牛顿迭代法求解非线性方程组的解

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牛顿法及基于牛顿算法下的Steffensen加速法求解非线性方程组方法例题及答案

1. 非线性方程组求解1．分别用牛顿法，及基于牛顿算法下的Steffensen 加速法。

(1) 求ln(sin )x x +的根。

初值0x 分别取0.1，1，1.5，2，4进行计算。

(2) 求sin =0x 的根。

初值0x 分别取1，1.4，1.6，1.8，3进行计算。

分析其中遇到的现象与问题。

（1）牛顿法牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程()0f x =逐步归结为某种线性方程来求解。

将已知方程()0f x =在近似值k x 附近展开，有()()()()'0k k k f x f x f x f x x ≈+-=，构造迭代公式，则1k x +的计算公式为：()()1',0,1,,k k k k f x x x k f x +=-= (1-1)根据Taylor 级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解()0f x =的过程，第一次迭代()()'1000/x x f x f x =-，其中()()'00/f x f x 的几何意义很明显，就是0x 到1x 的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。

第二次迭代()()'2111/x x f x f x =-，其中()()'11/f x f x 的几何意义很明显，就是1x 到2x 的线段长度。

同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x 的取值在不断逼近真实解*x 。

如图1-1所示：图1-1○1求ln(sin )=0x x +的根时，迭代公式为()1ln(sin )sin 1cos k k x x x x x x x+++=++，0示。

计算结果见附录1表F.1-1所示。

初值取1.5，2，4进行计算时结果不收敛。

表 1-1 牛顿法计算结果○2求sin =0x 的根时，迭代公式为1cos k k x x x+=+，初值0x 分别取1、1.4、1.6、1.8、3计算时结果收敛，误差小于510-时，近似解如表1-2所示。

非线性方程组的求解方法及其应用

非线性方程组的求解方法及其应用非线性方程组是数学中一类非常重要的问题，其中每个方程都不是线性的。

与线性方程组不同，非线性方程组的求解通常需要借助于数值方法。

本文将讨论一些常见的非线性方程组求解方法，并介绍它们在实际应用中的一些应用。

1. 牛顿法牛顿法是一种非常常见的非线性方程组求解方法。

该方法基于牛顿迭代法原理，将非线性方程组转化为一系列的线性问题。

牛顿法的基本思想是：通过不断地使用一阶导数和二阶导数的信息来逼近方程组的解。

具体地说，在每一轮迭代中，求解一个方程组：$$F(x^{k})+J(x^{k})\Delta x^{k} =0$$其中$F(x)$表示非线性方程组，$x^k$表示第$k$轮迭代的解，$J(x^k)$表示$F(x)$在$x^k$处的雅可比矩阵，$\Delta x^k$表示下降方向，满足$\|\Delta x^k\|\rightarrow 0$。

值得注意的是，牛顿法在每轮迭代中都需要求解一次雅可比矩阵，这需要大量的计算资源。

因此，在实际应用中，牛顿法通常只适用于相对较小的方程组。

2. 信赖域方法相比于牛顿法，信赖域方法更具有通用性。

信赖域方法的基本思想是：在每轮迭代中，通过构造二次模型来逼近目标函数，并在一个信赖域内搜索下降方向。

具体地说，我们在每轮迭代中将非线性方程组$F(x)$在$x^k$处转化为二次模型：$$m_k(\Delta x)=F(x^k)+\nabla F(x^k)^\top \Deltax+\frac{1}{2}\Delta x^\top B_k\Delta x$$其中，$\nabla F(x^k)$是$F(x)$在$x^k$处的梯度，$B_k$是二阶导数信息。

在这里我们假设$B_k$为正定矩阵。

显然，我们希望在$m_k(\Delta x)$的取值范围内找到一个适当的$\Delta x$，使得$m_k(\Delta x)$最小。

因此，我们需要设定一个信赖域半径$\Delta_k$，并在$B_k$所定义的椭圆范围内查找最优的$\Delta x$。

非线性方程组(简单)

非线性方程组(简单)非线性方程组（简单）非线性方程组是指其中包含非线性方程的一组方程。

与线性方程组不同，非线性方程组的解不一定满足线性性质，因此求解非线性方程组需要采用特定的方法和策略。

1. 概述非线性方程组的一般形式如下：$$\begin{align*}f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) &= 0 \\f_2(x_1, x_2, \ldots, x_n) &= 0 \\&\ldots \\f_m(x_1, x_2, \ldots, x_n) &= 0 \\\end{align*}$$其中，$f_1, f_2, \ldots, f_m$ 是非线性函数，$x_1, x_2, \ldots,x_n$ 是方程组的未知数。

