实验三傅里叶变换及其性质
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。
这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。
性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。
这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。
这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。
性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。
这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。
设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。
这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。
以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。
这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。
这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。
傅里叶变换及其性质
αt
1
单边指数函数e-αt; (b) e-αt
的幅度谱
o
(b)
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
01 02 e(j)t (j)
01j
1
ja rcta n
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分
解
别为
F ( ) 1
2 2
( ) arctan
例 2.4-3 求图 2.43(a)所示 双边指数 函数的频 谱函数。
02 或
2
B
2(rad/s)
1
Bf
(Hz)
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的， 因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信 号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。 显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电
流信号，其平均功率均为 T
12 2
P f (t)dt 2.3.3 周期信号的功率T T2
( )
02
－
4
－
2
o
门函数； (b) 门函数的频谱；－ 4(c)－幅2 度谱； (d) 相位谱
o 2 4
2 4
－
(c)
(d )
f
(t)
e at
0
f (t)
例 2.4-2 求指数函数f(t)
的1频 谱 函 数 。 e－t (＞0)
o
t
(a)
t 0 ( 0)
t 0
图 2.4-2 单边指F(数)函数e-
性。
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
f (t) Fnejnt
2.2.1 指数形式的傅里叶级数 n
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:
实验三、图像的傅立叶变换
实验三、图像的傅立叶变换一、实验目的1了解图像变换的意义和手段；2熟悉傅里叶变换的基本性质；3熟练掌握FFT 的方法及应用；4通过实验了解二维频谱的分布特点；5通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。
二、实验原理1、应用傅立叶变换进行图像处理傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。
通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。
对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。
2、傅立叶（Fourier ）变换的定义对于二维傅立叶变换，其离散形式如\* MERGEFORMAT (1)所示：\* MERGEFORMAT (1)112001(,)(,)ux vy M N j M N x y F u v f x y eMNπ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦===∑∑逆变换公式如\* MERGEFORMAT (2)所示：\* MERGEFORMAT (2)11200(,)(,)ux vy M N j M N u v f x y F u v eπ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦===∑∑频谱公式如\* MERGEFORMAT (3)所示：\* MERGEFORMAT (3)(,)1222(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)j u v F u v F u v e R u v jI u v F u v R u v I u v ϕ==+⎡⎤=+⎣⎦图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。
实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。
