八年级数学提优专题：平面直角坐标系拓展(一)

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北师大版数学八年级上册3.2平面直角坐标系(第一课时)说课稿

二、学情分析导
（一）学生特点
本节课面向的是八年级学生，这一年龄段的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，具有一定的独立思考和探究能力。在认知水平上，他们已经掌握了平面几何的基本知识，具有一定的空间想象能力，但对于抽象的坐标系概念可能还不够熟悉。在学习兴趣方面，学生对新颖有趣、富有挑战性的内容较为感兴趣，喜欢通过动手实践来学习新知识。然而，部分学生的学习习惯还需进一步培养，如自主学习、合作交流等方面的能力。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设生情境，引入坐标系的概念，使学生认识到数学知识在实际生活中的应用，提高学习兴趣。
2.设计丰富的教学活动，如小组讨论、动手操作、竞赛等，激发学生的学习积极性。
3.利用多媒体教学手段，如课件、动画等，直观展示坐标系知识，提高学生的学习兴趣和效果。
2.对学生的共性问题进行总结，并在下一节课中进行针对性的讲解和巩固。
3.定期对教学计划进行评估，确保教学内容与学生的实际需求相符合。
4.针对不同层次的学生，设置不同难度的任务，使每位学生都能在完成任务的过程中获得成就感，增强学习自信心。
5.结合学生的兴趣爱好，设计相关的问题或案例，让学生在解决问题中感受到学习的乐趣。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括启发式教学法、任务驱动法和合作学习法。这些方法的理论依据如下：
（2）通过问题解决，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标
（1）激发学生学习数学的兴趣，增强对数学学科的好奇心和求知欲。
（2）培养学生严谨、细致的学习态度，提高合作交流能力。
（3）使学生认识到数学知识在实际生活中的应用，增强数学学习的实用性。

北师大版数学八年级上册3.2平面直角坐标系(第1课时)优秀教学案例

2.小组成员之间相互讨论、交流，分享各自的想法和发现，培养团队协作能力和交流表达能力。
3.组织小组汇报，让各小组展示自己的研究成果，其他小组进行评价和提问，从而促进知识的内化和巩固。
（四）反思与评价
1.鼓励学生在学习过程中进行自我反思，总结自己在解决问题时的成功经验和不足之处，以便在今后的学习中取得更好的效果。
2.创设具有挑战性的问题情景，如寻找宝藏游戏、机器人行走路径等，让学生在解决问题的过程中，自然地引入坐标概念，增强学习的积极性。
3.利用多媒体、教具等辅助手段，直观演示坐标系的建立过程，帮助学生形象地理解坐标与图形之间的关系，提高课堂参与度。
（二）题导向
1.设计具有启发性的问题，引导学生思考，如：“如何在平面内表示一个点的位置？”“如何通过坐标解决实际问题？”等，培养学生的问题意识和探究精神。
3.针对本节课的重点、难点，进行总结梳理，帮助学生巩固所学知识。
（五）作业小结
1.课后作业：
-根据课堂所学，绘制一幅学校平面图，并用坐标表示各建筑物的位置。
-完成教材课后习题，巩固坐标与图形之间的关系。
2.作业要求：
-认真完成作业，规范书写，养成良好的学习习惯。
-遇到问题及时向同学或老师请教，提高问题解决能力。
4.倡导合作、互助、共享的精神，使学生学会尊重他人、关心集体，形成良好的道德品质。
5.鼓励学生勇于面对挑战，不怕困难，培养积极向上的心态和坚韧不拔的精神。
三、教学策略
（一）情景创设
1.以生活中的实际情景为背景，如地图上的位置表示、停车场车辆的定位等，引导学生感知平面直角坐标系在现实中的应用，激发学生的学习兴趣。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解平面直角坐标系的概念，掌握坐标轴、坐标点、坐标值等基本要素。

北师大版八年级数学上册：3.2《平面直角坐标系》教案1

北师大版八年级数学上册：3.2《平面直角坐标系》教案1一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版八年级数学上册第三章第二节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了坐标系的基本概念的基础上进行讲解的，通过本节内容的学习，使学生能够熟练地建立平面直角坐标系，能够准确地确定点在坐标系中的位置，并能够利用坐标系解决一些实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了坐标系的基本概念，对于如何建立坐标系，如何确定点在坐标系中的位置有一定的了解。

但是，对于如何利用坐标系解决实际问题，部分学生可能会感到困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解决问题的能力。

三. 教学目标1.让学生掌握平面直角坐标系的建立方法。

2.让学生能够准确地确定点在坐标系中的位置。

3.培养学生利用坐标系解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的建立方法，点在坐标系中的表示方法。

2.难点：如何利用坐标系解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、探究，发现平面直角坐标系的建立方法，以及如何确定点在坐标系中的位置。

同时，通过实例讲解，让学生学会如何利用坐标系解决实际问题。

六. 教学准备1.准备平面直角坐标系的图片，用于讲解。

2.准备一些实际问题，用于练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如地图上的路线、飞机的飞行轨迹等，引导学生思考这些实例与坐标系之间的关系。

2.呈现（10分钟）讲解平面直角坐标系的定义，以及如何建立坐标系。

通过展示图片，让学生直观地理解坐标系的建立过程。

同时，讲解如何用坐标表示点在坐标系中的位置。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，尝试利用坐标系解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（5分钟）挑选几组学生的实例，让学生上台演示如何利用坐标系解决问题。

