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全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结(超全)

全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结(超全)单选题1、已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，则下列说法正确的是（）A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+bx+ c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；由题得{a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.故选：B2、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．3、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误. 故选：B4、若a>0,b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当a>0,b>0时，a+b≥2√ab，则当a+b≤4时，有2√ab≤a+b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>bB．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可.对于A，若c<0，由ac>bc可得：a<b，A错误；对于B ，若c =0，则ac =bc =0，此时a =b 未必成立，B 错误；对于C ，当a >0>b 时，1a >0>1b ，C 错误；对于D ，当ac 2>bc 2时，由不等式性质知：a >b ，D 正确.故选：D.6、已知实数a,b,c 满足a >b >0>c ，则下列不等式中成立的是（）A ．a +1b a b−cD ．√c a 3<√c b 3 答案：B分析：对于A ，利用不等式的性质判断；对于CD ，举例判断；对于B ，作差法判断解：对于A ，因为a >b >0，所以1a <1b ，所以a +1b >b +1a ，所以A 错误，对于B ，因为a >b >0，所以2a+b a+2b −a b =(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b =b 2−a 2(a+2b)b <0，所以2a+b a+2b <a b ，所以B 正确，对于C ，当a =2,b =1,c =−1时，b a−c=13<a b−c =1，所以C 错误，对于D ，当a =8,b =1,c =−1时，√c a 3=−12>√c b3=−1，所以D 错误，故选：B7、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1，则4a +2b 的取值范围是（） A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]答案：C分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果.设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2，解得{A =3B =1，4a +2b =3(a +b )+a −b ，因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1 可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1，所以2≤4a +2b ≤10.故选：C.8、关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）A．−1B．−4C．−4或1D．−1或4答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案.∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根，∴Δ=[2(m−1)]2−4×1×(m2−m)=−4m+4⩾0，解得：m⩽1，∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，∴α+β=−2(m−1)，α⋅β=m2−m，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m−1)]2−2(m2−m)=12，即m2−3m−4=0，解得：m=−1或m=4(舍去).故选：A.9、下列说法正确的为（）A．x+1x≥2B．函数y=2√x2+3的最小值为4C．若x>0,则x(2−x)最大值为1D．已知a>3时，a+4a−3≥2√a⋅4a−3，当且仅当a=4a−3即a=4时，a+4a−3取得最小值8答案：C分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；对于选项B,y=2√x2+32√x2+3=2√x2+3√x2+3，令√x2+3=t(t≥√3)，即y=2t+2t (t≥√3)在[√3,+∞)上单调递增，则最小值为y min=2√3√3=8√33,则B不正确；对于选项C,x(2−x)=−(x2−2x+1)+1=−(x−1)2+1≤1，则C正确；对于选项D,当a>3时，a+4a−3=a−3+4a−3+3≥2√(a−3)⋅4a−3+3=7，当且仅当a−3=4a−3时，即a=5，等号成立，则D不正确.故选：C.10、前后两个不等式解集相同的有（）①x+52x−1≥0与(2x−1)(x+5)≥0②x+52x−1>0与(2x−1)(x+5)＞0③x2(2x−1)(x+5)≥0与(2x−1)(x+5)≥0④x2(2x−1)(x+5)＞0与(2x−1)(x+5)＞0A．①②B．②④C．①③D．③④答案：B分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.对于①，由x+52x−1≥0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)≥0，解得：x>12或x≤−5.(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故①不正确；对于②，由x+52x−1>0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)>0，解得：x>12或x<−5.(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故②正确；对于③，x2(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x=0或x≤−5或x≥12}，(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故③不正确；对于④，x2(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x<−5或x>12}，(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故④正确；故选：B.填空题11、函数y=3x+1x−1(x>1)的最小值是_____答案：3+2√3分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值.因为x >1，则x −1>0，所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3，当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =3+√33时，等号成立. 所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3.所以答案是：3+2√3.12、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的取值范围为___________.答案：10≤V ≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V −10，第二次操作后，利下的纯药液为V −10−V−10V ×8，由题意可知： V −10−V−10V ×8≤V ⋅60%⇒V 2−45V +200≤0⇒5≤V ≤40，因为V ≥10，所以10≤V ≤40，所以答案是：10≤V ≤4013、已知∀a ∈[0,2]时，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，则x 的取值范围为__________．答案：(−2,−1)分析：由题意构造函数关于a 的函数f (a ) =(x 2+x −32)a +x +1，则可得{f(0)<0f(2)<0，从而可求出x 的取值范围.由题意，因为当a ∈[0,2]，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，可转化为关于a 的函数f (a ) =(x 2+x −32)a +x +1，则f (a )<0对任意a ∈[0,2]恒成立，则满足{f(0)=x +1<0f(2)=2x 2+2x −3+x +1<0，解得−2<x <−1，即x 的取值范围为(−2,−1)．所以答案是：(−2,−1)解答题14、若x ,y 为正实数,且2x +8y −xy =0,求x +y 的最小值.答案：18解析：首先已知条件变形为8x +2y =1，再化简x +y =(x +y )(8x +2y )，利用基本不等式求最小值.2x +8y −xy =0⇒8x +2y =1 x +y =(x +y )(8x +2y )=8+8y x +2x y +2=10+(8y x +2x y)≥10+2×4=18 (当8y x =2x y 时取“=”)所以x +y 的最小值是18.小提示：本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意.15、解关于x 的不等式ax 2−2≥2x −ax (a ∈R )．答案：详见解析.分析：分类讨论a ，求不等式的解集即可.原不等式变形为ax 2+(a −2)x −2≥0．①当a =0时，x ≤−1；②当a ≠0时，不等式即为(ax −2)(x +1)≥0，当a >0时，x ≥2a 或x ≤−1；由于2a −(−1)=a+2a ，于是当−2<a <0时，2a ≤x ≤−1；当a =−2时，x =−1；当a<−2时，−1≤x≤2．a,+∞)；综上，当a=0时，不等式的解集为(−∞,−1]；当a>0时，不等式的解集为(−∞,−1]∪[2a,−1]；当a=−2时，不等式的解集为{−1}；当a<−2时，不等式的解集为当−2<a<0时，不等式的解集为[2a[−1,2]．a。