3、利用MATLAB 软件实现数字图像傅立叶变换的程序设计主要使用的函数有：fft2/ifft2，fftshift ，abs ，angle fft2/ ifft2 %二维离散傅立叶变换/反变换fftshift %直流分量移到频谱中心real %取傅立叶变换的实部imag %取傅立叶变换的虚部sqrt(RR.^2+II.^2);%计算频谱幅值A=（A-min(min(A))）/(max(max(A))-min(min(A)))*255; %归一化三、实验步骤1.打开计算机，安装和启动MATLAB程序；程序组中“work”文件夹中应有待处理的图像文件；2.利用MatLab工具箱中的相关函数编制FFT显示频谱的函数;3.显示一副有格式图像的频谱、中心化后的频谱和相位谱；4.对一副有格式图像进行傅立叶变换，然后再对其进行反变换，显示反变换的结果；5.构造类似图1的一副图像，然后对其旋转60度，分别显示出它们的傅立叶频谱，验证傅立叶变换的旋转不变性。
傅里叶变换基本性质
傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。
傅里叶变换 实验报告
傅里叶变换实验报告傅里叶变换实验报告引言：傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
本次实验旨在通过实际操作和数据分析，深入了解傅里叶变换的原理、特性以及应用。
一、实验目的本实验的目的是通过实际操作，掌握傅里叶变换的基本原理，了解其在信号处理中的应用，并能够正确进行频域分析。
二、实验仪器和材料1. 信号发生器2. 示波器3. 计算机4. 傅里叶变换软件三、实验步骤1. 将信号发生器与示波器连接，并设置合适的频率和幅度，产生一个正弦信号。
2. 通过示波器观察并记录原始信号的时域波形。
3. 将示波器输出的信号通过音频线连接到计算机的输入端口。
4. 打开傅里叶变换软件，选择输入信号源为计算机输入端口，并进行采样。
5. 在傅里叶变换软件中，通过选择合适的窗函数、采样频率和采样点数，进行傅里叶变换。
6. 观察并记录变换后的频域波形，并进行分析。
四、实验结果与分析通过实验操作和数据分析，我们得到了信号的时域波形和频域波形。
在时域波形中，我们可以清晰地看到正弦信号的周期性特征，而在频域波形中，我们可以看到信号的频率成分。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，通过分析频域波形，我们可以得到信号的频率成分。
在实验中，我们可以通过改变信号发生器的频率和幅度，观察频域波形的变化，进一步理解傅里叶变换的原理和特性。
此外，傅里叶变换还可以用于信号滤波。
通过观察频域波形，我们可以选择性地去除某些频率成分，从而实现信号的滤波处理。
这在音频处理、图像处理等领域中具有广泛的应用。
五、实验总结本次实验通过实际操作和数据分析，深入了解了傅里叶变换的原理、特性以及应用。
傅里叶变换作为一种重要的数学工具，在信号处理、图像处理等领域中具有广泛的应用前景。
通过本次实验，我们不仅掌握了傅里叶变换的基本原理和操作方法，还深入了解了信号的时域和频域特性。
这对于我们进一步研究和应用傅里叶变换具有重要的意义。
总之，傅里叶变换是一项重要的数学工具，通过实际操作和数据分析，我们可以更好地理解和应用傅里叶变换，为信号处理和图像处理等领域的研究和应用提供有力支持。
傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合来描述时域和频域之间的关系。
在本文中，我们将探讨傅里叶变换的性质以及其在各个领域中的应用。
一、傅里叶变换的性质1. 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及函数f（t）和g（t），有以下等式成立：F（af（t） + bg（t））= aF（f（t））+ bF（g（t））其中F（f（t））表示对函数f（t）进行傅里叶变换后得到的频域函数。
2. 对称性质傅里叶变换具有一系列对称性质。
其中最为重要的对称性质为奇偶对称性。
当函数f（t）为实函数并满足奇偶对称时，其傅里叶变换具有如下关系：F（-t）= F（t）（偶对称函数）F（-t）= -F（t）（奇对称函数）3. 尺度变换性质傅里叶变换可以对函数的尺度进行变换。
对于函数f（a * t）的傅里叶变换后得到的频域函数为F（w / a），其中a为正数。
二、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用。
它可以将时域信号转换为频域信号，使得信号的频率成分更加明确。
通过傅里叶变换，我们可以分析和处理各种信号，例如音频信号、图像信号和视频信号等。
在音频领域中，傅里叶变换可以用于音乐频谱分析、滤波器设计和音频压缩等方面。
在图像处理领域中，傅里叶变换可以用于图像增强、图像去噪和图像压缩等方面。
2. 通信系统傅里叶变换在通信系统中具有重要的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域信号，并根据频域特性进行信号调制和解调。
傅里叶变换可以用于调制解调器的设计、信道估计和信号的频谱分析等方面。
在无线通信系统中，傅里叶变换也广泛应用于OFDM（正交频分复用）技术，以提高信号传输效率和抗干扰性能。
3. 图像处理傅里叶变换在图像处理中有广泛的应用。
通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行滤波、增强和去噪等操作。
实验三傅里叶变换及其性质
信息工程学院实验报告课程名称：信号与系统实验项目名称：实验3 傅里叶变换及其性质实验时间：2013-11-29班级： 姓名： 学号：一、实验目的:1、学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶（Fourier ）变换；2、学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图；3、学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。
