基本图元生成算法共44页
合集下载
第4章 基本图元的生成
putpixel(xc+x,yc-y);
{ plotC(x,y,xc,yc); if(d<0)
putpixel(xc-x,yc+y); putpixel(xc-x,yc-y);
d+=4*x+6;
putpixel(xc+y,yc+x);
else {
putpixel(xc+y,yc-x);
d+=4*(x-y)+10;
d 1=F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b
增量d1-d=a+b * d>=0时，应取正右方的P1。 接着判断再下一个像素的选取，则需计算：
d2=F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)+c=d+a
增量d2-d=a * d的初值d0=F(x0+1,y0+0.5)=a(x0+1)+b(y0+0.5)+c
原理：每一步考察两个可能
Pi-1
Ti
的像素点中那一个更靠近理
t
论圆周，从而推出沿圆周的
s
整数位置。
为计算方便，先将圆心（xc,yc）
Si
移到原点(0,0)。
算法：
* 沿x方向每次递增1个单位，从x=0开始，x=y结束，起点坐
标（0,r）
* 已知Pi-1(xi-1,yi-1)是最接近圆周的像素点，那么下一个像素点 只有可能是Ti(xi-1+1,yi-1)或Si(xi-1+1,yi-1-1)
计算机图形学第3章 基本图形生成算法
基函数（基本样条） 在局部参数区域分布 （支撑区间），因此 影响范围有限。
例题：有点P0（4，3）；P1（6，5）；P2（10，
6 ）；P3（12，4），用以上4点构造2次B样条曲线。
2.1.7 非均匀有理B样条
非均匀有理B样条NURBS（Non Uniform Rational BSpline）；
3.2.2
Bresenham画圆法
该算法是最有效的算法之一。
不失一般性，假设圆心(xc，yc) ,圆上的点(x′，y′)，则：
x' x xc
y ' y yc
圆心为原点，半径为R的位于第一象限1/8圆弧的画法，即(0, R)～( R , R )。
2 2
yi )， 思想:每一步都选择一个距离理想圆周最近的点P( xi ， 使其误差项最小。
画其他曲线。
3.3
自由曲线的生成
正弦函数曲线
指数函数曲线
多项式函数曲线
自 由 曲 线
概率分布曲线及样条函数曲线
3.3.1 曲线的基本理论
基本概念
2.1.4
规则曲线：可用数学方程式表示出来的，如抛物 线等。
自由曲线：很难用一个数学方程式描述的，如高
速公路等。可通过曲线拟合(插值、逼近)的方法来
例题： 利用Bresenham算法生成P （0，0）到Q（6，5）的直 线所经过的像素点。要求先 列出计算式算出各点的坐标 值，然后在方格中标出各点。
（1，1）
3.1.5 双步画线法 原理
模式1：当右像素位于右下角时，中间像素位于底线 模式4：当右边像素位右上角时，中间像素位于中线 模式2和模式3：当右像素位于中线时，中间像素可能位于底线 上，也可能位于中线上，分别对应于模式2和模式3，需进一步 判断。 当0≤k≤1/2时，模式4不可能出现，当1/2≤k≤1时，模式1不 可能出现。
例题：有点P0（4，3）；P1（6，5）；P2（10，
6 ）；P3（12，4），用以上4点构造2次B样条曲线。
2.1.7 非均匀有理B样条
非均匀有理B样条NURBS（Non Uniform Rational BSpline）；
3.2.2
Bresenham画圆法
该算法是最有效的算法之一。
不失一般性，假设圆心(xc，yc) ,圆上的点(x′，y′)，则：
x' x xc
y ' y yc
圆心为原点，半径为R的位于第一象限1/8圆弧的画法，即(0, R)～( R , R )。
2 2
yi )， 思想:每一步都选择一个距离理想圆周最近的点P( xi ， 使其误差项最小。
画其他曲线。
3.3
自由曲线的生成
正弦函数曲线
指数函数曲线
多项式函数曲线
自 由 曲 线
概率分布曲线及样条函数曲线
3.3.1 曲线的基本理论
基本概念
2.1.4
规则曲线：可用数学方程式表示出来的，如抛物 线等。
自由曲线：很难用一个数学方程式描述的，如高
速公路等。可通过曲线拟合(插值、逼近)的方法来
例题： 利用Bresenham算法生成P （0，0）到Q（6，5）的直 线所经过的像素点。要求先 列出计算式算出各点的坐标 值，然后在方格中标出各点。
（1，1）
3.1.5 双步画线法 原理
