七年级数学上册第2章《有理数的加减混合运算》知识点解读(北师大版)

《有理数的加减混合运算》知识点解读
知识点1 将有理数的加减混合运算统一为加法运算（重点）
★在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法，也就是将有理数的加减混合运算统一为单一的加法运算.如（－8）－7+（－6）－（－5）=（－8）+（－7）+（－6）+（+5）.
★在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式.如（－8）+（－7）+（－6）+（+5）=－8－7－6+5.
★和式的读法：如上面的例子，一是按这个式子表示的意义读作“负8，负7，负6，正5的和”；二是按运算意义读作“负8减7减6加5”.
★省略括号的和的形式，可看作是有理数的加法运算.因此，可运用加法运算律来使计算简化，但要注意运算的合理性.①在交换加数位置时，要连同前面的符号一起交换.②在运用加法结合律时，有时也把减号看作负号.
例1把（－6）－（－3）+（－2）－（+6）－（－7）写出省略括号的和的形式是读作或.
分析：首先应把这个式子中的减法转化为加法，再写成省略号的和的形式.
解：（－6）－（－3）+（－2）－（+6）－（－7）
=（－6）+（+3）+（－2）+（－6）+（+7）
=－6+3－2－6+7.
读作：负6，正3，负2，负6，正7的和，或读作：负6加3减2减6加7.
答案：－6+3－2－6+7；负6，正3，负2，负6，正7的和；负6加3减2减6加7.
点拨：（1）在省略括号的代数和中，性质符号和运算符号是统一的.
（2）省略括号的方法：①若括号前是“+”，则省略括号及括号前的“+”后，原括号内的各项不变号；②若括号前是“-”则省略括号及括号前的“-”后，原括号内各项的符号变为原来相反的符号.
知识点2 有理数加减混合运算的步骤（难点）
第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法.
第二步：写出省略加号、括号的各数和的形式.
第三步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算.
例2 计算：11(0.5)(3) 3.75(8).42
---+-+ 分析：按有理数减法法则，把减法统一成加法，运用运算律进行简便运算.
解：原式=11311113338(8)(33)97224422244
-++-=--++=-+=-. 点拨：进行有理数加减混合运算时一定要注意符号.同时在运算过程中，通常把同分母的分数或者易于通分的分数归类进行计算.
知识点3 有理数加减混合运算的注意事项
①运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同它们前面的符号一起交换，千万不要把符号漏掉，因为一个数包括两个方面，一方面是符号，另一方面是绝对值．例如8－5＋7应变成8＋7－5，而不能变成8－7＋5；
②应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形，从而选择适当的方法，使运算简便；
③当分数、小数混在一块运算时，可以把它们统一成分数或小数再运算； ④如果有大括号和小括号应当先转化小括号里的运算，再转化大括号里的运算．
反之，进行有理数的加减混合运算，有时候需要添加括号，一定要连同加数的符号一起括进括号内，并将原来已省略的加号写进来．
【例3】 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－837＋(－7.5)＋⎝
⎛⎭⎪⎫－2147＋⎝ ⎛⎭⎪⎫＋312； 分析：异分母分数的加减混合运算统一成加法之后，应用运算律使同分母分数相加可以简化运算．
解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－837＋(－7.5)＋⎝
⎛⎭⎪⎫－2147＋⎝ ⎛⎭⎪⎫＋312 ＝－837－7.5－2147＋312
＝－837－2147－7.5＋312
＝－30－4
＝－34.
知识点4 既含小数又含分数的有理数加减混合运算
解题时先将减法转化为加法，再按照以下的四条思路进行转化：
一是将小数统一化成分数，
二是将分数统一化成小数，
三是将小数与小数，分数与分数分别结合，
四是将各数的整数部分和分数(小数)部分分别结合．
析规律 有理数加减混合运算的运算顺序 注意运算的顺序，如果是同一级的运算，可以同时完成化简绝对值符号和减法变加法的运算过程．
有括号的要先计算括号里面的，有绝对值符号的也要先根据数或式的取值范围化去绝对值符号再进行运算．
【例4】 计算：(1)－4.2－[(－0.2)－(－7.5＋0.4)]＋(－3.8)；
(2)(－1)－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2－(－4)＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13. 分析：有多重括号的，先计算小括号里面的，再计算大括号里面的，有绝对值符号的要先把绝对值符号化简．
解：(1)－4.2－[(－0.2)－(－7.5＋0.4)]＋(－3.8)
＝－4.2－[(－0.2)－(－7.1)]＋(－3.8)
＝－4.2－[(－0.2)＋(＋7.1)]＋(－3.8)
＝－4.2＋(－6.9)＋(－3.8)＝－14.9.