2. 求解方法求解非线性方程组的方法有多种，下面列举了常用的两种方法。

2.1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种迭代求解非线性方程组的方法，其基本思想是利用导数来逐步逼近方程组的解。

该方法的迭代公式如下：$$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$其中，$x_k$ 是第$k$次迭代的近似解，$f(x_k)$ 是方程组在$x_k$处的函数值，$f'(x_k)$ 是方程组在$x_k$处的导数值。

牛顿迭代法需要选择一个初始解$x_0$，然后通过迭代计算，逐步逼近方程组的解。

当迭代次数足够多时，求得的解可接近方程组的实际解。

2.2. 拉盖尔－加普列森方法拉盖尔－加普列森方法是一种逐次迭代的方法，适用于任意不适合牛顿迭代法的非线性方程组。

该方法的迭代公式如下：$$x_{k+1} = x_k - (J_k)^{-1} \cdot f(x_k)$$其中，$x_k$ 是第$k$次迭代的近似解，$f(x_k)$ 是方程组在$x_k$处的函数值，$J_k$ 是方程组在$x_k$处的雅可比矩阵。

拉盖尔－加普列森方法需要选择一个初始解$x_0$，然后通过迭代计算，逐步逼近方程组的解。

解非线性方程组的牛顿迭代法

为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
（1）简化牛顿法，也称平行弦法.
xk 1 xk Cf ( xk )
其迭代公式为（4.7）
C 0,1 ,.
迭代函数 ( x) x Cf ( x).
若在根 x * 附近成立 ( x) 1 Cf ( x) 1 ，即取 0 Cf ( x) 2，则迭代法（4.7）局部收敛.
8
xk
C 2 C
q2
k
1 q
2k
.
对任意 x0 0，总有 q 1，故由上式推知，当 k 时 xk C ，即迭代过程恒收敛. 例8 解求 115 .
表7 6 计算结果 k 0 1 2 3 4 xk 10 10.750000 10.723837 10.723805 10.723805
f ( x) , f ( x)
由于
( x)
f ( x) f ( x) . 2 [ f ( x)]
假定 x *是 f ( x) 的一个单根，即 f ( x*) 0, f ( x*) 0 ，则由上式知 ( x*) 0 ，于是依据定理4可以断定，牛顿法在根 x *的邻近是平方收敛的.
准备迭代
x0 ，计算 f 0 f ( x0 ), 选定初始近似值
步骤2
按公式
x1 x0 f 0 / f 0
迭代一次，得新的近似值 x1，计算 f1 f ( x1 ), f1 f ( x1 ). 步骤3 控制
x1 满足 1 如果
f1 2 ，则终或
5
止迭代，以 x1作为所求的根；否则转步骤4. 允许误差，而
3
又因
( x*)
f ( x*) , f ( x*)

牛顿法解非线性方程组

一、求根方法原理把非线性函数f(x)=0在x0处展开成泰勒级数取其线性部分，作为非线性方程的近似方程，则有 , 设，则其解为,再把f(x)在x1处展开为泰勒级数，取其线性部分为的近似方程，若，则得，如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式：，通过迭代，这个式子必然在的时候收敛。

整个过程如下图：牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数的一阶导数存在。

二、求解步骤1. 选取一个接近函数零点的自变量 x 值作为起始点。

2. 使用如下的迭代公式更新近似解。

3. 如果得出的解满足误差要求，终止迭代，所得的值即视为方根根的近似解。

三、自定的非线性方程使用牛顿迭代法近似求解如下方程在[-1, 1]之间的根：四、源程序代码clear, close allclcf = @(x) cos(x) -x.^3;f_prime = @(x) -sin(x) -3*x.^2;error = 1; %初始化误差变量iter = 0; %初始化迭代次数变量max_iter = 5000; %定义最大允许迭代次数tol = 1e-8; %定义循环终止误差x0 = 0.5; %初始值while error > tol && iter <= max_iterx = x0 - f(x0)/f_prime(x0); %更新x的值error = abs((x-x0)/x0); %计算相对误差iter = iter +1; %更新迭代次数x0 = x; %计算出的x赋值给x0，继续迭代，直到达到误差条件。

