四川省雅安市2021届新高考一诊数学试题含解析

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2021年四川省广安市眉山市遂宁市雅安市资阳市乐山市广元市自贡市内江市九市高考数学一诊试卷(理科)

2021年四川省广安市、眉山市、遂宁市、雅安市、资阳市、乐山市、广元市、自贡市、内江市九市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|2x＜4}，B＝{x|（x﹣4）（x﹣1）＜0}U A）∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|2＜x＜4}C．{x|2≤x＜4}D．{x|x＜2或x≥4} 2．（5分）若，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若，则cos2θ＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线l是圆x2+y2＝25在点（﹣3，4）处的切线，则直线l的方程为（）A．3x+4y﹣25＝0B．3x+4y+7＝0C．3x+4y﹣7＝0D．3x﹣4y+25＝0 5．（5分）如图，在△ABC中，D为线段BC上异于B，E为AD的中点，若，则λ+μ＝（）A．B．C．D．6．（5分）居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex，简称CPI）是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月﹣2020年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是（）A．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势7．（5分）2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作．若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目（）A．120B．96C．48D．248．（5分）函数f（x）＝e|x|﹣x2﹣|x|的大致图象是（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．210．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x），且g（x）的图象的一条对称轴是直线（）A．B．2C．3D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足，则f（2021）＝（）A．﹣3或4B．﹣4或3C．3D．412．（5分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，则三棱锥P﹣ABC体积最大值为（）A．B．C．D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为．14．（5分）2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是．15．（5分）给出下列命题：①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行；②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；③设α，β，γ为平面，若α⊥β，则α⊥γ；④设α，β，γ为平面，若α∥β，则α∥γ．其中所有正确命题的序号为．16．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣mx2+2x，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＞0，则实数m 的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17．（12分）在数列{a n}中，a1＝1，．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝n（a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分．体验结束后（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．良优合计男40女40合计（2）为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为[50，60）和[90，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50，求X的分布列和数学期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.001P（K2≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 Array19．（12分）如图，在平面五边形ABCDE中，AE＝12，CD＝3，∠ABC＝60°，sin ∠CDE ＝．（1）求AC的值；（2）求△ABC面积的最大值．20．（12分）如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB⊥AD，AB＝AM＝AD＝2．（1）证明：△BDM是正三角形；（2）若CD∥平面ABM，2CD＝AB，求二面角C﹣BM﹣D的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝x（e x﹣a）﹣2lnx+2ln2﹣2（a∈R）．（1）当a＝2时，若f（x）的一条切线垂直于y轴（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标为．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），PB关于x轴对称．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≥4；（2）令f（x）的最小值为M，正数a，b，求证：．2021年四川省广安市、眉山市、遂宁市、雅安市、资阳市、乐山市、广元市、自贡市、内江市九市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|2x＜4}，B＝{x|（x﹣4）（x﹣1）＜0}U A）∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|2＜x＜4}C．{x|2≤x＜4}D．{x|x＜2或x≥4}【分析】可求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|1＜x＜6}，∴∁U A＝{x|x≥2}，（∁U A）∩B＝{x|2≤x＜4}．故选：C．【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）若，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接由已知的复数进行化简，然后根据复数相等条件求出a，b，得到其在复平面内对应点的坐标得答案．【解答】解：若，则a+2i＝2b（7﹣i）＝2b﹣2bi，根据复数相等的条件得，a＝6b，所以b＝﹣1，a＝﹣2，复数a+bi＝﹣2﹣i在复平面内所对应的点（﹣2，﹣1）位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，还考查了复数相等条件，是基础题．3．（5分）若，则cos2θ＝（）【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为，可得sinθ＝4cosθ，可得tanθ＝2，则cos2θ＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查诱导公式，同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．4．（5分）已知直线l是圆x2+y2＝25在点（﹣3，4）处的切线，则直线l的方程为（）A．3x+4y﹣25＝0B．3x+4y+7＝0C．3x+4y﹣7＝0D．3x﹣4y+25＝0【分析】设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解．．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣3，圆x2+y7＝25的圆心坐标为（0，0），圆心到直线l的距离为2＜5，此时直线l与圆相交；当直线l的斜率存在时，设切线l的方程为y﹣4＝k（x+5），圆x2+y2＝25的圆心坐标为（4，0），所以圆心到直线l的距离等于半径，即＝4，解得k＝，所以直线l的方程为x﹣y+3×，即3x﹣4y+25＝0．故选：D．【点评】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题．5．（5分）如图，在△ABC中，D为线段BC上异于B，E为AD的中点，若，则λ+μ＝（）【分析】由题意得，＝2＝2+2，结合B，D，C三点共线及向量共线定理有求出λ+μ的值．【解答】解：因为E为AD中点，且，则＝2+2，由题意得，B，D，C三点共线，所以6λ+2μ＝1即λ+μ＝．