计算方法 12 牛顿迭代法-非线性方程资料
非线性方程求根—牛顿迭代法(新)
非线性方程求根——牛顿迭代法一、牛顿迭代法的基本思想基本思想：将非线性方程逐步归结为某种线性方程求解。
设方程f (x )=0有近似根x k （f `(x k )≠0），将f (x )在x k 展开：（ξ在x 和x k 之间）2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-可设记该线性方程的根为x k +1，则()()()0k k k f x f x x x '+-=1()()k k k k f x x x f x +=-'故f (x )=0可近似表示为即为Newton 法迭代格式。
（k =0,1,……）例：用Newton 迭代法求方程310x x --=在x 0=1.5附近的近似实根。
解：32()1,()31f x x x f x x '=--=-迭代公式为312131kk k k k x x x x x +--=--计算步骤如下:（1）取初值x 0=1.5;（2）按照迭代公式计算x 1；（3）若|x 1-x 0|<=0.00001，终止迭代；否则，x 0=x 1；转(2)；（4）输出迭代次数和近似根.二、牛顿迭代法的实现MATLAB求解程序设计：方程及一阶导数函数：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-x-1;%求原函数的值dfun=3*x^2-1;%求一阶导数的值计算主程序：clearx0=1.5;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;while abs(x1-x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('the solution is x1=')x1disp('the iter time is ')i计算结果为：the solution is x1=x1 =1.3247the iter time isi =4可见经过4次迭代即到达要求的精度，原方程的一个近似实数根为1.3247.三、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的迭代函数：)()()(x f x f x x '-=ϕ222)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ设f (x *)=0，f `(x *)≠0，则ϕ`(x *)=0，故Newton 迭代法在x *附近至少平方收敛。
非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法PPT课件
26
Newton下山法
原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之 间找一个更好的点 xk1，使得 f ( xk1) f ( xk ) 。
xk
xk+1
xk1 (1 )xk , [0, 1]
xk 1
[xk
)g( xn
)
n1
n
mng(xn ) mg( xn ) n g(
xn
)
n2 g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
n1
2 n
g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
若 xn 收敛，即
n 0 (n ),
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
又 f ( ) 0
( ) 0 1,
牛顿迭代法局部收敛于
又 ( ) 0
即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度。
注. 定理要求 x0 充分接近 (局部收敛)，充分的程度
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
定理 设 f x 在区间 a,b 上的二阶导数存在，且满足： ① f (a) f (b) 0; （保证 a, b中至少存在一个根）
若 xn 收敛，即 n 0 (n )
lim n1 lim[1
牛顿迭代法(Newton‘s Method)
牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。
考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。
函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。
迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。
因此使用牛顿法是有问题的。
如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。
这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。
常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。
正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。
newton迭代法11-12
若f(a)f(x0)<0 成立,则根必在区间(a, x0)内,取a1=a,b1= x0;否则 必在区间(x0,b)内,取a1= x0,b1=b,
这样,得到新区间(a1,b1),其长度为[a,b]的一半,如此继续下去,进 行k次等分后,得到一组不断缩小的区间,[a,b],[a1,b1],......[ak,bk].
( x*)
2!
( x x*) 2
( p1) ( x*)
( p 1)!
( x x*)p1
( p ) ( x*)
p!
( x x*)p
如果( x*) ( x*) ( p1) ( x*) 0
而 ( p ) ( x*) 0
解三：迭代格式 xk+1=(xk3-5)/2 令x0=2.5,得迭代序列: x1=5.3125, x2=72.46643066, X3=190272.0118, x4=3.444250536 1016， x5=2.042933398 1046, 计算x6时溢出
同样的方程不同的迭代格式有不同的结果 迭代函数的构造有关
L Lk xk x * xk xk 1 x1 x0 1 L 1 L
xk x * x * xk 1 xk xk 1 g'( ) xk x * xk xk＋1
因此： 1 xk x * xk xk＋1 1 L
证毕.
