选修1-2复数习题课
高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
【巩固训练 】计 算：(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i). (2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i). (3)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]. (4)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a，b∈R). 【解析】(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i. (2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i. (3)原式=5i-(4+i)=-4+4i. (4)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i.
【过关小练】 1.复数z1=2- i，z2= -2i，则z1+z2等于( )
【解析】选C.z1+z2=
2.在复平面内，向量 对应的复数为3-4i，点B对应的复数为
-2+2i，则向量
对应的复数为( )
A.5-6i
B.1-2i
C.-5+6i
D.5-2i
【解析】选B.由复数加法运算的几何意义知，
对应的复数
【解析】(1)选A.(3+i)-(2+i)=1. (2)①(2+2i)+(1-4i)-(5+7i) =(2+1-5)+(2-4-7)i=-2-9i. ②-i-[(3-4i)-(-1-3i)]=-i-(4-i)=-4. ③(x+yi)-(3x-2yi)-4i =(x-3x)+(y+2y-4)i =-2x+(3y-4)i(x，y∈R).
即为(3-4i)+(-2+2i)，即1-2i.
主题二：复数的减法 【自主认知】 1.规 定：复数的减法是加法的逆运算，若复数z=z1-z2，则复 数z1等于 什么？ 提示：z1=z+z2.
新课程标准数学选修1-2第三章课后习题解答[唐金制]
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新课程标准数学选修1—2第三章课后习题解答第三章 数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念练习（P52）1、实部分别是2-2，0，0，0；虚部分别是13，1，0，1，0.2、2+0.618，0，2i 是实数；27i ，i ，58i +，3-，(1i 是虚数；27i ，i ，(1i 是纯虚数. 3、由23121x y x y y y +=+⎧⎨-=+⎩，得42x y =⎧⎨=-⎩. 练习（P54）1、A ：43i +，B ：33i -，C ：32i -+，D ：43i +，E ：532i --，F ：112，G ：5i ，H ：5i -. 2、略. 3、略.习题3.1 A 组（P55）1、（1）由321752x y x y +=⎧⎨-=-⎩，得17x y =⎧⎨=⎩. （2）由3040x y x +-=⎧⎨-=⎩，得41x y =⎧⎨=-⎩ 2、（1）当230m m -=，即0m =或3m =时，所给复数是实数.（2）当230m m -≠，即0m ≠或3m ≠时，所给复数是虚数.（3）当2256030m m m m ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，即2m =时，所给复数是纯虚数.3、（1）存在，例如i ，，等等.（2）存在，例如1-，12--，等等.（3）存在，只能是.4、（1）点P 在第一象限. （2）点P 在第二象限.（3）点P 位于原点或虚轴的下半轴上. （4）点P 位于实轴下方.5、（1）当2281505140m m m m ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩，即23m -<<或57m <<时，复数z 对应的点位于第四象限. （2）当2281505140m m m m ⎧-+>⎪⎨-->⎪⎩，或2281505140m m m m ⎧-+<⎪⎨--<⎪⎩，即2m <-或35m <<或7m >时，复数z 对应的点位于第一、三象限.（3）当22815514m m m m -+=--，即293m =时，复数z 对应的点位于直线y x =上. 习题3.1 B 组（P55）1、（1）2i -； （2）2i --.2、因为 1z ==2z =3z ==4z ==所以，1Z ，2Z ，3Z ，4Z .3．2复数代数形式的四则运算练习（P58）1、（1）5； （2）22i -； （3）22i -+； （4）0.2、略. 练习（P60）1、（1）1821i --； （2）617i -； （3）2015i --；2、（1）5-； （2）2i -； （3）5.3、（1）i ； （2）i -； （3）1i -； （4）13i --.习题3.2 A 组（P61）1、（1）93i -； （2）23i -+； （3）75612i -； （4）0.30.2i +. 2、AB 对应的复数为(34)(65)9i i i -+-+=--. BA 对应的复数为9i +.3、向量BA 对应的复数为(13)()14i i i +--=+.向量BC 对应的复数为(2)()22i i i +--=+.于是向量BD 对应的复数为(14)(22)36i i i +++=+，点D 对应的复数为()(36)35i i i -++=+.4、（1）2124i -+； （2）32i --； （3）1122i -+； （4）122--.5、（1）2455i -+； （2）1816565i -； （3）342525i +； （4）138i -. 习题3.2 B 组（P61） 由22(23)(23)0i p i q -+-+=，得(103)(224)0p q p i -++-=.于是，有10302240p q p -+=⎧⎨-=⎩，解得 12p =，26q =. 第三章 复习参考题A 组（P63）1、（1）A ； （2）B ； （3）D ； （4）C .2、由已知，设z bi =（b R ∈且0b ≠）；则222(2)8(2)8(4)(48)z i bi i b b i +-=+-=-+-.由2(2)8z i +-是纯虚数，得240480b b ⎧-=⎨-≠⎩，解得2b =-. 因此2z i =-.3、由已知，可得1286z z i +=+，125510z z i =+.又因为121212111z z z z z z z +=+=，所以1212551055862z z i z i z z i +===-++. 第三章 复习参考题B 组（P63）1、设z a bi =+（,a b R ∈），则z a bi =-.由(12)43i z i +=+，得(12)()43i a bi i +-=+，化简，得(2)(2)43a b a b i i ++-=+.根据复数相等的条件，有2423a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得2a =，1b =.于是2z i =+，2z i =-，则234255z i i i z +==+-. 2、（1）（2）对任意n N ∈，有41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，441n i +=.。
人教版高中数学文科选修1-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：47复数的概念与运算(文)
复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。
2．理解复数相等的充要条件。
3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
5. 会进行复数乘法和除法运算。
【要点梳理】知识点一：复数的基本概念 1.虚数单位数叫做虚数单位，它的平方等于，即。
要点诠释：①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2. 复数的概念形如（）的数叫复数，记作：（）；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示。
要点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据. 3.复数的分类对于复数（）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
分类如下：用集合表示如下图：i i 1-21i =-i 21x =-21x =-i -i a bi +,a b R ∈z a bi =+,a b R ∈a b i C ,a b R ∈z a bi =+,a b R ∈4.复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。
）知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：. 要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”． 知识点三、复数的加减运算 1.复数的加法、减法运算法则：设，（），我们规定：要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
高中数学选修1-2精品学案：第四章 数系的扩充与复 数的引入 复数代数形式的加减运算及其几何意义
第2课时复数代数形式的加减运算及其几何意义1.理解复数代数形式的加减运算规律.2.复数的加减与向量的加减的关系.重点:正确理解复数的加减运算,复数加减运算的几何意义.难点:对比复数加减法与向量加减法的异同,从而理解复数的几何意义.实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应有加减运算,并且也有相应的运算律.问题1:依据多项式的加法法则,得到复数加法的运算法则.设z1=a+b i,z2=c+d i是任意两个复数,那么(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)i,很明显,两个复数的和仍然是一个确定的复数.问题2:复数的加法满足交换律、结合律.即z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).问题3:利用向量加法讨论复数加法的几何意义向量加法遵循平行四边形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相加.故复数相加就是实部与虚部分别相加得到一个新的复数.问题4:如何理解复数的减法?复数减法是复数加法的逆运算.向量减法遵循三角形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相减.故复数相减就是实部与虚部分别相减得到一个新的复数.十八世纪末十九世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时,就应用并论述了卡尔丹所设想的新数,并首次引进了“复数”这个名词,把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.这样历经300年的努力,数系从实数系到复数系的扩张才基本完成,复数才被人们广泛承认和使用.1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(3-4i)-(-2+3i)=5-7i.【答案】D2.(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i(其中i为虚数单位)等于().A.10B.10+2iC.14D.14+2i【解析】(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i=2+3+4+5+(-+1++-)i=14.【答案】C3.复数z1=9+3i,z2=-5+2i,则z1-z2=.【解析】z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.【答案】14+i4.已知复数z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.(1)求z2;(2)求z1-2z2.【解析】(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.复数代数形式的加减法运算(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;(2)计算:(+i)+(2-i)-(-i);(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2019+2019i)+(2019-2019i).【方法指导】依据复数代数形式的加减运算法则以及运算律求解.【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.(2)+i+(2-i)-(-i)=(+2-)+(-1+)i=1+i.(3)(法一)原式=[(1-2)+(3-4)+…+(2019-2019)+2019]+[(-2+3)+(-4+5)+…+(-2019+2019)-2019]i=(-1006+2019)+(1006-2019)i=1007-1008i.(法二)(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,(2019-2019i)+(-2019+2019i)=-1+i,将以上各式(共1006个)相加可知:原式=1006(-1+i)+(2019-2019i)=1007-1008i.【小结】几个复数相加减,运算法则为这些复数的所有实部相加减,所有虚部相加减.第(3)小题的解法一是从整体上把握,将计算分实部和虚部进行,有机构造特殊数列的和进而求得结果.解法二是从局部入手,抓住了式中相邻两项和的特点,恰当地分组使计算得以简化.复数代数形式加减运算的几何意义在复平面内,A、B、C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长.【方法指导】根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.【解析】如图所示:对应复数z3-z1,对应复数z2-z1,对应复数z4-z1.由复数加减运算的几何意义得=+,∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,∴AD的长为||=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.【小结】利用向量进行复数的加减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.复数加减运算的综合应用已知实数a>0,b>0,复数z1=a+5i,z2=3-b i,|z1|=13,|z2|=5,求z1+z2.【方法指导】利用两复数的模,可求得a,b的值,再求z1+z2.【解析】由题意得∴∴z1=12+5i,z2=3-4i,∴z1+z2=15+i.【小结】本题结合了复数的模与复数的加法,表面看着难,其实难度不大.复数z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求z1+z2-z3,并说明z1+z2-z3在复平面内对应的点所在的象限.【解析】z1+z2-z3=(2+3i)+(4-5i)-(-6i)=6+4i,z1+z2-z3在复平面内对应的点为(6,4),在第一象限.如图所示,平行四边形OABC的顶点O、A、C分别表示0、3+2i、-2+4i.求:(1)表示的复数;(2)表示的复数;(3)表示的复数.【解析】(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.已知实数a∈R,复数z1=a+2-3a i,z2=6-7i,若z1+z2为纯虚数,求a的值.【解析】z1+z2=(a+2-3a i)+(6-7i)=a+8-(3a+7)i,∴z1+z2为纯虚数,∴∴a=-8.1.复数z1=-3+4i,z2=6-7i,则z1+z2等于().A.3-3iB.3+3iC.-9+11iD.-9-3i【答案】A2.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是().A.m<B.m<1C.<m<1D.m>1【解析】(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,∴点(3m-2,m-1)在第三象限,∴即m<.【答案】A3.复数z1=-2+3i,z2=4+3i,则z1-z2=.【解析】z1-z2=(-2+3i)-(4+3i)=-6.【答案】-64.已知a∈R,复数z1=2+(a+2)i,z2=a2+2a-1+3i,若z1+z2为实数,求z1-z2.【解析】z1+z2=a2+2a+1+(a+5)i,∴a∈R,z1+z2为实数,∴a+5=0,∴a=-5,∴z1=2-3i,z2=14+3i,∴z1-z2=-12-6i.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求向量,,对应的复数;(2)判断∈ABC的形状.【解析】(1)=-=(2+i)-1=1+i,=-=(-1+2i)-1=-2+2i,=-=(-1+2i)-(2+i)=-3+i,所以,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.(2)因为||2=10,||2=8,||2=2,所以有||2=||2+||2,所以∈ABC为直角三角形.1.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是().A.-10+8iB.10-8iC.0D.10+8i【解析】+对应的复数为5-4i+(-5+4i)=0.【答案】C2.复数z1=1-5i,z2=-2+i,则z1-z2在复平面内对应的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z1-z2=(1-5i)-(-2+i)=3-6i,对应的点为(3,-6),该点位于第四象限.【答案】D3.复数z1=5-12i,z2=4+7i,则z1-z2=.【解析】z1-z2=(5-12i)-(4+7i)=1-19i.【答案】1-19i4.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2且z=13-2i,求z1,z2.【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z=13-2i,且x,y∈R,则解得故z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.5.复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD,则||等于().A.5B.C.D.【解析】如图所示,∈ABCD四个顶点对应复数分别为z1=i,z2=1,z3=4+2i,z4,则有=+,=(z1-z2)+(z3-z2)=2+3i,故||==.【答案】B6.已知复数z1,z2,有|z1|=5,|z2|=12,|z1+z2|=13,则|z1-z2|为().A.8B.10C.12D.13【解析】利用向量结合复数分析可知构成的平行四边形为矩形,故对角线相等.【答案】D7.已知实数a>0,复数z1=a+2i,z2=3+5i,|z1-z2|=5,则a的值为.【解析】z1-z2=a-3-3i(a∈R),∴|z1-z2|=5,∴=25,∴a-3=±4,又a>0,∴a=7.【答案】78.已知f(z)=2z+2-i,z0=1+2i,f(z0-z1)=6-3i,z∈C,求复数z1,f(|z0+z1|).【解析】由已知得2z0-2z1+2-i=6-3i,z0=1+2i,∴2+4i-2z1+2-i=6-3i,即4+3i-2z1=6-3i,∴2z1=(4+3i)-(6-3i)=(4-6)+(3+3)i=-2+6i,∴z1=-1+3i,∴|z0+z1|=|(1+2i)+(-1+3i)|=|5i|=5,∴f(|z0+z1|)=f(5)=2×5+2-i=12-i.9.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为.【解析】(法一)∴|z|=2,∴|z-i|≤|z|+|i|=2+1=3.(法二)设w=z-i,则w+i=z,∴|w+i|=|z|=2.w表示以点(0,-1)为圆心,以2为半径的圆,由图知,圆上到原点的距离以|OP|为最大,最大值是3.【答案】310.已知a,b∈R,若复数z1=a+b i,|z1|=4,z2=b-a i,求|z1+z2|,|z1-z2|.【解析】∴|z1|=4,∴=4,a2+b2=16.∴z1+z2=(a+b)+(b-a)i,∴|z1+z2|====4.∴z1-z2=(a-b)+(b+a)i,∴|z1-z2|====4.。