一元二次函数知识点

一、二次函数概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的取值范围是全体实数．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式()2y a x h k=-+的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.三、二次函数图象的平移2. 平移规律“左加右减，上加下减”二次函数解析式的确定：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳单选题1、已知a>0，b>0且ab＝1，不等式12a +12b+ma+b≥4恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．m≥2B．m≥4C．m≥6D．m≥8答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a+b的范围，化简不等式可得m≥4(a+b)−(a+b)22，利用二次函数性质求4(a+b)−(a+b)22的最大值，由此可求m的取值范围.不等式12a +12b+ma+b≥4可化为a+b2ab+ma+b≥4，又a>0，b>0，ab＝1，所以m≥4(a+b)−(a+b)22，令a+b=t，则m≥4t−t22，因为a>0，b>0，ab＝1，所以t=a+b≥2√ab=2，当且仅当a=b=1时等号成立，又已知m≥4t−t22在[2,+∞)上恒成立，所以m≥(4t−t22)max因为4t−t22=12(8t−t2)=−12(t−4)2+8≤8，当且仅当t=4时等号成立，所以m≥8，当且仅当a=2−√3，b=2+√3或a=2−√3，b=2+√3时等号成立，所以m的取值范围是[8,+∞)，故选：D.2、已知正数x，y满足x+y=4，则xy的最大值（）A． 2B．4C． 6D．8答案：B分析：直接使用基本不等式进行求解即可.因为正数x，y满足x+y=4，所以有4=x+y≥2√xy⇒√xy≤2⇒xy≤4，当且仅当x=y=2时取等号，故选：B3、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可.对于A，若c<0，由ac>bc可得：a<b，A错误；对于B，若c=0，则ac=bc=0，此时a=b未必成立，B错误；对于C，当a>0>b时，1a >0>1b，C错误；对于D，当ac2>bc2时，由不等式性质知：a>b，D正确.故选：D.4、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D 错误，故选：A5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞)答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0，当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13，当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资300万；方案B 为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入”的是（） A ．80+20n ≥300B ．80+20n ≤300C ．80+20(n −1)≥300D ．80+20(n −1)≤300 答案：D分析：由不等关系求解即可.经过n 年之后，方案B 的投入为80+20(n −1)，故经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入，即80+20(n −1)≤300 故选：D7、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（） A ．ca >cb B ．ab b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a <1b ，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确；对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C.8、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①．又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a，即{ba =−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3．故选：A 多选题9、（多选题）下列命题为真命题的是（）A ．若a >b >0，则ac 2≥bc 2B ．若a ab >b 2C ．若a >b >0且c >0，则ca 2>cb 2D ．若a >b 且1a >1b ，则ab <0 答案：ABD解析：由不等式的性质结合作差法，逐项判断即可得解.对于A ，若a >b >0，则ac 2−bc 2=c 2(a −b )≥0，即ac 2≥bc 2，故A 正确；对于B ，若a 0，ab −b 2=b (a −b )>0，所以a 2>ab >b 2，故B 正确；对于C ，若a >b >0且c >0，则ca 2−cb 2=c (b 2−a 2)a 2b 2=c (b−a )(b+a )a 2b 2<0，所以c a 2<c b 2，故C 错误；对于D ，若a >b 且1a >1b ，则b −a <0，1a −1b =b−a ab>0，所以ab <0，故D 正确. 故选：ABD.10、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（） A ．a 2−b 2≤4 B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为(x 1,x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为(x 1,x 2)，且，则c =4答案：ABD分析：由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a ，b 的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A ；由基本不等式可判断B ；由二次方程的韦达定理可判断C ，D ．124x x -=根据题意，函数y =x 2+ax +b(a >0)有且只有一个零点，必有a 2−4b =0，即a 2=4b ，(b >0)， a 2−b 2−4=4b −b 2−4=−(b 2−4b +4)=−(b −2)2≤0，b =2时，等号成立，即有a 2−b 2≤4，故A 正确；a 2+1b =4b +1b ≥2√4b ⋅1b =4，当且仅当b =12时，取得等号，故B 正确；由x 1，x 2为方程x 2+ax −b =0的两根，可得x 1x 2=−b <0，故C 错误；由x 1，x 2为方程x 2+ax +b −c =0的两根，可得x 1+x 2=−a ，x 1x 2=b −c ，则|x 1−x 2|2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=a 2−4(b −c)=a 2−4b +4c =4c =16，解得c =4，故D 正确．故选：ABD ．11、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确；由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确；由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4，当且仅当{ab =1aba b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确.故选：ACD.12、已知a >0，b >0，a 2+b 2=1，则（） A ．ab 的最大值为12B ．2ab+3a+b的最小值为2√2C ．a 2(1+2b 2)的最大值为94D ．1a 2+4b 2的最小值为9答案：ABD分析：利用基本不等式判断A 、B 、D 的正误，注意等号成立条件，将a 2(1+2b 2)化为关于a 2的二次函数形式求最值判断C.因为a >0，b >0，a 2+b 2=1，所以1≥2ab ，即ab ≤12，2ab+3a+b=(a+b )2+2a+b=a +b +2a+b≥2√2，当且仅当a =b =√22时等号成立，则A ，B正确． a 2(1+2b2)=a 2[1+2(1−a2)]=3a 2−2a 4=−2(a 2−34)2+89，当a 2=34时取得最大值98，则C 错误．1a 2+4b 2=(a 2+b 2)(1a 2+4b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥5+2√4=9，当且仅当b 2=2a 2=23时等号成立，则D 正确．故选：ABD13、已知a,b ∈R +且a +b =1，那么下列不等式中，恒成立的有（）． A ．ab ⩽14B ．ab +1ab ⩾174C ．√a +√b ⩽√2D ．1a +12b ⩾2√2 答案：ABC分析：利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论． ∵a,b ∈R +,a +b =1，∴ab ⩽(a+b 2)2=14(当且仅当a =b =12时取得等号)．所以选项A 正确由选项A 有ab ≤14，设y =x +1x ，则y =x +1x 在(0，14]上单调递减. 所以ab +1ab ≥14+4=174，所以选项B 正确∵(√a +√b)2=a +b +2√ab ⩽a +b +a +b =2(当且仅当a =b =12时取得等号)， ∴√a +√b ⩽√2．所以选项C 正确. ∵1a +12b=a+b a+a+b 2b=32+b a+a 2b⩾32+2√b a⋅a 2b=32+√2（当且仅当a 2=2b 2时等号成立），所以选项D 不正确．故A ，B ，C 正确故选：ABC小提示：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题填空题14、已知x,y∈(0,+∞),a∈R，若(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，则3x+y的最小值为______. 答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，所以3x+y的最小值为2.所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15、已知x>0，则7−x−9x的最大值为________．答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x>0，则7−x−9x =7−(x+9x)≤7−2√x⋅9x=1，当且仅当x=9x即x=3时取等号．所以答案是：116、已知关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，则x1+x2+3ax1x2的最小值是___________.答案：2√6分析：由题知x1+x2=6a,x1x2=3a2，进而根据基本不等式求解即可.解：因为关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，所以x1,x2是方程−x2+6ax−3a2=0(a>0)的实数根，所以x1+x2=6a,x1x2=3a2，因为a>0，所以x1+x2+3ax1x2=6a+1a≥2√6，当且仅当6a=1a，即a=√66时等号成立，所以x1+x2+3ax1x2的最小值是2√6所以答案是：2√6解答题17、已知不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．(1)求常数a的值；(2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．答案：(1)a=1(2)[−4,4]分析：（1）由题意可得－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，将x=−1代入方程中可求出a的值；（2）由x2+mx+4≥0的解集为R，可得Δ≤0，从而可求出m的取值范围（1）因为不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．所以－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，把x=−1代入方程解得a=1．经验证满足题意（2）若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，即x2+mx+4≥0的解集为R，所以Δ=m2−16≤0，解得−4≤m≤4，所以m的取值范围是[−4,4]．18、为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.答案：（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+160√3)平方米.分析：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x+4)，利用均值不等式，即得最小值.（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得y=400x.因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以400x⩾x+9，所以x2+9x−400⩽0，解得−25⩽x⩽16.又x>0，所以0<x⩽16.所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x +4)=824+8(x+300x)⩾(824+160√3)（平方米）当且仅当x=10√3米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为(824+160√3)平方米.。

