反三角函数的概念和性质
反角函数的概念和性质
反三角函数的概念和性质一．基本知识：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x,x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；个人收集整理勿做商业用途3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；个人收集整理勿做商业用途4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；个人收集整理勿做商业用途5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1],arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；个人收集整理勿做商业用途6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；个人收集整理勿做商业用途7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。
例一．下列各式中成立的是（C）。
（A）arcctg(－1)＝－（B）arccos(－)＝－C）sin[arcsin(－)]＝－（D）arctg(tgπ)＝π解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],个人收集整理勿做商业用途(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。
三角函数的反三角函数与复合函数
三角函数的反三角函数与复合函数三角函数是数学中重要的基础概念之一，它们在几何学、物理学等许多学科中都有广泛的应用。
而与三角函数密切相关的是它们的反函数，即反三角函数。
反三角函数是指对于一个给定的三角函数值，通过逆运算得到的角度值。
反三角函数的概念在解三角方程、求解几何问题等方面有着重要的作用。
一、反三角函数的定义及性质反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）是三种常用的反三角函数。
它们的定义及性质如下：1. 反正弦函数（arcsin）：对于给定值y，满足-1≤y≤1，那么反正弦函数的定义为sin(x) = y，其中x∈[-π/2, π/2]。
反正弦函数的性质包括单调递增、奇函数性质等。
2. 反余弦函数（arccos）：对于给定值y，满足-1≤y≤1，那么反余弦函数的定义为cos(x) = y，其中x∈[0, π]。
反余弦函数的性质包括单调递减、偶函数性质等。
3. 反正切函数（arctan）：对于给定值y，反正切函数的定义为tan(x) = y，其中x∈(-π/2, π/2)。
反正切函数的性质包括周期性、奇函数性质等。
二、反三角函数的应用反三角函数的主要应用之一是解三角方程。
对于给定的三角函数表达式，当需要求解该表达式的取值时，可以通过反三角函数将三角函数转化为角度，在求解时可以更方便地运用数值计算等方法。
另外，反三角函数也在几何学和物理学中有广泛的应用。
比如，在地理测量中，我们常常需要通过已知的角度和边长来计算三角形的其他边长或角度，这时就需要用到反三角函数。
在物理学中，反三角函数在描述周期性变化、波动等方面也有着重要作用。
三、复合函数与反三角函数复合函数是指一个函数作用于另一个函数的结果。
而反三角函数与复合函数的结合可以拓展三角函数的应用范围。
通过反三角函数与其他函数的复合，可以实现对于更复杂的问题的求解。
例如，可以将反正弦函数和其他函数相结合，如f(x) = sin(arcsin(x))，这样可以将复合函数f(x)简化为f(x) = x。
反三角函数的概念和性质总结
反三角函数的概念和性质总结反三角函数是指对三角函数的值进行逆运算的函数。
在三角函数中，正弦、余弦和正切都是周期函数，取值范围分别是[-1,1]、[−1,1]和(-∞,+∞)。
而反三角函数则将这些值进行逆运算，将数值转换为相应的角度或弧度。
本文将对反正弦、反余弦和反正切函数的概念和性质进行总结。
1. 反正弦函数（arcsin）反正弦函数是将给定的数值x（范围为[-1,1]）转换为对应的角度。
它的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2, π/2]。
反正弦函数的符号为arcsin(x)或sin⁻¹(x)。
反正弦函数满足以下性质：- 反正弦函数是奇函数，即arcsin(-x) = -arcsin(x)。
-反正弦函数的值域是[-π/2,π/2]，因此反正弦函数的定义域是[-1,1]。
-反正弦函数在定义域内是严格递增的。
-反正弦函数的图像关于直线y=x对称。
2. 反余弦函数（arccos）反余弦函数是将给定的数值x（范围为[-1,1]）转换为对应的角度。
它的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]。
反余弦函数的符号为arccos(x)或cos⁻¹(x)。
反余弦函数满足以下性质：- 反余弦函数是偶函数，即arccos(-x) = arccos(x)。
-反余弦函数的值域是[0,π]，因此反余弦函数的定义域是[-1,1]。
-反余弦函数在定义域内是严格递减的。
-反余弦函数的图像关于直线y=x的对称轴对称。
3. 反正切函数（arctan）反正切函数是将给定的数值x转换为对应的角度。
它的定义域是(-∞,+∞)，值域是(-π/2,π/2)。
反正切函数的符号为arctan(x)或tan⁻¹(x)。
反正切函数满足以下性质：- 反正切函数是奇函数，即arctan(-x) = -arctan(x)。
-反正切函数的定义域是(-∞,+∞)，值域是(-π/2,π/2)。
-反正切函数在定义域内是严格递增的。
-反正切函数的图像关于原点对称。
反三角函数公式
反三角函数公式反三角函数是指反向计算三角函数的值的一组函数。
反三角函数有正弦的反函数，余弦的反函数，正切的反函数，以及它们的反函数的逆函数（例如：逆正弦、逆余弦、逆正切等）。
在数学中，反三角函数可以用来解决三角函数的方程，以及在三角函数的运算和分析中的一些问题。
1. 反正弦函数 (arcsin 或 sin^(-1))：反正弦函数将给定的值的正弦值作为输入，并返回其角度。
其定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
