等截面悬链线无铰拱的计算.ppt
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9.2拱桥构造
5．横梁 分为： 固定横梁：桥面系与拱肋相交处，应尽量避免 普通横梁：通过吊杆悬挂在拱肋下，截面形式常用矩 形、工字形或土字形或箱形。一般为钢筋混凝土构件， 跨度较大时，也可采用预应力混凝土构件。 刚架横梁：通过立柱支承在拱肋上
§9.2 拱桥的构造 9.2.1 上承式拱桥构造 上承式拱桥由主拱(圈)、拱上传载构件或填充 物、桥面系组成，主拱(圈)是主要承重结构。
1.主拱构造 根据主拱(圈)截面型式不同主要分为板拱、肋拱、箱形 拱、双曲拱等 （1）板拱 拱轴型式：圆弧拱、等截面或变截面悬链线拱等。无铰 拱、双铰拱和三铰拱。按主拱材料不同分为石板拱、混 凝土板拱和钢筋混凝土板拱等。
其他细部构造
3、拱顶填料、桥面 铺装 （1）填料的作用： 扩大车辆荷载作用面 积；减小车辆荷载冲 击作用 （2）厚度：不宜小 于0.3m，大于0.5m时 不计冲击
4. 伸缩缝与变形缝 （1）为什么要设伸缩缝和变形缝？
实际的受力情况符合计算图式，避免拱上建筑不 规则开裂 （2）伸缩缝和变形缝有什么区别？ ������ 伸缩缝：宽度2cm~3cm，缝内填入用锯末沥青按1： 1的质量比制成预制板，也可用沥青砂等其他材料填 缝； ������ 变形缝：不留缝宽，可干砌、用油毛毡隔开或用 低标号砂浆砌筑。
拱肋
立柱 横系梁
1）材料： 混凝土、钢筋混凝土或钢管混凝土，也可选
用石材 2）拱肋数目和间距
主要根据跨径、宽度、肋型、材料性能、荷 载等级、施工条件、拱上结构与经济性等综合选 定。
为保横向稳定，两外侧拱肋外缘间距≥L/20
一般在吊装能力满足要求的情况下，宜采用 少肋型式。通常，桥宽在20m以内时可采用双肋 式，当桥宽在20m以上时，可采用三肋(多肋)拱 或分离的双肋拱。
(整理)L=40m空腹式悬链线无铰拱石拱桥计算(修改版)
L=50m空腹式悬链线无铰拱石拱桥计算1．设计资料某等截面空腹式悬链线无铰拱石拱桥上部结构为等跨50m的石砌板拱，下部结构为重力式墩和U型桥台，均置于非岩石土上。
(1)设计标准l)设计荷载公路-Ⅱ级汽车荷载，人群荷载3kN/m2。
2)跨径及桥宽净跨径L0=50m，净矢高f0=10m，净矢跨比f0/L0=1/5。
桥面净宽为净9+2×1.5，B0=12m。
(2)材料及其数据l)拱上建筑γ=20kN/m3。
拱顶填料厚度h d=0.5m，包括桥面系的计算厚度为0.68m，换算平均重力密度1γ=23kN/m3。
护拱为浆砌片石，重力密度2γ=24kN/m3。
腹孔结构材料重力密度3γ=20kN/m3。
主拱拱腔填料为砂、砾石夹石灰炉渣黄土，包括两侧侧墙的平均重力密度42)主拱圈γ=24kN/m3。
M7.5砂浆砌MU80块石，重力密度5f=4.37MP a。
拱圈材料抗压强度设计值cdf=0.075MP a。
拱圈材料抗剪强度设计值vd弹性模量E m=7300MPa。
拱圈设计温度差为+22℃，-15℃。
(3)设计依据1)《公路桥涵通用设计规范》(JTG D60-2004)，简称《桥规D60》；2)《公路圬工桥涵设计规范)》(JTG D61-2005)，简称《桥规D61》；3)《公路桥涵设计手册——拱桥》上册(石绍甫)、下册(顾安邦)，简称《拱桥》。
2．主拱圈计算(1)确定拱轴系数拱轴系数m 值的确定，一般采用“五点重合法”，先假定一个m 值，定出拱轴线，拟定上部结构各种几何尺寸，计算出半拱恒载对拱脚截面形心的弯矩j M ∑和自拱顶至1/4跨的恒载对1/4跨截面形心的弯矩4/1M ∑。
其比值f y M M j //4/14/1=∑∑。
求得f y /4/1值后，可由肌1)2/)(2/1(24/1--=y f m 中反求m 值，若求出的m 值与假定的舰值不符，则应以求得的肌值作为假定值，重复上述计算，直至两者接近为止。
第三章第三节拱桥计算2
平力大小相等，方向相反，即可抵消弹性压缩及混凝土收缩在拱顶拱脚产 生的弯矩值。
悬链线拱轴线与三铰拱压力线存在近似波形的自然偏离， 据此道理，三铰拱压力线基础上根据实际情况再叠加一个正弦 波形调整拱轴线，用逐次逼近法使弹压砼收缩产生的不利弯矩 为最小。
九、考虑几何非线性的拱桥计算简介
➢ 在线弹性条件下，一般拱桥内力与变形计算结果 和实际不会产生太大误差，随着拱桥跨度增大， 这种由于非线性引起的误差会增大；
（1）假载法调整内力 （2）用临时铰调整内力 （3）改变拱轴线调整内力
