FIR低通滤波器加窗效应分析要点

目录一.摘要 (2)二.引言 (3)三.FIR滤波器设计 (4)3.1 线性相位FIR滤波器的条件与特点3.2 用窗函数法设计FIR滤波器的基本原理3.3 用窗函数法设计FIR滤波器的一般步骤3.4 FIR滤波器加窗效应分析3.5 几种常用窗函数简介四 MATLAB仿真滤波实现 (14)4.1 MATLAB软件简介4.2 设计中主要用到的MATLAB函数4.3 实验程序及结果分析五心得体会与总结 (21)六参考文献 (22)1一.摘要数字滤波器一词出现在60年代中期。

由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展，数字滤波器已可用计算机软件实现，也可用大规模集成数字硬件实时实现。

数字滤波器是一个离散时间系统（按预定的算法，将输入离散时间信号(对应数字频率)转换为所要求的输出离散时间信号的特定功能装置）。

应用数字滤波器处理模拟信号（对应模拟频率）时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。

数字滤波器输入信号的数字频率（2π*f/fs,f为模拟信号的频率，fs为采样频率，注意区别于模拟频率),按照奈奎斯特抽样定理，要使抽样信号的频谱不产生重叠，应小于折叠频率（ws/2=π)，其频率响应具有以2π为间隔的周期重复特性，且以折叠频率即ω=π点对称。

为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换、平滑。

数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。

数字滤波器在语言信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。

数字滤波器有低通、高通、带通、带阻和全通等类型。

它可以是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。

应用最广的是线性、时不变数字滤波器，以及f.i.r滤波器。

2二.引言随着信息技术的迅猛发展，数字信号处理已成为一个极其重要的学科和技术领域。

在通信、语音、图像、自动控制和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。

数字滤波是数字信号处理的重要环节，它在数字信号处理中占有着重要的地位,它具有可靠性好、精度高、灵活性大、体积小、重量轻等优点。

随着数字技术的发展，数字滤波器越来越受到人们的重视，广泛地应用于各个领域。

数字滤波器的输入输出信号都是数字信号，它是通过一定的运算过程改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分来实现滤波的，这种运算过程是由乘法器、加法器和单位延迟器组成的。

数字滤波器是数字信号处理技术的重要内容，其对数字信号进行的最常见处理是保留数字信号中的有用频率成分和去除信号中的无用频率成分。

按照时间域的特性，数字滤波器可以分为无限冲激脉冲响应数字滤波器（IIR滤波器）和有限冲激脉冲响应数字滤波器（FIR滤波器）。

34三 FIR 滤波器设计3.1 线性相位FIR 滤波器的条件与特点FIR DF 的系统函数无分母，为∑∑-=--=-==1010)()(N n n N i i i z n h z b z H ，系统频率响应可写成：∑-=-=10)()(N n j w n jw e n h e H ，令)(jw e H ＝)()(w j e w H Φ，H(w)称为幅度函数，)(w Φ称为相位函数。

这与模和幅角的表示法有所不同，H(w)为可正可负的实数，这是为了表达上的方便。

线性相位的FIR 滤波器是指其相位函数)(w Φ满足线性方程： )(w Φ＝βα+-w （βα,是常数）根据群时延的定义，式中α表示系统群时延，β表示附加相移。

线性相位的FIR 系统都具有恒群时延特性，因为α为常数，但只有β＝0的FIR 系统采具有恒相时延特性。

第一类FIR DF 的特点：恒相时延，相位曲线是过原点的曲线；可通过h(n)灵活设计幅度函数的零点位置；幅度函数对频率轴零点偶对称)()(w H w H -=，对π点偶对称)2()(w H w H -=π。

5第二类FIR DF 的特点：恒相时延，相位曲线是过原点的直线；幅度函数对频率轴零点偶对称)()(w H w H -=；幅度函数对频率轴π点奇对称)2()(w H w H --=π。

由)(w H 的连续性，π点一定是幅度函数的零点。

即π=w 时，)(0)(0)]21(cos[z H H n w ⇒=⇒=-π在z=-1处有零点；因此这类滤波器不适合高通或带阻滤波器。

第三类FIR DF 的特点：恒群时延，有2π附加相移，相位曲线是截距为2π、斜率为21--N 的直线； 幅度函数对零频点奇对称)()(w H w H --=，零频是)(w H 的零点； 对π奇对称)2()(w H w H --=π，π也是)(w H 的零点。

第四类FIR DF 的特点：恒群时延，有2π附加相移，相位曲线是截距为2π、斜率为21--N 的直线； 幅度函数对零频点奇对称)()(w H w H --=，零频是)(w H 的零点； 对π偶对称)2()(w H w H -=π。

3.2 用窗函数法设计FIR 滤波器的基本原理设所希望得到的滤波器的理想频率响应为)(jw d e H 。

那么FIR 滤波器6的设计就在于寻找一个传递函数∑∞=-=0)()(n j w n jw en h e H 去逼近)(jw d e H 。

在这种逼近中最直接的一种方法是从单位取样响应序列)(n h 着手，使)(n h 逼近理想的单位取样响应)(n h d 。

我们知道)(n h d 可以从理想频率响应)(jw d e H 通过傅里叶反变换来得到，即：⎰∑==∞∞=-ππ20)(21)()()(dwe e H n h e n h e H jwn jw d d n jwn d jwd但是一般来说，这样得到的单位取样响应)(n h d 往往都是无限长序列；而且是非因果的。