反正弦函数的性质：-定义域：[-1,1]-值域：[-π/2,π/2]- 奇函数：arcsin(-x) = -arcsin(x)- 奇函数的区间性质：arcsin(x)在[-1, 1]上是递增的- 奇对称性：arcsin(x) = arcsin(-x)- 反函数：sin(arcsin(x)) = x2. 反余弦函数 (arccos 或 cos^(-1))：反余弦函数将给定的值的余弦值作为输入，并返回其角度。
其定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
反余弦函数的性质：-定义域：[-1,1]-值域：[0,π]- 偶函数：arccos(-x) = arccos(x)- 奇对称性：arccos(x) = -arccos(-x)- 反函数：cos(arccos(x)) = x3. 反正切函数 (arctan 或 tan^(-1))：反正切函数将给定的值的正切值作为输入，并返回其角度。
其定义域为(-∞,+∞)，值域为(-π/2,π/2)。
反正切函数的性质：-定义域：(-∞,+∞)-值域：(-π/2,π/2)- 奇函数：arctan(-x) = -arctan(x)- 奇对称性：arctan(x) = arctan(-x)- 反函数：tan(arctan(x)) = x4. 反余切函数 (arccot 或 cot^(-1))：反余切函数将给定的值的余切值作为输入，并返回其角度。
其定义域为(-∞,+∞)，值域为(0,π)。
三角函数的反函数及其性质
三角函数的反函数及其性质三角函数是数学中重要的一类函数，它们在解决几何形状、列表周期性数据以及模拟波动等问题中具有广泛的应用。
然而，当我们需要解决一些与三角函数相反的问题时，就需要引入三角函数的反函数。
本文将介绍三角函数的反函数及其性质。
一、反三角函数的定义为了解决三角函数的反问题，我们引入了反三角函数。
反三角函数是一种将三角函数的值作为输入并得到相应角度的函数。
常用的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，分别记作sin^-1(x)、cos^-1(x)和tan^-1(x)。
二、反三角函数的性质1. 定义域和值域：- 反正弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
- 反余弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[0, π]。
- 反正切函数的定义域是(-∞, ∞)，值域是(-π/2, π/2)。
2. 关系性质：- sin(sin^-1(x)) = x，其中x在定义域内。
- cos(cos^-1(x)) = x，其中x在定义域内。
- tan(tan^-1(x)) = x，其中x在定义域内。
3. 逆关系性质：- sin^-1(sin(x)) = x，其中x在[-π/2, π/2]内。
- cos^-1(cos(x)) = x，其中x在[0, π]内。
- tan^-1(tan(x)) = x，其中x在(-π/2, π/2)内。
4. 奇偶性：- 反正弦函数和反正切函数是奇函数，即sin^-1(-x) = -sin^-1(x)，tan^-1(-x) = -tan^-1(x)。
- 反余弦函数是偶函数，即cos^-1(-x) = cos^-1(x)。
5. 导数性质：- 反正弦函数的导数是1/√(1-x^2)。
- 反余弦函数的导数是-1/√(1-x^2)。
- 反正切函数的导数是1/(1+x^2)。
三、反三角函数的应用反三角函数在解决几何和物理问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 角度计算：- 当已知三角函数的值时，可以使用反三角函数计算相应的角度。
反三角函数知识点总结
《反三角函数知识点总结》一、引言三角函数是数学中一个重要的分支，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
而反三角函数则是三角函数的反函数，它们为解决一些特定类型的问题提供了有力的工具。
本文将对反三角函数的知识点进行全面总结，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
二、反三角函数的定义1. 反正弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\sin y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arcsin x\)，反正弦函数\(\arcsin x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)。
- 图像：反正弦函数的图像是一段在\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)区间内的曲线，关于原点对称。
2. 反余弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\cos y = x\)，且\(0\leq y\leq\pi\)，那么\(y=\arccos x\)，反余弦函数\(\arccos x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([0,\pi]\)。
- 图像：反余弦函数的图像是一段在\([0,\pi]\)区间内的曲线，关于\(y\)轴对称。
3. 反正切函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\tan y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\lt y\lt\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arctan x\)，反正切函数\(\arctan x\)的定义域是\(R\)，值域是\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。
- 图像：反正切函数的图像是一条在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)区间内的曲线，关于原点对称。
三、反三角函数的性质1. 定义域和值域- 反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的定义域都是有一定限制的，分别是\([-1,1]\)、\([-1,1]\)和\(R\)。
高三数学 反三角函数概念、图像和性质,反三角函数的运算,简单的三角方程 知识精讲