定理1指出,
例1 用简单迭代法求区间(2,3)内方程x3-2x-5=0的根 lim x 解一 将方程两边同加2x+5,再开三次方，得式同解方程 x= 3 2 x 5 作迭代格式 xk+1= 3 2 xk 5 , k=0,1,
非线性方程求解
非线性方程求解在数学中，非线性方程是一种函数关系，其表达式不能通过一次函数处理得到。
与线性方程不同，非线性方程的解决方案往往更具挑战性，因为它涉及到更复杂的计算过程。
尤其在实际应用中，非线性方程的求解是一个非常重要的问题。
本文将讨论几种常用的非线性方程求解方法。
二分法二分法，也称为折半法，是一种基本的求解非线性方程的方法之一。
它的核心思想是将区间一分为二并判断方程在哪一半具有根。
不断这样做直到最终解得精度足够高为止。
下面是利用二分法求解非线性方程的流程：1. 设定精度值和区间范围2. 取区间的中点并计算函数值3. 如果函数值为0或函数值在给定精度范围内，返回中点值作为精确解4. 如果函数值不为0，则判断函数值的正负性并缩小区间范围5. 重复步骤2-4直到满足给定精度为止当然，这种方法并不总是能够找到方程的解。
在方程存在多个解或者区间范围不合适的情况下，二分法可能会导致求解失败。
但它是一种很好的起点，同时也是更复杂的求解方法中的一个重要组成部分。
牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更复杂的求解非线性方程的方法。
它利用泰勒级数和牛顿迭代公式，通过不断迭代来逼近根的位置。
下面是利用牛顿迭代法求解非线性方程的流程：1. 先取一个近似值并计算函数值2. 求出函数的导数3. 利用牛顿迭代公式，计算下一个近似根4. 检查下一个近似根的精度是否满足条件，如果满足，返回当前近似根5. 如果精度不满足，则将新的近似根带入公式，重复步骤2-5当然，牛顿迭代法的收敛性并不总是保证的。
如果迭代过程太过温和，它可能无法收敛到精确解。
如果迭代过程过于暴力，则会出现发散现象，使得求解变得不可能。
其他方法此外，还有一些其他的求解非线性方程的方法，例如黄金分割法、逆二次插值法、牛顿切线法等等。
其中每一种方法都有其优缺点，不同的情况下，不同的方法都可能比其他方法更加适合。
结论总体来说，求解非线性方程的方法非常复杂。
无论是哪种方法，都需要一定的数学基础和计算机知识。
第二节_牛顿迭代法
2 3 xk
2 f ( x) 3 x
k 0,1, 2,
4、牛顿迭代法的局部收敛性定理 设 x* 为方程 f (x) = 0的根，在包含x*的某个开区间内 f ( x) 连 B ( x *) [ x , x ]， f ( x ) 0 续，且 ，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 x0 B ( x*)，由牛顿迭代法产生的序列xk 以不 低于二阶的收敛速度收敛于x*.
标即为 xk 1 。 y
( x0 , f ( x0 ))
x* x2 x x0 1
x
例2.5：写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式；写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。
2 f ( x ) x a 0 (a 0) 的正根 f ( x) 2x 解： 等价于求方程
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( ) ( x x 0 ) 2 ， 2!
