数值计算_第4章 解线性方程组的迭代法

第4章解线性方程组的迭代法

用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似，对方程组进行等价变换，构造同解方程组(对可构造各种等价方程组，

如分解，可逆，则由得到)，以此构造迭代关系式

（4.1）

任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列。

若迭代序列收敛，设的极限为，对迭代式两边取极限

即是方程组的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。我们将看到，不同于非线性方程的迭代方法，解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质，与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空间少，程序实现简单，尤其适用于大型稀疏矩阵；不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。

可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件，其中是矩阵的特征根。事实上，若为方程组的解，则有

再由迭代式可得到

由线性代数定理，的充分必要条件。

因此对迭代法(4.1)的收敛性有以下两个定理成立。

定理4.1迭代法收敛的充要条件是。

定理4.2迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径

因此，称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径，需要求解矩阵的特征值才能得到，通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的

工作。前面已经提到过，若||A||p矩阵的范数，则总有。因此，若，则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单，其中

于是，只要迭代矩阵满足或，就可以判断迭代序列

是收敛的。

要注意的是，当或时，可以有，因此不能判断迭代序列发散。

在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时，则停止迭代计算，视为方程组的近似解（有关范数的详细定义请看3.3节。）

4.1雅可比（Jacobi）迭代法

4.1.1 雅可比迭代格式

雅可比迭代计算

元线性方程组

（4.2）

写成矩阵形式为。若将式（4.2）中每个方程的留在方程左边，其余各项移到方程右边；方程两边除以则得到下列同解方程组：

记，构造迭代形式

或

（4.3）

迭代计算式（4.3）称为简单迭代或雅可比迭代。任取初始向量，由式（4.3）可得到迭代向量序列

雅可比迭代矩阵

设

由，得到等价方程：

记

不难看出，正是迭代式（4.3）的迭代矩阵，是常数项向量。于是式（4.3）可写成矩阵形式：

（4.4）

其中：

雅可比迭代算法

下面描述解线性方程组的雅可比迭代算法，为了简单起见，在算法中假定矩阵

满足雅可比迭代要求，即，并设由系数矩阵构造迭代矩阵是收敛的。

1．定义和输入系数矩阵与常数项向量的元素。

2．FOR i：=1，2，…，n

{ //假定，形成常数项向量

FOR j:=1,2,…,n

} //形成迭代矩阵元素

3．

// 赋初始值，x1和x2分别表示和

4．WHILE

x1:=x2

x2:=B*x1+g // FOR u:=1,2,…,n

// s:= g[u];

// FOR v:=1,2,…,n s:=s+b[u][v]*x1[v]; // x2[u]:=s；

ENDWHILE

5．输出方程组的解

例4.1用雅可比方法解下列方程组：

解：方程的迭代格式：

或

雅可比迭代收敛。

取初始值，计算结果由表4.1所示。

表4.1 计算结果

0 1 1 1

1 -1.5 1.6 0.9 0.25

2 -1.25 2.08 1.09 0.48

3 -0.915 2.068 1.017 0.335

4 -0.957

5 1.9864 0.9847 0.0816

5 -1.01445 1.98844 0.99711 0.05695

6 -1.00722 2.00231 1.0026 0.01387

7 -0.997543 2.00197 1.00049 0.009687

方程组的准确解是

4.1.2 雅可比迭代收敛条件

对于方程组，构造雅可比迭代格式其中，。当迭代矩阵的谱半径时，迭代收敛，这是收敛的充分必要条

件。迭代矩阵的某范数时，迭代收敛。要注意的是范数小于1只是判断迭代矩阵收敛的充分条件，当迭代矩阵的一种范数||B||>1，并不能确定迭代矩阵是收敛还是发散。例如，

，则，但它的特征值是0.9和0.8。是收敛矩阵。

当方程组的系数矩阵具有某些性质时，可直接判定由它生成的雅可比迭代矩阵是收敛的。

定理4.3若方程组的系数矩阵，满足下列条件之一，则其雅可比迭代法是收敛的。

（1）为行对角占优阵，即

（2）为列对角占优阵，即

证明：（1）雅可比迭代矩阵其中

（2）为列对角优阵，故为行对角占优阵，由系数矩阵构造的迭代矩阵为行对角占优阵，则有

又

得到

而，

得

由系数矩阵构造的雅可比迭代矩阵收敛。

（如矩阵既是行对角占优阵，也是列对角占优阵）

定理4.4若方程组系数矩阵为对称正定阵，并且也为对称正定，则雅可比迭代收敛。

4.2 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法

高斯-赛德尔迭代计算

在雅可比迭代中，用的值代入方程（4.2）中计算出

的值，的计算公式是

事实上，在计算前，已经得到的值，不妨将已算出的分量直接代入迭代式中，及时使用最新计算出的分量值。因此的计算公式可改为：

即用向量计算出的值，用向量计算出

的值，用向量计算出的值，这种迭代格式称为高斯—塞德尔迭代。

对于方程组AX=y ，如果由它构造高斯-塞德尔迭代和雅可比迭代都收敛，那么，多数情况下高斯—塞德尔迭代比雅可比迭代的收敛效果要好，但是情况并非总是如此。

构造方程组的高斯-塞德尔迭代格式的步骤与雅可比类似，设

将式（4.1）中每个方程的留在方程的左边，其余各项都移到方程的右边；方程两边除以，得到下列同解方程组：