高三数学 反三角函数概念、图像和性质，反三角函数的运算，简单的三角方程 知识精讲一. 反三角函数的概念，图像和性质 1. 反三角函数的定义 函数y x x =∈-sin ([])ππ22， y x x y x x y x x =∈=∈-=∈c o s ([])tan (())cot (())，，，，，，，，0220ππππ的反三角函数分别为：y x x y x x y x x R y a r c x x R =∈-=∈-=∈=∈a r c s i n ([])arccos ([])arctan ()cot ()，，，，，，11112. 反三角函数的性质（1）奇偶性y x y x y x y arc x ====arcsin arccos arctan cot 在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数；在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数。
（2）反三角函数的单调性y x y x y x y a r c x ====a r c s i n a r c c o s a r c t a n cot 在定义域内单调递增；在定义域内单调递减；在定义域内单调递增；在定义域内单调递减。
3. 三角函数的图像二. 反三角函数的运算：1. 掌握三角函数的反三角运算，反三角函数的三角运算，熟悉常见的一些恒等式。
三角函数的反三角运算a r c s i n (s i n )[]a r c c o s (c o s )[]a r c t a n (t a n )()o t (c o t )()x x x x x x x x x a r c x x x =∈-=∈=∈-=∈，，，，，，，，ππππππ220220 反三角函数的三角运算 s i n (a r c s i n )[]x x x =∈-，，11c o s (a r c c o s )[]t a n (a r c t an )c o t (o t )x x x x x x R a r c x x x R=∈-=∈=∈，，，，11反三角函数间的互余关系 a r c s i n a r c c o s a r c t a n o t x x x a r c x +=+=ππ22，反三角函数的性质a r c s i n ()a r c s i n a r c t a n ()a r c t a n a r c c o s ()a r c c o s c o t ()cot -=--=--=--=-x x x x x x arc x arc x，，ππ在使用上面的概念和公式要特别注意的是，必须在变量的指定范围内，否则结果就是错误的。
反三角函数的概念和性质
反三角函数的概念和性质反三角函数的概念和性质一．基本知识：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。
例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。
（A）y＝sin x, x∈[－π, 0]（B）y＝sin x, x∈[, ]（C）y＝sin x, x∈[,] （D）y＝sin x,x∈[,]解：本题是判断函数y＝sin x在哪个区间上是单调函数，由于y＝sin x在区间[,]上是单调递减函数，所以选D。
例三． arcsin(sin10)等于（C）。
（A）2π－10 （B）10－2π（C）3π－10 （D）10－3π解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－, ]上。
由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以选C。
（例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。
（1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x.解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),∴ x＝－arcsin, ∴ f－1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ].(2) f(x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,],∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝sin y,∴f－1(x)＝sin x , x∈[,], y∈[－, ]. 例五．求下列函数的定义域和值域：(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴≤x≤,由于－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin.(3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<, ∴x∈R, y∈(0, ).例六．求下列函数的值域：(1) y＝arccos(sin x), x∈(－, ); (2) y ＝arcsin x＋arctg x.解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ si n x∈(－, 1], ∴ y∈[0, ).(2) ∵y＝arcsin x＋arctg x., x∈[－1, 1], 且arcsin x与arctg x都是增函数,∴ －≤arcsin x≤, －≤arctg x≤, ∴ y∈[－,].例七．判断下列函数的奇偶性：(1) f (x)＝x arcsin(sin x); (2) f (x)＝－arcctg x.解：(1) f (x)的定义域是R，f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝x arcsin(sin x)＝f (x),∴ f (x)是偶函数;(2) f (x)的定义域是R,f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctg x)＝arcctg x－＝－f (－x),∴ f (x)是奇函数.例八．作函数y＝arcsin(sin x), x∈[－π, π]的图象.解：y＝arcsin(sin x), x∈[－π, π], 得, 图象略。
反三角函数的定义与性质
反三角函数的定义与性质反三角函数是解三角函数方程时所用到的一组函数，它们是三角函数的反函数。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，它们分别记作arcsin(x)、arccos(x)和arctan(x)。