模式1：当右像素位于右下角时，中间像素位于底线 模式4：当右边像素位右上角时，中间像素位于中线 模式2和模式3：当右像素位于中线时，中间像素可能位于底线 上，也可能位于中线上，分别对应于模式2和模式3，需进一步 判断。 当0≤k≤1/2时，模式4不可能出现，当1/2≤k≤1时，模式1不 可能出现。
第2章基本图形生成算法
)
if (Flag) { //X方向单位增量
for (n=0; n<= Length; n++) {//X方向插补过程
WritePixel(ix, Round(y), value); ix+=idx; y+=dy; } //End of for } //End of if else { //Y方向斜率增量
第 2 章 基本图形生成算法(Ⅰ)
1) Bresenham的基本原理
假定直线斜率 k在 0~1之间 。 此时 ， 只需考
虑 x方向每次递增 1个单位 ， 决定 y方向每次 递增 0或 1。
设直线的
当前点为 (xi,y) 当前光栅点为 (xi,yi)
下一个
直线的点应为 (xi+1,y+k) 直线的光栅点
y
y 2
y1
k
x x2 x1
第 2 章 基本图形生成算法(Ⅰ)
1)David F. Rogers 描述描述
如果已知第 i点的坐标 ， 可用步长 StepX 和 StepY得到
第 i+1点的坐标为 ： – xi+1=xi+ StepX – yi+1=yi+ StepY 或 yi+1=yi+ k * StepX
Bresenham算法
– 基本原理 – Bresenham算法 – 整数 Bresenham算法 – 一般整数 Bresenham算法
第 2 章 基本图形生成算法(Ⅰ)
2.1.1 DDA算法算法
1)David F. Rogers 描述描述
直线的基本微分方程是 ：
dy dx ＝ 常数 (k)
设直线通过点 P1(x1,y1)和P2(x2,y2) , 则直线方程可表示为 ：
if (Flag) { //X方向单位增量
for (n=0; n<= Length; n++) {//X方向插补过程
WritePixel(ix, Round(y), value); ix+=idx; y+=dy; } //End of for } //End of if else { //Y方向斜率增量
第 2 章 基本图形生成算法(Ⅰ)
1) Bresenham的基本原理
假定直线斜率 k在 0~1之间 。 此时 ， 只需考
虑 x方向每次递增 1个单位 ， 决定 y方向每次 递增 0或 1。
设直线的
当前点为 (xi,y) 当前光栅点为 (xi,yi)
下一个
直线的点应为 (xi+1,y+k) 直线的光栅点
y
y 2
y1
k
x x2 x1
第 2 章 基本图形生成算法(Ⅰ)
1)David F. Rogers 描述描述
如果已知第 i点的坐标 ， 可用步长 StepX 和 StepY得到
第 i+1点的坐标为 ： – xi+1=xi+ StepX – yi+1=yi+ StepY 或 yi+1=yi+ k * StepX
Bresenham算法
– 基本原理 – Bresenham算法 – 整数 Bresenham算法 – 一般整数 Bresenham算法
第 2 章 基本图形生成算法(Ⅰ)
2.1.1 DDA算法算法
1)David F. Rogers 描述描述
直线的基本微分方程是 ：
dy dx ＝ 常数 (k)
设直线通过点 P1(x1,y1)和P2(x2,y2) , 则直线方程可表示为 ：
CG No3-基本图元生成-1
LinYi University School of Informatics Wang Libo
Computer Graphics 计算机图形学
程序实现
DDALine(int X0,int Y0,int X0,int Y0,Color color) { int X float dx,dy,k,y dx=x1-x0; dy=y1-y0; k=dy/dx; y=Y0; for(x=X0;x<=X1;x++){ putpixel(x,int(y+0.5),Color); y=y+k; } }
getch(); closegraph( ); }
LinYi University School of Informatics Wang Libo
Computer Graphics 计算机图形学
2、逐点比较法
1.偏差计算 <0 画笔在OA下方，走+y 一步 d=tgβ-tgα = =0 画笔在OA上，走+x 一步 >0 画笔在OA上方，走+ x 一步 第一象限： d=ym/xm—yA/xA=(ymxA-yAxm)/xAxm 判别式：Fm=ymxA-xmyA >=0 走+x <0 走+y