二、实验环境:1、硬件：在windows 7 操作环境下；2、软件：Matlab 版本7.1三、实验原理：3.1傅里叶变换的实现信号()f t 的傅里叶变换定义为： ()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞--∞==⎰，傅里叶反变换定义为：11()[()]()2j t f t F F f e d ωωωωπ∞--∞==⎰。
信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方法，下面分别加以探讨。
同时，学习连续时间信号的频谱图。
3.1.1 MATLAB 符号运算求解法MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )和ifourier( )。
Fourier 变换的语句格式分为三种。
（1）F=fourier(f)：它是符号函数f 的Fourier 变换，默认返回是关于ω的函数。
（2）F=fourier(f,v)：它返回函数F 是关于符号对象v 的函数，而不是默认的ω，即()()jvt F v f t e dt ∞--∞=⎰。
（3）F=fourier(f,u,v)：是对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的函数，即()()jvu F v f t e du ∞--∞=⎰。
傅里叶反变换的语句格式也分为三种。
（1）f=ifourier(F)：它是符号函数F 的Fourier 反变换，独立变量默认为ω，默认返回是关于x 的函数。
（2）f=ifourier(F,u)：它返回函数f 是u 的函数，而不是默认的x 。
实验三傅里叶变换及其性质
信息工程学院实验报告课程名称：信号与系统实验项目名称：实验3 傅里叶变换及其性质实验时间：2013-11-29班级： ： 学号：一、实验目的:1、学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶（Fourier ）变换；2、学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图；3、学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。
二、实验环境:1、硬件：在windows 7 操作环境下；2、软件：Matlab 版本7.1三、实验原理：3.1傅里叶变换的实现信号()f t 的傅里叶变换定义为： ()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞--∞==⎰，傅里叶反变换定义为：11()[()]()2j t f t F F f e d ωωωωπ∞--∞==⎰。
信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方法，下面分别加以探讨。
同时，学习连续时间信号的频谱图。
3.1.1 MATLAB 符号运算求解法MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )和ifourier( )。
Fourier 变换的语句格式分为三种。
（1）F=fourier(f)：它是符号函数f 的Fourier 变换，默认返回是关于ω的函数。
（2）F=fourier(f,v)：它返回函数F 是关于符号对象v 的函数，而不是默认的ω，即()()jvt F v f t e dt ∞--∞=⎰。
（3）F=fourier(f,u,v)：是对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的函数，即()()jvu F v f t e du ∞--∞=⎰。
傅里叶反变换的语句格式也分为三种。
（1）f=ifourier(F)：它是符号函数F 的Fourier 反变换，独立变量默认为ω，默认返回是关于x 的函数。
（2）f=ifourier(F,u)：它返回函数f 是u 的函数，而不是默认的x 。
实验三用FFT对信号作频谱分析_实验报告
实验三用FFT对信号作频谱分析_实验报告一、实验目的1.学习使用FFT（快速傅里叶变换）对信号进行频谱分析；2.掌握频谱分析的基本原理和方法；3.熟悉使用MATLAB进行频谱分析的操作。
二、实验原理FFT是一种基于傅里叶变换的算法，可以将时域信号转换为频域信号，并将信号的频谱特征展示出来。
在频谱分析中，我们通过分析信号的频谱可以获得信号的频率、幅值等信息，从而对信号的性质和特征进行研究。
对于一个连续信号，我们可以通过采样的方式将其转换为离散信号，再利用FFT算法对离散信号进行频谱分析。
FFT算法可以将信号从时域转换到频域，得到离散的频谱，其中包含了信号的频率分量以及对应的幅值。
MATLAB中提供了fft函数，可以方便地对信号进行FFT分析。
通过对信号进行FFT操作，可以得到信号的频谱图，并从中提取出感兴趣的频率信息。
三、实验步骤1.准备工作：（2）建立新的MATLAB脚本文件。
2.生成信号：在脚本中，我们可以通过定义一个信号的频率、幅值和时间长度来生成一个信号的波形。
例如，我们可以生成一个频率为1000Hz，幅值为1的正弦波信号，并设置信号的时间长度为1秒。
3.对信号进行FFT分析：调用MATLAB中的fft函数，对信号进行FFT分析。
通过设置采样频率和FFT长度，可以得到信号的频谱。
其中，采样频率是指在单位时间内连续采样的次数，FFT长度是指离散信号的样本点数。
4.绘制频谱图：调用MATLAB中的plot函数，并设置x轴为频率，y轴为幅值，可以绘制出信号的频谱图。
频谱图上横坐标表示信号的频率，纵坐标表示信号的幅值，通过观察可以得到信号的频率分布情况。
四、实验结果在实验过程中，我们生成了一个频率为1000Hz，幅值为1的正弦波信号，并对其进行FFT分析。
通过绘制频谱图，我们发现信号在1000Hz处有最大幅值，说明信号主要由这一频率成分组成。
