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《高等数学》PPT课件
因dyx, 故有 dx y
fxfyxy 0
记
f x f y Байду номын сангаас
x y
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极值点必满足 引入辅助函数 则极值点满足:
fxx0
fyy0 (x,y)0
F f ( x , y ) ( x , y )
F x fx x 0
F y fyy 0
F 0
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如, zxy有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.
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推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
所 以 z f ( 1 , 1 ) 2 为 极 小 值 ；
当 z2 6 时 ， A 1 4 0 ,
所 以 z f ( 1 , 1 ) 6 为 极 大 值 .
例3. 讨论函 数
zx3y3及 z(x2y2)2在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点并,且在 (0,0) 都有
A<0 时取极大值;
则: 1) A C B 20时, 具有极值
当
A>0 时取极小值.
2) 当 A C B 20时, 没有极值.
3) 当 A C B 20时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P65) .
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求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
《高数基础知识》课件
05
CHAPTER
空间解析几何
空间直角坐标系是描述空。
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴。
点的坐标表示
在空间解析几何中，向量可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴上的分量。
平面与直线的交点
如果一条直线和一个平面相交，那么它们的交点可以用直线和平面的方程联立求解得到。
平面与平面的交线
如果两个平面相交，那么它们的交线可以用两个平面的方程联立求解得到。
06
CHAPTER
多项式函数与插值法
多项式的定义
多项式是数学中一个基本概念，由一个或多个项通过加法或减法组合而成。
多项式的根
总结词
详细描述
总结词
掌握极限的四则运算法则，理解极限运算的基本方法
详细描述
极限的四则运算法则包括加减乘除和复合运算，是研究函数极限行为的基础。极限运算的基本方法包括利用极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等，这些方法可以帮助我们求解各种极限问题，并进一步研究函数的性质和变化规律。
03
CHAPTER
样条插值法的应用
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
总结词
高数的发展历程
详细描述
高数的发展可以追溯到17世纪，随着微积分学的发展，高数逐渐形成并完善。在18世纪和19世纪，高数的发展取得了巨大的进步，许多数学家如欧拉、高斯等都为高数的发展做出了杰出的贡献。
总结词
高数在日常生活和科学中的应用
详细描述
高数在日常生活和科学中有着广泛的应用。例如，在物理学中，高数被用于描述和解决力学、电磁学、光学等领域的问题；在经济学中，高数被用于研究金融、投资、贸易等问题；在工程学中，高数被用于设计、分析、优化各种系统和结构。
CHAPTER
空间解析几何
空间直角坐标系是描述空。
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴。
点的坐标表示
在空间解析几何中，向量可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴上的分量。
平面与直线的交点
如果一条直线和一个平面相交，那么它们的交点可以用直线和平面的方程联立求解得到。
平面与平面的交线
如果两个平面相交，那么它们的交线可以用两个平面的方程联立求解得到。
06
CHAPTER
多项式函数与插值法
多项式的定义
多项式是数学中一个基本概念，由一个或多个项通过加法或减法组合而成。
多项式的根
总结词
详细描述
总结词
掌握极限的四则运算法则，理解极限运算的基本方法
详细描述
极限的四则运算法则包括加减乘除和复合运算，是研究函数极限行为的基础。极限运算的基本方法包括利用极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等，这些方法可以帮助我们求解各种极限问题，并进一步研究函数的性质和变化规律。
03
CHAPTER
样条插值法的应用
THANKS
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详细描述
总结词
高数的发展历程
详细描述
高数的发展可以追溯到17世纪，随着微积分学的发展，高数逐渐形成并完善。在18世纪和19世纪，高数的发展取得了巨大的进步，许多数学家如欧拉、高斯等都为高数的发展做出了杰出的贡献。
总结词
高数在日常生活和科学中的应用
详细描述
高数在日常生活和科学中有着广泛的应用。例如，在物理学中，高数被用于描述和解决力学、电磁学、光学等领域的问题；在经济学中，高数被用于研究金融、投资、贸易等问题；在工程学中，高数被用于设计、分析、优化各种系统和结构。
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奇函数的图形关于原点对称, 偶函数的图形关于y轴对称,如图. 1-2所示.
y
y f ( x)
( x, f ( x ))
A'
y
y f ( x)
f ( x)
x
A
( x. f ( x))
x
f ( x)
A ( x. f ( x ))
O
x
A'
y f ( x)
x
O
(b)偶函数
x
x
( x, f ( x))
如果对每一个x D, 都有惟一的y M 与之对应, 那么称 这种函数为单值函数. 否则为多值函数.
