠AEG，∴AG=AE，∵AF是∠DAC的平分线，∴AO⊥BE，GO=EO，∵∴△ABO≌△FBO，∴AO=FO，∴四边形AGFE是平行四边形，∴GF∥AE，即GF∥AC．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习题【难度系数】4习题演练【试题来源】【题目】如图，在等腰三角形ABC中，延长AB到点D，延长CA到点E，且AE=BD，连接DE．如果AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数．【答案】100°【解析】解：过D作DF∥BC，且使DF=BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，∴BD=CF，DA∥FC，∴∠EAD=∠ECF，∵AD=CE，AE=BD=CF，∴△ADE≌△CEF（SAS）∴ED=EF，∵ED=BC，BC=DF，∴ED=EF=DF∴△DEF为等边三角形设∠BAC=x°，则∠ADF=∠ABC=，∴∠DAE=180°﹣x°，∴∠ADE=180°﹣2∠DAE=180°﹣2（180°﹣x°）=2x°﹣180°，∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°∴+（2x°﹣180°）=60°∴x=100．∴∠BAC=100°．【知识点】平行四边形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】【题目】如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE ⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论【答案】如下解析【解析】解：△MEF是等腰直角三角形．证明如下：连接AM，∵M是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC，∴AM=BC=BM，AM平分∠BAC．∵∠MAC=∠MAB=∠BAC=45°．∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE∥AB，DF∥AC．∵∠BAC=90°，∴四边形DFAE为矩形．∴DF=AE．∵DF⊥BF，∠B=45°．∴∠BDF=∠B=45°．∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，∴AE=BF．∵AM=BM∴△AEM≌△BFM（SAS）．∴EM=FM，∠AME=∠BMF．∵∠AMF+∠BMF=90°，∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，∴△MEF是等腰直角三角形．【知识点】平行四边形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【答案】如下解析【解析】解：（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．因为CE⊥AB，P是BF的中点，所以△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，所以PE=BF．又因为AD⊥BC，所以△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，所以PD=BF=PE，所以点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，所以QD=AC=QE，所以点Q也在线段DE的垂直平分线上所以直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别Rt△BDF和Rt△BEF的中线，所以PD=BF，PE=BF，所以PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，所以点Q在线段DE的垂直平分线上．所以直线PQ垂直平分线段DE．【知识点】平行四边形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM 与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．【答案】如下解析【解析】解：如图，过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，∴NE=AM，ME⊥BC，∵ME=AN=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC，∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE，∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°，∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°【知识点】平行四边形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3。
人教版八年级数学下册-解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法
解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．第1题图第2题图2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．变式题(1)图变式题(2)图(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．◆类型二正方形中利用旋转性解题4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.求证：BP＋CP＝2OP.参考答案与解析1. 245解析：如图，过点Q 作QE ⊥AC 交AB 于点E ，则PQ ＝PE .∴DP ＋PQ ＝DP ＋PE .当点D ，P ，E 三点共线的时候DP ＋PQ ＝DP ＋PE ＝DE 最小，且DE 即为所求．当DE ⊥AB 时，DE 最小．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝4，OB ＝12BD ＝3，∴AB ＝5.∵S菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝AB ·DE ，∴12×8×6＝5·DE ，∴DE ＝245.∴DP ＋PQ 的最小值为245.2．6 解析：如图，设BE 与AC 交于点P ，连接BD .∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE ＝BE ，即P 为AC 与BE 的交点时，PD ＋PE 最小，为BE 的长度．∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB ＝6.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝6.故所求最小值为6.故答案为6.3. 245解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OB ＝OC ＝12AC ＝5.