五、实验总结本实验通过使用FFT对信号进行频谱分析，我们可以方便地从信号的波形中提取出频率分量的信息，并绘制出频谱图进行观察。
实验三 离散傅里叶变换(DFT)
title('|X(k)|'); subplot(2, 2, 4); stem(k, angle(Xk)); %显示序列的相位谱 title('arg|X(k)|'); 由这个周期序列的实验我们可以看出，与例 1 相比，有限长序列 x(n) 可以看成是周期序列 x(n) 的 一个周期；反之，周期序列 x(n) 可以看成是有限长序列 x(n) 以 N 为周期的周期延拓。频域上的情况也 是相同的。从这个意义上说，周期序列只有有限个序列值有意义。 3）有限长序列 DFT 与离散时间傅里叶变换 DTFT 的联系 离散时间傅里叶变换（DTFT）是指信号在时域上为离散的，而在频域上则是连续的。如果离散 时间非周期信号为 x(n) ，则它的离散傅里叶变换对(DTFT)表示为：
~ ~
DTFT[ = x(n)] X = (e j w )
n = −∞
∑ x ( n) e
∞
− j wn
jw IDTFT[ X (e= )] x= ( n)
1 2π
−π
∫ X (e
π
ห้องสมุดไป่ตู้
jw
) e j wn d w
其中 X (e jω ) 称为信号序列的频谱。将频谱表示为
X (e j w ) = X (e j w ) eϕ ( w )
3.４实验报告
(1) 列写调试通过的实验内容程序，打印或描绘实验程序产生的曲线图形。 (2) 思考题：有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）与离散时间傅里叶变换（DTFT）有何联系与 区别？
② 画出原信号与傅里叶逆变换 IDFT[ X ( k ) ]的图形进行比较。 ，求 x(n) 周期重复次数为 3 次时的 DFS 和 (3) 已知周期序列的主值 x(n) ＝［7，6，5，4，3，2］ IDFS。要求： ① 画出原信号序列的主值和周期序列的图形。
信号_频域分析实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解信号的频域分析方法及其在信号处理中的应用。
2. 掌握傅里叶变换的基本原理和计算方法。
3. 学习使用MATLAB进行信号的频域分析。
4. 分析不同信号在频域中的特性，理解频域分析在实际问题中的应用。
二、实验原理频域分析是信号处理中一种重要的分析方法，它将信号从时域转换到频域，从而揭示信号的频率结构。
傅里叶变换是频域分析的核心工具，它可以将任何信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的线性组合。
三、实验内容及步骤1. 信号生成与傅里叶变换- 使用MATLAB生成一个简单的正弦波信号，频率为50Hz，采样频率为1000Hz。
- 对生成的正弦波信号进行傅里叶变换，得到其频谱图。
2. 频谱分析- 分析正弦波信号的频谱图，观察其频率成分和幅度分布。
- 改变正弦波信号的频率和幅度，观察频谱图的变化，验证傅里叶变换的性质。
3. 信号叠加- 将两个不同频率的正弦波信号叠加，生成一个复合信号。
- 对复合信号进行傅里叶变换，分析其频谱图，验证频谱叠加原理。
4. 窗函数- 使用不同类型的窗函数（如矩形窗、汉宁窗、汉明窗等）对信号进行截取，观察窗函数对频谱的影响。
- 分析不同窗函数的频率分辨率和旁瓣抑制能力。
5. 信号滤波- 设计一个低通滤波器，对信号进行滤波处理，观察滤波器对信号频谱的影响。
- 分析滤波器对信号时域和频域特性的影响。
6. MATLAB工具箱- 使用MATLAB信号处理工具箱中的函数，如`fft`、`ifft`、`filter`等，进行信号的频域分析。
- 学习MATLAB工具箱中的函数调用方法和参数设置。
四、实验结果与分析1. 正弦波信号的频谱分析实验结果显示，正弦波信号的频谱图只有一个峰值，位于50Hz处，说明信号只包含一个频率成分。
2. 信号叠加的频谱分析实验结果显示，复合信号的频谱图包含两个峰值，分别对应两个正弦波信号的频率。
验证了频谱叠加原理。
3. 窗函数对频谱的影响实验结果显示，不同类型的窗函数对频谱的影响不同。
二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波
实验三二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波一、实验目的1、了解图像傅里叶变换的物理意义；2、掌握频域滤波原理；3、熟悉傅里叶变换的基本性质；4、熟练掌握FFT的变换方法及应用；5、通过实验了解二维频谱的分布特点；二、实验平台计算机和Matlab语言环境三、实验内容1、数字图像二维傅里叶变换及其对数显示2、频域滤波器处理图像3、二维傅里叶变换的性质(比例变换性、旋转、可分性)四、实验步骤1、二维傅里叶变换的性质1> 二维傅里叶变换构造一幅图像，在64×64的黑色背景中产生一个5个白条纹，对其进行傅里叶变换f = zeros(64,64);for j=1:5f(:,j*10:j*10+1)=1;endF=fft2(f);Fc=fftshift(F);subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc),[ ]);title('图像傅里叶变换');2> 比例变换性将图像扩大到原来的2倍后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异fresize=imresize(f,2);fresize=fresize(31:94,31:94);Fresize=fft2(fresize);Fc1=fftshift(Fresize);subplot(1,2,1),imshow(fresize,[ ]);title('图像扩大2倍');subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc1),[ ]);title('图像扩大2倍后傅里叶');3> 旋转将图像旋转45度后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异frotate=imrotate(f,45);%图像旋转Frotate=fft2(frotate);Fc2=fftshift(Frotate);%图像旋转后做傅里叶变换subplot(1,2,1),imshow(frotate,[ ]);title('图像旋转');subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc2),[ ]);title('图像旋转后傅里叶');4> 可分性首先沿着图像的每一行计算一维变换，然后沿着中间结果的每一列计算一维变换，以此计算二维傅里叶for i=1:64fft_row(i,:)=fft(f(i,:));%沿着图像的每一行计算一维变换 endfor j=1:64fft_col(:,j)=fft(fft_row(:,j));%沿着中间结果的每一列计算一维变换 endFc3=fftshift(fft_col);figure,imshow(abs(Fc3),[ ]);title('两次fft');2、数字图像二维傅里叶变换及其对数显示1> 首先构造一幅图像，对其进行傅里叶变换f = zeros(30,30);f(5:24,13:17) = 1; %构造一幅图像fF=fft2(f); %对f作二维傅里叶变换S=abs(F); %因为F是复数，显示其模值 subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(S,[ ]);title('二维傅里叶频谱');2> 把低频分量移到图象中心，而把高频分量移到四个角上Fc=fftshift(F);figure,imshow(abs(Fc),[ ]);title('居中的频谱');3> 利用图象增强中动态范围压缩的方法增强2DFTS2=log(1+abs(Fc)); %使用对数变换后的频谱ff=ifft2(F); %逆变换ff_real=real(ifft2(F)); %取实部figure,imshow(abs(S2),[ ]);title('使用对数变换后的频谱');3、频域滤波器1> 理想低通滤波读取一幅图像，傅里叶变换后作中心变换，取低频模板HLPF与原图像相乘；clcf = imread('C:\Users\000000\Desktop\exp\exp3\a.tif');F=fft2(f);Fc=fftshift(F);[M N]=size(f);HLPF= zeros(M,N);HLPF(M/2-50:M/2+50,N/2-50:N/2+50) = 1; %保留低频成分Fc1=Fc.*HLPF; %理想低通滤波器处理F1=ifftshift(Fc1); %逆中心变换ff1=ifft2(F1); %理想低通滤波后逆变换 subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(abs(ff1),[ ]);title('理想低通滤波器处理后的图像');2> 巴特沃斯低通滤波器函数dftuv提供了距离计算的网格数组输出为[U,V]，D0=0.1*N;D=sqrt(U.^2+V.^2);[U,V]=dftuv(M,N);D0=0.1*N;D=sqrt(U.^2+V.^2);n=5;HBLPF=1./(1+(D/D0).^(2*n));HBLPF=fftshift(HBLPF);Fc2=Fc.*HBLPF;F2=ifftshift(Fc2);ff2=ifft2(F2);figure,imshow(abs(ff2),[ ]);title('巴特沃斯低通滤波器处理后的图像');3> 高斯低通滤波器HGLPF=exp(-(U.^2+V.^2)/(2*D0^2));HGLPF=fftshift(HGLPF);Fc3=Fc.*HGLPF;F3=ifftshift(Fc3);ff3=ifft2(F3);figure,imshow(abs(ff3),[ ]);title('高斯低通滤波器处理后的图像');4> 3种高通滤波器理想高通滤波器、巴特沃斯高通滤波器、高斯高通滤波器HHPF=1-HLPF;%理想高通滤波器传递函数HBHPF=1-HBLPF;%巴特沃斯高通滤波器传递函数HGHPF=1-HGLPF;%高斯高通滤波器传递函数Fc4=Fc.*HHPF;%理想高通滤波器处理Fc5=Fc.*HBHPF;%巴特沃斯高通滤波器处理Fc6=Fc.*HGHPF;%高斯高通滤波器处理F4=ifftshift(Fc4);ff4=ifft2(F4);%理想高通滤波后逆变换F5=ifftshift(Fc5);ff5=ifft2(F5);%巴特沃斯高通滤波后逆变换。
实验三 离散傅里叶变换及性质
实验3 离散傅里叶变换及性质1、实验目的(1)通过本实验的练习，了解离散时间信号时域运算的基本实现方法。
(2)了解相关函数的调用格式及作用。
(3)通过本实验，掌握离散傅里叶变换的原理及编程思想。
2、实验原理对于离散序列，存在着两种傅里叶变换——离散时间傅里叶变换(DTFT)和离散傅里叶变换(DFT)。
DTFT用以求出离散信号的连续频谱，它仅在时域上离散而在频域上是连续的；DFT用以求出连续频谱上的离散样本点，所以其在时域和频域上都是离散的。
对于一个离散序列x(n)，它的离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义为：离散时间傅里叶变换收敛的充分条件是x(n)绝对可加，即利用离散快速傅里叶变换函数计算傅里叶变换。
MATLAB提供了内部函数来快速地进行离散傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT)的计算，如下所列。