通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应 关系与定义域. 显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同 时,这两个函数才认为是相同的.
2.函数的定义域
定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须 注意函数的定义域.在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义 确定定义域.例如,匀速直线运动的位移s = vt ,t是时间,故只能 取非负数.对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身 来确定, 即使运算有意义.如:
例如, 上述分段函数中f (4) 4 2; f (3) -(-3)=3.
3
O
4
图1-1 分段函数f(x) 图形
二、函数的几种特性
1.函数的奇偶性
如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且对任意x都有f(-x)= -f(x) 则称f(x)为奇函数;如果f(x)的定义域关原点对称,且对任意x,都有f (-x)= f(x),则称f(x)为偶函数.如果函数既非奇函数,也非偶函数,则 称f(x)为非奇非偶函数.
1. 2. 3. 4. 5.
y
y f ( x)
( x, f ( x ))
A'
y
y f ( x)
f ( x)
x
A
( x. f ( x))
x
f ( x)
A ( x. f ( x ))
O
x
A'
y f ( x)
x
O
(b)偶函数
x
x
( x, f ( x))
如果对每一个x D, 都有惟一的y M 与之对应, 那么称 这种函数为单值函数. 否则为多值函数.
通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应 关系与定义域. 显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同 时,这两个函数才认为是相同的.
2.函数的定义域
定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须 注意函数的定义域.在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义 确定定义域.例如,匀速直线运动的位移s = vt ,t是时间,故只能 取非负数.对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身 来确定, 即使运算有意义.如:
例如, 上述分段函数中f (4) 4 2; f (3) -(-3)=3.
3
O
4
图1-1 分段函数f(x) 图形
二、函数的几种特性
1.函数的奇偶性
如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且对任意x都有f(-x)= -f(x) 则称f(x)为奇函数;如果f(x)的定义域关原点对称,且对任意x,都有f (-x)= f(x),则称f(x)为偶函数.如果函数既非奇函数,也非偶函数,则 称f(x)为非奇非偶函数.
1. 2. 3. 4. 5.
《高等数学课件PPT》-完整详细版
1
微积分基本定理
微积分基本定理的概念和推导，描述定积分和不定积分之间的关系。
2
带变限积分
带变限积分的计算方法和几何解释，通过例题演示如何求解带变限积分。
极限和连续
深入介绍极限和连续的概念、性质和运算法则，帮助学生理解和掌握这两个重要概念。
极限
数列极限和函数极限的定义和性质，常见的极限计 算方法和极限存在准则。
连续
函数连续的定义和判定条件，连续函数的性质和运 算法则。
函数及其图像
介绍函数的概念和性质，以及如何通过绘制函数图像来更好地理解函数。
函数
函数的定义、定义域、值域和性质，常见函数类型 和函数之间的关系。
图像
绘制函数图像的方法和技巧，通过观察图像认识函 数的特点和变化趋势。
导数和微分
介绍导数和微分的概念、性质和计算方法，以及它们在几何和物理中的应用。
1 导数
导数的定义和性质，导数的计算方法和常见 函数的导数公式。
2 微分
微分的概念和计算方法，微分在几何和物理 中的应用。
《高等数学课件PPT》-完整详 细版
一份完整详细的高等数学课件PPT，深入介绍高等数学的各个知识点，帮助 学生更好地理解和掌握这门重要学科。
课程目标和重要性
通过介绍高等数学课程的学习目标和重要性，帮助学生明确学习目标，激发学习兴趣，并认识到 高等数学在现实生活和学科发展中的广泛应用。
学习目标
深入理解高等数学的各个概念和方法，提高解决数学问题的能力。
不定积分与牛顿-莱布尼茨公式
深入研究不定积分的概念、性质和计算方法，以及牛顿-莱布尼茨公式的推导和应用。
1 不定积分
不定积分的定义和计算方法，常见函数的不 定积分公式。
高等数学课件第1章 函数与极限
W {y y f (x), x D}
为函数的值域。
说明：函数值
f (x0 )
f (x) xx0
y xx0
y(x0 )
1.1.2 函数概念(续二)
【说明】
(1) 对应法则是函数概念的一个重要因素。变量用什 么字母无关紧要。
(2) 定义域是函数概念的另一个重要因素。自然定义 域 实际定义域
A r 2
y x2
(3) 表示函数的方法有多种。解析法（也称公式法）、 图像法、表格法
1.1.2 函数概念(续三)
一元函数 多元函数