end五、上机运行结果截图六、结论1.迭代法是求解非线性方程组的一种很好的方法，它可以反复校验根的近似值，直到得出符合精度的解。

从几何角度上来解释可以解释为两个函数的无限逼近2.我们为了加快迭代的速度，引入了牛顿法，牛顿法的收敛速度很快，但是其收敛性取决于牛顿法的取值。

3.。

matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组

matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组已知非线性方程组如下3*x1-cos(x2*x3)-1/2=0x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06=0exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3=0求解要求精度达到0.00001 ————————————————————————————————首先建立函数fun储存方程组编程如下将fun.m保存到工作路径中:function f=fun(x);%定义非线性方程组如下%变量x1 x2 x3%函数f1 f2 f3syms x1 x2 x3f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2;f2=x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06;f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3;f=[f1 f2 f3]; ————————————————————————————————建立函数dfun用来求方程组的雅克比矩阵将dfun.m保存到工作路径中:function df=dfun(x);%用来求解方程组的雅克比矩阵储存在dfun中f=fun(x);df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2');diff(f,'x3')];df=conj(df'); ————————————————————————————————编程牛顿法求解非线性方程组将newton.m保存到工作路径中:function x=newton(x0,eps,N);con=0;%其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛for i=1:N;f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});df=subs(dfun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});x=x0-f/df;for j=1: length(x0);il(i,j)=x(j);endif norm(x-x0)<epscon=1;break;endx0=x;end%以下是将迭代过程写入txt文档文件名为iteration.txtfid=fopen('iteration.txt','w');fprintf(fid,'iteration');for j=1:length(x0)fprintf(fid,' x%d',j);endfor j=1:ifprintf(fid,'\n%6d ',j);for k=1:length(x0)fprintf(fid,' %10.6f',il(j,k));endendif con==1fprintf(fid,'\n计算结果收敛！');endif con==0fprintf(fid,'\n迭代步数过多可能不收敛！');endfclose(fid); ————————————————————————————————运行程序在matlab中输入以下内容newton([0.1 0.1 -0.1],0.00001,20) ————————————————————————————————输出结果——————————————————————————————————————————在iteration中查看迭代过程 iteration x1 x2 x3.mulStablePoint用不动点迭代法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps)%非线性方程组：f%初始解：a%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nif nargin==2eps=1.0e-6;endx0 = transpose(x0);n=1;tol=1;while tol>epsr= subs(F,findsym(F),x0); %迭代公式tol=norm(r-x0); %注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;x0=r;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendx0=[0 0 0];[r,n,data]=budong(x0);disp('不动点计算结果为')x1=[1 1 1];x2=[2 2 2];[x,n,data]=new_ton(x0);disp(’初始值为0，牛顿法计算结果为：’)[x,n,data]=new_ton(x1);disp('初始值为1，牛顿法计算结果为：')[x,n,data]=new_ton(x2);disp ('初始值为2，牛顿法计算结果为：')budong.mfunction[r,n,data]=budong(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-3：endx1=budong fun(x0)；n=1;while(norm(x1-x0))tol)&(n500)x0=x1;x1=budong_fun(x0)；n=n+1：data(:,n)=x1；endr=x1：new_ton.mfunction [x,n,data]=new_ton(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-8；endx1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=1;while (norm(x1-x0))tol)x0=x1;x1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=n+1;data(:,n)=x1;endx=x1;budong_fun.mfunction f=budong_fun(x)f(1)=3* x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;f(2)=x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06; f(3)=exp(-x(1)*x(2))+20* x(3)+10* pi/3-1;f=[f(1)*f(2)*f(3)]；df1.mfunction f=df1(x)f=[3sin(x(2)*x(3))*x(3) sin(x(2)*x(3))*x(2) 2* x(1)-162*(x(2)+0.1)cos(x(3))exp(-x(1)*x(2))*(-x(2))exp(-x(1)*x(2))*(-x(1))20]; 结果：不动点计算结果为r=1.0e+012*NaN -Inf 5.6541初始值为0，牛顿法计算结果为：x=0.5000 -0.0000 -0.5236初始值为1，牛顿法计算结果为：x=0.5000 0.0000 -0.5236初始值为2，牛顿法计算结果为：x=0.5000 0.0000 -0.5236。