（1）假载法调整内力
所谓假载法调整内力，就是在计算跨径、 计算矢高和拱圈厚度保持不变的情况下，通 过改变拱轴系数的数值来改变拱轴线形状， m调整幅度一般为半级或一级。
( y1/4 相差0.01为一级) f
（1）假载法调整内力
实腹拱的内力调整
八、主拱内力调整
• 悬链线无铰拱在最不利荷载组合时，常常 出现拱脚负弯矩或拱顶正弯矩过大的情况， 为了减小它们，可从设计、施工方面采取 措施调整拱圈内力。
（1）假载法调整内力 （2）用临时铰调整内力 （3）改变拱轴线调整内力
八、主拱内力调整
• 悬链线无铰拱在最不利荷载组合时，常常 出现拱脚负弯矩或拱顶正弯矩过大的情况， 为了减小它们，可从设计、施工方面采取 措施调整拱圈内力。
三、拱桥内力计算
（一）手算法计算拱桥内力 1、等截面悬链线拱恒载内力计算 2、等截面悬链线拱活载内力计算 3、等截面悬链线拱其它内力计算
（二）有限元法计算简介 （三）拱在横向力及偏心荷载作用下的计算 （四）拱上建筑计算 （五）内力调整 （六）考虑几何非线性的拱桥计算简介
四、拱在横向水平力及偏心荷载作用下的计算
• 调整前：
悬链线拱轴线与三铰拱压力线存在近似波形的自然偏离， 据此道理，三铰拱压力线基础上根据实际情况再叠加一个正弦 波形调整拱轴线，用逐次逼近法使弹压砼收缩产生的不利弯矩 为最小。
九、考虑几何非线性的拱桥计算简介
➢ 在线弹性条件下，一般拱桥内力与变形计算结果 和实际不会产生太大误差，随着拱桥跨度增大， 这种由于非线性引起的误差会增大；
（1）假载法调整内力 （2）用临时铰调整内力 （3）改变拱轴线调整内力
（1）假载法调整内力
所谓假载法调整内力，就是在计算跨径、 计算矢高和拱圈厚度保持不变的情况下，通 过改变拱轴系数的数值来改变拱轴线形状， m调整幅度一般为半级或一级。
( y1/4 相差0.01为一级) f
（1）假载法调整内力
实腹拱的内力调整
八、主拱内力调整
• 悬链线无铰拱在最不利荷载组合时，常常 出现拱脚负弯矩或拱顶正弯矩过大的情况， 为了减小它们，可从设计、施工方面采取 措施调整拱圈内力。
（1）假载法调整内力 （2）用临时铰调整内力 （3）改变拱轴线调整内力
八、主拱内力调整
• 悬链线无铰拱在最不利荷载组合时，常常 出现拱脚负弯矩或拱顶正弯矩过大的情况， 为了减小它们，可从设计、施工方面采取 措施调整拱圈内力。
三、拱桥内力计算
（一）手算法计算拱桥内力 1、等截面悬链线拱恒载内力计算 2、等截面悬链线拱活载内力计算 3、等截面悬链线拱其它内力计算
（二）有限元法计算简介 （三）拱在横向力及偏心荷载作用下的计算 （四）拱上建筑计算 （五）内力调整 （六）考虑几何非线性的拱桥计算简介
四、拱在横向水平力及偏心荷载作用下的计算
• 调整前：
4.4 拱桥的计算(1)
H1 水平推力影响线坐标表。
M' 不考虑弹性压缩的弯矩 影响线坐标表。 L
M 及其相应的 H 、 V 、 N 影响线面积表。
表（III）-15 V1 值表。计算拱圈自重作用下弹性中心的弯矩时有关 系数。 表（III）-16 V 2 表值。计算拱圈自重作用下弹性中心的水平力时有 关系数。
附录（III）等截面悬链线无铰拱计算用表
拱顶处弯矩Md=0；剪力Qd=0。 对拱脚取距，由
M
A
0 有：
j
Hg
M
f
（1）
对l/4截面取距，由 M B 0 有：
H g y1/ 4 M 1/ 4 0 Hg
M
1/ 4
y1/ 4
代上式到式（1）：
y1/ 4 f
M M
1/ 4 j
（2）
M
1/ 4
自拱顶至拱跨1/4点的恒载对l/4截面的力距。
（2）空腹式拱
空腹式拱桥恒载由两部分组成，主拱圈 承受由实腹段自重的分布力、空腹部分通过 腹孔墩传下的集中力。
拱的压力线为在集中力作用点处有转折 的曲线。 为了使悬链线与其恒载压力线重和，一 般采用“五点重合法”确定悬链线的m值。 即拱轴线在全拱（拱顶、两1/4l点和两拱脚） 与其三铰拱的压力线重合。 拱轴系数确定如下：
y1/ 4 求得 f 后，即可求得m值：
y1/ 4 1 f 2(m 1) 2
（3）
1 f m ( 2) 2 1 2 y1/ 4
空腹拱的m值，仍需采用试算法计算（逐次渐近法）。
3. 悬链线无铰拱的弹性中心
无铰拱是三次超静定结构。对称无铰拱若从拱顶切开取基本结构，
多余力X1（弯矩），X2 （轴力）为对称，而X3（剪力）是反对称 的，由对称性得到下列副系数等于零。
§9.3拱桥的计算