高中数学人教B版选修1-2练习课件3.2.2 复数的乘法和除法精选ppt课件
＝－32＋(12＋2 3)i，对应点在第二象限．
答案：B
知识点二
共轭复数
3.[2013·福建高考]已知复数z的共轭复数＝ 1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于 ()
A． 第一象限 B． 第二象限
C． 第三象限 D． 第四象限
解析：由条件知：z＝1－2i，其在复平面内 对应的点为(1，－2)，在第四象限，选D.
答案：B
知识点三
虚数单位i的幂的周期性
5.计算：i＋i2＋i3＋…＋i2014.
解：解法一：原式＝i1－ 1－i2i014＝i[1－1－i2i1007] ＝i·11－＋i1＝2i12＋i＝－1＋i. 解法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0， ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． ∴原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2009＋ i2010＋i2011＋i2012)＋i2013＋i2014 ＝0＋i－1＝－1＋i.
课后提升训练
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再见
选修1-2 章 数系的扩3.充2 与复复数数的的运引算入
课时作业41 复数的乘法和除法
[目标导航] 1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算法 则． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法 对加法的分配律．
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
复数的乘除运算
1．[2013·浙江高考]已知i是虚数单位，则 (－1＋i)(2－i)＝( )
答案：D
为共轭4复．数[2，01则4·|陕z1西|＝高|z考2|]”原，命关题于为其“逆若命z1，题z，2互否 命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的 是( )
高中数学选修1-2课时作业9：习题课 复 数
习题课 复 数一、选择题1.复数lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是纯虚数，则实数m 的值是( )A.0B.1C.2D.32.复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15C.－15iD.－153.若(m 2－1)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A.1B.－1C.2D.04.复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b 的值是( )A.0B.12C.1D.26.设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2等于( )A.－1＋iB.－1－iC.1＋iD.1－i7.在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A.(1,3)B.(3,1)C.(－1,3)D.(3，－1)8.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i 的点是()A.EB.FC.GD.H二、填空题9.已知z 1＝3＋i ，z 2＝1－3i ，则z 1·z 2在复平面内对应的点位于第______象限.10.已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________.11.若复数z 在复平面内的对应点在第二象限，|z |＝5，z 在复平面内的对应点在直线y ＝43x 上，则z ＝________.三、解答题12.复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i ，要使z 为纯虚数，实数a 是否存在？若存在求出实数a 的值；若不存在，说明理由.13.已知z 1、z 2为复数，(1＋3i)z 1为纯虚数，z 2＝z 12＋i，且z 2·z 2＝50，求z 2.[答案]精析1．A [⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2＋2m ＋1)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝0，故选A.] 2．B [1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B.] 3．C [因为虚数不能比较大小，所以(m 2－1)＋(m 2－2m )i 是实数，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1>0，m 2－2m ＝0，解得m ＝2.故选C.] 4．D [z ＝(3＋i)(1－i)＝4－2i ，所以复数z 对应的点Z (4，－2)在第四象限．]5．C [∵a ＋b i ＝2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2，a ，b ∈R ， ∴a ＝32，b ＝－12，∴a ＋b ＝1.] 6．C [2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.] 7．A [10i 3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10＋30i 10＝1＋3i. ∴复数10i 3＋i对应的点的坐标为(1,3)．] 8．D [由题图知，复数z ＝3＋i ，∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z 1＋i的点为H .] 9．四[解析] z 1·z 2＝(3＋i)(1－3i)＝6－8i ， 对应的点(6，－8)位于第四象限．10．3i[解析] 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，∵|z |＝3，∴a 2＋b 2＝9.又w ＝z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＋3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ≠－3，又a 2＋b 2＝9，∴a ＝0，b ＝3.∴z ＝3i.11．－3＋4i[解析] 设z ＝3t ＋4t i(t ∈R )，则z ＝3t －4t i ，∵|z |＝5，∴9t 2＋16t 2＝25，∴t 2＝1， ∵z 的对应点在第二象限，∴t <0，∴t ＝－1，∴z ＝－3＋4i.12．解 假设z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －6＝0，a 2－2a －15a 2－4≠0由a 2－a －6＝0，得a ＝－2或a ＝3.当a ＝－2时，a 2＋2a －15a 2－4无意义； 当a ＝3时，a 2＋2a －15a 2－4＝0不合题意；所以不存在a ，使z 为纯虚数．13．解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z 1＝a －3b ＋(3a ＋b )i. 由题意得a ＝3b ≠0.z 2＝z 12＋i ＝2a ＋b ＋(2b －a )i 5＝7b －b i 5，z 2·z 2＝50b 225＝50，解得b ＝±5. 所以z 2＝7－i 或z 2＝－7＋i.。
人教版数学高二选修1-2作业3.2复数的运算
(限时：10分钟)1．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i解析：z 1·z 2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i ＝4＋2i ，故选A.答案：A2．已知i 2＝－1，则i(1－3i)＝( )A.3－iB.3＋i C ．－3－i D ．－3＋i解析：i(1－3i)＝i －3i 2＝3＋i.答案：B3．复数i 1－2i(i 为虚数单位)的虚部是( ) A.15i B ．－15 C ．－15i D.15解析：i 1－2i＝i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝1＋2i 25＝－25＋15i ，其虚部为15，故选D. 答案：D4．已知a ＝－3－i 1＋2i，那么a 4＝__________. 解析：∵a ＝－3－i 1＋2i＝－3－i 1－2i 5＝－1＋i ， ∴a 4＝2＝(－2i)2＝－4.答案：－45．设复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)·z 是纯虚数，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1.由题意，得(3＋4i)·z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0.由⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝1，3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－45，b ＝－35.∴z ＝45＋35i 或z ＝－45－35i.∴z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.(限时：30分钟)1.⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D ．1解析：21＋i ＝21－i 1－i 1＋i ＝21－i 2＝1－i ， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝2，选C . 答案：C 2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i解析：(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.答案：D3．在复平面内，复数5i 2－i的对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：5i 2－i ＝5i 2＋i 2－i 2＋i ＝5i 2＋i5＝－1＋2i ，对应的点的坐标为(－1,2)，所以在第二象限．答案：B4．设a 是实数，且1＋a i 1＋i∈R ，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2解析：因为1＋a i 1＋i ∈R ，所以不妨设1＋a i 1＋i＝x ，x ∈R ，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.答案：B5．若复数z ＝2i ＋21＋i，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.22B. 2C. 3 D ．2 解析：由题意，得z ＝2i ＋21＋i＝2i ＋21－i 1＋i 1－i ＝1＋i ，复数z 的模|z |＝12＋12＝ 2.答案：B6．i 是虚数单位，i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i2 013＝__________. 解析：因为i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＝0(n ∈Z )， 所以i ＋i 2＋…＋i2 013＝i.答案：i 7．已知复数2－a i i＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝__________. 解析：由2－a i i＝1－b i ，得2－a i ＝i(1－b i)＝i －b i 2＝b ＋i ，所以b ＝2，－a ＝1，即a ＝－1，b ＝2，所以|a ＋b i|＝|－1＋2i|＝ 5.答案： 58．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为__________．解析：设掷两颗骰子共有36种结果．因为(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ，所以要使复数(m ＋n i)2为纯虚数，则有m 2－n 2＝0，即m ＝n ，共有6种结果，所以复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为636＝16. 答案：169．计算：i －2i －11＋i i －1＋i ＋－3－2i 2－3i . 解析：因为i －2i －11＋i i －1＋i ＝i －2i －1i 2－1＋i ＝i －2i －1－2＋i＝i －1， －3－2i 2－3i ＝－3－2i 2＋3i 2－3i2＋3i ＝－13i 13＝－i ， 所以i －2i －11＋i i －1＋i ＋－3－2i 2－3i＝i －1＋(－i)＝－1. 10．已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)·z 为纯虚数．(1)求复数z .(2)若w ＝z 2＋i，求复数w 的模|w |. 解析：(1)(1＋3i)·(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i.因为(1＋3i)·z 为纯虚数，所以3－3b ＝0，且9＋b ≠0，所以b ＝1，所以z ＝3＋i.(2)w ＝3＋i 2＋i ＝3＋i ·2－i 2＋i ·2－i ＝7－i 5＝75－15i ， 所以|w |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫752＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝ 2. 11．设i 为虚数单位，复数z 和ω满足zω＋2i z －2i w ＋1＝0.(1)若z 和ω满足ω－z ＝2i ，求z 和ω的值．(2)求证：如果|z |＝3，那么|ω－4i|的值是一个常数．并求这个常数． 解析：(1)因为ω－z ＝2i ，所以z ＝ω－2i.代入zω＋2i z －2i ω＋1＝0，得(ω－2i)(ω＋2i)－2i ω＋1＝0，所以ωω－4i ω＋2i ω＋5＝0.设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则上式可变为(x ＋y i)(x －y i)－4i(x ＋y i)＋2i(x －y i)＋5＝0.所以x 2＋y 2＋6y ＋5－2x i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋6y ＋5＝0，2x ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－5.所以ω＝－i ，z ＝－i 或ω＝－5i ，z ＝3i.(2)由zω＋2i z －2i ω＋1＝0，得z (ω＋2i)＝2i ω－1，所以|z ||ω＋2i|＝|2i ω－1|.①设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|ω＋2i|＝|x ＋(y ＋2)i|＝x 2＋y ＋22＝x 2＋y 2＋4y ＋4.|2i ω－1|＝|－(2y ＋1)＋2x i|＝[－2y ＋1]2＋4x 2 ＝4x 2＋4y 2＋4y ＋1.又|z |＝3， 所以①可化为3(x 2＋y 2＋4y ＋4)＝4x 2＋4y 2＋4y ＋1.所以x 2＋y 2－8y ＝11.所以|ω－4i|＝|x ＋(y －4)i|＝x 2＋y －42。
人教A版数学高二选修1-2学案复数的几何意义
3．1.2 复数的几何意义预习课本P52～53，思考并完成下列问题 (1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？[新知初探]1．复平面2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→.3．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． [点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．()答案：(1)√(2)×(3)×2．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为()A．(0,1)B．(1,0)C．(0,0)D．(1,1)答案：A3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是()A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i答案：B4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________.答案： 5复数与点的对应关系[典例]求实数a分别取何值时，复数z＝aa＋3＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x轴上方．[解](1)点Z在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a2－a－6a＋3＜0，a2－2a－15＞0，解得a＜－3.(2)点Z在x轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a2－2a－15＞0，a＋3≠0，即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.[一题多变]1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．解：点Z 在x 轴上，所以a 2－2a －15＝0且a ＋3≠0， 所以a ＝5.故a ＝5时，点Z 在x 轴上．2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，求实数a 的值． 解：因为点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上， 所以a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0，即a 3＋2a 2－15a －30＝0，所以(a ＋2)(a 2－15)＝0，故a ＝－2或a ＝±15.所以a ＝－2或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上．利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)， 由|z |＝5得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1， 即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． [活学活用]1．