解非线性方程组的牛顿法

§6 解非线性方程组的迭代法
考虑非线性方程组
f1(x1, x2, , xn ) 0,
f2(x1, x2, , xn ) 0,
fn (x1, x2, , xn ) 0. 利用向量记号写为
F (X ) O. 这里F (X )是定义在某区域D Rn上向量值函数. 若存在 X* D, 使得F (X*) O, 则称X*为非线性方程组的解.
.
逐次迭代得结果.
Step 5 Set x x y
Step 6 If y TOL then OUTPUT(x)
Step7 Set k k 1
STOP.
Step8 OUTPUT (‘Maximum number of iterations exceeded’) STOP.
为了说明上述算法，我们可以看看下面的例子。设
s1
145 272
，
145 272
T
.
x2 x1 s1 0.092，3.092 T .
显然，我们只经过两步计算，所得到的 x2就已经非常靠近解 0，3T .
例1 用牛顿法求解方程组
k x (k) 0 (1.5, 1.0)T
f1( f2(
x1 x1
,x2 ,x2
) )
x1 2 x12
定理 2 设G : D Rn Rn在D内有一不动点X *且G在X *可导,
(G(X*)) 1, 则存在开球 S S( X*, ) D, 对X (0) S, 迭代序列{X (k)}
收敛于X *.
牛顿迭代公式：
X (k1) X (k) F( X (k) ) 1 F ( X (k) ),
其中
f1
F
(
X
(k
)
)

c语言牛顿迭代法

c语言牛顿迭代法牛顿迭代法（Newton-Raphson法）是一种求解方程近似解的方法，它是利用泰勒级数展开函数在某点的值，然后用一阶泰勒展开式的根近似表示函数的零点，因此也被称为牛顿拉弗森法。

它可以高效地解决复杂的非线性方程组，是科学计算领域中最为常用和基础的方法之一。

牛顿迭代法的基本思想是：在第k次迭代时，求出曲线f(x)在点xk的一次导数斜率，以此确定x轴上的一个点xk+1，和该点处曲线的一次切线。

这条切线和x轴交点的横坐标就是极值点的估计值。

这个过程可以迭代多次，直到达到满足一定的误差精度或者迭代次数的要求。

C语言实现牛顿迭代法需要先定义一个函数，这个函数就是需要求解方程的函数。

定义完函数之后，需要实现牛顿迭代公式来求出下一次迭代的估计值，然后不断迭代。

具体实现过程如下：1. 定义函数f(x)，即需要求解方程的函数。

2. 定义函数f_prime(x)，即f(x)的一次导数。

3. 定义变量x和x_next，初始化它们的值。

4. 在循环中，首先计算f(x)和f_prime(x)，然后计算下一个迭代点的估计值x_next = x - f(x) / f_prime(x)。

5. 如果x_next和x的差异满足预设的精度要求，则退出循环。

6. 否则，将x_next的值赋值给x，并重复执行第4步。

C语言实现牛顿迭代法的代码如下：#include <stdio.h>#include <math.h>定义函数f(x)double f(double x) {return x * x - 2;}定义函数f_prime(x)double f_prime(double x) {return 2 * x;}int main() {定义变量double x, x_next, epsilon;int iter;初始化变量x = 1.0;epsilon = 1e-6;iter = 0;迭代求解do {x_next = x - f(x) / f_prime(x);iter++;printf("Iteration %d: x = %lf\n", iter, x_next);x = x_next;} while (fabs(x_next - x) >= epsilon);输出结果printf("Final result: x = %lf\n", x);return 0;}在这个代码中，我们使用了do-while循环来不断执行迭代过程，直到达到预设的精度要求。

牛顿迭代法收敛定理

关于牛顿迭代法的课程设计实验指导非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。

在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。

牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。

近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。

牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。

一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。

方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。

由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程中的求得近似解x 1。

即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。

详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为)()()()(000x f x x x f x f '-+≈由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f求解，得 )()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。

该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。

设x n 是方程解x *的近似，迭代格式)()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。

非线性代数的基本概念和应用

非线性代数的基本概念和应用非线性代数是线性代数的拓展和推广，它将线性代数中的理论和方法推广到非线性系统中，有着广泛的应用和重要意义。

本文将详细介绍非线性代数的基本概念、重要定理和应用领域。

一、基本概念非线性代数包括非线性方程、非线性函数、非线性方程组、非线性空间等。

其中，非线性方程是指含有非线性项的方程，与线性方程不同的是，它们的解无法用求解线性方程的方法得到。

而非线性函数则是指输入和输出之间的关系不是简单的线性关系，而是更加复杂。

非线性方程组的一般形式为：F(x)=0,其中x是n维向量，F是一个向量值函数。

非线性方程组的求解问题是在给定的精度下求出解向量x。

二、重要定理1、牛顿迭代法牛顿迭代法是解非线性方程和非线性方程组的基本算法之一。

它是一种迭代算法，通过不断逼近使得误差逐步减小，并最终得到解。

具体地，对于非线性方程f(x)=0，牛顿迭代法的迭代公式为：x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f’(x_k)},其中x_k是第k次迭代的近似解，f’(x_k)表示f在x_k处的导数。