y1ds ∫s EI (9.21) ys = ds EI f (chξk − 1) (6) y1 = m −1
dx l1 = = dξ = l 1 + tg 2ϕ dξ ds cos ϕ cos ϕ 2
l = 1 + η 2 sh 2 kξ dξ 2
f ys = ⋅ m −1
∫0 (chkξ − 1)
2
−1
(
)
(7 )
（2）若已知m，则y1由（6）求得，换言之，当跨径和矢 高确定后， y1仅随m而变化，故有不同的m可得到不同的 拱轴线形状。其线形特征可用1/4点纵坐标的大小表示：
y1 =
4
f ⎛ k ⎞ ⎜ ch − 1⎟ m − 1⎝ 2 ⎠
k chk + 1 m +1 Q ch = = 2 2 2
y1 ∴
4
f
=
m +1 −1 1 2 = m −1 2(m + 1) + 2
(8)
可见，随m 增大，拱轴线抬高
（3）一般的拱桥中，
g j > gd
故 m>1(悬连线拱的拱轴系数，宜采用2.814~1.167， 随跨径的增大或矢跨比的减小而减小)； 当m=1时，表示恒载压力均布，压力线为二次抛物 线，
9.3 拱桥的计算
拱桥计算包括成桥状态受力分析和强度、刚度、稳定验 算以及必要的动力分析，施工阶段结构受力分析和验算。
9.3.1 悬链线拱的拱轴方程及几何性质
（一）实腹式悬链线拱 采用恒载压力线（不计弹性压缩）作为拱轴线
M d = 0 Qd = 0
Hg
1、悬链线拱轴方程
Mx 对任意截面取矩： y1 = Hg
' 22
《桥梁工程》讲义第八章拱桥的设计与计算解析
Jiak Kim 桥
22
第八章 拱桥的设计与计算
§8.2 拱桥设计计算要点
一 、 内力计算要点 拱桥为多次超静定的空间结构。 活载作用于桥跨结构时，拱上建筑参与主拱圈共同 承受活载的作用，称为“拱上建筑与主拱的联合作 用”或简称“联合作用”。 在横桥方向，活载引起桥梁横断面上不均匀应力分 布的出现，称为“活载的横向分布”。
Nd
N L1 K1
31
第八章 拱桥的设计与计算
（2）横向稳定性验算
1）对于板拱或采用单肋合拢时的拱肋，丧失横向稳定 时的临界轴向力，常用竖向均布荷载作用下，等截面 抛物线双铰拱的横向稳定公式计算：
NL
HL
cos m
2）对于肋拱或无支架施工时采用双肋（或多肋）合拢
的拱肋，在验算横向稳定性时，可视为组合压杆（图
第八章 拱桥的设计与计算
§8.1 拱桥设计要点 §8.2 拱桥设计计算要点 §8.3 拱桥有限元计算方法简介 §8.4 悬链线无铰拱内力简化计算
1
第八章 拱桥的设计与计算
§8.1 拱桥设计要点
§8.1.1 确定桥梁的设计标高和矢跨比 §8.1.2 主拱截面尺寸的拟定 §8.1.3 拱轴线选择
2
第八章 拱桥的设计与计算
拱顶底面标高 起拱线标高
基础底面标高
4
第八章 拱桥的设计与计算
二、矢跨比
当跨径大小在分孔时已初步拟定后，根据跨径及拱顶、 拱脚标高，就可以确定主拱圈的矢跨比（f /L ）。
板拱桥：矢跨比可采用1/3～1/7，不宜超过1/8。 混凝土拱桥：矢跨比多在1/5 ～ 1/8间，以1/6居多； 钢管混凝土拱桥矢跨比：1/4～1/5之间，以1/5最多。 钢拱桥常用的矢跨比为1/5～1/10，有推力拱中1/5～
22
第八章 拱桥的设计与计算
§8.2 拱桥设计计算要点
一 、 内力计算要点 拱桥为多次超静定的空间结构。 活载作用于桥跨结构时，拱上建筑参与主拱圈共同 承受活载的作用，称为“拱上建筑与主拱的联合作 用”或简称“联合作用”。 在横桥方向，活载引起桥梁横断面上不均匀应力分 布的出现，称为“活载的横向分布”。
Nd
N L1 K1
31
第八章 拱桥的设计与计算
（2）横向稳定性验算
1）对于板拱或采用单肋合拢时的拱肋，丧失横向稳定 时的临界轴向力，常用竖向均布荷载作用下，等截面 抛物线双铰拱的横向稳定公式计算：
NL
HL
cos m
2）对于肋拱或无支架施工时采用双肋（或多肋）合拢
的拱肋，在验算横向稳定性时，可视为组合压杆（图
第八章 拱桥的设计与计算
§8.1 拱桥设计要点 §8.2 拱桥设计计算要点 §8.3 拱桥有限元计算方法简介 §8.4 悬链线无铰拱内力简化计算
1
第八章 拱桥的设计与计算
§8.1 拱桥设计要点
§8.1.1 确定桥梁的设计标高和矢跨比 §8.1.2 主拱截面尺寸的拟定 §8.1.3 拱轴线选择
2
第八章 拱桥的设计与计算
拱顶底面标高 起拱线标高
基础底面标高
4
第八章 拱桥的设计与计算
二、矢跨比