如果复数z ＝1＋a i 满足条件|z |＜2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1)D ．(－3，3)解析：选D 因为|z |＜2，所以1＋a 2＜2，则1＋a 2＜4，a 2＜3，解得－3＜a ＜ 3. 2．求复数z 1＝6＋8i 与z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．解：∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋(－2)2＝32. ∵10>32，∴|z 1|>|z 2|.复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z －z 1|表示点Z 到点Z 1之间的距离．如|z －i|＝1表示点Z 到点(0,1)之间的距离为1.[活学活用]在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模． z 1＝1－i ；z 2＝－12＋32i ；z 3＝－2；z 4＝2＋2i.解：在复平面内分别画出点Z 1(1，－1)，Z 2－12，32，Z 3(－2,0)，Z 4(2,2)，则向量OZ 1――→，OZ 2――→, OZ 3――→,OZ 4――→分别为复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量，如图所示．各复数的模分别为：|z 1|＝12＋(－1)2＝2； |z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1； |z 3|＝(－2)2＝2；|z 4|＝22＋22＝2 2.层级一 学业水平达标1．与x 轴同方向的单位向量e 1与y 轴同方向的单位向量e 2，它们对应的复数分别是( )A ．e 1对应实数1，e 2对应虚数iB ．e 1对应虚数i ，e 2对应虚数iC ．e 1对应实数1，e 2对应虚数－iD ．e 1对应实数1或－1，e 2对应虚数i 或－i 解析：选A e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．2．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵23＜m ＜1，∴3m －2＞0，m －1＜0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．3．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，5)C ．(1,3)D ．(1,5)解析：选B |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)．5．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：选B |z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2＝2|cos α2|.∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，cos α2＜0，于是|z |＝－2cos α2. 6．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5. 答案：57．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是________． 解析：∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)， ∴tan α＝－1－03－0＝－33(0≤α＜π)，∴α＝5π6.答案：5π69．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z . 解：∵z 为纯虚数，∴设z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)，又|－1＋i|＝2，由|z －1|＝|－1＋i|， 得a 2＋1＝2，解得a ＝±1，∴z ＝±i.10．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R)． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 解：(1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0， 解得m ＝－3或m ＝1. (2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0. 解得m ＝0. (3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＞0，m 2＋2m －3＜0. 解得－3＜m ＜0. 故m 的取值范围为(－3,0)．层级二 应试能力达标1．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R)对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应点的点在第二象限，故选B.2．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0解析：选D ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，解得a ＝2或a ＝0.3．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限．4．在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i解析：选D 设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝15，y ＝325.故选D.5．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.解析：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.答案：126．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________． 解析：由模的计算公式得 (x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8. 答案：(x －2)2＋y 2＝87．已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R)，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，b ＝y ＋2. ① ∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2＋b 2＝4. 将①代入得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．8．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 解：(1)|z 1|＝ (3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．。
高中数学选修1-2精品学案：第四章 数系的扩充与复 数的引入 第1课时 数系的扩充和复数的概念
第1课时数系的扩充和复数的概念1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2=-1.问题2:(1)复数:形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数.(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.(4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i∈a=c,b=d.问题3:复数z=a+b i(a,b∈R),当b=0时,复数z是实数;当b≠0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题4:两复数可不可以比较大小?当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10iD.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1,∵-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)∵i2=-1,∵i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+b i不是实数;②两个复数不能比较大小;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等的充要条件(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=+(cos θ-2)i,若z1=z2,求θ.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得θ=2kπ(k∈Z).【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】①正确.②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.【答案】①复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由②得x=4,经验证满足①.所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即<x<4或x>4.所以当<x<4或x>4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,∵∵a=-1且tan θ=1,又0<θ<,∵θ=,a=-1.1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.A∈B=CB.∈S A=BC.A∩(∈S B)=∈D.B∩(∈S A)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是.【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.【答案】-64.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得∵∵-7<m<3.∵当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.(2019年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解析】∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,∵∵m=-2.【答案】-21.复数z=-2+3i的虚部是().A.-2B.2C.3D.3i【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.【答案】C2.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足().A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2【解析】由题意得x2+x-2≠0,∵x≠1且x≠-2.【答案】D3.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为.【解析】由题设知3∈M,∵m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.∵即∵m=-1.【答案】-14.设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.5.如果(x+y)i=x-1,则实数x、y的值分别为().A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得【答案】A6.下列命题中,正确命题的个数是().①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;⑤-1没有平方根;⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.由于两个虚数不能比较大小,∵②是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∵③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.因为-1的平方根为±i,故⑤错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,∵∵∵a=-3,∵a2-1=8,∵复数z的虚部为8.【答案】88.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m∈∈.9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n=.【解析】∵z1=z2,∵∵∵n=1或n=-,m+n=3n,∵m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m-cos 2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.若λ=0且0<x<π,求x的值.【解析】∵z1=z2,∵∵λ=sin 2x-cos 2x.若λ=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.∵0<x<π,∵0<2x<2π,∵2x=或2x=,∵x=或.。
高中数学 选修1-2 9.复数代数形式的加减法运算
9.复数代数形式的加减法运算教学目标 班级______姓名________1.掌握复数加减法运算的法则.2.理解复数加减法的几何意义.3.理解共轭复数的概念.教学目标一、知识要点.1.复数四则运算的法则：设bi a z +=1，di c z +=2（1）复数加法：i d b c a z z )()(21+++=+；（2）复数减法：i d b c a z z )()(21-+-=-；说明：实数的运算定律对于复数同样适用.2.复数加减法的几何意义：复数的和（或差）表示复数对应向量的和（差）向量.二、例题分析.1.复数的加减法运算.例1：计算：（1）)43()42(i i -++； （2）)23(5i +-；（3）)51()2()43(i i i --++--； （4）i i i 4)32()2(++--.练1：计算：（1）)21()2()2()21(i i i i -+--++-++；（2）)21()21()(12i i i i --++-+++；2.复数加减法的几何意义.例2：如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0，i 23+，i 42+-. 求：（1）AO 表示的复数；（2）对角线CA 表示的复数；（3）对角线OB 表示的复数.练2：复数i z 211+=，i z +-=22，i z 213--=，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.3.复数加减法的综合应用.例3：已知1||||||2121=-==z z z z ，求||21z z +.练3：1||||21==z z ，2||21=+z z .求||21z z -.作业：已知i i z +=-+423，求复数z .。
高二数学选修1-2第三章复数测试题教学文案
高二数学选修1-2第三章复数测试题高二数学同步测试选修1-2（第三章）复数说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程2z +|z |=2+6i 的解的情况是（ ）A ．没有解B ．只有一解C ．有两解D ．多于两解2．已知z =x ＋yi (x ，y ∈R )，且 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，则z= （ ）A ．2＋iB ．1＋2iC ．2＋i 或1＋2iD ．无解 3．下列命题中正确的是（ ）A ．任意两复数均不能比较大小；B ．复数z 是实数的充要条件是z =z ；C ．复数z 是纯虚数的充要条件是z +z =0；D ．i +1的共轭复数是i －1；4．设)()11()11()(N n ii i i n f nn ∈+-+-+=，则集合{})(n f x x =中元素的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无穷多个5．使不等式m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m（ ）A ．1B ．0C ．3D ．复数无法比较大小6．设复数(),z x yi x y R =+∈，则满足等式20z x ++=的复数z 对应的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7．若非零复数,x y 满足220x xy y ++=,则20052005()()x y x y x y+++的值是 （ ） A ．1B ．1-C ．20042D ．20042-8．如图所示，复平面内有Rt ΔA BC ，其中∠B A C=90°，点A 、B 、C 分别对应复数32z z z 、、，且z =2，则z =（ ）A ．i ±-3B ．i ±3C ．i 31±-D ．i 31±9．复数z 1＝a ＋2ｉ，z 2＝－2＋ｉ，如果|z 1|< |z 2|，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <1B ．a >1C ．a >0D ．a <－1或a >110．如果复数z 满足|z ＋ｉ|＋|z －ｉ|＝2，那么|z ＋ｉ＋1|的最小值为______．A ．1B ．2C ．2D ．5二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．已知关于x 的实系数方程x 2－2a x+a 2－4a +4=0的两虚根为x 1、x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则a的值为 ．12．已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x , y ∈R ，求x= ， y= ． 13．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005= ．14．已知x 、y 、t ∈R ，t ≠－1且 t ≠0，求满足x ＋yi =1()1t ti t t+++时，点(x , y )的轨迹方程 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）设|z 1|＝5，|z 2|＝2, |z 1－z 2|＝13，求z z 12的值．16．（12分）当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m 2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．17．（12分）求同时满足下列条件的所有复数z :(1)z z 10+是实数，且6101≤+<zz ．(2)z 的实部和虚部都是整数．18．（12分）设复数|z －i |=1, 且z ≠0, z ≠2i . 又复数w 使ziz i w w 22-⋅-为实数，问复数w 在复平面上所对应的点Z 的集合是什么图形，并说明理由．19．（14分）设虚数z 1,z 2，满足221z z =.（1）若z 1,z 2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z 1, z 2．