一元二次函数知识点高一

一元二次函数知识点高一一、定义与图像特征一元二次函数是指形式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。

一元二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，开口方向由a的正负值决定。

1. 当a>0时，抛物线开口向上；2. 当a<0时，抛物线开口向下；3. 抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h为对称轴的横坐标，k为抛物线的最小值或最大值。

二、零点与根的求解一元二次函数的零点又称为根。

根的求解可通过下列方法进行：1. 因式分解：将一元二次函数表示为两个一次因子的乘积，然后令每个因子等于零，解方程得到根；2. 完全平方式：如果一元二次函数可以表示为(x±a)²形式，则可通过解方程(x±a)²=0来求得根；3. 利用一元二次函数求根公式：一元二次函数的根可通过求解一元二次方程ax²+bx+c=0来得到，其中，x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。

三、最值与对称性1. 最值：对于开口向上的抛物线，最小值等于抛物线的顶点纵坐标k；对于开口向下的抛物线，最大值等于抛物线的顶点纵坐标k。

2. 对称性：一元二次函数关于对称轴x=h对称。

因此，若点(x, y)在抛物线上，则点(2h-x, y)也在抛物线上。

四、函数的变化规律一元二次函数随着自变量的变化呈现不同的特点：1. 当a>0时，抛物线开口向上，随着x的增大，函数值上升；随着x的减小，函数值下降。

函数的增减性为先减后增。

2. 当a<0时，抛物线开口向下，随着x的增大，函数值下降；随着x的减小，函数值上升。

函数的增减性为先增后减。

3. 抛物线与y轴的交点称为纵截距，当x=0时，纵截距为c。

五、二次函数的平移与伸缩一元二次函数可通过平移和伸缩来改变其图像位置和形状：1. 平移：将函数图像沿横轴或纵轴方向移动，可通过函数式中的加减操作实现。

如y=x²+3中，加3使整体上移。

一元二次方程解法知识点汇总

一元二次方程解法知识点汇总一元二次方程是中考的重点内容，在近几年常以应用题和综合题的形式出现，也是初中数学学习的重点，解一元二次方程是重要的应用，不管是直接开平方，还是配方法、公式法、因式分解法等方法解方程，四种解法各有不同，不同的依据，不同的适用范围，都需要同学们重点掌握的，然后根据题目的实际情况，选择最佳的解题方法。

【复习目标】1、掌握了解一元二次方程的四种方法以及各种解法的特点，会根据不同方程的特点选用恰当的方法，从而准确、快速地解一元二次方程。

2、体会化“未知为已知”的化归思想，对整式方程的解法有整体感知。

【知识结构】【重点、难点】重点：会根据不同方程的特点选用恰当的方法，准确、快速地解一元二次方程。

难点：通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的数学思想。

【灵活运用一元二次方程的四种基本解法解一元二次方程】解一元二次方程，常用的方法有四种：直接开平方法，因式分解法，配方法，求根公式法。

这四种方法各有长处，直接开平方法和因式分解法虽然简单易行，但是并非所有的一元二次方程都能用这两种方法来解决，直接开平方法和因式分解法适合解特殊的一元二次方程，例如缺少一次项的可以用开平方法，缺少常数项的或者形如x^2 + (p+q)x + pq =0的形式适用因式分解；配方法适用于任何一个一元二次方程，但配方法比较麻烦；公式法也适用于任何一个一元二次方程，是解一元二次方程的主要方法，且公式法比配方法简单的多，它直接是用配方法导出的公式，但公式法不如直接开平方法和因式分解法快捷。

因此，在解具体方程要根据方程的特征，因题而异，对于含有括号的一元二次方程，不要急于去括号，可根据方程的形式选用就因式分解或者直接开平方法。

在在没有规定解法时，解一元二次方程可以按：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法的顺序选择解法。

若二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法较简单。

【直接开平方法】用直接开平方法解一元二次方程的步骤：（1）将方程转化为x^2=p或（mx+n)^2=p的形式；（2）分三种情况降次求解：①当p>0时；②当p=0时；③当p<0时，方程无实数根。

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳(带答案)

