CFD控制方程离散方法：有限容积法

分离式求解过程
初始
系数
解方程
系数
解方程 ……
总结
离散格式的要求
不合理的解
控制方程离散后求解能够收敛但是得到物理上不合理的解。
1、守恒性Conservativeness
跨过同一个界面离开一个控制体和进入相邻控制体的通量必须相等。相邻控制 体计算跨过界面的通量的式子必须相同（为同一个式子）。
中心差分：没问题
有限容积法
离散与数值解
方程非线性
各个变量通过系数等相互影响：内耦合 把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场，用一系列有限个离散点上 的值的集合来代替，建立起离散方程，求解所建立起来的代数方程以获得所求 解变量的近似值。 分离式求解：在一个方程中认为系数（包括速度）为常数，采用上一次迭代 算出来的值。 迭代求解线性方程组，从一个初始的（猜测的）变量分布开始，不断更新直至 收敛。
CFD控制方程离散方法：有限容积法
控制方程
连续性方程
质量流动
动量方程
动量流动 表面力
能量方程
热流通量
RANS动量方程
湍流动能k 方程
是k的扩散系数, G 是湍流动能的产生速率， 是耗散速率 , 是方程的净源项。
一般形式
守恒形式与非守恒形式
守恒形式
随体导数
连续性方程
非守恒形式 CFD有限容积法计算中用守恒形式，只有守恒型的方程才能 保证有限大小体积内守恒定律的成立
数值传热学基本思想
有限差分法
一维稳态有源项的对流-扩散方程
泰勒展开
得到线性方程组
有限容积法
在一个控制体内做积分
积分之后对方程进行离散
有限容积法
扩散项线性化处理（中心差分）
源项认为在整个控制体内不变，局部线性化处理
两种型线假设
有限容积法
求解线性方程组
有限容积法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
有限容积法
有限容积法
在均分网格情况下与Taylor展开法的结果一致。 在FVM中所谓不同的格式就是指不同的型线。
举例
节点1： 节点5：
小于1在边界处达到，因为ap包含所有边界点（包括值 已知）的边界点，已知值的边界点作为源项出现，使ap 更大。
3、输运性Transportiveness
邻点W和E有两个恒定源，画出等值线
纯扩散
对流扩散
纯扩散使源的影响向各个方向同等地传播；纯对流时，P点只受上游影响不受下游影响。
无源时场随时间变化
3、输运性Transportiveness
n时刻 n+1时刻 扰动被均匀向两侧传递 中心差分
对流项的中心差分不合理，因为aE为负，使得下游增大会使上游 减小
迎风算法
扰动不向上游传递
一阶迎风的数值误差较大，在调试阶段可采用。
求 扩 散 通 量
二次插值：有问题
二次插值格式QUICK 守恒
2、有界性Boundedness
没有源项时内部节点的参数值应该位于边界节点的范围限制内
迭代收敛的充分条件：
系数矩阵对角占优
1、源项的线性化系数应该为负 若源项的线性化系数为负：T增大→S增大→T增大→S增大：不稳定 2、离散方程里的所有系数应该有相同的符号（通常为正）。一个节点参数的增加 应该导致相邻节点参数的增加。 中心节点的参数值为相邻节点的加权平均。 如果离散格式不满足局限性，那么解可能不收敛，或者有“摆动” 3、没有源项时，中心点系数为相邻点系数之和。 当控制方程只包含微分项时，T和T+C都满足微分方程。故参 数加上常数时离散方程仍然成立。