第三章稳定性分析

k =1
r
+∑
k =1
r
Ck − ξ k ωnk Bk 1 − ξ k2 ωnk
e−ξk ωnk t sin 1 − ξ k2 ωnk t
3.4 高阶系统的暂态响应
–结论 –（1）高阶系统的单位阶跃响应由两部分组成: 稳态分量 , 与时间t无关，余下的部分为动态分量，与时间t有关。 –（2）若极点在左半S平面，则对应的响应分量是收敛的。 –（3）系统闭环极点的实部越小，即在S平面左侧离虚轴 越近，则相应的分量衰减越慢，对暂态影响越大。反之， 系统闭环极点的实部越大… –（4）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在S平 面中的位置有关，并且与零点的位置有关。
ζ从0到1变化时的单位阶跃响应曲线 从 到 变化时的单位阶跃响应曲线 如下图： 如下图： 2.0
1.8 1.6 1.4 1.2 c(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
ζ=0
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
1
2
3
4
5
6 ωnt
7
8
9
10 11 12
劳斯判据
–系统的特征方程式的标准形式： –劳斯表(Routh Array)
a0 s n + a1 s n −1 + ⋯ + an −1 s + an = 0， a0 > 0
sn s n −1 a0 a1 a2 a3 c2 ⋮ ⋮ e2 a4 a5 c3 a6 a7 ⋯ ⋯
s n − 2 b1 b2 s n − 3 c1 ⋮ ⋮ s2 s1 s0 ⋮ ⋮ e1 f1 g1
劳斯判据： 劳斯判据：
– 系统特征方程的全部根都在S 系统特征方程的全部根都在S 左半平面的充 分必要条件是劳斯表的第1列系数全部是正数。 分必要条件是劳斯表的第1列系数全部是正数。 – 方程在S 方程在S右半平面根的个数等于劳斯表中第 列各元改变符号的次数。 1列各元改变符号的次数。
设系统特征方程为s 例3.4 设系统特征方程为 4+2s3+3s2+4s+5=0; 试用劳斯稳定判据 判别系统稳定性。 判别系统稳定性。 解：列出劳斯表 s 4 5 1 3
系统稳定的充分条件: 系统稳定的充分条件 充分条件 劳斯表第一列元素不变号!
若变号系统不稳定! 若变号系统不稳定 为特征根在S 个数! 变号的次数为特征根在 右半平面的个数
特殊情况2劳斯表出现零行 特殊情况 劳斯表出现零行
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
劳 斯 表
s4+5s3+7s2+5s+6=0
t →∞
• 线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根 线性系统稳定的充分必要条件： 都具有负实部. 都具有负实部 jω [S平面 平面] 平面 判别系统稳定性的基本方法： 判别系统稳定性的基本方法： 稳定区域 (1) 劳斯 古尔维茨判据 劳斯—古尔维茨判据 不稳定区域 σ (2) 根轨迹法 0 (3) 奈奎斯特判据 (4) 李雅普诺夫第二方法
sin(e−dπ / tgβ)100% = ω t+β
0.8） ）
由包络线求调节时间
典型例题 例3-1 系统结构图如下图所示,若要求具有性能 指标σ%=20%, tp=1s, 试确定系统的参数k和τ, 并计算单位阶跃响应的特征量td, tr和ts. 例 3-2 设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应 曲线如下图所示，试确定其传递函数，并计算 tr和ts.