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量共线定理的应用，属于基础题．6．（5分）居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex，简称CPI）是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月﹣2020年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是（）A．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势【分析】根据全国居民消费价格指数增长率折线图，逐一判断各选项即可．【解答】解：由消费价格增长率折线图知，2020年1月到3月是降低，4月到9月降低，所以不是逐月增大，选项A错误；2019年9月到2020年4月的居民消费价格指数先增大后减小，所以B错误；2019年1月到5月的居民消费价格指数高于2020年8月到5月居民消费价格指数，所以C错误；2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势．故选：D．【点评】本题主要考查了统计图表等基本知识，也考查了数据处理能力和应用意识，属基础题．7．（5分）2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作．若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目（）A．120B．96C．48D．24【分析】先安排甲，再安排其他4人，根据分步计数原理可得．【解答】解：甲担任冰壶、冰球、自由式滑雪中的一项工作，故有A41A24＝96种，故选：B．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8．（5分）函数f（x）＝e|x|﹣x2﹣|x|的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，结合对称性，函数单调性和导数之间的关系进行判断排除即可．【解答】解：函数是偶函数，函数关于y轴对称，B，当x＞0时，f（x）＝e x﹣x2﹣x，f′（x）＝e x﹣6x﹣1，f′（1）＝e﹣3＜82﹣5＞3，则存在x0∈（1，8），故选：C．【点评】本题主要考查函数图象和性质等基本知识，考查逻辑推理能力及其应用，考查数形结合，化归与转化等思想．9．（5分）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．2【分析】利用双曲线的离心率求解a，然后求解双曲线C的一个焦点F到它的一条渐近线的距离．【解答】解：双曲线的离心率为，可得，解得a＝，所以，所以双曲线C的一个焦点F到它的一条渐近线的距离为：b＝2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．10．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x），且g（x）的图象的一条对称轴是直线（）A．B．2C．3D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得ω的最小值．【解答】解：∵将函数的图象向右平移，得到函数g（x）＝sin（ωx﹣+）的图象，∵g（x）的图象的一条对称轴是直线，∴ω×（﹣）﹣+，k∈Z，令k＝﹣1，可得ω的最小值为，故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足，则f（2021）＝（）A．﹣3或4B．﹣4或3C．3D．4【分析】根据题意，利用特殊值分析可得f（1）＝，解可得f（1）的值，结合函数的奇偶性可得＝，则有f（x+2）＝f（2﹣x），变形可得f（x+4）＝f（x），即可得函数的周期性，则有f（2021）＝f（1+2020）＝f（1），即可得答案．【解答】解：根据题意，偶函数f（x）满足，若x＝﹣1，则f（1）＝＝，又由f（x）≥0，则f（x）＝4，f（x）为偶函数，则＝，则有f（x+6）＝f（2﹣x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2021）＝f（8+2020）＝f（1）＝4，故选：D．【点评】本题考查抽象函数的求值，注意分析函数的周期性，属于中档题．12．（5分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，则三棱锥P﹣ABC体积最大值为（）A．B．C．D．2【分析】推导出BC⊥AB，BC⊥平面ABP，AP⊥BC，AP⊥BG，从而AP⊥平面PBC，BP ⊥AP，进而V P﹣ABC＝V C﹣APB＝＝，令P A＝m，PB＝n，则m2+n2＝4，进而＝，由此能求出三棱锥P﹣ABC体积最大值．【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，∵平面ABCD⊥平面APB，平面ABCD∩平面APB＝AB，∴BC⊥平面ABP，∵AP⊂平面ABP，∵G为PC上一点，且BG⊥平面APC，∴AP⊥BG，∵BC∩BG＝B，BC⊂平面PBC，∴AP⊥平面PBC，∵BP⊂平面PBC，∴V P﹣ABC＝V C﹣APB＝＝，令P A＝m，PB＝n2+n2＝4，∴＝，当且仅当m＝n＝时，取“＝”，∴三棱锥P﹣ABC体积最大值为．故选：A．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得A（1，化目标函数为y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣+z过A时，z有最大值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．14．（5分）2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是．【分析】设事件A为“这次比赛乙队不输”，则事件为“这次比赛甲队获胜”，利用对立事件概率公式能求出这次比赛乙队不输的概率．【解答】解：设事件A为“这次比赛乙队不输”，则事件，∵甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，∴P（）＝，∴这次比赛乙队不输的概率是：P（A）＝4﹣P（）＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查互斥事件概率等基础知识，考查运算求解能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想．15．（5分）给出下列命题：①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行；②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；③设α，β，γ为平面，若α⊥β，则α⊥γ；④设α，β，γ为平面，若α∥β，则α∥γ．其中所有正确命题的序号为①②④．【分析】直接利用面面垂直和面面平行的判定和性质判定①②③④的结论．【解答】解：对于①：根据线面垂直的性质：同时垂直于一条直线的两个平面互相平行，故①正确；对于②：由线面平行的性质和线面垂直的性质：一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，故②正确；③设α，β，γ为平面，β⊥γ，α⊥γ不一定成立；④设α，β，γ为平面，β∥γ，则α∥γ．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：面面垂直和面面平行的判定和性质，主要考查学生的理解能力，属于基础题．16．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣mx2+2x，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＞0，则实数m 的取值范围是[+1，2）．【分析】讨论m≤0时，不符合题意；当m＞0时，利用导数，求得函数y＝的单调性与最值，作出函数函数y＝和y＝mx﹣2的大致图象，结合图象即可求得m的取值范围．【解答】解：当m≤0时，f′（x）＝，f（x）单调递增3，使得f（x0）＞0，不符合题意；当m＞2时，由于x＞0＞mx﹣2，y＝，y′＝，y′＞0，y′＜2，所以函数y＝在（0，在（e，所以y＝的极大值也是最大值为，y→﹣∞，y→4，所以作出函数y＝和y＝mx﹣2的大致图象，过点（0，﹣3）的直线y＝mx﹣2介于（1，（8，，直线y＝mx﹣4过点（1，0）时，直线y＝mx﹣2过点（2，m的值为，由图可知，m的取值范围是[，8）．故答案为：[+5．【点评】本题主要考查函数图象和性质、导数的应用，考查化归与转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17．（12分）在数列{a n}中，a1＝1，．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝n（a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）直接利用等差数列的性质的应用求出数列的通项公式；（Ⅱ）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【解答】证明：（1）因为，所以a n+1+6＝2（a n+1），又a4＝1，所以a1+3＝2≠0，所以数列{a n+8}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，所以数列{a n}的通项公式．