在本文中，我们将一起探讨这些反三角函数的定义和性质。
一、反正弦函数（arcsin）反正弦函数是求解三角函数sin(x) = y（y在[-1,1]范围内）的反函数。
它的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2, π/2]。
反正弦函数的图像在定义域内是递增的，其图像关于y = x对称。
反正弦函数的性质如下：1. 反正弦函数的导数为1/sqrt(1-x^2)，其中x在[-1,1]范围内。
2. 反正弦函数的值域在[-π/2, π/2]之间，即反正弦函数的取值范围被限制在这个区间内。
二、反余弦函数（arccos）反余弦函数是求解三角函数cos(x) = y（y在[-1,1]范围内）的反函数。
它的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
反余弦函数的图像在定义域内是递减的，其图像关于y = x对称。
反余弦函数的性质如下：1. 反余弦函数的导数为-1/sqrt(1-x^2)，其中x在[-1,1]范围内。
2. 反余弦函数的值域在[0,π]之间，即反余弦函数的取值范围被限制在这个区间内。
三、反正切函数（arctan）反正切函数是求解三角函数tan(x) = y的反函数。
它的定义域为整个实数集，值域为[-π/2, π/2]。
反正切函数的图像是一个奇函数，关于原点对称。
反正切函数的性质如下：1. 反正切函数的导数为1/(1+x^2)。
2. 反正切函数的值域在[-π/2, π/2]之间，即反正切函数的取值范围被限制在这个区间内。
需要注意的是，以上反三角函数的定义和性质是基于弧度制的。
如果使用角度制，相应的公式和范围都需要进行转换。
综上所述，反三角函数在解三角函数方程时起到了重要作用。
它们的定义和性质具有一定的规律性，通过理解和掌握这些规律，我们可以更加灵活地运用反三角函数来求解问题。
反三角函数简单三角方程
1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =. sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1],arcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π]的运用的条件；（4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
名称 函数式定义域值域奇偶性 单调性 反正弦函数x y arcsin =[]1,1-增⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ 奇函数增函数反余弦函数x y arccos =[]1,1-减[]π,0x x arccos )arccos(-=-π非奇非偶 减函数反正切函数arctan y x =R 增⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ 奇函数增函数反余切函数 cot y arc x =R 减()π,0cot()cot arc x arc x π-=-非奇非偶减函数2、最简单的三角方程方程 方程的解集a x =sin1=a {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π1<a(){}Z k a k x x k∈-+=,arcsin 1|πa x =cos1=a {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π1<a{}Z k a k x x ∈±=,arccos 2|πtan x a = {}|arctan ,x x k a k Z π=+∈ cot x a ={}|cot ,x x k arc a k Z π=+∈其中： （1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
反三角函数知识点
反三角函数知识点反三角函数是一类与三角函数相反的函数，它们在数学和工程领域有着广泛的应用。
反三角函数包括反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）等。
以下是反三角函数的知识点概述：1.反三角函数的定义：反三角函数是三角函数的反函数，定义为：反正弦函数（arcsin）：y = arcsin(x) 表示一个角度x（弧度制），其正弦值为y。
反余弦函数（arccos）：y = arccos(x) 表示一个角度x（弧度制），其余弦值为y。
反正切函数（arctan）：y = arctan(x) 表示一个角度x（弧度制），其正切值为y。
2.反三角函数的性质：（1）定义域和值域：反三角函数的定义域和值域是有限的，并且在实数范围内是连续的。
例如，arcsin函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
（2）奇偶性：反三角函数中的反正弦函数和反余弦函数是奇函数，而反正切函数是偶函数。
（3）周期性：反三角函数不是周期函数，但它们可以在一定范围内表现出周期性。
例如，arctan函数在实数范围内是周期函数，其周期为π。
3.反三角函数的计算：（1）利用三角函数的性质计算：反三角函数可以通过三角函数的性质进行计算。
例如，利用三角恒等式和三角函数的单调性可以求解反三角函数的值。
（2）利用反三角函数的定义计算：反三角函数的定义可以用于求解反三角函数的值。
例如，对于arcsin(x)，可以通过解方程sin(y) = x来求解y的值。
4.反三角函数的应用：（1）在几何学中的应用：反三角函数可以用于解决一些几何问题，例如计算角度、距离等。
（2）在物理学中的应用：反三角函数可以用于解决一些物理问题，例如振动、波动等。
（3）在工程学中的应用：反三角函数可以用于解决一些工程问题，例如信号处理、图像处理等。
5.反三角函数的图像和性质：反三角函数的图像和性质可以通过图像法和公式法进行描述。
《反三角函数》 讲义
《反三角函数》讲义在数学的广阔天地中，三角函数无疑是一颗璀璨的明星。
而反三角函数，则是这颗明星的另一面，为我们解决众多数学问题提供了独特的视角和强大的工具。
一、什么是反三角函数我们先从熟悉的三角函数说起。
正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们将角度作为输入，给出对应的函数值。
而反三角函数，则是反过来，已知三角函数的值，求对应的角度。
例如，正弦函数 sin x，当我们知道 sin x ＝ 05 时，想知道 x 是多少度，这就需要用到反正弦函数 arcsin 05 来求解。