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳单选题1、设a＞b＞1，y1=b+1a+1,y2=ba,y3=b−1a−1，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1答案：C分析：利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.解：由a＞b＞1，有y1﹣y2=b+1a+1−ba=ab+a−ab−b(a+1)a=a−b(a+1)a＞0，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y3=ba −b−1a−1=ab−b−ab+aa(a−1)=a−ba(a−1)＞0，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故选：C.2、已知a>0,b>0,a+b=1，则y=1a +3b的最小值是（）A．7B．2+√3C．4D．4+2√3答案：D分析：由“1”的妙用和基本不等式可求得结果. 因为a>0,b>0,a+b=1，所以y=1a +3b=(a+b)(1a+3b)=4+ba+3ab≥4+2√ba⋅3ab=4+2√3，当且仅当ba =3ab即b=√3a时，等号成立.结合a+b=1可知，当a=√3−12,b=3−√32时，y有最小值4+2√3.故选：D.3、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可. 对于A ，若c <0，由ac >bc 可得：a 0>b 时，1a>0>1b，C 错误；对于D ，当ac 2>bc 2时，由不等式性质知：a >b ，D 正确. 故选：D.4、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A5、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1，则4a +2b 的取值范围是（）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8] 答案：C分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果. 设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2，解得{A =3B =1，4a +2b =3(a +b )+a −b ，因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1 可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1 ，所以2≤4a +2b ≤10. 故选：C.6、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（） A ．2B ．√2+1C ．94D ．52答案：C分析：将a +4b =4ab ，转化为1b +4a =4，由a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，利用基本不等式求解.因为a +4b =4ab ，所以1b +4a =4，所以a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，≥14(5+2√ab ⋅4b a)=94，当且仅当{1b +4a=4ab=4b a，即{a =32b =34时，等号成立，故选：C7、若(x −a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x ≤0，则实数a 的取值范围为（） A ．(−∞,4]B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(1,4] 答案：D分析：解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应x 的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a 的取值范围.由(x −a)2<4，可得：a −2<x <a +2；由1+12−x =3−x 2−x ≤0，则{(x −2)(x −3)≤02−x ≠0，可得2<x ≤3；∵(x −a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x ≤0， ∴{a −2≤2a +2>3，可得1<a ≤4.故选：D.8、已知正实数a ，b 满足a +1b =2，则2ab +1a 的最小值是（） A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t+12≥2√2t ⋅12t+12=52，当且仅当2t =12t，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A. 多选题9、《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB 上取一点C ，使得AC =a,BC =b ，过点C 作CD ⊥AB 交以AB 为直径，O 为圆心的半圆周于点D ，连接OD .下面不能由OD ≥CD 直接证明的不等式为（）A ．√ab ≤a+b 2(a >0，b >0)B ．√ab ≥2ab a+b(a >0，b >0)C ．a 2+b 2≥2ab(a >0，b >0)D ．a+b 2≤a 2+b 22(a >0，b >0)答案：BCD解析：由AC =a,BC =b ，得到OD =12(a +b )，然后利用射影定理得到CD 2=ab 判断. 因为AC =a,BC =b ，所以OD =12(a +b ),因为∠ADB =90∘，所以由射影定理得CD 2=ab ，因为OD ≥CD ，所以√ab ≤a+b 2，当且仅当a =b 时取等号，故选：BCD10、已知P =a 2+b 2，Q =2ab ，R =(a+b )22，则（）A ．P ≥RB ．Q ≥RC ．P ≤RD ．P ≥Q 答案：AD分析：对于A,B,C 利用作差法即可比较出大小,对于D 利用不等式传递性即可. 对于A ，P −R =(a 2+b 2)−(a+b )22=(a−b )22≥0，则P ≥R ，故A 正确；对于B ，R −Q =(a+b )22−2ab =a 2−2ab+b 22=(a−b )22≥0，所以R ≥Q ，故B 错误；对于C ，由已证得P ≥R ，故C 错误；因为P ≥R ，R ≥Q ，所以P ≥Q ，故D 正确故选:AD11、已知x >0，y >0且3x +2y =10，则下列结论正确的是（） A ．xy 的最大值为625B ．√3x +√2y 的最大值为2√5 C ．3x+2y的最小值为52D ．x 2+y 2的最大值为10013答案：BC分析：利用基本不等式直接判断A ；利用基本不等式求得(√3x +√2y)2的最大值可判断B ；利用基本不等式“1”的代换可判断C ；利用二次函数的性质可判断D ； ∵x >0，y >0且3x +2y =10，∴0<x <103，0<y <5对于A ，利用基本不等式得10=3x +2y ≥2√3x ×2y ，化简得xy ≤256，当且仅当3x =2y ，即x =53,y =52时，等号成立，所以xy 的最大值为256，故A 错误；对于B ，(√3x +√2y)2=3x +2y +2√6xy =10+2√6xy ≤10+10=20，当且仅当3x =2y ，即x =53,y =52时，等号成立，所以√3x +√2y 的最大值为2√5，故B 正确；对于C ，3x +2y =110×(3x +2y )(3x +2y )=110×(9+6x y +6y x+4)≥110×(13+2√6x y ⋅6yx)=52，当且仅当6xy =6yx，即x =y =2时，等号成立，所以3x +2y 的最小值为52，故C 正确；对于D ，x 2+y 2=(10−2y 3)2+y 2=13y 2−40y+1009(0<y <5)利用二次函数的性质知，当0<y <2013时，函数单调递减；当2013<y <5时，函数单调递增，∴(x 2+y2)min=13×(2013)2−40×2013+1009=10013，(x 2+y 2)max <13×(5)2−40×5+1009=2259，故D 错误；故选：BC 填空题12、设x 1、x 2、x 3、y 1、y 2、y 3是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3，x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2，x 1y 2+x 2y 3+x 3y 1，x 1y 2+x 2y 1+x 3y 3，x 1y 3+x 2y 2+x 3y 1，x 1y 3+x 2y 1+x 3y 2，能同时取到150的代数式最多有________个．答案：2分析：由作差法比较大小后判断不妨设x 1<x 2<x 3，y 1<y 2<y 3，记x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3为①式，x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2为②式，以此类推，由①−②=x 2y 2+x 3y 3−x 2y 3−x 3y 2=(x 2−x 3)(y 2−y 3)>0，故①>②， ②−③=x 1y 1+x 3y 2−x 1y 2−x 3y 1=(x 1−x 3)(y 1−y 2)>0，故②>③， ①−④=x 1y 1+x 2y 2−x 1y 2−x 2y 1=(x 1−x 2)(y 1−y 2)>0，故①>④，同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤，综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤，最多有②④或③⑥两项可同时取150，令x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2=x 1y 2+x 2y 1+x 3y 3=150，得其一组解为{x 1=−1x 2=0x 3=1 ，{y 1=2y 2=152y 3=302所以答案是：213、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示）答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论． 2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3 解得{m =−12n =52 ，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)，又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3， −2≤−12(x +y )≤12, 5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8，所以答案是：[3,8]．14、函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是_____ 答案：3+2√3分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值. 因为x >1，则x −1>0，所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3，当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =3+√33时，等号成立.所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3.所以答案是：3+2√3. 解答题15、已知a >0，b >0.（1）求证：a2+3b2≥2b(a+b)；（2）若a+b=2ab，求ab的最小值.答案：（1）证明见解析；（2）1.分析：（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据a+b=2ab，可得2ab=a+b≥2√ab，从而得到√ab≥1，进而求得ab≥1，注意等号成立的条件，得到结果.证明：（1）∵a2+3b2−2b(a+b)=a2−2ab+b2=(a−b)2≥0，∴a2+3b2≥2b(a+b).（2）∵a>0，b>0，∴2ab=a+b≥2√ab，即2ab≥2√ab，∴√ab≥1，∴ab≥1.当且仅当a=b=1时取等号，此时ab取最小值1.小提示：该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.。