A 1 absin
2
实例4：说明由方程 x2 y2 r 2确定的两个变量x和y之 间的相依关系。
多值函数 单值函数
例1-1 某汽车公司规定从甲地运货至乙地的收费标 准是：如果货物重量不超过30千克，则每千克 收费1.5元；如果货物重量超过30千克，则超出 部分每千克收费增至2.5元；试写出货物运费F与 货物重量m之间的函数关系。
1.2 初等函数
1.2.1 常值函数 1.2.2 幂函数 1.2.3 指数函数与对数函数 1.2.4 三角函数 1.2.5 反三角函数 1.2.6 复合函数 初等函数
1.2 初等函数(续)
➢ 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函 数和反三角函数6类是最常见最基本的，这些函数 称为基本初等函数。
➢ 表示集合最常用的方法是描述法：
A {x | p(x)}
➢ 其中x表示A的元素，p(x)代表x满足的条件。
1.1.1 常量与变量 数集(续二)
例如 A {x x t 2 1,t R}
通常省略说明属于实数集R的部分，即
A {x x t 2 1}
➢ 区间是R的一个连续子集。 ➢ 区间分为有限区间和无穷区间两大类，这两类区间
高等数学课件完整
要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
高等数学ppt课件
05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
高数课件PPT
算。
插值法的概念与应用
概念
插值法是一种数学方法，通过已知的 离散数据点，构造一个多项式函数， 使得该函数在已知数据点上的取值与 实际值相等。
应用
插值法在数学、物理、工程等领域有 广泛应用，如数据拟合、数值积分、 微分、求解方程等。
拉格朗日插值法与牛顿插值法
拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方 法，通过构造一个拉格朗日多项式来逼近已知数据点 。该方法具有较好的数值稳定性和收敛性。
两个向量的点积等于它 们的模的乘积和它们夹 角的余弦值的乘积。
两个向量的叉积是一个 向量，其方向垂直于作 为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个 向量构成的平行四边形 的面积。
三个向量的混合积等于 它们构成的平行六面体 的体积。
两个向量的数量积等于 它们的模的乘积和它们 夹角的余弦值。
空间直角坐标系与向量的表示
详细描述
极限的运算规则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。这些规则能够帮助我们简化 极限的计算过程，提高计算的准确性和效率。在进行极限运算时，需要注意一些常见的错误，例如无 穷大与无穷小的混淆、未定式的误解等。
03
导数与微分
导数的定义与性质
导数的定义
01
导数描述了函数在某一点的斜率，即函数值随自变量变化的速
率。
单侧导数
02
在函数定义域的某一点，可以定义左侧或右侧的导数，表示函
数在该点的切线斜率。
导数的几何意义
03
导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
导数的运算规则
链式法则
对于复合函数的导数，链式法则是重要的运算规则，表示对复合 函数的内部函数求导后再乘以外部函数的导数。
插值法的概念与应用
概念
插值法是一种数学方法，通过已知的 离散数据点，构造一个多项式函数， 使得该函数在已知数据点上的取值与 实际值相等。
应用
插值法在数学、物理、工程等领域有 广泛应用，如数据拟合、数值积分、 微分、求解方程等。
拉格朗日插值法与牛顿插值法
拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方 法，通过构造一个拉格朗日多项式来逼近已知数据点 。该方法具有较好的数值稳定性和收敛性。
两个向量的点积等于它 们的模的乘积和它们夹 角的余弦值的乘积。
两个向量的叉积是一个 向量，其方向垂直于作 为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个 向量构成的平行四边形 的面积。
三个向量的混合积等于 它们构成的平行六面体 的体积。
两个向量的数量积等于 它们的模的乘积和它们 夹角的余弦值。
空间直角坐标系与向量的表示
详细描述
极限的运算规则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。这些规则能够帮助我们简化 极限的计算过程，提高计算的准确性和效率。在进行极限运算时，需要注意一些常见的错误，例如无 穷大与无穷小的混淆、未定式的误解等。
03
导数与微分
导数的定义与性质
导数的定义
01
导数描述了函数在某一点的斜率，即函数值随自变量变化的速
率。
单侧导数
02
在函数定义域的某一点，可以定义左侧或右侧的导数，表示函
数在该点的切线斜率。
导数的几何意义
03
导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
导数的运算规则
链式法则
对于复合函数的导数，链式法则是重要的运算规则，表示对复合 函数的内部函数求导后再乘以外部函数的导数。
高等数学ppt课件
定积分的性质
定积分具有可加性、可积性、可微性等性质 。
定积分的应用
01
02
03
几何应用
定积分可以用于计算平面 图形和三维物体的面积和 体积，如矩形、圆形、球 体等。
物理应用