Computer Graphics 计算机图形学
Computer Graphics
计算机图形学
基本图元的生成
LinYi University School of Informatics Wang Libo
Computer Graphics 计算机图形学
第二章 基本图元生成算法
几何图形Ｇ＝｛Ｐi | Pi 最接近图形的象素 ｝
精品课件-计算机图形学-第3章 基本图形元素生成算法
第 3 章 基本图形元素生成算法
图3.1 中点画线示意图
第 3 章 基本图形元素生成算法
设Q是理想直线与垂直线x=xP+1的交点。 若M 在Q的下方, 则P2离理想直线近, 应取为下一个像素; 否 则应取P1。 为此, 我们构造判别式
d=F(M)=F(xP+1,yP+0.5)=a(xP+1)+b(yP+0.5)+c 当d<0时, M在直线下方, 应取右上方的P2作为下 一个像素; 当d>0时, M在直线上方, 则应取正右方的P1; 当d=0时, 约定取正右方的P1。
根据以上分析, 可得中点画圆法算法如下: void MidPoint -Circle(r, color) int r, clor; { int x, y;
float d; x=0; y=r; d=1.25-r; putpixel(x, y, color); while(x<y)
{ if(d<0) { d+=2*x+3; x++; }
float k, e; dx=x1-x0; dy=y1-y0; k=dy/dx; e=-0.5; x=x0; y=y0;
第 3 章 基本图形元素生成算法
for(i=0; i<=dy; i++) { putpixel(x, y, color); x=x+1; e=e+k; if(e>=0){ y=y+1; e=e-1; } }
第 3 章 基本图形元素生成算法
x++; }
else { e+=(deltax+deltay); deltax+=2; deltay+=2; x++; y--; }
基本图形元素的生成算法
计 算 机 图 形 学
第三章 基本图形元素的生成算法
计 算 机 图 形 学
光栅显示器上显示的图形，称之为光栅图形。光 栅显示器可以看作是一个象素矩阵，在光栅显 示器上显示的任何一个图形，实际上都是一些 像素的集合。由于对一个具体的光栅显示器来 说，象素个数是有限的，象素的颜色和灰度等 级也是有限的，象素是有大小的，所以光栅图 形只是近似的实际图形。如何使光栅图形最完 美地逼近实际图形，便是光栅图形学要研究的 内容。确定最佳逼近图形的像素集合的过程称 为图形的扫描转换或光栅化。
计 算 机 图 形 学
第三章 基本图形元素的生成算法
a)
b)
图3.2 直线的生成
c)
计 算 机 图 形 学
直线的绘制首先要考虑的是绘制的质量。怎样才算高质量？ 当然，看上去要象直线。 ： 1. 画的直线应是直的 2. 线的端点位置应正确 3. 线的浓度应均匀 4. 直线生成的速度要快
第三章 基本图形元素的生成算法
（X1,Y1)的像素点，对应的显示缓冲器地址为： 字节地址= S + ( H / 8 ) * Y1 + ( X1 / 8 ) 的整数部分 字节内的位地址= X1 / 8 的余数 计 算 机 图 形 学
第三章 基本图形元素的生成算法
3.1.2 直线段的生成
数学上的直线是由无数个点构成的集合，显 然，光栅显示器只能近地似显示直线。对 于水平、垂直和45°斜线是可以达到较为 满意的效果的。当我们对直线进行光栅化 时，需要确定最佳逼近该直线的一组象素。 扫描转换直线段就是计算出落在直线段上 或充分靠近它的一串像素，并以此像素近 似代替原连续直线段在屏幕上显示的过程。
第三章 基本图形元素的生成算法
3.1直线的生成算法
计算机基本图形生成算法
给定圆心在原点，半径为整数R的圆，其方程为
x2 y2 R2
构造函数F(x,y)=x2+y2-R2。 对于圆上的点，有F(x,y)=0； 对于圆外的点，F(x,y)>0； 而对于圆内的点，F(x,y)<0。
31
y
Pu
PM
Pd
x
图5.13 中点Bresenham画圆的原理
中点Bresenham画圆
y
yi
k
19
改进的Bresenham算法
kd
k d
kd
k kd
图5.10 改进的Brensemham算法绘制直线的原理
改进的Bresenham算法——原理
xi1 yi1
xi
yi yi
1
1
(d 0.5) (d 0.5)
误差项的计算
d初=0， 每走一步：d=d+k
一旦y方向上走了一步，d=d-1
中点Bresenham画圆
判别式的初始值
d0 F ( x0 1, y0 0.5) F (1, R 0.5) 1 (R 0.5)2 R2 1.25 R