一元二次函数知识点1

1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

1、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）①2(0)x a a =≥ 解为：x =②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-= 3(21)5(21)0(35)(2x x x x x ---=⇔--= 22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-= 24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+= （3）配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+= ②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b b ax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠++=⇒-⇒++=222224()()2424b b b b ac a x c x a a a a -⇒+=-⇒+= 示例： 22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-= （4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a-+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

一元二次方程知识点总结

第二十章一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。

中考数学重点知识点汇总--最新版

中考数学精选重点、难点及练习题型知识点1：一元二次方程的基本概念1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2.2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0.知识点2：直角坐标系与点的位置1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。

2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限.知识点3：已知自变量的值求函数值1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=21-x 的值为1.3．当x=-1时,函数y=321-x 的值为1.知识点4：基本函数的概念及性质1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 21-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(212+-=x y 的顶点坐标是(1,2).7．反比例函数xy 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4.3．数据1，2，3，4，5的中位数是3.知识点6：特殊三角函数值1．cos30°=23.2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1.5．cos60°+ sin30°= 1.知识点7：圆的基本性质1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆.3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧.9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

一元二次函数知识点(详细)

一元二次函数知识点1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数cbx axy ++=2用配方法可化成：()kh x a y +-=2的形式，其中abac k ab h 4422-=-=，.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab时,对称轴在y轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.(2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

人教版数学九年级上册第21章一元二次方程知识点汇总

人教版数学九年级上册第21章一元二次方程知识点汇总1. 一元二次方程的定义及一般形式：(1) 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知数的最高次数式2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

2. 一元二次方程的解法(1)直接开平方法：形如 (x+a )²=b(b≥0) 的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得 x +a =√b 或者 x +a =−√b,∴x =−a ±√b 。

注意：若b<0，方程无解(2) 因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0：②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

(3) 配方法:用配方法解一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当n<0时，方程无解(4) 公式法:一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 根的判别式： △=b²-4ac△>0⇔方程有两个不相等的实根： x =−b±√b 2−4ac 2a (b 2−4ac ≥0)f (x )的图像与x 轴有两个交点 (2) 一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0)。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x+m)²=n(n≥0)的形式；。

一元二次方程与二次函数的知识点汇总

一、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：y=ax ²+bx+c （a ≠0）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（或有实数根）（5）求根公式（6）一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程ax ²+bx+c=0的两个根，那么：a b x x -=+21，ac x x =⋅21 （7）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x二、列方程（组）解应用题的一般步骤1、审题：2、设未知数；3、找出相等关系，列方程（组）；4、解方程（组）；5、检验6、作答；三、一次函数直线位置与k ，b 的关系：K 决定图像趋势（1）k ＞0直线上升趋势，y 随x 的增大而增大——撇（2）k ＜0直线下降趋势，y 随x 的增大而减小——捺b 决定与y 轴的交点（3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方；（4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；四、抛物线位置与a ，b ，c 的关系：（1）a 决定抛物线的开口方向（a ＞0向上，a ＜0向下），a 决定抛物线的开口大小、a 的绝对值相等，函数图像的形状相同。

（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置： c>0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0⇔图像过原点；c<0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方；（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。

对称轴在y 轴右侧；（左同右异）五、用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：y=ax ²+bx+c.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ②顶点式：y=a （x-h ）²-k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

专题11 一元二次函数的最值问题(解析版)

专题11 一元二次函数的最值问题一、知识点精讲1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。

[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论：①对称轴02m nx +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m nx +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧；说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况。

二、典例精析【典例1】求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ；（2）432+--=x x y ．【答案】见解析【分析】：由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．【解析】：（1）因为二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，所以抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ，所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-．（2）因为二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，所以抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ，所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值425 【典例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．【说明】：二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【典例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．【答案】见解析【解析】：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．【典例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．【答案】见解析【分析】：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．【解析】：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--；(2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩ 【典例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？【答案】见解析【解析】(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．三、对点精练1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．【答案】4,14或2，32【解析】当m=4时图象的顶点在y 轴上，当m =14或2时，图象的顶点在x 轴上，当m =32时图象过原点。

九年级一元二次函数知识点

九年级一元二次函数知识点一元二次函数是九年级数学学习的重要内容之一。

它在解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将从基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等方面，深入探讨九年级一元二次函数的相关知识点。

首先，我们来了解一元二次函数的基本概念。

一元二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

其中，a决定抛物线的开口方向，正值使抛物线开口向上，负值则开口向下；b决定抛物线的位置，正值使抛物线向左平移，负值则向右平移；c为常数项，决定抛物线与y轴的交点。

接下来，我们来探讨一元二次函数的图像与性质。

一元二次函数的图像是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上，最低点称为顶点；当a<0时，抛物线开口向下，最高点称为顶点。

顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

抛物线在顶点对称，对称轴为x = -b/2a。

解析式与判别式是解一元二次方程的关键。

给定一元二次方程ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数且a≠0。

一元二次函数的解析式为x = (-b±√(b²-4ac))/2a。

判别式Δ = b²-4ac，它可以判断一元二次方程的解的性质。

当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。

最后，我们来看一元二次函数在实际问题中的应用。

一元二次函数的应用非常广泛，例如在物理学、经济学和几何学等领域。

以抛物线的运动轨迹为例，当一个物体被抛出时，其轨迹可以用一元二次函数来描述。

在经济学中，一元二次函数可以用来分析企业的成本、收益和利润等情况。

在几何学中，一元二次函数可以用来求解问题，如确定两个点之间的最短距离。

总结起来，九年级一元二次函数是一个非常重要的数学知识点。

它不仅在解决实际问题中具有广泛的应用，而且通过学习一元二次函数的基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等内容，可以帮助学生加深对数学的理解，并提高解决问题的能力。