当跨径大小在分孔时已初步拟定后，根据跨径及拱顶、 拱脚标高，就可以确定主拱圈的矢跨比（f /L ）。
板拱桥：矢跨比可采用1/3～1/7，不宜超过1/8。 混凝土拱桥：矢跨比多在1/5 ～ 1/8间，以1/6居多； 钢管混凝土拱桥矢跨比：1/4～1/5之间，以1/5最多。 钢拱桥常用的矢跨比为1/5～1/10，有推力拱中1/5～
等截面悬链线无铰拱的计算
拱桥中内力符号的规定：轴力压力为正，剪力逆时针转为正，弯矩拱圈内缘受拉为正；
必须考虑温度、混凝土收缩徐变、拱脚变位、弹性压缩等引起的附加内力
*
2-2 无铰拱简化计算图式的基本结构及弹性中心
引入弹性中心ys,使赘余力作用在弹性中心上，使方程中的副变位等于零，方便求解方程；弹性中心离拱顶的距离：
*
1
*
【属于1-1-2】 空腹拱－确定 m的方法
根据拱轴线上“重合五点”与其三铰拱恒载压力线重合（五点弯矩为零）的条件确定m值；根据拱脚、拱跨1/4截面得：
添加标题
先假定m值，定出拱轴线，利用 y ¼ /f 计算查表求m值，多次计算，使m值接近；
添加标题
*
【属于1-1-2】 空腹拱悬链线拱轴的特点
采用“五点法”确定的拱轴线与相应的三铰拱恒载压力线偏离类似于一个正弦波，从拱顶到1/4点，压力线在拱轴线之上，从1/4点到拱脚，压力线大多在拱轴线之下； 与无铰拱的恒载压力线实际上并不存在五点重合关系，拱顶产生负弯矩、拱脚产生正弯矩的偏离；偏离弯矩与截面的控制弯矩符号相反，因此用悬链线比用恒载压力线更合理；
*
2-3-1、不考虑弹性压缩时的恒载内力
实腹拱～拱轴线与恒载压力线重合，仅产生轴向力； 竖直反力： 水平推力:
其中：
其中：
各截面的轴向力：
（可查表）
*
【属于2-3-1】
空腹式拱～根据“五点重合法”
添加标题
各截面的轴向力：
添加标题
一、悬链线拱轴线方程及拱轴系数的确定
设拱轴线即为恒载压力线～即各截面只有轴力。对拱脚取矩，因拱顶截面处M=0,Q=0, 推力Hg；故有： 计算矢高 半跨恒载对拱脚截面的弯矩 1-1 悬链线拱轴方程
拱桥内力计算
将上述系数代入式（1－1－60）后，即可得P＝1作用在B点时的赘余力，
X 1 , X 2 , X 3 。为了计算赘余力的影响线，一般可将拱圈沿跨径分为48等
分。当P＝1从左拱脚以l为部长（ l=l/48）移到右拱脚时，即可利用 式（1－2－60），得出 X 1 , X 2 , X 3 影响线的竖坐标（如下图）。
dx 0 0 EA cos 1 H H1 ' y 2 ds 22 1 (1 ) s EI 考虑弹性压缩后的活载推力（总推力）为： 1＋－1 H＝H1＋H H1 H1 1 ＝H1 1 1＋ H1
l
dx EA cos
H1
l
式中：
1
1
, ,
为系数，可查相应的表格得到；
为了计算变位，在计算MP时，可利 用对称性，将单位荷载分解为正对 称和反对称两组荷载，并设荷载作 用在右半拱。
M 1M P 1P ds s EI M 2M P 2 P ds s EI M M 3 P 3 P ds s EI
M Hg cos ＋X 2 cos
1 ( H g X 2 ) cos 1
1 ( H g X 2 )( y s y1 ) M 弯 矩： 1 Q 1 ( H g X 2 ) sin X 2 sin 1 剪 力：
（1－2－57）
其中：
dx l 1 d cos 2 cos 1 1 cos 1 tg 2 1 2 sh 2 k ds
M 12 l 11 ds s EI EI
l
0
1 2 sh 2 k d
l 1 EI 1
2kf l (m 1)
X 1 , X 2 , X 3 。为了计算赘余力的影响线，一般可将拱圈沿跨径分为48等
分。当P＝1从左拱脚以l为部长（ l=l/48）移到右拱脚时，即可利用 式（1－2－60），得出 X 1 , X 2 , X 3 影响线的竖坐标（如下图）。
dx 0 0 EA cos 1 H H1 ' y 2 ds 22 1 (1 ) s EI 考虑弹性压缩后的活载推力（总推力）为： 1＋－1 H＝H1＋H H1 H1 1 ＝H1 1 1＋ H1
l
dx EA cos
H1
l
式中：
1
1
, ,
为系数，可查相应的表格得到；
为了计算变位，在计算MP时，可利 用对称性，将单位荷载分解为正对 称和反对称两组荷载，并设荷载作 用在右半拱。
M 1M P 1P ds s EI M 2M P 2 P ds s EI M M 3 P 3 P ds s EI
M Hg cos ＋X 2 cos
1 ( H g X 2 ) cos 1