如图，连接OP ，∵S △OBP ＋S △OCP ＝S △OBC ，∴OB ·PF 2＋OC ·PE 2＝S △OBC ，∴5·PF 2＋5·PE 2＝S △OBC .∵S △OBC ＝14S 矩形ABCD ＝14AB ·BC ＝14×6×8＝12，∴5·PF 2＋5·PE 2＝12，∴PE ＋PF ＝245.【变式题】(1)52解析：∵菱形ABCD 的周长为40，面积为25，∴AB ＝AD ＝10，S △ABD ＝252.连接AP ，则S △ABD ＝S △ABP ＋S △ADP ，∴12×10(PE ＋PF )＝252，∴PE ＋PF ＝52.(2)22解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S△BPE＋S△BPC＝S△BEC，∴BE·PM2＋BC·PN2＝BC·EH2.又∵BE＝BC，∴PM2＋PN2＝EH2，即PM＋PN＝EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝22，∴PM＋PN＝EH＝22.4．325．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH ＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合，∴AH＝AF，∠BAH ＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH ＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.6．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝OE2＋OP2＝OP2＋OP2＝2OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝2OP.19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定大家好，今天我们来聊聊平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定。
我们要明白什么是平行四边形。
平行四边形就是一个四边形，它的对边是平行的。
换句话说，如果一个四边形的两条相邻边分别平行于另外两条相邻边，那么这个四边形就是平行四边形。
接下来，我们来说说特殊四边形的性质及判定。
特殊四边形主要是指矩形、菱形和正方形这三种四边形。
它们都有一些特殊的性质和判定方法。
我们来看矩形。
矩形是一个特殊的平行四边形，它的所有角都是直角。
矩形有四个直角，所以它也是一个特殊的直角三角形。
矩形的对角线相等且互相平分。
我们可以通过勾股定理来判断一个三角形是不是矩形。
如果一个三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形就是一个矩形。
接下来，我们来说说菱形。
菱形是一个特殊的平行四边形，它的四条边都相等。
菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角。
我们可以通过检查一个四边形的对角线是否互相垂直平分来判断它是不是菱形。
如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分，那么这个四边形就是菱形。
我们来说说正方形。
正方形是一个特殊的矩形，它的所有边都相等，所有的角都是直角。
正方形既是矩形也是菱形，因为它的所有边都相等，所以它满足矩形的性质；同时它的所有角都是直角，所以它也满足菱形的性质。
正方形的对角线相等且互相平分，而且每条对角线平分一组对角。
我们可以通过检查一个四边形的所有边是否相等以及所有的角是否都是直角来判断它是不是正方形。
如果一个四边形的所有边都相等，所有的角都是直角，那么这个四边形就是正方形。
总结一下，平行四边形是一个具有两组平行边的四边形，而特殊四边形包括矩形、菱形和正方形这三种具有特殊性质的四边形。
矩形是一个特殊的平行四边形，它的所有角都是直角；菱形是一个特殊的平行四边形，它的四条边都相等；正方形是一个特殊的矩形，它的所有边都相等，所有的角都是直角。
我们可以通过检查一个四边形的对角线是否互相垂直平分、是否相等以及是否平分一组对角来判断它是不是特殊四边形。
初中数学平行四边形的性质学习技巧
初中数学平行四边形的性质学习技巧
学习初中数学中平行四边形的性质，可以采用以下几个学习技巧：
1.理解定义：首先，确保你完全理解平行四边形的定义。
平
行四边形是两组对边分别平行的四边形。
这个定义是理解平行四边形性质的基础。
2.掌握基本性质：平行四边形的性质包括边的性质、角的性
质和对角线的性质。
边的性质是对边平行且相等；角的性质是邻角互补，对角相等；对角线的性质是互相平分。
这些性质是解题的关键，需要熟记于心。
3.多做练习：通过大量的练习，可以加深对平行四边形性质
的理解。
可以从课本、练习册或者网上找到相关的练习
题，通过不断的练习，提高自己的解题能力。
4.归纳总结：在学习的过程中，要善于归纳总结。
可以将平
行四边形的性质整理成表格或者笔记，方便查阅和记忆。
同时，也要注意归纳解题方法和技巧，形成自己的解题思路。
5.关联其他知识：平行四边形的性质与其他数学知识有很多
关联，例如三角形的性质、全等三角形的判定等。
在学习平行四边形的过程中，可以将其与其他知识联系起来，加深理解。
6.请教他人：如果在学习中遇到困难，可以向老师、同学或
者家长请教。
他们可能会提供不同的解题思路和方法，帮助你更好地理解和掌握平行四边形的性质。
总之，学习初中数学中平行四边形的性质需要理解定义、掌握基本性质、多做练习、归纳总结、关联其他知识和请教他人。
通过不断的学习和实践，你一定能够掌握平行四边形的性质并灵活运用到解题中。
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平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定定理和解题技巧
解题技巧：
1、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，这个说法是正确的，
但是证明题不能直接使用.
2、有角平分线，通常有等腰三角形.
解题技巧：
1、每一条对角线平分一组对角平行四边形是菱形，这个说法是正确的，但是证明题不能直接使用.
2、矩形和菱形中，有60°/120°即有等边三角形.
3、经常运用到勾股定理。
图形性质判定
正方形对边相等
对边平行
对角相等
对角线互相平
分四个角都是直角
既是矩形又是菱形的（平
行）四边形是正方形对角线相等
四条边都相等
对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一
组对角
解题技巧：
1、矩形、菱形含有平行四边形的性质；正方形同时含有矩形、菱形的性质.
2、正方形当中，有较多等腰直角三角形.
3、做判定题目时，可以经常尝试使用梯形作为反例.(如下图)
_____________________________________________________________________
1、对角线相等的四边形可以是梯形
2、对角线相等且互相垂直的四边形可以是梯形
3、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形
4、有一个角是直角的四边形可以是直角梯形
5、有一组邻边相等的四边形可以是梯形。