函数ysinx 的图像及变换

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正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图

-1
2 3
4 5
2
3
4
5
6 x 6 x
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）】
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个
关键点是： (0,0) (

,1)
(π,0)
(
3
Hale Waihona Puke ,-1)(2π,0)
2
2
余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是
正弦函数余弦函数的图像及五点法作图余弦函数ycosx的图象用几何法作余弦函数的图象可以用反射法将角x的余弦线竖立把坐标轴向下平移过o终点a作x轴的垂线它与前面所作的直线交于a那么oa与aa长度相等且方向同时为正我们就把余弦线oa竖立起来成为aa用同样的方法将其它的余弦线也都竖立起来
知识点——
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
(0,1) ( ,0) (,-1) (3 ,0) (2,1)
2
2
只要这五个点描出后，图象的形状就基本
确定了．因此在精确度不太高时，常采用
五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要
求熟练掌握．优点是方便，缺点是精确度
不高，熟练后尚可以.
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【典型例题】
1、用五点法作函数 y 1 sin x, x 0,2 的图象.
）6 ,.把3 角, 2x,的…正，
弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相
应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象
上的点（等价于“描点” ）.
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【函数y=sinx的图象】第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

(完整版)三角函数图像平移变换

三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。

1。

为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度（B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度（D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。

正弦函数、余弦函数的图象_优质课件

3) y 3sin(1 x ), x R 一般
35
结论：
函数y Asin(x )及y Acos(x ), x R
( A,,为常数, A 0, 0)的周期T 2
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (三)关于奇偶性（复习）
一般地, •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= f( x )，那么就说f( x )是偶函数 •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= -f( x )，那么就说f( x )是奇函数
小结回顾
正切函数的基本性质
4 5
应用提升
练习1：试着画出y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性.
练习2.如果、
(
,
)且
tan
cot
,
2
那么必有（）
A.
B.
C. 3 D. 3
2
2
应用提升
例3.求函数y tan x 1 的定义域 3 tan x
例4.试讨论函数y loga tan x的单调性
2
2
y=cosx
y cos x : 定义域为R，值域[1,1]
1
最-6大值1,此-5时 x
2-k4; 最小值-3-1,
此时x
-2
2k
-;
-1
2 3 2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
(2) y sin x, y cosx与y Asin(x ), y Acos(x )间的换元思想

正弦函数余弦函数的图象完整版课件

正弦曲线 y s in x（ x R ）
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx，x∈R的图象在
4,2 ,2,0, 0,2, 2,4,…与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
正弦曲线：ysinx xRy
1
-1
x
-cosx -1 0
1
0 -1
y
y=-cosx x[0,2 ]
1
●
o
●
3●
2
x
2
2
-1 ●
●
思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？ 2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
y 2
y=1+sinx x[0, 2]
1
o
3
2
-1
2
2
x
y=sinx x[0, 2]
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
2 0
2 5
●
11
6 32 3 6
●
●
x
●
5
6
-1
●
●
●
3
y
ysinx x [0 ,2 ]
1-
-
-1
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3
5
2
3
11 6
2
-1 -

正弦函数图象及其变换

π π π 2π 6 3 2 3 3 1 3 1 2 2 2
5π π 7π 4π 3π 5π11π 6 6 3 2 3 6 2π 3 3 10 1 0 1 1 1 2 2 2 2 2
.
π/2
o1
A
.o
-1
. π
3π/2
2
.π
x
.
函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象函数 ∈ π 的图象
五点画图法
A
y=
1 2
5π π 12
A
-A
0
5π π 6

x
(3) y=sin2x
解: x 2x 0 0
π 4 π 2 π 2 3π 4 π 3π 2π π 2
1 (4) y=sin x 2
x
1 x 2 1 sin x 2
0 0 0
π
π 2
2π 3π 4π π π π
π
π
3π 2π π 2
sin2x 0 y 1 o -1
π/2
y=1+sinx, x∈[0,2π] ∈ π
.
π 3π/2
.
o
.
2π
实质: 实质:f(x)=sinx向左平向左平移π/2,即f(x+π/2)=sin , (x+ π/2)=cosx
y
1
π -4
π -3
π -2
-π
-1
o
π/2 π 3π/2 2 π
3 π
4 π
x
函数y=cosx x∈R的图象函数 ∈ 的图象
变换后正弦函数的五点法作图
y=Asin(wx+φ)(A>0, w>0)中的常数 ,w, φ 中的常数A, , 中的常数的作用正数A决定了? 正数决定了? 决定了