牛顿迭代法收敛的速度很快，但需要满足一定的收敛条件才能保证正确性。

2、Banach不动点定理Banach不动点定理是非线性空间中的重要定理之一，它指出如果一个映射从一个完备的度量空间到自身，且满足某些条件，则该映射至少有一个不动点（即映射的一个输入与输出相同）。

具体地，设X是一个完备的度量空间，f是X到X的一个连续映射。

如果存在一个常数K，使得对所有x∈X，有d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y),其中d表示X中的距离，则f至少存在一个不动点。

三、应用领域非线性代数在科学技术领域有着广泛的应用。

以下是其几个主要应用领域的介绍。

1、物理学非线性代数在物理学中的应用主要集中在研究复杂动力学系统的行为。

许多物理学领域的研究中涉及到非线性方程和非线性动力学模型，例如混沌理论和非线性波动理论等。

2、金融学非线性代数在金融学中的应用主要集中在风险控制和金融工程领域。

隐函数求解大规模非线性方程组的高效数值方法

隐函数求解大规模非线性方程组的高效数值方法隐函数求解大规模非线性方程组是数值计算中一个常见的问题。

非线性方程组的隐函数求解在多个领域中具有重要的应用，比如金融计算、工程设计、物理建模等等。

针对大规模非线性方程组，为了更高效地求解，有几种数值方法可供选择。

一种常用的方法是牛顿迭代法。

牛顿迭代法是通过在每一步进行线性近似，然后求解近似线性方程组来逼近方程组的根。

具体而言，从初始猜测开始，我们计算方程组的雅可比矩阵，并通过解雅可比矩阵与残差向量之间的线性方程组来更新解。

我们重复这个过程，直到解收敛或者达到所需的精度。

牛顿迭代法是一个高效收敛的方法，尤其适用于非线性方程组接近根的情况。

另一种常见的方法是拟牛顿法。

拟牛顿法通过构造方程组的拟合序列来逼近方程组的根。

其思路是通过近似求解方程组，并根据迭代过程中的更新信息更新方程组的近似，以逐步改进解析结果。

著名的拟牛顿法包括Broyden方法和DFP方法等。

拟牛顿法相对于牛顿迭代法来说，更适用于大规模问题，因为它避免了计算和存储完整的雅可比矩阵。

此外，还可以采用分裂迭代法。

分裂迭代法将大规模非线性方程组分解为多个子系统，其中每个子系统可以通过比较简单的方式进行求解。

然后，将这些子系统的解组合起来，得到整个方程组的解。

分裂迭代法的关键是将原始的大规模问题分解成多个更小的问题，从而提高求解的效率。

除了上述提到的方法，还有其他一些高效的数值方法用于求解大规模非线性方程组，比如修正牛顿法、共轭梯度法等等。

这些方法的选择与应用取决于具体问题的性质和需求。

在实际应用中，大规模非线性方程组的求解可以通过数值计算软件或编程语言来实现。

比如MATLAB、Python、C++等。

这些软件和语言提供了丰富的数值计算工具和库，可以方便地实现各种方法来求解非线性方程组。

总结起来，求解大规模非线性方程组的高效数值方法包括牛顿迭代法、拟牛顿法、分裂迭代法等等。

选择适当的方法需要考虑问题的特点和求解的要求。

非线性方程组计算

在科学与工程计算中，经常遇到求解非线性方程组的问题；非线性方程组在收敛速度及收敛性比线性方程组要差，特别对于非凸的非线性方程组，其求解更是困难。

下面简要介绍非线性方程组的三种解法——牛顿法、拟牛顿法、同伦算法，分析三种解法的适用性，并附Matlab 原程序。

（一）、牛顿迭代法迭代公式为：x k+1=x k-f(x k)/f'(x k);牛顿迭代法是解非线性方程组比较经典的方法，在局部收敛点附近是平方收敛的；但其解依赖于初始解，且迭代每一步都要计算f'(x k)，不仅计算量大而且有时会发生计算困难。