36
改进：用d-0.25代替d 此时有：
d d 2xi 3
d 0.25
d d 2(xi yi ) 5 d 0.25
yi-2
(xi 2)2 ( yi 0.5)2 R2
xi xi+1 xi+2
d2 ( xi 1 1)2 ( yi 0.5)2 R2 图5.14 d≤0的情况
( xi 1)2 2xi 3 ( yi 0.5)2 R2
d1 2xi 3
误差项的递推（d>0）
yi
P
yi-1
构造判别式：
x2 y2 R2
构造函数F(x,y)=x2+y2-R2。 对于圆上的点，有F(x,y)=0； 对于圆外的点，F(x,y)>0； 而对于圆内的点，F(x,y)<0。
31
y
Pu
PM
Pd
x
图5.13 中点Bresenham画圆的原理
中点Bresenham画圆
y
yi
k
19
改进的Bresenham算法
kd
k d
kd
k kd
图5.10 改进的Brensemham算法绘制直线的原理
改进的Bresenham算法——原理
xi1 yi1
xi
yi yi
1
1
(d 0.5) (d 0.5)
误差项的计算
d初=0， 每走一步：d=d+k
一旦y方向上走了一步，d=d-1
中点Bresenham画圆
判别式的初始值
d0 F ( x0 1, y0 0.5) F (1, R 0.5) 1 (R 0.5)2 R2 1.25 R
36
改进：用d-0.25代替d 此时有：
d d 2xi 3
d 0.25
d d 2(xi yi ) 5 d 0.25
yi-2
(xi 2)2 ( yi 0.5)2 R2
xi xi+1 xi+2
d2 ( xi 1 1)2 ( yi 0.5)2 R2 图5.14 d≤0的情况
( xi 1)2 2xi 3 ( yi 0.5)2 R2
d1 2xi 3
误差项的递推（d>0）
yi
P
yi-1
构造判别式：
计算机图形学基本图形生成算法
y= k· x+b
k=0.571429
b=0.428571
2 X[0]=1 y0 X[1]=2
Y[0]=1 Y[0]=1 Y[1]=kx[1]+b=1.57 Y[1]=y0+k=1.57 Y[2]=y1+k=2.14 Y[2]=kx[2]+b=2.14 Y[3]=y2+k=2.71 Y[3]=kx[3]+b=2.71 Y[4]=y3+k=3.28 Y[4]=kx[4]+b=3.28 Y[5]=y4+k=3.85 Y[5]=kx[5]+b=3.85 Y[6]=y5+k=4.4 Y[6]=kx[6]+b=4.4 Y[7]=5 Y[7]=5
第3章 基本图形生 成算法
1 直线生成算法(DDA、BRES) 2 圆生成算法（Mid） 3 多边形填充算法（扫描线、区域） 4 字符图元算法
2015/4/19
1
图元
• 图元：图形软件包中用了描述各种几何 图形元素的函数称为图形输出原语，简 称图元。 • 描述对象几何要素的输出图元一般称为 几何图元。点的定位和直线段是最简单 的几何图元。 • 在选定坐标系中指定一个图形的几何要 素后，输出图元投影到该输出设备显示 区域对于的二维平面上，并扫描转换到 帧缓存的整数像素位置。
2015/4/19
5
1 直线生成算法(DDA、BRES) 2 圆生成算法（Mid） 3 多边形填充算法（扫描线、区域） 4 字符图元算法
1 直线的DDA算法
2015/4/19
6
OpenGL画点和画线函数 1) 画点函数 glVertex*( ); (*={234}{sifd}[v]) 表示该函数有后缀，指 明空间尺寸、坐标数据类型或向量形式描述。 Ex: glBegin(GL_POINTS); glVertex2i(100,50); glEnd(); glBegin(GL_POINTS); glVertex2i(100,50); glVertex2i(75,90); glVertex2i(300,590); glEnd();
04 基本图形(元)生成技术
putpixel(x,y,color); while (x<x1) {
if (d<0) { x++; y++; d+=delta2; //取P2，并且计算下一点的d值 } else { x++; d+=delta1; //取P1，并且计算下一点的d值 } putpixel(x,y,color); } }
当|k|≤1时，让x每步增加1，y最多增加1，
然后用四舍五入的方法来确定直线上的
像 素 位 置 为 (x,round(y)) 。 设 当 前 点 为 (xi,yi)，则下一个像素xi+1 = xi +1，则 yi+1 =k xi+1 +B =k(xi+1)+B=(k xi +B)+k = yi +k 即当x每递增1时，y递增斜率k。
