实验三傅里叶变换及其性质

信息工程学院实验报告

课程名称：信号与系统

实验项目名称：实验3 傅里叶变换及其性质实验时间：2013-11-29

班级： 姓名： 学号：

一、实验目的:

1、学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶（Fourier ）变换；

2、学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图；

3、学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。

二、实验环境:

1、硬件：在windows 7 操作环境下；

2、软件：Matlab 版本7.1

三、实验原理：

3.1傅里叶变换的实现

信号()f t 的傅里叶变换定义为： ()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞

--∞

==

⎰

，

傅里叶反变换定义为：1

1

()[()]()2j t f t F F f e d ωωωωπ

∞

--∞

==

⎰

。

信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方法，下面分别加以探讨。同时，学习连续时间信号的频谱图。 3.1.1 MATLAB 符号运算求解法

MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )和ifourier( )。Fourier 变换的语句格式分为三种。

（1）F=fourier(f)：它是符号函数f 的Fourier 变换，默认返回是关于ω的函数。 （2）F=fourier(f,v)：它返回函数F 是关于符号对象v 的函数，而不是默认的ω，即()()jvt F v f t e dt ∞

--∞

=

⎰

。

（3）F=fourier(f,u,v)：是对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的函数，即

()()jvu F v f t e du ∞

--∞

=⎰

。

傅里叶反变换的语句格式也分为三种。

（1）f=ifourier(F)：它是符号函数F 的Fourier 反变换，独立变量默认为ω，默认返回是关于x 的函数。 （2）f=ifourier(F,u)：它返回函数f 是u 的函数，而不是默认的x 。

（3）f=ifourier(F,u,v)：是对关于v 的函数

F 进行反变换，返回关于u 的函数f 。

值得注意的是，函数fourier( )和ifourier( )都是接受由sym 函数所定义的符号变量或者符号表达式。

3.1.2连续时间信号的频谱图

信号()f t 的傅里叶变换()F ω表达了信号在ω处的频谱密度分布情况，这就是信号的傅里叶变换的物理含义。()F ω一般是复函数，可以表示成()

()()j F F e

ϕωωω=。()~F ωω与()~ϕωω曲线

分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱，它们都是频率ω的连续函数，在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。非周期信号的频谱有两个特点，密度谱和连续谱。要注意到，采用fourier()和ifourier() 得到的返回函数，仍然是符号表达式。若需对返回函数作图，则需应用ezplot()绘图命令。

3.1.3 MATLAB 数值计算求解法

fourier( )和ifourier( )函数的一个局限性是，如果返回函数中有诸如单位冲激函数()t δ等项，则用ezplot()函数无法作图。对某些信号求变换时，其返回函数可能包含一些不能直接用符号表达的式子，因此不能对返回函数作图。此外，在很多实际情况中，尽管信号()f t 是连续的，但经过抽样所获得的信号则是多组离散的数值量()f n ，因此无法表示成符号表达式，此时不能应用fourier()函数对f(n)进行处理，而只能用数值计算方法来近似求解。

从傅里叶变换定义出发有0

()()lim ()j t

j n F f t e

dt f n e ωωω∞

∞

-∞

∆→-∞

--∆=

=∆∆∑⎰

，

当∆足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。对于时限信号()f t ，或者在所研究的时间范围内让

()f t 衰减到足够小，从而近似地看成时限信号，则对于上式可以考虑有限n 的取值。假设是因果信号，则

有

1

()(),

01M n j n F f n e n M ωω-=-∆=∆∆≤≤-∑

傅里叶变换后在ω域用MATLAB 进行求解，对上式的角频率ω进行离散化。假设离散化后得到N 个样值，即 2,0k k k N N π

ω=

≤≤∆

－1，

因此有 1

()(),01M n k j n F k f n e

k N ω-=-∆

=∆

∆≤≤-∑。采用行向量，用矩阵表示为

1*1**[()][()][]k j n T T

T N M M N F k f n e ω-∆=∆∆。其要点是要正确生成()f t 的M 个样本向量[()]f n ∆与向量[]j n k e

ω-∆

。当∆足够小时，上式的内积运算（即相乘求和运算）结果即为所求的连续时间信号傅里叶变换

的数值解。

3.2傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质包含了丰富的物理意义，并且揭示了信号的时域和频域的关系。熟悉这些性质成为信号分析研究工作中最重要的内容之一。 3.2.1 尺度变换特性

傅里叶变换的尺度变换特性为：若()()f t F ω↔，则有1()()f at F a a

ω

↔

，其中，a 为非零实常数。

3.2.2频移特性

傅里叶变换的频移特性为：若()()f t F ω↔，则有00()()j t

f t e

F ωωω↔-。频移技术在通信系统中

得到广泛应用，诸如调幅变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频移的实现原理是将信号()f t 乘以载波信号0cos t ω或0sin t ω，从而完成频谱的搬移，即

0000001

()cos [()()]

2

()sin [()()]

2

f t t F F j

f t t F F ωωωωωωωωωω↔++-↔+--

四、实验内容及结果分析:

4.1试用MATLAB 命令求下列信号的傅里叶变换，并绘出其幅度谱和相位谱。

（1）1sin 2(1)()(1)t f t t ππ-=- （2）2

2sin()()t f t t ππ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

第一题的实验程序代码：

clc;clear; Ft=

sym('sin(2*pi*(t-1))/(pi*(t-1))'); Fw = fourier(ft); subplot(211)

ezplot(abs(Fw));grid on

title('幅度谱');

phase = atan(imag(Fw)/real(Fw)); subplot(212)

ezplot(phase);grid on

title('相位谱');

第二题的实验程序代码：

clc;clear;

ft = sym('(sin(pi*t)/(pi*t))^2'); Fw = fourier(ft); subplot(211)

ezplot(abs(Fw));grid on

title('幅度谱');

phase = atan(imag(Fw)/real(Fw)); subplot(212)

ezplot(phase);grid on title('相位谱');

第一题实验结果如图1所示，第二题实验结果如图2所示。