（2）若z 1=1+m i (i 为虚数单位，m ∈R), 2||1≤z ,复数w=z 2+3,求|w|的取值范围．20．（14分）已知：A 、B 是∆A BC 的两个内角，j B A i B A m 2sin 252cos→++→-=→其中→i 、→j 为相互垂直的单位矢量．若 | →m | =423，试求t a n A ·t a nB 的值．参考答案一、1．B ；2．C ；解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法． ∵ 222log 8(1log )x yi x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y+⎧-=⎨=-⎩，∴32x y xy +=⎧⎨=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ．诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 3．B ；4．C ；解析：∵ n n i i n f )()(-+=∴ 0)3(,2)2(,0)1(=-==f f f ，Λ,2)4(=f ，∴ 集合{})(n f x x =中的元素为2,0,2-，选C ．；5．C ；解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴2221030430m m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得||100或33或1m m m m m <⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴ m =3.当m ＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件． 6．D ；7．A ；8．C ；9．A ；利用复数模的定义得a 222+<5，选A ；； 10．A ；由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A ； 二、11．21；12．x =25, y =4； 13．i ；解：此题主要考查i n 的周期性．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005=(i +i 2+i 3+i 4)+……+(i 2001+i 2002+ i 2003＋i 2004)＋i 2005 =(i －1－i +1)+ (i －1－i +1)+……+(i －1－i +1)+i ＝0＋0＋……＋0+i ＝i . 或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住i n 的周期及合理分组．14．xy =1；解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法．∵ x ＋yi =1()1t t i t t +++，∴ 11t x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩， ∴xy =1,∴ 点(x ，y )的轨迹方程为xy ＝1，它是以x 轴、y 轴为对称轴，中心在(0，0)的等轴双曲线．三、15．【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解．【解】如图，设z1＝、z2＝后，则z1＝、z2＝如图所示．由图可知，|zz12|＝52，∠A OD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠A OD＝5213252222+-()××＝45∴zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ【另解】设z1＝、z2＝OD如图所示．则|zz12|＝52，且cos∠A OD＝5213252222+-()××＝45，s i n∠A OD＝±35，所以zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ，即zz12＝2±32ｉ．【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼．一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，16．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即223100250m mm⎧+-=⎨-≠⎩，解得m=2，∴m=2时，z为实数．（2）z 为虚数，则虚部m 2+3m －10≠0，即223100250m m m ⎧+-≠⎨-≠⎩， 解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．22223203100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，解得m =－21, ∴当m =－21时，z 为纯虚数． 诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．17．分析与解答：设z =a +b i (a ,b ∈R,且a 2+b 2≠0).则22)(101010ba bi a bi a bi a bi a z z +-++=+++=+i b a b b a a )101()101(2222+-+++= 由(1)知z z 10+是实数，且6101≤+<z z ,∴ 0)101(22=+-ba b 即b=0或a 2+b 2=10. 又6)101(122≤++<ba a * 当b=0时，*化为6101≤+<aa 无解．当a 2+b 2=10时，*化为1<2a ≤6, ∴321≤<a .由(2)知 a =1,2,3.∴ 相应的b=±3, ±6(舍)，±1， 因此，复数z 为：1±3i 或3±i .此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法．18．分析与解答：设 z =a +b i , w=x+y i (a ,b, x,y ∈R). 由题z ≠0, z ≠2i 且|z －i |=1, ∴ a ≠0, b ≠0且a 2+b 2－2b=0.222222222222222)2(2)2(2)2()2(2)2(2222b a ai y x xi y y x b a ai b b a y x xi y y x bia i bi a i yi x yi x z iz i w w u +-⋅-++-+=+--+⋅-++-+=+-+⋅-++=-⋅-=记已知u 为实数，∴ 02)2(2222222=+-⋅-+-+ba ay x y y x ， ∵a ≠0, ∴ x 2+y 2－2y=0 即 x 2+(y －1)2=1.∴w 在复平面上所对应的点Z 的集合是以(0, 1)为圆心，1为半径的圆． 又∵ w －2i ≠0, ∴除去(0, 2)点．此题中的量比较多，由于是求w 对应点的集合，所以不妨设w 为x+y i (x,y ∈R), z =a +b i (a ,b ∈R).关于z 和w 还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意．19．分析与解答：(1)∵z 1, z 2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭， 可设z 1=a +b i (a ,b ∈R 且b ≠0),则z 2=a －b i , 由221z z = 得(a +b i )2=a －b i 即： a 2－b 2+2a b i =a －b i根据复数相等，⎩⎨⎧-==-bab ab a 222∵b ≠0 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321b a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2321b a ，∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=i z i z 2321232121 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=i z i z 2321232121． (2)由于 221z z =，z 1=1+m i , w=z 2+3,∴w=(1+m i )2+3=4－m 2+2m i . ∴ 12)2(4)4(||22222+-=+-=m m m w ,由于2|z |1≤且m ≠0, 可解得0<m 2≤1,令m 2=u, 12)2(||2+-=u w ,在u ∈(0,1)上，(u －2)2+12是减函数，∴)4,13[||∈w .复数这一章中去掉了三角形式,降低了难度，但在复数的基本概念、运算、复数与方程、复数与几何这些部分仍然有许多可考查的内容，并且还可以与其它的数学知识相结合．20．讲解：从化简变形| →m |入手． |→m|2=(→m)2=(→→++-j B A i B A 2sin 252cos )2=225cossin 242A B A B-++⋅ =2)cos(1452)cos(1B A B A +-⋅+-+ ， ∴2)cos(1452)cos(1B A B A +-⋅+-+=89， ∴cos(A －B)=45cos(A +B)．4 cos A ·cosB+4s i n A ·s i nB=5cos A ·cosB –5s i n A ·s i nB ， ∴9s i n A ·s i nB= cos A ·cosB ． 又ΘA 、B 是∆A BC 的内角，∴ cos A ·cosB 0≠， ∴t a n A ·t a nB=91．说明：本题将复数、三角、向量溶为一体，综合性较强．。
高中数学人教A版 选修1-2 复数的概念与几何意义 精品课件(共50张ppt)
观察复数的代数形式
复数的分类？
实部 虚部 当a= 0 且b= 0 时，则z=0 当b= 0 时，则z为实数 当b ≠0 时，则z为虚数 当a= 0 且b ≠0时，则z为纯虚数
高中数学人教A版 选修1-2 第3章复数的概念与几何意义 课件(共50张PPT)
2：复数的分类 复数a+bi
思 考？
复数集，虚数集，实数集， 纯虚数集之间的关系？
复数的概念
问：N，Z，Q，R分别代表什么集合？
N
自然数
Z
整数
Q
有理数
R
实数
正整数
0
负整数
高中数学人教A版 选修1-2 第3章复数的概念与几何意义 课件(共50张PPT)
正整数 0
自然数 负数
整数
高中数学人教A版 选修1-2 第3章复数的概念与几何意义 课件(共50张PPT)
分数
高中数学人教A版 选修1-2 第3章复数的概念与几何意义 课件(共50张PPT)
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
正整数 0
自然数 负数
整数 分数
有理数 无理数
虚数 复数
实数
自然数
数 系
整数
的 有理数 扩
充 实数
复数
RQ Z N
C
即时训练，巩固新知 1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数， 并指出复数的实部与虚部。 0
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则z=a+bi为虚数； （2）若b为实数，则z=bi 必为纯虚数; （3）若a为实数，则z= a 一定不是虚数。
1：复数的定义 把形如a+bi 的数叫做复数 （a,b 是实数）。复数通常用z表示：
2014-2015学年高中数学(人教版选修1-2)课时训练第三章 3.1.2 复数的几何意义
栏 目 链 接
注： (1) 习惯上，用大写字母 Z 表示点，小写字母 z 表示复 数． (2)复数z＝a＋bi用复平面内的点Z(a，b)表示，复平面内点 栏 Z 的坐标是 (a ， b) ，而非 (a ， bi) ．例如，复平面内的点 ( － 2,3) 目 表示复数－2＋3i；反之，复数－2＋3i对应复平面内的点的坐 链 接 标是(－2,3)．
复数 的平面，叫 (1) 定义：建立了直角坐标系来表示 ________ 做复平面．
(2)实轴：x轴叫做实轴． (3)虚轴：y轴(除去原点)叫做虚轴． 2．复平面内的点与复数的对应关系．
栏 目 链 接
(1)实轴↔实数．
(2)虚轴(除原点)↔纯虚数． (3)各象限的点↔非纯虚数．
∴m＝4 时，复数在复平面对应的点位于 y 轴的负半轴上．
2 栏 m ＋3m－28＜0， －7＜m＜4， (2) 由已知 2 ⇒ ⇒ － 7 ＜ m ＜ 2.∴ 目 链 m －8m＋12＞0 m＜2，或m＞6 接
－7＜m＜2 时，复数在复平面对应的点在第二象限．
点评：此类题型，要明确复数的实部和虚部分别是它对应 的点的横坐标和纵坐标，然后根据要求列出相应的关系式求 解．
3．复数的两种几何形式(点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b)． Z(a，b) ． (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)↔点________ (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)↔向量________． 栏 4．复数的模．
梳理 1．复数2－3i对应的点在直线( A．y＝x上 C．3x＋2y＝0上 )
跟 踪 训 练
2 a －a－2 2 i(a∈R)对应的点 Z， 1．a 取何值时，z＝(a －2a－8)＋ a ＋ 1
选修1-2复数导学案、课后作业及参考答案
3.1.1数系的扩充与复数的概念【学习要求】1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学法指导】可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数对的对应关系.【知识要点】1．复数的有关概念 （1）复数①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．②表示方法：复数通常用字母____表示，即________． （2）复数集①定义：__________所构成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母____表示 2．复数的分类及包含关系（1）复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)（2）集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________.【问题探究】探究点一 复数的概念 问题1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？ 问题2 如何理解虚数单位i?问题3 什么叫复数？怎样表示一个复数？ 问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． （1）实部为－2的虚数； （2）虚部为－2的虚数； （3）虚部为－2的纯虚数； （4）实部为－2的纯虚数．例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点二 两个复数相等问题1 两个复数能否比较大小？问题2 两个复数相等的充要条件是什么？例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y . 跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．【当堂检测】1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( ) A ．2，1 B ．2，5 C ．±2，5D ．±2，12．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是 ( )A ．±1B ．±IC ．±2iD ．±2i3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1 4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R)是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中正确命题的个数为 ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【课堂小结】1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．【课后作业】一、基础过关1． “复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2． 下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3． 以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋iD ．5＋5i 4． 若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为( )A ．12B ．2C ．0D ．15． 若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1二、能力提升6． 若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k 2π＋π4(k ∈Z )7．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝______，n ＝______. 8． 给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 则其中正确命题的个数为________．9． 已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．11．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？3.1.2 复数的几何意义【学习要求】1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2．掌握实轴、虚轴、模等概念.3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．【学法指导】通过类比实数可用数轴上的点来表示，认识复数用点和向量表示的合理性，体会数形结合思想在理解复数中的作用．复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，所以理解并掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用．【知识要点】1．复数的几何意义 （1）复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x 轴叫做______，y 轴叫做______．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． （2）复数与点、向量间的对应 ①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 复平面内的点______； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量___________．2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝________【问题探究】探究点一 复数与复平面内的点问题1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 问题2 判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i （1）对应的点在x 轴上方；（2）对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 探究点二 复数与向量问题1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？ 