其他学生观看并给予评价。

5.拓展（5分钟）讲解坐标系在实际生活中的应用，如航天、地理信息系统等。

平面直角坐标系背景下的存在性问题(提升练)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题3.25平面直角坐标系背景下的存在性问题（分层练习）（提升练）1．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若点Q 的坐标为(,)ax y x ay ++，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”．（1）已知点(2,6)A -的“12级关联点”是点A '；（2）已知点(1,2)M m m -的“3-级关联点”N 位于x 轴上，求点N 的坐标；（3）在（2）的条件下，若存在点H ，且2HM =，直接写出H 点坐标．2．在平面直角坐标系xOy 中有四点(4,6)(4,6)(2,1)(2,1)A B C D ----，，，．（1）在图中描出四点A B C D ，，，，再连接AB CD ，；（2）直接写出线段AB 与线段CD 的位置关系；（3）若AB 与y 轴交于点M ，CD 与y 轴交于点N ，在线段MN 上是否存在一点P ，使得三角形ABP 与三角形CDP 的面积相等，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图：在正方形网格上有一个ABC ．（1）画出ABC 关于直线MN 的对称图形111A B C △；（2）ABC 的形状是___________三角形；（3）若在MN 上存在一点Q ，使得QA QC +最小，请在图中画出点Q 的位置；（4）若网格上最小正方形的边长为1，求ABC 的面积．4．已知(3004())A C -，，，，点B 在x 轴上，且4AB =．（1）求点B 的坐标，在平面直角坐标系中画出ABC ，并求出ABC 的面积．（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以A ，C ，P 为顶点的三角形的面积为9？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在y 轴上是否存在点Q ，使得ACQ 是等腰三角形？若存在，请画出点Q 的位置，并直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知(0,)A a ，(,0)B b ，(,)C b c 三点，其中a ，b ，c 满足关系式2(3)0b -=，2(4)0c -≤．（1）求a ，b ，c 的值：（2）求出三角形ABC 的面积？（3）如果在第二象限内有一点1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积；（4）在（3）的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ，点B 的坐标为()3,4-，点C 的坐标为()3,0，点A 在x 轴的负半轴上，且9AC =．（1）直接写出点A 的坐标；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得16POB ABC S S =△△，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）把点C 向上平移4个单位长度得到点H ，作射线CH ，连接BH ，点M 在射线CH 上运动（不与点C ，H 重合），试探究HBM ∠，BMA ∠，MAC ∠之间的数量关系，并证明你的结论．7．如图，在平面立角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点()3,0A ，点()0,4B ，点C 在y 轴的负半轴上，若将CAB △沿直线AC 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点D 处．（1）直接写出AB 的长__________．（2）求点D 和点C 的坐标；（3）y 轴上是否存在一点P ，使得12PAB OCD S S =？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，点(,1)A a a +在第一象限，点(,0)B b 在x 轴负半轴上，且a ，b 满足20a +-=，连接AB 交y 轴正半轴于点H ．（1）求a 、b 的值以及三角形AOB 的面积AOB S ；（2）根据三角形AOH 的面积、三角形BOH 的面积与三角形AOB 的面积三者之间的数量关系，求点H 的坐标；（3）在y 轴上是否存在点(0,)P n ，使得3APB AOB S S > ，若存在，求出点P 的纵坐标n 的取值范围；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,2C ，过C 作CB x ⊥轴于B ．（1）求ABC 的面积．（2）若过B 作BD AC ∥交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，如图，求AED ∠的度数；（3）在x 轴上存在点P 使得CBP 的面积等于ABC 面积的32，请直接写出P 点．10．在直角坐标系中，有正方形ABCD （四条边相等，四个内角都是90︒），其中AB 平行于y 轴，点A 在第二象限．（1）如图，若()24A -，，AB 长为6，则点B ，C ，D 的坐标分别为：B ______，C ______，D ______；（2）若()3A a -，，()3B b -，，点是直角坐标系中的一个动点，23P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点Q 从B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 方向运动，运动时间为t ()2230b c t ++++-=．①当2t =时，求APQ △的面积；②试问是否存在点P ，使得12APQ APB S S =△△，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，(,0)A a ，(,0)B b ，(1,2)C -，且22(3)0a b ++-=，（1）求a ，b 的值；（2）①在y 轴的正半轴上存在一点M ，使12COM ABC S S =△△，求点M 的坐标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M ，使12COM ABC S S =△△，仍然成立？若存在请直接写出符合条件的点M 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 坐标分别为(,0),(,)a a b ，点C 在y 轴上，且BC x ∥轴，a ，b 满足|3|0a -．一动点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O ﹣A ﹣B ﹣C ﹣O 的路线运动（点P 首次回到点O 时停止），运动时间为t 秒（0t ≠）．（1）直接写出点A ，B 的坐标；（2）点P 在运动过程中，连接PO ，若PO 把四边形ABCO 的面积分成1:2的两部分，求出点P 的坐标．（3）点P 在运动过程中，是否存在点P 到x 轴的距离为12t 个单位长度的情况，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(,0)A a ，(,0)B b ，且a ，b 满足226(2312)0a a b ++-+=，现同时将点A ，B 分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ．（1）请直接写出A ，B 两点的坐标．（2）如图2，点P 是线段AC 上的一个动点，点Q 是线段CD 的中点，连接PQ ，PO ，当点P 在线段AC 上移动时（不与A ，C 重合），请找出PQD ∠，OPQ ∠，POB ∠的数量关系，并证明你的结论．（3）在坐标轴上是否存在点M ，使三角形MAD 的面积与三角形ACD 的面积相等？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,2)A ，过点(1,0)-作x 轴的垂线l ，点A 关于直线l 的对称点为B ．（1）点B 的坐标为_____________；（2）已知点(3,2)C --，点(1,2)D -，在图中描出点B ，C ，D ，顺次连接点A ，B ，C ，D ．①在四边形ABCD 内部有一点P ，满足PAD PBC S S =△△且PAB PCD S S = ，则此时点P 的坐标为_____________，PAB S =△_____________；②在四边形ABCD 外部是否存在点Q ，满足QAD QBC S S =△△且QAB QCD S S =△△，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知()0,A a ，(),0B b ，其中a ，b 满足20a -=，点C 是第一象限内的点，90ABC ∠=︒，AB BC =．（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标．（2）如果在第二象限内有一点(),1P m ，是否存在点P ，使得ABP 的面积等于ABC 的面积？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）在平面直角坐标系是否存在点E ，使ABE 与ABC 全等，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，在平面直角坐标系中，已知(0,),(,0)A a B b，其中a 的整数部分，在数轴上，b 表示的数在原点的左侧，离原点的距离是2个单位长度．（1）填空：=a ________，b =________；（2）在（1）条件下，如果在第三象限内有一点(1,)P m -，请用含m 的式子表示四边形AOPB 的面积；（3）如图2，点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(5,0)，点M 的坐标为(2,2)--，动点P 从原点O 出发以每秒4个单位长度的速度沿y 轴负方向移动，同时点B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，连接AP MP 、，设运动时间为(0)t t >秒．是否存在这样的t ，使AMP ABM S S ∆∆=？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．A 、B 两点的坐标分别为,0A m （）、0,B n （），且|3|0m n --，点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）求OA 、OB 的长；（2）连接PB ，若POB △的面积不大于3且不等于0，求t 的范围；（3）过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD 与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P ，使EOP AOB ≌？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足()24240a b a +-++=．（1）求OA ，OB 长度；（2）在x 轴上是否存在点C ，使得三角形ABC 的面积是12；若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 从点B 出发沿着y 轴运动（点P 不与原点、B 点重合）速度为每秒2个单位长度，连接AB 、AP ，当运动的时间t 为几秒时，3ABP AOP S S ＝并求出此时点P 的坐标．参考答案1．（1）(5,1)；（2）16(,0)5N ；（3）42(,)55H -或162(,)55H --【分析】（1）根据新定义代入求解；（2）先根据新定义写出坐标，再根据x 轴上的点的特征，列方程求解；（3）根据平行直线的关系求解．（1）解：由题意得：()()11(26,26)22A '⨯-+-+⨯，即(5,1)A '；（2）解：由题意得：(332,61)N m m m m -++-+-，∵N 位于x 轴上，∴610m m -+-=，解得：15m =-，∴16(,0)5N ；（3）解：由（2）得：15m =-，∴6(,)552M --，∵HM x 轴，且2HM =，∴42(,55H -或162(,)55H --．【点拨】本题考查了点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题的关键．2．（1）见分析；（2）AB CD ∥；（3）存在，11(0,)3P 【分析】（1）根据A ，B ，C ，D 的坐标确定A ，B ，C ，D 的位置即可，再画线段；（2）证明AB x ∥轴，CD x ∥轴，可得答案；（3）如图，设(0,)P y ，16y -<<，则8461AB CD MP y NP y ===-=+，，，，由ABP CDP S S = ，可得1122AB MP CD NP ⋅=⋅，再建立方程求解即可．（1）解：A ，B ，C ，D 如图示，线段AB ，CD 即为所画的线段；（2）∵A ，B 的纵坐标相同，∴AB x ∥轴，同理：CD x ∥轴，∴AB CD ∥．（3）如图，设(0,)P y ，16y -<<，则8461AB CD MP y NP y ===-=+，，，．∵ABP CDP S S = ，即1122AB MP CD NP ⋅=⋅∴2MP NP =，即2(6)1y y -=+，解得：113y =∴110,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，掌握平面直角坐标系内线段的长度的计算是解本题的关键．3．（1）见分析；（2）等腰直角三角形；（3）见分析；（4）5【分析】（1）分别确定A ，B ，C 关于直线MN 的对称点1A ，1B ，1C ，再顺次连接即可；（2）先标注图形，再证明ACK CBH ≌，利用全等三角形的性质可得答案；（3）先确定C 关于直线MN 的对称点C '，再连接AC '，交直线MN 于Q 即可；（4）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．（1）解：如图，111A B C △即为所求；．（2）如图，标注图形，由图形可得：1AK CH ==，3CK BH ==，90AKC BHC ∠=∠=︒，∴ACK CBH ≌，∴AC BC =，ACK CBH ∠=∠，∴90BCH ACK BCH CBH ∠+∠=∠+∠=︒，∴1809090ACB ∠=-=°°°，∴ABC 为等腰直角三角形．（3）如图，Q 即为所求；（4）111341313245222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ．【点拨】本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，网格三角形面积的计算，掌握以上基础知识是解本题的关键．4．（1）点B 的坐标为()70-，或()10，，图见分析，ABC 的面积为8；（2）点P 的坐标为()010，或()02-，；（3）点Q 的坐标为()09，，()04-，，708⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()01-，．【分析】（1）根据(3004())A C -，，，，点B 在x 轴上，且4AB =，可知点B 的横坐标与点A 的横坐标的差的绝对值为4，从而可以求得点B 的坐标，从而可以求得ABC 的面积．（2）根据题意可知点P 在点C 的上方或者下方，从而可以求得点P 的坐标．（3）根据已知条件可以将各种情况在坐标系中表示出来，利用勾股定理列式计算从而可以得出点的坐标．（1）解：∵(3004())A C -，，，，点B 在x 轴上，且4AB =，∴设点B 的坐标为(0)x ，，()|3|4x --=．解得，7x =-或1x =．∴点B 的坐标为()70-，或()10，．在平面直角坐标系中画出ABC ，如下图所示：∴()()137482AB C S ⎡⎤---⨯⎣⎦== ，()213482AB C S ⎡⎤--⨯⎣⎦== ．即ABC 的面积为8；（2）解：在y 轴上存在点P ，使得以A 、C 、P 三点为顶点的三角形的面积为9．设点P 的坐标为()0y ，，由题意可知点P 可能在点C 的上方或下方．当点P 在点C 上方时，()4|3|92ACP y S -⨯-== ，解得，10y =．当点P 在C 点下方时，()4|3|92ACP y S -⨯-== ，解得，=2y -．由上可得，点P 的坐标为()010，或()02-，；（3）解：在y 轴上存在点Q ，使得ACQ 是等腰三角形．如下图所示：∵(3004())A C -，，，，∴22345AC =+，当5QC AC ==时，点Q 的坐标为：()09，或()01-，；当5AQ AC ==时，点Q 与点C 关于x 轴对称，点Q 的坐标为：()04-，；当QC QA =时，设点Q 的坐标为()0y ，，则()22243y y -=+，解得78y =，∴点Q 的坐标为708⎛⎫ ⎪⎝⎭，，综上，使得ACQ 是等腰三角形，点Q 的坐标为：()09，，()04-，，708⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()01-，．【点拨】本题考查坐标与图形的性质、三角形的面积、等腰三角形的判定、勾股定理，解题的关键是能根据图形写出各点的坐标，能根据坐标求出相应图形的面积．5．（1）2a =，3b =，4c =；（2）6；（3）3m -；（4）存在，1(3,)2P -【分析】（1）用非负数的性质求解；（2）由（1）得出A ，B ，C 的坐标，再利用三角形面积公式计算；（3）把四边形ABOP 的面积看成两个三角形面积和，用m 来表示；（4）求出ABC 的面积，结合（3）列出方程即可．（1）解：由已知2|2|(3)0a b -+-=，2(4)0c -≤及2(4)0c -≥，∴20a -=，30b -=，40c -=，可得：2a =，3b =，4c =；（2）由（1）得：(0,2)A ，(3,0)B ，(3,4)C ，∴三角形ABC 的面积为1134622B x BC ⨯⨯=⨯⨯=；（3） 12332ABO S =⨯⨯=△，12()2APO S m m =⨯⨯-=-△，()33ABO APO ABOP S S S m m ∴=+=+-=-△△四边形；（4）14362ABC S =⨯⨯= ，ABCABOP S S = 四边形36m \-=，则3m =-，所以存在点1(3,)2P -使ABC ABOP S S = 四边形．【点拨】本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，根据题意容易解答．6．（1）()6,0-；（2）存在点P ，点P 的坐标为()0,2或()0,2-；（3）MAC HBM BMA ∠=∠+∠或BMA HBM MAC ∠=∠+∠．【分析】（1）根据点A 在x 轴的负半轴上，9AC =，点C 的坐标为()3,0即可求得答案．（2）先求得OP 的长度，分两种情况写出点P 的坐标：当点P 位于点O 的上方；点P 位于点O 的下方．（3）分两种情况讨论：点M 在点H 上方；点M 在线段CH 上．利用平行线的性质及三角形的外角的性质求解即可．解：（1）∵点A 在x 轴的负半轴上，9AC =，点C 的坐标为()3,0，∴点A 的坐标为()6,0-．（2）存在点P ，点P 的坐标为()0,2或()0,2-．理由如下：如图所示，连接BP ，BO ．∵194182ABC S =⨯⨯=△，∴1332POB S OP =⨯=△．∴2OP =．当点P 位于点O 的上方时，点P 的坐标为()0,2．当点P 位于点O 的下方时，点P 的坐标为()0,2-．综上所述，点P 的坐标为()0,2或()0,2-．（3）∵点H 的坐标为()3,4，点B 的坐标为()3,4-，∴BH x ∥轴．①点M 在点H 上方．设AM 与BH 交于点K ，如图所示．∵BH x ∥轴，∴MAC MKH ∠=∠．∵MKH HBM BMA ∠=∠+∠．∴MAC HBM BMA ∠=∠+∠．②点M 在线段CH 上．过点M 作x 轴的平行线，交y 轴于点G ，如图所示．∵BH x ∥轴，MG x ∥轴，∴BH MG ∥．∴HBM BMG ∠=∠．∵MG x ∥轴，∴MAC AMG ∠=∠．∴BMA BMG AMG HBM MAC ∠=∠+∠=∠+∠．综上所述，MAC HBM BMA ∠=∠+∠或BMA HBM MAC ∠=∠+∠．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系、平行线的性质、三角形的外角的性质，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．7．（1）5；（2）点()8,0D ，点C ()0,6-；（3）存在，()0,4-或()0,12【分析】（1）直接利用勾股定理求解AB 即可；（2）证明5AD AB ==，可得8OD =，可得点()8,0D ，设点OC 的长度为m ，可得4BC m =+，可得()22284m m +=+，可得6m =，从而可得答案；（3）求解168242OCD S =⨯⨯= ，设()0,P y ，则4PB y =-，结合12PAB OCD S S = ，再建立方程求解即可．（1）解：∵点()3,0A ，点()0,4B ，∴5AB ==；（2）由折叠得：CAB CAD △≌△，5AD AB ∴==，点()3,0A ，3OA ∴=，8OD ∴=，∴点()8,0D ，设点OC 的长度为m ，4BC m ∴=+，由折叠得CD BC =，在Rt COD 中，由勾股定理得即222OC OD CD +=，即()22284m m +=+，解得6m =，点C 在y 轴的负半轴上，∴点C 的坐标为()0,6-；（3）∵()0,6C -，()8,0D ，∴168242OCD S =⨯⨯= ，设()0,P y ，则4PB y =-，∵12PAB OCD S S = ，∴11432422y ⨯-⨯=，∴48y -=，解得：4y =-或12y =，∴点P 的坐标为()0,4-或()0,12．【点拨】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，轴对称的性质，全等三角形的性质，熟练的利用方程解题是解本题的关键．8．（1）2a =，4b =-，6AOB S =V ；（2）()0,2H ；（3）当 3APB AOB S S > 时，则8n >或4n <-【分析】（1）根据算术平方根与绝对值的非负性可求a 、b 的值，然后根据三角形的面积公式可进行求解；（2）设点()0,H h ，然后根据等积法可进行求解；（3）由题意可分点P 在y 轴的正半轴和负半轴两种情况进行求解．（120a +-=0,20a ≥-≥，∴2160,20b a -=-=，∴4,2b a =±=，∵点(,0)B b 在x 轴负半轴上，∴4b =-，∴()2,3,(4,0)A B -，∴4OB =，∴1362AOB S OB =⨯⋅= ；（2）解：设点()0,H h ，∴OH h =，∵1123622AOB BOH AOH S S S OH OB OH OH =+=⋅+⨯⋅== ，∴2OH h ==，∴()0,2H ；（3）解：由题意可分：①当点P 在y 轴的正半轴时，则有2PH n =-，∴()142332APB AOB S PH PH S =⋅+⋅=> ，∴26n ->，即8n >；②当点P 在y 轴的负半轴时，则有2PH n =-，∴()142332APB AOB S PH PH S =⋅+⋅=> ，∴26n ->，即4n <-；综上所述：当 3APB AOB S S > 时，则8n >或4n <-．【点拨】本题主要考查坐标与图形及算术平方根与绝对值的非负性，熟练掌握坐标与图形及算术平方根与绝对值的非负性是解题的关键．9．（1）4；（2）45AED ∠=︒；（3）P 点的坐标为()4,0-或()8,0【分析】（1）根据CB x ⊥求出B 点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可；（2）如图，过E 作EF AC ∥，利用平行线的判定和性质，得到5618090CAB ODB CBA ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，13∠=∠，24∠∠=，结合角平分线的定义，利用()112342AED CAB ODB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠，进行求解即可；（3）设点P 的坐标为()0m ,，利用CBP 的面积等于12BP BC ⋅，列方程求解即可．（1）解：∵CB x ⊥轴，()2,2C ，∴()2,0B ，∵()2,0A -，∴4AB =，2CB =，∴14242ABC S =⨯⨯= ；（2）如图，过E 作EF AC ∥．∵CB x ⊥轴，∴CB y ∥轴，90CBA ∠=︒，∴6ODB ∠=∠．又∵BD AC ∥，∴5CAB ∠=∠，∴5618090CAB ODB CBA ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒．∵BD AC ∥，∴BD AC EF ∥∥，∴13∠=∠，24∠∠=．∵AE ，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，∴132CAB ∠=∠，142ODB ∠=∠，∴()11234452AED CAB ODB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒；（3）解：设(),0P m ，∵()2,0B ，()2,2C ，∴2BP m =-，2BC =，由（1）知：4ABC S = ，∴CBP 的面积=113224222BP BC m ⋅=-⋅=⨯，解得：8m =或4m =-；∴P 点的坐标为()4,0-或()8,0．【点拨】本题考查坐标与图形．正确的识图，通过点的坐标确定线段的长度，构造平行线，进行角度的转化，是解题的关键．10．（1）()22--，，()42-，，()44，；（2）①9②存在，927P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【分析】（1）利用()24A -，，AB 长为6，以及正方形的性质即可求解；（2）利用非负性的性质求得3a =，2b =-，3c t =-，得到()33A -，，()32B --，，()22C -，，()23D ，，()32P t -，；①当2t =时，求得P 点坐标()12，，Q 点坐标()12--，，根据割补法求解即可；②利用割补法列式计算即可求解．（1）解：∵正方形ABCD ，AB 平行于y 轴，()24A -，，AB 长为6，∴()22B --，，()42C -，，()44D ，；故答案为：()22--，，()42-，，()44，；（2()2230b c t +++-=0≥，()220b +≥，30c t +-≥，∴3a =，2b =-，3c t =-，∴()33A -，，()32B --，，()22C -，，()23D ，，()32P t -，；①当2t =时，代入求得P 点坐标()12，，此时Q 点坐标()12--，，连接CP DP ，,APQ APD CDP CPQ ABQ ABCD S S S S S S =----矩形△△△△△1111551515432592222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；②假设存在点P 满足题意，则有12APQ APB S S =△△，∵当5t =时，A 、P 、Q 三点共线，三角形不存在，∴5t <，将两者分别用含有t 的代数式表示()()1111115665165465222222t t t t ⨯⨯⨯-=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯，化简得()561534t t -=-，解得：307t =，此时927P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，坐标与图形性质，绝对值、算术平方根和偶次方的非负性质，三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和三角形面积公式是解题的关键，属于中考常考题型．11．（1）2a =-，3b =；（2）①(0,5)M ；②(0,5)M -或0()5,2M -或5(,0)2M ；【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案；（2）①设(0,)M m ，根据面积关系列式求解即可得到答案；②分负半轴及x 轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案；（1）解：∵22(3)0a b ++-=，2(3)0b -≥，20a +≥，∴30b -=，20a +=，解得：2a =-，3b =；（2）解：①设(0,)M m ，∵(2,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C -，12COM ABC S S =△△，∴111152222m ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得：5m =，∴(0,5)M ；②i ：当M 在y 轴负半轴时，设(0,)M m ，∵(2,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C -，12COM ABC S S =△△，∴111()152222m ⨯-⨯=⨯⨯⨯，解得：5m =-，∴(0,5)M -；ii ：当M 在x 轴上时，设(,0)M m ，∵(2,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C -，12COM ABC S S =△△，∴111252222m ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得：52m =±，∴0()5,2M -或5(,0)2M ；综上所述：(0,5)M -或0()5,2M -或5(,0)2M ；【点拨】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围城图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高．12．（1）(3,0),(3,4)A B ；（2）点P 的坐标为8(3,3或(2,4)；（3）存在，点P 的坐标为(3,1)或14(0,)5【分析】（1）直接利用非负数的性质即可解答；（2）证明四边形ABCO 为长方形，求出面积，再分两种情况：当4POA S = 时和当4OPC S = 时，分别列出方程，求解即可；（3）分两种情况：点P 在AB 上运动和点P 在OC 上运动，根据点P 到x 轴的距离为12t 个单位长度列出方程，求解即可．（1）解：由题意知，a ，b 满足|3|0a -=，∵|3|0.a -≥>，∴30,40a b -=-=，∴3,4a b ==，∴(3,0),(3,4)A B ；（2）由题意可知，AB x ⊥轴，BC OA =，∵BC x ∥轴，∴四边形ABCO 为长方形，∵(3,4)B ，∴3412ABCO S =⨯=矩形，∵PO 把四边形ABCO 的面积分成1:2的两部分，∴一部分面积为4，另一部分面积为8，∴可分两种情况讨论：当4POA S = 时和当4OPC S = 时，①当4POA S = 时，此时点P 在AB 上，点P 的坐标为(3,23),23t AP t -=-，∴()11323422POA S OA AP t =⋅⋅=⨯⨯-= ，∴176t =，∴823=3t -，∴点P 的坐标为8(3,)3，②当4OPC S = 时，此时点P 在BC 上，点P 的坐标为(102,4),102t CP t -=-，∴()111024422OPC S CP CO t =⋅⋅=⨯-⨯= ，∴4,t =，∴点P 的坐标为(2,4)，综上可知，，点P 的坐标为8(3,)3或(2,4)；（3）存在，理由如下：①当P 在AB 上运动时，12AP t =，由（2）可知，23AP t =-，∴1.232t t -=，∴2t =，∴231AP t =-=，∴点P 的坐标为(3,1)，②当P 在OC 上运动时，142OP t =-，∴11422t t -=，∴285t =，∴141425OP t =-=，∴点P 的坐标为14(0,)5，综上可知，点P 的坐标为(3,1)或14(0,5．【点拨】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、三角形的面积、一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键．13．（1）(3,0)A -；(2,0)B ；（2）360PQD OPQ POB ∠+∠+∠=︒；（3）存在，(2,0)或(8,0)-或4(0,)3-或16(0,)3【分析】（1）根据绝对值的非负性、偶次方的非负性分别求出a 、b ，得到点A ，B 的坐标；（2）求出五边形QPOBD 的内角和，根据平行线的性质得到180QDB OBD ∠+∠=︒，计算即可；（3）根据题意求出ACD 的面积，分点M 在x 轴上、点M 在y 轴上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．（1）解：()22623120a a b ++-+= ，260a ∴+=，()223120a b -+=，解得：3a =-，2b =，则点A ，B 的坐标分别为(3,0)A -，(2,0)B ；（2）解：360PQD OPQ POB ∠+∠+∠=︒，理由如下：五边形QPOBD 的内角和(52)180540=-⨯︒=︒，∵CD AB ∥，180QDB OBD ∴∠+∠=︒，()540360PQD OPQ POB QDB OBD ∴∠+∠+∠=︒-∠+∠=︒；（3）解：由题意得，点C 的坐标为(5,2)-，点D 的坐标为(0,2)，则ACD 的面积15252=⨯⨯=，当点M 在x 轴上时，设点M 的坐标为(,0)x ，则3AM x =--，由题意得，13252x ⨯--⨯=，解得：2x =或8-，当点M 在y 轴上时，设点M 的坐标为(0,)y ，则2DM y =-，由题意得，12352y ⨯-⨯=，解得：43y =-或163，综上所述，三角形MAD 的面积与三角形ACD 的面积相等时，存在点M ，且点M 的坐标为()2,0或()8,0-或40,3⎛⎫-⎪⎝⎭或160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查的是几何变换的综合题，非负数的性质、平移变换、三角形的面积计算，掌握坐标与图形的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．14．（1）()2,2-；（2）①21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，83．②()1,6Q --，理由见分析【分析】（1）根据对称性可知点A 和点B 到直线l 的距离相等，且纵坐标相等即可求解；（2）①根据点A ，B ，C ，D 的坐标可得点A 和点B 关于直线l 对称，点C 和点D 关于直线l 对称，AB CD ，2AB =，4CD =，由PAD PBC S S =△△，可知点P 在直线l 上，设点P ()1,p -，再根据PAB PCD S S = 可得()()112222AB p CD p ⨯-=⨯+，求解即可得点P 坐标，进而即可求解PAB S ；②与①同理，设()1,Q q -，根据QAB QCD S S =△△，可得()()112222AB q CD q ⨯-=⨯--，解方程进而即可求解．解：（1）∵点A 坐标为()0,2，过点(1,0)-作x 轴的垂线l ，∴点A 到直线l 的距离为1，∵点A 和点B 关于直线l 的对称点，∴()2,2B -，故答案为：()2,2-；（2）如图所示：顺次连接A ，B ，C ，D ，可以发现四边形ABCD 是等腰梯形，且关于直线l 对称，①∵点()0,2A ，点()2,2B -，点(3,2)C --，点(1,2)D -，∴点A 和点B 关于直线l 对称，点C 和点D 关于直线l 对称，AB CD ，2AB =，4CD =，∵在四边形ABCD 内部有一点P ，满足PAD PBC S S =△△，则点P 在直线l 上，设点P ()1,p -，∵PAB PCD S S = ，∴()()112222AB p CD p ⨯-=⨯+，即()()11224222p p ⨯⨯-=⨯+，整理得：32p =-，解得：23p =-，∴点21,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴1212822223233PAB S AB ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，故答案为：21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，83；②存在，理由：∵QAD QBC S S =△△∴点Q 在对称轴l 上，设()1,Q q -，∵QAB QCD S S =△△，∴()()112222AB q CD q ⨯-=⨯--，即()()11224222q q ⨯⨯-=⨯⨯--，解得：6q =-，∴点()1,6Q --．【点拨】本题考查坐标与图形—对称，三角形面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想和参数构造方程解决问题．15．（1）()0,2A ，()10B ,，()3,1C ；（2）()2,1P -；（3）()2,1E -，()1,1--或()2,3【分析】（1）根据20a -+可得2a =，1b =，从而得到()0,2A ，()10B ,，再根据90ABC ∠=︒，AB BC =构造全等三角形，即可得到点C 的坐标；（2）根据ABC 三个顶点坐标可求()115123212222ABC S =⨯+⨯-⨯⨯⨯=△，则52ABP ABC S S ==△△，又因为ABP AOB PMB APMO S S S S =+- 梯形，即可求点P 的坐标；（3）根据三角形全等画出符合题意的图形，确定点E ，由（1）求点C 的坐标的方法可求出点1E 坐标，点1E 与点2E 关于点A 对称，点C 与点3E 关于点B 对称，即可得到点E 的三个坐标．（1）解：∵()2210a b -+-=，∴210a b -+-=∴2a =，1b =，∴()0,2A ，()10B ,，∴2OA =，1OB =过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则90BDC AOB ∠=∠=︒∵12180ABC ︒∠+∠+∠=，90ABC ∠=︒∴1290∠+∠=︒，在Rt BCD 中，3290∠+∠=︒，∴13∠=∠∵AB BC =，∴Rt Rt BCD ABO ≌∴2BD OA ==，∴1CD OB ==，∴213OD =+=，∵点C 在第一象限内，∴()3,1C ．（2）存在．过点P 作PM x ⊥轴于点M ，则90PMO ∠=︒∵()115123212222ABC S =⨯+⨯-⨯⨯⨯=△，∴52ABP ABC S S ==△△∵ABP AOB PMB APMO S S S S =+- 梯形，∴()()()11151212112222m m ⨯-⨯++⨯⨯-⨯⨯-=，∴2m =-，∴()2,1P -（3）()2,1E -，()1,1--或()2,3理由：如图所示，当1≌ ABE ABC ，且点1E 在第一象限时，由（1）同理得()12，3E 当2≌ ABE ABC ，且点2E 在第二象限时，点1E 与点2E 关于点A 对称∴()22，1E -当3≌ ABE ABC ，且点3E 在第二象限时，点C 与点3E 关于点B 对称∴()31，-1E -综上所述，()2,1E -，()1,1--或()2,3故答案为：()2,1E -，()1,1--或()2,3【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角坐标系中求三角形的面积以及点之间的对称问题，解题的关键是熟悉掌握运用全等三角形的性质与判定．16．（1）4,2-；（2）4m -；（3）存在，5．【分析】（1的范围即可求出它的整数部分a ；根据数轴上的点表示的数即可求出b ；（2）将四边形AOPB 的面积分解成两个三角形AOB ∆与BOP ∆的面积和即可求出；（3）先用t 表示点(0,4),(5,0)P t B t -+，然后用t 表示ABM ∆与AMP ∆的面积，然后根据题意列式即可求出答案．（1）解： 45<<，且a 4a ∴=，在数轴上，b 表示的数在原点的左侧，离原点的距离是2个单位长度，2b ∴=-；故答案为：4,2-；（2）解：在第三象限内有一点(1,)P m -，0m ∴<，AOB BOPAOPB S S S ∆∆=+四边形11||22BO AO BO m =⋅+⋅1124222m =⨯⨯-⨯⨯4m =-；∴用含m 的式子表示四边形AOPB 的面积为：(4)m -；（3）解：如图2，连接MO ，动点P 从原点O 出发以每秒4个单位长度的速度沿y 轴负方向移动，同时点B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为(0)t t >秒，(0,4),(5,0)P t B t ∴-+，5(1)6AB t t ∴=+--=+，4OP t =，1OA =，112(6)2622ABM S AB t t ∆∴=⨯⨯=+⨯=+，AMP AMO MOP AOPS S S S ∆∆∆∆∴=+-111124214222t t =⨯⨯+⨯-⨯⨯142t t=+-21t =+当216t t +=+时，AMP ABM S S ∆∆=，解得5t =，∴存在这样的t ，当5t =时，AMP ABM S S ∆∆=．【点拨】此题考查了平面直角坐标系下点的坐标与三角形、四边形的面积，熟练掌握用“割补法”求图形的面积、利用参数构建方程解决问题是解答此题的关键．17．（1）=6OA ，3OB =；（2）48t ≤≤且6t ≠；（3）3或9【分析】（1）根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出m 、n 的值，即可得出答案；（2）分两种情况进行讨论，用t 表示出三角形的面积，然后分别求出t 的取值范围即可；（3）根据EOP AOB ≌时，一定要使3OP OB ==，然后分两种情况：P 在线段OA 上时或P 在线段OA 的延长线上进行讨论，求出t 的值即可．（1）解：∵|3|260m n n ---，∴30m n --=，260n -=，解得：=3n ，=6m ，∴=6OA ，3OB =；（2）解：分为两种情况：①当P 在线段OA 上时，如图所示：AP t =，6PO t =-，∴BOP 的面积()13=63=922S t t --⨯⨯，∵若POB △的面积不大于3且不等于0，∴30932t -≤＜，解得：46t ≤＜；②当P 在线段OA 的延长线上时，如图所示：∵AP t =，6PO t =-，∴BOP 的面积()13=63=922S t t --⨯⨯，∵若POB △的面积不大于3且不等于0，∴30932t -≤＜，解得：68t ≤＜；即t 的范围是48t ≤≤且6t ≠；（3）解：∵EOP AOB ≌，∴3OP OB ==，分两种情况：①当P 在线段OA 上时，如图所示：∵633AP OA OP =-=-=，∴331t ==；②当P 在线段OA 的延长线上时，如图所示：∵639AP OA OP =+=+=，∴991t ==；即存在这样的点P ，使EOP AOB ≌，t 的值是3或9．【点拨】本题主要考查了绝对值的非负性和算术平方根的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性和算术平方根的非负性，注意进行分类讨论．18．（1）2,6OA OB ==；（2）存在；()2,0C 或()6,0C -；（3）当P 移动2.25秒，此时30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或P 移动4.5秒，此时()0,3P -时，3ABP AOP S S ＝．【分析】（1）根据非负性求出a b ，的值即可；（2）利用12ABC S AC OB =⋅ 进行计算即可；（3）12ABP BP OA S =⋅V ，12AOP S OP OA =⋅△，利用3ABP AOP S S ＝进行计算即可．（1）解：∵()24240a b a +-++=，()240240a b a +-≥+≥，，∴4=0a b +-，24=0a +，解得：2,6a b =-=，∴()()2006A B -，，，，∴2,6OA OB ==；（2）解：存在．设(),0C m 则：11261222ABC S AC OB m =⋅=+⨯=△，∴24m +=，∴24m +=或24m +=-，解得：2m =或6m =-，∴()2,0C 或()6,0C -（3）解：设()0,n P 1162622ABP S BP OA n n =⋅=-⨯=-△，11222AOP S OP OA n n =⋅=⨯=△，∵3ABP AOP S S ＝，∴63n n -=，∴()2269n n -=，整理得：22390n n +-=，解得：3n =-或32n =，当3n =-时：63 4.52t +==（秒），当32n =时：362 2.252t -==（秒）；∴当P 移动2.25秒，此时30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或P 移动4.5秒，此时()0,3P -时，3ABP AOP S S ＝．【点拨】本题考查平面直角坐标系下的点的坐标和动点问题，根据题意准确的找出点的位置是解题的关键．。