（二）、拟牛顿迭代法拟牛顿法是为了解决求Jacobi矩阵时带来的困难，现已成为解决非线性方程组和最优化问题的最有效方法之一。

其迭代格式为：x(k+1)=x(k)-A k-1F(x(k))A k+1=A k+[(y k-A k s k)(y k-A k s k)T]/[(y k-A k s k)T s k]在一定条件下，计算H的序列是超收敛的，但稳定性较差，有时迭代效果不理想。

（三）、同伦算法同伦算法基本思想是从容易求解的方程组开始，逐步过渡到原方程组的求解，从而得到问题的解。

非线性方程组为：F(x)=0，其解为X*。

构造泛函 G：[0，1]XR n->R nG定义为：G（λ，x）=λ F(x)+(1-λ)[F(x)-F(x(0))]=F(x)+(λ-1)F(x(0))(其中：x（0）为任意给的初值，假定为λ函数（λ=0）)对于λ的方程G（λ，x）=0，当λ=0时，0=G（0，x）=F(x)-F(x(0))；x（0）是方程的解；当λ=1时，0=G（1，x）=F(x)；x*是方程的解，即x(1)=x*基于这个思想我们最后可以得到如下关系式：x'(λ)=-[J(x(λ))]-1F(x(0)) ( 0<=λ<=1,对初始值x(0) )J为雅可比矩阵，由上面的式子，对λ在[0，1]上积分，就可得到x*=x(1)上面的非线性方程组问题就转化为数值积分问题。

利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组

利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组一、问题描述在实际应用的很多领域中，都涉及到非线性方程组的求解问题。

由于方程的非线性，给我们解题带来一定困难。

牛顿迭代法是求解非线性方程组的有效方法。

下面具体对牛顿迭代法的算法进行讨论，并通过实例理解牛顿迭代法。

二、算法基本思想牛顿迭代法求解非线性代数方程组的主要思想是将非线性函数线性化。

下面我们具体讨论线性化过程：令：()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000,,2121 n n x x x x x f x f x f x F （3-1）则非线性方程组（3-2）()()()0,,,0,,,0,,,21212211===n n n n x x x f x x x f x x x f（3-2）可写为向量形式()0=x F （3-3）？()0=x F 成为向量函数。

设()()()()k n k k x x x ,,,21是方程组（3-2）的一组近似解，把它的左端在()()()()k n k k x x x ,,,21处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部分，便得方程组（3-2）得近似方程组()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0,,,,,,0,,,,,,0,,,,,,1212112122121211211=∆∂∂+=∆∂∂+=∆∂∂+∑∑∑===k j nj k nk k n k nk k n k j nj k nk k k nk k k j nj k nk k k nk k x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f（3-4）这是关于()()()n i x x x k i i k i ,,2,1 =-=∆的线性方程组，如果它的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂n n n n n n x f x f x f x f x f xf x f x f x f212221212111（3-5）非奇异，则可解得()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆-n n n n n n n k n k k f f f x f x f x fx f x f x f x f x f x f x x x21121222121211121 （3-6）矩阵（3-5）称为向量函数()x F 的Jacobi 矩阵，记作()x F '。

python 多元牛顿迭代法

python 多元牛顿迭代法多元牛顿迭代法是一种用于求解多元非线性方程组的数值计算方法。

它是牛顿迭代法在多元情况下的推广和扩展。

牛顿迭代法是一种经典的数值计算方法，用于求解方程的根。

它的基本思想是通过不断逼近函数的零点来求解方程。

对于一元函数而言，牛顿迭代法的迭代公式为：x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}其中，x_n代表第n次迭代得到的近似解，f(x_n)代表函数在x_n 处的函数值，f'(x_n)代表函数在x_n处的导数值。

通过不断迭代，可以逐渐接近方程的根。

而对于多元函数而言，牛顿迭代法的迭代公式稍有不同。

设有一个n元函数组：F(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x))其中，f_i(x)代表第i个方程，x = (x_1, x_2, ..., x_n)代表待求解的变量向量。

多元牛顿迭代法的迭代公式为：x_{n+1} = x_n - J^{-1}(x_n)F(x_n)其中，J(x_n)是F(x_n)的雅可比矩阵，表示为：J(x_n) = \begin{bmatrix}\frac{\partial f_1(x_n)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(x_n)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1(x_n)}{\partial x_n} \\\frac{\partial f_2(x_n)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(x_n)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2(x_n)}{\partial x_n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial f_n(x_n)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n(x_n)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n(x_n)}{\partial x_n} \\\end{bmatrix}多元牛顿迭代法的步骤如下：1. 初始化变量向量x_0；2. 计算函数组F(x_0)的值；3. 计算雅可比矩阵J(x_0)的值；4. 计算x_{n+1} = x_n - J^{-1}(x_n)F(x_n)；5. 判断迭代精度是否满足要求，若满足则停止迭代，否则返回第2步。