定积分可以用于计算变力 沿直线做功、液体压力等 物理问题。
经济应用
定积分可以用于计算经济 指标，如成本、收益、利 润等。
05
多重积分与向量分析
多重积分的概念与性质
多重积分的定义
多重积分是单变量积分概念的推广，它涉及多个变量 的积分。多重积分可以看作是对于每个变量进行积分 ，然后将结果相乘。
多重积分的性质
多重积分的性质包括积分的可加性、积分的可交换性、 积分的可结合性等。这些性质与单变量积分的性质类似 ，但需要考虑到多个变量的复杂性。
函数定义
函数是一种数学工具，它建立了数与数之间的对应关系，可以将一个数集中的每一个数唯一地映射到另一个数集中。 函数的性质包括定义域、值域、对应关系等。
函数的表示方法
函数的表示方法有表格法、图示法和解析法等，其中解析法是最常用的方法之一。解析法是通过数学表达式来表示函 数的关系。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间内的单调递增或单调递减的性质。单调函数具有连续性和可导性等性质 。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数值随自变量改变速率的 方式，是函数局部性质的重要体现。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函 数在这一点处切线的斜率。导数的基本性 质包括：（1）常数函数的导数为零；（ 2）导函数在某点的极限就是原函数在该 点的导数值；（3）两个函数相加或相减 后的导数等于各自导数之和或之差；（4 ）常数倍函数的导数等于该常数乘以原函 数的导数。
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
-高等数学-课件完整版
高等数学-课件完整版
2020/10/17
一、 基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2020/10/17
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作
U
0
(
a
).
U (a) { x 0 x a }.
2020/10/17
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
2020/10/17
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
2020/10/17
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
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一、 基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2020/10/17
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作
U
0
(
a
).
U (a) { x 0 x a }.
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5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
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三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
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f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
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9. 1.1. 定解问题的提法
1.方程的导出 我们在第七,第八章中通过几个不同的物理模型推导出了两种典 型的数学物理方程即波动方程与热传导方程.
ut a2 (uxx u yy ) f ( x, y, t )
2
(二维的热传导方程.)
ut a (uxx u yy uzz ) f ( x, y, z, t ) utt a2 (uxx u yy ) f ( x, y, t )
t 无关，
0,
utt 0 而方程 ut a (uxx u yy ) f ( x, y, t )
2
utt a2 (uxx u yy uzz ) f ( x, y, z, t )
(uxx u yy ) F ( x, y, t )
(1) (2)
uxx u yy uzz F ( x, y, z, t )
1 1 ur 2 urr 0 (0 r l , 0 2 ) u rr r r u( l , ) f ( ) (0 2 )
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引
调和方程，又称
言Laplace方程，是一类 Nhomakorabea型的椭圆型方程，也是最 简单的椭圆型方程. 从物理观点来说，
它是描述稳恒过程的。当我们研究的问题涉及各种物理性质 是稳定(即不随时间改变)过程．可归结为椭圆型方程。如固 定电场和磁场(静电学、静磁学、直流电场)，不可压缩液体 的位流，温定热场(或称稳定的稳度场)等等，描述这些现象
称上面的方程为 poisson 方程(泊松方程).