关于y=sinx图象及性质变化

关于y =sinx 图象函数y=Asin(ωx+Φ)的图象变化规律：图象变换（1）振幅变换：Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A(2)周期变换：Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈=,sin ω(3)相位变换：Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ(4)复位变换：Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω1．为了得到sin(2)3y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象（）A 向左平移3π个单位 B 向右平移3π个单位 C 向左平移6π个单位 D 向右平移6π个单位2．为了得到3sin 2y x =的图象，只需将3sin y x =的图象（） A 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. B 横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变. C 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变.D 纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变.3．为了得到1cos 2y x =的图象，只需将cos y x =的图象（） A 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. B 横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变. C 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变. D 纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变.4．函数()sin(2)3f x x π=+的图象关于直线4x π=对称，则（）.A 关于点(,0)4π对称B 关于直线4x π=对称C 关于点(,0)3π对称 D 关于直线3x π=对称5．函数12sin()24y x π=+的振幅为，周期为，频率为，初相为，相位为，值域为 .6．函数sin y x =按向量(,3)4a π=-r 平移后的图象的解析式为 .7．函数()2sin(),(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且(0)3f =，试求函数的单调增区间.8．（年福建）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（）A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 9．（江苏卷1）．下列函数中，周期为2π的是（） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 10．（山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位11．（江西卷文2）．函数5tan(21)y x=+的最小正周期为12．已知函数()2sin()f x xωφ=+的图像如图所示，则712fπ⎛⎫=⎪⎝⎭________________．13..34331654+log log8145-⎛⎫+=⎪⎝⎭________.14.【山东省聊城一中2015届高三上学期期中考试文】函数()sin()f x A xωϕ=+（其中0,||2Aπϕ><）的图象如图所示，为了得到xxg2sin)(=的图像，则只需将()f x的图像（）A．向右平移6π个长度单位B．向右平移3π个长度单位C．向左平移6π个长度单位D．向左平移3π个长度单位15.【山东省曲阜师大附中2015届高三上学期期中考试文】函数()sin()f x A xωφ=+(0,0,||)2Aπωφ>><的部分图象如图所示，则,ωφ的值分别为（）A ．2,3πB ．1,26πC ．2,3π-D ．2,6π16.【山东省潍坊市寿光现代中学2015届高三12月段检测文】已知函数()y Asin x B =ω+ϕ+的一部分如下图所示。

正弦函数图像与性质

正弦函数的图像与性质是正弦函数y=sinx。

余弦函数y=cosx，正弦函数在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上单调递减，余弦函数在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增，在[2kπ,π+2kπ]上单调递减等。

正弦函数在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上单调递减，余弦函数在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增，在[2kπ,π+2kπ]上单调递减。

正弦函数关于x=π/2+2kπ轴对称，关于(kπ,0)中心对称。

正弦型函数的图像
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的几何画法是，在横轴Ox上任取一点C 为圆心，A为半径作圆，与x轴相交于两点A0和A6.以A0为始点，任意等分此圆(图1中是12等份)，设分点为Ai其中A0与A12重合。

在x轴上取OA′0=-φ/ω，然后从A′0起作A′i使A′iA′i+1=π/6ω，即周期2π/ω的1/12，过Ai与A′i分别与x轴和y轴平行的直线交于点Pi，连结Pi各点成光滑曲线，即得y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的近似图象。

正弦型函数的图象也称为正弦型曲线或称正弦波。

正弦函数图像变换.

各点横坐标伸长到原来的 2 倍
y=sinx
（周期变换）
y=sin 1 x
2
所有点向右平移于 2 个单位
3y=sin(源自1x-)（变相位换）
23
各点纵坐标伸长到原来的 3
倍
1
y=3sin(
x-
)
（振幅变换）
23
上一张下一张图象
小结先相位变换再周期变换
1、相位变换：把的图象上所有点向左(>0)或向
右(<0)平移个单位。
2、周期变换：把所有点的的横坐标缩短(>1)或
伸长 (0<<1)到原来的 1 倍。(纵坐标不变)
3、振幅变换：把所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩
短(0<A<1)到原来的 A 倍。(横坐标不变)
上一张下一张图象
小结先周期变换再相位变换
1、周期变换：把所有点的的横坐标缩短(>1)或
设计与制作：顺德市北滘中学
雷沅江
问题1
函数y=sinx与函数y=Asinx(A>0)的图象间有何关系？
观察结果：在y=sinx的基础上，把所有各点的纵坐标
伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍
（横坐标不变）得到y =Asinx图象。
上一张下一张图象
问题2
函数y=sinx与函数y=sinx( >0)图象间有何关系？
移个4 单位,得到的函数( )C的图象。
(A)y=cos(2x+ 4) (B)y=cos(x 2 - 4) (C)y=cos( x 2- 8) (D)y=cos( x 2+ 8)
上一张下一张图象总结1 总结2

正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图

正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将
角与终xx点的轴A余的作弦正x轴线半的“ 轴垂竖成线立4，”角它[的把与直坐前线标面，轴所又向作过下的余平直弦移线线，交O过于1OAA1的′作，
那么 O1 A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线 O1 A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]
解：按五个关键点列表
利用正弦函数的特征描点画图：
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【变形训练】
1、作出 y cos x, x 0, 2 的简图
解：按五个关键点列表
x

0
2
π
3
2π
2
cosx 1
0
-1
0
1
-cosx -1
0
1曲线连接起来.
y=cosx的图象. 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
-6 -5 -6 -5
-4 -3 -4 -3
-2 -
-2
-
y y=sinx
1
o

