求圆的切线方程的几种方法

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2 求圆的切线方程的几种方法

四川省冕宁中学 谢玉

在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题:求过已知圆上一点的切线方程,除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法,现将这些方法归纳整理,以供参考。

例：已知圆的方程是x ２ + y 2 ＝ r 2，求经过圆上一点Ｍ(ｘ0,y 0)的切线的方程。

解法一：利用斜率求解

同样适用。在坐标轴上时上面方程当点所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得的切线方程是：经过点，则，设切线的斜率为如图M .

.

.

)(,.112002202020200000

000

00r y y x x r y x M y x y y x x x x y x y y M y x k x y k k k k OM OM =+=++=+--=--=∴=-=⋅ 解法二:利用向量求解

()

.

..

)(0

PM OM )

,(PM ),,OM PM OM ,p 22002202020200000000000r y y x x r y x M y x y y x x y y y x x x y y x x y x y x =+=++=+=-⨯+-⨯∴=•∴--==⊥所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：）（（，∵的坐标，设切线上的任意一点如图

（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在)

解法三:利用几何特征求解

用。

重合时上面方程同样适和当所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：∵的一点，设直线上不同于如图M P r y y x x r y x M y x y y x x y x y y x x y x OP PM OM PM

OM y x P y x M .

..

)()()

,(),(2200220202020002

220

2020202

2200=+=++=++=-+-++∴=+∴⊥

解法四：用待定系数法求解

图1

图2

2 / 2 1、 利用点到直线的距离求解

程同样适用。

当斜率不存在时上面方所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得 代入⑴式解得：所以⑵式可化为：因为 ⑵

化简整理得：

到切线的距离等于半径

原点 ⑴

即：则直线方程为：

为设所求直线方程的斜率.

.

.

202)(1)0,0(O 0),(,200220202020000020002202

2

02020200220220

00000r y y x x r y x M y x y y x x y x k x k y x k y r y x y r k y x k x r r k kx y kx y y kx x x k y y k =+=++=+-==++=+=-++-=+-=-+--=-

2、 利用直线与圆的位置关系求解:

程同样适用。当斜率不存在时上面方所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得 代入⑴式解得：所以⑵式可化为：因为 ⑵

整理得：得 消去 由）

（即：则直线方程为：

为设所求直线方程的斜率..

.

202)(0

)2)(1(4)(40

2)(2)1(010),(,200220202020000020002202

202020200220220020220220022002

02200022222000000r y y x x r y x M y x y y x x y x k x k y x k y r y x y r k y x k x r r x ky x k y k kx y k r x ky x k y x kx y k x k y r y x kx y y kx kx y y kx x x k y y k =+=++=+-==++=+=-++-=--++--=∆=--++-++⎩

⎨⎧=+=-+-=-+--=-

这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点,也可以用这些方法求解。

同样一道题，思路不同，方法不同,难易程度不同。显然在以上的几种解法中，用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章,很多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法,同学们下来可以尝试。