二次函数与一元二次方程专题知识点常考(典型)题型重难点题型(含详细答案)

二次函数与一元二次方程基本性质专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.二次函数图像与一元二次方程的关系 (2)2.二次函数a、b、c的几何意义 (4)3.利用交点式求二次函数 (6)4.用函数图像解一元二次方程（不等式） (7)5.二次函数常用解题方法总结 (8)三、重难点题型 (10)1.判别式的应用 (10)3.图像信息题 (11)3.抛物线与直线交点问题 (13)4.抛物线与三角形面积 (16)二、基础知识点1.二次函数图像与一元二次方程的关系（1）二次函数：一元二次方程：当y=0时，二次函数即化为一元二次方程。

即二次函数y=0时，x的值（与x轴的交点）为一元二次方程的解。

（2）利用配方法可转化为：y=a（）当y＝ax2＋bx＋c中，y＝0时，即得到二次方程ax2＋bx＋c＝0其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标.令=当＞0时，函数与x轴有两个交点，即一元二次方程有2解；当=0时，函数与x轴有一个交点，即一元二次方程有1解；＜0时，函数与x轴无交点，即一元二次方程无解。

例 1.同一坐标系中有函数，及，请填写下表。

答案：如下表所示例2.如图，一次函数与二次函数ax2＋bx＋c的图像相交于两点，则函数y=ax2＋（b－1）x＋c的图像可能为（）A B C D答案：由ax2＋bx＋c图像知：＞＞＞，即＞＜＞则函数y=ax2＋（b－1）x＋c中，＞＞＞所以函数y=ax2＋（b－1）x＋c开口向上，且与对称轴在x轴正半轴，与y轴的交点在y轴正半轴所以答案在A，C中选择因为一次函数与二次函数ax2＋bx＋c的图像相交于两点联立得：ax2＋（b－1）x＋c=0有两解即y=ax2＋（b－1）x＋c的图像与x轴有两个交点所以答案为A2.二次函数a、b、c的几何意义（1）a>0，开口向上；a<0，开口向下；（2）图像关于x=对称（3）顶点坐标（-，）（4）抛物线与y轴的交点（0，c）（5）当>0，与x轴有2个交点；当=0，与x轴有1个交点；当<0，与x轴无交点（6）两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），关于x=对称，（）例1.二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，则下列关系式成立的是（）A.abc＞0B. a+b+c＜0C. D. 4ac－＞答案：因为抛物线开口向下所以a＜0抛物线与y轴交点在y轴正半轴所以c＞0抛物线对称轴为x=1＞0所以＞，即b＞0综上得：abc＜0，A错误令x=1得：a+b+c=y因为x=1与抛物线交点在y轴上半部分所以a+b+c＞0，即B错误令x=－1得：a－b+c＜0两边同时乘a得：＞，即C正确抛物线与x轴有两个交点，则＞0，即D错误例2.如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，且OA=OC。

部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点汇总

(名师选题)部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点汇总单选题1、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x +600x−30)元（试剂的总产量为x 单位，50≤x ≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（） A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y ，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y ，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元，职工的工资总额为7500+20x 元，后续保养总费用为x (x +600x−30)元，则y =50x+7500+20x+x 2−30x+600x =x +8100x+40≥2√x ⋅8100x+40=220，当且仅当x =8100x，即x =90时取等号，满足50≤x ≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D ．2、若对任意x >0,a ≥2xx 2+x+1恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[−1,+∞)B ．[3,+∞)C ．[23,+∞)D ．(−∞,1] 答案：C分析：依题意a ≥(2xx 2+x+1)max，利用基本不等式求出2xx 2+x+1的最大值，即可得解；解：因为x >0，所以2x x 2+x+1=2x+1x+1≤2√x⋅x+1=23，当且仅当x =1x即x =1时取等号，因为a ≥2x x 2+x+1恒成立，所以a ≥23，即a ∈[23,+∞)；故选：C3、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（） A ．3B ．32C ．2D ．23 答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0，方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1，即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3.故选：A4、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资300万；方案B 为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入”的是（） A ．80+20n ≥300B ．80+20n ≤300C ．80+20(n −1)≥300D ．80+20(n −1)≤300 答案：D分析：由不等关系求解即可.经过n 年之后，方案B 的投入为80+20(n −1)，故经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入，即80+20(n −1)≤300 故选：D5、已知正实数a,b 满足4a+b +1b+1=1，则a +2b 的最小值为（）A．6B．8C．10D．12 答案：B分析：令a+2b=a+b+b+1−1，用a+b+b+1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可.因为4a+b +1b+1=1，且a,b为正实数所以a+b+b+1=(a+b+b+1)(4a+b +1b+1)=4+a+bb+1+4(b+1)a+b+1≥5+2√a+bb+1×4(b+1)a+b=9，当且仅当a+bb+1=4(b+1)a+b即a=b+2时等号成立.所以a+2b+1≥9,a+2b≥8.故选：B.6、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则a2x +b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x+91−2x(0<x<12)的最小值为（）A．16B．25C．36D．49答案：B分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.因a，b，x，y>0，则a2x +b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立，又0<x<12，即1−2x>0，于是得f(x)=222x +321−2x≥(2+3)22x+(1−2x)=25，当且仅当22x=31−2x，即x=15时取“=”，所以函数f(x)=2x +91−2x(0<x<12)的最小值为25.故选：B7、关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是（）A．(−1,0]∪[2,3) B．[−2,−1)∪(3,4]C．[−1，0)∪(2,3] D．(−2，−1)∪(3，4)答案：C分析：分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解. 由x 2−(a +1)x +a <0得(x −1)(x −a)<0 ，若a =1，则不等式无解．若a >1，则不等式的解为1<x <a ，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x =2，则2<a ≤3．若a <1，则不等式的解为a <x <1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x =0，则−1≤a <0．综上，满足条件的a 的取值范围是[−1，0)∪(2,3] 故选：C ．8、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x +9y+1的最小值是（） A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9xy+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 多选题9、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.10、已知实数a>0，b>0，且满足(a−1)(b−1)=4，则下列说法正确的是（）A．ab有最小值B．ab有最大值C．a+b有最小值D．a+b有最大值答案：AC分析：已知等式化简为ab=a+b+3,利用基本不等式转化a+b,得到关于ab的不等式，研究可得ab的最值情况，转化ab,得到关于a+b的不等式，研究可得a+b的最值情况，进而作出判定.ab=a+b+3≥2√ab+3，解不等式得√ab≤−1或√ab≥3，故ab≥9，等号当且仅当a=b=3时取得，故ab有最小值9，则A对，B错；ab=a+b+3≤(a+b2)2，解不等式得a+b≤−2或a+b≥6，又a>0，b>0，故a+b≥6，当且仅当a=b=3时取等号，故a+b有最小值6，则C对，D错，故选：AC．11、若a,b均为正数，且a+2b=1，则下列结论正确的是（）A．ab的最大值为18B．1a +2b的最小值为9C．a2−b2的最小值为−13D．a2+b2的最小值为15答案：ABD分析：对于A ，B ，利用均值不等式或“1”的妙用计算判断；对于C ，D 化成关于b 的二次函数即可判断作答. 因a,b 均为正数，且a +2b =1，则有ab =12⋅a ⋅2b ≤12⋅(a+2b 2)2=18，当且仅当a =2b =12时取“=”，即ab 的最大值为18，A 正确；1a+2b =(a +2b)(1a +2b )=5+(2ba +2ab)≥5+2√2b a ⋅2a b=9，当且仅当a =b =13时取“=”，即1a +2b 的最小值为9，B 正确；显然0<b <12，a 2−b 2=(1−2b)2−b 2=3b 2−4b +1在b ∈(0,12)上单调递减，无最小值，C 不正确；a 2+b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15≥15，当且仅当b =25时取“=”，即a 2+b 2的最小值为15，D 正确. 故选：ABD 填空题12、已知∀a ∈[0,2]时，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，则x 的取值范围为__________．答案：(−2,−1)分析：由题意构造函数关于a 的函数f (a ) =(x 2+x −32)a +x +1，则可得{f(0)<0f(2)<0，从而可求出x 的取值范围.由题意，因为当a ∈[0,2]，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，可转化为关于a 的函数f (a ) =(x 2+x −32)a +x +1，则f (a )<0对任意a ∈[0,2]恒成立，则满足{f(0)=x +1<0f(2)=2x 2+2x −3+x +1<0 ，解得−2<x <−1，即x 的取值范围为(−2,−1)．所以答案是：(−2,−1)。

