全等三角形在初中数学中的应用论文资料解读

曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目: 全等三角形的证明在初中数学中的应用作者、学号：李发蝌**********学院、年级：数学与信息科学学院2011级学科、专业：数学数学与应用数学********完成日期：2015年5月20日曲靖师范学院教务处全等三角形的证明在初中数学中的应用摘要“全等三角形的证明”是在初中数学平面几何中占重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中都有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。

其证明方法繁多，技巧性强，有一定的通法，所以研究范围极广，难度极大．论文整理和归纳了全等三角形证明的步骤及其注意事项，分别列举了几种常用的全等三角形的证明方法，让每一种方法兼有理论与实践性．旨在使学生对全等三角形证明及其应用问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关全等三角形问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考．关键词：全等三角形；初中数学；方法；应用Prove congruent triangles used in in junior high schoolmathematicsAbstract：“Entire and so on the triangle proofs” are account for one of important contents in the junior middle school mathematics plane geometry, is studies the graph nature the foundation, moreover tests in recent years all has the appearance, the new class sign request is “explores and grasps two triangles entire and so on the condition”, therefore the grasping triangle entire and so on the proof and said since birth using the method to the junior middle school very important.Its proof method is many, skillful, has certainly certainly passes the law, therefore the research scope is extremely broad, the difficulty is enormous. The paper reorganized and has induced entire and so on the triangle proof steps and the matters needing attention, has enumerated several kinds separately commonly used entire and so on the triangle proof methods, let each method have at the same time the theory and the practicality. Is for the purpose of making the student to entire and so on the triangles to prove and the application question has a more thorough understanding, then is connected entire when the solution and so on the triangle questions can achieve mastery through a comprehensive study of a subject, extrapolate, achieved the twice the result with half the effort effect, simultaneously for the worker who is engaged in the education provides the reference.Key word: Entire and so on triangles; Junior middle school mathematics; Method; Using目录1引言 (1)2文献综述 (1)2.1国内研究现状 (1)2.2国内研究现状评价 (2)2.3提出问题 (2)3证明全等三角形的知识梳理及注意事项 (2)3.1全等三角形的知识梳理 (2)3.2证明全等三角形的步骤及注意事项 (4)4证明全等三角形的构造法 (4)4.1构造全等三角形的常用方法 (5)4.1.1截长补短法 (5)4.1.2平行线法 (6)4.1.3旋转法 (6)4.1.4倍长中线法 (7)4.1.5翻折法 (8)4.2由角平分线构造全等三角形 (8)4.3添加辅助线构造全等三角形 (9)4.3.1直接证明线段（角）相等 (9)4.3.2转移线段到一个三角形中证明线段相等 (10)4.3.3转移线段到一个三角形中证明线段不等关系 (13)5全等三角形的证明在初中数学中的应用 (14)6总结 (18)6.1主要发现 (19)6.2启示 (19)6.3局限性 (19)6.4努力方向 (19)参考文献 (20)1引言“全等三角形”是初中数学阶段的“图形与几何”中的重要内容之一，它不仅是研究平面几何相关问题的重要工具,而且还是中学数学的基础知识.