空间解析几何与向量代数同济六版

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3. 平行向量对应坐标成比例: 当 a 0 时,
b a b a (bx , by, bz ) (ax , ay, az )
bx by bz ax ay az
【例2】P8例2
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【例3】已知两点 A( x1 , y1 , z1) , B( x2 , y2 , z2 ) 及实数λ≠-1
|a|
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【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是
解: 如图 M 为四边形ABCD 对角线的交点, 则
D
C
AB a1 b1 ，
b2
a2
a1
M b1
DC a2 b2
A
B
由已知 a1 a2 , b1 b2
所以 AB DC
所以ABCD为平行四边形.
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【例】P10例4, 5, 6
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3. 方向角与方向余弦
(1)夹角: AOB (a , b)
(2)方向角:向量与三坐标轴的夹角
, , 称为方向角
(3)方向余弦： OM r x2 y2 z2
cos
0时， a 与a 反向， 0时， a 0
(2)向量与数的乘法满足结合律, 分配律. 见P4 .
(3)
a0 则
若 0，则 a 0； 若a 0，则 0 .
(4)定理1.1：设 a 0 , 则 a / /b 1 R, 使得b a .
(5)与 a 同向的单位向量为：e ao a .
在直线AB上求一点 M , 使 AM MB .
解: 设 M 的坐标为 ( x , y , z) ,如图所示
A
M
AM OM OA
B
MB OB OM
o
由已知 AM MB .
A
OM OA (OB OM )
B
OM
1
1
(
OA
OB
M
(
x
,
y
,
z)
1
1
(
x1
x2
,
y1
y2
,
z1
z2
)
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1. 向量的模: 设 OM ( x , y , z ), 则由勾股定理得有
OM OP 2 OQ 2 OR 2
z R
M
x2 y2 z2 2. 两点间的距离公式
设A(x1, y1, z1), B (x2, y2, z2), 则
o
Q y
Px
N
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) | AB | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2. 向量的坐标表示
i , j , k 分别表示坐标轴x, y, z上的单位向量
(1)设点 M (x, y, z), 则 OM ON NM OA OB OC
x i y j zk 记为
( x, y, z)
z C
ko i
j
r
M B y
A
x
N
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四、利用坐标作向量的线性运算
3.零向量: | 0 | 0 方向任意.
4.单位向量: | a | 1 记为 ao , or e
5.平行向量: a / /b 方向相同, 或相反. (零向量与任何向量平行)
6.相等向量: 大小相等, 方向相同.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加减法 (1)加法：平行四边形法则：
b ab a
三角形法则:
(2)三角形法则可推广到多个向量相加 .
ab
b
a
(3)加法满足交换律，结合律见P2 .
a
(4)减法： a b a (b)
a b
b
(5)三角不等式 | a | | b | | a b || a | | b |
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2. 向量与数的乘法：
(1)定义：向量 a 与数λ的乘法记为 a , | a || | | a | 0时， a 与a同向，
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
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z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
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§1 向量及其线性运算
第一次课
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
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一、向量的概念
1.向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
B
AB a
Aa
2.向量的大小(模) : | AB || a |
1. 设 a ( ax , ay , az ), b (bx , by , bz ) , λ为实数，则 a b (ax bx , ay by , az bz )
a ( ax , ay , az )
2.已知两点 A( x1 , y1 , z1) , B( x2 , y2 , z2 ) 则 AB OB OA ( x2, y2, z2 ) ( x1, y1, z1) ( x2 x1, y2 y1, z2 z1)
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系(右手系)
• 坐标原点
Ⅲ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
(横轴)
Ⅷ
z (竖轴) yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅱ
Ⅰ
y
(纵轴) Ⅵ
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在直角坐标系下
点 M 11 (x, y, z) 11 向径 r
特殊点的坐标 :
(称为点M的坐标)
第八章 空间解析几何与向量代数
向量代数
空间直角坐标系 向量
向量 向量运算：加减法，数量积，向量积
平面与直线
平面——法向量 直线——方向向量 距离，夹角
空间曲线与曲面：曲线与曲面表示法
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§1 向量及其线性运算 §2 数量积，向量积 §3 平面及其方程 §4 空间直线及其方程 §5 曲面及其方程 §6 空间曲线及其方程
由
(
x
,
y
,
z)
1
1
(
x1
x2
,
y1
y2
,
z1
z2
)
得定比分点公式:
x
x1 x2 1
,
y
y1 y2 1
,z
z1 z2 1
当λ=1时，点 M 为 AB 的中点 , 于是
得中点公式:
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2
2
2
2
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五、向量的模、方向角、投影