在 x0 和 x 之间
* 取 x x ，可将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 )
lim x n 注意到ξn 在xn 及x*之间,及 n
x n1 x* x n x*
2
x*
,故
f" ( n ) f " ( x* ) * 2 f ' ( xn ) 2 f' ( x )
0(二阶收敛)若 f "( x* ) 0 0(大于二阶收敛)若 f "( x* ) 0
Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其 迭代函数为: f ( x) ( x) x f '( x )
牛顿迭代法解非线性方程（组）
⽜顿迭代法解⾮线性⽅程（组）在辨识⼯作中，常常需要对辨识准则或者判据进⾏求极值，这往往涉及到求⾮线性⽅程（组）的解问题。
⽜顿迭代法是⼀种常⽤⽅法。
下⾯把⾃⼰对⽜顿迭代法的学习和理解做个总结。
1.⼀元⾮线性⽅程的⽜顿迭代公式和原理以⼀元⾮线性⽅程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进⾏Taylor级数展开（只展开⾄线性项）得f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)所以⽅程可写成f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0其中x0是给定的已知值，则不难推导出⽅程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项）x = x0 - f(x0) / f'(x0)其中x不是真实解，但是相⽐之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复⼏次上述过程，从⽽使得到的解⾮常接近准确值。
所以，对于⼀元⾮线性⽅程，⽜顿拉夫逊迭代公式为：x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f'(x(k))根据Taylor级数的⼏何意义我们可以从⼏何上形象的看⽜顿迭代法的求解f(x)=0的过程。
第⼀次迭代x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)，其中f(x0) / f'(x0)的⼏何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直⾓三⾓形的知识得到）。
第⼆次迭代x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)，其中f(x1) / f'(x1)的⼏何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。
同理可以进⾏第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。
可能有⼈问，迭代求得的结果会不会不收敛，也就是x会不会偏离x*。
由于x0是在x*附近区域取值的，因此x0到x1这段曲线应该认为是平滑的没有转折的，因此切线与x轴的交点只会越来越接近真实解x*。
但是如果x0的取值离x*⽐较远的话，那么x0到x1这段曲线上可能有“转折”，这样就可能引起迭代的不收敛。
牛顿法
牛顿法牛顿迭代法牛顿迭代法(Newton's method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method),它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
设r是f(x) = 0的根,选取x0作为r初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y = f(x)的切线L,L的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标x1 = x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值。
过点(x1,f(x1))做曲线y = f(x)的切线,并求该切线与x轴的横坐标x2 = x1-f(x1)/f'(x1),称x2为r的二次近似值。
重复以上过程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n)),称为r 的n+1次近似值,上式称为牛顿迭代公式。
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。
把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)+(x-x0)^2*f''(x0)/2! +…取其线性部分,作为非线性方程f(x) = 0的近似方程,即泰勒展开的前两项,则有f(x0)+f'(x0)(x-x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0-f(x0)/f'(x0) 这样,得到牛顿法的一个迭代序列:x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n))。
牛顿法和拟牛顿法是求解无约束最优化的常用方法，有收敛速度快的优点. 牛顿法属于迭代算法，每一步需要求解目标函数的海赛矩阵的逆矩阵，计算复杂. 拟牛顿法通过正定矩阵近似海赛矩阵的逆矩阵，简化了这个过程。
迭代法解非线性方程
则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点 记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一 个根。
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
ba f (b) f (a)
f (a),
xk
1
xk
1
a b