高中数学一元二次函数方程和不等式知识点归纳超级精简版

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式知识点归纳超级精简版单选题1、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（） A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2 答案：A分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围. 不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意；当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0 ，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ，解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2]. 故选：A.2、若正数a,b 满足a +b =ab ，则a +2b 的最小值为（） A ．6B ．4√2C ．3+2√2D ．2+2√2 答案：C分析：由a +b =ab ，可得1a +1b =1，则a +2b =(a +2b)(1a +1b )，化简后利用基本不等式可求得其最小值因为正数a,b 满足a +b =ab ，所以1a+1b=1，所以a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+a b +2b a≥3+2√a b ⋅2b a=3+2√2，当且仅当a b=2b a，即a =√2+1,b =2+√22时取等号，故选：C3、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（） A ．3B ．32C ．2D ．23 答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0，方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1，即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3.故选：A4、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x +91−2x (0<x <12)的最小值为（）A ．16B ．25C ．36D ．49 答案：B分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当ax =by 时等号成立，又0<x <12，即1−2x >0，于是得f(x)=222x +321−2x ≥(2+3)22x+(1−2x)=25，当且仅当22x =31−2x ，即x =15时取“=”，所以函数f(x)=2x +91−2x(0<x <12)的最小值为25.故选：B5、关于x 的不等式x 2−(a +1)x +a <0 的解集中恰有1个整数，则实数a 的取值范围是（） A ．(−1,0]∪[2,3) B ．[−2,−1)∪(3,4] C ．[−1，0)∪(2,3] D ．(−2，−1)∪(3，4) 答案：C分析：分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解. 由x 2−(a +1)x +a <0得(x −1)(x −a)<0 ，若a =1，则不等式无解．若a >1，则不等式的解为1<x <a ，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x =2，则2<a ≤3．若a <1，则不等式的解为a <x <1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x =0，则−1≤a <0．综上，满足条件的a 的取值范围是[−1，0)∪(2,3] 故选：C ．6、不等式x−1x+2<0的解集为（）A ．{x|x >1}B ．{x|x <−2}C ．{x|−2<x <1}D ．{x|x >1或x <−2} 答案：C 解析：由x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，进而可求出不等式的解集.由题意，x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，解得−2<x <1，所以不等式x−1x+2<0的解集为{x|−2<x <1}.故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.7、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（） A ．(−∞，√3)B ．(−∞，127)C ．(√3，+∞)D ．(127，+∞)答案：A分析：分离参数，将问题转换为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设函数g(x)=6xx 2+3，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=6xx 2+3的最大值，即可求得答案.由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6xx 2+3 ，故问题转化为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设g(x)=6xx 2+3，则g(x)=6x x 2+3=6x+3x，x ∈(0，2]，对于x +3x ≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号，则g(x)max =2√3=√3，故m <√3 ，故选：A8、已知2<a<3，−2<b<−1，则2a−b的范围是（）A．(6,7)B．(5,8)C．(2,5)D．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.2<a<3,−2<b<−1，故4<2a<6，1<−b<2，得5<2a−b<8故选：B9、已知x>0，y>0，x+2y=1，则1x +1y的最小值为（）A．3+2√2B．12C．8+4√3D．6答案：A分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x>0，y>0，x+2y=1，所以(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2，当且仅当2yx =xy，即x=√2−1,y=2−√22时，等号成立.故选：A.10、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C．填空题11、设函数f(x)=ax2−2x+c，不等式f(x)>0的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)，若对任意x∈[−1,2],f(x)≤m2−4恒成立，则实数m的取值范围为__________.答案：(−∞,−2]∪[2,+∞)分析：先根据不等式的解集求得a=1,c=−3，得到f(x)=x2−2x−3，再把对任意x∈[−1,2]，f(x)≤m2−4恒成立，结合二次函数的性质，转化为m2−4≥0恒成立，即可求解.由函数f(x)=ax2−2x+c，且不等式f(x)>0的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)，即−1,3是方程ax2−2x+c=0两个实数根，可得{−1+3=2a−1×3=ca，解得a=1,c=−3，所以f(x)=x2−2x−3，又由f(x)=x2−2x−3=(x−1)2−4，且x∈[−1,2]，当x=−1时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(x)max=0，因为对任意x∈[−1,2],f(x)≤m2−4恒成立，即m2−4≥0恒成立，解得m≤−2或m≥2，所以实数m的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞).所以答案是：(−∞,−2]∪[2,+∞).12、设x∈R，使不等式3x2+x−2<0成立的x的取值范围为__________.答案：(−1,23)分析：通过因式分解，解不等式．3x2+x−2<0，即(x+1)(3x−2)<0，即−1<x<23，故x的取值范围是(−1,23)．小提示：解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．13、设x>0，y>0，x+2y=4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为__________.答案：92.分析：把分子展开化为(x+1)(2y+1)xy =2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy，再利用基本不等式求最值．由x+2y=4，得x+2y=4≥2√2xy，得xy≤2(x+1)(2y+1)xy =2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy≥2+52=92，等号当且仅当x=2y，即x=2,y=1时成立．故所求的最小值为92．小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．14、已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是_______．答案：45分析：根据题设条件可得x2=1−y45y2，可得x2+y2=1−y45y2+y2=15y2+4y25，利用基本不等式即可求解.∵5x2y2+y4=1∴y≠0且x2=1−y45y2∴x2+y2=1−y45y2+y2=15y2+4y25≥2√15y2⋅4y25=45，当且仅当15y2=4y25，即x2=310,y2=12时取等号.∴x2+y2的最小值为45.所以答案是：45.