反三角函数包括反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）等。
二、反三角函数的定义域和值域要深入理解反三角函数，必须清楚它们的定义域和值域。
反正弦函数 arcsin x 的定义域是-1, 1，值域是π/2, π/2。
这意味着输入的 x 值必须在-1 到 1 之间，得到的角度值在π/2 到π/2 之间。
反余弦函数 arccos x 的定义域也是-1, 1，值域是0, π。
反正切函数arctan x 的定义域是R（全体实数），值域是(π/2, π/2)。
三、反三角函数的图像图像是直观理解函数性质的重要工具。
反正弦函数 arcsin x 的图像是一段在π/2, π/2之间的曲线，它关于原点对称，且在定义域内单调递增。
反余弦函数 arccos x 的图像则是在0, π之间的曲线，同样关于原点对称，在定义域内单调递减。
反正切函数arctan x 的图像是一条在(π/2, π/2)之间无限延伸的曲线，它的斜率逐渐趋近于 0，并且在定义域内单调递增。
四、反三角函数的基本性质1、对称性反正弦函数和反余弦函数互为相反数，即 arcsin(x) ＝ arcsin x ，arccos(x) ＝π arccos x 。
2、恒等式例如，sin(arcsin x) ＝ x （x∈－1, 1），cos(arccos x) ＝ x （x∈－1, 1）。
反三角函数的求导
反三角函数的求导在微积分学中，反三角函数是一类特殊的函数，它们的定义域和值域分别为实数集和区间，可以用来求解三角函数的反函数。
在实际的数学应用中，反三角函数具有极大的重要性，因为它们可以用来求解各种三角函数的导数，从而应用到各种物理和工程问题中。
本文将介绍反三角函数的概念、性质和求导方法。
一、反三角函数的概念反三角函数是指与三角函数相反的函数，即通过三角函数的值来求解角度。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
它们的定义如下：1. 反正弦函数反正弦函数y = arcsin x的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]，满足sin y = x。
2. 反余弦函数反余弦函数y = arccos x的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]，满足cos y = x。
3. 反正切函数反正切函数y = arctan x的定义域为实数集，值域为(-π/2, π/2)，满足tan y = x。
二、反三角函数的性质反三角函数具有以下性质：1. 反三角函数的导数反三角函数的导数可以通过求导公式来计算。
具体而言，反正弦函数的导数为：dy/dx = 1/√(1-x)反余弦函数的导数为：dy/dx = -1/√(1-x)反正切函数的导数为：dy/dx = 1/(1+x)2. 反三角函数的反函数反三角函数的反函数可以通过交换自变量和因变量的方式来得到。
具体而言，反正弦函数的反函数为正弦函数，反余弦函数的反函数为余弦函数，反正切函数的反函数为正切函数。
3. 反三角函数的图像反三角函数的图像可以通过反函数的图像来得到。
具体而言，反正弦函数的图像为一条从(-π/2, -1)到(π/2, 1)的曲线，反余弦函数的图像为一条从(0, π)到(1, 0)的曲线，反正切函数的图像为一条从(-π/2, -∞)到(π/2, ∞)的曲线。
三、反三角函数的求导方法反三角函数的求导方法可以通过导数公式来计算。
具体而言，反正弦函数的求导方法如下：1. 将y = arcsin x两边取sin，得到sin y = x。
反三角函数的运算法则及公式
反三角函数的运算法则及公式反三角函数的运算法则及公式反三角函数，也称反函数，是指sin、cos、tan三角函数的反函数。
以sin函数为例，其反函数为arcsin函数，可以表示为y=arcsin(x)，而x 的范围为-1≤x≤1，y的范围为-π/2≤y≤π/2。
本文将介绍反三角函数的运算法则及公式，希望能够为读者提供一些帮助。
一、反三角函数的基本性质1. 反函数与原函数：反三角函数是三角函数的反函数，即对一定范围内的y值，arcsin(y)所对应的x值是sin(x)。
2. 反函数的定义域和值域：反三角函数的定义域是三角函数在该范围内的值域，反之亦然。
3. 对称性：反三角函数具有对称性，即arcsin(-x)=-arcsin(x)。
4. 反函数的导数：sin、cos、tan的导函数分别是cos、-sin、sec2，那么它们的反函数分别是arcsin、arccos、arctan，在其定义域内计算导数可以得到：（1）arcsin’(y) = 1/√(1-y^2)；（2）arccos’(y) = -1/√(1-y^2)；（3）arctan’(y) = 1/(1+y^2)。
二、反三角函数的运算法则1. 反三角函数的四则运算：反三角函数的四则运算与正常的函数相同，只需要对反三角函数的定义域进行限制。
2. 反三角函数的复合运算：例如sin(arcsin(x))=x，cos(arccos(x))=x，tan(arctan(x))=x，这是因为反三角函数是三角函数的反函数。
3. 求反三角函数的值：要求反三角函数的值，需要先确定所要求的值的定义域，再根据其所对应的正三角函数的值进行计算。
三、反三角函数的常用公式1. sin(arcsin(x))=x，|x|≤1。
2. cos(arccos(x))=x，|x|≤1。
3. tan(arctan(x))=x，|x|≤π/2。
4. arcsin(x)+arccos(x)=π/2。
三角函数的反三角函数与逆函数
三角函数的反三角函数与逆函数三角函数在数学中起着重要作用，并且与它们相关的反三角函数和逆函数也是我们需要了解和掌握的重要概念。
本文将介绍反三角函数和逆函数的定义、性质以及它们在数学和实际应用中的重要性。
一、反三角函数的定义和性质在数学中，三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们的定义域一般是实数集。
而反三角函数，顾名思义，是指与所对应的三角函数相反的函数。
1. 反正弦函数（arcsin）：反正弦函数是指满足以下条件的函数：对于任意实数y，满足-π/2 ≤ arcsin(y) ≤ π/2，且sin(arcsin(y)) = y。
在数学符号中，反正弦函数通常表示为arcsin(y)。
2. 反余弦函数（arccos）：反余弦函数是指满足以下条件的函数：对于任意实数y，满足0 ≤ arccos(y) ≤ π，且cos(arccos(y)) = y。
在数学符号中，反余弦函数通常表示为arccos(y)。
3. 反正切函数（arctan）：反正切函数是指满足以下条件的函数：对于任意实数y，满足-π/2 < arctan(y) < π/2，且tan(arctan(y)) = y。