即可。
算法举例：
设直线的起点为（0，0），终点为（5， 3），按Bresenham 算法计算并确定个 像素点位置。
计算dx=5,dy=3,k=3/5=0.6,误差e=-0.5; x=0,y=0
(1) i=0: 输出像素(0,0)
x=1,e=e+k=-0.5+0.6=0.1>0, 则 有
y=y+1=1,e=e-1=0.1-1=-09
其中，a=y0-y1,b=x1-x0,c=x0y1-x1y0。
对于直线中的点，则有F(x,y)=0;对于直 线上方的点，则有F(x,y)>0;对于直线下 方的点，则有F(x,y)<0。
• 判断中点M在Q的上方，还是 在下方，只要将中点坐标 M(xi+1,yi+0.5) 代 入 F(x,y) 方 程 中，并判断它的符号。构造判 别式
if (d<0) { x++; y++; d+=delta2; //取P2，并且计算下一点的d值 } else { x++; d+=delta1; //取P1，并且计算下一点的d值 } putpixel(x,y,color); } }
当|k|≤1时，让x每步增加1，y最多增加1，
然后用四舍五入的方法来确定直线上的
像 素 位 置 为 (x,round(y)) 。 设 当 前 点 为 (xi,yi)，则下一个像素xi+1 = xi +1，则 yi+1 =k xi+1 +B =k(xi+1)+B=(k xi +B)+k = yi +k 即当x每递增1时，y递增斜率k。
即可。
算法举例：
设直线的起点为（0，0），终点为（5， 3），按Bresenham 算法计算并确定个 像素点位置。
计算dx=5,dy=3,k=3/5=0.6,误差e=-0.5; x=0,y=0
(1) i=0: 输出像素(0,0)
x=1,e=e+k=-0.5+0.6=0.1>0, 则 有
y=y+1=1,e=e-1=0.1-1=-09
其中，a=y0-y1,b=x1-x0,c=x0y1-x1y0。
对于直线中的点，则有F(x,y)=0;对于直 线上方的点，则有F(x,y)>0;对于直线下 方的点，则有F(x,y)<0。
• 判断中点M在Q的上方，还是 在下方，只要将中点坐标 M(xi+1,yi+0.5) 代 入 F(x,y) 方 程 中，并判断它的符号。构造判 别式
第四章基本图元的生成
4.5 区域填充
基础知识: 基础知识 区域： 区域：通常由一个封闭的轮廓线来定义，处于一个 封闭轮廓线内的所有像素点即构成了一个区域。 区域填充： 区域填充：给出一个区域的边界，要求对应边界范 围内的所有像素单元赋予指定的颜色值或图案。 区域填充要解决两个问题： 区域填充要解决两个问题：一是确定需要填充哪些 像素；二是确定用什么颜色填充（实心填充）或 图案填充。 在光栅系统中有两种基本的区域填充方法： 在光栅系统中有两种基本的区域填充方法： 扫描线填色方法 种子填色方法
一般来讲，任何图形输出设备都能准确地画出水 平线X和垂直线Y，但要画出一条准确的斜线不是 件容易的事。怎样生成斜线段呢？图形显示器是 由一个个排列有序的像素构成，划分的像素点越 多分辨率越高。例如，VGA卡640×480的显示 VGA 640 480 器，分成640×480个网络，网络的单元称为像素， 一条线段就是由一些连续可见的像素所组成。画 一条直线实际上是根据一系列计算出来并与该线 靠近的像素绘制的。（见书P51）
4.4 椭圆的生成
4.4.1 概述 4.4.2 中点椭圆算法
4.4.1 概述
椭圆被定义为到两个定点（也称为焦点） 的距离之和等于常数的点的集合。假如椭 圆上任意点P=（x,y）到两个焦点F1= （x1,y1）和F2=（x2,y2）的距离之和等于 常数R，那么椭圆的通用方程可表示为： 对方程平方处理去掉根号后，椭圆的方程 可表示为：
4.5.3 种子填充
种子填充算法允许从四个方向寻找下一个 像素的，称为四向算法；允许从八个方向 搜索下一像素的，称为八向算法。八向算 法可以填充八向连通区域，也可以填充四 向连通区域。但四向算法只能填充四向连 通区域，而不能填充八向填充区域。
4.5.3 种子填充
基本图形生成算法资料
4
直线的扫描转换
解 决 的 问 题 ： 给 定 直 线 两 端 点 P0(x0,y0) 和
P1(x1,y1)，画出该直线。
逐点比较法
数值微分法
Bresenham算法
中点Bresenham算法
改进的Bresenham算法
5
逐点比较法
所谓逐点比较法，是指在绘图过程中，绘图笔每画 一笔，就与目标图形相比较，然后决定下一步走向， 用步步逼近的方法画出目标图形。
第五章 基本图形生成算法