fft(x), fft(x,N), ifft(x), ifft(x,N)(1) fft(x)：计算L点的DFT，L为序列x的长度，即L=length(x)。
(2) fft(x,N)：计算N点的DFT。
N为指定采用的点数，当N>L，则程序会自动给x后面补N-L个零点；如果N<L，则程序会自动截断x，取前N个数据。
(3) ifft(x)：计算L点的IDFT，L为序列x的长度，即L=length(x)。
(4) ifft(x,N)：计算N点的IDFT。
N为指定采用的点数，当N>L，则程序会自动给x后面补N-L个零点；如果N<L，则程序会自动截断x，取前N个数据。
3、实验内容和方法1. 离散时间傅里叶变换DTFT【例3-1】求有限长序列x(n)=[1,2,3,4,5]的DTFT，画出它的幅值谱、相位谱、实部和虚部。
MATLAB程序如下：clf;x=[1,2,3,4,5];nx=[-1:3];w=linspace(0,2*pi,512);H=x*exp(-j*nx'*w);subplot(2,2,1); plot(w,abs(H)); ylabel('幅度'); grid on;%画幅度特性曲线subplot(2,2,2); plot(w,angle(H)); ylabel('相角'); grid on;%画相位特性曲线subplot(2,2,3); plot(w,real(H)); ylabel('实部'); grid on;%画幅度实部特性曲线subplot(2,2,4); plot(w,imag(H)); ylabel('虚部'); grid on;%画幅度虚部特性曲线set(gcf,'color','w');程序运行的结果如图3.1所示。
傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明
B
2
Bf
1
例3-7-1 例3-7-2
相移全通 网络
例3-7-3
例3-7-4（时移性质，教材3-2）
求图(a)所示三脉冲信号的 频谱。 解：
令f 0 t 表示矩形单脉冲 信号，其频谱函数 0 , F
f t
E
T
其中G t 为矩形脉冲，脉冲幅度 E， 为
E
f t
脉宽为 , 试求其频谱函数。 o t 解： 2 2 已知矩形脉冲 t 的频谱G 为 G (a)矩形调幅信号的波形 G E Sa 2 因为 1 f t G t e j 0t e j 0t 2 根据频移性质， t 频谱F 为 f 1 1 F G 0 G 0 2 2
f 0
f t
F 0
F
O
t
O
f t d t f 0
t 0
1 f 0 2 1 2
F e jt d F d
F 0
F d F 0B
B
f t d t
§4.3
傅里叶变换的性质
主要内容
对称性质 线性性质
奇偶虚实性
时移特性
尺度变换性质
频移特性
微分性质
时域积分性质
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
•了解特性的内在联系；
•用性质求F(ω)；
实验三用FFT对信号作频谱分析_实验报告
实验三用FFT对信号作频谱分析_实验报告一、实验目的1.理解离散傅里叶变换（FFT）的原理和应用；2.学会使用FFT对信号进行频谱分析；3.掌握频谱分析的基本方法和实验操作。
二、实验原理离散傅里叶变换（FFT）是一种用来将时域信号转换为频域信号的数学工具。
其基本原理是将连续时间信号进行离散化，然后通过对离散信号进行傅里叶变换得到离散频域信号。
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
在信号处理中，经常需要对信号的频谱进行分析，以获取信号的频率分量信息。
傅里叶变换提供了一种数学方法，可以将时域信号转换为频域信号，实现频谱分析。
在频谱分析中，我们常常使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法进行离散信号的频谱计算。
FFT算法可以高效地计算出离散信号的频谱，由于计算复杂度低，广泛应用于信号处理和频谱分析的领域。
频谱分析的流程一般如下：1.采集或生成待分析的信号；2.对信号进行采样；3.对采样得到的信号进行窗函数处理，以改善频谱的分辨率和抑制信号泄漏；4.使用FFT算法对窗函数处理得到的信号进行傅里叶变换；5.对傅里叶变换得到的频谱进行幅度谱和相位谱分析；6.对频谱进行解释和分析。
三、实验内容实验所需材料和软件及设备：1.信号发生器或任意波形发生器；2.数字示波器；3.计算机。
实验步骤：1.连接信号发生器（或任意波形发生器）和示波器，通过信号发生器发送一个稳定的正弦波信号；2.调节信号频率、幅度和偏置，得到不同的信号；3.使用数字示波器对信号进行采样，得到离散时间信号；4.对采样得到的信号进行窗函数处理；5.对窗函数处理得到的信号进行FFT计算，得到频谱；6.使用软件将频谱进行幅度谱和相位谱的分析和显示。
四、实验结果与分析1.信号频谱分析结果如下图所示：（插入实验结果图）从频谱图中可以看出，信号主要集中在一些频率上，其他频率基本没有，表明信号主要由该频率成分组成。
傅里叶变换实验报告
一、实验目的1. 理解傅里叶变换的基本原理及其在信号处理中的应用。
2. 掌握傅里叶变换的数学计算方法。
3. 利用MATLAB软件实现傅里叶变换，并对实验结果进行分析。
二、实验原理傅里叶变换是一种重要的信号处理方法，它可以将信号从时域转换到频域。
在频域中，信号的特征更加明显，便于分析和处理。
傅里叶变换的基本原理是将一个信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
傅里叶变换分为连续傅里叶变换（CFT）和离散傅里叶变换（DFT）。
CFT适用于连续信号，而DFT适用于离散信号。
在本实验中，我们将使用DFT。
三、实验步骤1. 利用MATLAB软件创建一个时域信号，如正弦波、方波或三角波。
2. 对信号进行采样，得到离散信号。
3. 使用MATLAB的fft函数对离散信号进行傅里叶变换。
4. 分析傅里叶变换后的频谱，观察信号在不同频率下的能量分布。