然而，全等三角形的性质是推理线段相等和角相等的重要手段之一.每年各地的中考题中都会有“全等三角形”的内容,考试题目常以直角三角形、等腰三角形、等边三角形、特殊四边形为背景,主要考查线段相等、角相等的证明、线段长度的计算、面积的计算等.常考的题型有填空题、选择题和解答题.这部分试题的难度通常不大,多以中低档题为主，约占总分值的4%至11%.《数学课程标准》对全等三角形的要求是让学生掌握基本的推理技能，从图形变换中建立空间观念，尝试用不同角度的方法来解决问题，发展几何直觉，通过观察、实践、归纳、类比、推断、验证获得数学思想，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的抽象性和严谨性.对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形之间联系研究的第一步，它是两三角形间最简单、最常见的关系.“全等三角形的证明”条件是学生在认识三角形的基础上，在了解全等图形和全等三角形以后进行学习的.它既是前面所学知识的延伸与拓展，又是后继学习探索相似三角形的条件的基础，并且是用以说明线段相等、两角相等的重要依据.因此，它具有承上启下的作用,同时，人教版教材里叙述了证明全等三角形的四种方法，分别是“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”，还有一种特殊的方法是在直角三角形中“斜边和一条直角边”，它们用特定的字母表示为“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”,主要将“边角边”这一识别方法作为五个基本判定之一，对全等三角形证明的学习有基础作用.2 文献综述2．1国内研究现状国内许多专家、学者研究过全等三角形的证明方法.全等三角形的证明一直在初中数学平面几何中占重要位置，然而，近几年它获得了广大人民群众的关注.刘建东在文[1]中编著了以构造全等三角形来探究不等式的证明，形象的写出了全等三角形的作用及其应用.同年，好未来研发中心在文[2]研发了添加了辅助线的添加方法，全等三角形的用处多，并配合人教社教材八年级数学叙述了不仅要让学生学会“边角边”这一全等三角形的识别方法，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟分类讨论的数学思想.同时，还要让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的基本事实，从而激发学生学习数学的兴趣.杨晓军在文[3]中精选了有关全等三角形的中考题进行解析，让同学们找到中考复习方向，引领学生成功中考.林伟杰在文[4]全析了全等三角形的性质、判定及其应用.刘申强在文[5]中编著了全等三角形在生活中的应用，从生活中的不同角度研究了全等三角形，发现数学在现实生活中的美.黎强在文[6]提出了《全等三角形》的教学构想，指出了如何确定教学目标，教学重难点.喻俊鹏在文[7]中，编著了全等三角形的易错题，并结合实例列举了初中数学中全等三角形的若干案例，分析出了学生在有关全等三角形的证明解题过程中存在的各种问题.刘玉东、董云霞、查贵宾在文[8]、[9]、[10]中探讨了构造全等三角形的方法与技巧.张文国在文[11]中总结了全等三角形的创新题，让读者以创新思维思考全等三角形的证明.保明华在文[12]中讨论了全等三角形中考探索题，让学生感受证明全等三角形的探索性和创新性，并且辅导学生掌握全等三角形的证明的方法.李怀奎在文[13]中指出如何对基本图形的认识来找全等三角形，从基本的图形认识开始发现全等三角形.解广义在文[14]中进行了全等三角形的教学设计，生动形象的设计了全等三角形证明的教学过程.姜彰全,吴颖二人在文[15]中讲解了如何巧证全等三角形，淋漓尽致地写出了全等三角形的证明技巧.2．2国内研究评价从查到的国内文献来看，国内研究者对全等三角形的证明方法介绍了很多，文献[1-15]分别全等三角形的性质、不同证明方法及应用作了论述，文献中阐述一种或几种全等三角形的证明方法，一些文献写理论较多，一些文献写例子较多，理论很少，而且许多方法有名称不一而本质一样的情形，如构造法在形式上都是根据三角形的性质来进行分解求解的，但不同的图形有不同的构造方法，所以，有必要重新整理和归纳全等三角形证明方法，让每一种方法兼具理论与实践性.2．3提出问题全等三角形的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，而且全等三角形的证明历来是中学特别是初中数学教学的一个重点和难点.因此，在前人研究全等三角形的证明方法的基础上，试图完整地整理出常用的几类方法，使之系统化，并在此基础上探寻新的证明方法.3 证明全等三角形的知识梳理及注意事项3．1全等三角形知识梳理定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形（注：相似三角形的特殊情况是全等三角形）.当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.