投资收益和风险的优化模型

投资收益和风险的优化模型

摘要

如何投资是现代企业所要面临的一个实际问题，投资的目标是收益尽可能大，但是投资往往都伴随着风险。实际情况不可能保证风险和收益同时达到最优，因为收益和风险是矛盾的两个方面，收益的增长必然伴随着风险的提高。“高风险，高回报”是经济学中一个重要的准则。

但是企业总是追求风险尽可能小，与此同时又追求收益尽可能大。怎样分配资金才能做到统筹兼顾？

在本文中，我们首先建立了一个多目标规划模型（模型一），目标函数分别为风险和收益。由于M 是一笔相当大的资金，所以我们开始先忽略了i u 对模型的影响，将其转化成了一个形式更为简单的多目标线性规划模型。

为了求解此模型，我们将风险的上限限制为c ，这样多目标规划模型就转化成了一个带参量c 的线性规划模型（模型二）。

当给定参数c 时，这带参量c 的线性规划个模型就是一个一般的线性规划模型，由此可以唯一地求解出目标函数的最大值max g 。所以若c 作为变量，max g 便是一个关于c 的函数)(max c g 。如果我们求得了函数)(max c g ，就能够知道：当公司能承担的总风险损失率c v ≤时，公司能得到的最大总平均收益率，及其应投入各个项目i S 的资金率i x 。

这样我们在求解模型二的同时，也将模型一的非劣解解空间给了出来，即图1中的OA 、AB 段。

不同的企业，对于风险和收益的侧重不同，所以作出的决策也不同，自然得到的收益和承受的风险也不尽相同。但无论怎样都应在我们给出的非劣解解空间中取值，这样才可能实现“风险尽可能小，收益尽可能大”。

针对第一组数据，我们给出了一个“通用性较强”的投资分配方案，即对大多数企业都合适的投资选择方案，应用此方案，总风险为M ⋅%61.0, 总收益可以达到M ⋅%59.20；类似地，针对第二组数据，我们利用效用函数的方法也给出了一个“通用性较强”的投资分配方案应用此方案，总风险为M ⋅%2.10, 总收益可以达到M ⋅%70.34。

在模型评价中，我们通过分析在考虑i u 后,模型以及解的改变程度,验证了i u 对模型的改变很小,可以忽略不计,从而证明了我们给出的模型的正确性、实用性。

关键词 投资风险 收益 投资方案 多目标规划 线性规划 非劣解

一 问题的提出

某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。现在市场上有n 种资产（如股票、债券、…）i S （n i Λ,2,1=）供投资者选择，公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期购买i S 的平均收益率为i r ，并预测出购买i S 的风险损失率为i q 。购买i S 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是0r ,且既无交易费又无风险。（0r =5%）

我们在此建立数学模型，为企业作出一种投资方案，使企业得到的收益近可能的大,与此同时要求企业承受风险尽可能的小。

两组数据如下：

表1：数据表1

i S i r (%) i q (%) i p (%) i u (元)

1S 2S 3S 4S

28 21 23 25 2.5 1.5 5.5 2.6 1 2 4.5 6.5 103 198 52 40

表2：数据表2

i S i r (%) i q (%)

i p (%) i u (元)

1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S

8S 9S 10S

11S 12S 13S 14S 15S

9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15

42 54 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 46 5.3 23

2.1

3.2 6 1.5 7.6 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7

4.5 7.6

181 407 428 549 270 397 178 220 475 248 195 320 267 328 131

二 基本假设

1. 假设总资产M 为一笔相当大的资金。

2. 总资产M 全部用于投资项目或存入银行，没有闲置资产。

3. 若资产存进银行，交易费和风险损失率为零。

4. 若资产存进银行，平均收益率用同期银行利率0r 来计算。

5. 总风险V 可以用所投资项目i S 中最大的一个风险损失值i i q m ⋅来度量，即

}max {i i q x V ⋅=。

6. 当第i 个项目i S 投资额不超过i u 时，交易费按购买i u 计算，且不买无须付费；投资

额不超过i u 时，按费率i p 计算。

7. 我们认为n 种资产的平均收益率i r ，风险损失率i q ，交易费率i p 在一定时期都保持

不变。

8. 银行的利率0r 也在一定时期保持不变。

三 符号说明

M 公司要投资的总资金 n 总共的项目数

0S

0=i 时表示将资金存入银行

i S 第i 个项目（n i ...2,1=）

i m

投入i S 的资金数目（n i ...2,1,0=）

i x 投入i S 的资金数目占总资金M 的百分比（n i ...2,1,0=） 0r

同期银行存款利率，0r ＝5％

i r 购买i S 的平均收益率（n i ...2,1=）

0q

00=q ,表示将资金存入银行的风险损失率为零 i q 购买i S 的风险损失率（n i ...2,1=）

0p

00=p ,表示将资金存入银行要交的费率为零 i p 购买i S 要交的费率（n i ...2,1=）

i u 当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算（n i ...2,1=） i U 购买i S 要交的总手续费（n i ...2,1,0=） c

公司能承受的最大的总风险损失率 G 总收益

g 总平均收益率，即G /M

V 总风险，即各投资项目中最大的风险值 v 总风险损失率，即V /M

i t

项目i S 要盈利的最小投入资本

四 问题分析

公司在一定时期的投资决策，主要由三个因素制约：第一，投资项目的盈利空间；第二，投资项目的风险大小；第三，投资项目的费用。显然，投资的目的是为了尽可能多的盈利，这样就希望将钱投入收益率较大的项目，然而，高收益往往伴随着高风险，如果为了多盈利而投资收益大的项目，往往带来了较大的风险，这就需要综合评价各个项目的收益与风险，从中恰当的进行取舍找到最优结合点。

以上投资问题的目标是使风险尽可能的小而收益尽可能的大，即达到最优化，同时目标的实现又受具体项目风险,费用和获利的制约，所以这是一个关于优化的规划问题， 属于一个多目标决策。

目标函数有两个：一、总收益G 尽可能的大；二、总风险损失V 尽可能的小。如果直接给出一个评价函数，对目标进行求解，则由于多目标决策求解的复杂性和不定性，求解的过程将显得非常繁琐而且得到的结果并不具有普适性（因为对于不同的人或情况，对风险和收益的侧重不同）。

所以我们可以通过对其中的一个目标进行限制，作为另一个目标的约束条件，再对其进行求解。这样就将多目标决策转化为基本的单目标决策。由于总风险的大小是取各项风险的最大值，而不是简单的线性关系，所以为了简化运算，具体的，我们对总风险损失率v 进行限制（即得到公司能承受的最大总风险损失率c ），作为总平均收益率g 求解最优的约束条件，再对其进行求解。

这样我们对于每一个公司能承受的最大总风险损失率c ，总有一个总平均收益率g 的最优值与之相对应。这样便得出了总收益最优max G 和公司能承受的最大风险C 之间的