问题2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？例2 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．跟踪训练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的大小．跟踪训练3 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ （1）|z |＝2；（2）|z |≤3.【当堂检测】1．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为 ( ) A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________【课堂小结】1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．【课后作业】一、基础过关1． 复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2． 当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4． 已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．原点和虚轴5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3IC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________． 二、能力提升7． 若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8． 复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点9．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第______象限．10．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 11．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：（1）位于第四象限； （2）位于x 轴负半轴上； （3）在上半平面(含实轴)．13．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .三、探究与拓展14．（1）满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆（2）已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________．3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义【学习要求】1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．【学法指导】复数的代数形式的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，利用向量的加法来理解复数加法的几何意义，数形结合．【知识要点】1．复数加法与减法的运算法则（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝________________，z 1－z 2＝________________. （2）对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝__________. 2．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是______,与z 1－z 2对应的向量是______．【问题探究】探究点一 复数加减法的运算我们规定，复数的加法法则如下：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i. 提出问题：问题1 两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 问题2 当b ＝0，d ＝0时，与实数加法法则一致吗？ 问题3 它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？问题4 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明． 问题5 类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则． 例1 计算：（1）(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； （2）1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．跟踪训练1 （1）计算2i －[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]； （2）计算(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R).探究点二 复数加减法的几何意义问题1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 问题2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？ 例2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ， A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i.求： （1）AO →对应的复数； （2）对角线CA →对应的复数； （3）对角线OB →对应的复数．跟踪训练2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．探究点三 复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.跟踪训练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.【当堂检测】1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0B ．32＋52IC ．52－52iD ．52－32i2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3C ．－1－iD ．－1－3i3．在复平面内，O 是原点，向量OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →对应的复数为 ( ) A ．2＋8i B ．－6－6i C ．4－4i D ．－4＋2i 4．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在 ( ) A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限【课堂小结】1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．【课后作业】一、基础过关1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i 5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2011i)．二、能力提升7． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是____． 8． 如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 9． 若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求AB →，BC →，AC →对应的复数； （2）判断△ABC 的形状； （3）求△ABC 的面积．3.2.2 复数代数形式的乘除运算【学习要求】1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3．理解共轭复数的概念．【学法指导】复数的乘法可类比多项式的乘法，不必专门记公式；复数的除法是乘法的逆运算，可先写成分数形式，分母“实数化”.【知识要点】1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝__________________. 2．复数乘法的运算律对任意复数z3．共轭复数如果两个复数满足_____时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝_____. 4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i＝____________________【问题探究】探究点一 复数乘除法的运算 问题1 怎样进行复数的乘法？问题2 如何理解复数的乘除法运算法则？ 例1 计算：（1）(2＋i)(2－i)； （2）(1＋2i)2； （3）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i.跟踪训练1 （1）i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i 等于( )A ．1＋iB ．5＋5iC ．－5－5iD ．－1－i（2）复数i 2＋i 3＋i 41－i 等于 ( )A ．－12－12iB ．－12＋12IC ．12－12iD ．12＋12i探究点二 共轭复数及其应用问题 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？例2 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .跟踪训练2 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．【当堂检测】1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于 ( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1 2．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )z 等于 ( )A ．1＋3iB ．3＋3iC ．3－iD ．3 3．复数i －21＋2i等于 ( )A ．iB ．－IC ．－45－35iD ．－45＋35i4．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【课堂小结】1．复数代数形式的乘除运算（1）复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．（2）在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，利用复数相等的充要条件转化．【课后作业】一、基础过关 1． 复数－i ＋1i等于( )A ．－2iB ．12I C ．0D ．2i 2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i3． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14． 在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于 ( )A ．34B ．43C ．－43D ．－346． 若z ＝1＋2ii，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z=________．10．计算：（1）2＋2i (1－i )2＋(21＋i)2 010；（2）(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .探究与拓展13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．（1）求b ，c 的值；（2）试说明1－i 也是方程的根吗？习题课【学习要求】巩固复数的概念和几何意义；理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．【双基检测】1．以1＋2i 的虚部为实部，以3i －2的实部为虚部的新复数是 ( ) A ．2－2i B ．2＋I C ．3＋i D ．2＋3i2．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( ) A ．x ＝3，y ＝3 B ．x ＝5，y ＝1 C ．x ＝－1，y ＝－1 D ．x ＝－1，y ＝13．设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋2i D ．2－2i 4．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于 ( )A ．－1B ．1C ．2D ．35．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1等于( )【题型解法】题型一 复数的四则运算例1 （1）计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i ； （2）已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．跟踪训练1 （1）已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i （2）i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1题型二 复数的几何意义例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C}，试求|z |的最小值和最大值．跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．题型三 两个复数相等例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .跟踪训练3 关于x 的方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0有非零实根，求实数a 的值及方程的实数根．【课堂小结】1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．【课后作业】一、基础过关1． 复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A ．15iB ．15C ．－15iD ．－152． 复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35iB ．35I C ．－iD ．i3． 若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．04． 设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2 5． 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．126． 复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于 ( )A ．5B ．13C ．15D ．17二、能力提升7．已知复数z ＝2－i1－i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝________.8．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； （2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．章末复习课 【知识结构】【题型解法】题型一 分类讨论思想的应用例1 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)满足下列条件？ （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数．跟踪训练1 （1）若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则 ( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2（2）实数x 取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．题型二 数形结合思想的应用例2 已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .跟踪训练2 已知复数z 1＝i(1－i)3. （1）求|z 1|；（2）若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．题型三 转化与化归思想的应用 例3 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围． 跟踪训练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i 2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有（1）i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z)； （2）(1±i)2＝±2i ； （3）设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(ω∈N *)等；（4）(12±32i)3＝－1；（5）作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )ia ＋b i ＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化． 例4 计算：（1）(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；（2）－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 006.跟踪训练4 计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＋(1－i )－(1＋i )2i 5－1－i 2 0111－i章末检测一、选择题1． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD ．2i∈S2． z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3． i 是虚数单位，复数3＋i1－i等于( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i 4． 已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2 5． 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 6． (1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．1 024i7． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．158． 若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9． 