所以，可以得出：全等三角形的对应角相等，对应边相等.(1) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(2) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，公共角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；三角形全等的判定公理及推论1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称“边边边”或“SSS”)，这一条说明了三角形具有稳定性.2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”).3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”).4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”).5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边，直角边”或“HL”).所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理.注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状.【A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)】全等三角形的性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等.2、全等三角形的对应边上的高对应相等.3、全等三角形的对应角平分线相等.4、全等三角形的对应中线相等.5、全等三角形面积相等.6、全等三角形周长相等[1].3．2证明全等三角形的步骤及注意事项如何学好全等三角形的证明呢？这就要小步走，勤思考，进行由易到难的训练，实现由实（题目已有现成图形）到虚（要自己画图形或需要添加辅助线）、由模仿证明到独立推理的升华.具体可分为三步走：第一步，学会解决只证一次全等的简单问题，重在模仿.这期间要注意课本例题证明的模仿，使自己的证明语言准确，格式标准，过程简练.证明两个三角形全等，一定要写出在哪两个三角形，这既为以后在复杂图形中有意识去寻找需要的全等三角形打下基础，更方便批阅者；同时要注意顶点的对应，以防对应关系出错；证全等所需的三个条件，条件不明显的要先证明，最后用大括号括起来；每一步要填注理由，训练思维的严密性.通过训练一段时间，对证明方向明确、内容变化少的题目，要能熟练地独立思考证明，切实迈出坚实的第一步.第二步，能在一个题目中用两次全等证明过渡性结论和最终结论，学会分析.在学习等腰三角形全等、直角三角形时逐步加深难度，学会一个题目中证两次全等，特别要学会用分析法有条不紊地寻找证题途径，分析法目的性强，条理清楚，结合综合法，能有效解决较复杂的题目.同时，这时的题目一般都不只一种解法，要求一题多解，比较优劣，总结规律.第三步，学会命题的证明，掌握添加辅助线的常用方法.命题的证明可全面培养数学语言（包括图形语言）的运用能力，则在已知和未知间架起一座沟通的桥梁就要用到辅助线，这都有一定的难度，切勿前功尽弃，放松努力.同时要熟悉一些基本图形的性质，如“角平分线＋垂直＝全等三角形”.证明全等不外乎要边等、角等的条件，因此在平时学习中就要积累存在或可推出边等（或线段等）、角等的情况.应用起来自然会得心应手.4 证明全等三角形的构造法所谓构造法，就是指通过分析条件和结论充分细致，抓住问题的特征，恰当地构造辅助元素，联想熟知的数学模型，然后变换命题，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学思考方法.构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出精巧、简捷、明快、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性.4．1构造全等三角形的常用方法截长补短法、平行线法（或平移法）、旋转法、倍长中线法、翻折法.4．1．1 截长补短法（通常用来证明线段和差相等）“截长法”即根据已知条件把结论中最大的线段分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等.例1如图（1）已知：正方形ABCD中，BAC∠的平分线交BC于E，求证：+=.AB BE AC简析：图中没有直接给出与问题有关的全等三角形，所以要延长一条直线，构造出全等三角形，根据角相等证明出三角形是等腰三角形，然后利用转换思想BE BF=，就可以证明出结果.证明:延长AB至F使AF AC=∵AE是CAB∠的平分线∴FAE CAE∠=∠在FAE∆中∆和CAE∵AF AC=∵FAE CAE∠=∠∵AE AE=∴()∆≅∆FAE CAE SAS∴45∠=∠=︒EFA ECA∴BFE∆是等腰直角三角形∴BE BF=∴AF AB BF AB BE=+=+∴AB BE AC+=小结：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上．证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：延长其中一条短线段，在上面上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”．