1 ( H g X 2 )( y s y1 ) M 弯 矩： 1 Q 1 ( H g X 2 ) sin X 2 sin 1 剪 力：
（1－2－57）
其中：
dx l 1 d cos 2 cos 1 1 cos 1 tg 2 1 2 sh 2 k ds
M 12 l 11 ds s EI EI
l
0
1 2 sh 2 k d
l 1 EI 1
2kf l (m 1)
拱桥构造
5．横梁 分为： 固定横梁：桥面系与拱肋相交处，应尽量避免 普通横梁：通过吊杆悬挂在拱肋下，截面形式常用矩 形、工字形或土字形或箱形。一般为钢筋混凝土构件， 跨度较大时，也可采用预应力混凝土构件。 刚架横梁：通过立柱支承在拱肋上
2. 拱上建筑的构造 —据构造方式不同，分为实腹式和空腹式 （1）实腹式拱上建筑 1、组成：侧墙、拱腹填料、护拱、变形缝、防水层、泄 水管及桥面等 2、特点：构造简单，施工方便，恒载重 3、适用：小跨径拱桥
拱腹填料的做法： （1）填充式：拱腹填料：砾石、碎石、粗砂或卵类粘土， 亦可用轻质材料侧墙：设于两侧，围护填料，按挡土墙设 计，采用浆砌块、片石，也可采用钢筋混凝土护壁式侧墙。 （2）砌筑式拱腹填料：干砌圬工或浇筑素混凝土侧墙：用 素混凝土浇筑时，可不设侧墙而用砂浆饰面或设镶面
③梁式或板式腹孔：通常是在桥台和墩顶立柱处设 置标准伸缩缝，而在其余立柱处采用桥面连续。
5. 拱铰 （1）拱桥中哪些情况应设铰？ 1）按两铰拱或三铰拱设计的主拱圈 2）按构造要求需采用铰的腹拱圈 3）需设置铰的矮小腹孔墩 4）施工中，设置临时铰 （2）铰的分类：永久性铰，临时性铰
（3）常用的铰的型式： 1）弧形铰 材料：石、砼、钢筋砼 构造：R2(凹）：R1(凸）=1.2~1.5 宽：等于构件宽 长：（1.15~1.2）倍拱厚 适用：主要用于主拱圈
4、拱板 （1）作用：“集零为整”，加 强拱圈整体性 （2）现浇混凝土（不低于C20）
折线形
平板形 波形
5、横向联系构件 （1）作用：使拱肋变形在横桥 向均匀，避免拱波顶纵裂，保证 横向稳定 （2）形式：横系梁和横隔板 （3）布置：拱顶、腹孔墩下、 接头处，间距3~5m。
（4）箱形拱 箱形拱包括箱形板拱和箱形肋拱 ������ 箱形截面拱的主要特点：
拱桥荷载受力计算参考PPT
2
3、活载横向分布：活载作用在桥面上使主拱 截面应力不均匀的现象。在板拱情况下常常 不计荷载横向分布，认为主拱圈全宽均匀承 担荷载。 4、计算方法：手算和程序计算。
3
第三节 拱桥计算
一、拱轴线的选择与确定 二、确定拱轴系数 三、主拱圈弹性中心及弹性压缩系数计算 四、主拱圈截面内力计算 五、主拱圈正截面强度验算 六、主拱圈稳定性验算 七、主拱圈裸拱强度和稳定性验算 八、主拱圈应力调整
（2）布置拱上建筑，求出 M1/4, Mj
（3）利用（1-2-24）和（1-2-27）联立解出m为
m1( f 2)2 1 2 y1/4
（4）若计算m与假定m不符，则以计算m作为 假定值m重新计算，直到两者接近(相差半级)为止。
18
3）拱轴系数的取值与拱上恒载分布有关
（1）矢跨比大，拱轴系数相应取大；
填料及路面重量：Pc= l外′hdγ1 两腹拱之间起拱线以上部分重量：
Pd=(b-x′)y′γ3+[f′+d′-y′)γ2+hdγ1](b-2x′)
得到一个腹拱重量：P=Pa+Pb+Pc+Pd 27
②腹孔下部计算
计算各道横墙、立柱、柱座、盖梁重：Pi
③集中力计算
各腹拱墩中心处恒载之和：P=P腹拱重+P横墙重 若为梁式腹孔：P=P一孔恒载重+P盖梁重+P立柱重+P柱座重
拱脚
gj
1hd
2codsj
3hh
f
dd
2 2cosj
拱轴系数
mgj gd
1hd2cd oj1 sh d 3(f2dd 22cdojs)
1,2,3分别为拱顶填料、主拱圈和拱腹填料的容重；
3、活载横向分布：活载作用在桥面上使主拱 截面应力不均匀的现象。在板拱情况下常常 不计荷载横向分布，认为主拱圈全宽均匀承 担荷载。 4、计算方法：手算和程序计算。
3
第三节 拱桥计算
一、拱轴线的选择与确定 二、确定拱轴系数 三、主拱圈弹性中心及弹性压缩系数计算 四、主拱圈截面内力计算 五、主拱圈正截面强度验算 六、主拱圈稳定性验算 七、主拱圈裸拱强度和稳定性验算 八、主拱圈应力调整
（2）布置拱上建筑，求出 M1/4, Mj
（3）利用（1-2-24）和（1-2-27）联立解出m为
m1( f 2)2 1 2 y1/4