已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个二、填空题10．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 11．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________． 12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______． 13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．三、解答题14．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，（1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？15．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.16．计算：（1）(2＋2i )4(1－3i )5；（2）(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.17．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：（1）x 轴上方；（2）直线x ＋y ＋5＝0上．18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.（1）求复数z ；（2）设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．19．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； （2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．复数参考答案3.1.1数系的扩充和复数的概念参考答案1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．2 ±2 8．1 9．－110．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．11．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.12．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.13．解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ②由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.3.1.2 复数的几何意义参考答案1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．2<k <6或－6<k <－2 7．B 8．C 9．三 10．2 5 11．212．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.13．解 根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3， 即点Z 的坐标为(－1，3)， ∴z ＝－1＋3i. 14．(1)C(2) 33.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义参考答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i ＝－1 005＋1 005i.7．3＋I 8.115＋3I 9．110．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ， 故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， 由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， ∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.3.2.2 复数代数形式的乘除运算参考答案1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．1 8．－129．－2i10．解 (1)2＋2i(1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 12．解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．习题课参考答案1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 8．－1 9．410．解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线， 方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．11．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )． 由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.13．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0.所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0， 即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.章末检测答案1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．(3,4) 11．0 12．(1，5) 13．⑤14．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数． 15．解 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由z 1·z 2＝1＋i ， 得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1， 所以z 2＝i.16．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i ) ＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4＝－41＋3i＝－1＋3i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 17．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)， ∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0， 整理得2m 2＋3m －4＝0， 解得m ＝－3±414.18．解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1， 所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ， 所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1. 19．(1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i＝(a ＋a a 2＋b 2)＋(b －ba 2＋b 2)i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1， 还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是[－12，12]．(2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i1＋a ＋b i＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i.。
选修1-2第三章 《复数代数形式的四则运算
学科教师辅导讲义讲义编号学员编号： 年 级：高二 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师:周程 课 题 复数代数形式的四则运算授课日期及时段教学目的1、掌握复数的加法运算及意义2、理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学内容一、课前检测1. 若121212,,z z C z z z z --∈+是( ).A ．纯虚数B ．实数C ．虚数D ．不能确定解析：121212,,(,,,),()()()()z a bi z c di a b c d R z z z z a bi c di a bi c di --=+=+∈+=+-+-+ 22ac bd R =+∈，选B2. 使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数D ．z z -+为实数解析：z z z R -=⇔∈；z z z R =⇒∈，反之不行，例如2z =-；2z 为实数不能推出z R ∈，例如z i =；对于任何z ，z z -+都是实数，选B 3. 13()i i --的虚部为( )A ．8iB ．8i -C ．8D ．8-解析：2133333112()()()()(2)8i i i i i i i i i----=-====-，虚部为8-，选D 4. （12分）已知：复数1cos () z b C a c i =++,2(2)cos 4 z a c B i =-+,且12z z =，其中B 、C 为△ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边． （Ⅰ）求角B 的大小；(Ⅱ) 若22b =，求△ABC 的面积．解析：（Ⅰ）∵12z z = ∴cos (2)cos b C a c B =-----①,4a c +=----②由①得2cos cos cos a B b C c B =+------③在△ABC 中,由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+2sin cos sin()sin()sin A B B C A A π=+=-=∵ 0A π<< ∴sin 0A > ∴1cos 2B =,∵0B π<< ∴3B π=(Ⅱ) ∵22b =,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⇒228a c ac +-=,--④ 由②得22216a c ac ++=-⑤ 由④⑤得83ac =，∴1sin 2ABC S ac B ∆==183232323⨯⨯=. 二、知识梳理1、复数代数形式的加减运算(1)复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (2)复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (3)复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i . z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i . 又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1.∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律. (4)复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i .解法二：∵(1－2i )+(－2+3i )=－1+i ， (3－4i )+(－4+5i )=－1+i ， ……(2001－2002i )+(－2002+2003)i =－1+i . 相加得(共有1001个式子)： 原式=1001(－1+i )+(2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i2、复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).1、复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2、复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ重难点突破一3、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ =1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4、复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 4.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ， ∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ; OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i .∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，例2图∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+ (x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用重难点突破二5、复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
高中数学 3.2复数的四则运算习题课(含解析)苏教版高二选修1-2数学试题
2015年高中数学全套备课精选 3.2复数的四则运算习题课（含解析）苏教版选修1-2 课时目标 1.进一步理解复数的四则运算.2.了解解复数问题的基本思想．1．复数乘方的性质：对任何z ，z 1，即z ∈C 及m 、n ∈N *，有z m ·z n ＝________(z m )n ＝z mn(z 1z 2)n ＝z n 1z n 22．n ∈N *时，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.一、填空题 1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是____________．2．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz ＝______.3．设C ，R ，I 分别表示复数集、实数集、纯虚数集，取C 为全集，下列命题正确的是____________(请填写相应的序号)．①R ∪I ＝C ；②R ∩I ＝{0}；③C ∩I ＝∁I R ；④R∩I ＝∅.4．1＋i 1－i表示为a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 5．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i (x ∈R )，若z 1·z 2为实数，则x ＝________.6．已知复数z 满足z ＋(1＋2i)＝10－3i ，则z ＝________.7．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.8．若x 是实数，y 是纯虚数且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________.二、解答题9．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .10．解方程x 2－(2＋3i)x ＋5＋3i ＝0.能力提升11．已知z 是虚数，且z ＋1z 是实数，求证：z －1z ＋1是纯虚数．12．满足z ＋5z是实数，且z ＋3的实部与虚部互为相反数的虚数z 是否存在，若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．1．对于复数运算中的分式，要先进行分母实数化．2．充分利用复数相等的条件解方程问题．习题课答案知识梳理1．z m ＋n作业设计1．3－3i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，故所求复数为3－3i.2．±i解析 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，依题意2x ＝4且x 2＋y 2＝8，解之得x ＝2，y ＝±2. ∴zz ＝z 2z ·z ＝2±2i28＝±i.3．④解析 复数的概念，纯虚数集和实数集都是复数集的真子集，但其并集不是复数集，当ab ≠0时，a ＋b i 不是实数也不是纯虚数，利用韦恩图可得出结果．4．1解析 ∵1＋i 1－i ＝1＋i 22＝i ，∴a ＝0，b ＝1， 因此a ＋b ＝1.5．－2 6.9＋5i7．2＋i解析 z ＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i 1－2i 5＝10－5i 5＝2－i. ∴z ＝2＋i.8．122i 解析 设y ＝b i (b ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝0b ＝2，∴x ＝12. 9．解 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i (a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则有a 2－b 2＋2ab i －[(2a －3b )＋(3a ＋2b )i]＋5＋3i ＝0，根据复数相等的充要条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2－2a －3b ＋5＝0，2ab －3a ＋2b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1. 故方程的解为x ＝1＋4i 或x ＝1－i. 11．证明 设z ＝a ＋b i (a 、b ∈R )，于是 z ＋1z ＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b i a 2＋b 2 ＝a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i. ∵z ＋1z ∈R ，∴b －b a 2＋b 2＝0. ∵z 是虚数，∴b ≠0，∴a 2＋b 2＝1且a ≠±1.∴z －1z ＋1＝a －1＋b i a ＋1＋b i＝[a －1＋b i][a ＋1－b i]a ＋12＋b 2＝a 2－1＋b 2＋[a ＋1b －a －1b ]i a 2＋b 2＋2a ＋1＝0＋2b i 1＋2a ＋1＝b a ＋1i.∵b ≠0，a ≠－1，a 、b ∈R ， ∴b a ＋1i 是纯虚数，即z －1z ＋1是纯虚数． 12．解 设存在虚数z ＝x ＋y i (x 、y ∈R 且y ≠0)． 因为z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .因为y ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件．。
2014-2015学年高中数学(人教版选修1-2)课时训练第三章 3.2 复数代数形式的四则运算
解析：z1－ z 2＝(3＋4i)(a－i)＝3a＋4＋(4a－ 3)i， 3 － ∵z1 z 2 是实数，∴4a－3＝0，即 a＝ .故选 A. 4 答案：A
链 接
基础 自测
4．已知 z∈C，且(3＋z)i＝1，则 z＝________.
