计算方法 解线性方程组的迭代法

§6.1 迭代法的基本思想
若A Rnn 非奇异 ，b Rn，则线性方程组
Ax b
有唯一解x A1b，
a) 将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组
b)
对任选一组初始值
x
( i
0
)(
i
1,2,… , n)，按某种
计算规则，不断地对所得到的值进行修正，最终
获得满足精度要求的方程组的近似解。
迭代法的基本步骤
计算方法 (Numerical Analysis)
第9次 解线性方程组的迭代法
主要内容
1. 迭代法的基本思想 2. 雅可比（Jacobi）迭代法 3. 雅可比迭代法的矩阵表示 4. 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法 5. Gauss—Seidel 迭代法的矩阵表示 6. Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代算法实
任务：设 A Rnn 非奇异 ，b Rn，求解方程组
Ax b
(1)
步骤1：经过某变换构造出方程组(1)的一个等价同解
方程组
x Gx d
步骤2：建立迭代公式：
x(k 1) Gx(k) d, k 0,1,...
步骤3：选定初始向量 x(0) x1(0), x(20), … , x(n0) T ,
结果表明，此迭代过程收敛于方程组的精确解 x*= (3, 2, 1)T。
考察一般的方程组，将n元线性方程组
a11x1 a12x2 … a1nxn b1
a21x1
a22x2
… a2nxn …
b2
an1x1 an2x2 … annxn bn
n
写成
aij x j bi
i 1,2,… , n
x1(k 1)
1 a11
(a12x
Baidu Nhomakorabea
(k) 2
a13x(3k)
… a1nx(nk)
b1)
x
(k 2
1)
1 a22
(a21x1(k)
a23x(3k)
… a2nx(nk)
b2)
…
x
(k n
1)
1 ann
(an1x1(k)
an2x
(k) 2
…
an
x(k)
n1 n1
xx21
x1 2x1
x2 4x2
3 3
建立迭代公式：
迭代不收敛 的例子
xx(2k1(k11))
x1(k) 2x1(k)
x(2k) 4x(2k)
3 3
取：
x(0) 1
x(0) 2
0
xx(2k1(k11))
x1(k) 2x1(k)
x(2k) 4x(2k)
3 3
x(0) 1
x(0) 2
0
进行迭代计算得：
xx(21(11))
3 3,
xx(21(22))
3 3,
xx(21(33))
9 9,
xx(21(44))
15 15,
xx(21(55))
33 33,
迭代解离精确解
x1 1, x2 1
越来越远。 迭代不收敛。原因是迭代公式不正确。
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雅可比（Jacobi）迭代法
§6.2 雅可比（Jacobi）迭代法
§6.2.1 雅可比迭代法算法构造
例2. 利用迭代法求解方程组
8x1 3x2 2x3 20 4x1 11x2 x3 33 6x1 3x2 12x3 36
已知精确解： x*=(3, 2, 1)T
解：以下列独特的方式分离出 x1, x，2 x 3
x1
3 8
x2
1 4
x3
5 2
x2
4 11
x1
1 11
x3
3
x3
1 2
x1
1 4
x2
3
右端不含x1 右端不含x2 右端不含x3
由此，建立迭代公式：
x1(k 1)
3 8
x(k) 2
1 4
x(k) 3
5 2
x
(k 2
1)
4 11
x(k) 1
1 11
x(k) 3
3
x
(k 3
1)
1 2
x(k) 1
1 4
x(k) 2
3
取初始向量
x(0)
69 22
x(3) 2
45 22
x(3) 3
171 176
当近似解能达到预先要求的精度，迭代终止，以最后
得到的近似解作为线性方程组的解。
当迭代到第10次有:
x ( 10)
( x1( 10),
x
(1 2
0),
x
(1 3
0))
T
( 3 .0 0 0 0 3 21,.9 9 9 8 7，4 0 .9 9 9 8 8)1T
(x1(0) ,
x(0) 2
,
x(0) 3
)T
(0,0,0)T
进行迭代, 可以逐步得出一个近似解的序列：
(x1(k) ,
x(k) 2
,
x(k) 3
),
k
1,2,..., n
同学们， 迭代两次
x(1) 1
5 2
x(1) 2
3
x(1) 3
3
x(2) 1
23 8
x(2) 2
26 11
x(2) 3
1
x(3) 1
反复使用迭代式进行迭代，期望逼近精确解，直到满
足精度要求为止。
收敛定义：如果
x
(k 1
),
x
(k 2
),
… ,
x(k) n
T
当k∞ 时，存在极限
x*
x 1* ,
x
* 2
,
…
,
x
* n
T
则称迭代法是收敛的，否则就是发散的。
迭代法是收敛的意味着：
lim
k
x(k) i
x， i* i
1 , 2 , . . .n,
j 1
若aii 0, (i 1,2, … , n) ,分离出变量 x i
xi
1 aii
(bi
n
aijx j )
j1
ji
i 1,2,… , n
由此，得到如下的被称为解方程组的 Jacobi迭代公式：
x(k 1) i
1 aii
(bi
n
aij
x(k) j
)
j1
ji
i 1,2,… n
实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量形式:
收敛时，在迭代公式
x ( k1) Gx( k) d 中令 k ，则
(k 0,1,…)
x* Gx* d
故 x * 是方程组
Ax b
的解。
【注1】可以构造各种不同的迭代公式。 【注2】并非所有的迭代公式都收敛
例1 用迭代法求解线性方程组
2x1 2x1
x2 5x2
3
3
解： 构造方程组的等价方程组
bn )
(k=0, 1, 2,…)
例3 试用雅可比迭代法解线性方程组
x1 2x2 - 2x3 1 x1 x2 x3 1 2x1 2x2 x3 1
精确解
x1 -3 x2 3 x3 1
解： 先构造雅可比迭代公式：
x(k 1) 1
现
迭代法的基本思想
第六章 解线性方程组的迭代法
• 迭代法是求解线性方程组，尤其是具有大型稀疏矩 阵的线性方程组的重要方法之一。
• 凡是迭代法都有一个收敛问题，有时某种方法对一 类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时 却会发散。
• 一个收敛的迭代法不仅具有程序设计简单，适于自 动计算，而且较直接法更少的计算量就可获得满意 的解。