解：（2）由（1）得，所以，①，，②由①﹣②得，即，所以．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18．（12分）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分．体验结束后（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．良优合计男40女40合计（2）为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为[50，60）和[90，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50，求X的分布列和数学期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.001P（K2≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 Array【分析】（1）根据频率分布直方图，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X可能的取值有0，1，2，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望．【解答】解：（1）列联表下：良优合计男202040女204060合计4060100由题得，，所以能在犯错误的概率不超过5.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．（2）由已知得体验度评分为[50，60）和[90，20人，则在随机抽取的6人中评分为[50，60）有2人，100]有4人．则X可能的取值有0，1，6，，，，则X的分布列为：X052P所以．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了独立性检验以及离散型随机变量及其分布列，期望计算问题，是中档题．19．（12分）如图，在平面五边形ABCDE中，AE＝12，CD＝3，∠ABC＝60°，sin ∠CDE＝．（1）求AC的值；（2）求△ABC面积的最大值．【分析】（1）在△CDE中，由正弦定理可得sin∠CED的值，利用大边对大角可得∠CED 为锐角，进而可得∠CED，利用三角形内角和定理可求∠AEC的值，根据勾股定理可求AC的值．（2）在△ABC中，由余弦定理，基本不等式可求AB•BC≤192，进而根据三角形的面积公式即可求解△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）在△CDE中，由正弦定理可得，所以sin∠CED＝＝＝，因为CD＜CE，所以∠CED为锐角，所以∠CED＝30°，所以∠AEC＝∠AED﹣∠CED＝120°﹣30°＝90°，所以AC＝＝＝8．（2）在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC6﹣2AB•BC•cos60°，即192＝AB2+BC8﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC，当且仅当AB＝BC＝8，所以AB•BC≤192，所以S△ABC＝AB•BC•sin60°≤，即△ABC面积的最大值是48．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角形的面积公式等基础知识的应用，考查了运算求解能力，推理论证能力与应用意识，考查了化归与转化思想，属于中档题．20．（12分）如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB⊥AD，AB＝AM＝AD＝2．（1）证明：△BDM是正三角形；（2）若CD∥平面ABM，2CD＝AB，求二面角C﹣BM﹣D的余弦值．【分析】（1）通过求解BD2＝AB2+AD2＝8，BM2＝AB2+AM2＝8，DM2＝AD2+AM2＝8，即可证明△BDM是正三角形．（2）以A为原点，直线AB，AD，AM分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．求出平面BDM的一个法向量，平面CBM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．【解答】（1）证明：由已知，AM⊥平面ABCD，所以，AM⊥AB．又AB＝AM＝AD＝2，AB⊥AD，所以，BD2＝AB7+AD2＝8，BM4＝AB2+AM2＝6，DM2＝AD2+AM2＝8，则BD＝BM＝DM，所以△BDM是正三角形．（2）解：因为AB⊥AD，AM⊥平面ABCD，以A为原点，直线AB，AM分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系．由CD∥平面ABM，易知CD∥AB，则B（2，8，C（1，2，D（5，2，M（0，8．所以，．设平面BDM的一个法向量为，则取x＝1，得．同理可求平面CBM的一个法向量为．所以，，即二面角C﹣BM﹣D的余弦值为．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，勾股定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力．21．（12分）已知函数f（x）＝x（e x﹣a）﹣2lnx+2ln2﹣2（a∈R）．（1）当a＝2时，若f（x）的一条切线垂直于y轴（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）求导，设切点为（x0，f（x0）），由题意可知f'（x0）＝0，可得lnx0＝ln2﹣x0，计算f（x0）＝0即可得证；（2）法一：将不等式转化为对于x＞0恒成立，令，利用导数求得h（x）的最小值，即可求得a的取值范围；法二：构造同构函数，结合不等式e x≥x+1即可解决．【解答】（1）证明：由题可知f（x）＝x（e x﹣2）﹣2lnx+2ln2﹣2（x＞6），则，设切点为（x0，f（x7）），则由f'（x0）＝0得，f（x4）则，即lnx0＝ln2﹣x4，则有，所以所求切线为y＝0，即为x轴．（2）解：因为f（x）＝x（e x﹣a）﹣2lnx+3ln2﹣2≥3，其中x＞0，则对于x＞5恒成立，令，则，即，令u（x）＝x2e x+8lnx﹣2ln2，则，其中x＞0，则u（x）＝x2e x+3lnx﹣2ln2为（3，+∞）的增函数，又因为u（1）＝e﹣2ln2＞7，，所以存在，使得，即，而，又由于v（x）＝xe x为（0，+∞）的增函数，故，即，又0＜x＜x2，h'（x）＜0，h（x）为减函数0，h'（x）＞3，h（x）为增函数，所以，故a的取值范围是（﹣∞，2]．另解：因为f（x）＝x（e x﹣a）﹣2lnx+5ln2﹣2≥6，其中x＞0，所以e x﹣x﹣lnx+ln2﹣1≥7，即﹣（lnx﹣ln2）﹣4≥x，即≥﹣5，令g（x）＝e x﹣x﹣1，g′（x）＝e x﹣1，当x∈（﹣∞，2）时，g（x）单调递减，+∞）时，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（0）＝0，所以e x+lnx﹣ln2﹣（x+lnx﹣ln4）﹣1≥0，（当x+lnx﹣ln2＝0时取等号）所以≥0，所以﹣1≤0，故a的取值范围是（﹣∞，5]．【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标为．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），PB关于x轴对称．【分析】（1）直接把曲线C的参数方程中的参数消去，可得曲线C的普通方程，把直线l的极坐标方程展开两角和的余弦，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）联立直线l与曲线C的直角坐标方程，求得A，B的坐标，由P A与PB的斜率和为0，即可证明直线P A，PB关于x轴对称．【解答】解：（1）由曲线C的参数方程为为参数），消去参数α，可得曲线C的普通方程为．直线l的极坐标为，即，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；证明：（2）由，消去y6﹣4x＝0．可得A，B的坐标分别为（7，（，），直线P A，PB的斜率分别为，，∴，于是，直线P A．【点评】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≥4；（2）令f（x）的最小值为M，正数a，b，求证：．【分析】（1）通过当x≤﹣1时，当﹣1＜x≤1时，当x＞1时，去掉绝对值符号，求解不等式即可．（2）求出函数的最小值M＝2．然后转化利用基本不等式，求解即可．【解答】（1）解：当x≤﹣1时，f（x）＝﹣2x+5﹣x﹣1＝﹣3x+6≥4；当﹣1＜x≤8时，f（x）＝﹣2x+2+x+5＝﹣x+3≥4；当x＞5时，f（x）＝2x﹣2+x+7＝3x﹣1≥3，得．所以，不等式的解集为．（2）证明：由（1），当x≤﹣6时；当﹣1＜x≤1时，f（x）＝﹣x+4≥2；当x＞1时，f（x）＝7x﹣1＞2，f（x）的最小值为3．于是a，b，c满足a+b+c＝2，＝＝当且仅当且且即a＝b＝c时取“＝”．【点评】本题考查函数的最值的求法，不等式的证明，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。