(2)(－1)－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2－(－4)＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝(－1)－⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－2＋(＋4)＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝(－1)－216
＝－316
. 知识点5 利用有理数加减法运算解决实际问题（重点）
“水位的变化”问题是典型的利用有理数的加减混合运算的实际问题，首先要理解在水位的变化图表下面标明的“注”或者“注意”的含义：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，参考对象是前一天的水位.
例3 一名潜水员在水下80米处发现一条鲨鱼在离他不远处的上方25米的位置
往下游追逐猎物，当它向下游42米后追上猎物，此时猎物做垂死挣扎立刻反向上游，鲨鱼紧紧尾随，又游了10米后被鲨鱼一口吞吃.
（1）求鲨鱼吃掉猎物时所在的位置；
（2）与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，鲨鱼的位置有什么变化？
解析：本题主要考查应用有理数的加减混合运算解释实际问题，向上游与向下游是一对具有相反意义的量，可以用正数、负数来表示.若设向上游的高度为正数，则向下游的高度为负数.求出几个有理数的和，就可以判断鲨鱼吃掉猎物时所在的位置.
答案：（1）设鲨鱼向上游的高度为正，潜水员在水下80米记为－80米，依据题意可得，鲨鱼吃掉猎物时所在的位置是
－80+25－42+10=（－80－42）+（25+10）=－122+35=－87（米）.
（2）鲨鱼原来的位置是－80+25=－55(米).所以鲨鱼原来在水下55米处.所以与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，它向下游了32米.
点拨：题目中已知条件给出一对具有相反意义的量，但没规定正负，解题时应先规定正、负才能解决问题.
【类型突破】某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下：（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负号）
根据记录回答下列问题：
（1）本周三生产了多少辆摩托车？
（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加了还是减少了？
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？
解析：首先必须弄清表中每个数据的意义，它是表示实际每日与计划量的差额，列出准确算式是关键.
答案：（1）300+（－3）=297辆，即本周三生产了297辆.
（2）因为表数据中是每日与计划量300的差值，故先求出这些差值的和：
（－5）+7+（－3）+4+10+（－9）+（－25）
=[（－5）+（－3）+（－9）+（－25）]+7+4+10
=－42+21=－21.
所以本周总生产量与计划生产量相比，是减少了21辆；
（3）产值最多的一天是周五，而产量最少的一天是周日，其差是：（+10）－（－25）=10+25=35辆.
即产量最多的一天比产量最少的一天多生产了35辆.
点拨：弄清表格中数据表示的意义是解题的首要条件.
知识点6 折线统计图（难点）
根据相关数据，在图中标出能反映这些数据特征的点，然后再按照事物发展的一种趋势，将标出的点连成折线，这样就得到了折线统计图.
★画折线统计图的步骤：
（1）首先确定题目中折线统计图的标题，即应弄清楚要画的是说明什么问题的折线统计图.
（2）确定一个量或一个数值为0点，有的题目直接给出0点.
（3）标出横线和竖线的单位，使看图的人能够看懂，并能正确使用.
（4）恰当选择单位长度，使画出的折线统计图既不太靠上，又不太靠下，有明显的上升和下降的幅度，能清楚地看出变化的情况.
（5）竖线上选取的最高点最好比实际最高值略高一些，最低点比实际最低值略低些，这样能突出最大值和最小值的变化幅度.
例4下表为某个雨季某水库管理员记录的水库一周内的水位变化情况，警戒水位为150m（上周末的水位达到警戒水位）.
注：正数表示比前一天水位上升，负数表示比前一天水位下降.
（1）本周哪一天水位最高？有多少米？
（2）根据给出的数据，请利用折线统计图分析一下本周内该水库的水位变化情况.（在不放水的情况下）
分析：本周星期一到星期四，水位一直上升，星期五下降，星期六的上升值又低于星期五的下降值，故最高水位出现在周四.
解：星期四水位最高，（+0.38+0.25+0.54+0.13）+150=151.3（m）
（2）由已知条件，可求出一周内各天相对于警戒水位的变化情况，列表如下：星期一二三四五六日
水位变化/m +0.38 +0.63 +1.17 +1.30 +0.85 +1.21 +1.02 以警戒水位为0点，用折线统计图表示在不放水的情况下该水库一周内的水位变化情况如图所示.。