牛顿-拉夫逊方法-概述说明以及解释

牛顿-拉夫逊方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述牛顿-拉弗逊方法是一种用于求解非线性方程组的数值方法，由数学家牛顿和拉夫逊在17世纪提出。

该方法通过迭代的方式逼近非线性方程组的解，从而实现求解方程组的根的目的。

牛顿-拉夫逊方法是一种经典且广泛应用的数值计算方法，被广泛应用于科学、工程、金融等领域。

本文将对牛顿-拉夫逊方法的定义与原理、应用领域以及优缺点进行深入探讨，旨在帮助读者更好地理解并应用该方法解决实际问题。

通过学习和掌握牛顿-拉夫逊方法，读者可以更高效地解决复杂的非线性方程组，提高问题求解的准确性和精度。

1.2 文章结构:本文将首先介绍牛顿-拉夫逊方法的定义与原理，包括其数学模型和求解过程。

随后将讨论该方法在实际应用中的一些典型领域，比如优化问题、方程求解等。

接着将分析牛顿-拉夫逊方法的优缺点，探讨其在解决实际问题中的局限性和优势。

最后，将对牛顿-拉夫逊方法进行总结，并展望其在未来的应用前景，最终得出结论。

通过这些内容，读者将能够全面了解牛顿-拉夫逊方法的特点及其在科学研究和工程实践中的价值和重要性。

1.3 目的本文旨在深入探讨牛顿-拉夫逊方法，介绍其定义、原理、应用领域以及优缺点。

通过对该方法的全面分析，希望读者能够更清晰地了解牛顿-拉夫逊方法在数值计算中的重要性和实用性，进而为相关领域的研究和实践提供参考和指导。

同时，对牛顿-拉夫逊方法的展望也是本文的一个重要内容，希望能够带给读者新的启发和思考，促进该方法在未来的进一步发展和应用。

最终，通过对牛顿-拉夫逊方法的详细介绍和分析，期望能够为读者打开一扇通往数值计算领域的新视角，激发对该方法以及数值计算理论的兴趣和探索欲望。

2.正文2.1 牛顿-拉夫逊方法的定义与原理牛顿-拉夫逊方法，又称为牛顿迭代法，是一种用于求解方程的数值方法。

它是由著名的物理学家和数学家牛顿发现的一种迭代求根方法，并由拉夫逊进一步完善和推广。

在数学上，牛顿-拉夫逊方法用于求解非线性方程组的根。

求解非线性方程的牛顿迭代法

求解非线性方程的牛顿迭代法作者：李晓辉任伟和程长胜来源：《科技风》2021年第14期摘要：本文主要讲了求解非线性方程的牛顿迭代法。

文章首先引入牛顿迭代法的公式、迭代函数。

紧接着文章又介绍了牛顿迭代法的局部收敛性以及它的收敛速度，并通过数值实验验证了牛顿迭代法求解非线性方程的有效性。

关键词：牛顿迭代法;局部收敛;收敛速度中图分类号：O010224文献标识码：A一、绪论类似于线性方程组Ax=b求解的问题，非线性方程的一般问题可化为f（x）=y，即“对于什么样的x的值，函数f取值为y”，这里可以暂且先把f当成单变量函数，通常把y移项并吸收进f，从而一般形式可记为f（x）=0，因此，一个一般的一元非线性方程的求解问题有如下形式：给定函数f，寻找x（实的或复的），使得f（x）=0。

若存在一点x*满足该性质，称x*是方程f（x）=0的根或函数的零点。

这类问题称为求根问题或求零点问题。

此外，方程的根的情况可分为单根和重根。

一般的非线性方程的重数可以定义如下：若f（x）=（x-x*）m·g（x）且g（x）≠0，其中，m为自然数，称x*为f（x）的m重根，m=1时也称单根。

若区间[a，b]上有方程的一个实根，称该区间为方程的一个有根区间，如果能把方程的有根区间的长度缩短到一定的范围内，那么就求到了一个近似根，通常采用的都是数值求解的办法，因此若假设要求有根区间长度为0（即求到精确解），这些数值求解的办法通常都会产生一个逐渐逼近根的一个无穷序列。

