反三角函数与最简三角方程

反三角函数：1、概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，称为反正弦函数，记作x y arcsin =.注意： sin ()y x x R =∈，不存在反函数.2、含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.3、反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式：sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1],arcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π] arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π。

最简单的三角方程其中： （1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±； 若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。

二、典型例题：例1. 函数，，的反函数为（）y x x =∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥sin ππ232[]A y x x .arcsin =∈-，，11 []B y x x .arcsin =-∈-，，11[]C y x x .arcsin =+∈-π，，11 []D y x x .arcsin =-∈-π，，11例2. 函数，，的图象为（）y x x =∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥arccos(cos )ππ22（A ） （B ）（C ） （D ）例3. 函数，，的值域为（）y x x =∈-arccos(sin )()ππ323A B ..πππ656056，，⎛⎝⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎫⎭⎪C D ..ππππ323623，，⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎫⎭⎪例4.使arcsin arccos x x >成立的x 的取值范围是( )A B ..022221，，⎛⎝ ⎤⎦⎥⎛⎝ ⎤⎦⎥ [)C D ..-⎡⎣⎢⎫⎭⎪-12210，，例5. []若，则（）022<<+⎡⎣⎢⎤⎦⎥++=αππαπαarcsin cos()arccos sin()A B C D ....πππαπα222222----例6. 求值：(1)3sin 2arcsin 5⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (2)11tan arccos 23⎛⎫ ⎪⎝⎭分析：arcsin()arcsin()sin --⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-352235表示，上的角，若设，则易得ππαα=-352，原题即是求的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类sin α问题的关键是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。

例7.画出下列函数的图像（1）)arcsin(sin x y = （2）]1,1[),sin(arccos -∈=x x y例8.已知)23,(,135sin ),2,0(,2572cos ππββπαα∈-=∈=求βα+（用反三角函数表示）分析：可求βα+的某一三角函数值，再根据βα+的范围，利用反三角函数表示角。

例9.已知函数2()arccos()f x x x =-（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式：()(21)f x f x <+例10.写出下列三角方程的解集(1)sin()82x π-=; (2)2cos310x +=; (3)cot 3=例11.求方程tan(3)4x π+=[]0,2π上的解集.例12.解方程22sin 10x x +=例13. 解方程①3sin 2cos 0x x -=②222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=例14.解方程：2cos 21x x -= (2)5sin312cos3 6.5x x -= 思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程例15.解方程22sin 3cos 0x x +=．例16.解方程：tan()tan()2cot 44x x x ππ++-=例17.已知方程sin 0x x a +=在区间[]0,2π上有且只有两个不同的解，求实数a 的取值范围。

[说明]对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．（1）sin sin αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z αππβ=+-∈； （2）cos cos αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z απβ=-∈； （3）tan tan αβ=，则,k k Z απβ=+∈．参考答案： 典型例题:例1. 分析与解：ππ232≤≤x ∴∉-⎡⎣⎢⎤⎦⎥x x ππ22，，需把角转化至主值区间。

∴-≤-≤-==ππππ22x x x y ，又sin()sin由反正弦函数定义，得π-=x y arcsin ∴=--≤≤x y y πarcsin ，又由已知得11 []∴=-∈-所求反函数为，，y x x πarcsin 11 例2. 分析与解：解析式可化简为，，，，y x x x x x ==∈⎛⎝ ⎤⎦⎥-∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪arccos(cos )0220ππ即，，，，显然其图象应为（）y x x x x A =∈⎛⎝ ⎤⎦⎥-∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪0220ππ 例3. 分析与解： 欲求函数值域，需先求，，的值域。

u x x =∈-sin ()ππ323-<<∴-<≤-<≤ππ323321321x x u ，，即sin []而在，上为减函数y u =-arccos 11 ∴->≥arccos()arccos arccos 321u 即，故选（）056≤<y B π例4. 分析与解：该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x 的取值范围，故需把x 从反三角函数式中分离出来，为此只需对arcsinx ，arccosx 同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。

若，则，，而，x x x ≤∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥0202arcsin arccos πππ此时不成立，故arcsin arccos x x x >>0若，则，，，x x x >∈⎛⎝ ⎤⎦⎥∈⎛⎝ ⎤⎦⎥00202arcsin arccos ππ而在区间，上为增函数y x =⎛⎝ ⎤⎦⎥sin 02π又arcsin arccos sin(arcsin )sin(arccos )x xx x >∴>即，解不等式，得x x x >->1222|| 又，故选（）01221<≤∴<≤x x B 例 5. 分析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。