如何在指定的输出设备上根据坐标描述构造基本
二维几何图形（点、直线、圆、椭圆、多边形域、
字符串及其相关属性等）。
1
第五章 基本图形生成算法
图形生成的概念 直线段的扫描转换 圆的扫描转换 多边形的扫描转换与区域填充
2
图形生成的概念
图形的生成：是在指定的输出
设备上，根据坐标描述构造二
M 3 ( x3 , y3 )
M 2 ( x2 , y2 )
如图所示，设笔的当前位置 是 M1 ( x1, y1 ) ，此时 F1 y1xA yA x1 0 应走+y一步到 M 2，即:
x2 x1 y2 y1 1
M1 ( x1 , y1 )
o x
此处+1表示向正方向走一个设 备单位步长。这里，我们假设 x,y坐标值均已转换为当前设备 单位。
M ( xM , yM )
O X
yM y A d tg tg xM x A yM x A y A xM xM x A
当 d 0 时，表示笔在OA线段下方，根据约定，此 时应走+y一步；当 d 0 时，表示笔在OA线段上方 （或在OA线上），则应走+x一步。 这种算法只需判断d的正负，其值的大小并不重要。 对于第一象限，因为分母 xM xA 永远为正，所以只需 判断分子项的正负即可。我们得到偏差的判断公式 为：
直线的扫描转换
解 决 的 问 题 ： 给 定 直 线 两 端 点 P0(x0,y0) 和
P1(x1,y1)，画出该直线。
逐点比较法
数值微分法
Bresenham算法
中点Bresenham算法
改进的Bresenham算法
5
逐点比较法
所谓逐点比较法，是指在绘图过程中，绘图笔每画 一笔，就与目标图形相比较，然后决定下一步走向， 用步步逼近的方法画出目标图形。
第五章 基本图形生成算法
如何在指定的输出设备上根据坐标描述构造基本
二维几何图形（点、直线、圆、椭圆、多边形域、
字符串及其相关属性等）。
1
第五章 基本图形生成算法
图形生成的概念 直线段的扫描转换 圆的扫描转换 多边形的扫描转换与区域填充
2
图形生成的概念
图形的生成：是在指定的输出
设备上，根据坐标描述构造二
M 3 ( x3 , y3 )
M 2 ( x2 , y2 )
如图所示，设笔的当前位置 是 M1 ( x1, y1 ) ，此时 F1 y1xA yA x1 0 应走+y一步到 M 2，即:
x2 x1 y2 y1 1
M1 ( x1 , y1 )
o x
此处+1表示向正方向走一个设 备单位步长。这里，我们假设 x,y坐标值均已转换为当前设备 单位。
M ( xM , yM )
O X
yM y A d tg tg xM x A yM x A y A xM xM x A
当 d 0 时，表示笔在OA线段下方，根据约定，此 时应走+y一步；当 d 0 时，表示笔在OA线段上方 （或在OA线上），则应走+x一步。 这种算法只需判断d的正负，其值的大小并不重要。 对于第一象限，因为分母 xM xA 永远为正，所以只需 判断分子项的正负即可。我们得到偏差的判断公式 为：
基本图形的生成与计算-直线、圆、椭圆的生成
02
圆生成与计算
圆方程及性质
圆的标准方程
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中 $(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
圆的性质
圆上任意一点到圆心的距离等于 半径；圆的任意两条直径互相平 分；垂直于弦的直径平分该弦。
圆绘制算法
确定圆心和半径
根据实际需求或已知条件确定圆 心和半径。
使用图形库
使用参数方程来表示图形的形状和位置 。参数方程可以是显式的或隐式的，可 以是二维的或三维的。参数方程表示法 可以方便地描述复杂的曲线和曲面。
VS
矩阵表示法
使用矩阵来表示图形的变换和操作。矩阵 表示法可以统一处理平移、旋转、缩放等 变换，使得计算更加简洁和高效。同时， 矩阵表示法也便于进行图形的复合变换和 复杂操作。
图形组合与拆分
图形组合
将多个图形组合成一个复杂的图形。组合方式可以是叠加、相交、相减等。组合后的图形可以具有更 加丰富的形状和特性。
图形拆分
将一个复杂的图形拆分成多个简单的图形。拆分方式可以是沿着边界、中心点、特定点等进行拆分。 拆分后的图形可以更容易地进行处理和分析。
图形参数化表示
参数方程表示法
将图形的大小按比例缩放。缩放因子可以是 任意正数，大于1表示放大，小于1表示缩小 。缩放可以沿着不同的轴进行，得到不同的 效果。
对称和对齐操作
对称操作
将图形关于某一直线或点进行对称。对称轴可以是任意直线，对称点可以是任意点。对称操作可以得到原图形 的镜像。
对齐操作
