两条直线位置关系判断方法

两条直线的位置关系判断

方法

设平面上两条直线的方程分别为1

1

1

1

2

2

2

2

:0,:0

l a x b y c l a x b y c ++=++=

一．行列式法

记系数行列式为112

2

,a

b D a

b =112

2

,x c b D c b -=

-112

2

y a c D a c -=

-

1

l 和相交⇔0D ≠

1

221b a b a ≠⇔

1

l 和2

l 平行⇔0,0x

D D =≠或0,0y

D D =≠

1

l 和重合⇔0===x

y

D D D 二．比值法

1

l 和相交2

12

1

b b a

a ≠

()0b ,a 2

2≠；

1

l 和垂直⇔0b a b a 2

21

1=+；

1

l 和平行2

1

212

1

c c b b a

a

≠=

()

0c ,b ,a 222≠；

1

l 和重合2

1

212

1

c c b b a

a

==

()0c ,b ,a 222≠

三．斜率法

1

1

1

2

2

2

:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式）

12l l ⇔与相交2

1k k ≠ ；

1

2

l l ⇔与平行2

121

b b k k

≠=， 12l l ⇔与重合2

121b b k k ==，；

12l l ⇔与垂直-1

.=21k k ;

特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)；

注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件；

（3）两条直线平行⇔它们的斜率均存在且相等或者均不存在；

（4）两条直线垂直⇔他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；

例题分析

1.下列命题中正确的是……………………………………………………………………（B ）

A.平行的两条直线的斜率一定相等

B.平行的两条直线倾斜角相等

C.两直线平行的充要条件是斜率相等

D.两直线平行是他们在y轴上截距不相等的充分条件

分析：A.两条直线斜率均不存在时也是平行,此时斜率不存在；

C.”斜率相等”是”两直线平行”的既不充分也不必要条件；

D.既不充分也不必要条件，因为两条直线斜率均不存在时也是平行，此时不存在y 轴上的截距，反之显然不成立；

2、若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a1，a2，斜率分别为k1，k2，则下列命题

（1）若l1∥l2，则斜率k1=k2；（2）若斜率k1=k2，则l1∥l2；

（3）若l1∥l2，则倾斜角a1=a2；（4）若倾斜角a1=a2，则l1∥l2；

其中正确命题的个数是…………………………………………………………………（C）

A．1 B．2 C．3 D．4

分析：(2)(3)(4)对，此时要注意已知条件l1与l 2为两条不重合的直线

3、已知两条不重合的直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，给出如下四个命题： ①若sin α1=sinα2，则l 1∥l 2 ②若cos α1=cosα2，则l 1∥l 2 ③若l 1⊥l 2，则tan α1tanα2=﹣1 ④若l 1⊥l 2，则sin α1sinα2+cosα1cosα2=0

其中真命题是…………………………………………………………………………（ B ） A ．①③ B ．②④

C ．②③

D ．①②③④

分析：①sin α1=sin α2， 可知α1=α2 或α1 +α2 =π，因为倾斜角α1，α2的范围[)π0，，所以不一定推出；

②cos α1=cos α2 ,可知 α1=α2 ，因为倾斜角α1,α2的范围[)π0，，所以可以推出；

③如果成立的话，必须斜率存在，可是α1=π，α2 =

2

π

，致使斜率不存在； ④若两条直线斜率都存在时，显然成立，若两条直线斜率有一个不存在时也成立，

下证，不妨设α1=π，α2 =2

π

，此时也成立；

4、已知直线06y )2k (x 3:l 1=++-与直线02y )3k 2(kx :l 2=+-+，记

3

k 2k )2k (3D -+-=

.”0D =”是”两条直线1l 与直线2l 平行”的……………………………

( A )

A ．充分不必要条件；

B ．必要不充分条件 ；

C ．充要条件;

D ．既不充分也不必要条件

5、若直线1:l 22+=+x ay a 与直线2:l 1+=+ax y a 不重合，则12l l ∥的充要条件( C ）

A. 1a =-；

B. 1

2

=a ； C. 1a =； D. 1a =或1a =-.

分析：法1：比值法，此时要保证分母不为零，故讨论