高中高三数学第一次诊断性考试试卷文绵阳一诊扫描试题

高2021级第一次诊断性考试数学(文)参考解答及评分HY一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．BBCDA DAACC BC二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．13．214．甲15．216．①④三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．解：由|x -a |≤4有-4≤x -a ≤4，解得a -4≤x ≤a +4，即A ={x |a -4≤x ≤a +4}．……………………………………………………2分由116<+x 可变形为015<+-x x ，等价于(x +1)(x -5)＞0，解得x ＜-1或者x ＞5，即B ={}51>-<x x x 或．………………………………………………………4分〔Ⅰ〕由A ∩B =(]75，知a +4=7，解得a =3． ……………………………7分〔Ⅱ〕由A ∩B =A 有A ⊆B ，∴ a +4＜-1，或者a -4＞5， …………………………………………………10分解得a ＜-5或者a ＞9． ………………………………………………………12分 18．解：〔Ⅰ〕由5010.05==n ，于是5.05025==m ，x =50-(4+5+25+6)=10，2.05040==y ，即m ，n =50，x =10，y ． …………………………………………4分〔Ⅱ〕据题意，所抽取的两人应分别在(]5.42.4，和(]4.51.5，内取， ∴ 1152112625=+=C C C P ．即所求的概率为115． …………………………………………………………7分〔Ⅲ〕因为采用的是分层抽样，所以样本中一共有10名女生，由题知该校的高三女生人数为13013110=÷人， ∴ 全校高三学生人数为130×5=650人．根据频率统计表知，该校高三学生中视力高于 4.8的人数为650×(0.2+0.12)=208人． ……………………………………………………12分 19．解：〔Ⅰ〕设{a n }的公比为q ，那么q ＞0，由有⎩⎨⎧⋅==+，，)(9)(164112111q a a q a q a a 可解得31=q 〔31-=q 已舍去〕，311=a ． ∴ nn n a )31()31(311=⨯=-． ……………………………………………………6分〔Ⅱ〕∵ 2)1(-2)1(3213213)31()31()31()31()31()31(3++++++===⋅⋅⋅⋅=n n n n n n b n，∴2)1(1+-=n n b n ，即)111(2)1(2+--=+-=n n n n b n ．………………………9分 ∴n n b b b b S ++++= 321)1113121211(2+-++-+--=n n )111(2+--=n 12+-=n n． ………………………………………………………………12分 20．解：〔Ⅰ〕23)2(23)2()(2-+-=-+-=x x x x x h ， ∴ xx x h x f 3)2()(+=+=． ……………………………………………………3分设0＜x 1＜x 2≤3，那么)3(3)()(221121x x x x x f x f +-+=- 212121)(3)(x x x x x x ---= 2121213)(x x x x x x -⋅-=， ∵ 0＜x 1＜x 2≤3，∴ x 1- x 2＜0，x 1x 2＜3即x 1x 2-3＜0，x 1x 2＞0， ∴ f (x 1)-f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．∴ f (x )在(0，3)上是减函数．……………………………………………7分〔Ⅱ〕∵xax x g ++=3)(， ∴ 由有xa x ++3≥8有a ≥-x 2+8x -3，令t (x )=-x 2+8x -3，那么t =-(x -4)2+13，于是t (x )在(0，3)上是增函数． ∴ t (x )max =12．∴ a ≥12．……………………………………………………………………12分 21．解：〔Ⅰ〕由有ax x x f 23)(2-='，∴ 0382)38(3)38(2=⨯-⨯='a f ，解得a =4． …………………………………2分于是)83(83)(2-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，得x 0=0或者38=x ．〔Ⅱ〕要使f (x )在区间[1，2]内至少有一个实数x ，使得f (x )<0，只需f (x )在[1，2]内的最小值小于0．∵)23(23)(2a x x ax x x f -=-='，且由0)(='x f 知x 1=0，322a x =， ①当32a≤0即a ≤0时，0)(>'x f ，∴ f (x )在[1，2]上是增函数，由023)1()(min <-==a f x f ，解得23>a ．这与a <0矛盾，舍去． ②当320a <≤1即0<a ≤23时，0)(>'x f ，∴ f (x )在[1，2]上是增函数．由023)1()(min <-==a f x f ，解得23>a ．这与0<a ≤23矛盾，舍去． ③当1<32a <2即323<<a 时，当1≤32a x <时0)(<'x f ，∴ f (x )在⎪⎭⎫⎢⎣⎡321a ，上是减函数，当32a ≤x <2时0)(>'x f ，∴ f (x ) 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡132，a 上是增函数． ∴02744)32()(3min <-==a a f x f ，解得a >3．这与23<a <3矛盾，舍去．④当32a≥2即a ≥3时，0)(<'x f ，f (x )在[1，2]上是减函数， ∴0412)2()(min <-==a f x f ，解得a >3．结合a ≥3得a >3．综上，a >3时满足题意．……………………………………………………12分 22．解：〔Ⅰ〕证明：令x =y =0时，那么由有)00100()0()0(⨯--=-f f f ，可解得f (0)=0．再令x =0，y ∈(-1，1)，那么有)010()()0(yyf y f f ⋅--=-，即f (-y )=-f (y )，∴ f (x )是(-1，1)上的奇函数．……………………………………………4分〔Ⅱ〕令x =a n ，y =-a n ，于是)12()()(2nnn n a a f a f a f +=--，由得2f (a n )=f (a n+1)，时间： 2022.4.12 单位： ……*** 创编者：十乙州时间： 2022.4.12 单位： ……*** 创编者：十乙州 ∴ 2)()(1=+n n a f a f ， ∴ 数列{f (a n )}是以f (a 1)=1)21(-=f 为首项，2为公比的等比数列． ∴.221)(11---=⋅-=n n n a f ……………………………………………………8分〔III 〕n n n a f b 21)(21=-=， ∴ T n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n n n 211211)211(21-=--=.……………………………10分于是不等式21441<--+m T m T n n 即为21)211(4)211(41<----+m m n n ，整理得212)4(24)4(2<----m m n n ．令t =2n (4-m )，于是变形为2124<--t t ，等价于2<t <6．即2<2n (4-m )<6．假设存在正整数m ，n 使得上述不等式成立，∵ 2n是偶数，4-m 为整数，∴ 2n (4-m )=4．于是 ⎩⎨⎧=-=，，1442m n 或者⎩⎨⎧=-=，，2422m n 解得⎩⎨⎧==，，23n m 或者⎩⎨⎧==.12n m ，因此存在正整数m =2，n =1或者m =3，n =2使原不等式成立．…………14分。

2021年全国新高考Ⅰ卷数学真题试卷(含答案及解析)

A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】，
故选：B
【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
故选：AC
11.已知点在圆上，点、，则（）
A.点到直线的距离小于
B.点到直线的距离大于
C.当最小时，
D.当最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.记是内角，，的对边分别为，， .已知，点在边上， .
（1）证明：；
（2）若，求 .
20.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
15.函数的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】A：且，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；
C：，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；

2021年高考数学真题一题多解 - 新高考I卷解析

因为平面ABD 平面BCD ,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC， ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
因为，即，整理可得，
即，显然，故 .
因此，直线与直线的斜率之和为 .
【解法二】参数方程法：设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，
代入双曲线可得
同理
因为
即两斜率和为零。
【思维方式】本题的两种方法;一种是代数法，另一种参数法。求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．体现了函数与方程的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
答案：(1)详见解析(2)
【知识点】垂直位置关系、二面角的求法
【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；
（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.
【解法一】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
所以，轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为；
（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理(含解析)

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

2021年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅰ卷数学试题及答案

9. CD10. AC11.ACD12.BD
三､填空题：
13.114. 15.116.①.5②.
四､解答题：
17.（1）；（2） .
18.（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
（1）证明：；
（2）若，求 .
20.（12分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
21.（12分）
在平面直角坐标系中，已知点，，点满足 .记的轨迹为 .
（1）求的方程；
则为二面角E-BC-D的平面角,
因为 , 为正三角形,所以为直角三角形
因为 ,
从而EF=FM=
平面BCD,
所以
21.（1）；（2） .
22.（1）函数的定义域为，源自又，当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为 .
因为平面ABD 平面BCD ,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连EM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC， ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
2021年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅰ卷
数学
考试用时120分钟，满分150分.