北师大版八年级上册数学[平面直角坐标系(提高版) 知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平面直角坐标系（提高）【学习目标】1.了解确定位置的方法，用有序数对或用方向和距离来确定物体的位置.2.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.2.能在平面直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.3.会用确定坐标、描点、连线的方法在直角坐标系中作出简单图形.【要点梳理】要点一、确定位置的方法有序数对：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．可以用有序数对确定物体的位置，也可以用方向和距离来确定物体的位置（或称方位）. 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2.点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．【典型例题】类型一、确定物体的位置1．某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示、例如，北偏东30°方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1：00，那么这个地点就用代码010045来表示、按这种表示方式，南偏东30°方向78千米的位置，可用代码表示为__________.【思路点拨】根据题目的叙述可知：代码的前四位表示时间，前两位是几点，中间两位表示多少分，后两位是指距离，时间表示方向角，即正对钟表时按：上北，下南，左西，右东的方向，以钟面圆心为基准，时针指向所对应的时间．【答案】050078【解析】解：南偏东30°方向，时针正好指到5点00分，因而代码前4位是：0500，78千米的位置则代码的后两位是78．则代码是：050078．故答案填：050078．【总结升华】正确读懂题目的含义，是解决题目的关键，这一题目就是训练学生审题，理解题目的能力．类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.有一个长方形ABCD ，长为5，宽为3，先建立一个平面直角坐标系，在此坐标系下求出A ，B ，C ，D 各点的坐标.【答案与解析】解：本题答案不唯一，现列举三种解法.解法一：以点A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，边AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图（1）：A （0，0），B （5，0），C （5，3），D （0，3）.解法二：以边AB 的中点为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点和CD 的中点所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图（2）：A （﹣2.5，0），B （2.5，0），C （2.5，3），D （－2.5，3）.解法三：以两组对边中点所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，如图（3）： A （﹣2.5，－1.5），B （2.5，－1.5）， C （2.5，1.5）， D （－2.5，1.5）.【总结升华】在不同平面直角坐标系中，长方形顶点坐标不同，说明位置的相对性与绝对性，即只要原点、x 轴和y 轴确定，每一个点的位置也确定，而一旦原点或x 轴、y 轴改变，每一个点的位置也相对应地改变.3.平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(－3，－1)，B(1，3)，C(2，－3)．求△ABC 的面积．【思路点拨】三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形的面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求得此三角形的面积．【答案与解析】解：如图所示，过点A 、C 分别作平行于y 轴的直线与过B点平行于x 轴的直线交于点D 、E ，则四边形ACED 为梯形，根据点A(－3，－1)、B(1，3)、C(2，－3)可求得AD ＝4，CE ＝6，DB ＝4，BE ＝1，DE ＝5，所以△ABC 的面积为：111()222ABC S AD CE DE AD DB CE BE =+--△ 111(46)5446114222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【总结升华】点的坐标能体现点到坐标轴的距离，解决平面直角坐标系中的三角形面积问题，就是要充分利用这一点，将不规则图形转化为规则图形，再利用相关图形的面积计算公式求解．举一反三：【变式】（2015春•莘县期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC 的三个顶点恰好是正方形网格的格点．（1）写出图中所示△ABC 各顶点的坐标．（2）求出此三角形的面积．【答案】解：（1）A（3，3），B（（﹣2，﹣2），C（（4，﹣3）；（2）如图所示：S△ABC=S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△ADB﹣S△AFC==.类型三、坐标平面及点的特征4.（2016春•沂水县期中）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；（4）点P到x轴、y轴的距离相等．【思路点拨】根据点的坐标特征一一求解.【答案与解析】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，解得：a1=﹣10，a2=﹣2，故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，包括坐标轴上的点的坐标特征，平行于坐标轴的点的特征，以及到坐标轴的距离相等的点的特征，考察很全面．举一反三：【变式】若点C(x,y)满足x＋y＜0，xy＞0，则点C在第_____象限.【答案】三．5.一个正方形的一边上的两个顶点O、A的坐标为O(0，0)，A(4，0)，则另外两个顶点的坐标是什么．【思路点拨】有点的坐标说明已有确定的平面直角坐标系，但正方形的另两个顶点位置不确定，所以应按不同位置分类去求．【答案与解析】解：不妨设另外两个顶点为B、C，因为OABC是正方形，所以OC＝BA＝BC＝OA＝4．且OC∥AB，OA∥BC，则：(1)当顶点B在第一象限时，如图所示，显然 B点坐标为(4，4)，C点坐标为(0，4)．(2)当顶点B在第四象限时，如图所示，显然B点坐标为(4，－4)，C点坐标为(0，－4)．【总结升华】在解答这类问题时，我们千万不要忽略了分类讨论而导致错误．举一反三：【变式】点A(m，n)到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为________．【答案】(2，3)或(－2，3)或(－2，－3)或(2，－3).。