1 解析：∵(3＋z)i＝1，∴3＋z＝ ，即 3＋z 栏 目 i 链 接 ＝－i， ∴z＝－3－i. 答案：－3－i
基础 梳理
3.共轭复数． 虚部互为相反数 当两个复数的实部相等 ________， ________________________ 时， 称这两 个复数是互为共轭复数．设复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，则它的共轭复 栏 目 － a － b i 数记为 z ＝__________(a，b∈R)．,
接
解析： z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i 是纯虚数， ∴a＋c＝0 且 b＋d≠0.故选 D. 答案：D
基础 自测
→ 对应复数 3－2i，OB → 对应复数－4－i，则AB → 对应 2．已知向量OA 复数为( ) A．－1－i B．7－3i C．－7＋i D．1＋i
→ ＝OB → －OA → ＝(－4－i)－(3－2i)＝－7＋i.故选 C. 解析： AB 答案：C
栏 目 链 接
基础 自测
( 3．已知复数 z1＝3＋4i，z2＝a＋i 且 z1－ z 2 是实数，则实数 a 等于 ) 3 4 A. B. 4 3 4 3 栏 C．－ D．－ 目 3 4
式， 再把分子与分母都乘以分母的共轭复数
化简后可得结果，
实际上就是将分母实数化．这与根式除法中的分母“有理化”很类 似．最后的结果一定要写成实部和虚部分开的形式
栏 目 链 接
高二数学人教选修1-2第3单元3-1-2复数的几何意义课后练习及解析
高二数学人教选修1-2课后练习第3章数系的扩充与复数3.1.2 复数的几何意义一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016²青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.2.(2016²黄山高二检测)设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为z=cosθ+isinθ对应的点坐标为(cosθ,sinθ),且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,所以所以θ为第二象限角.【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于( )A.实轴对称B.虚轴对称C.一、三象限平分线对称D.二、四象限平分线对称【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为( )A.-1+iB.1-iC.-5-5iD.5+5i【解析】选D.因为由已知=(2,3),=(-3,-2),所以=-=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),所以对应的复数为5+5i.4.(2016²烟台高二检测)过原点和-i对应点的直线的倾斜角是( )A. B.- C. D.【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.5.(2016²西安高二检测)复数1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( )A.2cosB.-2cosC.2sinD.-2sin 【解析】选B.所求复数的模为==，因为π<α<2π，所以<<π，所以cos<0，所以=-2cos.【误区警示】本题容易忽视cos<0而错选A.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2016²潍坊高二检测)若复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.【解析】复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.答案：27.(2016²武汉高二检测)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.答案:-2+3i8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________. 【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2), =(-2,-3).又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016²郑州高二检测)在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O 是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=(-3,-1),=(5,1),所以+=(-3,-1)+(5,1)=(2,0),所以向量+对应的复数是2,又=-=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2),所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)对应点在x轴上方.(5)对应点在直线x+y+5=0上.【解析】(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.(3)由得m=-2.故当m=-2时,z为纯虚数.(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,得m=或m=.故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016²太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB 的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A(6,5),B(-2,3),又C为线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i.【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x 对称,则点Z3对应的复数为z=________.【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),所以z=3+2i.答案:3+2i2.(2016²福州高二检测)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为( )A.1B.2C.D.3【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离.【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,而|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,所以其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.【补偿训练】已知f(z)=|1+z|-z且f(-z)=10+3i,则复数z为________.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则f(-z)=|1-x-yi|+(x+yi)=10+3i,所以所以所以z=5+3i.答案:5+3i二、填空题(每小题5分,共10分)3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°.答案:180°【误区警示】注意|z|=a(a>0)z=±a.4.(2016²南宁高二检测)复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,所以解得-1<a<2.由条件得|z|====,因为-1<a<2,所以|z|∈.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016²广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i 的点(1)位于第四象限.(2)位于第一、三象限.【解析】(1)⇒⇒-2<m<3或5<m<7.(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0⇒(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,得m<-2或3<m<5或m>7.【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0⇒m=1±2.【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,所以>|x2+a|对x∈R恒成立,等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.不等式等价于①:解得a=,所以a=时,0²x2+>0恒成立.或②:解得-1<a<.所以a∈.综上,可得实数a的取值范围是.6.(2016²合肥高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以所以即a的值为-.【补偿训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.【解析】由(x-2)+yi是虚数,得y≠0,又由|(x-2)+yi|=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去(2±,0)).过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.【方法技巧】常见复数模的几何意义复数的模在复平面内对应的常见图形为:(1)以z0为圆心,r为半径的圆:|z-z0|=r.(2)线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016²青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.2.(2016²黄山高二检测)设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为z=cosθ+isinθ对应的点坐标为(cosθ,sinθ),且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,所以所以θ为第二象限角.【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于( )A.实轴对称B.虚轴对称C.一、三象限平分线对称D.二、四象限平分线对称【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为( )A.-1+iB.1-iC.-5-5iD.5+5i【解析】选D.因为由已知=(2,3),=(-3,-2),所以=-=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),所以对应的复数为5+5i.4.(2016²烟台高二检测)过原点和-i对应点的直线的倾斜角是( )A. B.- C. D.【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.5.(2016²西安高二检测)复数1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( )A.2cosB.-2cosC.2sinD.-2sin【解析】选B.所求复数的模为==，因为π<α<2π，所以<<π，所以cos<0，所以=-2cos.【误区警示】本题容易忽视cos<0而错选A.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2016²潍坊高二检测)若复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.【解析】复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.答案：27.(2016²武汉高二检测)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.答案:-2+3i8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________. 【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2), =(-2,-3).又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016²郑州高二检测)在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O 是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=(-3,-1),=(5,1),所以+=(-3,-1)+(5,1)=(2,0),所以向量+对应的复数是2,又=-=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2),所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)对应点在x轴上方.(5)对应点在直线x+y+5=0上.【解析】(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.(3)由得m=-2.故当m=-2时,z为纯虚数.(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,得m=或m=.故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016²太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB 的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A(6,5),B(-2,3),又C为线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i.【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x 对称,则点Z3对应的复数为z=________.【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),所以z=3+2i.答案:3+2i2.(2016²福州高二检测)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为( )A.1B.2C.D.3【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离.【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,而|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,所以其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.【补偿训练】已知f(z)=|1+z|-z且f(-z)=10+3i,则复数z为________.