2021年1月12日四川省广安眉山雅安内江遂宁乐山自贡广元市一诊遂宁地区一诊理科数学试题答案

一选择题 &' 分 !!解析选择 (!因为 ")#"###%)#"###$)#"#*%#*!#')#"!###%所
以$"%$)#"#&#%#"!###%)#"#'##%! 命题意图本小题主要考查指数不等式一元二次不等式的解法补集与交集运算等基础知识
+#)*#& +&)*!
象限!
命题意图本小题主要考查复数的乘法运算两个复数相等的条件复数的几何意义等基础知
识考查运算求解能力考查化归与转化思想 !
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解能力!
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后
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难度可视影响的程度决定后继部分的给分但不得超过该部分正确解答应得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误就不再给分

四川省雅安市2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析

四川省雅安市2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （）A ．0B ．5C ．7D ．13【答案】D 【解析】【分析】根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可. 【详解】由2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 可知：令0x =，得0011a a ⇒==；令1x =，得012140121411(1)a a a a a a a a =++++++++⇒=L L ；令1x =-，得0123140123142727(2)()()a a a a a a a a a a =-++-++-++⇒=+-+L L ，(2)(1)+得，024********(28)14a a a a a a a a ++++=⇒++++=L L ，而01a =，所以 241413a a a +++=L .故选：D 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力.2．设a r ，b r是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-r r r r 成立，则A ．//a bB ．a b ⊥v vC ．()-⊥r r r a b aD ．()-⊥a b b rr r【答案】D 【解析】【分析】画出a r，b r，根据向量的加减法，分别画出()a b λ-rr的几种情况，由数形结合可得结果. 【详解】由题意，得向量()a b -r r 是所有向量()a b λ-r r中模长最小的向量，如图，当AC BC ⊥，即()-⊥a b b r r r 时，||AC 最小，满足a b a b λ-≤-r r r r，对于任意的R λ∈，所以本题答案为D. 【点睛】本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.3．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.【详解】设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，因为2()34g x x x '=-，所以()0g x '=， 0x ∴=或43x =，因为403x <<时，()0g x '<， 43x >或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：当0a „时，()()f x g x >至多一个整数根；当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)(4)(4)f g f g >⎧⎨⎩„，3232ln 4323ln 5424a a ⎧>-⨯∴⎨-⨯⎩„，所以9322ln 2ln 5a <„. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力. 4．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（） A 2 B ．1C ．2D 5【答案】A 【解析】【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ．【详解】 ∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴22||112z =+= 故选：A ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，属于容易题．5．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D 【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ，所以23z x y =+的最小值为14. 故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 6．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（） A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥【答案】C 【解析】【分析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误；对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误；对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确；对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.7．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】求出()f x 在(2,22]x n n ∈+的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案. 【详解】当(2,22]x n n ∈+时，2(0,2]x n -∈，()2(2)2(2)(22)n nf x f x n x n x n =-=----，max ()2n f x =，又40489<<，所以m 至少小于7，此时3()2(6)(8)f x x x =---，令40()9f x =，得3402(6)(8)9x x ---=，解得193x =或233x =，结合图象，故193m ≤. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 8．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.【详解】令，构造，求导得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，若，即，则，则，且，故，若，即，由于，故，故不符合题意，舍去. 故选A.【点睛】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.9．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =u u u u v u u u v ，120QF QF ⋅=u u u u vu u u v ，则双曲线C 的离心率为（） A 31 B ．31C 132D 132【答案】D 【解析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且,P Q 都位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF =⋅=u u u u v u u u u vu u u v u u u v ，可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥u u u ru u u u r,点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(,)Q a b ，2(,0)F c ，设11(,)P x y ，则11112(,)(,)x a y b c x y --=--，解得1122,33a c b x y +==，即22(,)33a cb P +，代入双曲线的方程可得22(2)1144a c a +-=，解得132c e a ==，故选D ．点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-Q ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-Q 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤Q 对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题. 11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C 【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 12．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（） A ．i - B ．iC ．–1D ．1【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算可得2z i =--，即可得答案. 【详解】∵(3)1i z i +=+，∴131iz i i++==-， ∴2z i =--，∴复数z 的虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高考数学试卷含答案及解析(新高考全国Ⅰ卷)

2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立
6.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
7.若过点可以作曲线的两条切线，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，

四川省雅安市2024届高三一模数学(理)试题(教师版)