（4）若计算m与假定m不符，则以计算m作为 假定值m重新计算，直到两者接近(相差半级)为止。
18
3）拱轴系数的取值与拱上恒载分布有关
（1）矢跨比大，拱轴系数相应取大；
填料及路面重量：Pc= l外′hdγ1 两腹拱之间起拱线以上部分重量：
Pd=(b-x′)y′γ3+[f′+d′-y′)γ2+hdγ1](b-2x′)
得到一个腹拱重量：P=Pa+Pb+Pc+Pd 27
②腹孔下部计算
计算各道横墙、立柱、柱座、盖梁重：Pi
③集中力计算
各腹拱墩中心处恒载之和：P=P腹拱重+P横墙重 若为梁式腹孔：P=P一孔恒载重+P盖梁重+P立柱重+P柱座重
拱脚
gj
1hd
2codsj
3hh
f
dd
2 2cosj
拱轴系数
mgj gd
1hd2cd oj1 sh d 3(f2dd 22cdojs)
1,2,3分别为拱顶填料、主拱圈和拱腹填料的容重；
悬链线方程
cos
15
【属于1-1-2】
【模块编号】MU-06-03
y h
f
1
(chk 1) 1
0
2
s
2 k d
s m 1
h 1 1
2
s
2 k d
0
f
1
弹性中心坐标系数，与拱轴系数m有关 1
～可根据拱轴系数，查设计手册； ～对变截面悬链线，还与拱厚系数n有关；
【模块编号】MU-06-03
◎确定m的原则
恒载压力线不是一条平滑的曲线，拱轴线采用悬链 线，应尽可能使拱轴线与恒载压力线偏离较小， 采用“五点重合法”使悬链线拱轴与恒载压力线 重合。
10
【属于1-1-2】 空腹拱－确定 m的方法
1）根据拱轴线上“重合五点” 与其三铰拱恒载压力线重 合（五点弯矩为零）的条 件确定m值；根据拱脚、拱 跨1/4截面得：
3）当m=1,曲线即为二次抛物线；
7
【属于1-1】
• 任意截面的拱轴线水平倾角：
【模块编号】MU-06-03
tg
d
y 1
2k
f
shk
dx l(m 1)
8
1-2 拱轴系数m的确定 1-2-1、实腹拱拱轴系数m的确定
【模块编号】MU-06-03
g h
d
d
1d
2
g
j
【模块编号】MU-06-03
◎将拱圈换算为相当长度的压杆，按平均轴向力计算； 验算公式：
◎当主拱的长细比大于规范规定的数值时，按临界力
控制稳定；
临界平均轴向力
K1
NL Nj
4
15
【属于1-1-2】
【模块编号】MU-06-03
y h
f
1
(chk 1) 1
0
2
s
2 k d
s m 1
h 1 1
2
s
2 k d
0
f
1
弹性中心坐标系数，与拱轴系数m有关 1
～可根据拱轴系数，查设计手册； ～对变截面悬链线，还与拱厚系数n有关；
【模块编号】MU-06-03
◎确定m的原则
恒载压力线不是一条平滑的曲线，拱轴线采用悬链 线，应尽可能使拱轴线与恒载压力线偏离较小， 采用“五点重合法”使悬链线拱轴与恒载压力线 重合。
10
【属于1-1-2】 空腹拱－确定 m的方法
1）根据拱轴线上“重合五点” 与其三铰拱恒载压力线重 合（五点弯矩为零）的条 件确定m值；根据拱脚、拱 跨1/4截面得：
3）当m=1,曲线即为二次抛物线；
7
【属于1-1】
• 任意截面的拱轴线水平倾角：
【模块编号】MU-06-03
tg
d
y 1
2k
f
shk
dx l(m 1)
8
1-2 拱轴系数m的确定 1-2-1、实腹拱拱轴系数m的确定
【模块编号】MU-06-03
g h
d
d
1d
2
g
j
【模块编号】MU-06-03
◎将拱圈换算为相当长度的压杆，按平均轴向力计算； 验算公式：
◎当主拱的长细比大于规范规定的数值时，按临界力
控制稳定；
临界平均轴向力
K1
NL Nj
4
第三章第二节 拱桥计算2
下的计算是解高次超静定的问题，一般利用 空间杆系程序计算。
五、拱上建筑的计算
➢ 普通拱桥计算一般分解为主拱计算和拱上建筑计 算，即不考虑联合作用。
➢ 理论计算和试验表明：不考虑联合作用对主拱圈 受力有利，而对拱上建筑受力不利。
➢ 联合作用计算必须与施工顺序相适应。若拱圈合 拢即拆架，则拱上建筑所有恒载及混凝土收缩影 响的大部分由拱单独承受，只有后加的那部分恒 载、活载及温度影响才由拱和拱上建筑共同承受。 对于无支架施工，情况更复杂一些。
（2）用临时铰法调整内力
➢ 施工期设置铰形成三铰拱，拱上建筑完 成后形成无铰拱，主拱的恒载内力按三铰 拱计算，活载和温度内力按无铰拱计算， 可消除恒载弹压引起的附加内力及一部分 由地基变形引起的附加内力。
➢ 布置偏心临时铰，可改善拱顶拱脚弯矩， 使拱顶产生负弯矩，拱脚产生正弯矩消除 弹性压缩，砼收缩徐变产生的附加内力。