在数学符号中，反正切函数通常表示为arctan(y)。
这些反三角函数在数学中有着重要的几何和三角关系，它们可以使用三角恒等式得到更多的性质和等式。
例如，反三角函数与三角函数之间具有以下关系：sin(arcsin(y)) = ycos(arccos(y)) = ytan(arctan(y)) = y二、逆函数的定义和性质逆函数是指对于给定的函数，如果存在另一个函数能够使得两个函数复合得到恒等式，那么它们就互为逆函数。
1. 正弦函数的逆函数（sin⁻¹）：正弦函数的逆函数是指满足以下条件的函数：对于任意实数y，满足-π/2 ≤ sin⁻¹(y) ≤ π/2，且sin(sin⁻¹(y)) = y。
反三角函数
反三角函数一、知识结构框图表解二、基础知识详解与要点点拨 1、反三角函数函数sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的反函数叫做反正弦函数，记作arcsin ,[1,1].y x x =∈-函数[]cos ,0,y x x π=∈的反函数叫做反余弦函数，记作arccos ,[1,1].y x x =∈-函数tan ,,22y x x ππ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭的反函数叫做反正弦函数，记作arctan ,(,)y x x =∈-∞+∞ 2、四种反三角函数的图像和性质名称反正弦函数 反余弦函数反正切函数 反余切函数定义y=sinx(x ∈〔-2π,2π 〕的反函数，叫做反正弦 函数，记 作y=arsinx y=cosx(x ∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作y=arccosx y=tanx(x ∈(-2π ,2π )的反函数，叫做反正切函数，记作 y=arctanx y=cotx(x ∈(0, π))的反函数， 叫做反余切函数，记作 y=arccotx理解arcsinx 表示属于［-2π,2π］ 且正弦值等于x 的角 arccosx 表示属于［0，π］，且余弦值等于x 的角arctanx 表示属于(-2π,2π)，且正切值等于x 的角 arccotx 表示属于(0，π)且余切 值等于x 的角 图像反三角函反三角函数的定义反三角函数的图像和性质 对反正弦函数的理解性质 定义域 ［-1，1］ ［-1，1］ (-∞，+∞) (-∞，+∞) 值域［-2π，2π］ ［0，π］ (-2π，2π) (0，π) 单调性 在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减函数 在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函数 奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arcta nxarccot(-x)=π-arccotx 周期性 都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x ∈［-1，1］)arcsin(sinx )=x(x ∈［-2π,2π］) cos(arccosx)=x(x ∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x ∈［0,π］)tan(arctanx)=x(x ∈R)arctan(tanx)=x（x ∈(-2π,2π)）cot(arccotx)=x (x ∈R)arccot(cotx)=x (x ∈(0,π))互余恒等式arcsinx+arccosx=2π(x ∈［-1,1］) arctanx+arccotx=2π(X ∈R) 3、常用运算关系（1）[]arcsin()arcsin ,1,1x x x -=-∈-；sin(arcsin ),[1,1]x x x =∈-，arcsin(sin )]22]]sin 2222sin ,[[[,{x x x x x x x x ππππππ=='∈-∉-∈-''，，时，，，当当 （2）[]arccos()arccos ,1,1,arctan()arctan ,x x x x x x R π-=-∈--=-∈。
初中数学知识点三角函数的反函数与反三角函数
初中数学知识点三角函数的反函数与反三角函数三角函数是初中数学中重要的概念之一，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
而三角函数的反函数及反三角函数则是三角函数的一个重要扩展，它们在解三角方程和研究角度问题中起到了关键的作用。
本文将着重介绍初中数学中的三角函数的反函数与反三角函数。
一、反函数的概念及性质1. 反函数的定义假设函数 f(x) 是一一对应的，那么它的反函数记作 f^(-1)(x)。
对于任意的 y 属于函数 f(x) 的定义域，若 y = f(x)，则有 x = f^(-1)(y)。
2. 反函数的图像函数 f(x) 与其反函数 f^(-1)(x) 的图像关于直线 y = x 对称。
3. 反函数的性质（1）函数 f(x) 与其反函数 f^(-1)(x) 互为反函数，即 f(f^(-1)(x)) = x，f^(-1)(f(x)) = x。
（2）求反函数的方法是将函数 f(x) 中的自变量 x 和因变量 y 互换位置，并解出 y。
（3）如果函数f(x) 是递增函数，则其反函数f^(-1)(x) 是递增函数；如果函数 f(x) 是递减函数，则其反函数 f^(-1)(x) 是递减函数。
二、反三角函数的概念及性质1. 反三角函数的定义由三角函数的周期性和奇偶性可知，三角函数的反函数不是一一对应的，因此引入了反三角函数来限制定义域，使其成为一一对应的关系。
常见的反三角函数包括：反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）和反正切函数（arctan）。
2. 反三角函数的性质（1）反三角函数的定义域和值域：• 反正弦函数的定义域为 [-1, 1]，值域为 [-π/2, π/2]；• 反余弦函数的定义域为 [-1, 1]，值域为[0, π]；•反正切函数的定义域为 (-∞, +∞)，值域为 (-π/2, π/2)。
（2）反三角函数的图像：• 反正弦函数的图像在 [-1, 1] 区间上是递增的并且关于 y = x 对称；• 反余弦函数的图像在 [-1, 1] 区间上是递减的并且关于 y = x 对称；• 反正切函数的图像在整个定义域上是递增的并且关于 y = x 对称。
反三角函数之间的关系
反三角函数之间的关系介绍反三角函数是数学中的重要概念，它们与三角函数之间有着密切的关系。