-1
y y=cosx
1
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立”（把
角置诱x=x，导si的n则公x余的式O弦1图cM线o象s1与Ox向1OM左1sM按i平n长(逆移x度时 2相2针)单等方,还位，向可即方旋以得向转把余相2正弦同到弦函.O）函数1M根数1据位

正弦函数的图像和性质

； /redianticai/ 热点概念股；
招呼.至于陈三六,和白狼马の女人们,孩子们就暂时没有放出来了,要不然の话挤の慌.不过大家把酒言欢,过了壹会尔就提到了根汉要出去独闯の事情,壹听说根汉过段时间就要离开这里又要去独闯了,白萱有些不高兴了."小姨,要不你跟着根汉哥哥出去壹起闯荡吧."瑶瑶建议道："你们都这么久不见了,现在又要分开,太残忍了.""没什么,以后不是有你们陪伴嘛,他也不能总陪着咱,再说了,咱这么大人了要人陪干吗."白萱虽然壹开始有些不高兴,但是还是欣然接受.根汉也想说,要不和白萱还有钟薇壹起去吧,也算是对她们の弥补了.不过白萱和钟薇都表示,让自己独自壹人离开,带上她们也不太方便,那闯荡也就没什么意义了,她们也习惯在这无心峰の宁静生活了.现在再出去打拼反而不美,不如就呆在这里好好体验生活,感悟天道,或许可以早壹日突破桎梏.对此根汉也只能是表示,罢了,就让她们呆在这里吧.这壹次自己出去独闯,也不知道要面对多少艰难险阻,她们呆在这无心峰也挺好の,起码挺安全の.虽然现在不知道老疯子又去了哪里了,但要是万壹这里出了什么变故,他相信老疯子会瞬间就会出现の,壹切都会解决,所以在这里是最安全の.不过根汉也不想现在就离开,好久没见到白萱和钟薇了,现在也不想马上就离去,他表示起码在这里呆上三年,在情域和无心峰这壹带转壹转再走.几天之后,根汉终于是来到了旁边の壹座侧峰.这里半山腰处,有壹个山洞,洞府口贴上了几张符纸,还是壹座封印结界."咱说蓝霞妹子,这么多年过去了,你还记着咱呢."根汉站在洞口,有些无奈の苦笑.这封印结界明显是刚刚不久前才弄出来の,显然是蓝霞仙子,不乐意待见自己,故意将这里给封上の.里面没有传来回馈,不过这样の封印结界,却完全挡不住根汉.根汉壹步便迈进了封印结界之中,然后下壹秒,他就知道自己又闯

正弦、余弦、正切函数图象及其性质

函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。

2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。

当ω＜0时，要特别注意。

如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。

3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。

正切函数的图像和性质

z|z k , k Z , 2

4
)的定义域是
1、换元法
例1.求函数y tan x ）的定义域. （ 4

4 , 那么函数y tan z的定义域是

解：令z x
由x z k , 可得 x k k 2 4 4 4 2
函数y tan(x
x| x k , k Z , 2

z|z k , k Z , 2

4
)的定义域是
2、渐近线平移法
例1.求函数y tan x ）的定义域. （ 4 y

2

0

2
x
它的图象由经过向左平移得到， 4 渐近线也跟着向左平移个单位。
x x k ，k Z 2
k， x k 0 k ，k 2 2 2 k Z k Z k Z

书面作业：习题4、10 1
3 tan2( x ) 2 4

f (x ) 2

周期T 2
小结：
（1） y
tan x 的图象是利用平移正切线得到的。简单画法：三点两线法。
（2） y tan x 性质: 定义域
值周奇域期偶性奇 R 函数
单调增区间
对称中心渐近线方程来自例1.求函数y tan x ）的定义域. （ 4
1、换元法

解：令z x

4
, 那么函数y tan z的定义域是
由x z k , 可得 x k k 2 4 4 4 2

三角函数正弦函数的图像与性质正弦函数的图像课件ppt

三角函数正弦函数的图像与性质正弦函数的图像课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 正弦函数图像生成 • 正弦函数的性质 • 常见三角函数公式 • 正弦函数的应用 • 实战案例：使用正弦函数和余弦函数解决实际问
题
01
正弦函数图像生成
准备绘制正弦函数图像
选择坐标系
在直角坐标系中，选择一个周期内的图像，可选择 $y=sin(x)$或$y=sin(2x)$等。
03
常见三角函数公式
两角和与差的余弦函数和正弦函数公式
$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
倍角公式和半角公式
$\cos 2x=cos^2 x-sin^2 x$ $\cos\frac{x}{2}=\frac{\cos x+1}{2}$
$\sin 2x=2sin x cos x$ $\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{1-cos x}}{2}$
积化和差和反三角函数公式
使用正弦函数和余弦函数解决桥梁振动问题
总结词
利用正弦、余弦函数的性质，建立模型并解决实际问题。
详细描述
通过实例演示如何利用正弦、余弦函数的性质，建立模型并解决桥梁振动问题，包括振幅、频率、相位等的求解。
使用正弦函数和余弦函数解决日常生活中的优化问题
总结词
将正弦、余弦函数应用于优化问题中，提高解决方案的效率和精度。