xk a f ( xk ) f (a)
xk b f ( xk ) f (b)
f (a), f (b),
f (a) f ( xk ) 0 f (a) f ( xk ) 0
3.弦截法的Matlab编程实现
function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数
2. 迭代法的收敛性
计算方法 12 牛顿迭代法-非线性方程
a xk 1
2
ek 1 从迭代法则得知： lim p 0时，该迭代式在 x* 的 k e k 附近 p 阶收敛的。
因此，xk 1 体收敛于 1 a xk 在 (0, ) 上以 2 阶速度整 2 xk a。
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计算方法（2016/2017 第一学期）
8
例题
例：给出计算 a 的牛顿迭代公式，并计算 3 。
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9
例题
解：设方程 f ( x) x 2 a 0 ，则 f ( x ) 2 x ， 代入牛顿迭代公式可得 2 xk a 1 k f ( xk ) xk xka xk 1 xk 1 xk xk xk 0 f ( xk ) 1.50000000000000 2 xk 2 xk 1.75000000000000 0.25 当 a=3 1 时，迭代公式为
所示。
1 1.66667 6
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12
例题
例：用牛顿迭代法计算 1/1.2345。
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13
例题
1 1 解：将 x 转化为 f ( x ) a 0 ，a 1.2345 a x
收敛于 a ，且收敛速度是 2 阶的。
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Newton迭代法求解非线性方程
Newton迭代法求解非线性方程Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。
因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。
牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。
设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ?=x k +f (x k )f (x k )?(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。
用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。
牛顿法具有明显的几何意义。
方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。
迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。
正因为如此，牛顿法也称为切线法。
牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。
一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x时才能保证收敛。
若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。
如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。
非线性方程的求解和分析
非线性方程的求解和分析近年来，随着科技的飞速发展，各个领域中越来越多的问题需要用到求解非线性方程的方法。
这些非线性方程指的是方程中包含有一个或多个未知数的嵌套函数的方程。
解非线性方程是现代数学、物理和工程等领域中获得解析解的一个重要问题。
本文将讨论非线性方程的求解和分析方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的基本方法。
它的原理是利用函数的导数逼近函数的根。
其算法如下:(1) 选一个初始值 $x_0$(2) 迭代公式: $x_{n+1} = x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$其中，$f(x)$ 为非线性方程， $f'(x)$ 表示 $f(x)$ 在 $x$ 处的导数。
(3) 若 $|f(x_{n+1})|<\epsilon$（$\epsilon$ 为给定的精度），则停止计算，$x_{n+1}$ 为 $f(x)=0$ 的一个近似解。
否则，令$n=n+1$，返回第（2）步进行迭代。
值得注意的是，在实际计算中，可能存在导数 $f'(x_n)$ 为零，或者非线性函数的导数求解过于复杂的情况。
对于这些问题，可以使用牛顿迭代法的改进方法来解决。
二、牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种解决在牛顿迭代法中遇到的问题的改良方法之一。
它通过在公式中引入一个阻尼系数 $\lambda$ 来避免除以零和产生振荡。
公式如下：$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)+\lambda f''(x_n)}$其中，$f''(x)$ 表示 $f(x)$ 的二阶导数。
通过引入阻尼系数，可以避免迭代过程中 $f'(x)$ 零点附近的振荡，并且当 $f'(x)$ 接近零时，阻尼系数会变得更大，以减小振荡的影响。
三、拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton Method）是一种利用 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）公式来近似牛顿法中的 Hessian 矩阵的方法。