本文将详细介绍反三角函数的定义、性质以及它们之间的关系。
反三角函数的定义反三角函数是指在给定三角函数值的情况下，求解三角函数的自变量的函数。
常见的反三角函数包括正弦函数的反函数arcsin(x)，余弦函数的反函数arccos(x)，以及正切函数的反函数arctan(x)。
反三角函数的性质1.反函数关系：反三角函数与对应的三角函数之间有着反函数的关系，即arcsin(sin(x)) = x，arccos(cos(x)) = x，arctan(tan(x)) = x。
反三角函数的定义域和值域与对应的三角函数的定义域和值域相互对应，但存在一些限制。
2.定义域和值域：反三角函数的定义域和值域有一定的限制。
arcsin(x)的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]；arccos(x)的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]；arctan(x)的定义域为实数集，值域为(-π/2, π/2)。
3.对称性：反三角函数具有一定的对称性。
例如，arcsin(x) = arccos(√(1-x^2))，arccos(x) = arcsin(√(1-x^2))。
4.奇偶性：反三角函数具有一定的奇偶性。
arcsin(-x) = -arcsin(x)，arccos(-x) = π - arccos(x)，arctan(-x) = -arctan(x)。
反三角函数之间的关系反三角函数之间存在一些重要的关系，用于计算复杂三角函数表达式的简化。
1. 和差关系反三角函数和三角函数之间存在和差关系，即arcsin(x) + arccos(x) = π/2，arcsin(x) - arccos(x) = 0，arctan(x) + arccot(x) = π/2，arctan(x) - arccot(x) = 0。
这些关系可以帮助我们简化一些复杂的三角函数表达式。
《反三角函数》 讲义
《反三角函数》讲义一、引言在数学的广袤天地中，三角函数是一颗璀璨的明星，而反三角函数则是它的奇妙延伸。
反三角函数的出现，为我们解决许多数学问题提供了有力的工具。
接下来，让我们一同走进反三角函数的世界。
二、反三角函数的定义反三角函数是一种基本初等函数。
它是反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数和反余割函数的统称。
反正弦函数：记为 y ＝ arcsin x ，定义域为-1, 1，值域为π/2, π/2。
它表示一个角，其正弦值等于 x 。
反余弦函数：记为 y ＝ arccos x ，定义域为-1, 1，值域为0, π。
表示一个角，其余弦值等于 x 。
反正切函数：记为 y ＝ arctan x ，定义域为 R ，值域为(π/2, π/2)。
表示一个角，其正切值等于 x 。
反余切函数：记为 y ＝ arccot x ，定义域为 R ，值域为(0, π)。
表示一个角，其余切值等于 x 。
反正割函数：记为 y ＝ arcsec x ，定义域为(∞，－1∪1, ＋∞），值域为0, π/2)∪（π/2, π。
反余割函数：记为 y ＝ arccsc x ，定义域为(∞，－1∪1, ＋∞），值域为π/2, 0)∪（0, π/2。
三、反三角函数的图像1、反正弦函数 y ＝ arcsin x 的图像反正弦函数的图像是关于原点对称的，是正弦函数 y ＝ sin x 在π/2, π/2上的反函数。
图像呈现出一种逐渐上升的趋势，从(－1, π/2)到(1, π/2)。
2、反余弦函数 y ＝ arccos x 的图像反余弦函数的图像是关于 y 轴对称的，是余弦函数 y ＝ cos x 在0, π上的反函数。
图像从(1, 0)开始逐渐下降到(－1, π)。
3、反正切函数 y ＝ arctan x 的图像反正切函数的图像是关于原点对称的，定义域为 R 。
图像呈现出一种逐渐逼近但永远不会达到π/2 和π/2 的趋势。
三角函数的反三角函数与解析式
三角函数的反三角函数与解析式三角函数是学习高中数学时不可避免的一个重要概念，它涉及到我们求解三角形各种问题时必不可少的工具。
而在三角函数的学习中，反三角函数的概念也是十分重要的，它在解决各种三角函数运算问题中起着关键的作用。
本文将着重探讨三角函数的反三角函数以及与其相关的解析式。
一、反三角函数的概念反三角函数是指以三角函数的某种值为自变量，求解出一个角的函数。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
这些函数的定义域和值域与基本三角函数有所不同，具体如下：1. 反正弦函数y=yyy^−1(y)，定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
2. 反余弦函数y=yyy^−1(y)，定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
3. 反正切函数y=yyy^−1(y)，定义域为实数集y，值域为(-π/2,π/2)。
二、反三角函数的解析式反三角函数可以使用解析式的形式来表示，这样有利于求解各种三角函数运算问题。
下面是一些常见的反三角函数的解析式：1. 反正弦函数的解析式反正弦函数的解析式为：y=yyy^−1(y) ⇒y=yyy(y)2. 反余弦函数的解析式反余弦函数的解析式为：y=yyy^−1(y) ⇒y=yyy(y)3. 反正切函数的解析式反正切函数的解析式为：y=yyy^−1(y) ⇒y=yyy(y)通过这些解析式，我们可以根据给定的反三角函数值，求解出角的具体数值。
三、反三角函数的性质反三角函数作为三角函数的逆运算，具有一些特性：1. 函数值对称性：反三角函数的值域关于原函数的定义域对称。
2. 值域范围限定：反正弦函数的值域范围为[-π/2,π/2]，反余弦函数的值域范围为[0,π]，反正切函数的值域范围为(-π/2,π/2)。
3. 特殊角值：反三角函数在特殊角值处的函数值非常重要，如yyy^−1(1)=y/2，yyy^−1(0)=y/2，yyy^−1(0)=0。
4. 三角恒等式：反三角函数与基本三角函数之间有一系列的恒等式，如yyy(yyy^−1(y))=y，yyy(yyy^−1(y))=y等。
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反三角函数的概念和性质
．
一．基础知识自测题：
1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1] ，值域是. 2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是[0, π] .