我们以一个截止频率为c w 的线性相应位理想低通为例来说明。

设低通滤波器的时延为∂，即：⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=∂-πw w w w e e H c cjw jw d 0)(则dw e n h cc e w w jwn jwd ⎰-∂=π21)()()](sin[∂-∂-=n n w c π这是一个以∂为中心的偶对称的无限长非因果序列。

这样一个无限长的序列怎样用一个有限长序列去近似呢？最简单的办法就是直接截取它的一段来代替它。

例如把0=n 到1-=N n 的一段截取来作为)(n h ，但是为要保证所得到的是线性相位滤波器。

必须满足)(n h 的对称性，所以时延∂7应该取)(n h 长度的一半，即2/)1(-=∂N⎩⎨⎧-≤≤=n N n n h n h d其它010)()( 这种直接截取的办法可以形象地想象为：)(n h 好比是通过一个“窗口”所看到的一段)(n h d 。

)(n h 中表达为)(n h d 和一个“窗口函数”的乘积。

在这里，窗口函数就是矩形脉冲函数)(n R N ，即)()()(n R n h n h N d ⋅=但是一般来说，窗口函数并不一定是矩形函数，可以在矩形以内还对)(n h d 作一定的加权处理，因此，一般可以表示为)()()(n w n h n h d ⋅= 这里)(n w 就是窗口函数。

按照复卷积公式，在时域中的乘积关系可表示成在频域中的周期性卷积关系，即可得所设计的FIR 滤波器的频率响应:其中，()j w e ω为截断窗函数的频率特性。

由此可见，实际的FIR 数字滤波器的频率响应()j h e ω逼近理想滤波器频率响应的好坏，完全取决于窗函数的频率特性()j w e ω。

8如果w(n)具有下列形式：⎩⎨⎧<≤≥<=N n N n n n w 0,1,0,0)( w(n)相当于一个矩形，我们称之为矩形窗。

即我们可采用矩形窗函数w(n)将无限脉冲响应)(n h d 截取一段)(n h 来近似为)(n h d 。

3.3用窗函数法设计FIR 滤波器的一般步骤（1）确定逼近理想滤波器的频率响应函数)(jw d e H ；（2）求出理想的单位抽样响应)(n h d ；（3）根据过渡带宽和阻带最小衰件等要求，选择窗函数，并确定窗口长度；（4）求所设计的FIR 滤波器的单位抽样响应)()()(n w n h n h d =；（5）计算频率响应)]([)(n h DTFT e H jw=，验算指标是否满足要求，若不满足，则要重新设计 3.4 FIR 滤波器加窗效应分析经过加矩形窗后所得的滤波器实际频率响应能否很好地逼近理想频率响应呢？下图给出了理想滤波器加矩形窗后的情况。

理想低通滤波器的频率响应如图中左上角图，矩形窗的频率响应)(ωj ew 为左下角图。

根据卷积定理，即得实际滤波器的频率响应()j H e ω图形为图中右图。

9图（1）由图可看出，加矩形窗后使实际频率响应偏离理想频率响应，主要影响有两个方面：（1）在理想幅频特性陡直边缘处形成过渡带，过渡带宽取决于矩形窗函数频率响应的主瓣宽度N /4π。

（2）过渡带两侧形成肩峰和波纹，这是矩形窗函数频率响应的旁瓣引起的，旁瓣相对值越大，旁瓣越多，波纹越多。

3.5 几种常用窗函数简介1. 矩形窗矩形窗函数的时域形式可以表示为：1,01()()0,N n N w n R n ≤≤-⎧==⎨⎩其他它的频域特性为：10 ()1j j 2sin 2e e sin 2N N W ωωωω-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭2.汉宁窗函数汉宁窗函数的时域形式可以表示为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1π2cos 15.0)(n k k w N k ,,2,1 = 它的频域特性为：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=21j e 1π21π225.05.0N R R R N W N W W W ωωωωω其中，)(ωR W 为矩形窗函数的幅度频率特性函数。

汉宁窗函数的最大旁瓣值比主瓣值低31dB ，但是主瓣宽度比矩形窗函数的主瓣宽度增加了1倍，为8π/N 。

3.海明窗函数海明窗函数的时域形式可以表示为:⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1π2cos 46.054.0)(N k k w N k ,,2,1 =它的频域特性为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=1π21π223.0)(54.0)(N W N W W W R R R ωωωω其中，()RWω为矩形窗函数的幅度频率特性函数。

海明窗函数的最大旁瓣值比主瓣值低41dB，但它和汉宁窗函数的主瓣宽度是一样大的。

4.布莱克曼窗增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，增加N可减少过渡带。

频谱的幅度函数为：+0.045.三角窗函数三角窗是最简单的频谱函数()jW eω为非负的一种窗函数。

三角窗函数的时域形式可以表示为：当n为奇数时：1112⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+++-+≤≤+=n k n n k n n k n k k w 21,1)1(2211,12)(当n 为偶数时：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-=n k n n k n n k n k k w 2,)1(221,12)(它的频域特性为：()()221j j 2sin 41sin 12e e ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--ωωωωN N W N R 三角窗函数的主瓣宽度为8π/N ，比矩形窗函数的主瓣宽度增加了一倍，但是它的旁瓣宽度却小得多。