将图形与另一图形或坐标系进行对齐。对齐可以是水平对齐、垂直对齐或中心对齐等。对齐操作可以使得图形 在视觉上更加整齐和美观。
03
椭圆生成与计算
第四章 基本图形生成算法
10,,111<≤∆∆=⎩⎨⎧+=+=++m x y m my y x x i i i i 其中：第四章 基本图形生成算法一、 直线的扫描转换1． 数值微分算法直接使用直线方程法、DDA 算法（增量算法）优点：DDA 算法比直接用直线方程的方法快：没有浮点乘法；缺点：求每个连续点时，需要浮点加法；加0.5舍尾取整，不利于硬件实现；表示长直线时，由于精度限制→累计误差；2． 中点画线法原理：1、确定与直线距离最近的点P ；2、利用点P 确定下一个点3． Bresenham 画线算法算法基本思想：每次迭代在增量最大方向上均走一步，其方向由增量的正负而定，另一方向上是否也走，取决于计算出来的点与直线上的点的误差，根据误差决定是否走一步。
例如取X 方向为最大增量方向，则有：算法优点：-快速增量算法；-要获得准确的数学结果，只需通过整数的加、减法和乘2运算；计算机中乘2可以容易的通过算术移位实现。
给出使用Bresenham 算法画斜率介于0到45度之间的直线所需的步骤。
-解答：§1、计算初始值：dx=x2-x1; dy = y2 – y1; lnc1=2dy; lnc2 = 2(dy – dx)；d = lnc1-dx§2、设置左下方的端点坐标为（x,y ）,同时将Xend 设为x 的最大值。
如果dx<0,则x=x2,y=y2,Xend=x1. 如果dx>0，则x=x1,y=y1,Xend=x2;§3、在当前（x ，y ）坐标画一个点；§4、判断整条线段是否已经画完，如果x=Xend ，则停止；§5、计算下一个象素的位置，如果d<0，那么d=d+lnc1，如果d>=0,则d=d+lnc2,且y=y+1;§6、增加x:x=x+1; §7、在当前的(x,y)坐标画一个点； §8、转到步骤4；)),(,22222r i i i i i y x x R y x R y x ，（利用隐函数方程取整−−→−-==+))sin (),cos ((sin cos i i R round R round R y R x θθθθ⎩⎨⎧==利用参数方程二、 圆与椭圆的扫描转换1、 圆的扫描转换两种直接离散方法：离散点 离散角度2、 resenham 画圆算法仅考虑圆心在原点，半径为R 的第一象限上的一段圆弧。
基本图元生成算法
计算机图形学
刘春晓
源程序
BresenhamCircle(int r, color)
{ int x,y,delta, d1, d2, dir x=0; y=r; delta = 2*(1-r) while(y>=0){ drawpixel(x,y,color); if(delta < 0){ d1 = 2* (delta + y) -1; if(d1 <=0) dir = 1; else dir = 2; } else if( delta > 0){ d2 = 2*(delta-x)-1; if(d2 <= 0) dir = 2; else dir = 3; } else dir = 2; 计算机图形学
则有：
⎧ yi + 1 yi +1 = ⎨ ⎩ yi
( d i < 0) ( d i ≥ 0)
P(xi,yi)
Pu(xi+1,yi+1) Q M(xi+1,yi+1/2) Pd(xi+1,yi)
图5-5 Brensemham算法生成直线的原理
计算机图形学
刘春晓
(xi+2,yi+1.5)
递推公式: di<0：
xi (b)
xi+1 xi+2
di>0的情况
判别式的初始值：
d 0 = F (1, R − 0.5) = 1 + ( R − 0.5) − R
2 2
= 1.25 − R
循环何时结束？
x>y
计算机图形学
刘春晓
圆弧的Bresenham算法:
判别式：
d i = F ( xM , yM ) = ( x i +1) 2 + ( yi − 0.5) 2 − R 2
刘春晓
源程序
BresenhamCircle(int r, color)
{ int x,y,delta, d1, d2, dir x=0; y=r; delta = 2*(1-r) while(y>=0){ drawpixel(x,y,color); if(delta < 0){ d1 = 2* (delta + y) -1; if(d1 <=0) dir = 1; else dir = 2; } else if( delta > 0){ d2 = 2*(delta-x)-1; if(d2 <= 0) dir = 2; else dir = 3; } else dir = 2; 计算机图形学