浙教版数学八年级上册《4.2 平面直角坐标系》教案1

浙教版数学八年级上册《4.2 平面直角坐标系》教案1一. 教材分析《4.2 平面直角坐标系》是浙教版数学八年级上册的教学内容，本节课的主要内容是让学生掌握平面直角坐标系的定义、各象限内点的坐标的符号特征，以及坐标轴上点的坐标特点。

通过本节课的学习，为学生后续学习函数、几何等知识打下基础。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了平面图形的坐标表示，对坐标的概念有一定的了解。

但他们对平面直角坐标系的理解还不够深入，对于坐标系中各象限内点的坐标符号特征以及坐标轴上点的坐标特点还需要进一步巩固。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平面直角坐标系的定义，理解各象限内点的坐标符号特征，以及坐标轴上点的坐标特点。

2.过程与方法：通过观察、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义，各象限内点的坐标符号特征。

2.难点：坐标轴上点的坐标特点，以及坐标系在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与，提高他们的学习兴趣和动手能力。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体课件。

2.学具：练习本、尺子、圆规。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中常见的坐标系图片，如地图、股市走势图等，引导学生关注坐标系在实际生活中的应用。

提问：这些图片中的点是如何用坐标表示的？引发学生对坐标系的思考。

2.呈现（10分钟）讲解平面直角坐标系的定义，以及各象限内点的坐标符号特征。

通过示例，让学生直观地理解坐标轴上点的坐标特点。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，用坐标表示给定的点，并判断这些点位于哪个象限。

每组选出一个代表进行汇报，师生共同评价、纠正。

4.巩固（10分钟）出示一些坐标系题目，让学生独立完成，检查他们对平面直角坐标系的理解。

八年级(上)第四章数量、位置的变化第4课时平面直角坐标系(1)

第4课时平面直角坐标系(1)（附答案）【基础巩固】1．已知点M(a，6)，在第一象限时，a_______0，b_______0；在第二象限时，a_______0，b_______0；在第三象限时，a_______0，b_______0；在第四象限时，a_______0，b_______0．2．已知点M (a，b)，在x轴的正半轴时，a_______0，b_______0；在x轴的负半轴时，a_______0，b_______0；在y轴的正半轴时，a_______0，b _______0；在y轴的负半轴时，a_______0，b_______0．3．已知点P(m，n)的坐标满足mn<0，则m，n的符号必定_______；当m>0时，n_______0，此时点P在第_______象限；当m<0时，n_______0，此时点P在第_______象限．4．点A的横坐标是5，纵坐标是－8，点A的坐标记作：_______．5．已知点Q（－6，8），则点Q到x轴的距离是_______，到y轴的距离是_______，到原点的距离是_______．6．在平面直角坐标系中，属于第二象限的点是 ( )A．(2，3) B．(2，－3) C．(－2，3) D．(－2，－3)7．若点M(m－3，m－2)在y轴上，则m的值是 ( )A．2 B．－2 C．3 D．－38．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图所示，小华对小刚说，如果他的位置用(0，0)表示，小军的位置用(2，1)表示，那么小刚的位置可以表示成 ( ) A．(5，4) B．(4，5) C．(3，4) D．(4，3)9．在平面直角坐标系中，当m<0时，点P(m2＋1，－2m＋5)所在的象限是 ( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限10．已知点A（3，－3），B(－3，－3)，则直线AB ( )A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．不与坐标轴平行 D．不能确定11．小华去某地考察环境污染问题，并且事先知道下面的信息：(1)“悠悠日用化工品厂”在他所在地的北偏东30°的方向，距离此处3 km；(2)“佳味调味品厂”在他现在所在地的北偏西45°的方向，距离此处2.4 km；(3)“幸福水库”在他现在所在地的南偏东27°的方向，距离此处1.5 km的地方，根据这些信息，请建立直角坐标系，帮助小华完成这张表示各处位置的简图．12．在下图中，写出点A、B、C、D、E、F、G的坐标，请说明点B和点F有什么关系．【拓展提优】13．以点(－3，0)为圆心，5为半径的圆与坐标轴的交点坐标为_______．14．在平面直角坐标系中，点A1(1，1)，A2(2，4)，A3(3，9)，A4(4，16)，…，用你发现的规律确定点A9的坐标为_______．15．在坐标平面内，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若点P(2a＋1，4a－15)是第四象限内的整点，则整数a＝_______．16．若点A(m，n)在第二象限，则点B（m，－n）在第_______象限．17．若点A（－2，n）在x轴上，则B(n－1，n＋1)在 ( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限18．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志A(2，3)、B(4，1)，A、B“宝藏”点的坐标是 ( )A．(1，0) B．(5，4)C．(1，0)或(5，4) D．(0，1)或(4，5)19．坐标平面上，在第二象限内有一点P，且P点到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则P点坐标为 ( )A．(－5，4) B．(－4，5) C．(4，5) D．(5，－4)20．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点 (m，n)，规定以下两种变换：① f(m，n)＝（m，－n），如f(2，1)＝（2，－1）；②g(m，n)＝（－m，－n），如g(2，1)＝(－2，－1)．按照以上变换有：[g(3，4)]＝f（－3，－4）＝（－3，4），那么g[f(－3，2)]等于 ( ) A．(3，2) B．（3，－2） C．(－3，2) D．（－3，－2）21．已知点P（－3，1），则点P关于y轴的对称点的坐标是，点P关于原点O 的对称点的坐标是。

八年级下册初二数学(北京版)平面直角坐标系1

（线）点
点（平面）
点（空间）
数轴一一对应平面直角坐标系
一个实数有序数对（坐标） ?
勒内笛卡尔
世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。笛卡尔向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。
过点P作坐标轴垂线，垂足为点P在坐标轴上的对应点．
P（m,n)
mx
平面直角坐标系 x轴 y轴象限
一一对应
点
有序数对
坐标
例1 写出图中各点的坐标． C
A(2，4) B(0，3)
D
C(-4，2) D(-5，0)
E(-2，-1) F(0，-2)
y
B
E F
G(3，-2) H(5，0) O(0，0)
A
H
x
G
坐标轴上点的坐标
原点坐标为（0，0） x轴上的点纵坐标为0，即坐标（x，0） y轴上的点横坐标为0，即坐标（0，y）
y
例2 画平面直角坐标系，并在所画的直角坐标系中
作出下列各点
A(-3，-2) B(2，2)
x
C(0，-1) D(-4，0)
E(-2，3) F(4，-2)
例4 如图所示正方形网格（每个小方格的边长为1）中，建立适当
P(-12，-9)
必做：右图是天安门广场周围的景点分布示意图，试建立平面直角坐标系，用坐标表示各个景点的位置。
选做：搜集资料，了解笛卡尔
的《几何学》
的平面直角坐标系，并写出A，B， C，D的坐标
分析：答案不唯一
可以以任意一点为坐标原点建立直角坐标系，但尽量用格点

《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）

《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）作为一名优秀的教育工作者，时常要开展教案准备工作，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。

那么你有了解过教案吗？下面是小编收集整理的《平面直角坐标系》的教案（精选5篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

《平面直角坐标系》的教案1[教学目标]1、认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位2、渗透对应关系，提高学生的数感。

[教学重点与难点]重点：平面直角坐标系和点的坐标。

难点：正确画坐标和找对应点。

[教学设计][设计说明]一、利用已有知识，引入1．如图，怎样说明数轴上点A和点B的位置，2．根据下图，你能正确说出各个象棋子的位置吗？二、明确概念平面直角坐标系：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinate system）。

水平的数轴称为x轴（x—axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴（y—axis）或纵轴，取向上方向为由数轴的表示引入，到两个数轴和有序数对。

从学生熟悉的物品入手，引申到平面直角坐标系。

描述平面直角坐标系特征和画法正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。

表示方法为（a，b）。

a是点对应横轴上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。

例1 写出图中A、B、C、D点的坐标。

建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。

你能说出例1中各点在第几象限吗？例2 在平面直角坐标系中描出下列各点。

（）A（3，4）；B（—1，2）；C（—3，—2）；D（2，—2）问题1：各象限点的坐标有什么特征？练习：教材49页：练习1，2、三。

深入探索教材48页：探索：识别坐标和点的位置关系，以及由坐标判断两点的关系以及两点所确定的直线的位置关系。

(新)苏科版八年级数学上册5.2《平面直角坐标系》(一)教案(全国一等奖)

（新）苏科版八年级数学上册5.2《平面直角坐标系》（一）教案（全国一等奖）课题：平面直角坐标系（一）教材：义务教育教材《数学》（八年级第一册）（苏科版）p120-122【教学目标】1.在引导学生探究的过程中，将实际问题抽象为数学问题，构造平面直角坐标系，正确绘制平面直角坐标系；2．会在给定的平面直角坐标系中根据点的坐标标出点的位置，会根据点的位置写出点的坐标；3.让学生感受“数形结合”的数学思想，感受“类比”和“坐标”的思想，体验实际问题数学化的过程和方法[教学要点]1．理解并掌握平面直角坐标系的有关概念；2.在平面直角坐标系中，根据点的坐标标注点的位置，并根据点的位置书写点的坐标【教学难点】1．将实际问题抽象成数学问题，体验从数轴到平面直角坐标系的转化过程；2．感受“数形结合”与“类比”的思想与方法；3．使学生理解平面内的点与有序实数对的一一对应关系.【教学方法与教学手段】启发式教学结合学生的探究、类比和教师的实践，并使用多媒体信息技术[教学过程]第一环节：重温数轴的抽象过程（教师主讲）老师：1小明走在淮海东路，从红绿灯路口向东走了500米。

我们规定“上去”北下南、左西右东”，在生活中，如何描述小明现在所处的位置？（在淮海东路，距红绿灯路口东面500m处，此时我们可以用一句话来描述小明的位置）一2.⑴此时，我们如何运用之前学过的数学知识将这个实际问题抽象成一个数学术问题？（在数学中，我们经常把道路抽象成一条直线。