证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法就是这两种．4．1．2平行线法（或平移法）若题目中含有中点可以试过中点作平行线或中位线（平行且等于第三边的一半），对直角三角形,有时可作出斜边的中线．例2 如图，在ABC∠=︒,AP平分BAC∠交BC于点P，C∆中，60∠=︒，40BAC+=+BQ平分ABC∠交AC于Q，求证:AB BP BQ AQ图（3）说明:(1)本题可以在AB截取AD AQ=，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法"．(2)本题利用“平行线法”的解法较多，举例如下：①如图（2），过O作//∆≅∆解决．OD BC交AC于D，则证明ADO ABO②如图（3），过O作//∆≅∆和DE BC交AB于D，交AC于E，则证明ADO AQO∆≅∆解决．ABO AEO③如图（4），过P作//PD BQ交AB的延长线于D，则需证明APD APC∆≅∆解决．④如图（5），过P作//PD BQ交AC于点D，则只需证明ABP ADP∆≅∆解决．4．1．3旋转法对题目中出现相等的线段有一个公共端点时，可尝试用旋转法来构造全等三角形例3 如图，设点P为等边三角形ABC内任一点，试比较线段PA与PB PC+的大小．图（6）简析：题目虽然短，但涉及到的知识点很多．由于ABC ∆是等边三角形，所以可以将ABP ∆绕点A 旋转60︒到ACP '∆的位置（用到等量代换），连结PP '，则()ACP ABP SAS '∆≅∆，所以AP AP '=，CP BP '=，则APP '∆是等边三角形，即PP PA '=，在CPP '∆中，因为PP PC P C ''<+，所以PA PB PC <+．说明：由于图形旋转的前后，只是变化了位置，而大小和形状都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形解题． 4．1．4倍长中线法题目中若条件有中线，可将其延长一倍，以构造新的全等三角形，从而使分散条件集中在一个三角形内．例4 如图，在ABC ∆中，AD 是它的中线，作BE 交AD 于点F ，使AE EF =． 说明线段AC 与BF 相等的理由．图（7）简析： 由于AD 是ABC ∆中线，于是可延长中线AD 到G ，使DG AD =，连结BG ，则 在ACD ∆和GBD ∆中，AD GD =，ADC GDB ∠=∠，所以ACD GBD ∆≅∆(SAS)， 则AC GB =，BFG G ∠=∠，而AE EF =，所以CAD AFE ∠=∠， 又因为AFE BFG ∠=∠，所以BFG G ∠=∠， BF BG =，即AC BF =．说明 ：要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形． 4．1．5翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．例5 如图，已知：在ABC ∆中，45A ∠=︒，AD BC ⊥，如果4BD =，3DC =， 求ABC ∆的面积．图（8）解：以AB 为轴将ABD ∆翻转180º，得到与它全等的ABE ∆，以AC 为轴将ADC ∆翻转180º，得到 与它全等的AFC ∆，EB 、FC 延长线交于G ，易证四边形AEGF 是正方形，设它的边长为χ，则4BG χ=-，3CG χ=-，在Rt BGC ∆中，222(4)(3)5χχ-+-=,解得8χ=，则6AD =，所以85202S ABC ∆=⨯=． 说明：当从题目已知中不能直接明确的求出问题时，我们可以从一般图形通过翻转转变为特殊的图形，用简便的方法求解，变换可以有一步或几步．4．2由角平分线构造全等三角形不管是两个图形轴对称还是轴对称图形，我们都不难发现轴上一点（此点作为顶点）与对应点组成的角被轴平分，方便我们在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把线段、角转移达到解题目的．例6 如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，45DBC ∠=︒，翻折梯形ABCD ，使点B 与点D 重合，折痕分别交AB 、BC 于点F 、E ．若4AD =，10BC =．求BE 的长．图（9） 图（10）解：由题意得根据翻折重合，得BFE DFE ∆≅∆，∴ DE BE =在BDE ∆中，DE EB =，且45EBD ∠=︒∴ 45EDB EBD ∠=∠=︒ ∴ 90BED ∠=︒，即BC DE ⊥，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，过A 作BC AG ⊥，交BC 于G ，如图（10），四边形AGED 是矩形∴ 4GE AD == 在Rt ABG ∆和Rt Rt DCE ∆中，DC AB =，DE AG = ∴Rt ABG Rt DCE ∆≅∆(HL)，∴ BG CG =∴()142CE BC AD =-= ∴6BE =．说明：由角平分线构造全等三角形，这类题是很简单的，可以根据角平分线上的点到两边的距离相等，就构造出直角三角形，进而对称轴就是公共边，就可以用HL 证明全等三角形.4．3添加辅助线构造全等三角形在证明几何图形题目的过程中，通常需要先通过证明全等三角形来研究转移线段或角，或者两条线段或角的相等关系。