四川省雅安市2021届新高考一诊数学试题含解析

四川省雅安市2021届新高考一诊数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．

231+=-i

i （ ） A ．15i 22

-

+ B ．1522

i -

- C ．

5522

i + D ．

5122

i - 【答案】A 【解析】 【分析】

分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】 解:

23(23)(1)15

1(1)(1)22

i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】

本题考查复数的除法运算,属于基础题.

2．已知双曲线22

22x y 1(a 0,b 0)a b

-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q

两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )

A 1

B 1

C ．2

D 【答案】B 【解析】 【分析】

求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】

设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为y =，代入双曲线方程并化简得

22222

22

22223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 22122

2

333a b x x b a

-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=u u u v u u u v

，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，

即2

1240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得4

2630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2

3b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

故1e ===，故选B. 【点睛】

本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.

3．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =-的图像（ ）

A ．向左平移2

π

个单位 B ．向左平移712

π

个单位 C ．向右平移12

π

个单位

D ．向右平移

3

π

个单位 【答案】A 【解析】 【分析】

运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫

=--

⎪⎝

⎭

以及2sin 23y x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭

变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫

=--

⎪⎝

⎭

对比，从而可选出正确答案. 【详解】 解：

1

sin 22sin 22sin 22sin 22233y x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

1

sin 222sin 2cos 22sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛

⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭

===-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤

⎛

⎫⎛⎫⎛

⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

. 故选:A. 【点睛】

本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.

4．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．

17

21

B ．

1928

C ．

79

D ．

2328

【答案】B 【解析】 【分析】

首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”， 记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，利用对立事件的概率公式计算可得； 【详解】

解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为3

984C =（个），

则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”

记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，则339319

()128

P E C =-=

. 故选：B 【点睛】

本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．

5．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A ．

12

π

B ．

3

π C ．

6

π D ．

9

π 【答案】C 【解析】 【分析】

利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】

10=， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为68

26810

⨯=

=++r ，

所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2

21

668

2

ππ

⋅=

⨯⨯.

故选：C. 【点睛】

本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.