5. 对频谱进行滤波处理，提取感兴趣的特征。
6. 将滤波后的频谱进行逆傅里叶变换，还原信号。
四、实验结果与分析1. 信号创建在本实验中，我们创建了一个频率为50Hz的正弦波信号，采样频率为1000Hz。
2. 傅里叶变换使用MATLAB的fft函数对信号进行傅里叶变换，得到频谱。
观察频谱，发现50Hz 处的能量最大，与信号频率一致。
3. 滤波处理对频谱进行低通滤波，保留50Hz以下的频率成分，滤除高于50Hz的频率成分。
然后对滤波后的频谱进行逆傅里叶变换，还原信号。
观察还原后的信号，发现高频噪声被滤除，信号质量得到提高。
4. 逆傅里叶变换将滤波后的频谱进行逆傅里叶变换，还原信号。
观察还原后的信号，发现其波形与原始信号基本一致，但噪声明显减少。
五、实验结论1. 通过本实验，我们掌握了傅里叶变换的基本原理和计算方法。
2. 利用MATLAB软件可以方便地实现傅里叶变换，并对实验结果进行分析。
3. 傅里叶变换在信号处理中具有广泛的应用，如信号滤波、图像处理、通信等领域。
4. 本实验验证了傅里叶变换在噪声抑制方面的有效性，有助于提高信号质量。
傅里叶变换及其性质课件
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有 用，例如在通信系统中的振荡器设计 和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(-t)$ 的傅里叶 变换为 $overline{F(-omega)}$。
05
傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长 度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列，表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得 离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
02 03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，如滤波、去噪、压缩等。通 过对信号进行傅里叶变换，可以提取出信号中的特征信息，实现信号的 分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换，可以提取出图像中的特征信 息，实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换（DFT）
对时间域或空间域的信号进行离散采样，然后对离散的采样值进行傅里叶变换 。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换（FFT）
一种高效计算DFT的算法，能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样 值的 DFT，大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域 。
数字信号处理实验三离散时间傅里叶变换DTFT及IDTFT
数字信号处理实验三离散时间傅里叶变换DＴFT及ＩDTFＴ一、实验目的：(1)通过本实验,加深对DTFＴ和IＤＦT的理解。
(2)熟悉应用DTFT对典型信号进行频谱分析的方法.(3)掌握用MATLＡB进行离散时间傅里叶变换及其逆变换的方法。
二、实验内容：(1）自己生成正弦序列(如矩形序列，正弦序列，指数序列等），对其进行频谱分析,观察其时域波形和频域的幅频特性。
记录实验中观察到的现象,绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。
矩形序列：程序：Ｍ=１0；N=2*M+1；T=０.5;n=—４＊M：4＊M；x=［zeros(1，3＊M)，ｏnes(1,N）,zｅros（1，3*M)];w＝［-1５:0。
1：15]+1ｅ—10；X=sin（0．5*N＊ｗ＊T）./siｎ（0。
5*w＊T）;subplot（1，3,1）;stem（ｎ，x,'.＇）;axis（[－2０，20,-0。
1,1．1]），grｉd oｎxｌａｂｅl(＇n’），titlｅ(＇（a)序列幅度'）ｓuｂplｏt(１，3，２)，plot（w,X）,griｄｏnxlabｅl（'＼Omegａ’），titｌe（＇(b）幅频特性')subｐlｏｔ（1,3，3)，plｏｔ(w，Ｘ),ｇrｉｄonv=axis；axｉｓ([-pi/Ｔ,pi/T，v（３），ｖ(４)］）；ｘlabeｌ（’\Ｏｍｅga’），titｌe（＇（c）横轴放大后幅频特性'）sｅt（ｇcf,'color'，＇w＇）正弦序列：程序：n＝-10：1０；ｘ=sｉn（n*pi）；k＝－200：200;w＝（pi／１00）*ｋ;X=ｘ*(eｘｐ(—j＊pi／1０0)）．＾（n＇＊ｋ）;mａgX＝ａbs（X）;aｎgＸ=angｌe（X)；subplot(３，1,1);sｔem(ｎ，x，’。
ｋ＇）；titlｅ（＇x(n)=ｓin（πn）’）；subplot（３,１,2)；plｏｔ(w/ｐｉ,ｍagＸ,＇。
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频移的实现原理是将信号 f (t )
乘以载波信号 cos 0t 或 sin 0t ，从而完成频谱的搬移，即
1
f (t )cos 0t
[F (
0) F (
0 )]
2
j
f (t )sin 0t
[F ( 2
0) F(
0 )]
四、实验内容及结果分析 :
4.1 试用 MATLAB命令求下列信号的傅里叶变换，并绘出其幅度谱和相位谱。
（ 1） f1(t ) sin 2 (t 1) （ 2） f2 (t) (t 1)
2
sin( t) t
第一题的实验程序代码：
第二题的实验程序代码：
clc;clear;
clc;clear;