四、拱在横向水平力及偏心荷载作用下的计算
3、斜弯曲时拱圈中的应力
（1）斜弯曲和压缩引起的法向应力：
x
y
N
M shu Wx
M heng Wy
N A
（2）剪力和扭矩共同作用时的剪应力：
niu jian
以上 , 可以合成主应力。
四、拱在横向水平力及偏心荷载作用下的计算
4、肋拱在横向水平力作用下的计算 用横系梁联结的肋拱在水平荷载作用
1、8截面； • 无支架施工和大跨径拱桥的3/8截面、1/8截面往往是
控制截面。 • 拱圈强度验算与受压偏心矩有关。 • 当求出了各种作用的内力后，便可进行最不利情况下
的 作用效应组合。 • 在车道荷载引起的拱圈正弯 矩参与组合时，应适当折
据计算精度要求，合理选择计算孔数。
五、拱上建筑的计算
➢ 普通拱桥计算一般分解为主拱计算和拱上建筑计 算，即不考虑联合作用。
➢ 理论计算和试验表明：不考虑联合作用对主拱圈 受力有利，而对拱上建筑受力不利。
➢ 联合作用计算必须与施工顺序相适应。若拱圈合 拢即拆架，则拱上建筑所有恒载及混凝土收缩影 响的大部分由拱单独承受，只有后加的那部分恒 载、活载及温度影响才由拱和拱上建筑共同承受。 对于无支架施工，情况更复杂一些。
（2）用临时铰法调整内力
➢ 施工期设置铰形成三铰拱，拱上建筑完 成后形成无铰拱，主拱的恒载内力按三铰 拱计算，活载和温度内力按无铰拱计算， 可消除恒载弹压引起的附加内力及一部分 由地基变形引起的附加内力。
➢ 布置偏心临时铰，可改善拱顶拱脚弯矩， 使拱顶产生负弯矩，拱脚产生正弯矩消除 弹性压缩，砼收缩徐变产生的附加内力。
四、拱在横向水平力及偏心荷载作用下的计算
3、斜弯曲时拱圈中的应力
（1）斜弯曲和压缩引起的法向应力：
x
y
N
M shu Wx
M heng Wy
N A
（2）剪力和扭矩共同作用时的剪应力：
niu jian
以上 , 可以合成主应力。
四、拱在横向水平力及偏心荷载作用下的计算
4、肋拱在横向水平力作用下的计算 用横系梁联结的肋拱在水平荷载作用
1、8截面； • 无支架施工和大跨径拱桥的3/8截面、1/8截面往往是
控制截面。 • 拱圈强度验算与受压偏心矩有关。 • 当求出了各种作用的内力后，便可进行最不利情况下
的 作用效应组合。 • 在车道荷载引起的拱圈正弯 矩参与组合时，应适当折
据计算精度要求，合理选择计算孔数。
拱桥计算
（二）主拱稳定性验算
1、纵向稳定性验算（面内） 2、横向稳定性验算（面外）主拱圈宽跨比小于1/20时，必须验算主 拱圈的横向稳定性。 3、验算方法：将拱肋换算为相当长度的压杆，按平均轴向力计算， 以强度校核的形式控制稳定。横向稳定性与纵向稳定性相似计算。
（三）主拱动力性能验算
计算结构的自振频率和振型分析
三、拱桥内力计算
（一）手算法计算拱桥内力 1、等截面悬链线拱恒载内力计算 2、等截面悬链线拱活载内力计算 3、等截面悬链线拱其它内力计算 4、内力调整 5、考虑几何非线性的拱桥计算简介 （二）有限元法计算简介 （三）拱在横向力及偏心荷载作用下的计算 （四）拱上建筑计算
4、内力调整
• 悬链线无铰拱在最不利荷载组合时，常常 出现拱脚负弯矩或拱顶正弯矩过大的情况， 为了减小它们，可从设计、施工方面采取 措施调整拱圈内力。
实腹拱的内力调整 • 调整前： • 调整后：
m
m' g' j g 'd
gj gd
g j qx g d qx
• qx是虚构的，实际上并不存在，仅在计算过 程中加以考虑，所以称为假载。假载值 qx 可根据 m’ gd gj求得 q m'm g
x
1 m'
d
（1）假载法调整内力
（四）拱上建筑的计算
（四）拱上建筑的计算
（2）梁板式拱上建筑与主拱联合作用计算
主拱活载弯矩折减近似计算：拱上建筑简化为一根弹性支撑 连续梁，可推得：
Eg I g 1 j ,m 0.35 El I l 1 Cn m
1 / 4
1 0.68 1 2m /(1 n) 0.29
1 e0 2 1 [1 1.33( ) ] rw
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H l 0
g 22
g
l
g
Hg
22
考虑 弹性 压缩 后拱 的内 力
轴向力：
H N
g
1
H cos 1
cos
g
弯
矩：
H y y M 1
1
( )
g
s
1
剪 力：
H Q 1
1
sin
g
20
【属于2-3-2】结论：
◎弹性压缩的影响使拱各截面产生弯矩；拱顶产生正 弯矩偏离，压力线上移；拱脚产生负弯矩偏离，压 力线下移.