结束
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如果 F ( x, y) 0 方程(1) (2)变为
F ( x, y, z ) 0
u
xx
u yy 0
u u u
xx yy
zz
0
(3)
等式左边常简记为
u ,
即方程为
u 0
我们称方程(3)为拉普拉斯(Laplace)方程或调和方程 调和方程或 Poisson 方程还可以从多种物理问题中导出，
也可以从纯数学的角度推出
一个复解析函数 u i 的实部与虚部满足. Cauchy-Riemann方程
u v , x y
容易由该两方程推知
u v , x y
u 与 v 分布满足 u 0与
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v 0
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注: (1) Laplace方程与泊松方程描述的是处于稳定状态的物理现象的. 即描述与时间无关的物理现象的 ,即不含时间变量 ,所以在讨论定 解问题时,不能附加初始条件,而仅考虑边界条件.这样的问题叫做 边值问题.
z
u ( x, y )
t 无关
.这时圆柱内的温度分布函数
l
u( x, y)就满足二维 Laplace 方程: u u 0 xx yy 可以把 u( x, y ) 看做圆柱任一横载面上的温度分布，其边
界是个圆： x
2
y
2
l，
2
结束
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由于 u( x,
y ) 可以看做是圆柱任一横载面上的温度分布， z
(2) 同前一样, Laplace方程描述的不是一个物理现象,而描述的是一 类物理现象.他不仅可以从热传导现象来推出,还可以从其它的物理 现象来推出.例如:可以从波动方程中来推出,也可从纯数学的角度 来推出.
结束
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调和函数: 如果一个函数 u 在某个区域 D 内连续，且满足拉普拉斯方 程，则称该函数是 D 内的调和函数，或者说，函数 u 在 D内调和
第九章 拉普拉斯方程的圆的狄 利克雷问题的付氏解
结束
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第九章 拉普拉斯方程的圆的狄利克 雷问题的 付氏解
• 本章小结 • 第二节 • 第一节
本章小结
函数
圆的狄利克雷问题
函数
圆的狄利克雷问题
• 本章的重点和难点 • 本章基本要求 • 引言
本章的重点和难点
本章基本要求 引言
结束
(三维的热传导方程
(二维的波动方程.)
utt a2 (uxx u yy uzz ) f ( x, y, z, t )
结束
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(三维的波动方程.)
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在以上所讨论的热传导现象和波动现象中的位移函数和温
度函数，都是随时 间的变化而变化的.但有一种特殊情况， 即它们已经处于稳定状态,或者说，变化相当小，以致可以看 成与时间 这时， ut 或 变为
结束
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本章的重点和难点
本章的重点:
(1) 会用分离变量法求解矩形，圆形域等区域上的拉普拉斯方 程的边值问题. (2)
函数的定义及其性质.
本章的难点:
函数的性质.
结束
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第一节
圆的狄利克雷问题
9. 1.1. 定解问题的提法
9.1.2. 定解问题的付氏解法
结束
本章主要用付氏方法求解圆内拉普拉斯方程第一边值问题 .
（称为狄利克雷问题） 在第十一章还将对有关拉普拉斯方程做更多和更深入的问题 进行讨论
结束
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2. 定解问题的提法 设有一个半径为 l 的无限长圆柱，把它的对称轴取作 z 轴 .假设在柱的表面上温度不随时间而改变，且与 z坐标 无关，则过了一段时间以后，在圆柱的每一点处，温度也 会稳定下来，与
2
其边界是个圆： x
y
2
l ，
2
l
这就启发我们采用极坐标.这样必须把方程
u
令
xx
u yy 0
化为极坐标系下的二维 Laplace方程 .
x r cos ,
y r sin
rr
方程为：
u
1
r
u
r
1
r
2
u 0
结束
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设柱面上的温度由边界条件 u( l , ) f ( ) 给出 .因与 时间 t无关，无初始条件可谈 . 于是给出边值问题：
的方程为椭圆型方程。
结束
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本章学习基本要求
在学习这一部分内容时,除了弄清该方程及相应定解问题的 提法与其物理背景以外,还需要掌握的内容有： (1) 掌握圆的 Dirichlet 问题 (2) 会用分离变量法解矩形，圆形域等区域上的拉普拉斯方程 （3）掌握 函数的定义及其性质. （4）掌握在一些特殊区域中对某些定解问题的求解方法； 包括解的显式表达式的导出. 的边值问题.