这时，我们也可以把淮海东路抽象成一条直线。

如果以红绿灯交叉口为原点，将东方向指定为正方向，并记录100米的单位长度，则可以将道路抽象成一个数字。

）是的。

）⑵在数轴上，如何用数字来表示小明所处的位置？（小明所处的位置可用（由500人代表）3.刚才我们将一个实际问题抽象成了数学问题，在一条规定了原点、正方向、单位长度的直线即数轴上，用一个点表示了小明的位置，进而用一个数来刻画了这个位置。

这就是我们利用数轴来解决的一个数学问题，在数轴上的一个点可以用一个数来表示，反之任何一个数都可以找到数轴上的一个点对应于它，也就是说，数轴上的点一个接一个地对应于数第二环节：类比学习引导学生构建平面直角坐标系（学生探究活动）老师：1现在我们有一个新问题：如果小明从红绿灯路口开始向东走500米，然后转向正北走300米，如果我们给另一条与淮海东路垂直的路直的淮海北路，又可以如何来描述小明此时的位置？（我们可以说小明在淮海北路的东边500m，淮海东路的北边300m处），那么这个问题是不是也可以抽象成一个数学问题呢？在数学中，又如何描述这个位置？用一条数轴，一个数字还能描述小明所处的位置吗？怎么办？（显然一条数轴已不够用，一个数字500已不能准确描述小明的位置，我们刚才是用两句话来描述小明的位置的）请大家讨论，可以小组讨论，也可以独立思考.2.老师发现绝大多数同学在原来一条数轴的基础上，又以红绿灯位置为原点，画另一个垂直于它的数字轴（实际上，垂直于它的“淮海北路”被抽象为一个数字轴），这样他就可以清楚地表达小明的立场（让学生表达）。

北师大版八年级数学上册：3.2 《平面直角坐标系》教案1

北师大版八年级数学上册：3.2 《平面直角坐标系》教案1一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版八年级数学上册第三章第二节的内容。

本节课的主要内容是让学生掌握平面直角坐标系的定义、特点以及坐标轴上的点的坐标特征。

通过本节课的学习，学生能够理解坐标系在数学和物理中的重要性，为后续函数、几何等知识的学习打下基础。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了点的坐标，对坐标有一定的认识。

但他们对平面直角坐标系的理解还不够深入，需要通过本节课的学习进一步巩固和提高。

此外，学生需要掌握如何在平面直角坐标系中表示点、直线和图形，以及如何利用坐标系解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：理解平面直角坐标系的定义和特点，掌握坐标轴上的点的坐标特征，学会在平面直角坐标系中表示点、直线和图形。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：感受数学与现实生活的联系，体会数学学习的乐趣，提高学生对数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义、特点和坐标轴上的点的坐标特征。

2.难点：如何在平面直角坐标系中表示点、直线和图形，以及利用坐标系解决实际问题。

五. 教学方法采用讲授法、问答法、自主探究法、合作交流法等教学方法，引导学生观察、操作、思考、交流，从而达到理解平面直角坐标系的目的。

六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、黑板、粉笔、坐标轴模型等。

2.学生准备：笔记本、彩笔、剪刀、胶水等。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾七年级学过的点的坐标知识，为新课的学习做好铺垫。

例如：“同学们，你们还记得点的坐标吗？在坐标系中，如何表示一个点的位置？”呈现（10分钟）1.教师通过PPT展示平面直角坐标系的定义和特点，引导学生理解新知识。

2.教师讲解坐标轴上的点的坐标特征，如x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。

操练（10分钟）1.学生自主探究：在平面直角坐标系中表示点、直线和图形。

苏科版数学八年级上册平面直角坐标系压轴提优复习习题(含答案)

平面直角坐标系提优复习一．选择题（共11小题）1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（）A．（1，3）B．（5，1）C．（1，3）或（3，5）D．（1，3）或（5，1）2．若点M（x，y）满足（x﹣y）2＝x2+y2﹣2，则点M所在的象限是（）A．第一象限或第三象限B．第一象限或第二象限C．第二象限或第四象限D．不能确定3．已知点P（m﹣1，n+2）与Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，则（m+n）2019的值为（）A．1B．﹣1C．2019D．﹣20194．在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（3，﹣4）5．如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（）A．（﹣1，）B．（，﹣1）C．（﹣，1）D．（﹣2，1）第5题第6题6．如图，线段OA，OB分别从与x轴和y轴重合的位置出发，绕着原点O顺时针转动，已知OA每秒转动45°，OB的转动速度是每秒转动30°，则第2020秒时，OA与OB之间的夹角的度数为（）A．90°B．145°C．150°D．165°7．已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），且|a﹣c|+＝0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+c的值为（）A．12B．14C．16D．208．在平面直角坐标系中，将A（m2，1）沿着x的正方向向右平移m2+3个单位后得到B点．有四个点M （﹣m2，1）、N（m2，m2+3）、P（m2+2，1）、Q（3m2，1），一定在线段AB上的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q9．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O 旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）A．（，）或（﹣，﹣）B．（，）或（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）或（，）D．（﹣，﹣）或（，）第9题第11题10．对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）＝（﹣a，b），如f（1，2）＝（﹣1，2）；g（a，b）＝（b，a），如g（1，2）＝（2，1），据此得g[f（5，﹣9）]＝（）A．（5，﹣9）B．（﹣5，﹣9）C．（﹣9，﹣5）D．（﹣9，5）11．如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC＝30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，……，则第10个等边三角形的边长等于（）A．B．C．D．二．填空题（共13小题）12．已知m为任意实数，则点（﹣3m2﹣1，|m|+1）在第象限．13．已知点M（3a﹣8，a﹣1），点M在第二、四象限的角平分线上，则点M的坐标为．14．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标为．15．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为．第15题第16题16．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为．17．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是，B5的坐标是．第17题第18题18．如图，在平面直角坐标系内，点A、点B的坐标分别为A（﹣7，0），B（5，0），现将线段AB向上平移9个单位，得到对应线段DC，连接AD、BC、AC，若AC＝15，动点E从C点出发，以每秒3个单位的速度沿C→D→C作匀速移动，点F从点B出发，以每秒4个单位的速度沿B→A→B作匀速运动，点G从点A出发沿AC向点C匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．在移动过程中，若△CEG与△AFG全等，则此时的移动时间t的值为．19．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），例如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a+b的值等于．20．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如，点P（1，4）的3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4）即Q（7，13），若点B的“2级关联点”是B′（3，3），则点B的坐标为．21．如图，在平面内两条直线l1、l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1、l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，3）的点共有个．22．如图，坐标系中，四边形OABC与CDEF都是正方形，OA＝2，M，D分别是AB，BC的中点，当把正方形CDEF绕点C旋转某个角度后，如果点F的对应点为F′，且O F′＝OM．则点F′的坐标是．第22题第23题23．将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是．24．下列说法中，正确的是．①在平面内，两条互相垂直的数轴，组成了平面直角坐标系；②如果点A到x轴和y轴的距离分别为3、4，那么点A（4，3）；③如果点A（a，b）位于第四象限，那么ab＜0；④如果点A的坐标为（a，b）那么点A到坐标原点的距离为；⑤如果点A（a+3，2a+4）在y轴上，那么点P（2a+4，a+3）的坐标是（0，﹣2）．三．解答题（共7小题）25．在平面直角坐标系中，有点A（a，1）、点B（2，b）．（1）当A、B两点关于直线y＝﹣1对称时，求△AOB的面积；（2）当线段AB∥x轴，且AB＝4时，求a﹣b的值．26．已知点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，点Q（x，y）位于第二象限且是由点P向上平移一定单位长度得到的．（1）若点P的纵坐标为﹣3，试求出a的值；（2）在（1）题的条件下，试求出符合条件的一个点Q的坐标；（3）若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|；（1）已知点P（﹣3，4）、点Q（1，1），则点P与点Q的“近似距离”为．（2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点，①若点A与B的“近似距离为3”，写出满足条件的B点的坐标．②直接写出点A与点B的“近似距离”的最小值．（3）已知C（2m+2，m），D（1，0），写出点C与点D的“近似距离”的最小值及相应的C点坐标．28．已知在平面直角坐标系中，A（﹣a，a），a≠0，B（b，c），a、b、c满足a﹣2b﹣3c＝﹣1，2a﹣3b﹣5c＝﹣4．（1）若c＝0，求A、B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，C（m，0）为一动点，且m＞0，连接AB、AC，平移线段AB得到线段ED，使B点的对应点D落在线段AC上，则∠EDC、∠ABC、∠ACB之间有何数量关系？证明你的结论；（3）若将线段AB平移到OF处，点F在第二象限，坐标原点O与点A对应，F与B对应，求F点的坐标．29．附加题：已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为奇数．（1）若AC＝8，BC＝2，求AB的长；（2）若AC﹣BC＝5，求AB的最小值；（3）若A（﹣2，1），B（6，1），在第一、三象限角平分线上是否存在点P，使△ABP的面积为16？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．30．已知如图，在平面直角坐标系中有四点，坐标分别为A（﹣4，3）、B（4，3）、M（0，1）、Q（1，2），动点P在线段AB上，从点A出发向点B以每秒1个单位运动．连接PM、PQ并延长分别交x轴于C、D两点（如图）．（1）在点P移动的过程中，若点M、C、D、Q能围成四边形，则t的取值范围是，并写出当t ＝2时，点C的坐标．（2）在点P移动的过程中，△PMQ可能是轴对称图形吗？若能，请求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．（3）在点P移动的过程中，求四边形MCDQ的面积S的范围．31．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为．（1）如图（1），C为线段AB中点，A点坐标为（0，4），B点坐标为（5，4），则点C的坐标为（2）如图（2），F为线段DE中点，D点坐标为（﹣4，﹣3），E点坐标为（1，﹣3）．则点F的坐标为应用：（1）如图（3），矩形ONDF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点D的坐标为（4，3），则点M的坐标为；（2）在直角坐标系中．有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与A，B，C构成平行四边形的顶点，求D的坐标．参考答案一．选择题1-5．DABBC CCCB二．填空题12．二．13．（，）．14．（6048，2）．15．﹣（）2015．16．45．17．A5（32，3），B5（64，0）．18．或秒或秒．19．或﹣4．20．（1，1）．21．4．22．（﹣1，2），（1，2）．23．23．24．③④．三．解答题25．解：（1）由题意，得a＝2，b＝﹣3，则A（2，1），B（2，﹣3）．设AB与x轴相交于点D，则OD＝2，AB＝4．∴S△AOB＝AB×OD＝×4×2＝4．（2）∵AB∥x轴，∴A、B的纵坐标相同，∴b＝1．∴B（2，1）∵AB＝4，∴|a﹣2|＝4．解得a＝﹣2或a＝6．当a＝﹣2，b＝1时，a﹣b＝﹣3．当a＝6，b＝1时，a﹣b＝5．26．解：（1）1﹣a＝﹣3，a＝4．（2）由a＝4得：2a﹣12＝2×4﹣12＝﹣4，又点Q（x，y）位于第二象限，所以y＞0；取y＝1，得点Q的坐标为（﹣4，1）．（3）因为点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，所以，解得：1＜a＜6．因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a＝2或3或4或5；当a＝2时，1﹣a＝﹣1，所以PQ＞1；当a＝3时，1﹣a＝﹣2，所以PQ＞2；当a＝4时，1﹣a＝﹣3，所以PQ＞3；当a＝5时，1﹣a＝﹣4，所以PQ＞4．27．解：（1）∵点P（﹣3，4）、点Q（1，1），则点P与点Q的“近似距离”为4．故答案为：4；（2）①∵B为x轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（x，0）．∵A、B两点的“近似距离为3”，A（0，﹣2），∵|0﹣x|＝3，|﹣2﹣0|＝2，解得x＝3或x＝﹣3，∴点B的坐标是（3，0）或（﹣3，0），故答案为：（3，0）或（﹣3，0）；②∵设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2），∴|﹣2﹣0|＝2，|0﹣x|＝x，∴若|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2，若|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2；∴A、B两点的“近似距离”的最小值为2，故答案为：2；（3）∵C（2m+2，m），D（1，0），∴|2m+2﹣1|＝|m﹣0|＝|2m+1|，当m＞0时，m＝2m+1，解得：m＝﹣1（舍去）；当﹣＜m＜0时，﹣m＝2m+1，解得：m＝﹣；∴点C与D的“近似距离”的最小值为|m|＝；相应的C点坐标为（，﹣）；答：点C与D的“近似距离”的最小值及相应的C点坐标为：，（，﹣）．28．解：（1）当c＝0时，a、b满足：a﹣2b＝﹣1，2a﹣3b＝﹣4，解得a＝﹣5，b＝﹣2，∴A点的坐标为（5，﹣5），B点的坐标为（﹣2，0）；（2）∠EDC＝∠ABC+∠ACB．证明：如图，延长BA至G，由平移得，AB∥DE，∴∠EDC＝∠GAC，又∵∠GAC是△ABC的外角，∴∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∴∠EDC＝∠ABC+∠ACB；（3）如图，∵坐标原点O与点A对应，且A（5，﹣5），∴线段AB向上平移5个单位，再向左平移5个单位，可平移到OF处，又∵F与B对应，且B（﹣2，0），∴F点的横坐标为：﹣2﹣5＝﹣7，纵坐标为：0+5＝5，∴F点的坐标为（﹣7，5）．29．解：（1）由三角形的三边关系知，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：8﹣2＜AB＜8+2，∴6＜AB＜10，又∵△ABC的周长为奇数，而AC、BC为偶数，∴AB为奇数，故AB＝7或9；（2）∵AC﹣BC＝5，∴AC、BC中一个奇数、一个偶数，又∵△ABC的周长为奇数，故AB为偶数，AB＞AC﹣BC＝5，得AB的最小值为6；（3）存在．由A（﹣2，1），B（6，1）两点坐标可知：AB∥x轴，且AB＝6﹣（﹣2）＝8，而△ABP的面积为16，由三角形计算面积公式可知，点P到AB的距离为4，即P点纵坐标为5或﹣3，又P点在第一、三象限角平分线上，故P点坐标为（5，5）或（﹣3，﹣3）．30．解：（1）0≤t≤8，且t≠6；点C的坐标为（1，0）；（2）若△PMQ可能是轴对称图形，则△PMQ必为等腰三角形．①当PQ＝QM时，设P点坐标为P（a，3），则有：PQ＝＝，易知MQ＝，∴＝，解得a＝2，a＝0，当a＝2时，AP＝4+2＝6，即t＝6不合题意，舍去．∴P点坐标为（0，3）；②当PM＝PQ时，设P点坐标为P（b，3），则有：PQ＝，PM＝，∴＝，解得b＝﹣1，∴P点坐标为（﹣1，3）．综上所述：点P的坐标为（﹣1、3）、（0、3）；（3）当0≤t＜6时，S＝﹣t+，Smax＝．当6＜t≤8，S＝﹣t+3，Smax＝3；∴四边形MCDQ的面积S的范围是0＜S≤．31．解：（1）因为C为线段AB中点，A点坐标为（0，4），B点坐标为（5，4），则点C的坐标为（，），化简得C（2.5，4）故答案为：（2.5，4）（2）因为F为线段DE中点，D点坐标为（﹣4，﹣3），E点坐标为（1，﹣3）．则点F的坐标为（，），化简得F（﹣1.5，﹣3）；故答案为：（﹣1.5，﹣3）．应用（1）因为矩形ONDF的对角线互相平分且相交于点M，所以点M是OD的中点，O为坐标原点，点D的坐标为（4，3），则点M的坐标为（2，1.5）；故答案为：（2，1.5）．（2）因为A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与A，B，C构成平行四边形的顶点，设D的坐标为（x，y）如图：若AC∥BD，AB∥CD，连接对角线AD和BC，交点为E，由平行四边形对角线互相平分知，E是BC 的中点，所以M（，），M（2，2.5）又因为M是AD的中点，所以：，，解得x＝5，y＝3，所以点D（5，3）同理可求当AD∥BC，AB∥CD时，点D（﹣3，5）当AC∥BD，AD∥BC时，点D（1，﹣1）综上所述：点D的坐标为：（5，3），（﹣3，5），（1，﹣1）．。