小提示：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.15、不等式x+3x−1>0的解集为______________．答案：{x|x<−3或x>1}分析：由题可得(x−1)(x+3)>0，进而即得.由x+3x−1>0，得(x−1)(x+3)>0，所以x<−3或x>1，故不等式得解集为{x|x<−3或x>1}．所以答案是：{x|x<−3或x>1}．16、若0<x<2，则y=√2x(2−x)的最大值为_______答案：√2分析：由基本不等式求最大值．∵0<x<2，∴2−x>0，∴y=√2⋅√x(2−x)≤√2⋅x+2−x2=√2，当且仅当x=2−x即x=1时取等号，∴当x=1时，有最大值√2.所以答案是：√2．17、不等式3x+4x−2≥4的解集是___________．答案：(2,12]分析：移项通分化简，等价转化为12−xx−2≥0，进一步等价转化为二次不等式(组),注意分母不能为零，然后求解即得.原不等式等价于3x+4x−2−4≥0，化简得12−xx−2≥0，又等价于{(12−x)(x−2)≥0x−2≠0，解得：2<x≤12，所以答案是：(2,12].18、命题p:∀x∈R，x2+ax+a≥0，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x∈R，要使得x2+ax+a≥0，则Δ=a2−4a≤0，解得0≤a≤4.若命题p为真命题，则实数a的取值范围为[0,4].所以答案是：[0,4].19、已知x,y为正实数，则yx +16x2x+y的最小值为__________．答案：6分析：将原式变形为yx +162+yx，结合基本不等式即可求得最值.由题得yx +16x2x+y=yx+162+yx，设yx =t(t>0)，则f(t)=t+162+t=t+2+162+t−2≥2√(t+2)⋅162+t−2=8−2=6.当且仅当t=2时取等.所以yx +16x2x+y的最小值为6.所以答案是：620、已知x,y∈(0,+∞),a∈R，若(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，则3x+y的最小值为______. 答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，所以3x+y的最小值为2.所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.解答题21、销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P=att+1；销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q=bt．其中a，b为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y万元（1）求利润总和y关于x的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．答案：（1）y=3xx+1+13(3−x),0≤x≤3；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．分析：（1）由题意得y=axx+1+b(3−x)，代入数值计算即可求出结果；（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果. （1）因为对甲种商品投资x万元，所以对乙种商品投资为3−x万元，由题意知：y=P+Q=axx+1+b(3−x)，当x=3时，f(x)=94，当x=0时，f(x)=1，则{3a4=94,3b=1,解得a=3,b=13，则y=3xx+1+13(3−x),0≤x≤3．（2）由（1）可得f(x)=3xx+1+13(3−x)=3(x+1)−3x+1+1−13x=133−[3x+1+13(x+1)]≤133−2√3x+1⋅x+13=73，当且仅当x=2时取等号，故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．22、已知关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R.(1)求函数f(m)=m+3m+2的最小值；(2)求关于x的一元二次不等式x2+(m−3)x−3m>0的解集.答案：(1)2√3−2(2)(−∞,−m)∪(3,+∞)分析：（1）由题意可得Δ≤0，解不等式求出m的取值范围，再利用基本不等式求f(m)的最小值；（2）不等式化为(x+m)(x−3)>0，比较−m和3的大小，即可得出不等式的解集.(1)因为关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R，所以Δ=4m2−4(m+2)≤0，化简可得：m2−m−2≤0，解得：−1≤m≤2，所以1≤m+2≤4，所以f(m)=m+3m+2=m+2+3m+2−2≥2√(m+2)⋅3m+2−2=2√3−2，当且仅当m+2=3m+2即m=√3−2，f(m)的最小值为2√3−2.(2)不等式x2+(m−3)x−3m>0，可化为(x+m)(x−3)>0，因为−1≤m≤2，所以−2≤−m≤1<3，所以该不等式的解集为(−∞,−m)∪(3,+∞).。

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一元二次函数知识点汇总
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2
ax y =的性质
(1)抛物线2
ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.
(2)函数2
ax y =的图像与a 的符号关系：
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2
的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.
4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a
b a
c k a b h 4422-=-
=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2
的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 决定抛物线的开口方向：
当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2
中，c b a ,,的作用
(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2
ax y =中的a 完全一样.
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线a
b
x 2-
=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a
b 时,对称轴在y 轴左侧；③0<a
b 时,对称轴在y 轴右侧. (3)
c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a
b .
8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①2
ax y =；②k ax y +=2
；③()2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2
.
9.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(c ,0)
(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2
有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程
02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组
⎩⎨⎧++=+=c
bx ax y n
kx y 2
的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;
②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于
1x 、2x 是方程02
=++c bx ax 的两个根，故由韦达定理知：a
c
x x a b x x =⋅-=+2
121, ()
()
a a ac
b a c
a b x x x x x x x x AB ∆=
-=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+=
-=
-=44422
212
212
2121 11．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程c bx ax ++=2
0就是二次函数c bx ax y ++=2
当函数y 的值为0时的情况． (2)二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；
当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02
=++c bx ax 的根．
(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2
有两个不
相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴没有交点时，则一元
二次方程02
=++c bx ax 没有实数根 12.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。

一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。

(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．。

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