arcsin cos()arcsin(sin )arcsin(sin )παααα2+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-=-=-[]arccos sin()arccos(sin )arccos(sin )πααπα+=-=-=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--=+ππαππαπαarccos cos()(),222∴=-++=原式，故选（）()()απαπ22A例6. 解：（）设，则13535arcsin()sin -==-αααππαα∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥∴=-=221452，，cos sin∴==⋅-⋅=-sin sin cos ()()22235452425ααα即sin arcsin()2352425-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-（）设，则21313arccos cos ==αα[]απαα∈∴=-=012232，sin cos ∴=-=-=tg ααα2111322322cos sin 即tg 121322arccos ⎡⎣⎢⎤⎦⎥= 例7. (1)函数是以π2为周期的周期函数 当]2,2[ππ-∈x 时，x x =)arcsin(sin 当]23,2[ππ∈x 时，x x -=π)arcsin(sin 其图像是折线，如图所示：(2) ∵ ],0[arccos π∈x∴)1(1)(arccos cos 122≤-=-=x x x y其图像为单位圆的上半圆（包括端点）如图所示：例8. 解：∵)2,0(πα∈∴5cos ,5322cos 1sin ==-=ααα 又∵)23,(ππβ∈∴13122sin 1cos -=--=ββ 6556)135(54)1312(53sin cos cos sin )sin(-=-⨯+-⨯=+=+βαβαβα∵2253sin ),2,0(<=∈απα ∴40πα<<又∵),23,(,135sin ππββ∈-=∴135arcsin +=πβ 又∵4135arcsin 0π<< ∴45πβπ<< ∴23πβαπ<+<从而6556arcsin+=+πβα 讲评：由题设)23,(),2,0(ππβπα∈∈，得)2,(ππβα∈+由计算6556)sin(-=+βα∴6556arcsin 26556arcsin -=++=+πβαπβα或，但βα,是确定的角，因而 βα+的值也是唯一确定的。

所以必须确定βα+所在的象限，在以上的解法中，由βα,的范围，再根据βαcos ,sin 的值，进一步得到)45,(),4,0(ππβπα∈∈从而确定βα+)23,(ππ∈，故得出正确的答案：6556arcsin +=+πβα例9. 解：（1）由112≤-≤-x x 得251251+≤≤-x 又]1,41[41)21(22-∈--=-x x x ∴)(x f 的定义域为]251,251[+-，值域为]41arccos ,0[-π 又∵]21,251[-∈x 时，x x x g -=2)(单调递减，x y arccos =单调递减，从而)(x f 递增 ∴)(x f 的单调递增区间是]21,251[-，同理)(x f 的单调递减区间是]251,21[+ （2）)]212()212arccos[()arccos()212()(22+-+<-+<x x x x x f x f 即即)414arccos()arccos(22-<-x x x∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-≤-≤-≤-≤-41414141112222x x x x x x 解不等式组得6121<<-x ∴不等式的解集为)61,21(-例10.解集{x|x=(k π+arctg3)2，k ∈Z}例11.说明 如何求在指定区间上的解集？(1)先求出通解，(2)让k 取适当的整数，一一求出在指定区间上的特解，(3)写指定区间上的解．例12. 解：方程化为22cos 3cos 30x x --=说明 可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解．例13.②除以cos 2x 化为2tg 2x-3tgx-2=0．说明 关于sinx ，cosx 的齐次方程的解法：方程两边都除cos n x(n=1，2，3，…)(∵cosx=0不是方程的解)，转化为关于tgx 的方程来解．例14. 思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程2x-30°=k180°+(-1)k 30°∴x=k90°+(-1)k15°+15°(k ∈Z)所以解集是{x|x=k90°+(-1)k15°+15°，k ∈Z}于是x=k60°+(-1)k 10°+22°38′，(k ∈Z) ∴原方程的解集为{x|x=k60°(-1)k 10°+22°38′，k ∈Z}最简单的三角方程．例15. 解 原方程可化为 22(1cos )3cos 0x x -+=，即 22cos 3cos 20x x --=．解这个关于cos x 的二次方程，得cos 2x =，1cos 2x =-． 由cos 2x =，得解集为φ；由1cos 2x =-，得解集为22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭． 所以原方程的解集为22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭． [说明]方程中的2sin x 可化为21cos x -，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当0∆≥时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解．例16. 解：tg(x ＋4π)＋tg(x －4π)＝2ctg x ………① ∴ x x tg 1tg 1-+＋x x tg 1tg 1+-＝x tg 2………②, 去分母整理得tg 2x ＝31, tg x ＝±33, ∴ x ＝k π±6π, k ∈Z , 由①根据定义知x ＋4π≠k π＋2π, x －4π≠k π＋2π, x ≠k π, k ∈Z , 即 x ≠k π＋4π, x ≠k π＋43π, x ≠k π, 而②中又增加了限制条件x ＝k π＋2π, k ∈Z , 即从①到②有可能丢根，x ＝k π＋2π, 经验算x ＝k π＋2π是原方程的根， ∴ 原方程的解集是{x | x ＝ x ＝k π±6π或x ＝k π＋2π, k ∈Z } 例17. 解：由sin x ＋3cos x ＋a ＝0得2sin(x ＋3π)＝－a , sin(x ＋3π)＝－2a , －2≤a ≤2 ∵ x ∈[0, 2π], ∴ x ＋3π∈[3π, 2π＋3π], 又原方程有且只有两个不同的解，∴ a ≠2, a ≠－2, 即|a |＝2时，原方程只有一解； 又当a ＝－3时，sin(x ＋3π)＝23，得x ＋3π＝3π或32π或37π, 解得x ＝0或x ＝3π或x ＝2π,此时原方程有三个解，∴ a ∈(－2, －3)∪(－3, 2).。