专题：《平面直角坐标系》(专题测试-提高)-2020年中考数学一轮复习基础考点题型练(含答案)

专题：《平面直角坐标系》（专题测试-提高）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（每题4分，共48分）1．在平面直角坐标系中，点P（a，b）在第二象限，则（）A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．＜02．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，x2+2）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点A（3，1），B（2，2），则“宝藏”点C的位置是（）A．（1，0）B．（1，2）C．（2，1）D．（1，1）4．已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），下列说法正确的是（）A．若点A在y轴上，则a＝3B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6D．若点A在第四象限，则a的值可以为﹣25．已知点M（a，1），N（3，1），且MN＝2，则a的值为（）A．1 B．5 C．1或5 D．不能确定6．在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）7．在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（2﹣a，0），且A在B的左边，点C（1，﹣1），连接AC，BC，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，那么a的取值范围为（）A．﹣1＜a≤0 B．0≤a＜1 C．﹣1＜a＜1 D．﹣2＜a＜28．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是（）A．（2018，1）B．（2018，0）C．（2018，2）D．（2019，0）9．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，﹣2）C．（1，1）D．（0，﹣2）10．如图，矩形ABCD 的两边BC 、CD 分别在x 轴、y 轴上，点C 与原点重合，点A （﹣1，2），将矩形ABCD 沿x 轴向右翻滚，经过一次翻滚点A 对应点记为A 1，经过第二次翻滚点A 对应点记为A 2…依此类推，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的坐标为（）A ．（5，2）B ．（6，0）C ．（8，0）D ．（8，1）11．周末，小明与小文相约一起到游乐园去游玩，如图是他俩在微信中的一段对话：根据上面两人的对话纪录，小文能从M 超市走到游乐园门口的路线是（）A ．向北直走700米，再向西直走300米B ．向北直走300米，再向西直走700米C ．向北直走500米，再向西直走200米D ．向南直走500米，再向西直走200米12．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（）A ．（﹣8，0）B ．（0，﹣8）C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（每题4分，共20分）13．已知点A 的坐标为（﹣7，2），线段AB ∥y 轴且AB ＝3，则点B 的坐标是．14．在平面直角坐标系中，点M （m ﹣2，m +1）不可能在第象限．15．如图，点P 1，P 3在y 轴上，P 2，P 4在x 轴上，且P 1P 2⊥P 2P 3，P 2P 3⊥P 3P 4，若点P 1，P 2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P 4的坐标为．16．如图，在直角坐标系中，△ABC 是边长为a 的等边三角形，点B 始终落在y 轴上，点A始终落在x 轴上，则OC 的最大值是．17．如图，直线l 1经过点A （3，），过点A 且垂直于l 1的直线与x 轴交于点B ，与直线l 2交于点C ，且∠BOC ＝30°，则BC 的长等于．三．解答题（每题8分，共32分）18．如图所示，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A （a ，0），B （b ，0），且a ，b 满足|a +2|+＝0，点C 的坐标为（0，3）．（1）求a ，b 的值及S △ABC ；（2）若点M 在x 轴上，且S △ACM ＝S △ABC ，试求点M 的坐标．19．如图所示，A （1，0）、点B 在y 轴上，将三角形OAB 沿x 轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC ，且点C 的坐标为（﹣3，2）．（1）直接写出点E 的坐标；（2）在四边形ABCD 中，点P 从点B 出发，沿“BC →CD ”移动．若点P 的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，回答下列问题：①当t ＝秒时，点P 的横坐标与纵坐标互为相反数；②求点P 在运动过程中的坐标，（用含t 的式子表示，写出过程）；③当3秒＜t ＜5秒时，设∠CBP ＝x °，∠PAD ＝y °，∠BPA ＝z °，试问x ，y ，z 之间的数量关系能否确定？若能，请用含x ，y 的式子表示z ，写出过程；若不能，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，已知A （a ，0），B （b ，0），其中a ，b 满足|a +1|+（b ﹣3）2＝0．（1）填空：a ＝，b ＝；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．21．如图（小方格的边长为1），这是某市部分简图．（1）请你根据下列条件建立平面直角坐标系（在图中直接画出）：①火车站为原点；②宾馆的坐标为（2，2）．（2）市场、超市的坐标分别为、；（3）请将体育场、宾馆和火车站看作三点，用线段连起来，得△ABC，然后将此三角形向下平移4个单位长度，再画出平移后的△A′B′C′（在图中直接画出）；（4）根据坐标情况，求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵点P（a，b）在第二象限，∴a＜0，b＞0，∴＜0，故选：D．2．解：∵x2+2＞0，﹣3＜0，∴点P（﹣3，x2+2）所在的象限是：第二象限．故选：B．3．解：根据两个标志点A（3，1），B（2，2）可建立如下所示的坐标系：由平面直角坐标系知，“宝藏”点C的位置是（1，1），故选：D．4．解：A．若点A在y轴上，则a+1＝0，解得a＝﹣1，故本选项错误；B．若点A在一三象限角平分线上，则a+1＝3﹣a，解得a＝1，故本选项正确；C．若点A到x轴的距离是3，则|3﹣a|＝3，解得a＝6或0，故本选项错误；D．若点A在第四象限，则a+1＞0，且3﹣a＜0，解得a＞3，故a的值不可以为﹣2；故选：B．5．解：∵M（a，1），N（3，1），且MN＝2，∴|a﹣3|＝2，解得a＝1或5，故选：C．6．解：如图所示：∵相似比为2，∴A'（﹣2，﹣4），故选：A．7．解：∵点A（a，0）在点B（2﹣a，0）的左边，∴a＜2﹣a，解得：a＜1，记边AB，BC，AC所围成的区域（含边界）为区域M，则落在区域M的横纵坐标都为整数的点个数为4个，∵点A，B，C的坐标分别是（a，0），（2﹣a，0），（1，﹣1），∴区域M的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，∴已知的4个横纵坐标都为整数的点都在区域M的边界上，∵点C（1，﹣1）的横纵坐标都为整数且在区域M的边界上，∴其他的3个都在线段AB上，∴2≤2﹣a＜3．解得：﹣1＜a≤0，故选：A．8．解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，则2018＝504×4+2所以，前504次循环运动点P共向右运动504×4＝2016个单位，剩余两次运动向右走2个单位，且在x轴上．故点P坐标为（2018，0）故选：B．9．解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3，∴绕四边形ABCD 一周的细线长度为2+3+2+3＝10，2016÷10＝201…6，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第6个单位长度的位置，即CD 中间的位置，点的坐标为（0，﹣2），故选：D ．10．解：如下图所示：由题意可得上图，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的坐标对应上图中的坐标，故A 5的坐标为：（8，1）．故选项A 错误，选项B 错误，选项C 错误，选项D 正确．故选：D ．11．解：根据题意建立平面直角坐标系如图所示，小文能从M 超市走到游乐园门口的路线是：向北直走700米，再向西直走300米．故选：A ．12．解：如图所示∵四边形OBB 1C 是正方形，∴OB 1＝，B 1所在的象限为1； ∴OB 2＝（）2，B 2在x 轴正半轴；∴OB 3＝（）3，B 3所在的象限为第四象限；∴OB 4＝（）4，B 4在y 轴负半轴；∴OB 6＝（）6＝8，B 6在x 轴负半轴．∴B 6（﹣8，0）．故选：A ．二．填空题（共5小题）13．解：∵AB ∥y 轴，点A 的坐标为（﹣7，2），∴点B 的横坐标为﹣7，∵AB ＝3，∴点B 在点A 的上方时，点B 的纵坐标为5，点B 的坐标为（﹣7，5），点B 在点A 的下方时，点B 的纵坐标为﹣1，点B 的坐标为（﹣7，﹣1），综上所述，点B 的坐标为（﹣7，5）或（﹣7，﹣1），故答案为：（﹣7，5）或（﹣7，﹣1）．14．解：当m ﹣2＜0时，m +1的符号无法确定，点A （m ﹣2，m +1）在第二或三象限，当m ﹣2＞时，则m +1＞0，点A （m ﹣2，m +1）在第一象限，故点A （m ﹣2，m +1）不可能在第四象限．故答案为：四．15．解：∵点P 1，P 2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），∴OP 1＝1，OP 2＝2，∵Rt △P 1OP 2∽Rt △P 2OP 3，∴＝，即＝，解得，OP 3＝4，∵Rt △P 2OP 3∽Rt △P 3OP 4，∴＝，即＝，＝8，解得，OP4的坐标为（8，0），则点P4故答案为：（8，0）．16．解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，则OD＝AB＝a，CD＝a，在△OCD中，OD+CD＞OC，所以，当点O、D、C三点共线时，OC的长度最大，最大值为a+a＝a．故答案为： a．17．解：∵点A（3，），∴tan∠AOB＝，OA＝，∴∠AOB＝30°，∵AC⊥OA于点A，∠BOC＝30°，∴∠OAC＝90°，∠AOC＝60°，∴tan∠AOB＝，tan∠AOC＝，即tan30°＝，tan60°＝，解得，AB＝2，AC＝6，∴BC＝AC﹣AB＝4，故答案为：4．三．解答题（共4小题）18．解：（1）∵|a +2|+＝0，∴a +2＝0，b ﹣4＝0，∴a ＝﹣2，b ＝4，∴点A （﹣2，0），点B （4，0）．又∵点C （0，3），∴AB ＝|﹣2﹣4|＝6，CO ＝3，∴S △ABC ＝AB •CO ＝×6×3＝9．（2）设点M 的坐标为（x ，0），则AM ＝|x ﹣（﹣2）|＝|x +2|，又∵S △ACM ＝S △ABC ，∴AM •OC ＝×9，∴|x +2|×3＝3，∴|x +2|＝2，即x +2＝±2，解得：x ＝0或﹣4，故点M 的坐标为（0，0）或（﹣4，0）．19．解：（1）根据题意，可得三角形OAB 沿x 轴负方向平移3个单位得到三角形DEC ， ∵点A 的坐标是（1，0），∴点E 的坐标是（﹣2，0）；故答案为：（﹣2，0）；（2）①∵点C 的坐标为（﹣3，2）∴BC ＝3，CD ＝2，∵点P 的横坐标与纵坐标互为相反数；∴点P 在线段BC 上，∴PB ＝CD ，即t ＝2；∴当t ＝2秒时，点P 的横坐标与纵坐标互为相反数；故答案为：2；②当点P在线段BC上时，点P的坐标（﹣t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（﹣3，5﹣t）；③能确定，如图，过P作PF∥BC交AB于F，则PF∥AD，∴∠1＝∠CBP＝x°，∠2＝∠DAP＝y°，∴∠BPA＝∠1+∠2＝x°+y°＝z°，∴z＝x+y．20．解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0，∴a+1＝0且b﹣3＝0，解得：a＝﹣1，b＝3，故答案为：﹣1，3；（2）过点M作MN⊥x轴于点N，∵A（﹣1，0）B（3，0）∴AB＝1+3＝4，又∵点M（﹣2，m）在第三象限∴MN＝|m|＝﹣m∴S △ABM ＝AB •MN ＝×4×（﹣m ）＝﹣2m ；（3）当m ＝﹣时，M （﹣2，﹣）∴S △ABM ＝﹣2×（﹣）＝3，点P 有两种情况：①当点P 在y 轴正半轴上时，设点p （0，k ）S △BMP ＝5×（+k ）﹣×2×（+k ）﹣×5×﹣×3×k ＝k +， ∵S △BM P ＝S △ABM ，∴k +＝3，解得：k ＝0.3，∴点P 坐标为（0，0.3）；②当点P 在y 轴负半轴上时，设点p （0，n ），S △BMP ＝﹣5n ﹣×2×（﹣n ﹣）﹣×5×﹣×3×（﹣n ）＝﹣n ﹣， ∵S △BMP ＝S △ABM ，∴﹣n ﹣＝3，解得：n ＝﹣2.1∴点P 坐标为（0，﹣2.1），故点P 的坐标为（0，0.3）或（0，﹣2.1）．21．解：（1）如图，（2）市场的坐标为（4，3），超市的坐标为（2，﹣3）；（3）如图；（4）△ABC面积＝3×6﹣×2×2﹣×4×3﹣×1×6 ＝18﹣2﹣6﹣3＝7．故答案为（4，3），（2，﹣3）．。