21
2-3-3、空腹拱拱轴线偏离恒载压力线的附加内力
◎“五点重合法”使拱轴与恒 ◎规范规定，下列条件可不计 载压力线五点外，其它各点 弹性压缩影响： 偏离，使拱内产生附加内力；
10
【属于1-1-2】 空腹拱－确定 m的方法
1）根据拱轴线上“重合五点” 与其三铰拱恒载压力线重 合（五点弯矩为零）的条 件确定m值；根据拱脚、拱 跨1/4截面得：
y M 1/4
1/ 4
f Mj
2）先假定m值，定出拱轴线， 利用 y ¼ /f 计算查表求m值， 多次计算，使m值接近；
11
【属于1-1-2】 空腹拱悬链线拱轴的特点
拱脚处拱轴线的水平倾 角 j
拱轴系数：
g
m j
g d
拱顶、拱脚的恒载集度
背填料单位重
先假定m值，查表
得 cos j
，求g j后，
求m值，重复计算，
使m值接近
9
1-2-2、空腹拱拱轴系数m的确定
◎确定m的原则
恒载压力线不是一条平滑的曲线，拱轴线采用悬链 线，应尽可能使拱轴线与恒载压力线偏离较小， 采用“五点重合法”使悬链线拱轴与恒载压力线 重合。
gg y
x
d
1
拱顶恒载集度
单位体积重量与纵坐标
f
f
拱脚恒载集度： gj gd gd (m 1)
g
m j
g d
gj gd y1
称m 为拱轴系数
5
【属于1-1】
任一截面:
g
g[1(m1)
y
1]
x
d
f
引入：
xl1,
k2l1 2gd(m 1 ), H gf
l1l2
得线性微分方程：
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
d y lHg k y d
Kg m 2[ln( m
2 1 )]
其中：k g
m 1
4k2
（可查表）
各截面的轴向力：
N Hg
cos
18
【属于2-3-1】
2）空腹式拱～根据“五点重合法”
恒载推力： 拱脚竖直反力：
H
g
M
f
j
VgP
H 各截面的轴向力： N
g
cos
19
2-3-2、恒载作用下弹性压缩引起的内力
根据变形协调条件：
3）当m=1,曲线即为二次抛物线；
7
【属于1-1】
• 任意截面的拱轴线水平倾角：
dy
tg 1
2k
f
shk
dx l(m1)
8
1-2 拱轴系数m的确定 1-2-1、实腹拱拱轴系数m的确定
g d
h1 d
d
2
g
j
h1 d
2
d
cos
h 3
j
, , 分别为拱顶、拱圈、拱 123
hd 拱顶填料厚度
d 拱圈厚度
14
2-2 无铰拱简化计算图式的基本结构及弹性中心
引入弹性中心ys,使赘余力作用 在弹性中心上，使方程中的 副变位等于零，方便求解方 程；弹性中心离拱顶的距离：
y s
s
y 1d
EI
s
d
EI
s
s
其中： y f ( chk 1 )
1 m 1
ds
dx l d
cos 2 cos
15
【属于1-1-2】
1 2
1
d
g
2
1
y 解得悬链线方程：
f (chk1)
1 m1
6
【属于1-1】
从方程可见：
1）矢跨比 f / l 确定后，悬链线的形状取决于拱轴系数m ： m越大，曲线在拱脚处越陡，曲线的四分点位越高； （可根据m值，查设计手册）
2）曲线线型特征可用曲线 y ¼ 的坐标表示，其随m增大而减 小（拱轴线抬高），随m减小而增大（拱轴线降低）；
12
二、 拱桥内力计算
13
2-1 拱桥总体受力特点及考虑的因素
1、实际建造的拱桥大多为多次超静定结构，必须解联立方程； 2、拱桥的主拱圈与拱上建筑具有共同承受桥面活载的“联合
作用”，联合作用与拱上建筑的形式有关；一般拱式拱上 建筑联合作用较大，梁板式拱上建筑联合作用较小； 3、拱轴缩短要考虑拱轴弹性压缩的影响； 4、对肋拱式、双曲拱、桁架拱等拼装结构拱桥，如系杆拱桥， 必须考虑活载横向分布的影响； 5、必须考虑温度、混凝土收缩徐变、拱脚变位、弹性压缩等 引起的附加内力 6、拱桥中内力符号的规定：轴力压力为正，剪力逆时针转为 正，弯矩拱圈内缘受拉为正；
Hg
Mj
f
半跨恒载对拱 脚截面的弯矩
计算矢高
3
【属于1-1】
y M 对任意截面：
x
H 1 g
逐次渐近的基本方程，非连 续函数表达式
恒 载 压 力 线 的 基 本：方 程
d2
y 1
d x2
1
Hg
.
d2
d
Mx x2
g x
Hg
4
【属于1-1】
假定恒载沿拱跨连续分布，恒载集度与拱轴纵坐标 成线性关系，任一截面上的恒载集度：
y h
f
1(chk1) 1
2
s
2kd
0
f
s m1
1
1
2
s
2kd
1
h 0
弹性 中心坐 标 拱系 轴数 系 m有 ， 数关 与 1
～可根据拱轴系数，查设计手册； ～对变截面悬链线，还与拱厚系数n有关；
16
2-3 恒载内力计算
◎拱圈在荷载作用下（恒载、活载）沿拱轴发生弹 性压缩变形，在无铰拱中拱轴的缩短引起弯矩和 剪力；在拱圈中的弹性压缩影响与恒、活载作用 下结构的内力同时发生；
Modular Unit-0603
等截面悬链线无铰拱的计算
1
主要内容
一、悬链线拱轴线方程及拱轴系数的确定 二、拱桥内力计算 三、主拱的强度及稳定性验算 四、内力调整
2
一、悬链线拱轴线方程及拱轴系数的确定
1-1 悬链线拱轴方程
设拱轴线即为恒载压力线～即各 截面只有轴力。对拱脚取矩， 因拱顶截面处M=0,Q=0, 推力 Hg；故有：
◎处理方法：
先计算不考虑弹性压缩时的内力，再计算弹性压缩引起 的内力，二者叠加；
17
2-3-1、不考虑弹性压缩时的恒载内力
1）实腹拱～拱轴线与恒载压力线重合，仅产生轴向力；
竖直反力：
V g K g l1
dx
g
0
x
' l
gd
水平推力:
H
g
m 1
4k2
gd l2
f
k
g
gd l2
f
m 其中： '
21
1）采用“五点法”确定的拱轴线与相应的三铰拱恒载压力 线偏离类似于一个正弦波，从拱顶到1/4点，压力线在拱 轴线之上，从1/4点到拱脚，压力线大多在拱轴线之下；
2）与无铰拱的恒载压力线实际上并不存在五点重合关系， 拱顶产生负弯矩、拱脚产生正弯矩的偏离；偏离弯矩与截 面的控制弯矩符号相反，因此用悬链线比用恒载压力线更 合理；