牛顿迭代法
一 .牛顿迭代法简介1.牛顿迭代法的产生背景牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
利用牛顿迭代法来解决问题需要做好的工作：（1）确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
（2）建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
（3）对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
2.牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
数值分析求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法说课材料
数值分析求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法实验报告一：实验题目 一、 实验目的掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。
二、 实验内容1、编写二分法、牛顿迭代法程序，并使用这两个程序计算02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 410- ，比较两种方法收敛速度。
2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。
3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。
4、用牛顿法求方程的根，精确至8位有效数字。
比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。
三、 实验程序第1题：02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。
画图函数：function Test1()% f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0r = 0:0.01:1;y = r + exp(r) - 2plot(r, y);grid on 二分法程序：计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4)function [c,num]=bisect(a,b,delta)%Input –a,b 是取值区间范围% -delta 是允许误差%Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num 是迭代次数ya = a + exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb>0return;endfor k=1:100c=(a+b)/2;yc= c + exp(c) - 2;if abs(yc)<=deltaa=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif abs(b-a)<deltanum=k; %num为迭代次数break;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛顿迭代法程序：计算调用函数：[c,num]=newton(@func1,0.5,1e-4) 调用函数：function [y] = func1(x)y = x + exp(x) - 2;end迭代算法：function[c,num]=newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值num=-1;for k=1:1000y0=func(p0);dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8;p1=p0-y0/dy0;err=abs(p1-p0);p0=p1;if(err<delta)num=k;%num为迭代次数break;endendc=p0;第2题：由题意得到算式：计算调用函数：[c,num]=newton(@func2,0.02,1e-8)程序：先用画图法估计出大概零点位置在0.02附近。
牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法
记 L 1 ，上面两式可以合并写成：
f ( x) L 。 这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是： 需要注意的是，由于 L 是 ' ( x) 的估计值，若取 ( x) x f ( x) ，则 ' ( x) 实际上便是
f ' ( x) 2 L ，可见当 L 与 f ' ( x) 同号且满足上述不等式时，推广的简化
法就有平方收敛的速度，为了扬长避短，扩大初始值选取的范围，下面介绍牛顿法的一种改进 ——牛顿下山法。
xn 1 xn
将牛顿法的迭代公式修改为： 其中， 是一个参数， 的选取应使
f ( xn ) f ' ( xn )
xn 1 xn
计算平方根的准确而有效的计算方法。 3.4.3 牛顿迭代法的变形 用牛顿法解方程，虽然在单根附近具有较快的收敛速度，但它有个明显的缺点，就是每次 都要计算导数 f ' ( x) ，当 f ( x) 比较复杂时，计算 f ' ( x) 可能很困难。下面介绍两种克服这种 困难的方法，另外还介绍一种扩大牛顿迭代法初值选择范围的方法，它们统称为变形的牛顿迭 代法。 1 简化牛顿法
f ( xn ) f ' ( xn ) 。
( x) x
牛顿迭代公式可以看成是由 不动点迭代的收敛原则，只须证明在根 附近的迭代函数是一个压缩映象。由于：