Ft=
ft = sym(
'(sin(pi*t)/(pi*t))^2'
[e j k n ] 。当 足够小时，上式的内积运算（即相乘求和运算）结果即为所求的连续时间信号傅里叶变换
2/7
的数值解。 3.2 傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质包含了丰富的物理意义，并且揭示了信号的时域和频域的关系。熟悉这些性质成为 信号分析研究工作中最重要的内容之一。 3.2.1 尺度变换特性
傅里叶变换的尺度变换特性为：若
f (t) F ( ) ，则有 f (at)
1 F ( ) ，其中， a 为非零实常数。
aa
3.2.2 频移特性 傅里叶变换的频移特性为：若 f (t ) F ( ) ，则有 f (t )e j 0t F (
0) 。频移技术在通信系统中
得到广泛应用， 诸如调幅变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。
fourier() 和
ifourier() 得到的返回函数，仍然是符号表达式。若需对返回函数作图，则需应用
ezplot() 绘图命
令。
3.1.3 MATLAB 数值计算求解法
fourier( ) 和 ifourier( ) 函数的一个局限性是，如果返回函数中有诸如单位冲激函数
(t) 等项，则
用 ezplot() 函数无法作图。对某些信号求变换时，其返回函数可能包含一些不能直接用符号表达的式子，
信息工程学院实验报告
课程名称：信号与系统
实验项目名称：实验 3 傅里叶变换及其性质实验时间： 2013-11-29
班级：
姓名： 学号：
成 绩： 指导教师（签名） ：
一、实验目的 :
1 、学会运用 MATLAB求连续时间信号的傅里叶（ Fourier ）变换； 2 、学会运用 MATLAB求连续时间信号的频谱图； 3 、学会运用 MATLAB分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。
当 足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。对于时限信号
f (t) ，或者在所研究的时间范围内让
f (t ) 衰减到足够小，从而近似地看成时限信号，则对于上式可以考虑有限
有
F( )
M1 jn
f (n )e ,
n0
0n M1
n 的取值。假设是因果信号，则
傅里叶变换后在 域用 MATLAB进行求解，对上式的角频率
因此不能对返回函数作图。此外，在很多实际情况中，尽管信号
f (t) 是连续的，但经过抽样所获得的信号
则是多组离散的数值量 f ( n) ，因此无法表示成符号表达式，此时不能应用
理，而只能用数值计算方法来近似求解。
fourier() 函数对 f(n) 进行处
从傅里叶变换定义出发有 F ( )
f (t)e j t dt lim f ( n ) e j n ， 0
进行离散化。假设离散化后得到
值，即
k 2 k, N
0 k N －1，
因此有 F ( k)
M1
f (n )e j kn ,0 k N 1 。采用行向量，用矩阵表示为
n0
N 个样
[ F ( k)]1T* N
[ f (n
)]1T* M [e j k n
]
T M
*
N
。其要点是要正确生成
f (t ) 的 M 个样本向量 [ f (n )] 与向量
的物理含义。 F ( ) 一般是复函数，可以表示成 F ( ) F ( ) e j ( ) 。 F ( ) ~ 与 ( ) ~ 曲线
分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱， 它们都是频率 的连续函数， 在形状上与相应的周期信
号频谱包络线相同。非周期信号的频谱有两个特点，密度谱和连续谱。要注意到，采用
Fourier 变换的语句格式分为三种。
（ 1） F=fourier(f) ：它是符号函数 f 的 Fourier 变换，默认返回是关于
的函数。
（ 2）F=fourier(f,v) ：它返回函数 F 是关于符号对象 v 的函数，而不是默认的 ，即 Fv()
ft(e) dt tvj 。
（ 3 ） F=fourier(f,u,v)
（ 3） f=ifourier(F,u,v)
：是对关于 v 的函数 F 进行反变换，返回关于 1/7
u 的函数 f 。
值得注意的是，函数 fourier( ) 和 ifourier( ) 式。 3.1.2 连续时间信号的频谱图
都是接受由 sym 函数所定义的符号变量或者符号表达
信号 f (t) 的傅里叶变换 F ( ) 表达了信号在 处的频谱密度分布情况， 这就是信号的傅里叶变换
f ( )ej td 。
信号的傅里叶变换主要包括 MATLAB符号运算和 MATLAB数值分析两种方法， 下面分别加以探讨。 同时，
学习连续时间信号的频谱图。
3.1.1 MATLAB 符号运算求解法
MATLAB符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数
fourier( ) 和 ifourier( ) 。
： 是对关 于 u 的函数 f 进行变换 ，返回 函数 F 是关于 v 的函 数，即
F (v)
f (t )e jvu du 。
傅里叶反变换的语句格式也分为三种。
（ 1）f=ifourier(F) ：它是符号函数 F 的 Fourier 反变换， 独立变量默认为 ，默认返回是关于 x 的函数。
（ 2） f=ifourier(F,u) ：它返回函数 f 是 u 的函数，而不是默认的 x。
二、实验环境 :
1 、硬件：在 windows 7 操作环境下； 2 ห้องสมุดไป่ตู้软件： Matlab 版本 7.1
三、实验原理：
3.1 傅里叶变换的实现
信号 f (t ) 的傅里叶变换定义为： F ( ) F [ f (t)]
f (t )e j tdt ，
傅里叶反变换定义为： f (t) F 1[ F ( )] 1 2