求方程的近似根，一般要考虑如下几个问题：（1）根的存在性问题，即方程有没有实根，有几个根。

（2）有根区间的确定。

本文介绍的算法通常是假设有根的前提下给出求近似根的方法，一般需要以别的辅助工具先确定有根区间。

（3）求出足够近似的根，即在制定精度下缩小有根区间，或通过某些判别条件断定近似根的精度。

二、Newton迭代公式的构造简单迭代是将非线性方程f（x）=0通过代数恒等变形，将原方程化成等价方程x=φ（x），从而形成迭代式xk+1=φ（xk）。

6.解非线性方程组的牛顿迭代法

eN TN (1 hL) eN 1
TN (1 hL) TN 1 (1 hL) eN 2
TN (1 hL) TN 1
(1 hL)2 TN 2 (1 hL)N 1 T1

N 1 k 0
(1
function f=myfun syms x; syms y f=[x^2+y^2-1;x^3-y]; x0=[0.8;0.6];
>> newton (myfun,x0,1e-6) n=
4 ans =
0.8260 0.5636
7. 最速下降法

f1( x, f2 (x,
y) y)

f1 y f2 y

y1

y0

1 J0
f1 f2
f1 f2 ( x0 , y0 ) f1x f2x
(**)
例： x 2 ( x
y2 5 0 1) y (3x
1)

0
求
(1,1) 附近的解
f1x

f2x
f1 y f2 y

2x y3
Tn1 y( xn1 ) yn1 一步产生的误差
其中是由公式根据前一步的准确值获得的。
y( xn1 ) y( xn h)

y( xn ) hf ( xn ,
y(xn ))
h2 2
y( )
xn xn!
yn1 y( xn ) hf (xn , y( xn )) (Euler方法)
f
(x,
y ( x))dx

非线性方程组的求解

非线性方程组的求解摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。

求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。

传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。

另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。

进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。

关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法1：三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。

n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),...,(...0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1）式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ⋯, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上的实值函数。

若用向量记号，令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x ...X 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F nn n n n则方程组（1）也可表示为：0)(=X F（2）其中：X ∈R n ,F ∶R n →R 0, F(X) ∈R n , R n 为赋值空间。

微分方程中的非线性方程组求解

微分方程中的非线性方程组求解微分方程是数学中研究变化规律的重要工具之一，它描述了自然界中许多现象的演化过程。

而非线性方程组在微分方程中的应用更是广泛，其中的求解对于科学研究和工程应用具有重要意义。

本文将介绍非线性方程组在微分方程中的求解方法，并讨论其应用。

一、非线性方程组的求解方法1. 数值方法求解数值方法是求解非线性方程组的一种常用方法，主要包括迭代法和牛顿法等。

迭代法是通过不断迭代逼近方程组的解，最终得到满足精度要求的解。

牛顿法则是通过构造一个线性方程组，并不断迭代求解，逼近方程组的解。

这两种方法都需要选取适当的初始值，并在迭代过程中考虑收敛性和稳定性。

2. 解析方法求解解析方法是指通过数学分析和求导等手段，直接得到方程组的解。

这种方法在解决简单的非线性方程组时具有较大优势，可以得到解析形式的解，便于分析和推导。

然而，对于复杂的非线性方程组，解析方法通常难以得到精确解，需要借助近似方法或数值计算。

二、非线性方程组在微分方程中的应用非线性方程组在微分方程中的应用广泛，以下以几个实例介绍其具体应用。

1. 非线性振动非线性振动是振动理论中研究的重要问题，非线性方程组常用于描述非线性振动系统的运动规律。

例如，一维简谐振子是一个常见的非线性振动系统，其运动方程可以表示为一个含有非线性项的微分方程组。

通过求解该方程组，可以得到简谐振子的运动行为，包括振幅、频率以及相位等。

2. 生物数学模型非线性方程组在生物数学领域中的应用也非常广泛。

例如，Lotka-Volterra方程是描述捕食者与被捕食者之间关系的非线性方程组，该方程组通过描述两者之间的相互作用和竞争关系，揭示了生态系统中物种的数量动态变化规律。

3. 电路分析电路分析中经常需要求解非线性方程组。

例如，开关电路中的非线性元件（如二极管）会引入非线性关系，导致电路方程组的非线性。

通过求解该方程组，可以得到电路中各个元件的电流和电压等参数，用于电路设计和分析。