秘密★启用前雅安市高2021级第一次诊断性考试数学（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}232,450A x xB x x x =-<<=+-≤，则A B = （）A.∅B.(]3,1- C.[)1,2- D.()3,2-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}245051B x x x x x =+-≤=-≤≤，则(]3,1A B =- .故选：B.2.复数1ii 1iz +=+-，则z =（）A.1B.C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算和复数模的定义即可得到答案.【详解】()()()21i 1i 2ii i i 2i 1i 1i 1i 2z ++=+=+=+=--+，则2z ==，故选：C.3.执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2023，则输出的y 值为（）A.116B.18C.14D.12【答案】D 【解析】【分析】根据程序框图的循环结构可知每循环一次x 值减少4，当0x <时，得到2x y =.【详解】第1次循环：20234x =-；第2次循环：()202344202342x =--=-⨯；第3次循环：()2023424202343x =-⨯-=-⨯；由以上可知，第()N n n *∈次循环：()20234N x n n *=-∈；当0x ≥时，一直循环，所以由202340x n =-≥，且N n *∈，解得()505N n n *≤∈；因此，第506次循环：202345061x =-⨯=-，即=1x -，则1122y -==，输出12.故选：D.4.甲、乙两个口袋中均装有1个黑球和2个白球，现分别从甲、乙两口袋中随机取一个球交换放入另一口袋，则甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为（）A.23B.59C.49 D.13【答案】B 【解析】【分析】利用互斥事件以及独立事件概率乘法公式运算求解即可.【详解】由题意可知：若甲口袋的三个球中恰有两个白球，则从甲袋中取出的球为黑球，乙袋中取出的球为黑球，或从甲袋中取出的球为白球，乙袋中取出的球为白球，所以甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为1122533339=⨯+⨯=P .故选：B.5.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b是等比数列，若1592589,a a a b b b ++==，则28281a a b b +=+（）A.2B.C.32D.33【答案】C 【解析】【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.【详解】由题意可得15953258539a a a a b b b b ++==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得553a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以528228526311132+===+++a a a b b b .故选：C.6.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 的中点，F 为CD 边上一点，若2||AF AE AE ⋅= ，则AF =（）A.B. C.D.5【答案】D 【解析】【分析】建系，设[]0,4DF a =∈，根据题意结合向量的坐标运算求得3a =，即可得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设[]0,4DF a =∈，则()()()0,0,4,2,,4A E F a ，可得()(),4,4,2AF a AE ==，因为2||AF AE AE ⋅= ，即4820a +=，解得3a =，即()3,4AF = ，所以5AF AF === .故选：D.7.“π6ϕ=-”是“函数()sin 2y x ϕ=-的图象关于直线π6x =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的对称性结合充分、必要条件分析判断.【详解】若π6ϕ=-，则当π6x =，可得πππsin 2sin 1662⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭y ，为最大值，所以函数()sin 2y x ϕ=-的图象关于直线π6x =对称，即充分性成立；若函数()sin 2y x ϕ=-的图象关于直线π6x =对称，则ππ2π,62ϕ⨯-=+∈k k Z ，解得ππ,6ϕ=--∈k k Z ，π6ϕ=-不一定成立，即必要性不成立；综上所述：“π6ϕ=-”是“函数()sin 2y x ϕ=-的图象关于直线π6x =对称”的充分不必要条件.故选：A.8.已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点A 在C 上，若122F A F A =，121230,AF F AF F ∠=︒△的面积为，则C 的方程为（）A.22196x y -= B.22136x y -=C.22169x y -= D.22163x y -=【答案】B 【解析】【分析】先根据双曲线的定义求出21,F A F A ，在12AF F △中，利用正弦定理求出21AF F ，再根据三角形的面积公式求出2a ，利用勾股定理可求得2c ，进而可求出答案.【详解】因为122F A F A =，所以12F A F A >，又因为点A 在C 上，所以122F A F A a -=，即2222F A F A a -=，所以212,4F A a F A a ==，在12AF F △中，由正弦定理得211221sin sin AF AF AF F AF F =∠∠，所以1212sin 30sin 1AF AF F AF ︒∠==，又210180AF F ︒<∠<︒，所以2190AF F ∠=︒，故1260F AF ∠=︒，则122121sin 602AF F S AF AF =︒== 23a =，则()2222222121221641236F F c AF AF a a a ==-=-==，所以29c =，所以2226b c a =-=，所以C 的方程为22136x y -=.故选：B.9.甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有,,,,A B C D E 五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（）A.420 B.460C.480D.520【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用两个原理结合排列、组合应用列式计算即得.【详解】求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有2345C A 种方法，4个学校所选研学基地都不相同有45A 种方法，所以不相同的选择种数有234455C A A 660120480+=⨯+=（种）.故选：C10.若点P 是函数()sin cos xf x x x=+图象上任意一点，直线l 为点P 处的切线，则直线l 倾斜角的取值范围是（）A.π[0,3B.ππ[,)32C.π2π(,]23D.2π[,π)3【答案】C 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率的范围即可得解.【详解】函数23cos ()sin cos xf x x x=+中，sin cos 0x x +≠，即sin 21x >-，设点00(,)P x y ，。

四川省雅安市2021届新高考数学一月模拟试卷含解析

四川省雅安市2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．2C ．3D【答案】C 【解析】【分析】利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系. 【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于11=，所以223a b =，c e a ====故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.2．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（） A ．5ln 2+ B ．5ln 2- C ．3ln 2+ D ．3ln 2-【答案】A 【解析】【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-，而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴=那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 2AB f a f ===+⎝⎭故选：A ．【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题． 3．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00fββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.4．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（） A ．()()⋅f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数 D ．()()f x g x ⋅是奇函数【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【详解】解：()f x Q 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=，()()()()f x g x f x g x --=-g g ，故函数是奇函数，故A 错误， |()|()|()|()f x g x f x g x --=g g 为偶函数，故B 错误， ()|()|()|()|f x g x f x g x --=-g g 是奇函数，故C 正确． |()()||()()|f x g x f x g x --=g g 为偶函数，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 5．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（） A ．1- B ．12- C ．12D ．1【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ．【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a+b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．6．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C 【解析】【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案. 【详解】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒. 故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.7．若平面向量,,a b c r r r，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=r r r r r r r ，则||c b -r r 的最大值为（）A ．523B ．523C ．2133D ．2133【答案】C 【解析】【分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值. 【详解】由题意可得：()(2)c b c a b a b -=-++-r r r r r r r，2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=r r r rr r r r Q |2|213a b ∴-=r r2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-r r r r r r r r r r r r r r22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>r r r r r r r r r r r r r r r35223213cos ,2c a b a b =++<-++>r r r r r55439cos ,2c a b a b =+<-++>r r r r r55439+…25543952221333(2133)+=+⨯=Q ，故选：C 【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.8．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（） A ．48 B ．60 C ．72 D ．120【答案】A 【解析】【分析】对数字2分类讨论，结合数字135，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论【详解】数字2出现在第2位时，数字135，，中相邻的数字出现在第34，位或者45，位，共有22232212C A A =个数字2出现在第4位时，同理也有12个数字2出现在第3位时，数字135，，中相邻的数字出现在第12，位或者45，位，共有1222232224C C A A =个故满足条件的不同的五位数的个数是48个故选A 【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