3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是.
4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是(0, π) .
5．arcsin(－)＝
; arccos(－)＝; arctg(－1)＝
; arcctg(－)＝.
6．sin(arccos)＝
; ctg[arcsin(－
)]＝;
tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝
.
7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝
.
8．若sin x＝－, x∈(－
, 0)，则x＝.
9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝.
二．基本要求：
1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；
2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－
，], y＝
arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；
3．符号arcsin x可以理解为[－，
]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－
，]上的一个实
数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，
], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；
5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sin x)＝x, x∈[－
，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；
6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；
7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝
的应用。
例一．下列各式中成立的是（C）。
（A）arcctg(－1)＝－（B）arccos(－
)＝－
（C）sin[arcsin(－)]＝－
（D）arctg(tgπ)＝
π
解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－
)∈[0, π],
(D)中，arctg(tgπ)∈[－
, ], 而π[－，], ∴
(A)(B)(D)都不正确。
例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。
（A）y＝sin x, x∈[－π, 0]（B）y＝sin x, x∈[,
]
（C）y＝sin x,
x∈[,] （D）y ＝sin x,
x∈[,]
解：本题是判断函数y＝sin x在哪个区间上是单调函数，由于y＝sin x在区间
[,]上是单调递减函数，所以选D。
例三． arcsin(sin10)等于（C）。
（A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π
解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－
, ]上。
由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－
, ], 所以选C。
例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。
（1）f (x)＝2sin2x, x∈[,
];（2）f(x)＝＋arccos2x.
解：(1) x∈[,
], 2x∈[, ], 2x－π∈[－
, ], －
2≤y≤2
由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－
, ∴ 2x－π＝arcsin(－
),
∴ x＝－
arcsin, ∴ f－1(x)＝
－arcsin, －2≤x≤2, y∈[,
].
(2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－
, ],
y∈[,],
∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－
), x＝cos(y －)＝sin y,
∴f－1(x)＝sin x ,
x∈[,],
y∈[－, ].
例五．求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x －1),
解：(1) y＝arccos,
0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0,
).
(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴
≤x≤, 由于－x2＋1＝－(x－)2＋
, ∴ －1≤－x2＋
x≤, ∴ －
≤y≤arcsin.
(3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－
1)<, ∴ x∈R, y∈(0,
).
例六．求下列函数的值域：
(1) y＝arccos(sin x), x∈(－,
); (2) y＝arcsin x＋arctg x.
解：(1) ∵x∈(－,
), ∴ sin x∈(－
, 1], ∴ y∈[0,
).
(2) ∵y＝arcsin x＋arctg x., x∈[－1, 1], 且arcsin x与arctg x都是增函数,
∴ －
≤arcsin x≤, －
≤arctg x≤,
∴ y∈[－,]. 例七．判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x)＝x arcsin(sin x); (2) f (x)＝－arcctg x. 解：(1) f (x)的定义域是R，f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝x arcsin(sin x)＝f (x), ∴ f (x)是偶函数;
(2) f (x)的定义域是R,
f (－x)＝－arcctg(－x)＝
－(π－arcctg x)＝arcctg x－
＝－f (－x),
∴ f (x)是奇函数.
例八．作函数y＝arcsin(sin x), x∈[－π, π]的图象.
解：y＝arcsin(sin x), x∈[－π, π],得, 图象略。
例九．比较arcsin,
arctg, arccos(－
)的大小。
解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>,
∴arccos(－)最大,
设arcsin＝α，sinα＝
, 设arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝
<sinα, ∴ β<α,
∴ arctg<
arcsin< arccos(－
).
例十．解不等式：(1) arcsin x<arccos x; (2) 3arcsin x－
arccos x>.
解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝时, arcsin x＝arccos x, 又arcsin x是增函数,arccos x是减函数，
∴ 当x∈[－1, )时, arcsin x<arccos x. (2) ∵ arccos x＝－arcsin x, ∴ 原式化简得
4arcsin x>, ∴ arcsin x>＝arcsin,
∵ arcsin x是增函数, ∴ <x≤1.
三．基本技能训练题：
1．下列关系式总成立的是（B）。
（A）π－arccos x>0 （B）π－arcctg x>0 （C）arcsin x－≥0。