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则f(-z)=|1-x-yi|+(x+yi)=10+3i,所以所以所以z=5+3i.答案:5+3i二、填空题(每小题5分,共10分)3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°.答案:180°【误区警示】注意|z|=a(a>0)z=±a.4.(2016²南宁高二检测)复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,所以解得-1<a<2.由条件得|z|====,因为-1<a<2,所以|z|∈.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016²广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i 的点(1)位于第四象限.(2)位于第一、三象限.【解析】(1)⇒⇒-2<m<3或5<m<7.(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0⇒(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,得m<-2或3<m<5或m>7.【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0⇒m=1±2.【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,所以>|x2+a|对x∈R恒成立,等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.不等式等价于①:解得a=,所以a=时,0²x2+>0恒成立.或②:解得-1<a<.所以a∈.综上,可得实数a的取值范围是.6.(2016²合肥高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以所以即a的值为-.【补偿训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.【解析】由(x-2)+yi是虚数,得y≠0,又由|(x-2)+yi|=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去(2±,0)).过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.【方法技巧】常见复数模的几何意义复数的模在复平面内对应的常见图形为:(1)以z0为圆心,r为半径的圆:|z-z0|=r.(2)线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014²重庆高考)实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题指南】根据复数的几何意义直接写出复数对应复平面内点的坐标进行判断.【解析】选B.实部为-2，虚部为1的复数所对应的复平面内的点为(-2，1)，位于第二象限，故选B.【补偿训练】(2015²郑州高二检测)已知a∈R,且0<a<1,i为虚数单位,则复数z=a+(a-1)i 在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为0<a<1,所以a>0且a-1<0,故复数z=a+(a-1)i在复平面内所对应的点(a,a-1)位于第四象限.故选D.2.(2015²大连高二检测)若复数z=(a2-3a+2)+(a2-4)i对应的点在虚轴上(不包含原点),则实数a的值等于( )A.1B.2C.1或2D.±2【解析】选A.复数z对应的点的坐标是(a2-3a+2,a2-4),依题意应有解得a=1,即实数a的值等于1.3.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,则实数x的取值范围是( )A.-<x<2B.x<2C.x>-D.x<-或x>2【解析】选A.依题意应有<,即5x2-6x+2<10,解得-<x<2,故选A. 【补偿训练】1.使|lo x-4i|≥|3+4i|成立的x的取值范围是( )A. B.(0，1]∪[8，+∞)C.∪[8，+∞)D.(0，1)∪(8，+∞)【解析】选C.因为|lo x-4i|≥|3+4i|==5，所以(lo x)2+42≥25，所以≥9，所以lo x≥3或lo x≤-3，所以0<x≤或x≥8.2.已知i为虚数单位，z1=a+i，z2=2-i，且|z1|=|z2|，求实数a的值.【解析】因为a为实数，所以|z1|=，|z2|==，因为|z1|=|z2|，所以=.所以a2=4，所以a=〒24.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i【解析】选C.复数6+5i对应A点坐标为(6,5),-2+3i对应B点坐标为(-2,3).由中点坐标公式知C点坐标为(2,4),所以点C对应的复数为2+4i.故选C.5.在复平面内,O为原点,若向量对应的复数z的实部为3,且||=3,如果点A关于原点的对称点为点B,则向量对应的复数为( )A.-3B.3C.3iD.-3i【解析】选 A.根据题意设复数z=3+bi,由复数与复平面内的点、向量的对应关系得=(3,b),已知||=3,即=3,解得b=0,故z=3,点A的坐标为(3,0).因此,点A关于原点的对称点为B(-3,0),所以向量对应的复数为z'=-3.二、填空题(每小题5分，共15分)6.复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为.【解析】由题意知||=|z|==13.答案:13【补偿训练】(2015²武汉高二检测)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2= .【解析】z1在复平面上的对应点为(2，-3)，关于原点的对称点为(-2，3)，故z2=-2+3i.答案：-2+3i7.设z为纯虚数，且|z-1|=|-1+i|，则复数z= .【解题指南】设z=ai(a∈R，且a≠0)，利用模长公式来求解.【解析】因为z为纯虚数，所以设z=ai(a∈R，且a≠0)，则|z-1|=|ai-1|=.又因为|-1+i|=，所以=，即a2=1，所以a=〒1，即z=〒i.答案：〒i8.已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是.【解析】由已知,得解得1<x<2.答案:(1,2)【补偿训练】i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2= .【解题指南】利用复数的几何意义求解.【解析】根据复数的几何意义,z1=2-3i与z2=-2+3i关于原点对称.答案:-2+3i三、解答题(每小题10分，共20分)9.设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?(1)|z|=2.(2)|z|≤3.【解题指南】利用复数模的计算公式转化为实际x,y满足的条件来求解.【解析】(1)|z|=2,表明向量的模(长度)等于2,即点Z到原点的距离等于2,因此满足|z|=2的点Z的集合是以原点O为圆心,以2为半径的圆.(2)满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.【一题多解】本题还可用下面的解法设z=x+yi(x,y∈R)(1)由|z|=2,得=2,所以x2+y2=4,所以点Z的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆.(2)由|z|≤3,得≤3,所以x2+y2≤9,所以点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.【补偿训练】已知z1=x2+i，z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立，求实数a的取值范围.【解题指南】根据复数的代数形式求模后，转化为含参数的二次不等式来求解.【解析】因为|z1|=，|z2|=|x2+a|，且|z1|>|z2|，所以>|x2+a|⇔(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.不等式等价于①：1-2a=0⇒a=，即a=时，0·x2+>0恒成立.或②：⇒-1<a<.所以a∈.因此实数a的取值范围是.10.实数m分别取什么数时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.(1)对应的点在第三象限?(2)对应的点在直线x+y+4=0?【解析】z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.因为m∈R,所以z的实部为m2+5m+6,虚部为m2-2m-15.(1)要使z对应的点在第三象限,必有⇒所以-3<m<-2.(2)要使z对应的点在直线x+y+4=0上,必有点(m2+5m+6,m2-2m-15)满足方程x+y+4=0,所以(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,解得m=-或m=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的是( )A.z对应的点在第一象限B.z一定不是纯虚数C.z对应的点在实轴上方D.z一定是实数【解析】选C.因为2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)的值可正、可负、可为0,t2+2t+2=(t+1)2+1≥1,所以排除A,B,D.故选C.2.下列命题中的假命题是( )A.复数的模是非负实数B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|【解析】选D.①任意复数z=a+bi(a，b∈R)的模|z|=≥0总成立.所以A为真；②由复数相等的条件z=0⇔⇔|z|=0，故B为真；③若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R).若z1=z2，则有a1=a2，b1=b2，所以|z1|=|z2|，反之由|z1|=|z2|，推不出z1=z2，如z1=1+3i，z2=1-3i时|z1|=|z2|，故C为真；④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，所以D为假命题.故选D.二、填空题(每小题5分，共10分)3.复数z=sin40°+isin230°的模等于.【解析】|z|====1.答案:14.若复数z1=3-5i,z2=1-i,z3=-2+ai在复平面内所对应的点在同一条直线上,则实数a= .【解题指南】根据三个复数对应的点共线,可得到任两点连线的斜率相等,建立方程可求a 的值.【解析】设复数z1,z2,z3分别对应点P1(3,-5),P2(1,-1),P3(-2,a),由已知可得=,从而可得a=5.答案:5三、解答题(每小题10分，共20分)5.实数k为何值时,复数z=k2-3k-4+(k2-5k-6)i对应的点位于:(1)x轴正半轴上?(2)y轴负半轴上?(3)第四象限的角平分线上?【解题指南】先确定复数的实部与虚部,并求出复数z的对应点,再进行计算.【解析】因为k为实数,所以k2-3k-4,k2-5k-6都为实数,所以复数z=k2-3k-4+(k2-5k-6)i的对应点Z的坐标为(k2-3k-4,k2-5k-6).(1)若对应点位于x轴正半轴上,则解得k=6.(2)若对应点位于y轴负半轴上,则解得k=4.(3)若对应点位于第四象限的角平分线上,又第四象限的角平分线的方程为y=-x(x>0),所以解得k=5.【补偿训练】已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围).(1)在实轴上.(2)在第三象限.(3)在抛物线y2=4x上.【解析】复数z=(a2-1)+(2a-1)i在复平面内对应的点是(a2-1，2a-1).(1)若z对应的点在实轴上，则有2a-1=0，解得a=.(2)若z对应的点在第三象限，则有解得-1<a<.(3)若z对应的点在抛物线y2=4x上，则有(2a-1)2=4(a2-1)，即4a2-4a+1=4a2-4，解得a=.6.复数i，1，4+2i分别对应平面上A，B，C三点，另取一点D作平行四边形ABCD，求BD 的长.【解析】由题意得向量对应的复数为1-i，设D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，则=(4-x，2-y)，由=，得解得所以D对应的复数为3+3i，所以=(2，3)，则||=，即BD的长为.。
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复习回顾 一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
②设 1
2
3 2
i,则有:
3
1; 2
__
;1
2
0.
__
__
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也
有类似于上面的三个等式.
③ (1 i)2 2i; 1 i; 1 i i; 1 i i.
解：z2
1i z1
1i 1i
(1 i)2 (1 i)(1 i)
2i i 2
2009浙江高考题
例4.设z 1 i(i是虚数单位），则2 z2
z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
解：原式 2 (1 i)2 2 2i
1 i
1 i
2(1 i) 2i 2(1 i) 2i
(1 i)(1 i)
2
1 i
教参64页第12题
已知 z1为虚数，z2
z1
1 z1
是实数,
且
1
z2
1.
1)求 | z1 |的值以及z1的实部的取值范围
2设 = 1 z1 ，求证为纯虚数
1 z1
解：设z1 a bi(a,b R,且b 0),则
1
1
z2 z1 z1 =a bi+ a bi
=
a
a2a b2源自ba2b
b2
i
z2是实数,b 0
b b b(1 1 ) 0,
a2 b2
a2 b2
a2 b2 1,即| z1 | =1，z2 2a,
由1 z2 1，得 1 2a 1.
解得 1 a 1 ,
2
2
即z1的实部的取值范围
1 2
，1 2
.
（2）= 1 z1 = 1 a bi
i
1i 1i
1.(2012年山东文数）若复数z满足
z(2-i)=11+7i(为虚数单位)，则z为( A )
A. 3 5Bi. 3 5iC. 3 5iD. 3 5i
z 11 7i (11 7i)(2 i) 22 7 (14 11)i 3 5i
2i
5
5
练习
1.已知复数z1 1 i, z1 • z2 1 i, 则复数z2 ______
1 z1 1 a bi
1 a2 b2 2bi b
(1 a)2 b2
i a 1
因为a
1 2
，1 2
,
b
0,为纯虚数
例2：如果复数
2 1
2bii（其中i为虚数单位，b为实数）
的实部和虚部互为相反数，那么b等于
A. 2
B. 2
C.－ 2
D.2
3
3
解析：2
1
bi 2i
=
(2
bi)(1 5
-
∴2－2b=b+4，b=－
已知z=1+i，z 2 az b
z2 z 1
1i
求实数a，b的值
分析: 代入化简后，通过复数相等，把复数问题转
化为实数问题来解
2i) =
2
3.
2
2b
(b 5
4)i
答案：C
例3：设f(n)=(1 i )n+(1 i )n(n∈Z)，则集合
1 i 1i
｛x｜x=f(n)｝中元素的个数是
A.1
B.2
C.3
D.无穷多个
解析：∵f(n)=in+(－i)n， ∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0. ∴｛x｜x=f(n)｝=｛－2，0，2｝. 答案：C