四川省雅安市2021届新高考数学仿真第一次备考试题含解析

四川省雅安市2021届新高考数学仿真第一次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面向量a b r r ，满足21a b a r r r ＝，＝,与b r 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥r r r r +－，则实数λ的值为（） A ．7- B ．3-C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()()20a b a b λ+-=⋅r r r r，结合向量数量积的运算律，建立λ方程，求解即可.【详解】依题意得22113a b cos π⋅=⨯⨯=-r r 由()()20a b a b λ+-=⋅r r r r ，得()222210a b a b λλ-+-⋅=r r r r即390λ-+=，解得3λ=. 故选:D . 【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.2．已知非零向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r ，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4π，则||b =r （）A ．6B ．C ．D ．3【答案】D 【解析】【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．【详解】解：非零向量a r ，b r 满足0a b =r r g ，可知两个向量垂直，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4π，说明以向量a r ，b r 为邻边，a b +r r 为对角线的平行四边形是正方形，所以则||3b =r．故选：D ．【点睛】本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．3．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．2【答案】D 【解析】【分析】设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据123PA PA k k =可得22233y x a =-①，再根据又2200221x y a b -=②，由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．【详解】解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =，∴0000·3y y x a x a=+-，即2220033y x a =-，① 又2200221x y a b-=，②，由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，∴22223b a c a ==-， ∴2c a =，即2e =，故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．4．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为123n P -；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是11n P --.如果爬上来，其概率是()1113n P --，两种事件又是互斥的,可得()1121133n n n P P P --=+-，根据求数列的通项知识可得选项. 【详解】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为()1223n P n -≥； ②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是()11,2n P n --≥.如果爬上来，其概率是()()111,23n P n --≥，两种事件又是互斥的,∴()1121133n n n P P P --=+-，即11133n n P P -=+，∴1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，∴数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的等比数列，而123P =，所以111232nn P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，∴当10n =时，1010111232P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.5．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（）A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π【答案】B 【解析】【分析】根据条件先求出()g x 的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()cos 2cos 242g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设22x πθ=+，则当0x a <≤时，022x a <≤，22222x a πππ<+≤+，即222a ππθ<≤+，要使()g x 在区间[]0,a 上单调递减，则22a ππ+≤得22a π≤，得4a π≤，即实数a 的最大值为4π，故选：B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题. 6．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（） A ．±4 B ．4C ．14±D ．14【答案】A利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±．故选A ．【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．103B ．3C ．83D ．73【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．8．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且51PT AP -=，则51AT ES --=u u u r u uu r （）A ．512QR u u urB ．512RQ u u urC ．512RD u u urD ．512RC -u u ur【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【详解】解：5151AT SD SR RD -+-=-==u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r .故选：A 【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．9．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>，又由0.512c =>，所以c b a >>.本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10．已知a r ，b r ，c r 是平面内三个单位向量，若a b ⊥r r，则232a c a b c +++-r r r r r 的最小值（）A B ．C D ．5【答案】A 【解析】【分析】由于a b ⊥r r，且为单位向量，所以可令()1,0a =r ，()0,1b =r ，再设出单位向量c r 的坐标，再将坐标代入232a c a b c +++-r r r r r中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．【详解】解：设(),c x y =r ，()1,0a =r ，()0,1b =r ，则221x y +=，从而232+++-=r r r r r a c a b c==≥=故选：A 【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题． 11．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减，所以0a >，1()f x axx =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭，所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.12．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48 B ．72 C ．90 D ．96【答案】D 【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省雅安市2024届高三一模数学(理)试题(1)

一、单选题二、多选题1. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，EF //平面ABCD ，EF 与平面ABCD 的距离为2，该刍甍的体积为（）A ．6B．C．D ．122. 已知复数，那么（）A．B．C．D．3. 化简（）A ．4B ．6C ．8D ．164. 已知i为虚数单位，，则（）A．B．C．D．5. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（）.A．B．C．D．6. “”是“方程表示双曲线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.三个数的大小顺序为A．B．C．D．8. 已知，则关于复数的说法，正确的是（）A ．复数的虚部为B．C．D ．复数所对应的点位于复平面的第四象限9. 过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（）A ．点恒在以线段为直径的圆上B ．四边形面积的最小值为4C．的最小值为D ．的最小值为410. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（）A．的最大值为2B ．的最小值为4C．的最小值为D ．的最小值为11.已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（）A．的图象关于对称B．C ．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增D ．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为12.已知四棱柱的底面为正方形，，，则（）四川省雅安市2024届高三一模数学（理）试题(1)四川省雅安市2024届高三一模数学（理）试题(1)三、填空题四、解答题A．点在平面内的射影在上B ．平面C ．与平面的交点是的重心D．二面角的大小为13. _____14.在的展开式中，的系数为___________.15.设函数，给出下列四个结论：①的最小正周期为； ②的值域为；③在上单调递增； ④在上有4个零点.其中所有正确结论的序号是__________.16. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对两种型号的新型材料对应的产品各件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：使用寿命/材料类型1个月2个月3个月4个月总计A 20353510100B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：参考公式：回归直线方程，其中17. 已知函数．(1)若直线与曲线相切，求m 的值；(2)证明：（参考数据：）．18. 某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低点情况.交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数25未闯红灯数85合计20 0近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚．在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数51520未闯红灯人数9585180合计100100200将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：(1)将2×2列联表填写完整（不需要写出填写过程），并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；(3)结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议（至少提出两条建议）．19. 为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：运动鞋款式A B C D E回访顾客（人数）7035302540满意度注：1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；(2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望；(3)用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）20. 如图，在梯形中，，，，四边形是矩形，且平面平面.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当二面角的平面角的余弦值为，求这个六面体的体积.21. 如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.。

四川省雅安市2024届高三一模数学(理)试题 (2)

一、单选题二、多选题1. 冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）（1）中位数为3，众数为2 （2）均值小于1，中位数为1（3）均值为3，众数为4 （4）均值为2，标准差为A ．（1）（3）B ．（3）（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4）2. 若a ，b 是方程的两个根，且a ，b ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值为A ．-4B ．-3C ．-2D ．-13. 直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．4. 在锐角中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则（）A．B．C．D．5. 过原点的直线l与曲线交于A ，B 两点，现以x 轴为折痕将上下两个半平面折成60°的二面角，则|AB |的最小值为（）A ．2B．C ．4D ．126. 将英文单词“”中的6个字母重新排列，其中字母b 不相邻的排列方法共有（）A ．120种B ．240种C ．480种D ．960种7.已知向量，且，则（）A．B．C．D．8. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则（）A ．48B ．63C ．80D ．999. 函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是，已知，．下列四个判断中，正确的有（）A ．当时，的值只有0或B ．当时，函数既有对称轴又有对称中心C ．对于给定的正整数，存在，使得成立D．当时，对于给定的正整数，不存在且，使得成立10. 已知为坐标原点，圆：，则下列结论正确的是（）A．圆与圆内切B．直线与圆相离C．圆上到直线的距离等于1的点最多两个D ．过直线上任一点作圆的切线，切点为，，则四边形面积的最小值为四川省雅安市2024届高三一模数学（理）试题 (2)四川省雅安市2024届高三一模数学（理）试题 (2)三、填空题四、解答题11. （多选）甲罐中有个红球、个白球和个黑球，乙罐中有个红球、个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件、、表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（）A ．事件与事件不相互独立B．、、是两两互斥的事件C．D．12. 在长方体中，直线与平面、平面所成的角均为，则（）A．B．C ．直线与平面所成的角为D ．直线与所成的角为13. 命题“，”的否定是__________________．14. 某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有_______种．15.设是面积为1的等腰直角三角形，是斜边的中点，点在所在的平面内，记与的面积分别为，，且．当，且时，_________；记，则实数的取值范围为_________．16. 某企业举行招聘考试，共有人参加，分为初试和复试，初试成绩总分分，初试通过后参加复试．(1)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于分的人数；（精确到个位数）(2)复试共三道题，每答对一题得分，答错得分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为，求的分布列及期望.附：若随机变量服从正态分布，则：，，．17. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”与“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分．现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示．等级不合格合格得分频数(1)若测试的同学中，分数在、、、内女生的人数分别为人、人、人、人，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为性别与安全意识有关？(2)用分层抽样的方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望．附：，其中．18. 已知函数.（1）求函数的单调区间.（2）是否存在正整数，使不等式对任意恒成立？若存在，求出正整数的最大值；若不存在，请说明理由.19. 定义域为D的函数，若对给定的实数y，函数有最大值，我们称为的变换.（1）设，，求此时的变换；（2）求证：若，，则.20. 在梯形中，为钝角，，．(1)求；(2)设点为的中点，求的长．21. 设数列满足，.(1)证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.。

