计算方法 5 解线性方程组的迭代法.

x1(1) (1) x2 (1) (1) x x3 (1) xn
b x
(0) 11 1
b x
(0) 12 2

b x
(0) 1n n
f1
假设迭代格式收敛，
* 则x1(1)比x1(0)更接近x1 .
(0) b21 x1(0) b22 x2 (0) b31 x1(0) b32 x2
1 k 1;0 k 得到迭代格式！
x1( k 1) ( k 1) x2 ( k 1) x3 ( k 1 ) xn
(k) b11 x1( k ) b12 x2 (k) b21 x1( k 1) b22 x2 ( k 1) (k) b31 x1( k 1) b32 x2 b33 x2
第五章 解线性代数方程组的迭代法 – 适用于求解大型稀疏方程组的解
解线性代数方程组： Ax b, 其中，矩阵A R nn ,b R n .
迭代法的基本思想：给定一初始向量x (0)，按照一定的计算格式，构造 一个向量序列{ x ( k ) },当x ( k ) x*时，使x*是Ax b的解.
(0) b2 n xn f2 (0) b3 n xn f3
第二行：x1(1) x1(0) 类似地进行下去
(0) bn1 x1(0) bn 2 x2
(0) (0) bnn1 xn b x 1 nn n f n
Fra Baidu bibliotek
(0) (0) x1(1) b11 x1(0) b12 x2 b1n xn f1 (1) ( 1) (0) (0) x b x b x b x 2 21 1 22 2 2 n n f2 x (1) b x (1) b x (1) b x (1) b x (0) f n n1 1 n2 2 nn1 n1 nn n n
j 1 n
k 0,1,
迭代格式的收敛性
i 1,
, n.
此迭代格式称为Jacobi 迭代格式（或简单迭代 法），称B为Jacobi迭 代矩阵.
若由迭代格式产生的向量序列{x ( k ) }收敛, 即lim x ( k ) x * .
k
则称迭代格式收敛，否则称为发散.
假设x*为方程组的精确解，即x* Bx* f . 再与迭代格式相减，得 x ( k 1) x* B x ( k ) x* , k 0,1, B 2 x ( k 1) x * B k 1 x (0) x *
x=Lx+Ux+b
x( k 1) Lx( k 1) Ux( k ) f
此迭代格式称为Gauss-Seidel迭代格式。注意到，
x ( k 1) Lx ( k 1) Ux ( k ) f ( I L) x ( k 1) Ux ( k ) f x
x Bx f xi bij x j fi , i 1,
构造迭代格式
j 1
n
, n.
1. 各分量的计算顺序无关。 2. 迭代格式仅有前后两步有关。 3. 新的近似解是已知近似解的线性函数。
任取初始向量x (0) , 给出迭代格式 x ( k 1) Bx ( k ) f xi( k 1) bij x (j k ) fi ,
k || B || || x ( k ) x* || || x (1) x (0) || 1 || B || (k )
|| B || x || || x ( k ) x ( k 1) || 1 || B ||
*
（误差的事后估计）
（误差的事前估计）
2. Gauss-Seidel迭代法 –
(k) b1n xn f1 (k) b2 n xn f2 (k) b3 n xn f3
( k 1) bn1 x1( k 1) bn 2 x2
( k 1) (k) bnn1 xn b x 1 nn n f n
矩阵格式： B=L+U, 方程组x=Bx+f
于是
x ( k 1) x* 0 B k 1 x (0) x* 0




Bk 1 0
可证明： ( B) 1
lim B k 0
k
定理1.1.对任意右端项f 和初始向量x(0)，迭代格式收敛 ( B) 1.
根据系数矩阵的特点，给出判断收敛的几个常用条件：
任取初始向量x
x
( k 1) i n j 1
(0)
x , ,x
(0) 1

可看作Jacobi迭代的一种改进
(0) n

T
, 和Jacobi迭代格式
构造迭代格式
bij x (j k ) fi x ( k 1) Bx ( k ) f ，i 1, , n. k 0,1,
需考虑如下几个问题：
1. 2. 3. 4. 5. 如何选取初始向量？ 初始向量任选. 如何构造迭代序列？ 迭代序列是否收敛？在什么条件下收敛？ 若收敛，收敛速度如何？并给出定量的刻画. 讨论近似解的误差估计.
简单迭代法的基本思想: 是构造不动点方程，以 求得近似根。
f B 1. Jacobi迭代法 ① x ( I A) x b f B 方程组：Ax b 1 1 ② ( M N ) x b Mx Nx b x M Nx M b 同解构造 即：Ax b 可统一地表示成 x Bx f
1. 若A是严格对角占优阵，则Jacobi迭代收敛. 2. 若A是对称正定阵，2D-A也是对称正定阵，则Jacobi迭代格式收敛. 若A是对称正定阵，2D-A是非对称正定阵，则Jacobi迭代格式不收敛.
收敛速度的定量刻画
( B) ||B ||
定理1.2. 若 || B || 1，则迭代格式收敛于问题的解x*，且有误差估计 || x 或