备战中考数学二轮专题归纳提升真题平面直角坐标系规律探究问题(解析版)

专题01 平面直角坐标系规律探究问题【知识点梳理】1、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P （a ，b ）与关于x 轴对称点的坐标为（a ，-b ）点P （a ，b ）与关于y 轴对称点的坐标为（-a ，b ）点P （a ，b ）与关于原点对称点的坐标为（-a ，-b ）口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号 2、点的平移点P （a ，b ）沿x 轴向右（或向左）平移m 个单位后对应点的坐标是(a ±m,b )；点P （a ，b ）沿y 轴向上（或向下）平移n 个单位后对应点的坐标是(a,b ±n ). 口诀：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.3、两点间的距离：在x 轴或平行于x 轴的直线上的两点P 1 (x 1,y )，P 2 (x 2,y )间的距离为|x 1−x 2| 在y 轴或平行于y 轴的直线上的两点P 1 (x ,y 1)，P 2 (x ,y 2)间的距离为|y 1−y 2| 任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2【典例分析】【例1y)经过某种变换后得到点P ′(−y +1,x +2)，我们把点P ′(−y +1,x +2)叫做点P(x,y)的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…、nP 、…，若点p 1的坐标为（2，0），则点P 2022的坐标为_____。

【答案】（1，4）．解析：解：P 1 坐标为（2，0），则P 2坐标为（1，4），P 3坐标为（-3，3），P 4坐标为（-2，-1），P 5坐标为（2，0），∴P n 的坐标为（2，0），（1，4），（-3，3），（-2，-1）循环， ∵2022=4×505+2， ∴P 2022 坐标与P 2点重合，故答案为（1，4）．【练1】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P′（y -1，-x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，2），则A 2023的坐标为________【答案】（-3，0）解析：解：∵A1（3，2），A2（1，-2），A3（-3，0），A4（-1，4），A5（3，2），…，∴点A n的坐标4个一循环．∵2023=505×4+3，∴点A2023的坐标与点A2的坐标相同．∴A2023的坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）．【练2】某同学在平面直角坐标系内设计了一个动点运动的编程．若一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，则点A2022的坐标为（）A．（22021﹣1，22021+1）B．（22022﹣1，22022+1）C．（22022﹣2，22022+2）D．（22021﹣2021，22021+2021）【答案】B【解析】解：∵一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，∴A n（2n﹣1，2n+1），∴A2022的坐标为：（22022﹣1，22022+1），故选：B．【练3】对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2022（1，﹣1）＝．【答案】（21011，21011）【解析】解：由题意可得：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8）…当n为奇数时，P n（1，﹣1）＝（0，），当n为偶数时，P n（1，﹣1）＝（2n2，2n2），∴P2022（1，﹣1）应该等于（21011，21011）．故答案是：（21011，21011）．【例2】如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2022的坐标是（）A．（2022，0）B．（2022，2）C．（2021，﹣2）D．（2022，﹣2）【答案】A【解析】解：观察图形可知，点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，2022÷4＝505…2，故点A2022坐标是（2022，0）．故选：A．【练1】如图，动点P1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2020，1）C．（2022，0）D．（2022，1）【答案】C【解析】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位，∴2022=4×505+2．当第505循环结束时，点P位置在（2020，0），在此基础之上运动两次到（2022，0）．故选C．【练2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（）A．（2022，1）B．（2022，2）C．（2022，﹣2）D．（2022，0）【答案】D【解析】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，故选：D．【练3】如图，平面直角坐标系中，一个点从原点O出发，按向右→向上→向右→向下的顺序依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点A1，第二次移到点A2，第三次移到点A3，…，第n次移到点A n，则点A2022的坐标是_____________.【答案】（1011,1）.【解析】观察图象可知，点A的纵坐标每4个点循环一次，∵2022=505×4+2，∴点A2022的纵坐标与点A2的纵坐标相同，∵A2（1，1），A6（3,1），A10（5,1）……，∴点A2022的坐标是（1011,1）.【例3】如图，在平面直角坐标系上有个点A（-1，O），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（-1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2(1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是( )A.(-505, 1011)B.(505, 1010)C.(-506, 1010)D.(506, 1011)【答案】D【解析】解：设第n次跳动至点A n，观察，发现：A（-1，0），A1（-1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（-2，2），A5（-2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（-3，4），A9（-3，5），…，∴A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）．∵2022=505×4+2，∴A2022（505+1，505×2+1），即（506，1011）．故选：D．【练1】如图所示，在平面直角坐标系上有个点P（1,0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位……依此规律跳动下去，点P第99次跳动至点P99的坐标是_____【答案】（-25，50）【解析】解：由题中规律可得出如下结论：设点Px的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4（n-1）和4n-3，在y轴左侧的点的下标是：4n-2和4n-1；判断P199的坐标，就是看99=4（n-1）和99=4n-3和99=4n-2和99=4n-1这四个式子中哪一个有负整数解，从而判断出点的横坐标.由上可得：点P第99次跳动至点P99的坐标是（-25，50）故答案为：（-25，50）.【练2】如图，在平面直角坐标系上有点A0(1,0)，点A0第一次跳动至点A1(−1,1)，第二次点A1跳动至点A2(2,1)，第三次点A跳动至点A3(−2,2)，第四次点A3跳动至点A4(3,2)，……依2此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（）A．2023B．2022C．2021D．2020【答案】A【解析】观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2022次跳动至A2022点的坐标是（1012，1011），第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，∴点A2021与点A2022之间的距离=1012﹣（﹣1011）=2023．故选：A．【练3】在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（）A．（673，2021）B．（674，2021）C．（﹣673，2021）D．（﹣674，2021）【答案】B【解析】解：因为A1（0，1），A2（1，2），A3（﹣1，3），A4（﹣1，4），A5（2，5），A6（﹣2，6），A7（﹣2，7），A8（3，8），…A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数），∵3×674﹣1＝2021，∴n＝674，所以A2021（674，2021），故选：B．【例4】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1）（1，1）,（1，2），（2，2）……根据这个规律，第2022个点的坐标为________【答案】（45，6）【解析】解：观察图形，可知：第1个点的坐标为（1，0），第4个点的坐标为（1，1），第9个点的坐标为（3，0），第16个点的坐标为（1，3），…，∴第（2n-1）2个点的坐标为（2n-1，0）（n为正整数）．∵2025=452，∴第2025个点的坐标为（45，0）．又∵2025-3=2022，∴第2022个点在第2025个点的上方3个单位长度处，∴第2022个点的坐标为（45，3）．故答案为：（45，3）．【练1】如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（）A．（﹣12，﹣12）B．（15，18）C．（15，﹣12）D．（﹣15，18）【答案】B【解析】解：根据题意可知：O A1＝3，A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18，A9A10＝30，∴A1点坐标为（3，0），A2点坐标为（3，6），A3点坐标为（﹣6，6），A4点坐标为（﹣6，﹣6），A5点坐标为（9，﹣6），A6点坐标为（9，12），以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，∴A10点坐标为（15，18），故选：B．【练2】如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→（0，1）→（0，2）→…，且每秒移动一个单位，那么第2022秒时，点所在位置的坐标是（）A ．（2，44）B ．（41，44）C ．（44，41）D ．（44，2）【答案】【解析】解：观察可发现，点到（0，2）用4＝22秒，到（3，0）用9＝32秒，到（0，4）用16＝42秒，则可知当点离开x 轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y 轴时的纵坐标为时间的平方，此时时间为奇数的点在x 轴上，时间为偶数的点在y 轴上, ∵2022＝452﹣3＝2025﹣3，∴第2025秒时，动点在（45，0），故第2022秒时，动点在（45，0）向左一个单位，再向上2个单位，即（44，2）的位置．故选：D ．【练3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3,−1)…根据这个规律探索可得，第99个点的坐标为( )A.(14,−1)B.(14,0)C.(14,1)D.(14,2)【答案】C【解析】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n 个有n 个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y 轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为(n,n−12)，(n,n−12−1)，…，(n,1−n 2)；偶数列的坐标为(n,n2)，(n,n2−1)，…，(n,1−n2)， ∵1+2+3+4+……+13=91∴第99个点位于第14列自上而下第7行．−6)，即(14,1)．代入上式得(14,142故选C．【例5】如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2022的坐标为．【答案】（12135，0）【解析】解：∵∠AOB＝90°，点A（3，0），B（0，4），根据勾股定理得AB＝5，根据旋转可知：OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，所以点A1（12，3），A2（15，0）；继续旋转得A3（24，3），A4（27，0）；…发现规律：A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），∵2022＝2n，∴n＝1011，∴点A2022的坐标为（12135，0），故答案为：（12135，0）．【练1】如图，动点P从（0，3）出发沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到长方形的边时点P的坐标为．【答案】（0，3【解答过程】解：如图所示：经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6＝337∴当点P第2022次碰到矩形的边时与P点起点位置重合，∴点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【练2】如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2019次，依次得到点P1,P2,P3,...,P2022，则点P2022的坐标是（）A.(2022,2)B.(2022,√3)C.(4043,2)D.(4043, √3)【答案】D【解析】解：由题意可知P1是1P的横坐标是3，P3的横坐标是5，P4的横坐标是7…依此类推下去，P n的横坐标是2n-1,∴P2022的横坐标是2×2022-1=4043纵坐标都是√3，故选：D．连续作旋转变换，依【练3】如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对OAB次得到Δ1，Δ2，Δ3，Δ4，…，则∆2022的直角顶点的坐标为______.【答案】（8088，0）【解析】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），∴AB=√32+42=5由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2022÷3=674，∴∆2022的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点；∵674×12=8088，∴∆2022的直角顶点的坐标为（8088，0）.故答案为（8088，0）.【例6】如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推……则正方形OB2021B2022C2022的顶点B2022的坐标是_____.【答案】（0,-22011）【解析】解：∵正方形OA1B1C1的边长为1，∴OB1=√2∴OB2=2∴B2（0，2），同理可知B3（-2，2），B4（-4，0），B5（-4，-4），B6（0，-8），B7（8，-8），B9（16，16），B10（0，32）．由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的√2倍，∵2022÷8=252⋯⋯6，∴B8n+6（0，-24n+3），∴B2022（0,-22011）．故答案为：（0,-22011）．【练1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，0A1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2022的坐标是_____．【答案】（0,-22011）【解析】解：由等腰直角三角形的性质，可知：A 1（1，1），A 2（0，2），A 3（﹣2，2），A 4（0，﹣4），A 5（﹣4，﹣4），A 6（0，﹣8），A 7（8，﹣8），A 8（16，0），A 9（16，16），A 10（0，32），A 11（﹣32，32），…，∵2022＝252×8+6∴点A 8n+6的坐标为（0，24n+3）（n 为自然数）．∴点A 2022的坐标为（0，24×252+3），即（0,-22011），故答案为：（0,-22011）．【练2】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）.长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点2A ，作正方形A 2B 2C 2C 1……按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为_____．【答案】5×(32)4042.【解析】解：∵点A 的坐标为（1,0），点D 的坐标为（0,2）∴正方形ABCD 的边长为√5，设其面积为S 1=5，依此类推，接下来的面积依次为S 2,S 3,S 4⋯⋯第2022个正方形的面积为S 2022，又∵三角形相似，∴ OA OD =A 1B AB =A 2B 1A 1B 1=⋯=12. ∴ S 2=5×94，S 3=5×(94)2…… ∴S 2022=5×(94)2022−1=5×(94)2021=5×(32)4042.【练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线B n B n+1都在y 轴上，且B n B n+1的长度依次增加1个单位长度，顶点A n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为；用n的代数式表示A n的纵坐标：．【答案】2；【解析】解：作A1D⊥y轴于点D，则B1D＝B1B2÷2＝（3﹣1）÷2＝1，∴A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+12，同理可得A2的纵坐标＝OB2+（B2B3）÷2＝3+（6﹣3）÷2 4.5，∴A n的纵坐标为，故答案为2，．。