f ( x) f ' ( x) 而获得的不动点迭代格式。这样就可以应用
' ( x) 1
[ f ' ( x)]2 f ( x) f "( x) f ( x) f "( x) [ f ' ( x)]2 [ f ' ( x)]2 ，
求解非线性方程的牛顿迭代法
求解非线性方程的牛顿迭代法作者：李晓辉任伟和程长胜来源：《科技风》2021年第14期摘要：本文主要讲了求解非线性方程的牛顿迭代法。
文章首先引入牛顿迭代法的公式、迭代函数。
紧接着文章又介绍了牛顿迭代法的局部收敛性以及它的收敛速度，并通过数值实验验证了牛顿迭代法求解非线性方程的有效性。
关键词：牛顿迭代法;局部收敛;收敛速度中图分类号：O010224文献标识码：A一、绪论类似于线性方程组Ax=b求解的问题，非线性方程的一般问题可化为f（x）=y，即“对于什么样的x的值，函数f取值为y”，这里可以暂且先把f当成单变量函数，通常把y移项并吸收进f，从而一般形式可记为f（x）=0，因此，一个一般的一元非线性方程的求解问题有如下形式：给定函数f，寻找x（实的或复的），使得f（x）=0。
若存在一点x*满足该性质，称x*是方程f（x）=0的根或函数的零点。
这类问题称为求根问题或求零点问题。
此外，方程的根的情况可分为单根和重根。
一般的非线性方程的重数可以定义如下：若f（x）=（x-x*）m·g（x）且g（x）≠0，其中，m为自然数，称x*为f（x）的m重根，m=1时也称单根。
若区间[a，b]上有方程的一个实根，称该区间为方程的一个有根区间，如果能把方程的有根区间的长度缩短到一定的范围内，那么就求到了一个近似根，通常采用的都是数值求解的办法，因此若假设要求有根区间长度为0（即求到精确解），这些数值求解的办法通常都会产生一个逐渐逼近根的一个无穷序列。
求方程的近似根，一般要考虑如下几个问题：（1）根的存在性问题，即方程有没有实根，有几个根。
（2）有根区间的确定。
本文介绍的算法通常是假设有根的前提下给出求近似根的方法，一般需要以别的辅助工具先确定有根区间。
（3）求出足够近似的根，即在制定精度下缩小有根区间，或通过某些判别条件断定近似根的精度。
二、Newton迭代公式的构造简单迭代是将非线性方程f（x）=0通过代数恒等变形，将原方程化成等价方程x=φ（x），从而形成迭代式xk+1=φ（xk）。
6.解非线性方程组的牛顿迭代法
eN TN (1 hL) eN 1
TN (1 hL) TN 1 (1 hL) eN 2
TN (1 hL) TN 1
(1 hL)2 TN 2 (1 hL)N 1 T1
N 1 k 0
(1
function f=myfun syms x; syms y f=[x^2+y^2-1;x^3-y]; x0=[0.8;0.6];
>> newton (myfun,x0,1e-6) n=
4 ans =
0.8260 0.5636
7. 最速下降法
f1( x, f2 (x,
y) y)
f1 y f2 y
y1
y0
1 J0
f1 f2
f1 f2 ( x0 , y0 ) f1x f2x
(**)
例： x 2 ( x
y2 5 0 1) y (3x
1)
0
求
(1,1) 附近的解
f1x
f2x
f1 y f2 y
2x y3
Tn1 y( xn1 ) yn1 一步产生的误差
其中是由公式根据前一步的准确值获得的。
y( xn1 ) y( xn h)
y( xn ) hf ( xn ,
y(xn ))
h2 2
y( )
xn xn!
yn1 y( xn ) hf (xn , y( xn )) (Euler方法)
f
(x,
y ( x))dx
非线性方程组的牛顿迭代法的应用
非线性方程组的牛顿迭代法的应用CENTRAL SOUTH UNIVERSITY数值分析实验报告非线性方程组的牛顿迭代法的应用一、问题背景非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱，非线性问题的数学模型有无限维的如微分方程，也有有限维的。
道遥咏计算机进行科学计算都要转化为非线性的单个方程或方程组的求解。
从线性到非线性是一个质的变化，方程的性质有本质不同，求解方法也有很大差别。
本文主要介绍的是非线性方程组的牛顿迭代法的数值解法。
二、数学模型对于方程f x =0，如果f x湿陷性函数，则它的求根是容易的。
牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将线性方程 f x =0逐步归结为某种线性方程来求解。
设已知方程f x =0有近似根X k （假定f X k - 0），将函数f x在点X k展开, 有f X ： f X k f' X k X -X k ，于是方程f X = 0可近似地表示为f X k f' X k x - X k =0这是个线性方程，记其根为X ki，则X k 的计算公式f（Xk）k 01...X ki =X k ；，k=01，f区）这就是牛顿法。
三、算法及流程对于非线性方程飞仅鸡丄区）1 f2（X i,X2 丄,X n ） f =M」n（X i ,X2,L,X n ）在x k处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到fjx*),X2(k )丄,XnC ))1 -X1(“)_X1(k )〕 fzgt 以^)丄％$))十f'(x (k))X2(kT —X2(k)MM ' fn(x/k凡卜),L,Xn&))1 〕X 0L Xn ®这边是牛顿迭代法的算法过程，牛顿迭代法是工程上应用最多的一种非线性方 程组的计算方程法。
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f ( x) f ( x)
f ( x)2 ,
( x) 0
( x)
f ( x)2
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
f ( x)3
2 f ( x) f ( x)2 f ( x* ) f ( x)3 f ( x* )
当 f ( x*) 0 时，由迭代定理可知，牛顿迭代 法以 2 阶速度收敛于 x* 。