则有：
⎧ yi + 1 yi +1 = ⎨ ⎩ yi
( d i < 0) ( d i ≥ 0)
P(xi,yi)
Pu(xi+1,yi+1) Q M(xi+1,yi+1/2) Pd(xi+1,yi)
图5-5 Brensemham算法生成直线的原理
计算机图形学
刘春晓
(xi+2,yi+1.5)
递推公式: di<0：
xi (b)
xi+1 xi+2
di>0的情况
判别式的初始值：
d 0 = F (1, R − 0.5) = 1 + ( R − 0.5) − R
2 2
= 1.25 − R
循环何时结束？
x>y
计算机图形学
刘春晓
圆弧的Bresenham算法:
判别式：
d i = F ( xM , yM ) = ( x i +1) 2 + ( yi − 0.5) 2 − R 2
基本图形生成算法原理
基本图形生成算法原理现在的计算机能够生成各种复杂的图形，但无论其多么复杂，它都是由一些基本图形组合而成的。
因此，学习基本图形的生成算法是掌握计算机图形的基础。
本章就主要讨论一些基本图形的生成原理，如点、直线、椭圆生成。
如前面所述，目前我们使用的主要图形输出设备显示器（一般为光栅图形显示器）和打印机（喷墨、激光打印机）本质上是一种画点设备，是由一定数量的网络状细小光点（即像素）组成，使某些像素亮（将帧缓存中对应位置的值为1）和某些像素不亮（将帧缓存中对应位置的值为0）来显示图形。
因此，基本图形生成的原理是指在点阵输出设备的情况下，如何尽可能地输出最接近于原图形（理想图形）的直线或曲线图形，即以最快的速度确定最佳逼近于图形的像素集。
确定图形的像素集合并显示的过程常称之为图形的扫描转换或光栅化。
这一过程使用的计算方法称之为图形生成算法。
1 点2 直线段的生成直线是点的集合，几何学中的一条直线是由两点决定，直线在数学上可以有多种表示方法，而在计算机图形学里，直线是由离散的像素点逼近理想直线段的点的集合。
数学上的直线是没有宽度的，而计算机图形学中显示出的直线的宽度与像素点的大小有关，一个像素宽的直线的线粗为像素的边长。
由计算机生成的图形中有大量的直线段，而且曲线也是由一系列短直线段逼近生成的。
因此，研究直线生成的方法是计算机图形学的基本问题之一。
对计算机生成直线的一般要求是：线段端点的位置要准确；构成线段的像素点的集合应尽可能分布均匀，其密度应该与线段的方向及长度无关；线段生成的速度要快。
生成直线的算法有多种，这里仅介绍两种方法，即DDA 算法和Bresenham 算法。
2.1 直线DDA 算法该直线生成算法称为数值微分算法（Digital Differential Analyzer 简称DDA ）。
它是一种根据直线的微分方程来产生直线的方法。
设直线的起点坐标为),(s s y x ，终点坐标为),(e e y x ，则=dx dy k xy x x y y s e s e =∆∆=-- (3-1)k 是直线的斜率。
第5章基本图形生成算法-PPT精选
2019/11/11
华中理工大学计算机学院 陆枫 99-
18
7
yi1
xi1 xi yyii 1
1 (d (d
0.5) 0.5)
误差项的计算 • d初=0， • 每走一步：d=d+k • 一旦y方向上走了一步，d=d-1
2019/11/11
华中理工大学计算机学院 陆枫 99-
d F(xi 2, yi 1.5)
( x i + 1, y i + 0 . 5) ( xi, yi)
yi 1.5k(xi 2) b
d<0
yi 1.5k(xi 1) b k
d 1k
2019/11/11
华中理工大学计算机学院 陆枫 99-
13
7
ห้องสมุดไป่ตู้
误差项的递推
2019/11/11
华中理工大学计算机学院 陆枫 99-
16
7
改进：用2d△x代替d 1.输入直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。 2.计算初始值△x、△y、d=△x-2△y、x=x0、y=y0。 3.绘制点(x,y)。判断d的符号。 若d<0，则(x,y)更新为(x+1,y+1)，d更新为
31
7
y
Pu
P
M
Pd
x
图 5-11 中 点 Bresenham画 圆 的 原 理
2019/11/11
华中理工大学计算机学院 陆枫 99-
32
7
M的坐标为：M(xi +1,yi-0.5) •当F(xM,yM)<0时，取Pu(xi +1,yi) •当F(xM,yM)>0时，取Pd(xi +1,yi-1) •当F(xM,yM)=0时，约定取Pu。 构造判别式：
相关主题