2024年新八年级数学暑假提升精品讲义(北师大版)第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系

第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题【题型一利用补形法或分割法求图形的面积】例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积．【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；(2)利用图形求的面积．【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，(1)在平面直角坐标系中画出．(2)求的面积．【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求的面积；(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．【题型二与图形面积相关的点的存在性问题】例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t 秒．(1)求点A、C的坐标；(2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________；(3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，(1)求的面积．(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式(1)请求出、、三点的坐标：(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．(1)求点的坐标及四边形的面积；(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．【题型三平面直角坐标系中新定义规律探究问题】例距离的较小值称为点点的若点的若，两点为点的若点是若点的长距为的坐标为，试说明：中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点和谐点”．例如，点的一对“和谐点是点与点点的一对“和谐点”坐标是与；若点的一对重合，则y的值为若点C的一个坐标为，求点“”(1)直接写出点A，B的“－”(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点(3)点D为A，B的“k”系和点．①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的【题型四平面直角坐标系中点运动规律探究问题】例4. （23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（）A．B．C．D．【变式4-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是．【变式4-3】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是．【题型五平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】例5. （23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（）A．B．C．D．【变式5-1】（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（）A．B．C．D．【变式5-2】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为．【变式5-3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是．一、单选题1．（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（）A．B．C．D．2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（）A．19B．20C．21D．21.53．（2024七年级下·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（）A．B．C．D．二、填空题4．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，…那么点的坐标为5．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积（用含有k的式子表示）6．（23-24七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．（1）点的“长距”为；（2）若点是“完美点”，则的值为；三、解答题7．（23-24七年级下·重庆潼南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴交于点F．(1)求点A、B的坐标；(2)求点F的坐标；(3)y轴上是否存在一点P，使的面积和的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由．8．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．(1)点的“长距”为______；(2)若点是“完美点”，求的值；(3)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”．9．（2024七年级下·天津·专题练习）如图1，四边形各个顶点的坐标分别为，，，．(1)______，点到轴的距离为______．(2)求四边形的面积．(3)如图2，已知点为轴正半轴上的一个动点，点是否存在一个位置使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是，的坐标是．(2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是，的坐标是．11．（23-24八年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，对于任意图形G及直线，，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形G的【】伴随图形，例如：点的【x轴，y轴】伴随图形是点．(1)点的【x轴，y轴】伴随图形点的坐标为_________；(2)已知，，，直线经过点．①当，且直线与轴平行时，点的【轴，】伴随图形点的坐标为_________；②当直线经过原点时，若的【轴，】伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，求的取值范围．12．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，其中、、满足等式．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为，当四边形为正方形时，解答下列问题．(1)__________，__________，__________；当点在线段上时，的长度为___________．（用含的代数式表示）(2)当时，求三角形的面积．(3)当时，三角形的面积为__________．(4)当时，直接写出的值．第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题【题型一利用补形法或分割法求图形的面积】例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积．【答案】15【分析】本题主要考查了利用直角坐标系求多边形的面积，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F，即可知，代入求解即可．【详解】解：如下图，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F．∵点，，，∴，，∴，，，，．所以四边形的面积是15．【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；(2)利用图形求的面积．【答案】(1)，，(2)的面积为9．【分析】本题考查网格中求三角形的面积，坐标与图形．（1）根据点，点，点在坐标系中的位置，直接写出其坐标即可；（2）利用正方形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：点，点，点；故答案为：，，；（2）解：的面积．【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，(1)在平面直角坐标系中画出．(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）根据点的坐标画出图形即可；（2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可．【详解】（1）如图，即为所求；（2）【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求的面积；(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．【答案】(1)，，(2)11.5(3)见解析【分析】（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可；（2）根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可；（3）根据点经平移后对应点为判断出平移方式，然后画出三个顶点的对应点即可．【详解】（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，；（2）的面积；（3）∵点经平移后对应点为，∴把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．如图，【点睛】此题考查了平移的性质，以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键．【题型二与图形面积相关的点的存在性问题】例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t 秒．(1)求点A、C的坐标；(2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________；(3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)2秒或8秒(3)当或时【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平方和二次根式的非负性，一元一次方程的应用，（1）由平方和二次根式的非负性即可求出a，b的值，即可求出点A、C的坐标．（2）由点A，点C的坐标即可求出点B的坐标，然后根据当点P到的距离为2个单位长度时，分两种情况，即可求出t的值．（3）先根据已知条件，求出，然后根据P在上，P在上，P在上，P在上时，根据已知条件，建立关于t的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解∵，∴，，∴，，∴，，∴，（2）由（1）可知，，∴，当点P到的距离为2个单位长度时，运动路程或者，∴秒或秒∴秒或秒，故答案为：2秒或8秒．（3）存在，理由如下：∵，∴，，∵，，轴，轴，∴，∴，，∴，∴，①当P在上时，，即时，，∴∴，解得，舍去②当P在上时，，即时，，∴∴，解得③当P在上时，，即时，∴，∴，解得，舍去④当P在上时，，即时，∴∴，解得综上，当或时【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，(1)求的面积．(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．【答案】(1)16(2)或【分析】本题考查的是坐标与图形面积，理解坐标系的特点是解本题的关键；（1）直接利用三角形的面积公式计算即可；（2）设点D的坐标为，再利用面积公式建立方程求解即可．【详解】（1）解：；（2）设点D的坐标为，．解得．∴满足条件的点D的坐标为或；【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式(1)请求出、、三点的坐标：(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)点坐标为，点坐标为，点坐标为；(2)；(3)存在这样的点M，点M的坐标为或．【分析】本题考查非负数的性质，直角坐标系中的面积问题，三角形的面积公式等知识．（1）根据非负数的性质求解即可；（2）求出，，再用计算即可；（3）根据设为，则，，再结合题意列出绝对值方程，求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，，；∴点坐标为，点坐标为，点坐标为；（2）解：过点作于，则，∵，，∴，，∴，，∴；（3）解：存在，点M的坐标为或，理由如下：假设存在这样的点M，设为，则，∵，∴∵，由题意得解得：或，∴存在这样的点M，点M的坐标为或．【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．(1)求点的坐标及四边形的面积；(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．【答案】(1)，(2)存在，或(3)①正确，【详解】（1），．点，点．根据平移规律可得，．（2）坐标轴上存在点满足．当点在轴上时，，．．点的坐标为或；当点在轴上时，，．．点的坐标为或．综上，点的坐标为或或或．（3）如图，点在线段上（不与点，重合），作交于点，．．．．．①正确．【题型三平面直角坐标系中新定义规律探究问题】例3.（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．(1)点的“短距”为______；(2)若点的“短距”为3，求m的值；(3)若，两点为“等距点”，求k的值．【答案】(1)7(2)4或(3)或【分析】本题主要考查新定义下点到坐标轴的距离，（1）根据新定义，求得点B到坐标轴的距离即可；（2）根据新定义得到，求解即可；（3）根据新定义分别找到点C和点D到坐标轴的距离，再分类讨论与2的大小，列出对应的等式即可求得答案；【详解】（1）解：点到x轴、y轴距离分别为和7，根据定义得点的点的“短距，且，∴，解得或．（3）点C到x轴的距离为，到轴的距离为，到当时，，则或，解得或（舍）．当时，，则或，解得或（舍）．综上，k的值为或．2023上八年级统考期中）轴的距离的较大值称为点点的“长距”若点是若点的长距为的坐标为，试说明：【答案】(1)3(2)或见解析【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的完美点”．）解：根据题意，得点到轴的距离为，到轴的距离为点是∴，∴或，解得或；）解：点的长距为∴，解得，∴，∴点D的坐标为，y轴的距离都是完美点”．中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点和谐点”．例如，点的一对“和谐点是点与点点的一对“和谐点”坐标是与；若点的一对重合，则y的值为若点C的一个坐标为，求点(1)(3)或【分析】（1）根据“2）根据和谐点”的含义及两点重合即可完成；的坐标为，根据）解：由题意得：，，所以点的一对坐标是与；故答案为：；）解：由题意得：，，所以点的一对“和谐点坐标是与；又点的一对重合，，，故答案为：6（3）解：设，的一个“和谐点坐标为，则，，；；若点C的另一个“和谐点”坐标为，则，，；；综上，点C的坐标为或．【点睛】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义．【变式3-3】在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q（1，－2），则点P．Q的“”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，－1），B（－2，－1）．(1)直接写出点A，B的“－”系和点坐标为_________；(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标：(3)点D为A，B的“k”系和点．①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为_________（直接写出结果）．【答案】(1)（-1，1）(2)（，）(3)①，②或【分析】（1）直接根据系和点的定义分别求出点的横坐标与纵坐标即可；（2）设出点C的坐标，根据系和点的定义列出方程，解方程即可得到答案；（3）①根据系和点的定义将k代入计算即可；②求出AB的长度，同时表示出AB边上的高，列出方程解出k的值即可．【详解】（1）解：∵点A（4，－1），B（－2，－1），∴点A，B的“－”系和点的横坐标为，纵坐标为，∴点A，B的“－”系和点坐标为（-1，1）．（2）解：∵点A为B，C的“－3”系和点，设点C坐标为（m，n），∴，，解得，．∴点C的坐标为（，）．（3）解：①∵点D为A，B的“k”系和点，设点D坐标为（a，b）则，，∴点D的坐标为；②∵点A（4，－1），B（－2，－1），∴．∵点D到AB的距离为，三角形ABD的面积为6，∴，解得或，∴符合条件的k的值为或．【点睛】本题考查新定义问题，图形与坐标，解题的关键是正确理解新定义的含义列出代数式表示出点的横纵坐标．【题型四平面直角坐标系中点运动规律探究问题】例4. （23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查点的运动规律，能根据点的运动发现第次为正整数）运动后，动点的坐标是是解题的关键．依次求出前几次运动后点的坐标，再根据坐标的变化规律即可解决问题．【详解】解：由题知，第1次运动后，动点的坐标是；第2次运动后，动点的坐标是；第3次运动后，动点的坐标是；第4次运动后，动点的坐标是；第5次运动后，动点的坐标是；第6次运动后，动点的坐标是；第7次运动后，动点的坐标是；由此可见，第次为正整数）运动后，动点的坐标是．又，即第2024次运动后，动点的坐标是，即．故选：D【变式4-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是【答案】【分析】本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次运动到点，第5次接着运动到点，…，∴点P的横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∵，则经过第47次运动后，动点P的横坐标为47，纵坐标为2，即经过第47次运动后，动点P的坐标是∶，故答案为∶．【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是．【答案】【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的运动方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题，能通过计算发现点坐标变化的规律是解题的关键．【详解】解：根据点的运动方式可知，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；，由此可见，点的横坐标为，纵坐标为，当时，，，所以点的坐标为，所以点的坐标为，故答案为：．【变式4-3】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是．【答案】【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，解答本题的关键是找到循环规律．先根据即可得到，再根据，则，可得．即可作答．【详解】解：由图可得，，，∵∴，即，∴，，故答案为：【题型五平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】例5. （23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】连接交y轴于点D，根据条件可以求出，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于，因此点向右平移1348（即）到点，即可求出点的坐标．【详解】连接交y轴于点D，如图所示，∵四边形是菱形，∴，，∴，，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，画出第5次､第6次､第7次翻转后的图形，由图可知:每翻转6次，图形向右平移4，∵，∴点向右平移1348（即）到点，，∵的坐标为，∴的坐标为，故选：D．【点睛】本题考查点坐标规律探索，菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．【变式5-1】（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查了通过图形观察规律，根据题意分别求出、、、横坐标，再总结出规律即可得出，解题的关键是善于观察，总结规律．【详解】根据规律、、、、、、、、，；每个一个循环，，依次规律在次循环后与纵坐标一致，横坐标分别为：为、为、为、为；为、为、为、为；依次规律与横坐标为减，∴横坐标为，则坐标是，故选：．【变式5-2】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为．【答案】【分析】首先求出的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标．【详解】解：正方形边长为，，正方形是正方形的对角线为边，，点坐标为，同理可知，点坐标为，同理可知，点坐标为，点坐标为，点坐标为，，，，，由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，即，，的横纵坐标符号与点相同，横纵坐标相同，且都在第一象限，的坐标为，，故答案为：．【变式5-3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查旋转的性质、坐标与图形等致死点，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．先根据矩形的性质作出旋转后的图形，然后找到C点的坐标规律，并按照规律解答即可．【详解】解：如图：将矩形绕点A顺时针旋转，可知：，，则：每旋转4次则回到原位置，∵，∴第2023次旋转结束时，完成了505次循环，又旋转了3次，∴当第2023次旋转结束时，点C对应的坐标是．故答案为：．。

5.2+第1课时+平面直角坐标系课件2024-2025学年苏科版数学八年级上册(1)[含答案]

B(-1,4)
y
4
3
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
C(-4,-2)
-2
A(4,1) x
12 34 5
D(3,-2)
-3
-4
获取新知
活动三建立了平面直角坐标系后，坐标平面就被坐标轴分
成了四个区域，称为象限. 分别记为第一、二、三、
四象限. y
4
3
第二象限 2 第一象限
注意：坐标轴上的点不属于任何象限
1
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4
x
第三象限
-1 -2
第四象限
-3
思考：各象限内的点的坐标有何特征?
-4
y
（-，+）(-2,3) C
5 4
3
（+，+）
B (5,3)
F(-7,2)
2
A(3,2)
1
- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1-1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
这样的有序实数对叫做点的坐标.
例如，点A的坐标是（a，b），其中a称为点A的横坐标，b称为点A的纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.
活动二类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到
一种办法来确定平面内的点的位置吗？
A的横坐标是3，纵坐标是4.
有序数对（3，4）叫做点A的坐标
记作：A （3，4）过点A作x轴的B（垂_线－__，3_，垂－_足_4_在_）x轴上对应的数是3，C就（是_－点__1A_，的_横_2_坐_）标．过应点的A数作是y4轴，的D就垂（是线_点_2，_A_垂的，足纵_－_在坐_3_y标）轴．上对

初中数学_平面直角坐标系1教学设计学情分析教材分析课后反思

《平面直角坐标系1》教学设计【学习目标】1、掌握平面直角坐标系的有关概念，了解点的坐标的意义。

2、认识并能正确画出平面直角坐标系；会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。

【教学重点与难点】教学重点：平面直角坐标系和点的坐标.教学难点：在平面直角坐标系中根据点的位置写出点的坐标，由坐标描出点。

【教学方法】通过创设问题情境，引出要研究的问题，以自学的方式让学生掌握本节课的基础知识.又通过简单应用，让学生掌握了平面直角坐标系的两个基本问题：①已知点求坐标②已知坐标描点.【教学过程】小热身：从前往后依次为第1行、第2行、第3行…第6行，从门口向里依次为第1列、第2列、第3列…第6列。

请第4行同学起立。

请第4列同学起立。

由一个数据不能准确确定一位同学的位置。

请2位同学起立，说出自己的位置。

引出需要两个数据，也就是行数与列数。

一位同学就是行与列的交点。

把同学们看做平面内的点，这些点的坐标如何表示，导入课题《平面直角坐标系》。

一、回顾数轴：（一）画数轴（二）数轴三要素（三）数轴上的点与实数是一一对应的。

找到数轴上的A、B两点说出它表示哪些数。

在数轴上方找一个点C问题1、这个点C 还能仅仅用这一条数轴上的数来表示吗？生：不能问题2、要想表示出点C的位置还需要添加什么？生：另外一条数轴。

（设计说明：由学生熟悉的数轴出发，给出数轴上点的坐标的定义，建立点与坐标的对应关系，从而得到确定直线上点的位置的方法.而平面内点的坐标是根据数轴上的点的坐标定义的，因此本节从数轴引入，使学生顺利地实现由一维到二维的过渡。

）二、定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。

三个要点：1、两条数轴；2、互相垂直；3、公共原点。

师展示：平面直角坐标系的画法并解释坐标轴，原点，坐标平面等相关概念。

学生画平面直角坐标系。

师巡视指错。

三、由点写有序实数对：建立平面直角坐标系以后，平面内的点M如何表示？师展示画法并总结口诀。