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4
牛顿迭代法
定义：对于给定正数 a，应用牛顿迭代法解二次 方程 x2 a 0，可求 a 的计算公式
1 a
xk 1
2
xk
xk
例：证明以上公式，对于初值 x0 (0, ) 整体收 收敛于 a ，且收敛速度是 2 阶的。
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1
牛顿迭代法几何含义
y=g(x)
x* xk x2
x1
x0
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
令
y 0 x1 x0
f ( x0 ) f ( x0 )
y f ( x1 ) f ( x1 )( x x1 )
令
y 0 x2 x1
f ( x1 ) f ( x1 )
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2
牛顿迭代法
定义：从几何上看，x1, x2 越来越接近 x*。由此， 不难归纳出一般迭代公式
xk1
xk
f ( xk ) f ( xk )
( x0为初值)
以上方法称作牛顿迭代法（也称切线法）
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12
例题
例：用牛顿迭代法计算 1/1.2345。
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13
例题
解：将 x 1 转化为 f ( x) 1 a 0 ，a 1.2345
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9
例题
解：设方程 f ( x) x2 a 0 ，则 f ( x) 2x ，
代入牛顿迭代公式可得
xk 1
xkk 0
f ( xk ) f ( xk )
1.x50k000x00kx020k20x00k0a0
1
2
xk
xka1 xk
取 x0 51.5 ，代入1牛.732顿0508迭075代6888公式，计0 算结果如表
所示。
3 1.73205080756888
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10
例题
例：设 a>0 ，推导用牛顿迭代法计算 1/a 的 公式，要求在迭代公式中不用除法进行运算，并 计算 1/6。
0.015
当 a=62 时，牛顿迭0代.166公650式为
3
0.166817
xk1 x4 k (2 6 xk ),
(k 0,1, )
0.166667
0.00165 0.000167 0.00075
取 x0 5 0.15 ，代入牛0.1顿6666迭7 代公式，计0 算结果如表
所示。
1 1.66667 6
1 a xk1 2xk
2
a xk
2
a xk
a a
xk 1 xk 1
a a
xk xk
2
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6
牛顿迭代法
证明：反复递推可得
2
22
a a
xk 1 xk 1
a a
xk xk
a a
xk 1 xk 1
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5
牛顿迭代法
证明：从牛顿迭代法可得
xk 1
xk
f ( xk ) f ( xk )
f ( xk ) 2xk
xk 1
xk
xk2 a 2 xk
xk2 a 2 xk
1 2 xk
xk2 a
1 a xk1 2xk
2k 1
=
=
a a
x0 x0
若记：q
a a
x0 x0
(q
1)
xk 1
1 q2k1 a 1 q2k1
lim
k
xk 1
a
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7
牛顿迭代法
证明：设 ek1
a xk1
ek 1 ek2
=-
a xk1
2
a xk
定理： 设 x*是方程 f ( x) 0 的一个单根，且 f ( x) 0 ， 则，牛顿迭代法以 2 阶速度收敛于方程根 x* 。
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3
牛顿迭代法
证明：事实上，迭代函数 ( x)
x
f ( x) ，且
f ( x)
( x)
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11
例题
解：设方程
f (x)
1 x
a
0
，则
f ( x)
1 x2
，
代入牛k顿迭代公式可x得k
xk 1
x0 k
1
f ( xk ) f ( xk )
x0k.1(520000 axk ),
0.165000
xk1 xk
(k 0,1, )
2016/2017 学年 第一学期（16周）
牛顿迭代法 – 非线性方程
牛顿迭代法几何含义
y=g(x)
x* xk x2
x1
x0
设方程 f ( x) 0 有根 x*，且 f ( x) 0 ，如图所示 牛顿给出一种求解方法：在根附近任取一个点，
曲线与在该点处的切线，该切线与轴线交点取作
第二点，依次循环
lim
k
ek 1 ek2
=-
1 2a
从迭代法则得知：lim k
ek 1 ekp
0时，该迭代式在
x*
的
附近 p 阶收敛的。
因此，xk 1
1
2
xk
a xk
在
(0, ) 上以 2 阶速度整
体收敛于 a。
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8
例题
例：给出计算 a 的牛顿迭代公式，并计算 3 。
xk
当 a=3 1时，迭代公1.75式000为000000000
0.25
2
1 3
xk 1
2
3 4
xk
xk
1.73214285714286 1.73205081001473 1.73205080756888
0.01785714285714 0.00009204712813 0.00000000244585