四川省雅安市2021届新高考数学一模考试卷含解析

四川省雅安市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =，则双曲线的离心率为( )A BC ．4D ．2【答案】D 【解析】【分析】设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据123PA PA k k =可得22233y x a =-①，再根据又2200221x y a b-=②，由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．【详解】解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =， ∴0000·3y y x a x a=+-，即2220033y x a =-，① 又2200221x y a b-=，②，由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，∴22223b a c a ==-， ∴2c a =，即2e =，故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题． 2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（） A ．7 B ．14C ．28D ．84【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，可求解得到114a =，利用求和公式和等差中项的性质，即得解【详解】56104a a a +=+Q ，111111465a d a d a d ∴+-=-+-解得114a =．121211121()21842a a S a +∴===．故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.3．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是32，则双曲线C 的焦距为（） A ．3 B ．32C ．6D ．2【答案】A 【解析】【分析】根据焦点到渐近线的距离，可得b ，然后根据222,cb c a e a=-=，可得结果. 【详解】由题可知：双曲线的渐近线方程为0bx ay ±= 取右焦点(),0F c ，一条渐近线:0l bx ay -=则点F 到l =222b a c +=所以b =222c a -=又2222399c c c a a a =⇒=⇒=所以223292c c c -=⇒=所以焦距为：23c = 故选：A 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程，以及,,,a b c e 之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为b ，属基础题.4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L ( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+【答案】B 【解析】【分析】由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论．【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==L L 35log 910==．故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 5．设集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}，则A∩B ＝（） A ．（﹣1，3]B ．[﹣1，3]C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}【答案】C 【解析】【分析】先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可．【详解】解：∵集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}＝{y|y ＞﹣1}， B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B ＝{0，1，2，3}，故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．6．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（） A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数伸缩变换特点可得到()g x 解析式；利用整体对应的方式可判断出()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B 错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D 错误. 【详解】将()f x 横坐标缩短到原来的12得：()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin x Q 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ()g x ∴在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；()g x 的最小正周期为：22T ππ== 2π∴不是()g x 的周期，B 错误；当12x π=-时，206x π+=，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()g x ∴关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.7．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎢⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【分析】①与点D P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠的正切值为3最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和．【详解】如图：①错误，因为()222211312D P DP DD =-=-= ，与点D 距离为3的点P 形成以1D 为圆心，半径为2的14圆弧MN ，长度为122242⋅π⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为63最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，所以正切值取值范围是6,23⎡⎤⎢⎥⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为21y +，21x +，22x y +，所以六个面上的正投影长度之()2222112112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．8．已知向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r ，若||||a b a b +=-r r r r，则m =（）A ．12-B ．12C ．-8D ．8【答案】B 【解析】【分析】先求出向量a b +r r ,a b -r r的坐标，然后由||||a b a b +=-r r r r 可求出参数m 的值.【详解】由向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r，则()1,4a b m +=-+r r ，()3,4a b m -=-r r()22||1+4a b m +=+r r ，()22||3+4a b m -=-r r又||||a b a b +=-r r r r ，则()()22221+4=3+4m m +-，解得12m =.故选：B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.9．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（）A ．63B ．34C ．12D 3【答案】A 【解析】【分析】联立直线方程与椭圆方程，解得B 和C 的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232c a =，由离心率定义可得结果. 【详解】由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得322x a b y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,22b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意知(),0F c ，所以3,2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，3,2b CF c a ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭u u u r .因为90BFC ∠=︒,所以BF CF ⊥,所以2222222331044442b a c BF CF c c c a c a ⎛⎫⎛⎫-⋅=+=-+=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .所以2232c a =，所以c e a ==，故选：A. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题. 10．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u= lny ，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v+2，则变量y 的最大值的估计值是（） A ．e B ．e 2C ．ln2D ．2ln2【答案】B 【解析】【分析】将u= lny ，v=(x-4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【详解】解：将u= lny ，v=(x -4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2得： ()2ln 0.542y x =--+，即()20.542x y e --+=，当4x =时，()20.542x --+取到最大值2，因为xy e =在R 上单调递增，则()20.542x y e --+=取到最大值2e .故选：B. 【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.11．在边长为2的菱形ABCD中，BD =将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（） A ．23π B ．2πC ．4πD ．6π【答案】D 【解析】【分析】取AC 中点N ，由题意得BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，易得点O 为ADC V 的中心，则三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，列出方程2222623r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可得解. 【详解】如图，由题意易知ABC V 与ADC V 均为正三角形，取AC 中点N ，连接BN ，DN ，则BN AC ⊥，DN AC ⊥，∴BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，则BO ⊥平面ACD ，由3BN ND ==，1cos 3BND ∠=可得3cos ON BN BND =⋅∠=，23OD =，232633OB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴13ON ND =即点O 为ADC V 的中心，∴三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ， ∴11BO DO r ==，126OO r =-,∴2222623r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得62r =， ∴三棱锥A BCD -的外接球的表面积为234462S r πππ==⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题. 12．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）A ．1?S >-B ．0?S <C ．–1?S <D ．0?S >【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图知当11=i 时，循环终止，此时1lg110S =-<，即可得答案. 【详解】1i =，1S =.运行第一次，11lg1lg30,33S i =+=->=，不成立，运行第二次， 131lg lg 1lg50,535S i =++=->=，不成立，运行第三次，1351lg lg lg 1lg70,7357S i =+++=->=，不成立，运行第四次，13571lg lg lg lg 1lg90,93579S i =++++=->=，不成立，运行第五次，135791lg lg lg lg lg 1lg110,11357911S i =+++++=-<=，成立，输出i 的值为11，结束. 故选：B. 【点睛】本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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