动态性能指标定义1 动态性能指标定义
h(t) h(t)
A A 超调量σ% = 超调量σ% = 超调量 超调量 A 100% A 100% B B
峰值时间t B 峰值时间t 峰值时间 pp B 峰值时间 上 升 上 升 时间t 时间t 时间 r r 时间 调节时间t 调节时间 调节时间t 调节时间 s s
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
特殊情况1劳斯表介绍 特殊情况 劳斯表介绍
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 2 1 ε 0 3 4 2 -8 -8 5 6 7 7
1 2 3 4
7
(6 4)/2=1 (10-6)/2=2 (6-14)/1= -8
例3-3 已知图(a)系统的阶跃响应曲线如图(b)所 示，试求系统参数k1, k2和ɑ. 例3-4 已知系统的单位阶跃响应为 c(t)=1+e-t-2e-2t, (t≥0) 试求系统的传函，并确定系统的阻尼比ζ，自然 振荡频率wn，且在零初始条件下，求系统的单位 阶跃响应的超调量σ%和调节时间ts . (取△=5%)
ε
2
( s 2 + 1) ( s + 2 ) = 0
− p 3 = −2
− p1, 2 = ± j1 ,
劳斯判据
系统稳定的必要条件: 系统稳定的必要条件 必要条件 特征方程各项系数 均大于零! 均大于零
有正有负一定不稳定! 有正有负一定不稳定 缺项一定不稳定! 缺项一定不稳定
-s2-5s-6=0稳定吗？？ 稳定吗？？ 稳定吗
s + 2s + s + 2 = 0
3 2
解：列劳斯表
s3 s2 s1 s0
1 2
1 2
第1列各元中的上面和下面的系数符号 列各元中的上面和下面的系数符号 不变，故有一对纯虚根，系统不稳定， 不变，故有一对纯虚根，系统不稳定， 临界稳定状态）。 （临界稳定状态）。 将特征方程式分解， 将特征方程式分解，有 解得根为
3.4 高阶系统的暂态响应
–如果某极点-pj靠近一个闭环零点，远离原点及其它极点，则 相应项的系数Aj比较小，该暂态分量的影响也就越小。如果 极点和零点靠得很近（称为偶极子），则该极点对暂态响应 几乎没有影响。 –如果某极点-pj远离闭环零点，但与原点相距较近，则相应 的系数Aj将比较大。因此离原点很近并且附近没有闭环零点 的极点，其暂态分量项不仅幅值大，而且衰减慢，对系统暂 态响应的影响很大。
3.4 高阶系统的暂态响应
–用部分分式展得
q r Aj A0 Bk s + Ck X c (s) = +∑ +∑ 2 2 s j =1 s + p j k =1 s + 2ξ k ωnk s + ωnk
–单位阶跃响应为
xc (t ) = A0 + ∑ Aj e
j =1 q − p jt
+ ∑ Bk e −ξk ωnk t cos 1 − ξ k2 ωnk t
3.4 高阶系统的暂态响应
–（3）主导极点: (i)如果高阶系统中距离虚轴最近的极点， 其实部小于其它极点的实部的1/5; (ii)附近不存在零点，可 以认为系统的暂态响应主要由这一极点决定。 事实上取1/8 或1/10. – 如果找到一对共轭复数主导极点，那么，高阶系统就可 以近似地当作二阶系统来分析，并可以用二阶系统的暂态性 能指标来估计系统的暂态特性。 – 在设计一个高阶控制系统时，我们常常利用主导极点 这一概念选择系统参数，使系统具有一对共轭复数主导极点， 这样就可以近似地用一阶或二阶系统的指标来设计系统。
特
ε 2 +8 7 ε -8(2 +8) - 7 ε ε
2
ε 7
5 6 7
ε
–如果上面一行的第一列和下面一行的第一列符号 如果上面一行的第一列和下面一行的第一列符号 相同，这表明有一对纯虚根存在。 相同，这表明有一对纯虚根存在。
系统的特征方程如下,试用劳斯判据判断系统的稳定性。 例3-6 系统的特征方程如下,试用劳斯判据判断系统的稳定性。
b3 b4 ⋯ c4 ⋯
劳斯判据 • 劳斯判据采用表格形式，即劳斯表： 劳斯判据采用表格形式， 劳斯表：
sn s n −1 s s
n−2
a0 a1 a1a2 − a0 a3 c13 = a1 c13 a3 − a1c23 c14 = c13
a2 a3 a1a4 − a0 a5 c23 = a1 c13 a5 − a1c33 c24 = c13 ⋮
a4 a5
⋯ ⋯
a1a6 − a0 a7 c33 = ⋯ a1 c13 a7 − a1c43 c34 = ⋯ c13
n −3
•
s0 an 当劳斯表中第一列的所有数都大于零 大于零时 系统稳定 反之， 稳定； 当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；反之，
小于零的数时 不稳定。 如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定 如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符 号的改变次数，代表系统不稳定根的数目， 号的改变次数，代表系统不稳定根的数目，也就是系统正实部根 次数 的个数。 的个数。
3.3.5 高阶系统的时域分析
•特点：1) 高阶系统时间响应由简单函数组成。 特点： 高阶系统时间响应由简单函数组成。 特点 2) 如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。 如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。 都具有负实部 3) 时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环 时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小， 零点有关。 零点有关。 •分析方法：1) 可由系统主导极点估算高阶系统性能。 分析方法： 可由系统主导极点估算高阶系统性能。 分析方法 2) 忽略偶极子的影响。 忽略偶极子的影响。
tt
欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算
h(t)=j 1－√1-ξ
n
1
2
e
-ξωnt
ωn s2+2ξωns+ωn2 π-β 取其解中的最小值， 令h(t)=1取其解中的最小值， 得 t = 取其解中的最小值 β r ωd -ξω 令h(t)一阶导数 ， 一阶导数=0， 一阶导数 取其解中的最小值， 取其解中的最小值， 由σ%=